太原理工大学2011级《线性代数》练习册(一)

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ）.（A) 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）. (A ）k (B ）k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项。

(A) 0 （B ）2-n （C ） )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ）。

(A ） 0 (B)1- (C) 1 （D) 25. =0001100000100100( ）.(A) 0 (B)1- (C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.(A) 0 （B ）1- (C) 1 （D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ）. (A ） 4 (B) 4- (C) 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）。

（A)ka (B)ka - (C ）a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-， 则=x （ )。

（A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A ）1- (B ）2- (C ）3- （D ）011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ）。

线性代数习题及解答完整版线性代数习题及解答HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）A ．??A B 可逆，且其逆为-1-1A B B ．??A B 不可逆 C ．??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ???B AD ．??A B 可逆，且其逆为-1-1??A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ).n!(A) k (B) n k (C) k2n(n 1) (D) k23. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项.(A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)!0 0 0 14．11( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 20 0 1 05.011( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 22x x 1 16．在函数1 x 1 2f (x) 中3 2 x 33x 项的系数是( ).0 0 0 1(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 217. 若a a a11 12 131D a a a ，则21 22 232a a a31 32 332aa13a33a11a312a122a3211D 2a a a 2a ( ).1 21 23 21 222a31(A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2a a11 ，则128．若 aa a21 22 a12a11ka22ka21( ).2 (D) k2a (A)ka (B) ka (C) k a9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ).(A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 28 7 4 310. 若6 2 3 1D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).1 1 1 14 3 7 5(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 03 04 011. 若1 1 1 1D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).0 1 0 05 3 2 2(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0x 1 x2kx312. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 kx2x30 有非零解.kx1 x2x3( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0二、填空题21.2n阶排列24 (2n)13 (2n 1) 的逆序数是.2．在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26 所带的符号是.3．四阶行列式中包含a22a43 且带正号的项是.2 n4．若一个n 阶行列式中至少有n 1个元素等于0 , 则这个行列式的值等于.1 1 1 05.行列式11111.0 0 1 00 1 0 00 0 2 06．行列式.0 0 0 n 1n 0 0 0a 11 a1(n1)a1n7．行列式a21a2(n1) 0 .an10 0a11a12a13a11a133a123a128．如果D a a a M21 22 23 ，则D a a 3a 3a .1 21 23 22 22a 31 a32a33a31a333a323a329．已知某5 阶行列式的值为5，将其第一行与第 5 行交换并转置，再用 2 乘所有元素，则所得的新行列式的值为.31 1 1 x 110．行列式11 x11x 1111. x 1 1 1 11 1 11 1 111．n 阶行列式.1 1 112．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.1 2 3 413．设行列式5 6 7 8D ，A4 j ( j 1,2, 3, 4) 为 D 中第四行元的代数余子式，4 3 2 18 7 6 5则4A41 3A42 2A43 A44 .a b c a14．已知c b a bD ， D 中第四列元的代数余子式的和为.b ac ca cb d1 2 3 43 34 4D ，A4 j 为a4 j ( j 1,2, 3, 4) 的代数余子式，则15．设行列式 61 5 6 71 12 2A41 A ，A43 A44 .4241 3 5 2n 11 2 0 016．已知行列式D 1 0 3 0 ，D 中第一行元的代数余子式的和为1 0 0 n.kx1 2x2x317．齐次线性方程组2x1 kx20 仅有零解的充要条件是.x 1x2x3x12x2x318．若齐次线性方程组2x2 5x30有非零解，则k = .3x1 2x2kx3三、计算题b a 2a 3a c dab2b3bcd ac2c3cbd ad2d3dbc;2．xyxyxyxyxyxy1.；x a1 a2an210 1 x 1 a1 x a2an211 0 1 x 3．解方程0x 1 1 0 ；4．a1a2x an21；1 x 1 0 a1 a2a x31a 1 a2a3an115a1 1 11 a 11 15. 1 1 a 12( a j 1,j 0,1, , n)；1 1 1 an1 1 1 13 1 b 1 16. 1 1 2 b 11 1 1 (n 1) b1 1 1 1 x a1a2anb 1 a1a1a1a1x a2an7. b1 b2a2a2；8．a1a2x an;b 1 b2b3ana1a2a3x2 1 0 0 01 2 x1 x x1 2x x1 n1 2 1 0 09. x2x11 22xx x2 n ; 10.0 1 2 0 0xnx1xnx21 2 xn0 0 0 2 10 0 0 1 21 a a 0 0 01 1 a a 0 011．D 0 1 1 a a 0 .0 0 1 1 a a0 0 0 1 1 a6四、证明题21 1a a 12a a21 1b b 12b b 1．设abcd 1，证明：021 1c c 12c c21 1d d 12d d .a 1b x1a x1b1c1a1b1c12． a2 bx2ax2b2c2(1 2 x ) a2b2c2.a 3b x3a x3b3c3a3b3c31 1 1 1a b c d3． 2 (b a)( c a)( d a)(c b)( d b)(d c)( a b c d)2 2 2a b c d .4 a4b4c d41 1 1a 1 a2an4．2a12a22nanai(a aj i) .i 1 1 i j nna12n2a2 nan2na1na2nna1 1 15．设a, b, c两两不等，证明 a b c 0的充要条件是 a b c 0.3 b3 c3 a7参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B二．填空题1. n ;2.“”;3. a14 a22 a31a43 ;4. 0 ;5. 0 ;6. ( 1) !n 1 n ;n( n1)7.( 1) 2 a1n a2(n1) a n1 ; 8. 3M ; 9. 160; 10. 4 x ; 11.( n 1n) ; 12. 2 ;n113. 0 ; 14.0 ;15. 12, 9; 16.n! (1 ) ; 17. k 2,3 ;18. k7k k1三．计算题3 y3 1．(a b c d)(b a)(c a)( d a)(c b)( d b)( d c) ； 2. 2(x ) ；n 13. x 2,0,1;4. (xk 1 a k )n n15. (a 1) (1 ) ;6. (2 b)(1 b) ((n 2) b) ;k a1k 0 k 0 k7.nn b a( 1) ( ) ; 8.k kn n( x a k ) (x a ) ;k k 1 k 1 k 1 n9. 1x ; 10. n 1;kk 12 a411. (1 a)(1 a ) .四. 证明题(略)8第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( ) 。

