圆锥曲线离心率专题 历年真题

1．（福建卷）已知双曲线12222=-by a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2]C.[2,+∞)D.(2,+∞)2．（湖南卷）过双曲线M:2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )3．（辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4．（全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ）（A ）53 (B )43 (C )54 (D )325．(陕西卷)已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为A.2B. 3C.263D.2336. (全国卷)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A （B ）12（C ）2 （D 1 7. （广东卷）若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m=( )（Ｂ）32（Ｃ）83（Ｄ）238.（福建卷）已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．324+B ．13-C ．213+D ．13+9．[全国]设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ）A ．5 B ． 5 C ．25 D ．45 10．（ 福建理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．33B ．32 C ．22 D ．2311．（ 重庆理）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ）A ．43B ．53C ．2D ．7312.（福建卷11)又曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)B.(]1,3 C.(3,+∞)D.[)3,+∞13.（江西卷 7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1) B ．1(0,]2C ．(0,2D ．,1)2 14.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．(25)，D ．(215.（陕西卷8）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABC D16.（天津卷（7）设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）（A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y +=17.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ． 18.（全国一15）在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e= ．19、（全国2理11）设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。

重难点专题 圆锥曲线离心率压轴题(含二级结论)十九大题型汇总题型1直接型题型2二级结论之通径型题型3双曲线渐近线相关题型4坐标法题型5二级结论之焦点弦定比分点题型6二级结论之焦点已知底角题型7焦点三角形已知顶角型题型8焦点三角形双余弦定理题型9利用图形求离心率题型10利用椭圆双曲线的对称性求离心率题型11点差法题型12二级结论之中点弦问题题型13角平分线相关题型14圆锥曲线与圆相关题型15内切圆相关题型16与立体几何相关题型17二级结论之切线方程题型18正切公式的运用题型19圆锥曲与内心结合题型1直接型椭圆与双曲线的离心率公式为：e =ca，注意椭圆的离心率范围(0,1)，双曲线的离心率范围(1，+♾)1(2021·江西南昌·统考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 交C 的右支于A ，B 两点，且AB ⋅AF 1 =0，12|AB |=5|AF 1|，则C 的离心率为1(2021·全国·高三开学考试)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos ∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为.2(2021·河北秦皇岛·统考二模)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，已知AF 2 +F 1F 2 ⋅AF 1 =0，AF 1 =43F 1B，则椭圆C 的离心率为()A.57B.22C.53D.133(2023·江西九江·二模)青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为P ，盘子的中心为O ，筷子与大椭圆的两交点为A 、B ，点A 关于O 的对称点为C ．给出下列四个命题：①两椭圆的焦距长相等；②两椭圆的离心率相等；③PA =PB ；④BC 与小椭圆相切.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.44(22·23下·恩施·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24-y 2b2=1b >0 的左右焦点，且F 1到渐近线的距离为1，过F 2的直线l 与C 的左、右两支曲线分别交于A ,B 两点，且l ⊥AF 1，则下列说法正确的为()A.△AF 1F 2的面积为2B.双曲线C 的离心率为2C.AF 1 ⋅BF 1=10+46D.1AF 2 +1BF 2=6+2题型2二级结论之通径型椭圆与双曲线的半通径是b 2a , 通径是2b 2a1(2023·重庆·模拟预测)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F 1，右顶点为A ，点Q 在y 轴上，点P 在椭圆上，且满足PQ ⊥y 轴，四边形F 1APQ 是等腰梯形，直线F 1P 与y 轴交于点N 0,34b，则椭圆的离心率为( )．A.14B.32C.22D.121(23·24高三上·湖北·阶段练习)已知A ，B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右顶点，P 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1在第一象限上的一点，直线PA ，PB 分别交椭圆于另外的点M ，N ．若直线MN 过椭圆的右焦点F ，且tan ∠AMN =3，则椭圆的离心率为．2(2023·湖北武汉·三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，点A ，B 分别为椭圆C 的左右顶点，点F 为椭圆C 的右焦点，Р为椭圆上一点，且PF 垂直于x 轴.过原点О作直线PA 的垂线，垂足为M ，过原点О作直线PB 的垂线，垂足为N ，记S 1，S 2分别为△MON ，△PAB 的面积.若S 2S 1=409，则椭圆C 的离心率为.3(22·23·赣州·二模)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在E 上，满足△F 1PF 2为直角三角形，作OM ⊥PF 1于点M (其中O 为坐标原点)，且有PM =2MF1，则E 的离心率为．4(2023·河北保定·统考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,B 为虚轴上端点，M 是BF 中点，O 为坐标原点，OM 交双曲线右支于N ，若FN 垂直于x 轴，则双曲线C 的离心率为() A.2B.2C.3D.233题型3双曲线渐近线相关双曲线的渐近线求离心率可以直接使用公式：e =1+b 2a2，1(2023·山东潍坊·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 1作C 的一条浙近线的垂线，垂足为D ，且DF 2 =22OD ，则C 的离心率为()A.2B.2C.5D.31(2022·贵州毕节·统考模拟预测)已知F 1，F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，过点F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，O 为坐标原点，且PO 平分∠APM ，则C 的离心率为()A.2B.2C.3D.32(多选)(2023·山东潍坊·三模)函数y =ax +bx(ab >0)的图象是双曲线，且直线x =0和y =ax 是它的渐近线．已知函数y =33x +1x，则下列说法正确的是()A.x ≠0，y ≥243B.对称轴方程是y =3x ,y =-33x C.实轴长为23D.离心率为2333(2020上·广西桂林·高三广西师范大学附属中学校考阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为M ，若tan ∠MAF =12，则C 的离心率为.4(2022·陕西咸阳·统考二模)已知双曲线C ：(a >0，b >0)的左焦点为F ，过F 且与双曲线C 的一条渐近线垂直的直线l 与另一条渐近线交于点P ，交y 轴于点A ，若A 为PF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .5(多选)(2023·河北唐山·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a2-y 24=1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线y =2a x 的垂线，垂足为P ，O 为坐标原点，且∠F 1PO =π6，过P 作C 的切线交直线y =-2ax 于点Q ，则()A.C 的离心率为213B.C 的离心率为133C.△OPQ 的面积为23D.△OPQ 的面积为43题型4坐标法相对运算较麻烦的一种方法，可以通过联立方程，求出点的坐标，构造等式求出离心率1(2023·河南·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左顶点为A ，P 为C 的一条渐近线上一点，AP 与C 的另一条渐近线交于点Q ，若直线AP 的斜率为1，且A 为PQ 的三等分点，则C 的离心率为．1(2023·山东潍坊·模拟预测)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，过F 的直线交E 的左支于点P ，交E 的渐近线于点M ，N ，且P ，M 恰为线段FN 的三等分点，则双曲线E 的离心率为()A.2B.52C.5D.32(24·25高三上·浙江·开学考试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 作倾斜角为π4的直线交椭圆C 于A 、B 两点，弦AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，若PF AB=14，则椭圆C 的离心率e =．3(2023·湖北襄阳·模拟预测)如图，已知有公共焦点P 1(-c ,0)、P 2(c ,0)的椭圆C 1和双曲线C 2相交于A 、B 、C 、D 四个点，且满足OA =OB =OC =OD =c ，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线C 2交于点Q ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1⋅k 2=2，则椭圆C 1的离心率为.4(22·23高三上·河南洛阳·阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，过点F 1的直线l 与双曲线C 的左支交于点A ，与双曲线C 的一条渐近线在第一象限交于点B ，且F 1F 2 =2OB (O 为坐标原点).下列四个结论正确的是()①BF 1 =4c 2-BF 2 2；②若AB =2F 1A ，则双曲线C 的离心率1+102；③BF 1 -BF 2 >2a ；④c -a <AF 1 <2c -a .A.①②B.①③C.①②④D.①③④5(22·23高三上·河北石家庄·期中)椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交C 于A ，B 两点，若3OF 1 =OA +2OB ，AB =BF 2，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率为题型5二级结论之焦点弦定比分点1.点F 是椭圆的焦点，过F 的弦AB 与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 的斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1注：λ=AF BF 或者λ=BF AF ,而不是AF AB 或者BFAB点F 是双曲线焦点，2.过F 弦AB 与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1 1(23·24高三上·云南·阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2且倾斜角为60°的直线l 与C 交于A ，B 两点．若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的2倍，则C 的离心率为．1(2022上·辽宁鞍山·高三鞍山一中校考期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的左焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AF BF =32，则椭圆C 的离心率e =．2(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB，则C 的离心率为()A.58B.65C.75D.953(2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F 2，过右焦点作倾斜角为π3的直线交椭圆于G ,H 两点，且GF 2 =2F 2H ，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.23D.324(2023·贵州·统考模拟预测)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的上顶点为A ,F 是C 的一个焦点，点B 在C 上，若3AF +5BF =0，则C 的离心率为()A.12B.35C.22D.32题型6二级结论之焦点已知底角1. 已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =c a =sin (α+β)sin α+sin β2. 已知双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则e =ca =sin α+sin β|sin α-sin β|，1(2008·全国·高考真题)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC =120°，则以A ，B 为焦点，且过点C 的双曲线的离心率为()A.1+22 B.1+32C.1+2D.1+31(2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期中)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，焦距为2c ，若直线y =3(x +c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于()A.3-1B.2-1C.32D.222(2020秋·贵州贵阳·高二统考期末)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y =33x +c 与椭圆的一个交点M 满足∠MF 2F 1=2∠MF 1F 2，则该椭圆的离心率等于()A.3-5B.5-3C.3+1D.3-13(2023·全国·高二专题练习)已知椭圆E 的两个焦点分别为F 1，F 2，点Р为椭圆上一点，且tan ∠PF 1F 2=23，tan ∠PF 2F 1=2，则椭圆E 的离心率为 .4(2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试)点P 是双曲线C 1：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)和圆C 2：x 2+y 2=a 2+b 2的一个交点，且2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，其中F 1，F 2是双曲线C 1的两个焦点，则双曲线C 1的离心率为．5(2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习)已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点，点A 是双曲线C 的右顶点，点P 在过点A 且斜率为334的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠PF 2F 1=120°，则双曲线的离心率为.题型7焦点三角形已知顶角型可以通过焦点三角形的特征进行解决1(20·21高二上·吉林白城·阶段练习)已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率e 2，则1e 21+3e 22=.1(2021·重庆·校联考三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线C 的左支于P ，Q 两点，若PF 2 2=PF 2 ⋅QF 2，且△PQF 2的周长为12a ，则双曲线C 的离心率为() A.102B.3C.5D.222(2021·山东烟台·统考二模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 的右支上，AF 1与C 交于点B ，若F 2A ⋅F 2B =0，且|F 2A |=|F 2B|，则C 的离心率为()A.2B.3C.6D.73(2021·浙江·模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，直线y =kx 与E 交于A ，B 两点，且∠F 1AF 2=60°，四边形F 1AF 2B 的周长C 与面积S 满足163S =C 2，则E 的离心率为()A.62B.52C.32D.34(2023·上海崇明·一模)已知椭圆Γ1与双曲线Γ2的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点F 1、F 2，P是Γ1与Γ2在第一象限的交点，当∠F 1PF 2=π6时，双曲线Γ2的离心率等于 .5(2022上·江苏南京·高三南京师大附中校考期中)已知F 1，F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点，过点F 2且斜率为1的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，若△F 1PQ 是等腰三角形，则双曲线C 的离心率为.题型8焦点三角形双余弦定理1(22·23高二下·河南安阳·开学考试)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点，过F 1的直线与椭圆C 交于M ,N 两点，MF 2 -MF 1 =a ,MF 1 +NF 1 =NF 2 ，则椭圆C 的离心率为()A.25B.105C.155D.641(22·23上·河南·模拟预测)双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点，且AF 2 =2F 2B，∠ABF 1=60°，则双曲线C 的离心率为()A.73B.2C.53D.432(2023·浙江·一模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，A ，B 为C 上位于x 轴上方的两点，且AF 1⎳BF 2，∠AF 1F 2=60°．记AF 2，BF 1交点为P ，过点P 作PQ ⎳AF 1，交x 轴于点Q ．若OQ =2PQ ，则双曲线C 的离心率是．3(23·24高三上·江苏淮安·开学考试)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，上顶点为A ，直线AF 1与椭圆C 交于另一点B ，若∠AF 2B =120°，则椭圆C 的离心率为．4(22·23高三下·山东菏泽·开学考试)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⋅F 1B =0，BF 2 =35BA，则C 的离心率为．5(2023·湖南株洲·一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，若PF 1 =43F 1Q ，且PF 2 =F 1F 2，则椭圆C 的离心率为．题型9利用图形求离心率1(2023·安徽安庆·二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 的右支相交于点P ，过点O ,F 2作ON ⊥PF 1,F 2M ⊥PF 1，垂足分别为N ,M ，且M 为线段PN 的中点，ON =a ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.5+12C.3+12D.1321(22·23·包头·二模)双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，以C 的虚轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 的渐近线y =-b a x 交于点H ，若△F 1HO 的面积为24ac ，则C 的离心率为．2(2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a ,b >0 的左焦点为F ，直线FD 与双曲线C 的右支交于点D ，A ，B 为线段FD 的两个三等分点，且OA =OB =22a (O为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为.3(2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测)已知F 1，F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，A 是C 的上顶点，点P 在过A 且斜率为23的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠PF 1F 2=120°，则C 的离心率为()A.1010B.714C.39D.144(2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测)已知椭圆T :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，左顶点为A ，上顶点为B ，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，且△ABO ∼△F 1PF 2,O 为坐标原点，则椭圆的离心率为.