二项式定理习题精选精讲

9.5 二项式定理5大题型【题型解读】【知识储备】1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n C0n a n C1n a n－1C k n n－k k C n n b n*(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n(3)(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2．二项式系数的性质[常用结论]若二项展开式的通项为T r＋1＝g(r)·x h(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：(1)h(r)＝0⇔T r＋1是常数项．(2)h(r)是非负整数⇔T r＋1是整式项．(3)h(r)是负整数⇔T r＋1是分式项．(4)h(r)是整数⇔T r＋1是有理项．【题型精讲】【题型一求特定项的系数】方法技巧 三项式()()n a b c n N ++∈的展开式：()[()]n n a b c a b c ++=++()n rrr n C a b c -=+++()rq n r q qrn n r C C ab c---=++++r q n r q q r n n r C C a b c ---=++若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式()r q p q r n n r C C a b c p q r N p q r n -∈++=，，，，其中!(r)!!!()!!()!!!!r q n n r n n n C C r n r q n r q p q r --==---叫三项式系数． 例1 （2022·华师大二附中高三练习） 若()()()2880128111x a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，则3a = ．例2 在73x⎛ ⎝的系数是 ．例3 （2022·江西模拟）在 5221y x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的展开式中，含 32x y 的项的系数是（ ）A ．10B ．12C ．15D ．20【题型精练】1. （2022·河南高三月考）在732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，5x 项的系数是（ ）A ．280B ．280-C ．560D ．560-2．（2022·全国高三课时练习）61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数和为___________，展开式中常数项为___________.3．（2022·枣庄模拟）在()622x x y-+的展开式中，含52x y 项的系数为（ ）A ．480B ．480C ．240D ．2404. （2022·汕头模拟）100的展开式中系数为有理数项的共有_______项.【题型二 已知项的系数求参】例4 （2022·四川模拟）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则a =（ ） A ．2B ．2C ．2或2D ．4例5 （2022·武昌模拟）()()611ax x -+的展开式中，3x 项的系数为10，则实数a = .【题型精练】1．（2022·石家庄模拟）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则=a （ ）A ．2B ．2C ．2或2D ．42. （2022·临沂二模）已知 ()5221ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中 x 的系数为（ ） A ．120 B ．40 C ．40 D ．120【题型三 二项式定理的性质】例6 （2022·唐山二模）（多选）已知22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A ．n=9B ．11n =C ．常数项是672D ．展开式中所有项的系数和是1例7 设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【题型精练】1．（2022·高三课时练习）若()*1N nn x ⎛+∈ ⎝⎭的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则n =（ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．82.（2022·广东高三模拟）若n 展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．3. （2022·浙江高三模拟）在1)2n x 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数为（ ） A ．454B ．358-C ．358D ．7【题型四 二项式系数和及系数和问题】方法技巧 系数和问题2012()...n n n ax b a a x a x a x +=++++，令1x =得系数和：01...()n n a a a a b +++=+①；令1x =-得奇数项系数和减去偶数项系数和：01230213...()(...)(...)n n a a a a a a b a a a a -+-=-=++-++②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．例8 （2022·福建泉州科技中学月考）在10(23)x y -的展开式中，求： （1）二项式系数的和； （2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； （4）奇数项系数和与偶数项系数和； （5）x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.【题型精练】1．（2022·常州市新桥高级中学高三模拟）若()5234501234513x a a x a x a x a x a x +=+++++，则012345a a a a a a -+-+-的值为 ．2.（2022·济北中学高三月考）设 ()()54234501234521x m x a a x a x a x a x a x ++-=+++++ .若01234532a a a a a a +++++= ，则实数 m = ， 3a = ．3. （2022·上虞模拟）已知()102100121031x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则3a = ，1012210333a a a ++⋅⋅⋅+= .【题型五 二项式定理的应用】例9 （2022福建省部分名校高三联合测评）（多选）若202051a +能被13整除，则实数a 的值可以为（ ） A ．0 B ．11 C ．12 D ．25例10 71.95的计算结果精确到个位的近似值为 A ．106 B ．107 C ．108 D ．109【题型精练】1.（2022·全国高三课时练习）(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.342. 若1002100012100(21)x a a x a x a x +=++++，则()1359923a a a a ++++-被8整除的余数为___________.。

第03讲二项式定理(精讲）-2第03讲二项式定理（精讲）题型二：二项式系数与各项的系数和问题角度1：二项式系数和与系数和典型例题例题1．（2022·河南河南·高二期末（理））1．()101x -的展开式中所有奇数项的二项式系数和为（）．A ．128B ．256C ．512D ．1024例题2．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二阶段练习）2．已知()*1N nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为256，则展开式中的常数项为（）A ．-70B ．70C ．-40D ．30例题3．（2022·河北唐山·高二期中）3．已知22nx ⎫⎪⎭的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1．(1)求展开式中各项系数的和与二项式系数的和；(2)求展开式中含32x 的项．例题4．（2022·广东茂名·高二期中）4．已知567234012377546(12)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++.求下列各式的值：(1)0127a a a a +++⋅⋅⋅+；(2)0127a a a a +++⋅⋅⋅+；(3)1357a a a a +++.例题5．（2022·江苏宿迁·高二阶段练习）5．在①只有第5项的二项式系数最大，②第4项与第6项的二项式系数相等，③奇数项的二项式系数的和为128，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知，()21nx -的展开式中，_________.(1)展开式中的第6项；(2)若()123*0123(21)n n n x a a x a x a x a x n N -=+++++∈ .①求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值；②求3212132222n n a na a a -++++ 的值.同类题型归类练（2022·上海中学东校高二期末）6．设2002200012200(21)x a a x a x a x -=++++ ，求(1)展开式中各二项式系数的和；(2)12200a a a +++ 的值．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）7．已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭*()N n ∈的展开式中各项的二项式系数之和为16．(1)求n 的值及展开式中各项的系数之和；(2)求展开式中的常数项．（2022·广东·新会陈经纶中学高二期中）8．设(2)10=a0+a 1x +a 2x 2+…+a 10·x 10，求下列各式的值.(1)求a 0；(2)求(a 0+a 2+…+a 10)2－(a 1+a 3+…+a 9)2；(3)求二项式系数的和.（2022·广东·南海中学高二阶段练习）9．()()202222022012202212R x a a x a x a x x -=++++∈ .求：(1)0122022a a a a ++++ ；(2)1352021a a a a +++ ；(3)0122022a a a a ++++ ；(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；(5)求展开式二项式系数最大的项是第几项？(6)1232022232022a a a a ++++ .（2022·重庆长寿·高二期末）10．二项式的展开式()66016a x a a x a x +=++⋅⋅⋅+中，中间项的系数为-160.(1)求a 的值；(2)求016a a a ++⋅⋅⋅+.（2022·河北邯郸·高二阶段练习）11．已知8280128(13)x a a x a x a x-=++++ (1)求128a a a +++ ；(2)求2468a a a a +++.（2022·北京石景山·高二期末）12．在()413x +的展开式中，二项式系数之和为_________；各项系数之和为_________．（用数字作答）（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）13．二项式32()n x x-的展开式中所有的二项式系数之和为64，则n =______，则展开式中含2x 的项的系数为____________．角度2：展开式的逆应用典型例题例题1．（2022·云南昆明·高二期中）14．已知012233C 2C 2C 2C 2C 243n n n n n n n +++++= ，则123C C C C nn n n n ++++=L （）A ．31B ．32C ．15D ．16例题2．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期中）15．已知3029292828130303022C 2C 2C S =+++⋅⋅⋅+，则S 除以10所得的余数是（）A ．2B ．3C ．6D ．8同类题型归类练（2022·山东·临沭县教育和体育局高二期中）16．1223310101010101010180808080(1)8080k k k C C C C -+-++-++ 除以78的余数是（）A ．1-B ．1C ．87-D ．87（2022·北京大兴·高二期末）17．化简1221010101010C 2C 2C 2++⋅⋅⋅+等于（）A ．1021-B ．1031-C ．1021+D ．1031+（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）18．数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+，012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++的值为（）A．761B．697C．518D．454参考答案：1．C【分析】根据奇数项的二项式系数和为22n计算可得；【详解】解：()101x -的展开式中所有奇数项的二项式系数和为1025122=，故选：C ．2．B【分析】首先由二项式系数和为2256n =，求出n ，再写出展开式的通项，即可求出展开式的常数项；【详解】解：依题意可得2256n =，所以8n =，则81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()8821881C C 1rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令820r -=，解得4r =，所以展开式中常数项为()44058C 170T x =-=；故选：B3．(1)二项式系数之和为256，展开式中各项系数的和为1(2)3216x -【分析】（1）展开式的通项为()52122C C 2rn r n rr rrr nn T x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1，求出n 值，即可得二项式系数和2n ，令1x =可得展开式中各项系数的和；（2）利用二项展开式通项公式，令85322r -=即可求解.（1）解：因为22nx ⎫⎪⎭的展开式的通项为()52122C C 2rn r n rr rrr nn T x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以第五项系数为()44C 2n -，第三项系数为()22C 2n -，则()()4422C 210C 2n n-=-，解得8n =或3n =-（舍），所以令1x =可得展开式中各项系数的和为1，二项式系数和为82256=；（2）解：二项式的通项公式为()85218C 2r rr r T x-+=-，令85322r -=，则1r =，所以展开式中含32x 的项为32216T x =-．4．(1)-1(2)2187(3)-1094【分析】（1）令1x =，代入计算即可得结果；（2）令=1x -，代入计算即可得结果；（3）结合（1）（2）两式作差，化简求得结果.（1）令1x =，得70127(1)1a a a a +++⋅⋅⋅+=-=-（2）令=1x -，得7701354263a a a a a a a a +--+--=+由7(12)x -的展开式的通项为()717C 12kkk k k T x -+=⋅-，知1a ，3a ，5a ，7a 为负数所以70127012345673a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-+-+-+-=2187=（3）由01271a a a a +++⋅⋅⋅+=-，70123456732187a a a a a a a a ++=-=-+--得()135722188a a a a +++=-，所以1357218810942a a a a -+++==-5．(1)选①②③答案一样：3448x -(2)①0；②0【分析】（1）选择①②③，均可以计算出8n =，从而写出二项式展开式的通项公式，求出第6项；（2）①赋值法求解123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值；②对8123801238(21)x a a x a x a x a x -=+++++ 求导，再赋值求解.【详解】（1）选①：只有第5项的二项式系数最大，即只有4C n 最大则8n =，则展开式通项公式为()()()888188C 21C 12rrrr rr r r T x x ---+=-=-⋅，当=5r 时，()5533368C 12448T x x =-⋅=-；选②：第4项与第6项的二项式系数相等，即35C C n n =，则8n =，则展开式通项公式为()()()888188C 21C 12rrrrrr r r T x x ---+=-=-⋅，当=5r 时，()5533368C 12448T x x =-⋅=-；选③：奇数项的二项式系数的和为128，即12128n -=，则8n =则展开式通项公式为()()()888188C 21C 12rrrr rr r r T x x ---+=-=-⋅，当=5r 时，()5533368C 12448T x x =-⋅=-；（2）①由第一问可知：8n =，8123801238(21)x a a x a x a x a x -=+++++ ，令1x =得：()801238211a a a a a ++++⋅⋅⋅+=-=，令0x =得：()8011a =-=，所以1238110a a a a +++⋅⋅⋅+=-=②8123801238(21)x a a x a x a x a x -=+++++ ，求导得：727123816(21)238x a a x a x a x ⋅-=++++ ，令12x =得：3821273820222aa a a ++++= 6．(1)2002(2)20031-【分析】（1）根据二项式系数的性质直接求解即可；（2）利用通项公式探索系数与项数的关系，再由赋值法求解即可.（1）由题意，012200200200200200200C C C C 2++++= ，即展开式中各二项式系数的和为2002.（2）由2001200C (2)(1)rrr r T x -+=⋅-可知，1220012345200a a a a a a a a a +++=-+-+-++ ，故令=1x -得：()20020001220033a a a a ++++=-= ，再令0x =得：2000(1)1a =-=，所以2001220031a a a +++=- .7．(1)4n =；展开式中各项的系数之和为81.(2)24【分析】（1）根据二项式系数的性质可求出n ，利用赋值法可求出展开式中各项的系数之和；（2）利用通项公式可求出结果.【详解】（1）由题意知，216n =,解得4n =．在412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，令x ＝1，得展开式中各项的系数之和为4381=.（2）412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()4141C 2kkk k T x x -+⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭244C 2k k k x-=⋅⋅令240k -=，得2k =，所以22214C 224T +=⋅=.即展开式中的常数项为24．8．(1)1024(2)1(3)1024【分析】（1）在已知式中令0x =可得；（2）在已知式中分别令1x =和=1x -，然后相乘可得；（3）由二项式系数的性质可得.（1）令x =0，得a 0=210=1024.（2）令x =1，可得a0+a 1+a 2+…+a 10=(210，①令x =－1，可得a0－a 1+a 2－a 3+…+a 1010.②结合①②可得，(a 0+a 2+…+a 10)2－(a 1+a 3+…+a 9)2=(a 0+a 1+a 2+…+a 10)(a 0－a 1+a 2－…+a 10)=(21010=1.（3）二项式系数的和为010C +110C +…+1010C =210=1024.9．(1)1(2)2022132-(3)20223(4)20222，20212(5)第1012项.(6)4044【分析】（1）令1x =，即可求解；（2）令=1x -，结合（1）即可求解；（3）相当于求展开式()202212x +的系数和，令1x =即可求解；（4）由二项式系数和性质求解即可；（5）由二项式系数的性质可知中间项二项式系数最大，求解即可；（6）()()202222022012202212R x a a x a x a x x -=++++∈ 两边分别求导得()()2021220211232022404412232022R x a a x a x a x x --=+++∈ ，令1x =，即可求解（1）令1x =，得()2022012202211a a a a ++++=-= ①.（2）令=1x -，得20220123202120223a a a a a a -+-+-+= ②.由①-②得()0221352021213a a a a 2+++=- ，20221352021132a a a a -∴+++=.（3）相当于求展开式()202212x +的系数和，令1x =，得202201220223a a a a ++++= .（4）展开式中二项式系数和是012202220222022202220222022C C C C 2+++= .展开式中偶数项的二项系数和是20221352021202120222022202220222C CCC22+++= .（5）展开式有2023项，中间项是第1012项，所以展开式二项式系数最大的项是第1012项.（6）()()202222022012202212R x a a x a x a x x -=++++∈ 两边分别求导得：()()2021220211232022404412232022R x a a x a x a x x --=+++∈ ，令1x =，得12320222320224044a a a a ++++= .10．(1)-2；(2)729.【分析】（1）求出二项式的展开式的中间项即可计算得解.（2）利用赋值法直接计算作答.（1）依题意，()6a x +展开式的中间项为3333346C 20T a x a x ==，因此320160a =-，解得2a =-，所以a 的值是-2.（2）由（1）知()()66601622x x a a x a x -+=-=++⋅⋅⋅+，显然，135,,a a a 均为负数，另4项的系数为正数，取=1x -，有601601234563729a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=-+-+-+==，所以016729a a a ++⋅⋅⋅+=.11．(1)255(2)32895【分析】（1）分别赋值0和1即可得解；（2）赋值-1结合（1）的结论可求解（1）令0x =，则01a =.令1x =，则88018(131)2a a a +++=-⨯= ，①故()8128018021255a a a a a a a +++=+++-=-= .（2）令=1x -，则81601234567842a a a a a a a a a -+-+-+-+==，②①+②可得8167150246822222a a a a a +++++==+，故715246822132895a a a a +++=+-=.12．16256【分析】根据二项式系数和公式2n 求得二项式系数之和；再用赋值法求各项系数之和.【详解】在()413x +的展开式中，二项式系数之和为4216=；令1x =，()413256+=，即各项系数和为256.故答案为：①16；②256.13．6240【分析】首先求出n ，再写出展开式的通项，令1842r -=，解得r ，最后代入计算可得；【详解】解：由已知可得264n =，解得6n =，故632x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()63184166C 22C rr r r r r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅- ⎪⎝⎭，令1842r -=，解得4r =，则展开式中含2x 项的系数为()446C 2240⋅-=，故答案为：6；240．14．A【分析】根据二项式定理的逆用即可得到()12243n+=，进而可求n =5，根据二项式系数即可求解.【详解】逆用二项式定理得()012233C 2C 2C 2C 2C 12243n n n n n n n n ++++⋅⋅⋅+=+=，即533=n ，所以n =5，所以1235C C C C 2131n n n n n +++⋅⋅⋅+=-=．故选:A15．D【分析】依题意()151011S =--，再根据()15101-的展开式即可判断；【详解】解：()30302929282811530303022C 2C 2C 21191S =+++⋅⋅⋅+=+-=-()151011=--()()()()011415015114141515151515C 101C 101C 101C 11=⨯⨯-+⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯⨯-+⨯--()()()011401511414151515C 101C 101C 1012=⨯⨯-+⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯⨯--，所以S 除以10的余数为8．故选：D ．16．B【分析】根据二项式定理将已知合并得原式等于1079，再结合()101079178=+展开整理即可得答案.【详解】因为()()101223310101010101010108180C 80C 80C 10C 90C 18079k k k -+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+=-=所以()1010012210101010101079178C C 8C 8C 7787=+=+++⋅⋅⋅+，除了第一项之外，其余每一项都含有78的倍数，所以原式除以78的余数为1.故选:B ．17．B【分析】由二项式定理写出011221010101010001C 2+C 2C 2...C 2+++对应的二项式，即可得答案.【详解】由0112210101010100001011C 2+C 2C 2..(12).3C 2=+=+++，所以1122101010101100C 2C 2...3C 21+=++-.故选：B18．D【分析】由()1121n n a a ++=+，结合等比数列的定义和通项公式可求出21n n a =-，结合二项式定理可求出012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++的值.【详解】解：因为()112221n n n a a a ++=+=+，又11a =，所以{}1n a +以2为首项，2为公比的等比数列，所以11222n n n a -+=⨯=，所以21n n a =-，则012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++()01223344556012345555555555555C 2C 2C 2C 2C 2C 2C C C C C C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+++++又01223344556555555C 2C 2C 2C 2C 2C 2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()0011223344555555552C 2C 2C 2C 2C 2C 2=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()5212486=⨯+=，0123455555555C C C C C C 232+++++==，所以012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++48632454=-=，故选：D。