【1】填空题(1)(2)(3)(4)(5)答案:【2】(1)A-3 ；(2) 《线性代数》习题集（含答案）二阶行列式二阶行列式二阶行列式三阶行列式三阶行列式l.ab(a-b) 选择题若行列式B-2 ; C2;若行列式abcos sina bi2aA -1 , .2 ;B 2.1D3osincosa bi3. a=0，.2 ；34. x则x=则x=()。

()o第一章3z 3xyz ；5.4abc。

C 1,、、223 (3)三阶行列式503 20152A -70 ;B -63 ;C 70;D 82。

/ 、n 1A0; Bn !; C (-1 ) • n !; D 1?n!。

答案：1.D ; 2.C ; 3.A ; 4.B ; 5.D 。

【3】证明【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1） 134782695；（2）217986354；（3）987654321。

答案：（1） （ 134782695）=10,此排列为偶排列。

（2） （ 217986354）=18,此排列为偶排列。

（3） （ 987654321）=36，此排列为偶排列。

【5】计算下列的逆序数：（1）135L （2n-1）246L （2n ）；（2）246L （2n ）135L （2n-1 ）。

1 1 答案：（1） — n （n-1 ）；（2） — n （n+1） 22【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：a0 0 （4）行列式 0 a b 0 b ab 0 0 2b0 a =()。

A a 4 b 2C bD a 4b 4。

0 1 0 L0 0 2 L （5） n 阶行列式M M M0 0 0 Ln 0 0 L0 0 M n 1 0=()。

1 298 =()。

3a 15a 23a 32a 44a 51a 66；( 2)a 21a 53a 16a 42 a 65a 34；( 3)(1)正号；(2)负号。

根据定义计算下列各行列式:0 0 L 0 1 0 0 0 L 2 0 0 MMM M M n 1 0 L 0 0 0 0 0 L0 0 n3|1923332 a44a 14a 22a 33a 41n(n 1)(n 1)(n 2)(1)^ ?n! ； (4) ( 1)2n!。

姓名班级学号第1章矩阵习题1.写出下列从变量 x, y 到变量 x1, y1的线性变换的系数矩阵：x1x x1x cos y sin(1)；(2)x sin ycos y10y12.( 通路矩阵 ) a 省两个城市1 2和b省三个城市b1 2 3的交通联结情况如图所示，每条线a ,a,b ,b上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.4。