题型10利用椭圆双曲线的对称性求离心率1(22·23高二下·湖南·期末)如图，已知F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的左､右焦点，P ,Q 为双曲线C 上两点，满足F 1P ∥F 2Q ，且F 2Q =F 2P =3F 1P ，则双曲线C 的离心率为()A.105B.52C.153D.1021(2023·河南商丘·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，点M ,N 是C 的一条渐近线上的两点，且MN =2MO(O 为坐标原点)，MN =F 1F 2 .若P 为C 的左顶点，且∠MPN =135°，则双曲线C 的离心率为()A.3B.2C.5D.72(2023·福建宁德·模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点是F ，直线y =kx 交椭圆于A ,B 两点﹐直线AF 与椭圆的另一个交点为C ，若OA OF=AF2CF =1，则椭圆的离心率为．3(23·24高三上·山西大同·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点P (3c ,0)作直线l 交椭圆C 于M ,N 两点，若PM =2NM ，F 2M =4F 2N则椭圆C 的离心率为4(2022·全国·校联考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线l 交双曲线C 于P ，Q 两点且使得PF 2 =λF 2Q 0<λ<1 ．A 为左支上一点且满足F 1A +F 2P=0 ，F 1F 2 =23AF 2 +13AQ ，△AF 2P 的面积为b 2，则双曲线C 的离心率为()A.33B.2C.102D.35(2021下·山西·高三校联考阶段练习)如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且|QF |=2|FR |，则E 的离心率为()A.174B.173C.214D.213题型11点差法1.根与系数关系法：联立直线方程和椭圆(或双曲线)方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆(或双曲线)方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的两个不同的点M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，x 21a 2+y 21b 2=1,=1\*GB 3\*MERGEFORMAT ①x 22a 2+y 22b 2=1,=2\*GB 3\*MERGEFORMAT ② 由①-②，得1a 2(x 21-x 22)+1b 2(y 21-y 22)=0，变形得y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2·x 1+x 2y 1+y 2=-b 2a 2·x 0y 0，(x 1-x 2≠0，x 1+x 2≠0)1(22·23·吉安·一模)椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的内接四边形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点P 1,1 ，满足AP =2PC ，BP =2PD ，若直线AB 的斜率为-14，则椭圆的离心率等于()A.14B.32C.12D.131(2023·湖北·模拟预测)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e ≠22，C 的左右焦点分别为F 1,F 2，点A 在椭圆C 上满足∠F 1AF 2=π2．∠F 1AF 2的角平分线交椭圆于另一点B ，交y 轴于点D ．已知AB =2BD ，则e =．2(2022下·云南昭通·高二校联考期末)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)斜率为-18的直线与E 的左右两支分别交于A ，B 两点，P 点的坐标为(-1,2)，直线AP 交E 于另一点C ，直线BP 交E 于另一点D ，如图1.若直线CD 的斜率为-18，则E 的离心率为()A.2B.72C.62D.523(22·23·河北·模拟预测)已知斜率为-2的直线l 1与双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右两支分别交于点A ，B ，l 2⎳l 1，直线l 2与E 的左、右两支分别交于点D ，C ，AC 交BD 于点P ，若点P 恒在直线l :y =-3x 上，则E 的离心率为.4(2023·云南·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点F (c ,0)(b >c )和上顶点B ，若斜率为65的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，且满足FB +FP +FQ =0 ，则椭圆的离心率为.5(2020上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)如图，过原点O 的直线AB 交椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)于A ，B 两点，过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ，AQ 分别交椭圆C 于点P ，Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若AM =34AP，则椭圆C 的离心率是.题型12二级结论之中点弦问题1.椭圆或者双曲线，已知中点时，当椭圆或双曲线的焦点在x 轴，K AB ∙K OM =e 2-12.P 为椭圆上一点，e 为离心率，①A 1，A 2为两个顶点，则k PA 1⋅k PA 2=e 2-1；②A 1，A 2为关于原点对称的两点，则k PA 1⋅k PA 2=e 2-1；以上结论也适用于双曲线.1(22·23上·徐州·期末)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，经过原点O 的直线交C 于A ，B 两点．P 是C 上一点(异于点A ，B )，直线BP 交x 轴于点D ．若直线AP ，BP 的斜率之积为49，且∠BDO =∠BOD ，则椭圆C 的离心率为．1(22·23下·安徽·一模)已知直线l 与椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)交于M ,N 两点，线段MN 中点P 在直线x =-1上，且线段MN 的垂直平分线交x 轴于点Q -34,0 ，则椭圆E 的离心率是 .2(2023·贵州·模拟预测)设О为坐标原点，A 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一个动点，过点A 作椭圆C 内部的圆E ：x 2-2mx +y 2=0m >0 的一条切线，切点为D ，与椭圆C 的另一个交点为B ，D 为AB 的中点，若OD 的斜率与DE 的斜率之积为2，则C 的离心率为.3(2021·全国·模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的短轴长为4，上顶点为B ，O 为坐标原点，点D 为OB 的中点，双曲线E ：x 2m 2-y 2n2=1(m >0，n >0)的左､右焦点分别与椭圆C 的左､右顶点A 1，A 2重合，点P 是双曲线E 与椭圆C 在第一象限的交点，且A 1，P ，D 三点共线，直线PA 2的斜率k PA 2=-43，则双曲线E 的离心率为()A.355B.32C.810-105D.5+41094(22·23下·南通·阶段练习)已知两点A ，M 在双曲C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右支上，点A 与点B 关于原点对称，BM 交y 轴于点N ，若AB ⊥AM ，且ON 2+8OA ⋅ON=0，则双曲线C 的离心率为()A.5B.6C.7D.22题型13角平分线相关1.角平分线“拆”面积：S △ABC =S △ACD +S △ABD2.角平分线定理性质：AB BD =ACCD1(22·23下·山西·模拟预测)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线E 上一点，PF 2⊥F 1F 2，∠F 1PF 2的平分线与x 轴交于点Q ，S △PF 1Q S △PF 2Q=53，则双曲线E 的离心率为()A.2B.2C.52D.31(22·23下·湖北·模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，CB =3F 2A，BF 2平分∠F 1BC ，则双曲线Γ的离心率为()A.7B.5C.3D.22(22·23高三·云南·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，P 为椭圆上一点，直线AP 与直线x =a 交于点M ，∠PFB 的角平分线与直线x =a 交于点N ，若PF ⊥AB ，△MAB 的面积是△NFB 面积的6倍，则椭圆C 的离心率是.3(2023·山东烟台·校考模拟预测)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，点P 是C 与圆x 2+y 2=c 2的交点，∠PF 1F 2的平分线交PF 2于Q ，若PQ =12QF 2 ，则椭圆C 的离心率为()A.33B.2-1C.22D.3-14(2023春·江西赣州·高三统考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2．椭圆C 在第一象限存在点M ，使得MF 1 =F 1F 2 ，直线F 1M 与y 轴交于点A ，且F 2A 是∠MF 2F 1的角平分线，则椭圆C 的离心率为()A.6-12B.5-12C.12D.3-12题型14圆锥曲线与圆相关1(2023·福建漳州·模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 2为圆心的圆与x 轴交于F 1，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段AF 1与C 交于点M .若BM 与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为()A.3-12B.12C.3+14D.7-121(23·24高三上·福建福州·开学考试)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 2为圆心的圆与x 轴交于F 1，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段AF 1与C 交于点M ．若BM与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为()A.3+12B.32C.5+12D.7+122(2023·全国·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左，右顶点分别是A 1，A 2，圆x 2+y 2=a 2与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线A 1M 交C 的右支于点P .设△MPA 2的内切圆圆心为I ,A 2I ⊥x 轴，则C 的离心率为()A.2B.2C.3D.53(22·23·马鞍山·三模)已知F 1 ， F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1 (a >0 ， b >0)的左，右焦点，点M 在双曲线上，MF 1⊥MF 2，圆O :x 2+y 2=32(a 2+b 2)，直线MF 1与圆O 相交于A ,B 两点，直线MF 2与圆O 相交于P ,Q 两点，若四边形APBQ 的面积为27b 2，则C 的离心率为()A.62B.324C.32D.984(22·23上·全国·阶段练习)已知圆C 1:x 2+y -2332=163过双曲线C 2:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点F 1，F 2，曲线C 1与曲线C 2在第一象限的交点为M ，若MF 1 ⋅MF 2 =12，则双曲线C 2的离心率为()A.2B.3C.2D.3题型15内切圆相关1(22·23高三下·江西·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2.点P 在C 上且位于第一象限，圆O 1与线段F 1P 的延长线，线段PF 2以及x 轴均相切，△PF 1F 2的内切圆为圆O 2.若圆O 1与圆O 2外切，且圆O 1与圆O 2的面积之比为9，则C 的离心率为()A.12B.35C.22D.321(2023·山东潍坊·模拟预测)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，点F 2与抛物线C 2:y 2=2px p >0 的焦点重合，点P 为C 1与C 2的一个交点，若△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为4，C 2的准线与C 1交于A ，B 两点，且AB =92，则C 1的离心率为()A.94B.54C.95D.742(22·23下·宁波·阶段练习)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2,P 为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I 为△PF 1F 2的内心，记直线OP ,OI 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1=32k 2，则椭圆E 的离心率为() A.13B.12C.33D.223(23·24高三上·云南昆明·期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1-c ,0 ,F 2c ,0(c >0)，过F 1作倾斜角为π4的直线交椭圆于A ,B 两点，若△ABF 2的内切圆半径r =26c ，则该椭圆的离心率为．4(2023·山西·二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，点M x 0,y 0 x 0>c 是C 上一点，点A 是直线MF 2与y 轴的交点，△AMF 1的内切圆与MF 1相切于点N ，若|MN |=2F 1F 2 ，则椭圆C 的离心率e =．5(22·23·红河·一模)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，若E 上存在点P ，满足OP =12F 1F 2 ，(O 为坐标原点)，且△PF 1F 2的内切圆的半径等于a ，则E 的离心率为．题型16与立体几何相关1(2023·安徽安庆·一模).如图是数学家Ger min al Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin 双球”)；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O 1，球O 2的半径分别为4和1，球心距O 1O 2 =6，截面分别与球O 1，球O 2切于点E ，F ，(E ，F 是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于()A.339B.63C.22D.161(22·23高三下·河北衡水·阶段练习)已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过点F 2作直线AB ⊥F 1F 2交C 于A ,B 两点. 现将C 所在平面沿直线F 1F 2折成平面角为锐角α的二面角，如图，翻折后A ,B 两点的对应点分别为A ,B ，且∠A F 1B =β⋅若1-cos α1-cos β=2516，则C 的离心率为()A.3B.22C.3D.322(2023·云南大理·模拟预测)某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型(图甲)，该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板NCEM (图乙)沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形OCEF 卷后为圆柱O 1O 2的侧面．为准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以O 为坐标原点的平面直角坐标系，设P x ,y 为裁剪曲线上的点，作PH ⊥x 轴，垂足为H ．图乙中线段OH 卷后形成的圆弧OH (图甲)，通过同学们的计算发现y 与x 之间满足关系式y =3-3cos x3(0≤x <6π)，现在另外一个纸板上画出曲线y =1-cos x2(0≤x <4π)，如图丙所示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为()A.255B.55C.12D.533(2022·辽宁沈阳·一模)如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为.4(22·23下·辽宁·阶段练习)如图所示圆锥，C 为母线SB 的中点，点O 为底面圆心，AB 为底面圆的直径，且SC ，OB ，SB 的长度成等比数列，一个平面过A ，C ，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为．5(多选)(2023·江苏南通·模拟预测)如图，已知圆锥PO 的轴PO 与母线所成的角为α，过A 1的平面与圆锥的轴所成的角为ββ>α ，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为A 1A 2,短轴为B 1B 2,长半轴长为a ，短半轴长为b ，椭圆的中心为N ,再以B 1B 2为弦且垂直于PO 的圆截面，记该圆与直线PA 1交于C 1，与直线PA 2交于C 2，则下列说法正确的是()A.当β<α时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆B.|NC 1|⋅|NC 2|=a 2sin β+α sin β-αcos 2αC.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =cos βcos αD.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =sin αsin β题型17二级结论之切线方程圆锥曲线切线方程的常用结论【结论1】(1)经过圆x 2+y 2=r 2上一点M x 0,y 0 的切线方程为x 0x +y 0y =r 2．(2)当M x 0,y 0 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为x 0x +y 0y =r 2．【结论2】(1)若圆心不在原点，圆的方程：x -a 2+y -b 2=r 2，若M x 0,y 0 为圆上一点，则过M x 0,y 0 切线方程：x 0-a x -a +y 0-b y -b =r2(2)若M x 0,y 0 在圆外，过M 点切线有两条：切点弦所在直线方程：x 0-a x -a +y 0-b y -b =r2方便记忆，求切线和切点弦的方法，统一称为“代一留一”．【结论3】(1)过圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上一点M x 0,y 0 切线方程为x 0x a 2+y 0y b2=1；(2)当M x 0,y 0 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为x 0x a2+y 0yb 2=1．(3)设过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 外一点M x 0 , y 0 引两条切线，切点分别为A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由(1)可知过A , B 两点的切线方程分别为：x 1xa 2+y 1yb 2=1，x 2x a 2+y 2y b2=1．又因M x 0,y 0 是两条切线的交点，∴有x 1x 0a 2+y 1y 0b 2=1，x 2x 0a 2+y 2y 0b 2=1．观察以上两个等式，发现A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 满足直线x 0xa2+y 0y b 2=1，∴过两切点A , B 两点的直线方程为x 0xa 2+y 0yb 2=1．同理可得焦点在y 轴上的情形．【结论4】(1)过圆y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 上一点M x 0,y 0 切线方程为y 0y a 2+x 0x b2=1；(2)当M x 0,y 0 在椭圆y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为y 0y a 2+x 0xb2=1．【结论5】(1)过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 上一点M x 0,y 0 处的切线方程为x 0x a 2-y 0y b2=1；(2)当M x 0,y 0 在双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：x 0x a2-y 0yb2=1．(3)设过双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 外一点M x 0,y 0 引两条切线，切点分别为A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ．由(1)可知过A , B 两点的切线方程分别为：x 1xa 2-y 1yb 2=1 , x 2x a 2-y 2y b2=1．又因M x 0,y 0 是两条切线的交点，∴有x 1x 0a 2-y 1y 0b 2=1 , x 2x 0a 2-y 2y 0b 2=1．观察以上两个等式，发现A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 满足直线x 0xa2-y 0y b 2=1，∴过两切点A , B 两点的直线方程为x 0x a 2-y 0y b 2=1．同理可得焦点在y 轴上的情形．【结论6】(1)过双曲线y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 上一点M x 0,y 0 处的切线方程为y 0y a 2-x 0x b2=1；(2)当M x 0,y 0 在双曲线y 2a 2-x 2b2=1a >0,b >0 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：y 0y a 2-x 0xb2=1．1(2023·重庆·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点A x 1,y 1 为双曲线C 在第一象限的右支上一点，以A 为切点作双曲线C 的切线交x 轴于点B ，若cos ∠F 1AF 2=12，且F 1B =2BF 2 ，则双曲线C 的离心率为()A.22B.5C.2D.31(22·23高三上·全国·阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 上的一点M (异于顶点)，过点M 作双曲线C 的一条切线l .若双曲线C 的离心率e =233，O 为坐标原点，则直线OM 与l 的斜率之积为()A.13B.23C.32D.32(2022·全国·统考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与椭圆x 24+y 23=1．过椭圆上一点P -1,32作椭圆的切线l ，l 与x 轴交于M 点，l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于N 、Q ，且N 为MQ的中点，则双曲线C 的离心率为()。