8.2二项式定理（精讲）一．二项式定理1.二项式定理：（a ＋b ）n ＝C n 0a n ＋C n 1a n －1b 1＋…＋C n k an －k b k ＋…＋C n n b n（n ∈N *） ①项数为n ＋1②各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n③字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列， 从第一项起，次数由零逐项增1直到n .2.通项公式：T k ＋1＝C n k an －k b k =g （r ）·x h （r ）它表示第k ＋1项①h （r ）＝0∈T r ＋1是常数项； ②h （r ）是非负整数∈T r ＋1是整式项； ③h （r ）是负整数∈T r ＋1是分式项； ④h （r ）是整数∈T r ＋1是有理项.3.二项式系数：二项展开式中各项的系数为C n 0，C n 1，…，C n n .二.二项式系数的性质一．形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤①写出二项展开式的通项公式T k ＋1＝C n k an －k b k ，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)； ②根据题目中的相关条件列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；③把k 代入通项公式中，即可求出T k ＋1，有时还需要先求n ，再求k ，才能求出T k ＋1或者其他量． 二．求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 ①根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式；②根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到； ③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量． 三.求二项式系数最大项1.如果n 是偶数，那么中间一项(第n2+1项)的二项式系数最大； 2，如果n 是奇数，那么中间两项(第n+12项与第n+12+1项)的二项式系数相等且最大.四.求展开式系数最大项求（a ＋bx ）n （a ，b ∈R ）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用{A k ≥A k -1,A k ≥A k+1,解出k .五．求三项展开式中特定项（系数）的方法方法一：通过变形把三项式化为二项式，再用二项式定理求解 方法二：两次利用二项展开式的通项求解方法三：利用排列组合的基本原理去求，把三项式看作几个因式之积，得到特定项有多少种方法从这几个因式中取因式中的量 六．二项式定理应用1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．考点一 二项式定理的展开式【例1】（2023广西柳州）化简2341632248x x x x -+-+=（ ） A ．4x B ．()42x -C ．()42x +D ．()412x -【一隅三反】1．（2022·高二课时练习）设A ＝37＋27C ·35＋47C ·33＋67C ·3，B ＝17C ·36＋37C ·34＋57C ·32＋1，则A －B 的值为( ) A ．128B ．129C ．47D ．02．（2023·重庆九龙坡）1231261823n n n n n n C C C C -+++⋯+⨯=A ．2123n + B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 考点二 二项式指定项的系数【例21】（2023·全国·高三专题练习）在二项式82x ⎫⎪⎭的展开式中，含x 的项的二项式系数为（ ）A ．28B ．56C ．70D ．112【例22】（2022·甘肃兰州·统考一模）6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ）A ．40B ．40C ．20D ．20【例23】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）6211(2)2x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）A ．270B ．240C ．210D ．180【例24】（2023·四川绵阳·统考二模）()32+nx 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【一隅三反】1．（2023·北京·高三专题练习）在二项式x x - ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的二项式系数为（ ）A ．5B ．5-C ．10D ．10-2．（2023·河南驻马店·统考二模）51(1)2x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A ．－112B ．－48C ．48D ．1123．（2023·全国·高三对口高考）在12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）A ．7-B ．7C ．358-D ．358考点三 三项式指定项系数【例3】（2023·全国·高三专题练习）52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（ ）A ．252B ．220C ．220D ．252【一隅三反】1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）()52x x y -+的展开式中52x y 的系数为（ ）A ．10-B ．10C ．30-D ．302．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）6(23)x y z +-的展开式中23xy z 的系数为 （用数字作答）．3．（2023秋·福建三明·高三统考期末）512x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中常数项是 .（答案用数字作答）4．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知二项式51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x y 的项的系数为40-，则=a ．考点四 二项式系数性质【例4】（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）()612x +的展开式中二项式系数最大的项是（ ）A ．160B ．240C ．3160xD ．4240x【一隅三反】1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）x x + ⎪⎝⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数项是252-，则下列说法正确的是（ ）A ．10n =B ．各项的二项式系数之和为1024C ．1a =-D ．各项的系数之和为10242．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知(12)n x -的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，则展开式中的常数项为 ．考法五 系数最大项和系数和【例51】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）()82x +的二项展开式中系数最大的项为 . 【例52】．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）（多选）已知函数()()626012612f x x a a x a x a x =-=+++⋅⋅⋅+（i a ∈R ，0,1,2,3,,6i =⋅⋅⋅）的定义域为R ，则（ ）A ．01261a a a a +++⋅⋅⋅+=-B ．135364a a a ++=-C ．123623612a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．()5f 被8整除余数为1【一隅三反】1．（2023·全国·模拟预测）81x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项为（ ）A ．70B ．56C ．3556x y 或5356x yD ．4470x y2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知()13nx +的展开式中前三项的二项式系数和为79，则展开式中系数最大的项为第（ ）A ．7项B ．8项C ．9项D ．10项 3．（2023春·山东青岛）（多选）已知9290129(12)x a a x a x a x +=++++，则（ ）A ．2144a =B ．9012893a a a a a +++++=C ．81379024682a a a a a a a a a +++=++++= D ．(0,1,2,,8,9)i a i =的最大值为6a4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若()()()()102100121021111x a a x a x a x -=+-+-++-，x ∈R ，则（ ）A ．01a =B ．1012103a a a +++=C ．2180a =D ．9123102310103a a a a ++++=⨯考法六 二项式定理的应用【例61】（2023春·课时练习）设n 为奇数，那么11221111111111n n n n n n n C C C ---+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-除以13的余数是（ ）A ．3-B ．2C ．10D ．11【例62】（2023北京）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过20212天后是（ ） A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六【例63】（2023·全国·高三专题练习）6(1.05) ． 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）81.02≈ （小数点后保留三位小数）． 2．（2023·辽宁丹东·统考一模）282除以7所得余数为 ． 3．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈ （精确到0.01）。