b1a1。

3 1。

b2a2。

22。

b3 1111233.设Α11 1 ，B124，求 3AB- 2A和A T B.1110514.计算22 11(1) 3 1 00 1 2a11a12b1x(2) (x, y, 1) a12a22b2yb1 b 2c1x1 2 y1y3y13z1z25.已知两个线性变换x22y13y 2 2 y3,y22z1z3, 写出它们的矩阵表x34y1y2 5 y3y3z23z3示式 ,并求从 z1 , z2 , z3到 x1 , x2 , x3的线性变换.姓名班级学号6.设0 m1 m- 1+,+ am，A是n阶方阵，定义f (A)= a0m1m- 1mE.f (x)= a x + a x A + a A+,+ a当 f (x)=x2- 5x+3，A21时，求 f (A).3 37.举出反例说明下列命题是错误的.2(1) 若A=O，则A=O.(2) 若A2= A，则A= O或A= E..7.设方阵 A 满足 A2- 3A- 2E =O，证明 A 及 A- 2E 都可逆，并用 A 分别表示出它们的逆矩阵．8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：1 2 31(1)A2 4 621 231姓名班级 学号3 14 2 2 10 1 1.(2) B2 134 1 1 433 09. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B 和 A 之间的关系式 .1 0 1 210 1 21 0 0 2A 23 1 2 ~0 3 3 2 ~0 332 =B .112r2 r112cc11 3 112113110.设P1APΛ，其中P1 4，Λ10，求A9. 11024 0011. 设A0 30，矩阵B满足AB=A+2B，求B.0 02姓名班级学号10212. 设A212, 利用初等行变换求A-1 .533复习题一1. 设A ,B , C 均为 n 阶矩阵，且 ABC =E , 则必有（） .( A) ACB =E ； (B) CBA = E ； ( C) BAC =E ； (D ) BCA =E .a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 2. 设 Aa 21a 22a23, Ba11a12a13,a31a32a33a 31 a 11 a 32a 12a 33 a 130 1 0 1 0 0P 11 0 0 , P2 0 1 0 ，则必有 () .0 0 11 0 1(A) AP 1 2=B ； （ ） 2 1 ； 1 2A =B ；2 1A =B .P B AP P =B ( C)PP( D)PP 3. 设A 为4 阶可逆矩阵，将 A 的第１列与第４列交换得B ，再把 B 的第 2 列与第 3 列交换得 C ，设0 0 11 0 0 0P 10 10 0，P 20 01 0 ，则 C -1=（ ） .0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 00 0 0 1- 11 2 ； (B) P 1 -1 2 ；(C) P 2 1 - 1；(D) P 2-11.(A)A PPA P P AA P4. 设 n 阶矩阵 A 满足 A 2- 3A +2E =O ，则下列结论中一定正确的是（）.(A) A - E 不可逆 ； (B) A - 2E 不可逆 ； (C) A - 3E 可逆；(D) A -E 和 A -2E 都可逆 .Tn5. 设 A =(1,2,3) ， B =(1,1/2,1/3) ，令 C =A B ，求 C .姓名班级学号6.证明：如果 A k=O，则(E- A)-1=E+A+A2+, +A k-1，k为正整数.10031 7.设A, B为三阶矩阵 , A00-14,且A BA=6A+BA，求B.10071O A8. 设 n 阶矩阵A及 s 阶矩阵B都可逆，求.B O0a100000a2009. 设X（ a1 a2a n 0 ），求X-1.0000a n 1a n0000姓名班级学号第 2章行列式习题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组x12x2x322x1x23x31x1x2x303 1 x2.当 x 取何值时， 4 x 00 .1 0 x3.求下列排列的逆序数：(1) 315624 ；(2)13 ⋯(2n-1)24 ⋯(2n).a b c4.证明： a a b a b c a3.a 2ab 3a 2b c5. 已知四阶行列式|A|中第 2 列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 , 求 |A|.姓名班级学号6.计算下列行列式 :11111 111(1)1 1 111111x y x y(2)y x y xx y x y0 1 111 0 11(3)1 1 011 1 101 x1x2(4) 1 x12x221 x13x231 a1111 1 a21a0 ．（5）D n，其中a a1 2n11 1 a n姓名班级学号7．设 n 阶矩阵A的伴随矩阵为A* ，证明：|A*| =|A|n-1， ( n ≥2) ．8.设 A, B 都是三阶矩阵，A*为 A 的伴随矩阵，且|A|=2， |B|=1，计算|-2A* B-1 |．2 119. 设A 2 10，利用公式求A-1.111姓名班级学号复习题二1．设A, B都是 n 阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A*、B*，证明：( AB)* = B* A*．3 4 004 3 00，求 A-1．2.设 A0 0 200 0 223. 已知A1, A2, B1, B2都是 3 1 矩阵，设A=( A1, A2, B1,)，B=( A1, A2, B2 )，|A|=2，|B|=3，求 |A+2B|．E B4．设A, B都是 n 阶方阵，试证： E AB ．A E姓名班级学号第 3 章向量空间T2习题1T3T，计算 3α1- 2α23．1. 设α=(1,-1,1), α=(0,1,2), α=(2,1,3)+α2. 设α1=(2,5,1,3) T, α2=(10,1,5,10) T, α3=(4,1,-1,1) T, 且 3(α1- x)+2( α2+x)=5( α3+x) , 求向量x.3.判别下列向量组的线性相关性:T T T(1) α1=(-1,3,1) , α2=(2,-6,-2) , α3=(5,4,1)；Tβ2=(-1,4,0)T, βT .(2) β1=(2,3,0) ,3=(0,0,2)4. 设β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3，且向量组α线性无关，证明向量组β, β2, β3线1,α2,α31性无关．5.设有两个向量组α1,α2,α3 和β1=α1-α2+α3,β2=α1+α2-α3,β3= -α1+α2+α3，证明这两个向量组等价 .6. 求向量组αT T T, αT 的一个极大无关组，并将其1=(1,2,-1), α2=(0,1,3), α3=(-2,-4,2)4=(0,3,9)余向量用此极大无关组线性表示.姓名班级学号7. 设 α1, α2,, , αn是一组 n 维向量，已知n 维单位坐标向量 ε能由它们线性表示，1, ε2,, , εn证明： α, αn 线性无关．1 , α2,,，其中 α线性无关， α+b α2,α5=c α2+d α3(a, b, c, d8. 设有向量组 α1, α2, α3, α4, α51, α2, α34=a α1均为不为零的实数 ) ，求向量组 αα3, α4, α5 的秩．1,9. 设矩阵 A = (1,2, ⋯ ,n), B =(n,n-1,⋯ ,1)，求秩 R(A T B ).212 1 1 1 21 12 1 4A 的一个最高阶非零子式 .10. 设矩阵 A6 2 2 ，求 A 的秩，并写出 4 4 3697 91 2 0 3 2 0 4 211. 已知矩阵 At 5 t 4 1 1 02 1，若 A 的秩 R(A )=2 ，求参数 t 的值 .22姓名班级学号23540 2 6412.设A，求A的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组.1 1533 1 95213. 设A为 n 阶矩阵，E为 n 阶单位矩阵，证明：如果A =A,则R( A)+ R(A- E )=n．2314.已知向量空间R3的两组基为100- 110α11 , α21, α31和β1 1 , β21, β31，001011求由基α, α3到基β的过渡矩阵 .1,α21,β2,β3 24姓名班级学号复习题三k 1 111 k 111.设矩阵A1 1 k11 1 1 k，已知 A 的秩为3，求k的值.2．