圆锥曲线离心率专题训练1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]2．二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（）A．B．C．D．3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（）A．B．C．D．7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）9．椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（，+∞）C．[，+∞）D．（，+∞）11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，）C．（2，]D．（，2]17．椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1]B．[，]C．[，1）D．[，]18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）19．已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．20．双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．21．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．22．在椭圆上有一点M，F1，F2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（）A．B．C．D．23．椭圆+y2=1上存在一点P，使得它对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．24．椭圆（a＞b＞0）上存在点P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，C．D．25．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．26．设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．27．已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，1+）B．（1，）C．（﹣1，1+）D．（1，2）28．如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=﹣2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．29．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．30．已知P为椭圆（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△PF1F2为直角三角形的点P 有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，+∞）参考答案与试题解析1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]解：如图所示，下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．设椭圆上任意一点P（x0，y0），则，可得．∴|OP|2==+=≥b2，当且仅当x0=0时取等号．∴椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则c≥b，∴c2≥b2=a2﹣c2，化为，解得．又e＜1，∴．故选B．2．二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（）A．B．C．D．解：∵m∈[﹣2，﹣1]，∴该曲线为双曲线，a=2，b2=﹣m，∴c=离心率e==∵m∈[﹣2，﹣1]，∴∈[，]，∴e∈故选C3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）解：可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．联立化为（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，则，解得，∵0＜x＜a，∴，化为c2＞b2=a2﹣c2，∴，又1＞e＞0．解得．∴该椭圆的离心率e的范围是．故选：C．4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）解：∵双曲线的离心率e∈（1，2），∴双曲线标准方程为：﹣=1∴k＜0，∴1＜e2＜4，1＜＜4，﹣12＜k＜0，故答案选C5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是e∈．故选A．6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（）A．B．C．D．解：不防设椭圆方程：（a＞b＞0），再不妨设：B（0，b），三角形重心G（c，0），延长BG至D，使|GD|=，设D（x，y），则，，由，得：，解得：，．而D是椭圆的内接三角形一边AC的中点，所以，D点必在椭圆内部，则．把b2=a2﹣c2代入上式整理得：．即．又因为椭圆离心率e∈（0，1），所以，该椭圆离心率e的取值范围是．故选B．7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．解：椭圆x2+my2=1化为标准方程为①若1＞，即m＞1，，∴，∴，∴②若，即0＜m＜1，，∴，∴，∴∴实数m的取值范围是故选C．8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率为e1，双曲线的方程为﹣=1（m＞0，n＞0），|F1F2|=2c，∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，∴在椭圆中，|PF1|+|PF2|=2a，而|PF2|=|F1F2|=2c，∴|PF1|=2a﹣2c；①同理，在该双曲线中，|PF1|=2m+2c；②由①②可得a=m+2c．∵e2=∈（1，2），∴＜=＜1，又e1==，∴==+2∈（，3），故选C．9．椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，由已知得：3b2≤2ab≤4b2，∴3b≤2a≤4b，平方得：9b2≤4a2≤16b2，9（a2﹣c2）≤4a2≤16（a2﹣c2），5a2≤9c2且12a2≥16c2，∴≤≤即e∈故选B．10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为（）D．（，+∞）A．[2，+∞）B．（，+∞）C．[，+∞）解：BD==，∴a1=，c1=1，a2=，c2=x，∴e1=，e2=，e1e2=1但e1+e2中不能取“=”，∴e1+e2=+=+，令t=﹣1∈（0，﹣1），则e1+e2=（t+），t∈（0，﹣1），∴e1+e2∈（，+∞）∴e1+e2的取值范围为（，+∞）．故选B．11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：直线l的方程为，即bx﹣ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离d1=，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离．d2=，s=d1+d2==．由S，即得•a≥2c2．于是得4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是e∈．故选A．12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．由此可得：∵存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，∴△P0F1F2中，∠F1P0F2≥60°，可得Rt△P0OF2中，∠OP0F2≥30°，所以P0O≤OF2，即b c，其中c=∴a2﹣c2≤3c2，可得a2≤4c2，即≥∵椭圆离心率e=，且a＞c＞0∴故选C13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．解：设f（x）=x3+2ax2+3bx+c，由抛物线的离心率为1，可知f（1）=1+2a+3b+c=0，故c=﹣1﹣2a﹣3b，所以f（x）=（x﹣1）[x2+（2a+1）x+（2a+3b+1）]的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率，故g（x）=x2+（2a+1）x+（2a+3b+1），有两个分别属于（0，1），（1，+∞）的零点，故有g（0）＞0，g（1）＜0，即2a+3b+1＞0且4a+3b+3＜0，则a，b满足的可行域如图所示，由于，则P（﹣1，）而表示（a，b）到（0，0）的距离，且（0，0）到P（﹣1，）的距离为d=可确定的取值范围是（，+∞）．故答案为：A．14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解：设点P（x，y）是椭圆上的任意一点，则，化为．∴|PA|2=x2+（y﹣b）2===f（y），∵椭圆上的点P到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），由二次函数的单调性可知：f（y）在（﹣b，b）单调递减，∴，化为c2≤b2=a2﹣c2，即2c2≤a2，∴．又e＞0．∴离心率的取值范围是．故选：C．15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．解：∵双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y=x则tanα=∵，∴1＜tanα＜，即1＜＜∴1＜=＜3求得＜＜2故选B．16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，）C．（2，]D．（，2]解：根据内角平分线的性质可得=，再由双曲线的定义可得5PF2﹣PF2=2a，PF2=，由于PF2=≥c﹣a，∴≥c，≤．再由双曲线的离心率大于1可得，1＜e≤，故选A．17．椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1]B．[，]C．[，1）D．[，]解：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα…②|BF|=2ccosα…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[，]，∴≤α+π/4≤∴≤sin（α+）≤1∴≤e≤故选B18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：aPF1=cPF2设点P（x0，y0）由焦点半径公式，得：PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：x0==由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则＞﹣a，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈（﹣1，1），故选D．19．已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：圆x2+y2=4的圆心到直线l：y=kx+2的距离为d=∵直线l：y=kx+2被圆x2+y2=4截得的弦长为L，∴由垂径定理，得2，即，解之得d2≤∴≤，解之得k2∵直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F，∴b=2且c==﹣，即a2=4+因此，椭圆的离心率e满足e2===∵k2，∴0＜≤，可得e2∈（0，]故选：B20．双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：直线l的方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离.，．由，得．．于是得5≥2e2，即4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得≤e2≤5．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是．故选D．21．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，联立⇒；故A（，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+=p；∴=．∴双曲线C2的离心率e===．故选：C．22．在椭圆上有一点M，F1，F2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（）A．B．C．D．解：由椭圆定义可知：|MF1|+|MF2|=2a，所以…①，在△MF1F2中，由余弦定理可知…②又，…③，由①②③可得：4c2=4a2﹣4b2﹣2|MF1|•|MF2|cosθ．所以|MF1|•|MF2|cosθ=0．所以c≥b，即c2≥b2=a2﹣c2，2c2≥a2，，所以e∈．故选B．23．椭圆+y2=1上存在一点P对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．[，1）C．（0，]D．[，1）解：∵椭圆方程为：+y2=0，∴b2=1，可得c2=a2﹣1，c=∴椭圆的离心率为e=又∵椭圆上一点P，使得角∠F1PF2=，∴设点P的坐标为（x0，y0），结合F1（﹣c，0），F2（c，0），可得=（﹣c﹣x0，﹣y0），=（c﹣x0，﹣y0），∴=+=0…①∵P（x0，y0）在椭圆+y2=1上，∴=1﹣，代入①可得+1﹣=0将c2=a2﹣1代入，得﹣a2﹣+2=0，所以=，∵﹣a≤x0≤a∴，即，解之得1＜a2≤2∴椭圆的离心率e==∈[，1）．24．如果椭圆（a＞b＞0）上存在点P，使P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．（0，解：设P（x，y），∵P到原点的距离等于该椭圆的焦距，∴x2+y2=4c2①∵P在椭圆上，∴②联立①②得，∵0≤x2≤a2∴∴∴∴e∈故选C25．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，此时a﹣c＜2c，解得a＜3c，所以离心率e当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）26．设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：A1（﹣a，0），A2（a，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（a﹣x，﹣y），∵，∴（a﹣x）（﹣x）+（﹣y）（﹣y）=0，y2=ax﹣x2＞0，∴0＜x＜a．代入=1，整理得（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，∵f（0）=﹣a2b2＜0，f（a）=0，如图：△=（a3）2﹣4×（b2﹣a2）×（﹣a2b2）=a2（a4﹣4a2b2+4b4）=a2（a2﹣2c2）2≥0，∴对称轴满足0＜﹣＜a，即0＜＜a，∴＜1，＞，又0＜＜1，∴＜＜1，故选D．27．已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，1+）B．（1，）C．（﹣1，1+）D．（1，2）：解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角由此可得Rt△AF1E中，∠AEF＜45°，得|AF1|＜|EF1|∵|AF1|==，|EF1|=a+c∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2∵双曲线的离心率e＞1∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选D．28．如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=﹣2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称，设c为双曲线的半焦距（c=2），依题意，记，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得，．设双曲线的方程为，则离心率，由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程，得，①．②由①式得，③将③式代入②式，整理得，故由题设得，，解得，所以，双曲线的离心率的取值范围为[]．故选A．29．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解：把x=c代入椭圆的方程可得，解得．取A，则B，∵∠OBF=∠AOF﹣∠OFB，，=∴tanα=tan∠OBF=====，∵，∴，∴．解得．故选A．30．已知P为椭圆（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△PF1F2为直角三角形的点P 有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，）B ．（，1）C．（1，）D．（，+∞）解：①当PF1⊥x轴时，由两个点P满足△PF1F2为直角三角形；同理当PF2⊥x轴时，由两个点P满足△PF1F2为直角三角形．∵使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个，∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴c＜b，∴c2＜b2=a2﹣c2，∴，又e ＞0，解得．故选A．21。

高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题（含答案解析）离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。

一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：222c b a =+① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a −=② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。

从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。

如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：例1：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。

圆锥曲线离心率专题历年真题1.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b<0)$的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是？答案：D.(2,+∞)改写：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b<0)$的右焦点为F。

过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此双曲线离心率的取值范围。

答案为D.(2,+∞)。

2.题目：过双曲线M:$x-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且$|AB|=|BC|$，则双曲线M的离心率是？答案：$\frac{10}{3}$改写：双曲线M:$x-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点为A。

作斜率为1的直线l过点A，与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且$|AB|=|BC|$，求双曲线M的离心率。

答案为$\frac{10}{3}$。

3.题目：方程$2x-5x+2=$的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率答案：无法确定改写：方程$2x-5x+2=$的两个根可分别作为哪些图形的离心率？答案无法确定。

4.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，则双曲线的离心率为？答案：$\frac{\sqrt{3}}{3}$改写：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，求双曲线的离心率。

答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

5.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>2)$的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，则双曲线的离心率为？答案：D.$\frac{3}{\sqrt{23}}$改写：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>2)$的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，求双曲线的离心率。