6.3 二项式定理(精讲)思维导图考法一 二项式定理展开式【例1】(1)求41(3x )x+的展开式为 ． (2)(2020·江苏省太湖高级中学高二期中)已知012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=，则n 的值为【答案】(1)1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2【解析】(1)方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)由012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=得常见考法()()()()()0120312312301414141414729nn n n n n nn n n n C C C C C ---⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅-⋅-+++=⋅则()12479n-=，即()()672933n =-=-，解得6n =.【举一反三】1．(2021·全国课时练习)化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( ) A ．(2x+2)5 B ．2x 5 C ．(2x-1)5 D ．32x 5【答案】D【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作()()55211rrrC x -+-，故为()5211x ⎡⎤+-⎣⎦的展开式，化简()()555211232x x x ⎡⎤+-==⎣⎦.故选D. 2．(2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中)化简：2012222412333...3n n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=_________.【答案】101n -【解析】()()()()112021211212(31)3131 (3)131n n n n n n n n nnnC C CC ----+=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯则2012222412233331(31)10n n n n n nn n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅+=+=所以2012222412333...3101nn n n n n n n n C C C C ---⋅+⋅+⋅++⋅=-故答案为：101n -.考法二 二项式指定项的系数与二项式系数【例2】(1)(2020·全国高二单元测试)在(x -3)10的展开式中，x 6的系数是(2)(2020·广东佛山市·高二期末)二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是______(用数字作答)(3)(2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考)3031x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的有理项共有 项【答案】(1)9410C (2)70(3)6【解析】(1)由T k +1=10kC x 10-k (-3)k ，令10-k =6，解得k =4，∴系数为(-3)4410C =9410C(2)二项式81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式8821881r r r rr r T C x C x x --+==，令820r -=，得4r =,则常数项为4588765==704321T C ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，故答案为：70(3)3031x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式为：()5301036130301rrrrr r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，061051730300,,6,r T x r T x C C ====， 12180513********,,18,r T x r T x C C -====，243010152531303024,,30,r T x r T x C C --====，所以有理项共有6项，故选：C 【举一反三】1．(2020·北京市鲁迅中学高二月考)二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.(用数字作答) 【答案】60【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T Cx C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.2.(2021·上海青浦区)在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中，常数项是_______.【答案】60【解析】展开式的通项公式是()626123166122rrrr rr r T C xC x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，当1230r -=时，4r = 24416260T C +=⋅=.故答案为603.．(2020·青海西宁市)若83a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______. 【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式可得：48883318883=rr r r r r r r r r r a T C x C a x C a x x ----+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令4843r -=，可得3r =，3388==7r r C a C a ，解得：12a =，故答案为：124．(2020·梁河县)已知31(2)n x x+的展开式的常数项是第7项，则n =________.【答案】8【解析】根据题意，可知第7项为()666366324122n n n n n C xC x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，而常数项是第7项，则 3240n -=，故8n =.故答案为：8.考法三 多项式系数或二项式系数【例3】(1)(2020·福建三明市·高二期末)52212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是( ) A ．-252B ．-220C ．220D ．252(2)．(2021·四川成都市)若5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为80-，则a =( )A ．2B ．1C ．2-D ．1-【答案】(1)A(2)C 【解析】(1)由2510211(2)()x x x x+-=-， 可得二项式101()x x-的展开式通项为10102110101()(1)rrr r r r r T C xC x x--+=-=-， 令1020r -=，解得=5r ，所以展开式的常数项为5510(1)252C -=-.故选：A.(2)5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为：55251(1)r r r r r T C a x--+=⋅⋅⋅-，显然，25r -为奇数， 若求5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项，251r ∴-=-，解得2r故5(2)a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项等于：23580C a ⋅=-2a ∴=-故选：C.【举一反三】1．(2020·全国高三专题练习)4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为( ).A ．11B ．11-C ．8D ．7-【答案】B 【解析】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421()(1)r r rr T C x x-+=+- 421()r x x-+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x -----+--=⋅=取430r m --=当0m =时，4r = 系数为：40440(1)1C C ⨯⨯-= 当1m =时，1r = 系数为：11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=- 故答案选B2．(2020·全国高三专题练习)524131x x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为( )A ．30-B ．30C ．25-D ．25【答案】C【解析】511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的通项为151(1)r r r r T C x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 5522411311x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 55141311x x x x ⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，根据式子可知当4r = 或2r时有常数项，令4r =414551(1)T C x ⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭ ; 令2323512(1)r T C x ⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭;故所求常数项为13553C C -⨯53025=-=- ，故选C.3．(2020·河南商丘市)()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为( )A ．6B ．10C ．15D ．16【答案】D【解析】由题意得611x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()160,1,2,,6r r r T C x r -+=⋅=⋅⋅⋅，令4r =，则4615C =，所以()64111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为11516+=.故选：D. 4．(2020·枣庄市第三中学高二月考)在1020201(1)x x++的展开式中，x 2项的系数为( ) A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】B【解析】在1020201(1)x x ++的展开式中，通项公式为T r +110rC =•20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.对于20201rx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，通项公式为T k +1kr C =•x r ﹣2021k ，k ≤r ，r 、k ∈N ，r ≤10.令r ﹣2021k ＝2，可得r ＝2+2021k ，故k ＝0，r ＝2，故x 2项的系数为210C •02C =45，故选：B .5．(2020·全国高二专题练习)若()1021x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为30，则a 等于( ) A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】D【解析】将题中所给式子可化为()10101022111x a x x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据二项式定理展开式通项为1C rn rrr nT a b -+=,101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为10102110101rr r r r r T C xC x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭令1024r-= 解得3r =所以6x 的项为234610120x C xx ⋅=令1026r -=解得2r所以6x 的项为2661045a C x ax -⋅=-综上可知, 6x 的系数为1204530a -= 解得2a = 故选:D考法四 二项式定理的性质【例2】(1)(多选)(2020·全国高二单元测试)111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项D ．第8项(2)(2020·山东省桓台第一中学高二期中)(多选)二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为( ).A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第八项(3)(2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高二开学考试)若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．462-B ．462C ．792D ．792-【答案】(1)BC(2)BC(3)D【解析】(1)因为n ＝11为奇数，所以展开式中第1112+项和第11112++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.故选：BC(2)二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项 所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC(3)∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =. 121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ． 【举一反三】1．(2020·辽宁沈阳市·高二期中)在()()1nx n N +-∈的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为( )A ．960B ．1120C ．-560D ．-960【答案】B【解析】在(x ﹣1)n(n ∈N +)的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，则1(2)n x x -=812x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为T r+1=8r C •28﹣r•(﹣1)r •x 4﹣r ， 令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为48C •24•(﹣1)4=1120，故选B ．2．(2021·湖南常德市)(ax +1x )(2x −1)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )A ．B ．C ．10D ．20【答案】C【解析】由已知，当x =1时，(a +11)(2−1)5=2,即a =1，所以(x +1x )(2x −1)5展开式中常数项为1x ×C 542x ×(−1)4=10，故选C . 3．(多选)(2020·三亚华侨学校高二开学考试)已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】ABC【解析】∵已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数4n C 最大,则7n =或n ＝8或n ＝9故选：ABC .4．(2020·全国高二课时练习)已知6(31)x +展开式中各项系数的和为m ，且2log n m =，求2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数最大的项的系数 . 【答案】59136【解析】设6260126(31)x a a x a x a x +=++++，令1x =，得6612(31)42m =+==，所以2log 12n m ==，则122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中有13项，且中间一项(第7项)的二项式系数最大，该项为6666633712122()(2)59136T C x C x x x --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故所求的系数为59136.5．(2020·重庆市第七中学校高二月考)二项式()*122nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ 的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_________． 【答案】-20【解析】由题意知，展开式中有7项，6n =．因为 ()661122rrr Tr C x x -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()6262612r r r rC x --=- 令620r -=，得3r =，所以常数项为()336120C -=-．考法五 二项式系数或系数和【例5】(2020·安徽省泗县)若2701277()(12)f x x a a x a x a x =+=++++.求：(1)017a a a ++⋯+； (2)1357a a a a +++； (3)0127a a a a ++++.【答案】(1)27；(2)14；(3)27.【解析】(1)令1x =，可得301235674()3271f a a a a a a a a ==+++++++=，∴4012356727a a a a a a a a ++++++=+．①(2)令1x =-可得301235674(1)(1)f a a a a a a a a -=-=-+-+-+-，∴401235671a a a a a a a a +-+-+-=--．② 由①-②得13572()28a a a a +++=， ∴135714a a a a +++=．(3)由题意得二项式7(12)x +展开式的通项为177(2)2r r r r r r T C x C x +==，∴每项的系数0(0,1,2,,7)i a i >=，∴01235017647227a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=+．【举一反三】1．(2020·北京朝阳区·高二期末)在5(21)x +的二项展开式中，二项式系数之和为___________；所有项的系数之和为_______. 【答案】32 243【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为52232n ==， 令1x =可得所有项的系数之和为55(211)3243==⨯+，故答案为：32，2432．(2020·全国高二单元测试)若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝ 【答案】1【解析】令1x =，得()10011021a a a +++=-，令1x =-，得()1001231021a a a a a -+-++=+，()()220210139a a a a a a +++-+++()()0110012310a a a a a a a a =+++-+-++()()101021211=+-=.故选：A.3．(2020·福建厦门市·厦门双十中学高二期中)已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++ ，则12101121011a a a a -+-+=_____.【答案】22【解析】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +++两边求导，得101222(12)2x a a x+=+91010111011a x a x +++，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=.4．(2020·宁县第二中学高二期中)设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++展开式中只有第1010项的二项式系数最大．(1)求n ；(2)求012n a a a a ++++; (3)求.312232222n n a a a a ++++. 【答案】(1)2018；(2)20183；(3)-1.【解析】(1)由二项式系数的对称性，1101020182n n +=∴= (2)201801220180122018=3a a a a a a a a ++++-+++= (3)令0x = ，得20180(10)1a =-=， 令12x =，得21232018232018(11)02222a a a a ++++=-=，故3201812023201812222a a a a a +++=-=-.考法六 二项式定理运用【例6】(1)(2020·上海市七宝中学高二期中)7271除以100的余数是________(2)(2020·全国高二单元测试)6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________【答案】(1)41(2)1.34【解析】(1)()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++21072701()m m N =+⨯+∈2105041m =+ 即7271除以100的余数为41．故答案为：41．(2)()()66122661.0510.051+0.05+0.05+1+0.3+0.0375=1.3375 1.34C C =+=⋅⋅≈≈故答案为：1.34【举一反三】1．(2020·四川棠湖中学高二月考)已知202074a +能够被15整除，则a =________.【答案】14【解析】由题可知，()0202020275714=-()()()()0120192020020201201920191202002020202020202020751751751751C C C C =-+-++-+- 0202012019201912020202020207575751C C C =-+-+所以0202012019201912020202022020200775754751C C C a a =-++-++，而75能被15整除，要使202074a +能够被15整除，只需1a +能被15整除即可， 所以115a +=，解得：14a =.故答案为：14.2．(2020·江苏泰州市·泰州中学高二期中)83被5除所得的余数是_____________．【答案】1【解析】因为883(52)=-0817262778088888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++⋅⨯-+⋅⨯- 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++-+⋅⨯-，所以转化为求80885(2)256C ⋅⨯-=被5除所得的余数， 因为2565151=⨯+，所以83被5除所得的余数是1，故答案为：13．(2021·河北保定市)60.99的计算结果精确到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】()()()()6620126666330.9910.0110.010.010.01...C C C C =-=⨯-⨯+⨯-⨯ 10.060.00150.00002...=-+- 0.941≈故选B。

二项式定理一、 求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（ ） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项 【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展示式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、二项式的展开式中的常数项为 ． 【答案】112【解析】由二项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第一项取时，，此时的展开式中常数为；当第一项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是 ．【答案】 332，30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰()622x ⎛⋅+ ⎝332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰的展开式的通项为，所以所求常数项为．二、 求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ． 【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是 ． 【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为． 10、已知，那么展开式中含项的系数为 ． 【答案】135【解析】根据题意，，则中，由二项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在二项式 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-⋅⋅3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 336)(2x C -226)(x -x C -⋅）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1⎰=nx x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=⎰==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ⨯=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=⨯=1)2nx =n【答案】，．【解析】由二项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最大值，∴，第4项为． 13、如果，那么的值等于（ ） （A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代入二项式，得，令，代入二项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0， 所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于 ．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-⋅=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯0(sin cos )k x x dx π=-⎰8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a +++⋅⋅⋅+=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰，令得：，即 再令得：，即 所以18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r ？？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r？？54﹣r=1×6×25=150，19、设，则 ． 【答案】【解析】， 所以令，得到， 所以 三、 求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、二项式的展开式中的系数为15，则（ ）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -⨯=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯K 01a =12380a a a a +++⋅⋅⋅+=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =45672533333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，． 23、若的展开式中的系数为10，则实数（ ） A1 B ．或1 C ．2或 D ． 【答案】B．【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式，∴或，故选B ． 24、设，当时，等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ． 【解析】令，则可得，故选C ． 四、 其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数． 试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣？20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+⋅=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=⇒=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=n 1x =2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-。