设向量组A: α1, , , αs与B: β1,,, βr，若A组线性无关且 B 组能由 A 组线性表示为( β1,βr)＝(α1, , ,αs)K，其中K为s r矩阵 , 试证：B组线性无关的充分必要条件是矩阵K,,的秩 R(K)＝ r .253．设有三个n维向量组A：α1,α2 α3；B：α1α2,α3α4；C：α1α2,α3α5．若 A 组和 C 组,,,,,都线性无关，而 B 组线性相关，证明向量组α1,α2,α3,α4-α5 线性无关．T T T T T T 4．设向量组A: α1=(1,1,0) , α2=(1,0,1) , α3=(0,1,1)和B:β1=(-1,1,0) ,β2=(1,1,1) ,β3=(0,1,-1)3(1) 证明：A组和B组都是三维向量空间R 的基；(2)求由 A 组基到 B 组基的过渡矩阵；(3)已知向量α在 B 组基下的坐标为(1,2,-1)T,求α在 A 组基下的坐标．26姓名班级学号第4 章线性方程组习题x1x251. 写出方程组2x1x2x32x4 1的矩阵表示形式及向量表示形式.5x13x22x32x432.用克朗姆法则解下列线性方程组bx ay2ab2cy 3bz bc ,其中 abc0cx az027x1x2x303.问,取何值时，齐次线性方程组x1x2x30 有非零解？x1 2 x2x30x1x2k x344.设有线性方程组 - x1kx2x3k 2，讨论当k为何值时，(1) 有唯一解？ (2)有无穷x1x22x34多解？(3) 无解？28姓名班级学号x18x210 x32x405. 求齐次线性方程组2x14x25x3x40的一个基础解系.3x18x2 6 x32x406. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η是它的三个解向量，且1,η2,η3η1=(2,3,4,5) T, η2+η3=(1,2,3,4) T，求此方程组的的通解．297 . 求下列非齐次线性方程组的通解：x 1 x 252x 1 x 2 x 3 2x 415x 1 3x 2 2 x 3 2x 431 2 1 112 ,2131及向量3，8.设有向量组 A ： αα， α311问向量 β能否由向量组A 线性表示？30姓名班级学号9.设η* 是非齐次线性方程组AX=b的一个解，ξ1, ξ2,, , ξn-r是它的导出组的一个基础解系，证明：（ 1）η*, ξ线性无关；1,ξ2,, ,ξn-r n-r 线性无关．（ 2）η*, η*+ ξ12, η*+ ξ,,, η*+ ξ复习题四1 2 121. 设A0 1 a a ，且方程组AX =θ的解空间的维数为2，则 a=.1 a 012．设齐次线性方程组a1 x1+a2x2+⋯ +a n x n=0,且 a1,a2,⋯,a n不全为零，则它的基础解系所含向量个数为.3. 设有向量组π：α1=( a,2,10)T2T3T及向量β=(1,b,-1) T，问 a, b 为何值时 , , α=(-2,1,5), α=(-1,1,4)（1）向量β不能由向量组π线性表示；（2）向量β能由向量组π线性表示，且表示式唯一；（3）向量β能由向量组π线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式．姓名班级学号4．设四元齐次线性方程组x1x20x1x2x30（Ⅰ）（Ⅱ）x2x40x2x3x40求:(1) 方程组 (Ⅰ ) 与(Ⅱ )的基础解系； (2)方程组 (Ⅰ )与( Ⅱ)的公共解．5．设矩阵A=(α,α,α,α)，其中α,α,α线性无关，α=2α-α，向量β=α+α+α+α，12342341231234求非齐次线性方程组Ax= β的通解．a1b1c16. 设a2,b2,c2,证明三直线a3b3c3l1 : a1x b1y c10l 2 : a2 x b2 y c20a i2b i20, i1,2,3l 3 : a3 x b3 y c30相交于一点的充分必要条件是向量组,线性无关，且向量组,, 线性相关．姓名班级学号第5 章矩阵的特征值和特征向量习题1. 已知向量α1=(1,-1,1)T，试求两个向量α23，使α1 2 3为R3的一组正交基．, α, α, α2. 设A, B都是 n 阶正交矩阵，证明AB 也是正交矩阵．3.设A是n阶正交矩阵，且|A|=-1 ，证明： -1 是A的一个特征值．2124.求矩阵533的特征值和特征向量.1 02姓名班级学号5. 已知三阶矩阵 A 的特征值为1,2,3 ，计算行列式|A3-5 A2+7E|．1245006.设矩阵A2x2与Λ0y0相似，求 x, y ；并求一个正交矩阵P，421004使 P-1AP=Λ．7.将下列对称矩阵相似对角化：220（1）212020400（2）031．013姓名班级学号A8. 设λ是可逆矩阵 A 的特征值，证明：(1)是A*的特征值．(2)当1,-2,3是3阶矩阵A 的特征值时，求A*的特征值．9. 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为λ=6,λ=λ=3，属于特征值λ=6的特征向量为1231p1=(1,1,1)T，求矩阵A．姓名班级学号复习题五1.设 n 阶矩阵A的元素全为1，则A的 n 个特征值是．2.已知 3阶矩阵 A, A- E , E+2A 都不可逆，则行列式|A+E|=．1a10003.设 A a1 b ，B010 ，已知A与B相似，则a, b满足．1b10024.设 A 为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量， Aα1=0, Aα2=2α1+,α2，则 A 的非零特征值为.2 015. 已知矩阵A 3 1 x 可相似对角化，求x ．4 056. 设矩阵A满足A2- 3A+2E=O，证明A的特征值只能是1或 2．412 1 27. 已知 p 1 =(1,1,-1) T 是对应矩阵 A5a 3 的特征值 的一个特征向量．1 b2(1) 求参数 a, b 及特征值 ； (2) 问 A 能否相似对角化？说明理由．8. 设3 2 ，求 φ 10- 5A 9．A3 ( A )=A242姓名班级学号第6章二次型习题1.写出下列二次型的矩阵表示形式：f x12x22x32x422x1 x24x1 x32x1 x46x2 x34x2 x411122.写出对称矩阵A 1 0 2 所对应的二次型．12233.已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12x22ax324x1 x26x2 x3的秩为２，求a 的值．434.求一个正交变换将 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x123x223x324x2 x3化成标准形．44姓名班级学号5.用配方法将二次型f x123x225x322x1 x2 4x1 x3化成标准形，并写出所用的可逆线性变换．6.设二次型 f2x123x223x322ax2 x3 (a 0) ，若通过正交变换x Py 化成标准形f y12 2 y22 5 y32，求a的值．457.判别下列二次型的正定性：（ 1）f2x126x224x322x1x2 2x1 x3（ 2）f x123x229x3219x422x1 x2 4x1 x3 6x2 x4 12x3 x48.设f x12x225x322ax1 x22x1 x34x2 x3为正定二次型，求 a 的取值范围．46姓名班级学号复习题六1. 设A为mT时，矩阵 B 为正定矩阵．n 矩阵，B=λE+A A，试证：λ>001001000,写出以A, A-1为矩阵的二次型，并将所得两个二次型化成标准形．2.设A0210012473. 已知二次曲面方程x12x22ax322bx1 x2 2x1 x3 5 ，通过正交变换X=PY 化为椭圆柱面方程y122y225，求 a， b 的值．101， B （k E 24.设矩阵A020A），其中k为实数，求对角矩阵Λ，使B101与Λ相似，并讨论k 为何值时，B为正定矩阵．48姓名班级学号测试题一一、计算题：2111. 计算行列式D n 131. 11n111002．设A0， B03 5 ，计算A3B T．20123．设A、B都是四阶正交矩阵，且B0， A * 为 A 的伴随矩阵,计算行列式2BAA * ．14．设三阶矩阵A与B相似，且A2，计算行列式 B 22E．31025．设A0a2，且 A 的秩为2，求常数 a, b 的值．11b142二、解答题：6．设i(1,t i ,t i2 ,t i3 ) T i 1,2,3, 4 ，其中 t1 ,t 2 , t3 , t4是各不相同的数，问4维非零向量能否由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示？说明理由．x12x2x3x407．求齐次线性方程组3x16x2x33x40的一个基础解系．5x110 x2x35x40x1x2kx318．问k取何值时，线性方程组x1kx2x3kkx1x2x3k 2(1)有唯一解； (2) 有无穷多解； (3) 无解．9．已知四阶方阵A＝（1,2,3,4），其中1,2,3线性无关，42 3 3，求方49。