圆锥曲线离心率求法专题训练（一）1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点P 在椭圆上，且1230PF F ∠=︒，2160PF F ∠=︒，则椭圆的离心率等于( )A 1B 1CD -2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过右焦点2F 相交于A ，B 两点，若满足223AF F B =，则椭圆的离心率为( )A ．35B ．12C D3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在点P ，使得12||3||PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是( ) A ．1[,1)4B ．1(,1)4C ．1(,1)2D ．1[,1)24．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使得12||||2PF PF b -=，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．1(0,]2B ．1[.1)2C ．D ．5．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆2222:1(0)x y a b a bΩ+=>>，且AB ，AD 斜率之积的取值范围为43(,)54--，则椭圆Ω的离心率的取值范围为( )A ．1)2B ．C ．1(4D ．11(,)546．在椭圆222211x y m m +=-，(1)m >的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且83ABO S ∆=，则椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．2D ．167．已知椭圆C 的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆交椭圆于点P ，且21122PF F PF F ∠=∠，则C 的离心率为( )A ．1-B ．2-CD 18．椭圆2222:1(0,0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆M 上任一点，且12||||PF PF ⋅最大值取值范围为2[2c ，23]c （其中222)c a b =-，则椭圆M 的离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．11[,]32圆锥曲线离心率求法专题训练（二）1．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆上一点M 满足1260F MF ∠=︒，则该椭圆离心率取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1[,1)2C ．D ．2．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，且12//PF QF ．若12||||PF QF b +，则C 的离心率的取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1[,1)2C ．D ．3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，一个顶点为(2,0)A ，设(,0)B t ，点P 是椭圆C上的动点，若||||PB AB 恒成立，则t 的取值范围是( )A ．1[0,]2B ．1[,)2+∞C ．[2-，2]D ．(2,)+∞4．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上下焦点分别为1F ，2F ，过1F 作双曲线渐近线的垂线1F P ，垂足为点P ，若1POF ∆2，则双曲线的离心率为( )A ．2BC D5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若△12AF F 的内切圆半径为3b，则双曲线的离心率为( )A B ．2CD ．36．设双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，M 为双曲线上一点，且2212MF A MAF MF A ∠=∠=∠，则双曲线的离心率为( )A ．2BCD ．37．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线为1l ，2l ，若双曲线C 的右支上存在一点P ，使得点P 到1l ，2l 的距离之和为b ，则双曲线C 离心率的取值范围是( )A ．)+∞B ．C ．[2，)+∞D ．(1，2]8．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足||2||AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．12e <<B ．312e <<C ．322e << D ．1e <<圆锥曲线离心率求法专题训练（三）1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[6πα∈，]4π，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A ．[2B ．[2，1) C ．[21] D ．2．椭圆22110064x y +=的焦点为1F 、2F ，椭圆上的点P 满足1260F PF ∠=︒，则△12F PF 的面积是( )A B C D ．6433．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且90OPA ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为( )A ． B ．(2 C ．2 D ．4．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足0FA FB =，||||2||FB FA FB ，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．B ．1)C ．1]D ．1，1)5．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，若P 为椭圆上一点，且12||3||PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，1]3 B ．1[3，1) C ．(0，1]2 D ．1[2，1)6．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,1)A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得||||9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A ．1[,1)2B ．11[,]32C ．11[,]54D ．12[,]237．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP =-，则椭圆的离心率的取值范围为( )A ．1[,1)2B ．C ．D ．8．椭圆2221x y a +=上存在一点P ，使得它对两个焦点1F ，2F 的张角122F PF π∠=，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0B ．，1)C ．(0，1]2D ．1[2，1)圆锥曲线离心率求法专题训练（四）1．设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，(2,0)A c -，(2,0)B c ，如果椭圆上存在一点P ，使得AP BP ⊥，则离心率的取值范围为( )A ．1)2B ．4)5C ．D ．2．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为1F 、2F ，若椭圆上存在一点Q ，使12120FQF ∠=︒，椭圆离心率e 的取值范围为( )A 1e <B 1e <<C ．603e< D ．112e <<3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．4．已知点1F ，2F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P 使得12||2||PF PF =，则此椭圆的离心率的取值范围是( )A ．1(0,)3 B ．(0，1]2 C ．1(3，1]2D ．1[3，1)5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )A ． B ． C ．1(0,)2D ．1(,1)26．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F c =，若椭圆上存在点M 使得1221sin sin a cMF F MF F =∠∠，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．1)B ．1)C ．D ．1，1)7．已知椭圆的左、右焦点为1F 、2F ，若椭圆上存在点P 使1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为()A ．，1)B ．(0C ．1[2，1)D ．(0，1]28．设1F ，2F 为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足12120F PF ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ． B ． C ． D ．圆锥曲线离心率求法专题训练（五）1．已知椭圆：22221(,0)x y a b a b+=>和圆222:O x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．若椭圆上存在点P ，使得0PA PB =，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．1[2，1)B ．(0C．，1) D ．1[22．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1F ，2F ，若双曲线上存在一点P ，满足12||3||PF PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．12e << B ．12eC ．12e <D ．12e <3．设椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别是1F ，2F ，如果在椭圆上存在一点p ，使12F PF ∠为钝角，则椭圆离心率的取值范围是 ．4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若双曲线上存在一点P 使21||||PF aPF c=，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．5．已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)xy a b ab-=>>的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 使得221||8||PF a PF =，则双曲线的离心率的取值范围是 ．圆锥曲线离心率求法专题训练（一）1．（2021秋•昌邑区校级期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点P 在椭圆上，且1230PF F ∠=︒，2160PF F ∠=︒，则椭圆的离心率等于( )A1B1CD-解：1230PF F ∠=︒，2160PF F ∠=︒，12||2F F c =，∴△12PF F 是直角三角形，2||PF c =，1||PF =，由椭圆的定义可得，12||||2PF PF a +=，∴2c a +=，∴1c e a ==．故选：B ． 2．（2021秋•平城区校级月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过右焦点2F的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若满足223AF F B =，则椭圆的离心率为( ) A ．35B ．12C．2D解：设直线方程为x y c +，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，与椭圆方程联立得222241()02a b y cy b +-=，12222y y a b+=+4122212b y y a b =-+①223AF F B =，1(c x ∴-，12)3(y x c -=-，2)y ，得123y y =-②，由①②联立可得，22213242a b c +=，即22222323c a b a c =+=-，得2243c a =，椭圆的离心率c e a ==D ． 3．（2021秋•青羊区校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在点P ，使得12||3||PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是( )A ．1[,1)4B ．1(,1)4C ．1(,1)2D ．1[,1)2解：12||3||PF PF =，又点P 在椭圆上，∴由椭圆的定义可得，12||||2PF PF a +=， 2||2a PF ∴=，点P 在椭圆上，2||PF a c ∴-，∴2a a c -，即12ce a=， 又1e <，∴112e <，故椭圆的离心率取值范围是1[,1)2．故选：D ． 4．（2021秋•五华区校级月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使得12||||2PF PF b -=，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．1(0,]2B ．1[.1)2C． D． 解：由题意可得122||||2c PF PF c --，由题意可得22b c ，而222b a c =-，c e a=， 所以可得：22e，而(0,1)e ∈，故选：D ． 5．（2021春•河南期中）已知平行四边形ABCD 内接于椭圆2222:1(0)x y a b a bΩ+=>>，且AB ，AD 斜率之积的取值范围为43(,)54--，则椭圆Ω的离心率的取值范围为( )A．1)2B． C．1(4D ．11(,)54解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由平行四边形对角线互相平分可得A 与C ，B 与D 关于原点对称， 所以可得2(D x -，2)y -，所以2221121222211212AB ADy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-， 将A ，B 的坐标代入可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减可得22221212220x x y y a b --+=， 可得2221222212y y b x x a -=--，由题意可得：224354b a -<-<-，即223445b a <<， 可得：2234145c a <-<，解得：c e a =∈，1)2，故选：A ．6．（2021秋•洛南县校级月考）在椭圆222211x y m m +=-，(1)m >的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且83ABO S ∆=，则椭圆的离心率为( )A ．13B ．12CD ．16解：由椭圆的方程可得22a m =，221b m =-，所以2221c a b =-=，可得1c =，设A 的坐标为0(,)c y ，则220221y c a b +=，所以20||b y a =，所以20182||23AOB b S c y c a ∆=⋅⋅=⋅=，可得3a =，所以离心率13c e a ==，故选：A ．7．（2021•迎江区校级三模）已知椭圆C 的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆交椭圆于点P ，且21122PF F PF F ∠=∠，则C 的离心率为( )A．1-B．2-CD1解：在△12F PF 中，1290F PF ∠=︒，2160PF F ∠=︒设2||PF m =，则1212||2,||c F F m PF ===，又由椭圆定义可知122||||1)a PF PF m =+=则离心率212c c e a a ===，故选：D ． 8．（2021•新华区校级开学）椭圆2222:1(0,0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆M 上任一点，且12||||PF PF ⋅最大值取值范围为2[2c ，23]c （其中222)c a b =-，则椭圆M 的离心率的取值范围是( )A ．2B ．[2C ．D ．11[,]32解：由题意的定义可得：12||||2PF PF a +=， 再由均值不等式可得：2221212||||2||||()()22PF PF aPF PF a +⋅==，12||||PF PF ⋅的最大值为2a ，由题意可得22223c a c 可得21132e，解得22e ，故选：A ． 圆锥曲线离心率求法专题训练（二）1．（2021•安徽开学）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆上一点M 满足1260F MF ∠=︒，则该椭圆离心率取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1[,1)2C ．D ． 解：设11||MF r =，22||MF r =，由余弦定理得：222121212||||||2||||cos60F F MF MF MF MF =+-︒，∴22212124r r r r c +-=，又122r r a +=，即222121224r r r r a ++=，解得222212483a c r r ++=，2212443a c r r -=，2212122r r r r +，∴2222488833a c a c +-， 得224c a ，01e <<，∴1[,1)2e ∈．故选：B ．2．（2021秋•河北月考）已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，且12//PF QF ．若12||||PF QF b +，则C 的离心率的取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1[,1)2C ．D ． 解：如图，延长1PF ，交椭圆C 于M ，根据椭圆的对称性可知，21||||QF F M =，则1211||||||||||PF QF PF MF PM +=+=，因为焦点弦||PM 的最小值为22b a ，由题意可知，22b b a ，所以12b a ，则2302e <=．所以C 的离心率的取值范围．故选：C ．3．（2021春•泗县校级期末）已知椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，一个顶点为(2,0)A ，设(,0)B t ，点P 是椭圆C 上的动点，若||||PB AB 恒成立，则t 的取值范围是( )A ．1[0,]2B ．1[,)2+∞C ．[2-，2]D ．(2,)+∞解：由已知可得1c =，2a =，则2223b a c =-=，所以22143x y +=，设0(P x ，0)y ，则2200143x y +=，所以220003(22)4x y x =--，若||||PB AB 恒成立，则||2||2PB AB 恒成立，所以200()2(2)2x t y t -+-，整理可得000(2)(2)(2)8x x t x -+-，当02x =时，不等式恒成立，当022x -<，不等式可化为028x t+恒成立，因为021()82max x +=，所以12t ， 综上，t 的取值范围是1[2，)+∞．故选：B ．4．（2021秋•南充月考）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上下焦点分别为1F ，2F ，过1F 作双曲线渐近线的垂线1F P ，垂足为点P ，若1POF ∆23，则双曲线的离心率为( ) A ．2B 3C 39D 23解：焦点1(0,)F c ，设曲线的渐近线的方程为ay x b=，因为1F P OP ⊥， 所以直线1F P 的方程为b y c x a -=-，即a y x c b =+，联立b y x c aa y xb ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得ab x c =，所以121322OPF ab ab Sc c =⋅⋅=，所以3b a =2222232311()3c c b e a a a ===+=+， 故选：D ．5．（2021秋•许昌月考）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若△12AF F 的内切圆半径为3b，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．2C ．5D ．3解：设双曲线的左、右焦点，1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 可得直线2AF 的方程()by x c a =-，联立双曲线22221(0)x y b a a b -=>>，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac -，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得，2211()(2)22322b b c a m n c c ac-⋅++=⋅⋅，化简可得2332c m n a c a+=--①，由双曲线的定义可得2m n a -=②，在三角形12AF F 中，22()sin 2b c a n ac θ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan b a θ=，22sin cos 1θθ+=，可得22sin b b c a bθ==+，可得222c a n a -=③， 由①②③化简可得2220c ac a --=，()(2)0c a c a +-=，所以c a =-（舍)，2c a =，所以离心率2ce a==， 故选：B ．