6.3二项式定理考法一二项式的展开式【例1-1】（2023上·高二课时练习）求411x ⎛⎫⎪⎝⎭+的展开式．【答案】答案见解析【解析】4123404132231404444411111C 1C 1C C 1C 1111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎭⎝⎝⎭⎝⎭23446411x x x x =++++．【例1-2】（2023·黑龙江）()12312C 4C 8C 2C nnn n n n -+-++-= （）.A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n【答案】C【解析】原式=()()()()()()0120122222121n n nn n n n n -+-+-++-=-=-C C C C L .故选：C.【一隅三反】1．（2023·甘肃）若对x ∀∈R ，()()()()()()55432252102102521ax b x x x x x +=+-+++-+++-恒成立，其中,a b ∈R ，则a b +=（）A ．1-B ．0C ．2D ．3【答案】C【解析】由()()()()()()()543255252102102521211x x x x x x x +-+++-+++-=+-=+，得()()551ax b x +=+，所以1a b ==，2a b +=.故选：C.2．（2023·安徽安庆）如果12212C 2C 2C 2187n n n n n ++++= ，则22223C C C n +++=.【答案】56【解析】依题意，1220012212C 2C 2C 2C 2C 2C 2C n n n n n n n n n n n+++++++=+ ()1232187nn =+==，解得7n =，222322237337C C C C C C =++++++ 32232224475567C C C C C C C =+++=+++ 322323667778C C C C C C 87656321⨯⨯=====⨯⨯+++.故答案为：563．（2023·高二课时练习）（1）求4⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式（2）求()()55211x x x -++的展开式；（3）化简()()()()()5432151********x x x x x -+-+-+-+-．【答案】（1）221218110854x x x x-+-+（2）答案见解析；（3）51x -【解析】（1）()4442131x x ⎛⎫⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎭()()()()()()()()432234012344444421C 3C 31C 31C 31C 1x x x x x⎡⎤=+⋅-+⋅-+⋅-+-⎣⎦()432218110854121x x x x x=-+-+221218110854x x x x =-+-+.（2）()()()5555223(1)1(1)11x x x x x x x -++-++⎦=⎣-⎡⎤=()()()()()123405314323332341355555C 1C 1C 1C 1C 1x x x x x =⨯⨯⨯+⨯+⨯-+-+---()55035C 1x+⨯-3691215151010 5x x x x x =-+-+-.（3）原式0514********555555C (1)C (1)C (1)C (1)C (1)C (1)1x x x x x x =-+-+-+-+-+--55[(1)1]11x x =-+-=-.考法二二项式指定项的系数【例2-1】（2024·四川绵阳）51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为（）A ．5-B ．10-C ．5D ．10【答案】A【解析】51x ⎫⎪⎭的展开式的通项为53521551C (1)C rr r r r rr T x x --+⎛⎫=⋅⎭⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝．令5312r-=，得1r =．x ∴的系数为15C 5-=-．故选：A ．【例2-2】．（2024·湖南）二项式741x ⎫-⎪⎭的展开式中常数项为（）A ．7-B ．21-C ．7D ．21【答案】A【解析】二项式741x ⎫⎪⎭的通项公式为()14147317741C C 1rrrr r rr T x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令1414013r r -=⇒=，所以常数项为()17C 17⋅-=-，故选：A 【例2-3】（2024·云南）写出623x⎛⎝展开式中的一个有理项为.【答案】12729x （答案不唯一）【解析】623x⎛⎝展开式的通项公式为所以展开式中的有理项分别为：0r =时，6121213729T x x ==；2r =时，4277363C 1215T x x ==；4r =时，2422563C 135T x x ==；6r =时，37-=T x .故答案为：12729x （四个有理项任写其一均可）.【一隅三反】1．（2024·河南）29(2x x-展开式中的常数项为（）A ．672B ．672-C ．5376-D ．5376【答案】D【解析】二项式29(2)x x -的展开式的通项218319992C )()(N 2)C (,9,r r r r r rr T r x xr x--+=-=-≤∈，令1830r -=，得6r =，所以二项展开式中的常数项为669C 2)7(536-=.故选：D2．（2024安徽）9a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中含3x 项的系数为84-，则实数a 的值为（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-【答案】A 【解析】()992199C C 0,1,2,,9rr rr r r r a T xa x r x --+⎛⎫=⋅==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令923r -=，得3r =．∴3333349C 84T a x a x ==，依题意38484a =-，∴1a =-．故选：A.3．（2023·全国·模拟预测）5的展开式中，有理项是第项．【答案】3【解析】5的展开式的通项511051362155C 3C 3kkkk k k k T x x x ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅，其中0,1,2,3,4,5k =，当1k T +为有理项时，1056k-为整数，结合0,1,2,3,4,5k =，所以2k =，即有理项是展开式中的第3项，故答案为：3考法三两个二项式乘积的系数【例3-1】（2024·广东广州）在()()511x x +-展开式中3x 的系数为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】显然()()()()5551111x x x x x +-=-+-，则()51x -展开式第1r +项55155,N,5C (1)C (1)r rr rr r r T xr x r --+-∈=-≤=，当3r =时，33235C (1)10x x x ⋅-=-，当2r =时，22335C (1)10x x -=，所以展开式中含3x 的项为3310100x x -+=，即展开式中3x 的系数为0.故选：B【例3-2】（2023·全国·模拟预测）()7y m x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中34x y 的系数为105-，则实数m =（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【解析】()7x y -的展开式的通项公式为()7171C r r r rr T x y -+=-，所以()61171C r r r r r y T x y x-++=-．令6314r r -=⎧⎨+=⎩，解得3r =，()7171C r r r rr mT m x y -+=⋅-．令734r r -=⎧⎨=⎩，解得4r =．由题意，可知()()()3434343777771C 1C C C 1C 105m m m -+⋅-=-+=-=-，所以2m =-．故选：D ．【一隅三反】1．（2023·湖北）若()()542x m x --的展开式中的3x 的系数为600-，则实数m =（）A ．8B ．7C ．9D ．10【答案】B【解析】由题意知，()52x -展开式的通项公式为()55C 2rr rx --，故3x 的系数为()()3232554C 2C 232040600m m ⨯---=--=-，解得7m =.故选：B ．2．（2024·广东·）()()42112x x +⋅-的展开式中3x 的系数为.【答案】40-【解析】()()42112x x +⋅-的展开式中3x 的项为：()()313213441C 2C 240x x x x ⨯-+⨯-=-，所以展开式中3x 的系数为40-.故答案为：40-3．（2024·山东滨州）()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为．（用数字作答）【答案】40-【解析】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r rr r r T x y x y --+=-=-，令2r =得，()22424236C 260T x y x y =-=，此时4242602120x y x y ⋅=，令3r =得，()33333346C 2160T x y x y =-=-，此时3342160160xx y x y y-⋅=-，故42x y 的系数为12016040-=-故答案为：40-考法四三项式指定项的系数【例4-1】（2023·全国·校联考模拟预测）在6221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（）A ．721B ．-61C ．181D ．-59【答案】D【解析】6221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ =()6221x x ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦的展开式的通项公式为1r T +=()6622C 1rrrx x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭=()()626C 21r r rr x x ---+，其中()66rx -+的展开式的通项公式为1k T +=66C kr kr x---，当0r =时，60r k --=，6k ∴=，常数项为()00666C C 2-；当1r =时，62r k --=，3k ∴=，常数项为()1365C C 2-；当2r =时，64r k --=，0k ∴=，常数项为()22064C C 2-；故常数项为()00666C C 2-+()1365C C 2-+()22064C C 259-=-.故选：D【例4-2】（2023·广东广州）()522x x y +-的展开式中52x y 的系数为（用数字作答）.【答案】120【解析】由于()22522x y x y x =⋅⋅，所以()522x x y +-的展开式中含52x y 的项为()()222211252532C 2C C 120x x y x y ⨯⨯-=，所以()522x x y +-的展开式中52x y 的系数为120.故答案为：120【一隅三反】1（2023上·高二课时练习）()52123x x +-的展开式中5x 的系数为．【答案】92【解析】()()()5552123113x x x x +-=-+，又()51x -展开式的通项()()5155C 1C 1,0,1,2,3,4,5rrr r r r r T x x r -+=-=-=，()513x +展开式的通项()5155C 13C 3,0,1,2,3,4,5kk k k k k k S x x k -+===，所以含5x 的项为162534435261T S T S T S T S T S T S ++⋅+⋅++则含5x 的系数()()()()()()012345055144233322411500555555555555C 1C 3C 1C 3C 1C 3C 1C 3C 1C 3C 1C 392-+-+-+-+-+-=.故答案为：92.2．（2024·福建）412x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A ．72-B ．70-C ．70D ．72【答案】C【解析】方法一：8412xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开式中，第()1r +项()84188C 1C rrrrrr r T x--+⎛==- ⎝，所以常数项为()44581C 70T =-=，方法二：441122x x x x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎛⎫+-+ ⎢⎭⎝⎣⎪⎭⎥⎝⎦展开式中，第()1r +项()4141C 2rrrr T x x -+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当0r =时，()4041C 2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为24C 6=；当2r =时，()22241C 2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为21424C C 48⨯=；当4r =时，()04441C 216x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以412x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为70，故选：C ．3．（2023上·河北唐山）()423a b c --的展开式中2abc 的系数为（）A ．208B ．216-C ．217D ．218-【答案】B【解析】根据二项式定理可得，()423a b c --的展开式中，含2abc 的项为()()211122432C C 2C 3216a b c abc ⋅⋅⋅-⋅⋅-=-.所以，()423a b c --的展开式中2abc 的系数为216-.故选：B.考法五（二项式）系数的最值【例5-1】（2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）在二项式612x ⎫⎪⎭的展开式中，二项式系数最大的是（）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第3项和第4项【答案】B【解析】二项式612x ⎫⎪⎭的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.故选：B.【例5-2】（2023·四川雅安）10(1)x -的展开式中，系数最小的项是（）A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项【答案】C【解析】依题意，10(1)x -的展开通项公式为()11010C ()(1)N C 010,r r r r r r T x x r r +≤≤=-=∈-，其系数为10(1)C r r-，当r 为奇数时，10(1)C r r-才能取得最小值，又由二项式系数的性质可知，510C 是{}10C r 的最大项，所以当=5r 时，10(1)C r r-取得最小值，即第6项的系数最小.故选：C ．【一隅三反】1．（2022·重庆）（多选）若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项【答案】BC【解析】 1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为211rr n r r n rr n n T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为展开式中第3项与第8项的系数相等，∴27nnC C =，所以9n =，则91x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项；故选：BC ．2．（2024·海南）在()1nx +的二项展开式中，系数最大的项为3x 和4x ，则展开式中含x 项的系数为．【答案】7【解析】()1C 0,1,,kn kk n T xk n -+==⋅⋅⋅，因为系数最大的项为3x和4x ，所以n 为奇数，1142n n +⎛⎫--= ⎪⎝⎭，且132n n +-=，解得7n =．所以含x 项的系数为67C 7=．故答案为：73．（2023·上海嘉定）已知6(12)x +的二项展开式中系数最大的项为．【答案】4240x 【解析】设系数最大的项为()61C 2kkk T x +=，则11661166C 2C 2C 2C 2k k k k k k k k ++--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，解得111433k ≤≤，因为06k ≤≤且k 为整数，所以4k =，此时最大的项为()44456C 2240T x x ==.故答案为：4240x 4．（2023·上海）二项式()71x -的展开式中，系数最大的项为．【答案】335x 【解析】()71x -展开式通项公式为()717C 1rr rr T x -+=-，07r ≤≤且r 为整数.要想系数最大，则r 为偶数，其中()007717C 1T x x =-=，()225537C 121T x x =-=，()44357C 135T x x 3=-=，()6677C 17T x x =-=，显然系数最大项为3535T x =.故答案为：335x 考法六（二项式）系数和--赋值法【例6-1】（2023·广东佛山）（多选）已知()()()()102108012102111x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则下列结论正确的是（）A ．02a =B ．217a =C ．13579384a a a a a ++++=D ．0121023116144a a a a ++++= 【答案】ACD【解析】对于A ，令=1x -，则1080(12)(1)112a =-++-=+=，故A 正确；对于B ，因为108108(2)[(1)1][(1)1]x x x x ++=++++-，所以8662108C C (1)73a =+⋅-=，B 错误；对于C ，令0x =，则10011021024a a a +++== ，令2x =-，则8012102256a a a a -+-+== ，所以1357910242563842a a a a a -++++==，故C 正确；对于D ，由选项B 可知，977564110831084108C C (1)2,C C 64,C C 280a a a =+-==+⨯=-==，5342312510861087108810C C 196,C C 238,C C 112,C 146,a a a a =-==+==-==+=109101010C 10,C 1a a ====，所以01210231122237346452806196a a a a +++⋯+=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯7238811294610101116144+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 正确.故选：ACD.【例6-2】（2023·广东佛山）（多选）若5250125(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++- ，其中(0,1,,5)i a i = 为实数，则（）A ．01a =B ．310a =C ．13516a a a ++=-D ．1251a a a +++= 【答案】AC【解析】令1x =可得01a =，A 正确.()5511x x =-+，其展开式的第三项是()()33235C 1101T x x =-=--，所以310a =-，B 不正确.令0x =可得01250a a a a ++++= ，所以1251a a a +++=- ，D 不正确.令2x =可得012532a a a a -++-= ，与01250a a a a ++++= 相减可得13516a a a ++=-，C 正确.故选：AC【一隅三反】1．（2023·河北）（多选）若()()20232320230123202332R x a a x a x a x a x x -=+++++∈ ，则（）A ．202302a =B ．20230242022152a a a a -++++=C ．20231352023512a a a a --++++=D ．20233202312232023213333a a a a ++++=- 【答案】BD【解析】对于A ，当0x =时，()20232023022a =-=-，A 错误；对于B ，C ，当1x =时，20230123202311a a a a a +++++== ，当=1x -时，20230123202220235a a a a a a -+-++-=- ，所以20230242022152a a a a -++++= ，13a a+202352023512a a ++++= ，所以B 正确，C 错误；对于D ，当13x =时，20232023120220231323333a a a a ⎛⎫⨯-=++++ ⎪⎝⎭，所以()20232023123202302320231213333a a a a a ++++=--=- ，D 正确．故选：BD ．2．（2023·江苏扬州·高二统考期中）（多选）()201212nn n x a a x a x a x -=++++ 的展开式中第3项和第11项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（）A ．第7项的二项式系数最大B ．所有奇数项二项式系数的和为132C ．21212121222a a a+++=- D ．12312231212a a a a ++++=- 【答案】AC【解析】由题意，可得210C C n n =，所以12n =，对于A 中，根据二项式定理的性质，可得中间项第7项的二项式系数最大，所以A 正确；对于B 中，根据二项式系数的性质，可得所有奇数项二项式系数的和为112，所以B 错误；对于C 中，对于C 中，令12x =，可得1212122102(11)0222a a a a ++++=-= ，令0x =，可得01a =，所以21212121222a a a +++=- ，所以C 正确；对于D 中，由()122120121212x a a x a x a x -=++++ ，可得()122120121212()x a a x a x a x '⎡⎤-=++++⎣⎦' ，即2111231211224(12)312a a x a x x a x -=+++-+ ，令1x =，可得1231112231224(12)24a a a a =+--+⨯+=+ ，所以D 错误.故选：AC.3．（2024·黑龙江·高二校联考期末）（多选）若()82801281(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++- ，其中0128,,,,a a a a 为实数，则（）A ．01a =B ．656a =C ．1357128a a a a +++=D ．2468128a a a a +++=【答案】AC【解析】令1t x =-，则原式转化为8280128(1)t a a t a t a t +=++++ ，对A ，令0=t ，得01a =，故A 正确；对B ，由二项式定理得6a =28C 28=，故B 错误；对CD ，令1t =，得801282a a a a ++++= ，令1t =-，得01280a a a a -+-+= ，所以71357024682128a a a a a a a a a +++=++++==，所以2468127a a a a +++=，故C 正确，D 错误.故选：AC考法七余数与小数【例7-1】（2023下·河南郑州·高二校联考期中）108除以49所得的余数是.【答案】22【解析】法一：由10010198291010101010(71)C 7C 7...C 7C 718=+=+++++，前9项可以被49整除，而910C 71714922+==+，故余数为22.法二：由510564(58491)==+5423324549515491015491015495154915=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+，而515759375491549722==⨯+，故余数为22.故答案为：22【例7-2】．（2023·高二课时练习）将50.991精确到0.01的近似值是．【答案】0.96【解析】因为()55011225550.99110.009C 1C 0.009C 0.00910.0450.000810.95581=-=⨯-⨯+⨯-≈-+= ，且将50.991精确到0.01，故近似值为0.96故答案为：0.96【一隅三反】1．（2023安徽）1.028的近似值是.(精确到小数点后三位)【答案】1.172【解析】由题意得：8801223388881.02(10.02)0.020.020.02 1.172C C C C =+≈+⋅+⋅+⋅≈.故答案为：1.1722．（2023上·河北）1098除以1000的余数是．【答案】24【解析】因为10101922899101010101010109(1002)100+C (2)100+C (2)10C 80(2)100+C (2)=-=⨯-⨯⨯-⨯++⨯-⨯⨯-L 101922891010=[100+C (2)100+C (2)100(2)1000]+1024⨯-⨯⨯-⨯++-⨯L 101922891010=[100+C (2)100+C (2)100(2)1000+1000]24⨯-⨯⨯-⨯++-⨯+L ，所以1098除以1000的余数是：24.故答案为：243．（2023下·江苏淮安·高二江苏省郑梁梅高级中学校考阶段练习）今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过202315天后是（）A ．星期日B ．星期一C ．星期三D ．星期四【答案】B【解析】()202320232023120222022202320231514114C 14C 141=+=+++⨯+ ,因为20231202220222023202314C 14C 14+++⨯ 能被7整除，所以202315除以7余1，所以经过202315天后是星期一.故选：B.4.（2024·甘肃武威）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，L ，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用.已知2023年是癸卯年，则8132+年以后是年.【答案】丙午【解析】因为88817788132(121)212C 12C 123+=++=+⨯++⨯+ ，所以8132+年以后地支为“午”.因为8881777888132(103)210C 103C 10332+=++=+⨯⨯++⨯⨯++ ，又因为88326563,32+=+除以10余数为3，所以8132+年以后天干为“丙”，故8132+年以后是丙午年.故答案为：丙午考法八杨辉三角的应用【例8】（2023·广东广州）（多选）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.该表蕴含着许多的数学规律，下列结论正确的是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561…………A ．3333434520232024C C C C C ++++= B ．11111=，211121=，L ，51115101051=C ．从左往右逐行数，第2023项在第63行第7个D ．第5行到第10行的所有数字之和为2024【答案】AC【解析】对于A 选项，由组合数的计算性质()1*1C C C ,,m m m n n n m n m n -++=∈<N ，所以，3333433334520234452023C C C C C C C C ++++=++++ 433434552023202320232024C C C C C C =+++==+= ，A 对；对于B 选项，()555122334455555111101C 10C 10C 10C 1010=+=+⋅+⋅+⋅+⋅+15010001000050000100000161051=+++++=，B 错；对于C 选项，第()n n ∈N 行共有1n +项，从左往右逐行数，第n 行最后一项对应的项数为()()()1212312n n n n ++++++++= ，因为()()62162220162++=，且202320167=+，所以，从左往右逐行数，第2023项在第63行第7个，C 对；对于D 选项，第()*n n ∈N 行所有项之和为01C C C 2n n n n n ++=+ ，所以，第5行到第10行的所有数字之和为()565610212222201612-+++==- ，D 错.故选：AC.【一隅三反】1．（2023·山东青岛·高二校联考期中）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（）A ．123367891C C C C +++=B ．第2023行的第1012个和第1013个数最大C ．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数D ．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2：3【答案】ABD【解析】A 选项，123678768761C C C 168421321⨯⨯⨯+++=+++=⨯⨯⨯，39987C 84321⨯⨯==⨯⨯，故A 正确；B 选项，由图可知：第n 行有1n +个数字，如果n 是奇数，则第12n +和第112n ++个数字最大，且这两个数字一样大；如果n 是偶数，则第12n+个数字最大，故第2023行的第1012个和第1013个数最大，故B 正确；C 选项，第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为36；第9行第7个数字是84，故C 错误；D 选项，依题意：第34行第14个数字是133434!C 13!21!=⨯，第34行第15个数字是143434!C 14!20!=⨯，所以133443434!C213!21!2:334!C314!20!⨯===⨯，故D 正确.故选：ABD.2．（2024上·江西·高二校联考期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（）A ．32023C B ．32024C C ．32023C 1-D ．32024C 1-【答案】B【解析】()()()()()()()1!C !1!!!+!!1!1!C 1!r r n n n r n n r n n r n r r n r r n r +⋅++⋅-=+=-+--+-()()()()()()11!11!1!!1!C !r n n n n r n r r n r ++⋅++===+-+-,由题意可得，第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为2222322232223420233342023442023C C C C C C C C C C C ++++=++++=+++ 323202320232024C C C ==+= ,故选：B ．3．（2023上·湖北）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右．现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2023的概率为（）A ．1321B ．1320C ．57D ．34【答案】A【解析】由杨辉三角的性质知第20行的数为()20C 020,N ii i ≤≤∈，一共有21个数，其中012342020202020C 1,C 20,C 190,C 1140,C 48452023=====>，由杨辉三角的对称性可知，第20行中大于2023的数的个数为214231-⨯=，故所求概率为1321.故选：A.一．单选题1．（2023·四川南充）二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式中常数项为（）A ．60-B ．60C ．210D ．210-【答案】B【解析】展开式的通项为()611216=C 2kkk k T x x --+骣琪-琪桫，所以()()161022k k k -+-´=Þ=，常数项为()2665C 24602k´-=´=，故选：B.2．（2023·河北）若()()()2202020202019201801220201111a x a x x a x x a x +-+-++-= ，则012020a a a +++= （）A．1B．0C．20202D．20212【答案】C【解析】()2020201920182202001220202020(1)(1(1)11)x x a x a x x a x x a x +-+-++-=⎡⎤⎣⎦+-=L Q ，当02020k ≤≤且k ∈N 时，2020kk a C =，因此，01220202020202020202020012202020202a a a C C a C C =++++=+++⋅⋅⋅+L .故选：C.3．（2024上海）二项式30的展开式中，其中是有理项的项数共有（）A．4项B．7项C．5项D．6项【答案】D【解析】二项式30的展开式中，通项公式为5153063030rr r r rC C x --⋅⋅=⋅，030r ≤≤，0,6,12,18,24,30r ∴=时满足题意，共6项．故选：D.4．（2023安徽省）在12nx ⎫-⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中5x 的系数为（）A．7-B．358-C．358D．7【答案】D【解析】因为在12n x ⎫-⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以8n =所以812x ⎫-⎪⎭的展开式的通项88218811,0,1,2,,822rrrr r r r T C x C x r +-+⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令852r +=，得2r =所以展开式中5x 的系数为228172C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：D 5．（2023安徽）()6111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A．15B．20C．30D．35【答案】D【解析】因为()61x +展开式的通项为6C r r x ，所以()6111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中含2x 的项为2261C x ⋅和3631x C x ⋅.因为2366152035C C +=+=，所以()6111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为35.故选：D6．（2023下·四川达州·高二统考期末）()3212x x -+的展开式中，3x 的系数为（）A ．20B ．20-C ．15-D ．15【答案】B 【解析】()()632112x x x --+=，其展开式的通项为：()616C 1rrr r T x -+=⋅⋅-，取3r =得到3x 的系数为()336C 120⋅-=-．故选：B ．7．（2023云南）在71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，系数最大的是第（）项A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】在二项式71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，通项公式为772+177()()r r r r r r rr T C x x C x ---=⋅⋅-=-，故第r +1项的系数为7(1)r rC -，当0,2,4,6r =时，系数为正，因为0162477777C C C C C <=<<,所以当r ＝4时，系数最大的项是第5项.故选：C8．（2023·江西赣州·）在52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法不正确的是（）A ．不存在常数项B ．所有二项式系数的和为32C ．第3项和第4项二项式系数最大D ．所有项的系数和为1【答案】D【分析】根据给定的二项式，写出展开式判断A ；利用二项式性质判断BC ；利用赋值法计算判断D 作答.【详解】523450514233245555555222222C C C C C C x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭53358080321040x x x x x x =-+-+-，因此在52(x x-的展开式中没有常数项，A 正确；52(x x-的展开式的所有二项式系数的和为5232=，B 正确；52(x x -的展开式的第3项和第4项二项式系数相等，并且最大，C 正确；当1x =时，52(x x-的展开式的所有项的系数和为5(1)1-=-，D 错误.故选：D二．多选题9．（2024·辽宁辽阳）若2nx⎛⎝展开式的二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A ．该展开式中共有6项B ．各项系数之和为1C ．常数项为60-D ．只有第4项的二项式系数最大【答案】BD【解析】因为二项式系数之和为64，即有264n =，所以6n =，则该展开式中共有7项，A 错误；令1x =，得该展开式的各项系数之和为1，B 正确；通项()()36662166C 21C 2rr rr r r rr T x x---+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝，令3602r -=，得4r =，()442561C 260T =-⨯⨯=，C 错误；二项式系数最大的是36C ，它是第4项的二项式系数，D 正确．故选：BD.10．（2023·辽宁朝阳）已知2，n ，8成等差数列，则在12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法正确的是（）A ．二项式系数之和为32B ．各项系数之和为1C ．常数项为40D ．展开式中系数最大的项为80x【答案】ABD【解析】由题意可得：22810n =+=，则5n =，对于选项A ：二项式系数之和为5232=，故A 正确；对于选项B ：令1x =，可得各项系数之和为()5211-=，故B 正确；对于选项C 、D ：因为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为：()()55521551C 21C 2,0,1,2,3,4,5rrr r r r rr T x x r x ---+⎛⎫=-=-⋅⋅= ⎪⎝⎭，所以553135123280804010x x x x x x x x ---⎛⎫-=-+-+- ⎪⎝⎭，展开式中没有常数项，故C 错误；展开式中系数最大的项为80x ，故D 正确；故选：ABD.11．（2022上·辽宁本溪·高二校考期末）若202123202101232021(12)(R)x a a x a x a x a x x -=+++++∈ ，则（）A ．01220211a a a a ++++=-LB ．20211352021312a a a a +++++=C ．20210242020132a a a a -++++=D ．123202123202112222a a a a++++=- 【答案】AD【解析】由题意，当0x =，2021011a ==，当1x =时，202101232021(1)1a a a a a +++++=-=- ，A 正确；当=1x -时，2021012320213a a a a a -+-+-= ，所以20211352021312a a a a +++++=- ，20210242020312a a a a -++++= ，B ，C 错误；2202120211212202122021111222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x =时，2202101220211110222a a a a ⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2202112202101111222a a a a ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯++⨯=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确.故选：AD ．12．（2023下·河北沧州·高二统考期中）已知()112110121123x a a x a x a x -=++++ ，则（）A ．111231112a a a a ++++=-- B ．11135791115a a a a a a +++++=-C ．11111231152a a a a ++++=- D ．12311231133a a a a ++++=- 【答案】ACD【解析】因为()112110121123x a a x a x a x -=++++ ，令0x =可得1102a =，令1x =可得()11012112311a a a a ++++=-⨯=- ①，所以111231112a a a a ++++=-- ，故A 正确；令=1x -可得()1111012310112315a a a a a a -+-++-=+⨯= ②，①-②得111357911152a a a a a a --+++++=，故B 错误；①+②得110246810152a a a a a a -++++++=，又()1123x -展开式的通项为()11111C 23rrr r T x -+=⋅⋅-（011r ≤≤且N r ∈），所以当r 为奇数时展开式系数为负数，当r 为偶数时展开式系数为正数，即0246810,,,,,0a a a a a a >，1357911,,,,,0a a a a a a <，所以12311a a a a ++++ 1111123101152a a a a a =-+-++-=- ，故C 正确；将()112110121123x a a x a x a x -=++++ 两边对x 求导可得：()102101231133232311x a a x a x a x --=++++ ，再令1x =可得()101231123113323133a a a a ++++=--⨯=- ，故D 正确；故选：ACD 三．填空题13．（2023下·安徽合肥·高二统考期末）已知012233C 4C 4C 4C (1)4C 729n n nn n n n n -+-++-= ，则n 的值为．【答案】6【解析】由012233C 4C 4C 4C (1)4C 729n n nn n n n n -+-++-= ，可得001112220C 1(4)C 1(4)C 1(4)C 1(4)729n n n n nn n n n--⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-= 则(14)729n -=，即6(3)729(3)n -==-，解得6n =．故答案为：6.14．（2023下·山西吕梁·高二统考阶段练习）20242023被4除的余数为.【答案】1【解析】因为20242024020241202322022202320242024202420242023(20241)C 2024C 2024C 2024C 20241=-=-+--+ ，且2024可以被4整除，所以余数为1.故答案为：1.15．（2023·北京）()82212x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．（用数字作答）【答案】2464-【解析】82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项8821882C C 2rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭（0r =，1，2， (8)．当4r =时，其展开式的常数项为448C 21120=；当=5r 时，其展开式中21x的系数为558C 21792=，则()82212x x x ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为1120217922464-⨯=-．故答案为：2464-16．（2023上·山东·高二校联考阶段练习）()21nx x ++展开式中各项的系数可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其性质是以下各行每个数是它正上方和左､右两边三个数的和（不足3个数时，用0补上），则()52(3)1x x x -++的展开式中，7x 项的系数为.【答案】45-【解析】根据题意，可得广义杨辉三角如图所示，可知()521x x ++的展开式中，6x 项的系数为745,x 项的系数为30，所以()()5231x x x -++的展开式中，7x 项的系数为14533045⨯-⨯=-.故答案为：45-四．解答题17．（2023·广东梅州）在二项式()92x y -的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有偶数项系数之和；(4)系数绝对值之和.【答案】(1)512(2)1(3)9841-(4)19683【解析】（1）设()99872901292.x y a x a x y a x y a y -=++++ 二项式系数之和为012999999C C C C 2512++++== （2）设9987290129()2x y a x a x y a x y a y -=++++ ，则各项系数之和为0129a a a a ++++ ，令1,1,x y ==得()9012921 1.a a a a ++++=-= （3）由（2）知01291,a a a a ++++= 令1,1x y ==-可得:901293,a a a a -+--= 将两式相减,可得:9135791398412a a a a a -++++==-，故所有偶数项系数之和为9841-.（4）方法一:012901239,a a a a a a a a a ++++=-+-+- 令1,1,x y ==-则9012901239319683a a a a a a a a a ++++=-+-+-== 方法二:0129a a a a ++++ 即为()92x y +展开式中各项系数和，令1,1x y ==得90129319683a a a a ++++== 故系数绝对值之和为19683.18．（2023·全国·高二随堂练习）（1）求92x⎛⎝的展开式中的常数项；（2）若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为52，求a 的值；（3）求(10611⎛⎝的展开式中的常数项；（4）若3nx ⎛⎫⎝的展开式中各项系数之和为128，求展开式中31x 的系数．【答案】答案见详解【解析】（1）设92x⎛⎝的展开式通项为：1r T +，则()()1199922199C 2C 21r r rr rr rr T x x r x -----+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，当6r =时，6379C 2672T =⨯=；故92x⎛⎝的展开式中的常数项为672；（2）设621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为：1r T +，则()62112316611C C r rrrr r r T xx x a a ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3r =时，结合题意知此时3333334661515C C 222T x x a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⇒⋅=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故a 的值为2；（3）设(10611⎛⎫ ⎪⎝⎭、的展开式通项分别为：11r m T H ++、，则3416110C C r m rm r m Tx H x -++==、，当0r m ==时，111T H ⨯=，当3,4r m ==时，454200T H ⨯=，当6,8r m ==时，7945T H ⨯=故(10611⎛⎝的展开式中的常数项为14200454246++=；（4）令1x =，则由题意可知21287n n =⇒=，设3nx ⎛⎫ ⎝的展开式通项为1r T +，则()()2577733177C 3C 31rrr r r r r r T x x x ----+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当6r =时，63377C 321T x x --=⨯=，故展开式中31x 的系数为21.19．（2023上·四川攀枝花·高二统考期末）从①第4项的系数与第2项的系数之比是74；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．已知()201221nn n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+（*N n ∈），且()21nx -的二项展开式中，____．(1)求n 的值；(2)①求二项展开式的中间项；②求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值．【答案】(1)条件选择见解析，8n =(2)①451120T x =；②831-．【解析】（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是74，则有()()()()()()33113112C 211273214244C 21 nn n n n n n n n n ----⋅⋅---⨯⨯=⋅⋅-==，化简可得24400n n --=，求得8n =或7n =-（舍去）．若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，则有()221211C CC C 3622n nnnnn n n nn --+++=+===，化简可得2720n n +-=，求得8n =或9n =-（舍去）．（2）由（1）可得8n =，①()821x -的二项展开式的中间项为()()454458C 211120T x x =⋅⋅-=．②二项式()821x -展开式的通项公式为()()()88888C 2112C rrrrr rr x x ---⋅⋅-=-⋅⋅⋅，所以0a 、2a 、4a 、6a 、8a 为正数，1a 、3a 、5a 、7a 为负数．在()828012821x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+中，令00,1x a ==．再令1x =-，可得801238123831a a a a a a a a a =-+-+⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+，∴1238831a a a a +++⋅⋅⋅+=-．20．（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）在()2021212222121D D D D D nn n n n nn n n n n x x x x x x ---++=+++++L 的展开式中，把0122,,,D D D D ,nn n n n 叫做三项式的n 次系数列．(1)求02463333D D D D +++的值；(2)根据二项式定理，将等式2(1)(1)(1)n n n x x x +=++的两边分别展开，可得左右两边的系数对应相等，如()()()()2222122C C C C C n n n nnnn=++++ ，利用上述思想方法，求001122202120212022202220232023202320232023202320232023202320232023202320232023D C D C D C D C D C D C -+--+- 的值．【答案】(1)14(2)0【解析】（1）230615563333(1)D D D D x x x x x ++=++++ 令1x =得：3015633333D D D D =++++ ①令=1x -得：015633331D D D D =-+-+ ②①+②得：02463333282(D D D D )=+++，所以02463333D D D D 14+++=.（2）因为321(1)(1)x x x x -=-++所以()202332023220231(1)(1)x x x x -=-++，右边展开式中含4046x 项的系数为001122202120212022202220232023202320232023202320232023202320232023202320232023D C D C D C D C D C D C -+--+- ，而展开式中左边含4046x 项的系数为0，所以001122202120212022202220232023202320232023202320232023202320232023202320232023D C D C D C D C D C D C 0-+--+-= .21．（2023北京）在()20122112121221D D D D D D D nr r r r n n n nn n n n n n n x x x x x x x x ++--++=+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++中，把0122D ,D ,D ,,D nn n n n ⋅⋅⋅叫做三项式系数．（1）当2n =时，写出三项式系数0123422222D ,D ,D ,D ,D 的值；（2）()()*na b n N +∈的展开式中，二项式系数可用杨辉三角表示，如图：第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051…………当04n <≤，*n ∈N 时，类比杨辉三角，请列出三项式系数表；（3）求011223398989999999999999999999999999999D C D C D C D C D C D C -+-+⋅⋅⋅+-的值（可用组合数作答）．【答案】（1）02D 1=，12D 2=，22D 3=，32D 2=，42D 1=；（2）系数表见解析；（3）3399C .【解析】（1）因为()2223411232x x x x x x ++=++++，所以02D 1=，12D 2=，22D 3=，32D 2=，42D 1=．（2）当04n <≤，*n ∈N 时，三项式系数表如下：第1行111第2行12321第3行1367631第4行14101619161041（3）()()()9999201223319719719819899999999999911D D D D D D x x x x x x x x++⋅-=++++⋅⋅⋅++()09919829798999999999999C C C C C x x x x ⋅-+-⋅⋅⋅++，其中含99x 项的系数为0011229898999999999999999999999999D C D C D C D C D C -+-⋅⋅⋅+-，又()()()99999923111x x x x ++⋅-=-，()9931x -的展开式中的第1r +项为()()9931991C rrrr T x -+=-，令()39999r -=，解得66r =，所以含99x 项的系数为66339999C C =；所以001122339898999966339999999999999999999999999999D C D C D C D C D C D C C C -+-+⋅⋅⋅+-==．22．（2023上·上海松江·高二上海市松江二中校考阶段练习）已知函数()y f x =，*x ∈N ，满足：①对任意*,a b ∈N ，都有()()()()af a bf b af b bf a +>+；②对任意*n ∈N 都有()3f f n n ⎡⎤=⎣⎦.(1)试证明：()f x 为*N 上的严格增函数；(2)求()()()1628f f f ++；(3)令()3nn a f =，*n ∈N ，试证明：121111424n n n a a a ≤+++<+ .【答案】(1)证明见解析(2)66。