第一章行列式1、 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。

(1) 1347265； (2) 〃(〃 —1)・・・321。

【解(1) r(1347265)=0 + 0 + 0 + 0 + 3 + l + 2 = 6,偶排列；(2) "〃(〃_1)...321] = 0 + ] + 2 + ... + (〃_1) = 〃(；1)。

当〃=4奴4女+ 1时，〃(〃；1)=2机4*—1),2机4* + 1)为偶数，即为偶排列；当〃 = 412,413时，丝* = (2*+1)(4*+ 1),(2*+1)(4*+ 3)为奇数,即为奇 排列。

■2、 用行列式定义计算2x x 1 21x1-1 f (X )=-- [3 2x1111%中『和r 的系数，并说明理由。

【解】由行列式定义可知：含b 有的项只能是主对角线元素乘积，故的系数为2； 含有尸的项只能是(1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)的元素乘积项，而7(2134) = 0 + 1 + 0 + 0 = 1,故/的系数为一1. ■2-512 --37-14 3、 求 =o45 -9 2 7 4-612【解】三角化法：2-5121-522 1-522 尸2+八1-12 0 6C[0 2-160 113D 4 =- _八3-211 1 0 3 0 113 0 2-16 r 4+r 211 0 60 1160 1161 -52 2 r3~2r 2 0 11 3r4~r 2 00 -3 00 0 31111 rk~r l0 10 0=120= 120o )l=2,3,40 0 100 0 0 1【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。

1 x 2q+C2 +•••+&n D"=(，-就1 x 2-mi=l1x21 0 0C k -X L C I 凡 q (»i) k=2,3,---,n1 —m ••- 01 0…-m【解】观察特点: 行和相等。

第一章 行列式4。

计算下列各行列式：(1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4)⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a1110011001解（1）7110025*******21434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0（2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4）d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5。

证明： (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -； （2）bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+；（3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;（4）444422221111d c b a d c b a dc b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅；(5）1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 .证明(1）00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2）bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a（3） 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d dd c c c cb b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4） 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立,即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6。