6．（2021秋•南宁月考）设双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，M 为双曲线上一点，且2212MF A MAF MF A ∠=∠=∠，则双曲线的离心率为( ) A ．2BCD ．3解：因为22MF A MAF ∠=∠，所以2||||AM MF =+，故M 在2AF 中垂线上，则M 在曲线右支上， 所以21112MAF MF A AMF MF A ∠=∠+∠=∠，所以11MF A AMF ∠=∠，所以1||||AF AM =， 所以12||||AF MF =，(,0)A a ，2(,0)F c ，故2M a cx +=，22||M MF c a a x c=-， 所以22||()2c a c a MF a c +=⋅-，1||AF c a =+，所以2()2c a c a c a a c+⋅-=+，即22ac c a c a a +-=+，即2242ac c a ac +=+，所以2()42c c c a a a+=+⋅，即240e e --=，所以e =1e >，所以e =B ． 7．（2021•浙江开学）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线为1l ，2l ，若双曲线C 的右支上存在一点P ，使得点P 到1l ，2l 的距离之和为b ，则双曲线C 离心率的取值范围是( ) A．)+∞B．C ．[2，)+∞D ．(1，2]解：由题意可得直线1l ，2l 的方程分别为：0bx ay +=，0bx ay -=，设0(P x ，0)y ，则2200221x y a b-=，所以22222200b x a y a b -=，即220000()()bx ay bx ay a b +-=， 所以220000a b bx ay bx ay +=-，设P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d，则001||bx ay d c +==， 同理可得：002||bx ay d c-=， 由题意两点22002200000012||||||||22a b bx ay bx ay bx ay bx ay a b abd d c cc c +-++--+===， 当且仅当22200()bx ay a b -=，即00bx ay ab -=±，时取等号，由题意可得2ab b c ，所以可得2ca ，故选：C ．8．（2021秋•恩施州月考）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足||2||AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．12e <<B ．312e <<C ．322e << D ．3312e +<<解：如图，(,0)F c ，把x c =代入22221x y a b -=，得2b y a =±，不妨设B 在第一象限，则2(,)b B c a ，由题意可得22b a c a +>，即2222()a ac c a +>-，可得2230e e --<，解得：312e -<<．又1e >，∴双曲线离心率e 的取值范围是312e <<．故选：B ．圆锥曲线离心率求法专题训练（三）1．（2021•江西模拟）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[6πα∈，]4π，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A ．2[3B ．2[，1) C ．2[31] D ．3[6 解：由已知，点B 和点A 关于原点对称，则点B 也在椭圆上，设椭圆的左焦点为1F ，则根据椭圆定义：1||||2AF AF a +=，根据椭圆对称性可知：1||||AF BF =，因此||||2AF BF a +=①；因为AF BF ⊥，则在Rt ABF ∆中，O 为斜边AB 中点，则||2||2AB OF c ==，那么||2sin AF c α=②，||2cos BF c α=③；将②、③代入①得，2sin 2cos 2c c a αα+=，则离心率11sin cos 2)4c e a πααα===++，由[6πα∈，]4π，5[412ππα+∈，]2π，由562sin 12π+62sin()[4πα++∈1]，则2[e ∈31]，故选：C ．2．（2020秋•潞州区校级期末）椭圆22110064x y +=的焦点为1F 、2F ，椭圆上的点P 满足1260F PF ∠=︒，则△12F PF 的面积是( )A 643B 913C 163D ．643 解：椭圆22110064x y +=的焦点为1F 、2F ，椭圆上的点P 满足1260F PF ∠=︒，∴由椭圆定义得：12||||20PF PF +=，221212||||2||||400PF PF PF PF ∴++=，① 由余弦定理得：22121212||||2||||cos 436PF PF PF PF F PF +-∠=⨯，② 联立①②，得：12256||||3PF PF =，∴△12F PF 的面积是12112563643||||sin 60223S PF PF =︒=⨯=故选：A ．3．（2020秋•尖山区校级月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且90OPA ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A ．3(B ．2(C ．2D ．3 解：设(,)P x y ，90OPA ∠=︒，∴点P 在以OA 为直径的圆上．该圆为：22()(2a x y -+=2)2a，化为220x ax y -+=．联立椭圆方程可化为222322()0b a x a x a b -+-=，解得22P ab x c=，0x a <<，220ab a c ∴<<，化为2222c b a c >=-，212e ∴>，又10e >>21e <<．故选：B ．4．（2020•镇海区校级模拟）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足0FA FB =，||||2||FB FA FB ，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．2[5B ．5[1) C ．2[31] D ．[31，1)解：作出椭圆的左焦点F '，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形， 又0FA FB =，即FA FB ⊥，故平行四边形AFBF '为矩形，||||2AB FF c '∴==，设AF n '=，AF m =，则在直角三角形ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，① 得22mn b =，②①÷②得222m n c n m b +=，令mt n=，得2212c t t b +=，又由||||2||FB FA FB ，得[1m t n =∈，2]，2212[2c t t b ∴+=∈，5]2，即22[1c b ∈，5]4即22514c b ，得22415b c ， 即222415a c c -，即224115a c -，则22925a c ，即221529c a ，得1529e 得2523e 则椭圆的离心率的取值范围是2[2，5]3，故选：A ．5．（2020•永康市模拟）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，若P 为椭圆上一点，且12||3||PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，1]3B ．1[3，1)C ．(0，1]2D ．1[2，1)解：P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为椭圆焦点，且12||3||PF PF =，可得12||||2PF PF a +=，13||2PF a a c =+，12e ∴．∴椭圆离心率的范围是1[2，1)故选：D ．6．（2018•恩施州一模）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,1)A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得||||9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A ．1[,1)2B ．11[,]32C ．11[,]54D ．12[,]23解：记椭圆的左焦点为1(1,0)F -，则1||1AF =，11||||||PF PA AF +，112||||||||||1910a PF PF PA AF PF ∴=++++=，即5a ；11||||||PF PA AF -，112||||||||||918a PF PF PA AF PF ∴=+-+-=，即4a ，45a ∴，∴11[,]54c a ∈故选：C ．7．（2020秋•安顺期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP =-，则椭圆的离心率的取值范围为( )A ．1[,1)2B ．2[C ．51[-D ．2] 解：设2(a P c ，)y ，由FP AP FA AP =-，可得()0FP FA AP +=，则2(a FP FA c c+=-，)(y c +-，2)(2a b c c =-，)y b +，2(a AP c =，)y b -，所以由()0FP FA AP +=，可得：22(2)()()0a a c y b y b c c -++-=，可得：4222220a a b y c--=-，整理可得：4222222()0a a c a c c ---，即42310e e -+，235352e -+，即51512e-+，由于椭圆的离心率小于1511e -<， 故选：C ．8．（2012•西安一模）椭圆2221x y a +=上存在一点P ，使得它对两个焦点1F ，2F 的张角122F PF π∠=，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．(02B ．2[，1) C ．(0，1]2D ．1[2，1)解：椭圆方程为：2220x y a +=，21b ∴=，可得221c a =-，21c a =-椭圆的离心率为21a e -=又椭圆上一点P ，使得角122F PF π∠=，∴设点P 的坐标为0(x ，0)y ，结合1(,0)F c -，2(,0)F c ，可得10(PF c x =--，0)y -，20(PF c x =-，0)y -，∴22212000PF PF x c y =-+=⋯① 0(P x ，0)y 在椭圆2221x y a+=上，∴220021x y a =-，代入①可得22200210x x c a -+-=将221c a =-代入，得22200220x x a a --+=，所以4220221a a x a -=-，0a x a -∴220x a ，即4222201a a a a --，解之得22a ∴椭圆的离心率221121[a e a -=-，1)．圆锥曲线离心率求法专题训练（四）1．（2015秋•南关区校级期末）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，(2,0)A c -，(2,0)B c ，如果椭圆上存在一点P ，使得AP BP ⊥，则离心率的取值范围为( )A ．1)2B ．4)5C ．D ． 解：椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，(2,0)A c -，(2,0)B c ，椭圆上存在一点P ，使得AP BP ⊥，∴设(cos ,sin )P a b αα，则(cos 2,sin )AP a c b αα=+，(cos 2,sin )BP a c b αα=-，AP BP ⊥，∴22222cos 4sin 0AP BP a c b αα=-+=，22222222444c a cos b sin e a a θθ+∴==222222sin 4a cos a sin c a θθθ+-=22224a c sin a θ-=，02θπ<<，∴当0θ→时，12e =；当2πθ=时，e =，∴离心率的取值范围为1)2．2．（2013秋•安吉县校级月考）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为1F 、2F ，若椭圆上存在一点Q ，使12120FQF ∠=︒，椭圆离心率e 的取值范围为( )A 1e <B 1e <<C ．603e< D ．112e << 解：椭圆的焦点在x 轴，设椭圆的上顶点为A ，椭圆上存在一点Q ，12120FQF ∠=︒，160F AO ∴∠︒， 1tan 3c F AO b∴∠=，∴33b c∴2222222113b a c a c c c -==-，故2234c a ，32ce a ∴=，又1e <．∴1e <．故选：A ． 3．（2020•池州模拟）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ． 解：由12PF PF ⊥，知△12F PF 是直角三角形，||OP c b ∴=，即222c a c -，2ac ∴，ce a=，01e <<，∴1e <，故选：C ．4．（2015秋•晋安区校级期末）已知点1F ，2F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P使得12||2||PF PF =，则此椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．1(0,)3B ．(0，1]2C ．1(3，1]2D ．1[3，1)解：由题意设12||2||2PF PF x ==，则22x x a +=，解得23a x =，故14||3a PF =，22||3a PF =，当P 与两焦点1F ，2F 能构成三角形时，由余弦定理可得222121644242cos 9933a a a ac F PF =+-⨯⨯⨯∠，由12cos (1,1)F PF ∠∈-可得222212201644cos (999a a a c F PF =-∠∈，236)9a ，即222436499a a c <<，∴22119c a <<，即2119e <<，∴113e <<； 当P 与两焦点1F ，2F 共线时，可得2()a c a c +=-，解得13c e a ==；综上可得此椭圆的离心率的取值范围为1[3，1)故选：D ．5．（2015秋•西城区期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．2(0,)2 B ．2(,1)2 C ．1(0,)2D ．1(,1)2解：如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．由此可得：椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，∴△012P F F 中，10290F P F ∠>︒，Rt ∴△02P OF 中，0245OP F ∠>︒， 所以02P O OF <，即b c <，222a c c ∴-<，可得222a c <，22e ∴>，01e <<，∴212e <<．故选：B ．6．（2018秋•城厢区校级期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F c =，若椭圆上存在点M 使得1221sin sin a cMF F MF F =∠∠，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A ．(0,21)- B ．2(2，1) C ．2(0,)2D ．(21-，1)解：在△12MF F 中，由正弦定理可得，122112||||sin sin MF MF MF F MF F =∠∠， 又1221sin sin a cMF F MF F =∠∠，即有1222||2||||||MF a MF c a MF MF -==，解得222||a MF a c=+， 由于2||a c MF a c -<<+，即有22()()2()a c a c a a c -+<<+，即为2222a c a -<，显然成立； 又2a a c <+，即有(21)c a >-，则离心率(21ce a=∈-，1)．故选：D ．7．已知椭圆的左、右焦点为1F 、2F ，若椭圆上存在点P 使1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为()A ．3[2，1) B ．(0，3]2 C ．1[2，1) D ．(0，1]2解：如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．存在点P 为椭圆上一点， 使得1260F PF ∠=︒，∴△012P F F 中，10260F P F ∠︒， Rt ∴△02P OF 中，0230OP F ∠︒，所以023P OOF ，即3b c ，2223a c c ∴-，可得224a c ，∴12ca ，01e <<，∴112e <．故选：C ． 8．（2015•怀化二模）设1F ，2F 为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足12120F PF ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．3[,1)2B ．3(,1)2C ．3(0,)2D ．3(0,]2解：1(,0)F c -，2(,0)F c ，0c >，设1(P x ，1)y ，则11||PF a ex =+，21||PF a ex =-．在△12PF F 中，由余弦定理得2221111()()41cos12022()()a ex a ex c a ex a ex ++--︒=-=+-，解得2221243c a x e -=．21(0x ∈，2]a ，2222430c a a e -∴<，即22430c a -．且21e <32c e a ∴=． 故椭圆离心率的取范围是3[,1)2e ∈．故选：A ．圆锥曲线离心率求法专题训练（五）1．（2013•天心区校级二模）已知椭圆：22221(,0)x y a b a b+=>和圆222:O x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．若椭圆上存在点P ，使得0PA PB =，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．1[2，1) B ．(0，]2 C．[2，1) D ．1[2，2解：由0PA PB =，可得90APB ∠=︒，利用圆的性质，可得||OP =，222||2OP b a ∴=，222a c ∴ 212e ∴，01e <<∴1e <故选：C ．2．（2017秋•海淀区校级期末）若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为1F ，2F ，若双曲线上存在一点P ，满足12||3||PF PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．12e <<B ．12eC ．12e <D ．12e <解根据双曲线定义可知12||||2PF PF a -=，即223||||2PF PF a -=．2||a PF ∴=，1||3PF a = 在△12PF F 中，1212||||||F F PF PF <+，224||c PF <，22||2c PF a <=，∴2ca<， 当p 为双曲线顶点时，2ca=又双曲线1e >，12e ∴<故选：C ． 3．（2016秋•双台子区校级期中）设椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别是1F ，2F ，如果在椭圆上存在一点p ，使12F PF ∠为钝角，则椭圆离心率的取值范围是． 解：设0(P x ，0)y ，则0||x a <，又12F PF ∠为钝角，当且仅当120PF PF <有解， 即22200c x y >+有解，即22200()minc x y >+．又2222002b y b x a =-，2222220002[c x y b x b a∴+=+∈，2)a ，即2220()minx y b +=．故22c b >，222c a c >-，∴2212c a >，即e >，又01e <<，∴1e <<．故答案为：． 4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若双曲线上存在一点P 使21||||PF aPF c=，则该双曲线的离心率的取值范围是1] ． 解：21||||PF aPF c=，P ∴在双曲线右支，设P 点的横坐标为o x ，注意到o x a ． 由双曲线第二定义得：1||o PF a ex =+，2||o PF ex a =-，则有00ex a a a ex c -=+，得()o a a c x a ec ea+=-，分子分母同时除以a ，得：2a ca e e+-，∴211ee e+-，解得121e<+．故答案为：(11]．5．（2012•江苏模拟）已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)xy a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 使得221||8||PF a PF =，则双曲线的离心率的取值范围是 (1，3] ． 解：P 为双曲线左支上一点，12||||2PF PF a ∴-=-，21||||2PF PF a ∴=+，①又221||8||PF a PF =，②∴由①②可得，1||2PF a =，2||4PF a =．1212||||||PF PF F F ∴+，即242a a c +，∴3c a ，③ 又1122||||||PF F F PF +>，224a c a ∴+>，∴1ca>．④ 由③④可得13c a <． 故答案为：(1，3]．。