高中数学-二项式定理精讲精练1．二项式定理（1）二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n nn n n n a b a ab a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，共有____________项，其中各项的系数_____________叫做二项式系数.说明：二项式定理中的,a b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.在二项式定理中，如果设1,a b x==，则得到公式：0122(1)C C C C C n k k n n n n n n n x x x x x +=++++++L L .（2）二项展开式的通项 二项展开式中的C kn kk n ab -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第__________项：1C k n k k k n T a b -+=.2．“杨辉三角”与二项式系数的性质（1）杨辉三角当n 依次取1,2，3，…时，()na b +展开式的二项式系数可以表示成如下形式：该表称为“杨辉三角”，它蕴含着许多规律：例如：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之_______. （2）二项式系数的性质①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数_________.事实上，这一性质可直接由公式C C m n mn n -=得到.②增减性与最大值.当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的；当12n k +>时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数_________最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数_________相等且最大.③各二项式系数的和.已知0122(1)C C C C C n k k n nn n n n n x x x x x +=++++++L L .令1x =，则0122C C C C n nn n n n =++++L .也就是说，()na b +的展开式的各个二项式系数的和为_________.K 知识参考答案：1．（1）n +1C ({0,1,2,,})kn k n ∈L （2）1k +2．（1）和（2）①相等②2C nn 1122C,Cn n nn-+③2nK —重点 二项式定理及二项展开式的通项公式K —难点 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 K —易错容易混淆项与项的系数，项的系数与项的二项式系数一、二项展开式中特定项（项的系数）的计算求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n =L ）.一定要记准二项式的展开式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷. 【例1】已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求含的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项.【解析】（1）由通项公式得，因为第6项为常数项，所以时，有，解得，令，得，故所求系数为.（2）根据通项公式，由题意得1023010rr r -∈≤≤∈⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Z Z ,令,则，即，因为，所以应为偶数，所以可以取，即可以取2,5,8，所以第3项、第6项、第9项为有理项，它们分别为， ,，即22456345,,48256x x . 【名师点睛】第m 项是令1k m +=；常数项是该项中不含“变元”，即“变元”的幂指数为0；有理项是通项中“变元”的幂指数为整数.【例2】（2015陕西）二项式(1)()n x n *+∈N 的展开式中2x 的系数为15，则n = A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n Τx +=，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得6n =或5n =-，因为n *∈N ，所以6n =，故选C ．二、与二项式定理有关的求和问题二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N 中，,a b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.我们在求和时，要根据具体问题灵活选取,a b 的值.【例3】在的展开式中，求：（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项的系数和与偶数项的系数和；（5）x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和. 【解析】设,各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,x 的奇次项系数和为,x 的偶数项系数和为.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. （1）二项式系数的和为.（2）令x ＝y ＝1,得各项系数和为.（3）奇数项的二项式系数和为.偶数项的二项式系数和为.（4）令x＝y＝1,得①.令x＝1,y＝－1(或x＝－1,y＝1)，得②.①＋②得,故奇数项的系数和为.①－②得,故偶数项的系数和为.（5）x的奇次项系数和为；x的偶次项系数和为.【名师点睛】二项式定理是一个恒等式，即对,a b的一切值都成立，在做题时，,a b的-，1或0.值一般取1三、整除、求余问题有关整除、求余问题是二项式定理的应用之一，关键在于如何把问题转化为一个二项式问题，注意结合二项式定理和整除、求余的有关知识来解决.∈N)能被25整除.【例4】利用二项式定理证明2n+2·3n+5n－4(n*【解析】因为2n+2·3n＝4×(1＋5)n，所以2n+2·3n＋5n－4，则n ≥2时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除，当n ＝1时，2n +2·3n ＋5n －4＝25. 所以，当n *∈N 时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除. 四、混淆项的系数与项的二项式系数【例5】若28()a x x -的展开式中常数项为1120,则展开式中各项系数之和为 .【错解】28()a x x-的展开式中各项系数之和为012888888C C C C 2++++=L .【错因分析】错解中误把求展开式中各项系数之和理解为求展开式中二项式系数的和，二者是不同的概念.【正解】28()a x x -的展开式的通项为82282188C ()C ()r r r r r r rr T x a x a x---+=-=-,令8-2r =0,解得r =4,则·(-a 2)4=1120,解得a 2=2,故2882()()a x x x x-=-，令x =1,则展开式中各项系数之和为(1-2)8=1.【名师点睛】一个二项展开式的第1k +项的二项式系数是C kn ，所有的二项式系数是一组仅与二项式的次数n 有关的1n +个组合数，与,a b 的取值无关，且是正数；而第1k +项的系数则是二项式系数C kn 与数字系数的积，可能为负数.只有当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数.1．10(1)x +的二项展开式中的一项是A ．45B ．290xC．3120x D．4252x2．二项式102xx⎛-⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和为A．1B．1-C．102D．03．化简得A．B．C．D．4．二项式的展开式中只有一项的系数为有理数,则的可能取值为A．6B．7C．8D．95．的展开式中,各项系数之和为,各项的二项式系数之和为,且,则展开式中的常数项为A．6B．9C．12D．186．设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝A．0B．1C．11D．127．()73x -的展开式中，x 5的系数是_________．（用数字填写答案）8．已知,则．9．已知,在的展开式中,第二项系数是第三项系数的.（1）求的值;（2）求展开式中二项式系数最大的项; （3）若+,求的值.10．设，求下列各式的值：（1）a 0.（2）a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100. （3）a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99.（4）(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2. （5）|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.11．若()332d a x x x -=+⎰，则在的展开式中，的幂函数不是整数的项共有A ．13项B ． 14项C ．15项D ． 16项12．若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 .13．设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++Λ2210．若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a ．14．程序框图如图所示,若输入0s =, 10n =, 0i =,则输出的为__________．15．已知展开式的二项式系数之和为256,展开式中含项的系数为112.（1）求的值;（2）求展开式中含项的系数.16．（四川）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4 17．（新课标全国Ⅰ）5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是.（用数字填写答案）18．（山东）若ax 25x的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______.1．C 【解析】由通项公式110C k k k T x +=可知，当3k =时，有34120T x =.2．C 【解析】展开式的二项式系数和为012101010101010C C C C 2++++=L .故选C.3．B 【解析】根据题意，可知，故选4．B 【解析】展开式的通项为=,而展开式中只有一项的系数为有理数,则为有理数,即为有理数,即为3的倍数,为2的倍数.若,则的可能取值为7.选B.5．B 【解析】由题意可得，令x=1,则，又各项的二项式系数之和为，所以，解得.所以该二项式展开式的通项为.令，得该二项式展开式的常数项为.故选B.6．D 【解析】201220120201212011201112012201220122012201251(521)C 52C 52C 52C a a a =-=-+-++++L ， 由于020121201120111201220122012C 52C 52C 52-+-L 含有公因数52，故能被52整除，即能被13整除，要使512012＋a 能被13整除，又a ∈Z ，且0≤a ＜13，则113a +=，故12a =.故选D.7．-189 【解析】由二项式定理得()71713C rrr rr T x -+=-，令r = 5得x 5的系数是2573C 189-=-．8．-5 【解析】,由二项式定理得,故,所以．9．【解析】（1）由题意得,解得.（2）由（1）知,二项式系数最大的值为,二项式系数最大的项为第四项,则.（3）=,令,得.10．【解析】（1）令x＝0，则展开式为a0＝2100.（2）令x＝1，可得(*)，所以.（3）令x＝－1，可得.与（2）中(*)式联立相减得.（4）原式＝(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)](a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)].（5）因为，所以a2k －1＜0(k∈N*).所以|a 0|＋|a1|＋|a 2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100.11． C 【解析】，由得，当时，的幂函数不是整数，即共有15项，选C.12．【解析】26()baxx+展开式的通项为266123166C()()Cr r r r r r rrbT ax a b xx---+==，令1233,r-=得3r=，所以，由63336C20a b-=得1ab=，从而2222a b ab+≥=，当且仅当a b=时，22a b+的最小值为.13．【解析】由图易知0121,3,4a a a===，则1221211C3,C()4n na aa a====，即23(1)42nan na⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得3a=．14．1024 【解析】由程序框图可知，该程序执行的是求0121010101010C C C C++++L的和，易知012101010101010C C C C21024++++==L．15．【解析】（1）由二项式系数之和为,可得,设含的项为第项,则,故,即,则,解得,,.（2）由（1）知,故含项的系数为.16．A 【解析】二项式6(i)x +的展开式的通项为616C i r r rr T x -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A.17．10【解析】5(2)x x +的展开式的通项为555255C (2))2C r rrr rr x x x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=. 18．2-【解析】因为5102552155C ()(C r r rr r rr T ax a x x---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此2525C 80 2.a a -=-⇒=-。