A 组1.判别Q (厉)二｛0 +勿亦|0,处0｝是否为数域？解是.2.设/(x) = x3 4-x2 4-x+l, g(兀)=兀2+3兀+ 2,求 /(兀)+ g(x)，/(x)-g(x), f(x)g(x). 解/(x) + g (x) = x3 4- 2x2 + 4x + 3 ,/(兀)-g(x)"-2x-l,f(x)g(x) = x5 +4x4 +6兀'+6兀$ +5x + 2 .3.设/(%) = (5x-4),993(4x2 -2x-l),994 (8x3 -1 lx+2)'995,求 /(%)的展开式中各项系数的和.解由于/(兀)的各项系数的和等于/⑴，所以/(I) = (5-4严3(4-2- 1尸94(8-11 + 2)1995 =-1.4.求g(兀)除以/(兀)的商q(x)与余式心).(1)f (x) —— 3%2— x — 1, g(兀)=3F - 2兀+1 ；(2)/(x) = x4 -2x4-5, g(x) = x2 -x + 2 .解（1）用多项式除法得到x 73x~ — 2x +13_93X + 3—x —x-i3 37 ° 14 7-- 无_+ —x --3 9 926 2-- X ---9 9所以'恥）十岭心）W（2）用多项式除法得到x4— 2x + 5兀4 —”丫" + 2 兀2— 2x~ — 2 兀+5 jy?—兀~ + 2 兀-x2-4x4-5-兀? + X - 2—5x + 7所以，q(x) = x2 +x-l, r(x) = -5x + 7 .5.设是两个不相等的常数，证明多项式/(兀)除以(x-a)(x-b)所得余式为af(b)_bg)a-b a-h证明依题意可设/(x) = (x - a)(x - b)q(x) + cx+d,则”(a) = ca + d,[f(b) = cb + d.解得F=(/a) --,\d = (af(b)-bf(a))/(a-b).故所得余式为a-b a-b6.问m,p,q适合什么条件时，/(兀)能被g(x)整除？(1) /(x) = x3 + px + q , g(x) = x2 + nvc-1；(2) f(x) = x4 + px2 +q , g(兀)=x2 + mx+l.解(1)由整除的定义知，要求余式r(x) = 0 .所以先做多项式除法,3x2 + mx -1x-in“+ “X + q3 2x + mx^ - x-mx1 +(〃 + l)x + g2 2一 mx_ — m^x + m°(# +1 + 加〜)兀 + (g —m)要求厂(x) = (/? + l +加2)兀+ (§ —加)=0 ,所以(“ + 1 +加2) = 0, q-m = 0.即p = -l-m2, q - m时, 可以整除.（2）方法同上.先做多项式除法，所得余式为厂（兀）=加（2 — ”一nr ）兀+ （1 + @ —卩一加〜），所以 m （2-p-/772） = 0, 1 + ^ - p - m 2= 0 ,即 m = 0, p = q + \ 或“二 2— 加［q = l 时，可以整除.7. 求/（兀）与gCr ）的最大公因式:(1) f (x) — x 4 + — 3%2 — 4x — 1, g (x)=兀彳 + — x — 1 ； (2) f(x) = x 4— 4x 3+ 1, g(x) = x 3— 3x 2+1 ；(3) /(x) = x 4 -10x 2 +1, g(x) = x 4 -4A /2X 3 +6X 2 +4A /2X +1 .解（1）用辗转相除法得到用等式写出來，就是所以(/(x),g(x)) = x + l ・（2）同样地,<8 4 / 3 3= -X + — — -X-—(3 344-2x 2-3x-l1 1 --- X 4——2 -- 4 X 3+ X 2- X - 1 x 4 + x 3- 3x 2- 4x- 11 2 3 , -2x 2 — 3兀—12 21 2 3 1 -- X ----- X ---—2兀~ — 2兀2 4 433-- X ----X -144一丄 184—X H - 3 3 0心宀丄兀2 24 3 2牙+牙-X - Xf(x) = xg(x)^(-2x 2-3x-l),g(x) =所以(/⑴,g (兀)) = 1.⑶ 同样用辗转相除法，可得(/(x),g(x)) = F —2血兀一1.8.求 w(x),仄兀)使 w(x) f\x) + v(x)g(ji) = (/(x), g(%))：(1) f (x) = %4 4- 2x^ — %2 — 4x — 2, (x) = %4 + x — x~ — 2x — 2 : (2) /(x) = 4x 4-2x 3-16x 2+5x4-9, g(x) = 2兀3-x 2-5x+4:(3) /(x) = x A-x 3-4x 2 +4x + l, g (兀)=x 2 -x-l.解(1)利用辗转相除法，可以得到/(x) = g (A ：) + (x 3-2x)'g (兀)=(x+l)(x 3 - 2x) + (x 2 -2),x — 2兀=x(^x~ — 2).因而，(/(x),g(x)) = x 2-2,并且(/(兀),g (兀))=/ 一 2 = g (兀)_ (兀+1)(疋 _ 2兀) =g (兀)一(X +1) (f(x) -g (兀))=(一兀 一 1)/(兀)+ (兀+2)g(x),所以 u(x) = -x-\, v(x) = x + 21 10 -- X H --- 3 9x 3 - 3x 2x-13 1 2 2X H —X X 3 3 10 2 2~~'- ---- X H 兀+ 13 -- 3 10 ° 10 20 X --- 兀 3 9 916~~1T —X ------ 9 927 441 --------- X ---------------16 256-3x 2+—x1649一一539 兀+ --- 27 256(2)利用辗转相除法，可以得到/(x) = 2xg(x)-(6x 2 +3兀-9),(\ 1Ag(x) = —(6x_ + 3兀一9) ——% + — — (% — 1), —(6x - + 3x — 9) = —(x —1)(6% + 9).因而，(/⑴,g(Q) = x-1，并且(1 1 …厶— —X + _ f (x) + _兀_—x~\ I 3 3丿 (3 3丿] 1 2 7 2fi/f 以 W (X )= X H —, V (X )= — --- X — \ •3 3 3 3(3) 利用辗转相除法，可以得到fM = X —3)g(x) + (x — 2),g(x) = (x+l)(x-2) + l ・因而( f(x), g(x)) = 1 ,并且(/(兀),g(x)) = 1 = g(x) - (x+1)(兀一 2)=g (兀)-(兀+1)(/(兀)-(x 2 一3)gCr))—(—兀―1) f (x) + (兀'+ 兀2 — 3兀—2)g(x),所以u (兀)= -x-l, v(x) = x 3 +x 2 -3x-2.9.设/(x) = %3+ (14-t)x 2+ 2x + 2w, g(x)二F+zx + u 的最大公因式是一个二次多项式，求/，凤的值.解利用辗转相除法，可以得到/(%) = g(x) + (l + /)兀2 +(2-/)兀 + « ,(/(x), g(x)) = x-l = -(6x 2+ 3x-9)+ | _g(x)I d J J(I ] \= (/(x)-2xg(x)) --x+- -g(x)\ 3丿 <2 o 2 d ,、 U 3 广—---- 兀+ (1 + r t-2(l +r)2(尸 + r—w)(i+r) + (t— 2)~u[(l + t)2 — (r —2)]由题意，/(x)与g(Q的最大公因式是一个二次多项式，所以(广 + / —w)(l + /) + (f— 2)~(T H?皿(l + r)2-(r-2)] A ；=0,(l + O2解得u = o^t = -4.10.设(x —I)[(A/+ B F+I),求A和B.由题意要求知解用(兀一1)2 去除f\x) = Ar4 + Bx2 +1 ,得余式”(x) = (4A + 2B)兀+1 -3人一B,斤（兀）=0,即4A + 2B = 0,1-3A-B = O,解得A = l,B = -2.11.