圆锥曲线中的离心率问题（答案）圆锥曲线中的离心率问题（答案）一、直接求出a 、c ，求解e 已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解。

来求解。

例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（的离心率是（ ）A. 10B. 5C. 310D. 25 分析：这里的1b ，c 1a 2+==，故关键是求出2b ，即可利用定义求解。

，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b ,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ac e ==，从而选A 。

二、变用公式，整体求出e 例2. 已知双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的一条渐近线方程为x 34y =，则双曲线的离心率为（心率为（ ）A. 35B. 34C. 45D. 23 分析：本题已知=a b 34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。

，可用整体代入套用公式。

解：由22222222k 1a b 1a b a ab a ace +=+=+=+==（其中k 为渐近线的斜率）。

这里34a b =，则35)34(1a c e 2=+==，从而选A 。

三、第二定义法三、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例 3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（则该椭圆的离心率为（ ）A. 2B. 22C. 21D. 42解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F ，则x F M ^轴，知|MF|是通径的一半，则有22|MF |=。

椭圆的离心率与几何性质角，则该椭圆的离心率为 .2.若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点可构成一个等边三角形,则椭圆的离心率为（ ）1123. . . .4222A B C D 3.在一椭圆中以焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于（ ）.秒杀秘籍：椭圆离心率的计算定义：如图所示，P 为椭圆的上顶点，令122,PF F OPF αθ∠=∠=，离心率就是sin cos ce aθα=== 例1：已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点,那么这个椭圆的方程为____________________,离心率为_______. 解：()()220;2,00,1x y -+=∴-直线过点；,故过椭圆的上顶点和左焦点，根据图形可得2,1,5c b a ===；故椭圆方程为2215x y +=，255c e a ==椭圆顶点三角形与离心率：如右图，2tan 1be aα==-， 例2：椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的四个顶点为A 、B 、C 、D ,若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是( ) A.253- B.853+ C. 215- D.815+解：根据图形可得22222tan b c c b ac a c ac a ba c α===⇒=⇒-=-； 即22251110,2c c e e e a a --=⇒+-==（黄金椭圆2b ac =）半通径的焦点三角形与离心率：如右图，过椭圆右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于点P ，则22b PF a =，12,F PF α∠=222222221cos 12bab a ac e a c ea α--===++- 例3：设椭圆的两个焦点分别为1F ,2F ,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△12F PF 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为__________ .解：根据图形可得()22222212cos 21122e e e e α--==⇒=⇒=-+ 例4：椭圆221123x y +=的两个焦点为F 1，F 2, 点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的 倍。

解析几何——难点突破——离心率专题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数．圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点．求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e 的等式或不等式使问题获解．[典例] (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12C.23D.34[思路点拨]本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a ，b ，c 满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件“直线BM 经过OE 的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式．[方法演示]法一：数形结合法如图，设直线BM 与y 轴的交点为N ，且点N 的坐标为(0，m )，根据题意，点N 是OE的中点，则E (0,2m )，从而直线AE 的方程为x －a ＋y2m＝1，因此点M 的坐标为－c ，2m (a －c )a .又△OBN ∽△FBM ，所以|FM ||ON |＝|FB ||OB |，即2m (a －c )a m ＝a ＋c a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法二：交点法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m＝1，直线BN 的方程为x a ＋y m ＝1.又因为直线AE与直线BN 交于点M ，且PF ⊥x 轴，可设M (－c ，n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－c －a ＋n 2m ＝1，－c a ＋nm ＝1，消去n ，解得ca ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. 法三：三点共线法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m ＝1，由题意可知M ⎝⎛⎭⎫－c ，2m ⎝⎛⎭⎫1－c a ，N (0，m )，B (a,0)三点共线，则2m ⎝⎛⎭⎫1－ca －m －c ＝m －a，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法四：方程法设M (－c ，m )，则直线AM 的方程为y ＝ma －c(x ＋a )，所以E ⎝⎛⎭⎫0，ma a －c .直线BM 的方程为y ＝m －c －a (x －a )，与y 轴交于点⎝⎛⎭⎫0，ma a ＋c ，由题意知，2ma a ＋c ＝maa －c ，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法五：几何法在△AOE 中，MF ∥OE ，所以MF OE ＝a －c a .在△BFM 中，ON ∥MF ，所以OE 2MF ＝a a ＋c ，即OE MF ＝2aa ＋c.所以MF OE ·OE MF ＝a －c a ·2a a ＋c ＝1，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. [答案] A[解题师说]1．本题的五种方法，体现出三个重要的数学解题策略.利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a 与c 的关系式．[注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量关系式．[应用体验]1．(2018·新疆模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233C ．3D ．2解析：选A 依题意，不妨设点P 在双曲线的右支上，F 1，F 2分别为其左、右焦点，设椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则有e 1＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|，e 2＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|，则1e 1＋1e 2＝2|PF 1||F 1F 2|.在△PF 1F 2中，易知∠F 1F 2P ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， 由正弦定理得|PF 1||F 1F 2|＝sin ∠F 1F 2P sin ∠F 1PF 2＝23sin ∠F 1F 2P ， 所以1e 1＋1e 2＝43sin ∠F 1F 2P ≤43＝433，当且仅当sin ∠F 1F 2P ＝1，即∠F 1F 2P ＝π2时取等号，因此1e 1＋1e 2的最大值是433.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，则双曲线离心率的取值范围为__________．解析：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1.由已知，点(1,0)到直线l 的距离d 1与点(－1,0)到直线l 的距离d 2之和s ＝d 1＋d 2＝b (a －1)a 2＋b2＋b (a ＋1)a 2＋b2＝2ab c ≥45c ，整理得5a c 2－a 2≥2c 2，即5e 2－1≥2e 2，所以25e 2－25≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5，52≤e ≤ 5.故双曲线离心率的取值范围为52， 5.答案：52，5一、选择题1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B.12C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2解析：选A 法一：作出示意图如图所示，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.法二：因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca＝ 2.3．(2018·宝鸡质检)已知双曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，则C 的离心率等于( )A.53 B.54C.53或2516D.53或54解析：选D 当m <0，n >0时，圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，则圆心为M (3,1)，半径R ＝1，由mx 2＋ny 2＝1，得y 21n －x 2－1m＝1，则双曲线的焦点在y 轴上，对应的一条渐近线方程为y ＝±a b x ，设双曲线的一条渐近线为y ＝ab x ，即ax －by ＝0.∵一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，∴圆心到直线的距离d ＝|3a －b |a 2＋b 2＝1，即|3a－b |＝c ，平方得9a 2－6ab ＋b 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以8a 2－6ab ＝0，即4a －3b ＝0，b ＝43a ，平方得b 2＝169a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝259a 2，c ＝53a ，故离心率e ＝c a ＝53；当m >0，n <0时，双曲线的渐近线为y ＝±bax ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，∴|3b －a |a 2＋b 2＝1， 即9b 2－6ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴8b 2－6ab ＝0，即4b ＝3a ，平方得16b 2＝9a 2，即16(c 2－a 2)＝9a 2，可得e ＝54.综上，e ＝53或54.4．(2018·广西三市第一次联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 是双曲线C 右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，若直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，则双曲线的离心率为( )A.43B.53C ．2D ．3解析：选B 取线段PF 1的中点为A ，连接AF 2，又|PF 2|＝|F 1F 2|，则AF 2⊥PF 1.∵直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∴|AF 2|＝2a .∵|PA |＝12|PF 1|＝a ＋c ，∴4c 2＝(a ＋c )2＋4a 2，化简得(3c －5a )(a ＋c )＝0，则双曲线的离心率为53.5．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P 作∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M ，若2|PM |2＝|PF 1|·|PF 2|，则该椭圆的离心率为( )A.12 B.22C.32D.33解析：选B 记∠PF 1F 2＝2α，∠PF 2F 1＝2β，则有∠F 1MP ＝2β＋π－(2α＋2β)2＝π2＋(β－α)，sin ∠F 1MP ＝cos(α－β)＝sin ∠F 2MP ，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝sin (2α＋2β)sin 2α＋sin 2β＝2sin (α＋β)cos (α＋β)2sin (α＋β)cos (α－β)＝cos (α＋β)cos (α－β).由已知得2|PM ||PF 1|＝|PF 2||PM |，即2sin 2αcos (α－β)＝cos (α－β)sin 2β，2sin 2αsin2β＝cos 2(α－β)，cos(2α－2β)－cos(2α＋2β)＝cos 2(α－β)，即[2cos 2(α－β)－1]－[2cos 2(α＋β)－1]＝cos 2(α－β)，cos 2(α－β)＝2cos 2(α＋β)，cos (α＋β)cos (α－β)＝22＝e ，所以该椭圆的离心率e ＝22.6．(2018·云南11校跨区调研)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，若|OP |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ．5 B.5C.53D.54解析：选A 依题意得F (－5,0)，|OP |＝|OF |＝5，tan ∠PFO ＝43，cos ∠PFO ＝35，|PF |＝2|OF |cos ∠PFO ＝6.记双曲线的右焦点为F 2，则有|FF 2|＝10.在△PFF 2中，|PF 2|＝|PF |2＋|FF 2|2－2|PF |·|FF 2|·cos ∠PFF 2＝8.由双曲线的定义得a ＝12(|PF 2|－|PF |)＝1，则C的离心率为e ＝ca ＝5.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，若双曲线右支上存在两点B ，C使得△ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选C如图，由△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BAx ＝45°.设其中一条渐近线与x 轴的夹角为θ，则θ＜45°，即tan θ＜1.又其渐近线的方程为y ＝b ax ，则ba ＜1，又e ＝ 1＋b 2a2， 所以1＜e ＜2，故双曲线的离心率e 的取值范围为(1，2)．8．(2018·广东五校协作体诊断)已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF 1―→·NF 1―→>0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2＋1)B ．(1，2＋1)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)解析：选B 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y ＝±b 2a ，不妨设M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，则MF 1―→·NF 1―→＝－2c ，－b 2a ·⎝⎛⎭⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a 2>0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2>0，即a 4＋c 4－6a 2c 2<0，故e 4－6e 2＋1<0，解得3－22<e 2<3＋22，又e >1，故1<e 2<3＋22，得1<e <1＋ 2.9．(2018·贵阳检测)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫1，54 D.⎝⎛⎭⎫54，＋∞解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，且“右”区域是由不等式组⎩⎨⎧y <b ax ，y >－ba x所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1<2b a ，即b a >12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 10.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，34 B.⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a (a ＋c ).又13<k <12，所以13<a 2－c 2a (a ＋c )<12，化简可得13<1－e 21＋e <12，从而可得12<e <23. 11．已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝ab x 平行的直线为y ＝ab x ＋c .联立⎩⎨⎧y ＝abx ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎨⎧x ＝－bc 2a，y ＝c2，即M ⎝⎛⎭⎫－bc 2a ，c 2. 因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＋⎝⎛⎭⎫c22＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得ca＜2，所以双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．12．(2018·湘中名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率的取值范围为( )A.53，＋∞ B.54，＋∞ C ．1，53D ．1，54解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a .将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±bc a ，不妨取C ⎝⎛⎭⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎫c ，－bc a ，所以|CD |＝2bc a .因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54. 二、填空题13.(2018·洛阳第一次统考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点为A .B ，C 是椭圆E 上关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率为________．解析：法一：设AC 的中点为M (x 0，y 0)，依题意得点A (a,0)，C (2x 0－a,2y 0)，B (a －2x 0，－2y 0)，F (c,0)，其中y 0≠0.由B ，F ，M 三点共线得k BF ＝k BM ，2y 0c －a ＋2x 0＝3y 03x 0－a≠0，化简得a ＝3c ，因此椭圆E 的离心率为13.法二：连接AB ，记AC 的中点为M ，B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，则在△ABC 中，AO ，BM 为中线，其交点F 是△ABC 的重心．又F (c,0)，由重心坐标公式得c ＝x 0－x 0＋a3，化简得a ＝3c ，因此椭圆E 的离心率为13.答案：1314．(2018·湖北部分重点高中联考)已知双曲线C 2与椭圆C 1：x 24＋y 23＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C 2的离心率为__________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知a 2＋b 2＝4－3＝1，由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，x 2a 2－y2b 2＝1，解得交点的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4a 2，y 2＝3(1－a 2)，由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S ＝4|xy |＝44a 2·3(1－a 2)＝83·a 2·1－a 2≤83·a 2＋1－a 22＝43，当且仅当a 2＝1－a 2，即a 2＝12时，取等号，此时双曲线的方程为x 212－y 212＝1，离心率e ＝ 2.答案：215．已知点A (3,4)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则当椭圆的中心到直线x ＝a 2a 2－b 2的距离最小时，椭圆的离心率为__________．解析：因为点A (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点，所以9a 2＋16b 2＝1，所以b 2＝16a 2a 2－9.因为a >b >0，所以1＝9a 2＋16b 2>9a 2＋16a 2＝25a2，从而a 2>25.设椭圆的中心到直线x ＝a 2a 2－b 2的距离为d ，则d ＝a 2a 2－b 2＝a 4a 2－16a 2a 2－9＝a 21－16a 2－9＝a 2(a 2－9)a 2－25＝a 2－25＋400a 2－25＋41≥2400＋41＝9， 当且仅当a 2－25＝400a 2－25，即a 2＝45时，等号成立，此时b 2＝20，c 2＝25，于是离心率e ＝c a ＝2545＝535＝53.答案：5316．已知抛物线y ＝14x 2的准线过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴的一个端点，且双曲线C 与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A ，B .则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．解析：抛物线y ＝14x 2化为x 2＝4y ，所以准线为y ＝－1，所以双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴的一个端点为(0，－1)，即b ＝1，实用文档所以双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1， 消去y ，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0. ∵与双曲线交于两点A ，B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0⇒0<a 2<2且a 2≠1. 而b ＝1，则c ＝a 2＋b 2＝a 2＋1，∴离心率e ＝c a ＝a 2＋1a ＝1＋1a 2>1＋12＝62，且e ＝1＋1a 2≠2， ∴e 的取值范围为⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． 答案：⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)。