（完整版）⼆项式定理（习题含答案）⼆项式定理⼀、求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为．（⽤数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展⽰式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、⼆项式的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】由⼆项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故⼆项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第⼀项取时，，此时的展开式中常数为；当第⼀项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是．【答案】 332，30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+?==30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π=-+()622x ??+ ?332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ??=-+=+=-+= ??的展开式的通项为，所以所求常数项为．⼆、求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是．【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是．【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为． 10、已知，那么展开式中含项的系数为．【答案】135【解析】根据题意，，则中，由⼆项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在⼆项式的展开式中，只有第5项的⼆项式系数最⼤，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-??3633565566(1)22(1)2T C C --=-??+-?332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -?-3x 6(1)(2)x x -?-3x 336)(2x C -226)(x -x C -?）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1=nx x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=?==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ?=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=?=1)2nx =n【答案】，．【解析】由⼆项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最⼤值，∴，第4项为． 13、如果，那么的值等于（）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代⼊⼆项式，得，令，代⼊⼆项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代⼊⼆项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-?=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1 a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-(sin cos )k x x dx π=-?8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a ++++=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--?，令得：，即再令得：，即所以18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，⼆项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x ⽆关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由⼆项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r ？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为（﹣1）r54﹣r=1×6×25=150，19、设，则．【答案】【解析】，所以令，得到，所以三、求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据⼆项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、⼆项式的展开式中的系数为15，则（）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -?=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -?=+?+? ++?K 01a =12380a a a a ++++=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =456725333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】⼆项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，． 23、若的展开式中的系数为10，则实数（） A1 B ．或1 C ．2或 D ．【答案】B．【解析】由题意得的⼀次性与⼆次项系数之和为14，其⼆项展开通项公式，∴或，故选B ． 24、设，当时，等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】令，则可得，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利⽤⼆项式表⽰，使其底数⽤8的倍数表⽰，利⽤⼆项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+20162013﹣20162012+…+2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+?=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=?=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++++2012n n a a x a x a x =++++012254n a a a a ++++=n 1x =2 312(21)22222225418721n nn n n +-++++==-=?+=?=-。