证明:如果(/(x),g(x)) = l, (/(x),/z(x)) = l,那么(/(x), g(x)/z(x)) = l. 证明由条件可知,存在络(兀)和片⑴ 使得旳(兀)/(兀)+岭⑴g(x) = l,存在如(兀)和卩2(兀)使得u2(x)f(x) + v2(x)h(x) = 1.用/?(兀)乘以第一式得坷(x)f(x)h(x) + V, (x)g(x)h(x) = h(x),代入第二式得u2(x)f(x) + v2 (x) [u t (x)f(x)h(x) 4-Vj (x)g(x)/z(x)] = 1, 即[w2(兀)+ u\ (x)v2(x)h(x)]f(x) + [v, (x)v2(x)]g(x)h(x) = 1,所以(/(x),g(x)/z(x)) = l.12.证明：如果/(x)与g(x)不全为零，且/心)/(兀)+ 咻)g(兀)=(/(%), g(Q)，证明由于w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x),g(x)), /(X )与 g(x)不全为零，所以(/(x)，g(x))HO.两 边同时除以(/(Hg(Q)HO,有所以(弘(兀),咻)) = 1 .13.证明：如果〃(兀)|/(兀),〃(兀)|g(x),且〃(兀)为/(兀)与g(x)的一个组合，那么〃(兀)是/G)与 g(x)的一个最大公因式.证明由题意知d(x)是/(X )与g(x)的公因式.再由条件设d(x) = w(x)/(x) + v(x)^(x) •又设h(x) 为/(x)与g(x)的任一公因式，即/z(x)|/(x), h(x)\g(x),则由上式有h(x)\d(x).故而”(兀)是/(兀)与 g(x)的一个最大公因式.14.证明：(.fO)/2(X ), gO)/2(X )) = (.f(X ), g(x))〃(x),其中力(兀)的首项系数为 1.证明显然(/(x), g(x))/?(x)是f{x)h{x)与g(x)h(x)的一个公因式.下面來证明它是最大公因式. 设 /心),v(x)满足 w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x), g(X>),贝iJu(x)f(x)h(x) + v(x)g(x)h(x) = (/(x),g(x))/z(x).由上题结果知，(/(兀),g(X ))/7(X )是/(X )/?(X )与g(JC”7(X )的一个最大公因式，又首项系数为1,所以(/(x)A(x), ^(%)/?(%)) = (/(x), ^(x))/i(x)・/⑴ g (兀)、(/(兀),g (兀))’(f(x),g(x))丿证明设〃(兀)=(/(兀),g(x)),则存在多项式M (x), v(x),使d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)・因为/(X )与g (尢)不全为零，所以d(x)HO.上式两边同时除以〃(兀)，有故 /(兀) _____________ g (x)l (/(x),g(x))‘(/(x),g(x))‘u(x) /(X ) (/(%), g(x)) + v(x) g(x) (y (x ),^(x ))15.设多项式/(x)与gS)不全为零，证明1 = u(x)/(兀)(/(兀),g(x))+咻)g(x) (/(兀),g(x))=1成立.16. 分别在复数域、实数域和有理数域上分解兀4+ 1为不可约因式之积.在有理数域上兀°+1是不可约多项式.否则，若+ +1可约，有以下两种可能.(1) 兀4+1有一次因式，从而它有有理根，但/(±1)工0,所以卍+1无有理根.(2) x 4+ 1 无一次因式，设x 4+1 = (x 2+处 +方)(F +cx + d),其中 a,b y c,cl 为整数.于是a + c = O, b+ 〃 + ac = O, cut + be = 0 , bd = \,又分两种情况：① b = d = \,又 a = —c,从而由 b + 〃 + ac = O,得 a 2=2,矛盾； ② b = d = — \,则 a 2= —2 ,矛盾.综合以上情况，即证.17. 求下列多项式的有理根： (1) /(x) = x 3-6x 2+15兀一 14 ；(2) ^(X ) = 4X 4-7X 2-5X -1；(3) /z(x) = x 5+ %4— 6x^ — 14x~ — 1 lx — 3 ・解(1)由于/(x)是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为-14的因数.-14的 因数有：±1, ±2, ±7, ±14,计算得到:/(D = -4, /(-1) = -36, /(2) = 0, /(-2) = -72,/(7) = 140, /(-7) = -756, /(14) = 1764, /(一 14) = —4144,故x = 2是/(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = 2是于(兀)的单根.⑵ 类似(1)的讨论可知，g(x)的可能的有理根为:故x = --是巩兀)的有理根.再由多项式除法可知，兀二-丄是/(劝的2重根.2 2⑶ 类似地，加兀)的可能的有理根为：±1,±3,计算得到解在实数域上的分解式为X4+ 1 = (X 2 + 1)2-2X 2 =(X 2+V2X + 1)(X 2-V2X +1).在复数域上的分解式为x + ----------1 2 2%4+ 1 = f亠迈亠近、X ---------- 12 2/±1, ±1 ±?计算得到g(l) = -9,g(-1) = 1, g(］、r 、171=-5, g —=0, g — 一 —‘ g —〔2< 264 ,4丿11A(l) = -28, /?(-l) = 0,(3) = 0,加一3) = -96.故x = -l, x = 3是//(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = -\是/z(x)的4重根，兀=3是//(兀)的单根.18.若实系数方程x34- px + q = 0有一根a + bi (a,b为实数，/?工0),则方程x3 + px-q = 0有实根2—证明设原方程有三个根不失一般性，令=a + bi,从而有a2 =a-bi,由根与系数的关系可知0 = $ + 冬 + 他=(° + 勿)+ (a - bi) + ,所以冬二-2d，即(-2a)‘ + /?(-2a) + g = 0，故(2a)' + p(2a)-q = 0.这说明x3 + /zr-g = 0有实根2a .19.证明：如果(%-i)|/(r),那么证明因为u-i)|/(z),所以/(r)= /(i)= 0.因此，令y(x)=(x-i)g(x),则有E =(*-i)g(;),即(伙-1)|/(疋).20.下列多项式在有理数域上是否可约？(1)土 (%) = F+1；(2)/；(X)= X4-8?+12X2+2；(3)人(x) = x" +『+1 ；(4)厶(无)=* + "； + 1,门为奇素数；(5)厶(兀)=兀°+4尬+ 1, A为整数.解(1) ./；(兀)的可能的有理根为：±1,而/(±1) = 2,所以它在有理数域上不可约.(2)由Eisenstein判别法，取素数p = 2,则2不能整除1,而2|(-8), 2|12, 2|2,但是2?不能整除2,所以该多项式在有理数域上不可约.(3)令x=y + l,代入厶(x) = P+x'+l有^(y) = ^(y + l) = / + 6/+15/+21/+18y24-9y4-3.取素数0 = 3,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以/(兀)在有理数域上不可约.(4)令兀= y_l,代入f4(x) = x p 4-px + 1,得g(y)=厶(y j) = -+ cy~2——C；-2y2 + (Cf* + p)y-p，取素数p,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以£(兀)在有理数域上不可约.