圆锥曲线离心率训练题一、单选题（共25题；共50分）1.已知抛物线上的点到准线的最短距离为1，则p的值为（）A. B. 1 C. 2 D. 42.已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则双曲线C的离心率为( )A. B. C. D.3.设椭圆的左右焦点为，焦距为2c，过点的直线与椭圆C交于点，若，且，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.4.已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.5.已知双曲线：的左右焦点分别为、，且抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为45°则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6.直线经过椭圆的左焦点F，交椭圆于两点，交y轴于C 点，若，则该椭圆的离心率是（）A. B. C. D.7.连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8.已知双曲线：（，）的右焦点与圆：的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D. 39.已知，是双曲线，的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.10.已知双曲线的左、右焦点分别，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点P，且,则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 211.已知椭圆C：的左右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆上有一个动点P，P不同于A、B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则的取值范围是（）A. B.C. D.12.已知双曲线)，其右焦点F的坐标为，点A是第一象限内双曲线渐近线上的一点，O为坐标原点，满足，线段AF交双曲线于点M.若M为AF的中点，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.13.椭圆的离心率是（）A. B. C. D.14.双曲线的焦点到渐近线的距离是( )A. 1B.C.D. 215.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为（）A. B. C. D.16.已知分别为双曲线的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.17.设，为双曲线的左、右焦点，P，Q分别为双曲线左、右支上的点，若，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.18.已知点是双曲线上一点，若点p到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D. 219.已知双曲线的两条渐近线的倾斜角之差为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.20.已知正六边形的两个顶点为双曲线：的两个焦点，其他顶点都在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D. 421.已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为（）A. 2B. 3C.D.22.已知斜率为的直线l经过双曲线的上焦点F，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A. B. C. D.23.设双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上的点，且与轴垂直，的内切圆的方程为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.24.已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C.D.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】因为抛物线上的点到准线的最短距离为,所以,故答案为：C.【分析】抛物线上的点到准线的最短距离为,据此列式求解即可.2.【答案】A【解析】【解答】解：由题意知，圆心为在轴上，则圆与双曲线的两条渐近线都相切，则圆心到渐近线的距离为半径，即，即，又，则，解得.故答案为：A.【分析】求出圆心坐标、半径以及双曲线的渐近线，由渐近线和圆相切，可求出圆心到渐近线的距离为半径，即，结合双曲线中，进而可求出离心率的大小.3.【答案】C【解析】【解答】根据题意，作图如下：由得，，由即，整理得，则，得故答案为：C.【分析】根据题意，求得，结合余弦定理，即可求得的齐次式，据此即可求得结果.4.【答案】B【解析】【解答】双曲线的渐近线为由渐近线与圆相切所以可得两边平方：，又所以，则所以，由，所以故答案为：B【分析】根据双曲线的方程，可得渐近线方程，然后根据直线与圆的位置关系，利用几何法表示，根据平方关系以及的关系，结合离心率公式，可得结果.5.【答案】B【解析】【解答】设双曲线焦点，则抛物线的准线方程为，过做，垂足为，则，，，又点在双曲线上，，.故答案为：B.【分析】设双曲线焦点，可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为，过点P做，垂足为M，根据题意有，可得轴，进而将用C表示，结合双曲线定义，即可求解.6.【答案】A【解析】【解答】由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，所以，即椭圆的左焦点为，且①直线交轴于，所以，，因为，所以，所以，又由点在椭圆上，得②由，可得，解得，所以，所以椭圆的离心率为.故答案为：A.【分析】由直线过椭圆的左焦点F，得到左焦点为，且，再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.7.【答案】D【解析】【解答】双曲线与互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为，四个顶点形成的四边形的面积，四个焦点连线形成的四边形的面积，所以，当取得最大值时有，，离心率，故答案为：D.【分析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率.8.【答案】A【解析】【解答】由已知，，渐近线方程为，因为圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，所以圆心M到渐近线的距离为，故，所以离心率为.故答案为：A.【分析】由已知，圆心M到渐近线的距离为，可得，又，解方程即可.9.【答案】D【解析】【解答】由题意，双曲线的焦点坐标为，所以，即等边三角形的边长为，所以的高为，即，所以中点，代入双曲线的方程，可得，整理可得，又由，可得，两边同除，可得，解得，又因为，所以，即.故答案为：D.【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标，进而可求得三角形的高，得到点M的坐标，再求得点N的坐标，代入双曲线的方程求得的关系，即可求得双曲线的离心率.10.【答案】A【解析】【解答】由题意知，，，三角形为等边三角形，则，，则，解得，故离心率为，故答案为：A.【分析】由题意知，，三角形为等边三角形，从而可以得到，即可求出离心率。

圆锥曲线的离心率问题专题训练1．若椭圆1222=+m y x 的离心率等于21，则m =. 2．已知双曲线的渐近线方程为023=±y x ，则双曲线的离心率为。

3. 过双曲线焦点且垂直于对称轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若|AB|为双曲线实轴长的2倍，则双曲线的离心率为。

4．已知 F 1 、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上存在一点P ，使得 S ⊿F 1PF 2=23b ，则该椭圆的离心率的取值范围是。

5．若点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，F 1、F 2为左右两个焦点，且|PF 1|=6|PF 2|，则椭圆离心率的取值范围为。

6．若点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，F 1、F 2为左右两个焦点，且|PF 1|=6|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为。

7．分别过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点F 1、F 2所作的两条直线21l l 、的交点总在椭圆内部，，则该椭圆的离心率的取值范围为。

8．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左右两个焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为一边向上作正三角形PF 1F 2，两边与双曲线的交点恰为所在边的中点，则双曲线的离心率为。

9．若点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，A 、B 为长轴的左右顶点，PA 、PB 的斜率之积为32-，则椭圆的离心率是。

10．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，l 与双曲线)0(1222>=-a y ax 交于A 、B 两点。

若三角形FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率为。

11．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，过原点的直线与椭圆交于A 、B 两点，连接AF 、BF ，若|AF|=6，|AB|=10，co s ∠ABF=54,则椭圆的离心率是。