二项式定理 概念篇【例1】求二项式(a — 2b)4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开•解：根据二项式定理得 (a — 2b)4=c 0 a 4+c 4 a 3( — 2b)+C 4 a 2( — 2b)2+C 3 a( — 2b)3+C 4 (— 2b)4=a 4 — 8a 3b+24a 2b 2— 32ab 3+i6b 4.说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把— 2b 中的符号“―”忽略【例2】展开(2x -2代2x分析一：直接用二项式定理展开式•解法一：(2x - 32)5=C °(2x)5+c l (2x)4(— q )+C ；(2x)3( — q )2+c 5(2x)2(—与)3+2x2x 2x 2xC 5 (2x)( — 2)4+C ；( — 2)52x 2 2x 2分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开解法二：35--和件[C 5 (4x 3)5+C 1 (4x 3)4(— 3)+C 5 (4x 3)3(— 3)2+C 3 (4x 3)2( — 3)3+C 4 (4x 3)( — 3)4 + C 5( — 3)5]荷(1024x 15— 3840x 12+5760x 9— 4320x 6+l620x 3— 243) 32x 10说明：记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便【例3】在(x — ■ 3)10的展开式中，x 6的系数是 ________ . 解法一：根据二项式定理可知x 6的系数是c 4°.解法二：(x —，3)10 的展开式的通项是 T r+1=C ；0X 10—r ( — 3 )r .令10— r=6，即r=4,由通项公式可知含 x 6项为第5项，即T 4+1=C ：0x 6( — . 3 )4=9C 40x 6. ••• x 6的系数为9C ：0.上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含 x 6这一项系数，而不是求含 x 6的二项式系数，所以应是解法二正确 如果问题改为求含 x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C ：0.说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项=32x 5— 12Ox 2+180 x135 405+87243 10 .32x=327°=32x 5— 120x 2+180 x 135 405x 4 +8x 7243 32x 10 .式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关【例4】已知二项式(3 . x — —)10,3x(1) 求其展开式第四项的二项式系数； (2) 求其展开式第四项的系数； (3) 求其第四项.分析：直接用二项式定理展开式•解：(3..X — -2)10 的展开式的通项是 T r+i =C ；o (3.、x )10—r ( — 2)r (r=o , 1,…，10).3x3x•••第9项为常数项，其值为256说明：二项式的展开式的某一项为常数项， 就是这项不含“变元”，一般采用令通项T r+1中的变元的指数为零的方法求得常数项.【例6】(1)求(1+2x)7展开式中系数最大项； (2)求(1 — 2x)7展开式中系数最大项.分析：利用展开式的通项公式， 可得系数的表达式， 列出相邻两项系数之间关系的不等 式，进而求出其最大值.7!2r7! 2r 1即 r!(7r)!(r 1)!(7 r 1)!7! 2r7! 2r 1r !(7 r)!(r 1)!(7 r 1)!(1)展开式的第 4项的二项式系数为 C ?0=120.(2)展开式的第 (3)展开式的第 2 4 项的系数为 C ；037(— — )3= — 77760.34 项为—77760( x )7十，即一77760 • x .z\.(3 .. x — —)10写成］3 x +(— A)： 10,从而凑成二项式定理的形式3x 3x【例5】求二项式(x 2+ 1 )10的展开式中的常数项.2丘说明：注意把 分析：展开式中第r+1项为C ；0(x 2)10—r ( 1)r ，要使得它是常数项，必须使2Jxx ”的指数为零，依据是X 0=1 , x M 0.解：设第r+1项为常数项，则 Eg 2)102053r 1 r人 52(一)r (r=0, 1，…，10)，令 20 —r=0,2 2••• T9=C 80(1)8=45 256解：(1)设第r+1项系数最大，则有C 72r (C r 1?r 1 C 72r ( C r 1?r 1系数最大项为 T 6=C 7 25X 5=672X 5.(2)解：展开式中共有 8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得•又因(1 - 2x)7括号内的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值， 故系数最大值 必在中间或偏右，故只需比较C 4( 2)4C 3T 5和T 7两项系数的大小即可-C6( 2)6 =4C >1, 所以系数最大项为第五项，即 T 5=560X 4.说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法， (2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁 .【例7】(1+2x)n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大 的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出n ,再根据n 的奇偶性确定二项式系数最大的项.解：T 6=C ；j (2x)5, T 7=C 6 (2X )6，依题意有。

1 / 4二项式定理一、选择题1．（求项的系数）5(2x +的展开式中，4x 的系数是( )A ．40B ．60C ．80D ．100【答案】C【解析】5(2x二项展开式的通项为5552155(2)2k k kkk kk T C x C x---+=⋅⋅=⋅⋅．令542k-=，得2k =． 因此，二项展开式中4x 的系数为235280C ⋅=，故选C ．2．（知常数项求某一项的系数）若在(a +3x )(1−√x 3)8关于x 的展开式中，常数项为4，则x 2的系数是（ ） A ．56 B ．-56 C ．112 D ．-112【答案】B【解析】由题意得(1−√x 3)8展开式的通项为T r+1=C 8r (−√x 3)r=(−1)r C 8r x r3，r =0,1,2,⋯,8， ∴(a +3x )(1−√x 3)8展开式的常数项为(−1)0C 8⋅a =a =4， ∴(4+3x )(1−√x 3)8展开式中x 2项为4⋅(−1)6C 86x 63+3x ⋅(−1)3C 83x 33=−56x 2∴展开式中x 2的系数是−56. 故选B3．（直常数项求参数）若6ax ⎛- ⎝展开式的常数项为60，则a 值为( )A ．4B ．4±C ．2D ．2±【答案】D【解析】因为6ax ⎛ ⎝展开式的通项为()()3666622166T 11k k k k k k k k k k C a x x C a x -----+=-=-，令3602k -=，则4k =，所以常数项为()44646160C a --=，即21560a =，所以2a =±. 故选D2 / 44．（奇数项系数的和）记6260126(1)(1)(1)...(1)x a a x a x a x -=+++++++，则0246a a a a +++=（ ）A ．81B ．365C ．481D ．728【答案】B【解析】令x=0得1=0126...a a a a ++++，令x=-2得601234563=a a a a a a a -+-+-+，所以0246a a a a +++=1+729=3652. 故选B5．（由系数二项式系数的和求参数）已知n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【解析】二项式n的各项系数的和为()1+34n n=，二项式n的各项二项式系数的和为()1+12n n=， 因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以4=2642n nn =，6n =，故选C ．二、填空题6．（集合关系判断）若)22nx -展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是____．【答案】180【解析】因为)22nx -展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以10n =，展开式的通项公式为5510221101022r rrr rrr r TC xC x---+=⋅⋅⋅=⋅⋅，令5502r-=，解得3 / 42r，所以展开式的常数项为22101280C ⋅=.7．（求系数最大项）61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为第__________项．【答案】3或5【解析】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大. 8．（二项展开式系数的性质应用）在()()25132x x +-的展开式中，所有的奇次幂的系数和为__________．【答案】478- 【解析】设()()25223456701234567132x x a a x a x a x a x a x a x a x +-=+++++++令1x =，得：0123456716a a a a a a a a =+++++++……① 令1x =-，得：01234567972a a a a a a a a =-+-+-+-……② ①-②得：()13579562a a a a -=+++ 解得：1357478a a a a +++=- 本题正确结果：478-9．（二项式与数列）已知数列{}n a 满足11a k=，k *∈N ，[]n a 表示不超过n a 的最大整数（如[]1,61=，记[]n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ）.①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，则4T =__________； ②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，则n T =__________．【答案】6 ()211nk kn k+--【解析】①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，且11a k =，*2k k N ≥∈，，则11(1,)n a n n n k=+-∈-，所以[]1n n b a n ==-，则401236T =+++=；故填6.4 / 4②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，且11a k=，*2k k N ≥∈，，则 1112131211(1)(1)n n n n n n n a k k C k C kk k------=⋅+=⋅+++⋅⋅⋅+，则213111n n k n n n b k C k C -----=++⋅⋅⋅+， 221311101(2)(33)()n n k n n n T k k k k C k C -----=+++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+22223332341451[123(1)](1?)(1)n n n n C C C k C C C k---=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅+++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+3422(1))2n n n n n n n C k C k C k --=+++⋅⋅⋅+ 223321()n n n n n C k C k C k k =++⋅⋅⋅+ 21[(1)1]n k nk k =+--；故填21[(1)1]n k nk k+--. 10．（二项式与函数）已知二进制和十进制可以相互转化，例如65432108912021212020212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，则十进制数89转化为二进制数为2(1011001).将n 对应的二进制数中0的个数，记为n a （例如：24(100)=，251(110011)=，289(1011001)=，则42a =，512a =，893a =），记()2n a f n =，则2018201820182019(2)(21)(22)...(21)f f f f ++++++-=__________． 【答案】20183【解析】由题意得20182018201820192212221++-，，，，共201920182018222-=个数中所有的数转换为二进制后，总位数都为2019，且最高位都为1而除最高位之外的剩余2018位中，每一位都是0或者1 设其中的数x ，转换为二进制后有k 个0（0k 2018≤≤） ∴()2kf x =在这20182个数中，转换为二进制后有k 个0的数共有2018kC 个 ∴()()()()201820182018201820192018022122 (2)12k kk f f f f C =++++++-=∑由二项式定理，()201820182018201802123k kk C ==+=∑。

二项式定理一、求展开式中特定项1、在30的展开式中，x 的幂指数是整数的共有（ ）A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项【答案】C【解析】()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=，30......2,1,0=r ，若要是幂指数是整数，所以=r 0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ． 3、若2531()x x +展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令1x =，可得展示式中各项的系数的和为32，所以232n =，解得5n =，所以2531()x x +展开式的通项为10515r r r T C x -+=，当2r =时，常数项为2510C =，4、二项式82x的展开式中的常数项为 ．【答案】112【解析】由二项式通项可得，3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T （r=0,1,,8）,显然当2=r 时，1123=T ，故二项式展开式中的常数项为112.5、41(23)x x--的展开式中常数项等于________．【答案】14．【解析】因为41(2)(13)x x--中4(13)x -的展开式通项为4C (3)r r x -，当第一项取2时，04C 1=，此时的展开式中常数为2；当第一项取1x-时，14C (3)12x -=-，此时的展开式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．6、设20sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622x ⎛-⋅+ ⎝的展开式中常数项是 ．【答案】332=-332()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰，6(=6的展开式的通项为663166((1)2r r rr r r r r T C C x ---+==-⋅⋅，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-．二、求特定项系数或系数和7、8()x -的展开式中62x y 项的系数是（ ）A ．56B ．56-C ．28D ．28-【答案】A【解析】由通式r r r y x C )2(88--，令2=r ，则展开式中62x y 项的系数是56)2(228=-C ．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ．【答案】15【解】()61x +的通项16r rr T C x +=，令2r =可得2615C =．则()61x x +中3x 的系数为15.9、在6(1)(2)x x -⋅-的展开式中含3x 的项的系数是 ．【解析】6(1)(2)x x -⋅-的展开式中3x 项由336)(2x C -和226)(x -x C -⋅）（两部分组成，所以3x 的项的系数为552-2636-=-C C ．10、已知dx x n 16e 1⎰=，那么nxx （3-展开式中含2x 项的系数为 ．【答案】135【解析】根据题意，66e111ln |6e n dx x x=⎰==，则n x x ）（3-中，由二项式定理的通项公式1r n r rr n T C a b -+=，可设含2x 项的项是616(3)r r r r T C x -+=-，可知2r =，所以系数为269135C ⨯=．11、已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a 等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为1010(1)(21)x x +=-+-，所以8a 等于8210(2)454180.C -=⨯=选Ｄ．12、在二项式1)2nx -的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则=n ________；展开式中的第4项＝_______．【答案】8，1937x -．【解析】由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n r n r r r r r rr nn T C x x C x -++=-⋅=-，由题意得，当且仅当4n =时，rn C 取最大值，∴8n =，第4项为1193)333381()72C x x +-=-．13、如果7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，那么017a a a +++ 的值等于（ ）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2【解析】令1x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70127(12)1a a a a -=++++=- ，令0x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70(10)1a -==，所以12711a a a ++++=- ，即1272a a a +++=- ，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1，15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0.16、在*3)()n n N ∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x 的系数等于．【答案】270-【解析】当1=x 时，()322--=n，解得5=n ，那么含x1的项就是()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯，所以系数是-270.17、设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- ，则1238a a a a +++⋅⋅⋅+= ．【答案】0.【解析】由0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰(cos sin )(cos 0sin 0)2ππ=-----=，令1x =得：80128(121)a a a a -⨯=++++ ，即01281a a a a ++++= 再令0x =得：80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯ ，即01a =所以12380a a a a +++⋅⋅⋅+=18、设（5x﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M﹣N=240，则展开式中x 的系数为 .【答案】150解：由于（5x﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0.解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4.（5x﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r？54﹣r =1×6×25=150，19、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．【答案】255【解析】178a a a +++= 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-，所以令1-=x ，得到=82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-，所以2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a 三、求参数问题20、若n的展开式中第四项为常数项，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为2533333342)21()(---==n nn nxC xx C T ，第四项为常数，则必有025=-n ，即5=n ，所以正确选项为B.21、二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中2x 的系数为15，则=n （ ）A 、5 B 、 6 C 、8 D 、10【答案】B【解析】二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中的通项为k n kn k x C T -+⋅=1，令2=-k n ，得2-=n k ，所以2x 的系数为152)1(22=-==-n n C C n n n ，解得6=n ；故选B ．22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵4r+14T =C r r r a x -，∴当43r -=，即1r =时，133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=．23、若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10，则实数a =（ ）A1 B ．53-或1 C ．2或53- D． 【答案】B．【解析】由题意得4(1)ax +的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式14r r rr T C a x +=，∴22144101C a C a a +=⇒=或53-，故选B ．24、设23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时，n 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C． 【解析】令1x =，则可得2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( )【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，。

二项式定理例题100道带解析摘要：一、二项式定理的概念与基本性质1.二项式定理的定义2.二项式系数的性质3.二项式定理的应用场景二、二项式定理的求解方法1.直接展开法2.组合数计算法3.递推法4.矩阵法三、二项式定理的例题解析1.基础题型解析2.进阶题型解析3.难题解析四、二项式定理的拓展与应用1.多项式定理与二项式定理的关系2.二项式定理在其他领域的应用3.相关研究进展与发展正文：一、二项式定理的概念与基本性质1.二项式定理的定义二项式定理是数学中一个重要的定理，它揭示了二项式（a+b）的展开式中各项的系数和幂次的规律。

二项式定理的表述为：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ...+ C(n,n)b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的不同组合的个数。

2.二项式系数的性质二项式系数具有以下性质：性质1：C(n,k) = C(n,n-k)性质2：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)性质3：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)3.二项式定理的应用场景二项式定理在数学分析、概率论、物理学等领域具有广泛的应用，例如求解二项式展开式的收敛性、求解概率论中的二项分布等问题。