(5)令x=y + l,代入农(兀)=兀4+4Ax+l,得g(.y)=厶(y +1) = y" + 4y‘ + 6y2 + (4k + 4)y + 4R + 2 ,収素数p = 2,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以点(兀)在有理数域上不可约.1•设/(X)，g(X)，加兀)是实数域上的多项式，(1)若/2U) = xg2(x) + x/z2(x),则/(x) = g(x) = h{x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题是否成立？证明(1)当g(兀)=/2(兀)=0时，有严⑴=0,所以/(%) = 0 ,命题成立.如果g(x), /z(x)不全为零，不妨设g(x)H0・当h(x) = 0时，a(xg2(x) + x/i2U)) = l + 2a^(x)为奇数；当加兀)工0时，因为g(x),瓜兀)都是实系数多项式，所以Xg2(x)与兀胪(兀)都是首项系数为正实数的奇次多项式，于是也有d(xg2(x) + x/『(x))为奇数.而这时均有/2(x)^0 ,且df\x) = 2df(x)为偶数,矛盾.因此有g(兀)=力(兀) = 0,从而有f(x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题不成立.例如，设f(x) = 0 , g(x) = x\ h(x) = ix,1,其中斤为自然数, 有/2 (x) = xg2 (x)xh2 (x),但g(x) / 0 ,力(兀)工0.2.设/(x), g(x)9 h(x)e P[x],满足(x2 4-l)h(x)4-(x-l)/(x) + (x+2)g(x) = 0,(x2 + l)/?(x) + (x+ l)/(x) + (x - 2)^(%) = 0.证明(X2+1)|(/U), g(X))・证明两式相加得到2(x2 + l)h(x) + 2x(/(x) + g(兀))=0.由(x2+l,兀)=1可知(x2 + l)|(/(x) + g(x)).两式相减得到-2f(x) + 4g(x) = 0, f(x) = 2g(x).故(x2 + l)|/(x), (x2+l)|g(x), BP(X2+1)|(/(X),g(x)).3・设gi(x)g2(x)\f{(x)f2(x),证明(1)若/(x)|g](x)，/(X)H0,则g2(x)\f2(x)；(2)若g2(x)|/；(x)/；(x),是否有g2(x)\f2(x)?解(1)因为gi(兀)g2(兀)庞(兀)£(兀)，/O)|gi(X)，故存在多项式h(x), h}(x)使得fl(x)f 2(x) = g](x)g 2(x)h(x\ g](兀)=Z (x)h }(x).于是/；(兀)£(兀)=/(兀)人(兀)g2(x)力(兀)•由于 土(兀)工0,故有 f 2(x) = h l (x)g 2(x)h(x),即g 2(x)\f 2(x).(2)否•例如取 g {(x) = x-2 , ^2(X ) = X 2-1 , (x) = (x-l)(x-2), (x) = (x + l)(x4-2).虽 然 gSx)g 2(x)\f^x)f 2(x)且 g 2(x)\f {(x)f 2(x),但 g 2(x)不能整除 f 2(x).4.当R 为何值时，/(x) = X 2 +伙+ 6)x + 4k + 2和g(x) = F+(£ + 2)x + 2R 的最大公因式是一次 的？并求出此吋的最大公因式.解 显然 g(x) = (x + £)(x+2).当(/(x),g(Q) = x + 2时'/(一2) = 4 — 2伙+ 6) + 4£ + 2 = 0‘ 则k = 3.当(于(兀),g(Q )=兀 + £ 时’/(一灯=k 2 - k(k + 6) + 4Z: + 2 = 0 ‘ 则 k = l.这时(/(x), g(x))=兀+1. 5.证明：对于任意正整数斤，都有(/(x),g(Q)"=(/"(x),g"(x))・证明 由题意可知/(%)与&(兀)不全为零.令(/(x), g(x)) = d(x),Z 、” g(x) 、d(x)丿/心)/"(兀)+ 咚)g"(兀)=d\x).又由 d(x)\f(x), d(x)|g(x),有 d n (x) f l \x), d"(x) g"(x),因此 d"(x)是厂(x)与 g"(x)的首项系数为1的最大公因式，从而有(广(x),g"(x))= 〃"(兀)=(/(x),g(x))" •6.设 / (x) = af(x) + bg(x), g[ (x) = c/(x) + dg(x),且 ad - be H 0 ,证明(/(x),g(x)) = (/](x), g](X ))・证明设(/(x), g(x)) = d(x),则 d(x)\f(x\d(x)\g(x).由于 “所以对任意正整如，有爲J 寫〕"卜 于是有u{x) +咻) 则〃(兀)工0,从而fi (兀)=妙(x) + bg(x) , g] (x) = (x) + dg (x),故d (x)| (x), d (x)|g t (x).又设h(x)\ (x), /z(x)|(x),由上式及ad-bc^O ,可得从而/?(x)|/(x), h(x)\g(x),于是h(x)\d(x),即〃(兀)也是/；(兀)和g|(x)的最大公因式，即(/(x), g(x)) = (/；(x),&(兀))・7.设 /(x) = t/(x)/(x), g(Q 二 dCr)g](x),且/O)与 gd)不全为零，证明〃(兀)是/O)与 gCO的一个最大公因式的充分必要条件是(/(劝,g|(x)) = 1.证明必要性.若〃(x)是/(兀)与g (兀)的一个最大公因式，则存在多项式w(x),v(x)使W (x)/(x) +v(x)g(x) = d(x),于是u(x)d(x)f t (x) + v(x)d(x)g l (x) = d(x).由/(力与g (兀)不全为零知如工0,因此有u(x)f l (x) + v(x)g l (x) = l f 即(土(兀),g©))i •充分性.若(f l (x),g l (x)) = l ,则存在多项式u(x),v(x),使 u(x)f l (x)+ v(x)g l (x) = l. 两边同吋乘〃(兀)有u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)・由d(x)是/(x)与g(x)的一个公因式知，d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.8.设于(兀)和g(x)是两个多项式，证明(f(x), g(x)) = l 当且仅当(f(x)-l-g(x), f(x)g(x)) = l. 证明 必要性.设(f(x)9g(x)) = l,若f(x) + g(x)与/⑴g(x)不互素，则有不可约公因式p(x), 使p(x)lf(x)g(x)f所以 p(x)| /(X )或 0(x)|g(x).不妨设 p(x)\ /(x),由 P (x)|(/(x) + g (兀))可知 p(x)|g(x),因此 P (兀)是 /(兀)和g“)的公因式,与/(%), g (x)互素矛盾,故 蚀+g (兀)与蚀g (兀)互素.充分性.设(/(兀)+ gO) J(x)g (兀)) = 1,则存在w(x), v(x)使(/(兀)+ g (兀))心)+ /(x)g(x)v(x) = 1 , f(x)u(x) + g (兀)(臥兀)+d ad-be zw- h ad 一gi (兀)， g(x) -c ad -be a ad -be g](x)，/(x)v(x)) = 1, 上式说明(/(兀),g(兀)) = 1.9.如果(x2 +x + l)|/j(x3) + x/^(x3),那么(x-l)|/；(x), 0 — 1)|/；(兀)・T；®所以，^3=£23 = 1.证明X2+X + l的两个根为£\= 士护和£2=因为U2+x+l)|(/；(^3) + x/；(^3)),所以(兀一£|)(x - £2)|/；(X')+/(F)，故有y 窗)+ £/(郃)=0,［爪哥)+ £2£(哥)=0,即解得/(l) = /；(l) = o,从而(兀—1)|久(兀)，(x-1)|/；(%).10.若f(x)\f(x H),则/(x)的根只能是零或单位根.证明因为f(x)\f(x n),故存在多项式g(x),使/(x n) = /(x)^(x).设。