二、二项式定理的求解方法1.直接展开法直接将二项式（a+b）^n展开，然后根据题目要求求解各项系数。

2.组合数计算法利用二项式系数的性质，通过计算组合数求解二项式定理的问题。

3.递推法利用二项式定理的性质，通过递推关系式求解问题。

4.矩阵法将二项式定理的问题转化为矩阵运算问题，然后利用矩阵的性质求解。

三、二项式定理的例题解析1.基础题型解析例如：(1+x)^5的展开式中，x的幂次为3的项的系数是多少？解析：利用二项式定理，可以直接求得系数为C(5,3) = 10。

2.进阶题型解析例如：求解不等式：(1+x)^6 > 1000解析：将不等式转化为二项式展开式的形式，然后根据二项式系数的性质，判断各项系数的符号，从而求解不等式。

二项式定理习题精选一、与通项有关的一些问题例1．在的展开式中，指出：1）第4项的二项式系数，2）第4项的系数，3）求常数项解:展开式的通项为展开式中的第r+1项.1），二项式系数为；2）由1）知项的系数为；3）令6-3r=0, ∴r=2, ∴常数项为.例2．若的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.分析:通项为,∵前三项的系数为，且成等差，∴即解得:n=8.从而，要使T r+1为有理项，则r能被4整除.例3．1）求的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数.解:1）通项，令6-2r=0,r=3,∴常数项为.2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5∴展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到，即为，因而其系数为240.例4．(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_________.分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)10的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而a5b3c2的系数为.小结:三项式的展开，或者转化为二项式展开，或者采用得到二项式定理的方法去解决.例5．(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+……+(1+x)100的展开式中x3的系数为______.分析:（法一）展开式中x3项是由各二项展开式中含x3项合并而形成.因而系数为（法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式:原式=,要求x3项只要求分子的x4项，因而它的系数为.二、有关二项式系数的问题.例6．(2x+x lgx)8的展开式中，二项式系数最大的项为1120，则x=____.分析:二项式系数最大的为第5项，例7．的展开式中系数最大的项为第_____项.分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法.设第r+1项的系数最大，则解得:，∴r=7，且此时上式两个等号都不能取得，因而第8项系数最大.三、赋值法:例8．已知1）求a0, 2）求a1+a2+a3+a4+a53）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)24）求a1+a3+a55）|a0|+|a1|+……+|a5|分析:1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解.从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0,∴(1-0)5=a0, ∴a0=1.2）令x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5又a0=1,∴a1+a2+a3+a4+a5=-2.3）令x=1，得a0+a1+a2+……+a5=-1 (*)令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (**)因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)24）联立(*),(**)两方程，解得a1+a3+a5=-122.5）因而|a0|+|a1|+……+|a5|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和，∴|a0|+|a1|+……+|a5|=(1+2)5=35=243.小结:①求展开式的系数和只需令x=1可解；②赋值法也需合情合理的转化. 例9．已知,其中b0+b1+b2+……+b n=62, 则n=_________.分析:令x=1，则,由已知，2n+1-2=62,∴2n+1=64,∴n=5.例10．求的展开式中有理项系数的和.分析:研究其通项.显然当r=2k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n的奇数项的系数和.设(2+t)n=a0+a1t+a2t2+……+a n t n ,令t=1，即3n=a0+a1+a2+……+a n令t=-1，即1=a0-a1+a2-……+(-1)n a n上两式相加，解得奇数项系数和.四、逆用公式例11．求值S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1解:例12．求值:分析:注意将此式还原成二项展开式的结构原式=五、应用问题例13．求证:32n+2-8n-9能被64整除.证明:能被64整除.例14．9192除以100的余数为________.分析:9192=(90+1)92∴被9192100除的余数为81.小结:若将9192整理成(100-9)92例15．求0.9983的近似值（精确到0.001)解:典型例题例1、已知二项式展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。

二项式定理一、 求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（ ） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项 【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展示式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、二项式的展开式中的常数项为 ． 【答案】112【解析】由二项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第一项取时，，此时的展开式中常数为；当第一项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是 ．【答案】 332，30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰()622x ⎛⋅+ ⎝332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰的展开式的通项为，所以所求常数项为．二、 求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ． 【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是 ． 【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为． 10、已知，那么展开式中含项的系数为 ． 【答案】135【解析】根据题意，，则中，由二项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在二项式 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-⋅⋅3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 336)(2x C -226)(x -x C -⋅）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1⎰=nx x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=⎰==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ⨯=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=⨯=1)2nx =n【答案】，．【解析】由二项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最大值，∴，第4项为． 13、如果，那么的值等于（ ）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代入二项式，得，令，代入二项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0， 所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于 ．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-⋅=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++017a a a +++1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++70127(12)1a a a a -=++++=-0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++70(10)1a -==12711a a a ++++=-1272a a a +++=-*3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯0(sin cos )k x x dx π=-⎰8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- 1238a a a a +++⋅⋅⋅+=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰，令得：，即再令得：，即所以18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r ？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r？？54﹣r=1×6×25=150，19、设，则 ．【答案】 【解析】，所以令，得到， 所以 三、 求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、二项式的展开式中的系数为15，则（ ）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -⨯=++++01281a a a a ++++=0x =80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯01a =12380a a a a +++⋅⋅⋅+=8877108)1(x a x a x a a x ++++=- 178a a a +++=255178a a a +++=87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =45672533333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，． 23、若的展开式中的系数为10，则实数（ ） A1 B ．或1 C ．2或 D ． 【答案】B．【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式，∴或，故选B ． 24、设，当时，等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ． 【解析】令，则可得，故选C ． 四、 其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数． 试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣？20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+⋅=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=⇒=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=n 1x =2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-。

例说二项式定理的常见题型及解法3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算c C C C nn nn nn n 3)1( (279313)21-++-+-； 解：原式=nn n nn n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+ 二、通项公式的应用1．确定二项式中的有关元素 例4．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为1-=a2．确定二项展开式的常数项 例5．103)1(xx -展开式中的常数项是所以常数项是210)1(6106=-C3．求单一二项式指定幂的系数例6．（03全国）92)21(xx-展开式中9x 的系数是 ； 221-三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，2x 的系数等于解：2x 的系数是四个二项展开式中4个含2x 的，则有20)()1()1()1()1(35241302335224113002-=+++-=-+---+--C C C C C C C C例8．（02全国）72)2)(1-+x x（的展开式中，3x 项的系数是 ；1008。

四、利用二项式定理的性质解题 1． 求中间项 例9．求（103)1xx -的展开式的中间项；解：,)1()(310101r r rr xx T C -=-+ ∴展开式的中间项为535510)1()(xx C -即：65252x -。

当n 为奇数时，nb a )(+的展开式的中间项是212121-+-n n n nbaC和212121+-+n n n nbaC；当n 为偶数时，n b a )(+的展开式的中间项是222n n n nba C。

2． 求有理项 例10．求103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；解：341010310101)1()1()(r r rr r rr xxr T C C --+-=-=∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项。

二项式定理例题讲解例1．试求：（1）(x 3－22x)5的展开式中x 5的系数； （2）(2x 2－x 1)6的展开式中的常数项； （3）(x －1)9的展开式中系数最大的项；（4）在1003)23(+x 的展开式中，系数为有理数的项的个数．解：（1）T r ＋1＝r r r r r r x C xx C 51552535)2()2()(---=- 依题意15－5r ＝5，解得r ＝2故(－2)2r C 5＝40为所求x 5的系数（2）T r ＋1＝r C 6(2x 2)6－ r r x)1(-＝(－1)r ·26－ r ·r r x C 3126- 依题意12－3r ＝0，解得r ＝4故4)1(-·2226C ＝60为所求的常数项．（3）T r ＋1＝r )1(-r r x C -99∵1265949==C C ，而(－1)4＝1，(－1)5＝-1 ∴ T 5＝126x 5是所求系数最大的项（4）T r ＋1＝r rrrr r rx C x C ---⋅⋅=1003250100310010023)2()3(, 要使x 的系数为有理数，指数50－2r 与3r 都必须是整数， 因此r 应是6的倍数，即r ＝6k （k ∈Z ），又0≤6k ≤100，解得0≤k ≤1632（k ∈Z ） ∴x 的系数为有理数的项共有17项．评述 求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．例2．试求：（1）(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；（2）(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数；（3）321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项. 解：（1）∵ (x ＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…∴ (x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179（2）∵ (x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5 ＝xx x x x x 65)1()1()]1([1})]1([1){1(-+-=------- ∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数36C -＝-20（3）∵ 321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x =61⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ∴ 所求展开式中的常数项是-36C ＝－20评述 这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．例3．（1）已知(1＋x )n 的展开式中，x 3的系数是x 的系数的7倍，求n 的值；（2）已知(ax ＋1)7（a ≠0）的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，求a 的值；(3)已知(2x ＋gx x 1)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x 的值．解：（1）依题意137n n C C =，即6)2)(1(--n n n ＝7n 由于n ∈N ，整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8(2) 依题意3474372572a C a C a C =+由于a ≠0，整理得5a 2－10a ＋3＝0，解得a ＝1±510 （3）依题意T 5＝4lg 448)()2(x xx C ＝1120， 整理得x 4(1＋lg x )＝1，两边取对数，得lg 2x ＋lg x ＝0，解得lg x ＝0或lg x ＝－1∴x ＝1或x ＝101 评述 (a ＋b)n 的展开式及其通项公式是a ，b ，n ，r ，T r ＋1五个量的统一体，已知与未知相对的，运用函数与方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数．例4．（1）若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于 ；（2）1＋210101021011024C C C +⋯++＝ ． 解（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(32+)4，令x ＝-1，得a 0-a 1＋a 2-a 3＋a 4＝4)23(-，由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)( a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝[)23)(23(-+]4＝1（2）在(1＋x )10＝r r r x C 10100∑=中，令x ＝2，得1＋25904932410101010210110==+⋯++C C C评述 这是一组求二项式系数组成的式子的值的问题，其理论依据是(a ＋b)n ＝r r n r n n r b a C -=∑10为恒等式．。

0,1,2,n ），(a n n a C b a 10+n n a C b 211+-0,1,2,n ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分0,1,2,n )叫做二项展开式的通项通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：n n a x ++，256n a +=+，0122C 2C 2C 2C n n n n n n +++++=C nn ++=（C ．151rrx ⎛⎫- ⎪⎝⎭=；12rrx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭已知正整数8n ≥，若),2,8，(n n a x n ++12nn na -++的值88a x ++，(821a +⋅⋅⋅+=-0388a x ++，求导得：788a x ++，87802a ++= 同类题型归类练上海中学东校高二期末）（1）设200200a x ++①展开式中各二项式系数的和； 200a ++的值．1）①20021）①展开式中各二项式系数的和为得：0200a a a +++=得：2000(1)a =-200a ++=20222022a x ++2022a ++；52021a +；22022a a ++；2022a ++2022132-(3)，得012022a a a a ++++=，得0132021a a a a -+-+-+)52021a +=5202113a -+=. ）相当于求展开式2022的系数和，令202220223a ++=.）展开式中二项式系数和是0120222022202220222022C C C C +++=展开式中偶数项的二项系数和是5202120222022CC++=))20222022012022R a a x a x ++++∈两边分别求导得：()220211222022R a a x a x =+++∈，得1222022a a a ++++重庆长寿·高二期末）二项式的展开式()6中，中间项的系数为展开式的中间项为C T =88a x ++8a ++；68a a +. (1)255(2)32895 ，则01a =. 018(1a a a +++=()8801802a a a a a ++=+++-=-1，则0123456a a a a a a a -+-+-+2C n n n ++=C nn ++=D ．16)2243n+==5，所以()151011=--()()()()011415015114141515151515C 101C 101C 101C 11=⨯⨯-+⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯⨯-+⨯-- ()()()011401511414151515C 101C 101C 1012=⨯⨯-+⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯⨯--，所以S 除以10的余数为8． 故选：D ．同类题型归类练1．（2022·山东·临沭县教育和体育局高二期中）1223310101010101010180808080(1)8080k k kC C C C -+-++-++除以78的余数是（ ） A ．1- B ．1 C ．87- D ．87【答案】B【详解】因为()()101223310101010101010108180C 80C 80C 10C 90C 18079kk k -+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+=-=所以()1010012210101010101079178C C 8C 8C 7787=+=+++⋅⋅⋅+，除了第一项之外，其余每一项都含有78的倍数，所以原式除以78的余数为1. 故选:B ．2．（2022·北京大兴·高二期末）化简1221010101010C 2C 2C 2++⋅⋅⋅+等于（ ）A ．1021-B ．1031-C ．1021+D ．1031+【答案】B【详解】由0112210101010100001011C 2+C 2C 2..(12).3C 2=+=+++， 所以112210*********0C 2C 2...3C 21+=++-.故选：B3．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+，012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++的值为（ ） A ．761 B ．697 C ．518D ．454【答案】D【详解】解：因为()112221n n n a a a ++=+=+，又11a =，所以{}1n a +以2为首项，2为公比的等比数列，所以11222n nn a -+=⨯=，所以21n n a =-，则012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++()01223344556012345555555555555C 2C 2C 2C 2C 2C 2C C C C C C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+++++ 又01223344556555555C 2C 2C 2C 2C 2C 2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()0011223344555555552C 2C 2C 2C 2C 2C 2=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5222()2n rr r r rn C x x -=，102222n n x-，其系数为222n ，221·2n n nC---=，其系数为222n n nC --，2242221224n n n --==，所以6n =，所以展开式中二项式系数最大的项为36，即为展开式的第42022·山西师范大学实验中学高二阶段练习）在(1(n n a x ++255n a ++=D ．n n a x ++，2n a ++=的展开式中，通项为：r T +， 则常数项对应的系数为：0a ，即01a =， 21255n n a ++=-=，解得：8=，展开式中二项式系数最大为：则二项式系数最大的项为：。

二项式定理例题精讲1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共n+1项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r r nC a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r rr n T C a b -+=表示。

3．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即kn n k n C C -=.②二项式系数和：令1a b ==,可得二项式系数的和为0122r nn nn n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r nn nn n n C C C C +++++=-L L 。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n nn nn n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=L ④二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。

如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC -,12n nC+同时取得最大值。

⑤系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。