圆锥曲线的离心率专项练习一、单选题1．已知双曲线2221(0)3y x a a-=>的离心率为2，则a =（ ）A ．2BCD ．12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（ ）A ．12B ．2C ．14D 3．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．34．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若12PF =，则C 的离心率为（ ）A B ．2C D 5．已知F 是椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，（其中c 为椭圆的半焦距），且2PQ QF =则椭圆C 的离心率等于（ ）A ．3B ．23C ．2D ．126．已知双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为y x =±，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．37．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（ ）A ．152-+ B ．132-+ C ．12D ．32- 8．已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．2C ．3D ．29．已知双曲线2221,(0)x y a a-=>的焦距为4，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3 B ．3 C ．23D ．3310．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为（ ） A ．23 B ．263C ．3D ．211．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．33C ．32D ．2212．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ） A 5B 10C ．52D ．5二、填空题13．已知焦点在x 轴上的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F ，且和椭圆C 交于A ，B 两点，11||3||5AF BF =，12AF F △与12BF F △的面积之比为3：1，则椭圆C 的离心率为______________.14．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2134e e +的最小值为________.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若123PF PF =，23PQ PF =，则双曲线 C 的离心率为__________.16．已知直线y a =与双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，若212PA A A =，则双曲线C 的离心率为_____. 17．设1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为__.18．设F 为椭圆2222:1x y C a b+=的左焦点，P 为C 上第一象限的一点.若6FPO π∠=，PF =，则椭圆C 的离心率为___________19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率是_______.20．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点2(0)C b ,，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则该双曲线的离心率为______.例21设双曲线22221x y a b-= (0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．例22．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.23．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，求双曲线的离心率.一、单选题1．已知双曲线2221(0)3y x a a-=>的离心率为2，则a =（ ）A ．2 B．2CD ．1【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的性质，直接表示离心率，求a . 【详解】由双曲线方程可知223c a =+，因为2c e a ==，所以22234a e a+==，解得：21a = ， 又0a >，所以1a =. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法： 1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（ ） A ．12B．2C ．14D【答案】D 【解析】 【分析】依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得22142a c =，再根据离心率公式计算即可. 【详解】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2(0)c c >，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的坐标为()0c -，，右焦点2F 的坐标为()0c ，，依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，， 在12F AF 中，由余弦定理得：22212121212||||2cos F F AF AF AF AF F AF ∠=+-⋅⋅， 123cos 4F AF ∠=， 22223142242c a a a ∴=-⨯=，22218c e a ∴==，解得e =故选：D . 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，在12F AF 中，利用余弦定理求得22142a c =是关键，属于中档题.3．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为（ ） A ．12BC ．13D【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求出,,B H M 三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出3a c =可得答案. 【详解】由题意可设(,0),(,0),(,0)F c A a B a --，设直线AE 的方程（由题知斜率存在）为()y k x a =+，令x c =-，可得(),()M c k a c --，令0x =，可得(0,)E ka ，设OE 的中点为H ，可得0,2ka H ⎛⎫⎪⎝⎭，由,,B H M 三点共线，可得BH BM k k =，即()2kak a c a c a-=---，即为3a c =，可得13c e a ==，故选：C.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是根据三点共线找到关于,a c 的等量关系.4．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若1213PF =，则C 的离心率为（ ） A ．5B ．2C 3D 23【答案】D 【解析】 【分析】双曲线的渐近线方程为by x a=,则2PF b =，1OF c =，可得OP a =，在2OPF 和1OPF ∆中，分别求出2cos aPOF c∠=和1cos POF ∠，利用12cos cos 0POF POF ∠+∠=，可得22213PF a c =+结合222b c a =-，ce a=即可求解. 【详解】由题可得双曲线的渐近线方程为0bx ay -=，()2,0F c2PF b ==，1OF c =，OP a =，因为12PF =，所以222121313PF PF b ==，在2OPF 中，2cos aPOF c∠=， 1OPF ∆中，22211cos a c PF POF c+-∠=，因为12POF POF π∠+∠=，所以12cos cos 0POF POF ∠+∠=， 所以22210a c PF acc+-+= 可得22213PF a c =+， 所以222213133c a a c -=+，所以c a =，所以e = 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用双曲线的性质求双曲线的离心率，属于中档题.5．已知F 是椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，（其中c 为椭圆的半焦距），且2PQ QF =则椭圆C 的离心率等于（ ） A．B ．23CD ．12【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先利用几何关系找到a 、b 的比例关系，然后计算椭圆的离心率即可. 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为F 1,连接PF 1，设圆心为C ，则圆心坐标为,03c ⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径为3b r =， ∴|F 1F |=3|FC |，∵PQ =2QF ,∴PF 1∥QC ,|PF 1|=b ， ∴|PF |=2a −b ，∵线段PF 与圆相切于点Q ， ∴CQ ⊥PF ， ∴PF 1⊥PF ， ∴b 2+(2a −b )2=4c 2，()2222(2)4b a b a b ∴+-=-，32a b ∴=,则23b a =，22513c b e a a ∴==-=. 故选：A . 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．已知双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为y x =±，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得出1b a =，再由e =可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】由于双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为y x =±，则1b a =，因此，该双曲线的离心率为c e a =====故选：A. 【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式e =计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（ ）A．BC ．12D【答案】A 【解析】 【分析】由0OA OB ⋅=可得OAB 是等腰直角三角形，结合椭圆的几何性质列出方程，可求解椭圆的离心率． 【详解】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，由2b xc y a=⇒=±，若0OA OB ⋅=，则OAB 是等腰直角三角形(O 为坐标原点），可得2b c a=，即22a c ac -=，可得210e e +-=且(0,1)e ∈，解得512e -=． 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查了椭圆的几何性质，同时考查了垂直关系的向量表示，是基本知识的考查．8．已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．2C ．3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】将直线l 的方程分别与双曲线方程及渐近线方程联立，求出,A B 的纵坐标，再利用已知条件求解． 【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，如图，不妨设,A B 在第一象限，直线l 的方程为()b y x c a =--，与22221x y a b-=联立，得32A b y ac =；直线l 与by x a =联立，得2B bc y a=． 由||2||FB FA =，得2B A y y =，即3222bc b a ac=⨯， 得222c b =，即222c a =，则2e =故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的几何性质等，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，解题关键是利用题目条件建立a 、b 、c 的等量关系，从而求解离心率，属于中等题.9．已知双曲线2221,(0)x y a a-=>的焦距为4，则该双曲线的离心率为（ ）A．BCD【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线焦距求得c ，根据222c a b =+求得a 的值，由此得到离心率. 【详解】由已知得2,1c b ==，由222c a b =+，解得222413a c b =-=-=，所以e =故选：C . 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由已知双曲线方程和焦距找到关于a b c 、、的等量关系.10．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为（ ） A．3B．3CD ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐进线方程，可得到a 值，再由,,a b c 的关系和离心率公式，即可得到答案. 【详解】由渐近线方程为y ==，解得a =所以c ==，所以双曲线的离心率为3cea===.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率的求法，解题关键是利用渐近线方程的斜率与a b、的关系，找到关于a b c、、的等量关系，考查学生基本的运算能力，属于基础题. 11．过椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若3BF FA=，则C的离心率为（）A．13B3CD【答案】D【解析】【分析】首先设出点的坐标，然后利用点在椭圆上即可求得椭圆的离心率.【详解】由题意可得()()0,,,0B b F c-，由3BF FA=，得4,33bA c⎛⎫--⎪⎝⎭，点A在椭圆上，则：22224331bca b⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理可得：222221681,,9922c ce ea a⋅=∴===.故选D.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．12．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ） A．5B ．102C ．52D ．5【答案】B 【解析】 【分析】设2AF m =，根据1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点可知，13AF m =，4AB m =，23BF m =，再利用双曲线的定义可得1222AF AF m a -==，即a m =， 且15BF a =，然后解出21210F F c a ==，则可解得离心率的值. 【详解】如图所示，连接1BF ，设2AF m =，则4AB m =，因为1:3:4AF AB =，则13AF m =，所以1222AF AF m a -==，得a m =， 又122BF BF a -=，且233BF m a ==，所以1325BF m a a =+=， 所以22211AF AB BF +=，即12AF AF ⊥， 故2110F F a =，即210c a = 所以10c e a ==. 故选：B.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义运用，焦点弦长的计算、离心率计算问题，难度一般，根据几何条件得出a ，c 的关系即可.二、填空题13．已知焦点在x 轴上的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F ，且和椭圆C 交于A ，B 两点，11||3||5AF BF =，12AF F △与12BF F △的面积之比为3：1，则椭圆C 的离心率为______________. 【答案】22【解析】 【分析】设13AF x =，15BF x =，23AF y =，2BF y =，根据椭圆的定义可得x y =，进而得出12AF F △为等腰直角三角形，从而求得离心率. 【详解】11||3||5AF BF =，不妨设13AF x =，15BF x =， 由点B 作BP x ⊥轴，同时也过点A 向x 轴引垂线，1212:3:1AF F BF F SS=，且22AOF BPF22:3:1AF BF ∴=，设23AF y =，2BF y =，由12122AF AF BF BF a +=+=，335x y x y ∴+=+，x y ∴=，所以12556AF AF x y x x x +=+=+=， 所以23AF x =，12AF F ∴为等腰三角形，34AB x x x ∴=+=，15BF x =，22211AF AB BF ∴+=，1AF B ∴为直角三角形，12AF AF ∴⊥，∴12AF F △为等腰直角三角形，112OF OA AF ∴==， 11,OF c AF a ==,即2c e a ==.故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的离心率问题，关键是利用椭圆的定义判断出12AF F △为等腰直角三角形，考查了计算求解能力，属于中档题.14．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2134e e +的最小值为________.【答案】6+ 【解析】 【分析】由于线段1PF 的垂直平分线过2F ，所以有122F F PF =，再根据双曲线和椭圆的定义，求出2c 的表达式，然后利用基本不等式求得最小值. 【详解】设椭圆对应的参数为11,,a b c ， 双曲线对应的参数为22,,a b c ，由于线段1PF 的垂直平分线过2F ， 所以有1222F F PF c ==.根据双曲线和椭圆的定义有11122222PF c a PF c a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 两式相减得到()1242c a a =-， 即121222a a c a c a -=⇒+=.所以2121223364344e a a c c e c a c a +=+=++66≥+=+当且仅当2c =取等号， 则2134e e +的最小值为6.故答案为：6. 【点睛】思路点睛：考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同c .对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可得最小值.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若123PF PF =，23PQ PF =，则双曲线 C 的离心率为__________.【解析】 【分析】设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，推出22QF m =，由双曲线的定义得14QF a m a⎧=⎨=⎩，再在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得2225243a c a -=，进而得答案. 【详解】解：设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，∴22QF m =，由双曲线的定义，得12112122422PF PF m aQF a m a QF QF QF m a ⎧-==⎧=⎪⇒⎨⎨=-=-=⎩⎪⎩， 此时，在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得：2222221112116992cos 22433QF PQ PF a a a FQF QF PQa a +-+-∠===⨯⨯2222222212121221216445cos 22424QF QF F F a a c a c FQF QF QF a a a+-+--∠===⨯⨯； 所以2225243a c a -=，即2237c a =，故2273c a =，所以c e a ==．. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．16．已知直线y a =与双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为1A ，2A，若212PA A A =，则双曲线C 的离心率为_____.【解析】 【分析】解出点P 的坐标，用两点间距离公式求出212,PA A A ，化简整理出,,a b c 的关系式，从而求得离心率． 【详解】若渐近线的方程为by x a =，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为212PA A =，所以22225a a a a b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则214a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3a b =，从而e ==若渐近线的方程为by x a =-，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得e =【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力与分类讨论的数学思想.17．设1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为__.. 【解析】 【分析】由已知可得三角形是等腰直角三角形，则根据椭圆定义可得三角形三边长度，利用勾股定理即可求解. 【详解】由已知可得三角形12PF F 是等腰直角三角形，且1290F PF ∠=︒，12||||PF PF =， 由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，12PF PF a ∴==，又12||2F F c =，∴在△12PF F 中，由勾股定理可得：221122||PF F F =，即2224a c =，2c e a ∴==，故答案为：2. 【点睛】该题考查了椭圆定义以及直角三角形中的勾股定理问题，属于基础题目.18．设F 为椭圆2222:1x y C a b+=的左焦点，P 为C 上第一象限的一点.若6FPO π∠=，PF =，则椭圆C 的离心率为___________1 【解析】【分析】连接1PF ，由余弦定理结合平面几何的知识得11PF OF =，再由椭圆的定义及离心率公式即可得解. 【详解】设(),0F c -，椭圆的右焦点()1,0F c ，连接1PF ，如图，因为6FPO π∠=，3PF =，所以2222223cos 2223PF OP OFOP OFFPO PF OPOP OF+-+∠===⋅⋅， 所以OP OF =，所以1OP OF =，13POF π∠=，所以1POF 为等边三角形，11PF OF =， 所以)113312PF PF OF c a +=+==，所以离心率3131ce a===+. 31. 【点睛】解决本题的关键是利用余弦定理及平面几何的知识转化条件为11PF OF =，再由椭圆的定义、离心率公式即可得解.19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率是_______. 6 【解析】【分析】 首先联立直线与椭圆的方程求出B ，C 两点坐标，由此求出BF 、CF ，由90BFC ∠=得0BF CF ⋅=，从而可得a c 、的关系式，进而求得椭圆的离心率.【详解】222142233c e a ==⨯= 由222212x y a b b y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得32x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由题意可知(),0F c ，所以3,22b BF c a ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b CF c a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 因为90BFC ∠=，所以BF CF ⊥，所以0BF CF ⋅=，即3302222b b c c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以22231044c a b -+=，因为222b a c =-， 所以22223110444c a a c -+-=，即223142c a =，所以22223c e a ==，所以6e =， 故答案为：63【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的常用方法：（1）直接求出a 、c 的值，利用离心率公式直接求解；（2）列出含有a 、b 、c 的其次方程或不等式，借助于222b a c =-消去b ，转化为含有e 的方程和不等式求解；（3）数形结合，根据图形观察，通过取特殊值和特殊位置求出离心率；20．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点2(0)C b ,，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则该双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】 由题中条件，得到BC BA =，由此得到2234a b =，再由双曲线中222c a b =+，即可求出离心率.【详解】 因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ， 则2AB a =，(),0A a -，(),0B a ，又2(0)C b ,，线段AC 的垂直平分线过点B ， 所以BC BA =2a =，则2234b a =， 所以2222223744c a b a a a =+=+=，因此2c e a ===.故答案为：2. 例21设双曲线22221x y a b-= (0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l，求双曲线的离心率． 【答案】e ＝2.【解析】【分析】先求出直线l 的方程，利用原点到直线l 的距离为3 c ，222c a b =+，求出22a c 的值，进而根据0a b <<求出离心率．【详解】由l 过两点(a,0)，(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.由原点到l 的距离为c ，得＝c . 将b ＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解关于的一元二次方程得＝或.∵e ＝，∴e ＝或e ＝2.又0<a <b ，故e ＝＝＝>. ∴应舍去e ＝.故所求离心率e ＝2.【点睛】 本题考查双曲线性质，考查求双曲线的离心率常用的方法即构造出关于,,a b c 的等式，属于中档题．22．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.2.【解析】【分析】设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM OF ⊥于M .由射影定理知2||||||PF FM FO =，可得,,a b c 的关系，可求得双曲线的离心率.【详解】如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM OF ⊥于M .由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知2||||||PF FM FO =，又(c,0)F ，渐近线OP 的方程为0bx ay -=，所以22bc PF b b a ==+，于是22c bc =⋅， 即22222b c a b ==+，因此22a b =，故2212c b e a a==+=.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，求双曲线的离心率，属于基础题.23．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，求双曲线的离心率.【答案】53e =【解析】【分析】设直线1PF 与圆222x y a +=相切点M ，连接OM ，根据212PF F F =和直线1PF 与圆222x y a +=相切得到2b a c =+，再求离心率即可.【详解】设直线1PF 与圆222x y a +=相切点M ，连接OM ，如图所示：因为212PF F F =，所以12FF P 为等腰三角形，又因为1OM PF ⊥，所以1114MF PF =.在1RT MF O △中，1MF b ===， 所以14PF b =. 因为122PF PF a -=，所以422b c a -=，即2b a c =+.所以22242b a c ac =++，2222442c a a c ac -=++223520c a ac --=，23250e e --=， 解得53e =或1e =-（舍去）. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，同时考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.。

1．（福建卷）已知双曲线12222=-by a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2]C.[2,+∞)D.(2,+∞)2．（湖南卷）过双曲线M:2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )3D.23．（辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4．（全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ）（A ）53 (B )43 (C )54 (D )325．(陕西卷)已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为B. 3C.263D.2336. (全国卷)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A （B （C ）2（D 1 7. （广东卷）若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m=( )（Ｂ）32（Ｃ）83（Ｄ）238.（福建卷）已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A ．324+B ．13-C ．213+D ．13+9．[全国]设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ）A ．5 B ． 5 C ．25 D ．45 10．（ 福建理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．33B ．32 C ．22 D ．2311．（ 重庆理）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ）A ．43B ．53C ．2D ．7312.（福建卷11)又曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)B.(]1,3 C.(3,+∞)D.[)3,+∞13.（江西卷 7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1) B ．1(0,]2C ．(0,2 D ．,1)2 14.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．(25)，D ．(2v1.0 可编辑可修改15.（陕西卷8）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．3316.（天津卷（7）设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）（A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y +=17.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ． 18.（全国一15）在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e= ．19、（全国2理11）设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。

高二圆锥曲线离心率专题训练µ椭圆1已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，直线BF 与椭圆C 的另一个交点为D ，且BF =2FD ，则C 的离心率为()A.33B.32C.23D.222若椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的短轴长是焦距的2倍，则C 的离心率为()A.12B.55C.22D.53椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 中，点F 2为椭圆的右焦点，点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的短轴上的顶点，若F 2B ⊥AB ，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为()A.22B.-1+52C.12D.334已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点为F ，椭圆上的A ，B 两点关于原点对称，FA =2FB ，且FA ⋅FB ≤49a 2，则该椭圆离心率的取值范围是()A.0，53B.0，73C.53，1D.73，15已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为45°的直线与椭圆C 交于A ,B 两点，若M -3,2 为线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率是()A.33 B.12 C.25 D.556已知F 是椭圆的一个焦点，若存在直线y =kx 与椭圆相交于A ，B 两点，且∠AFB =60°，则椭圆离心率的取值范围是( )．A.32,1B.0,32C.32,1D.0,327如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P ，则球在地面上的投影为以球与地面切点F 为一个焦点的椭圆，已知是A 1A 2椭圆的长轴，P A 1垂直于地面且与球相切，P A 1=6，则椭圆的离心率为()A.12B.23C.13D.228设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，Q 两点，若△F 1PQ 为等边三角形，则椭圆的离心率是()A.22B.23C.32D.339已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，若∠ABF =90°，则椭圆C 的离心率为()A.3-12B.5-12C.3+14D.5+1410若椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上存在一点D ，使得函数f x =x +1x -1图象上任意一点关于点D 的对称点仍在f x 的图象上，且椭圆C 的长轴长大于4，则C 的离心率的取值范围是()A.0,21015B.21015,1C.0,63D.63,111已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点F 1,F 2，过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点．其中M 在第一象限．MN =F 1F 2 ,NF 1 MF 1≥33，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.0,6-12 B.(0,6-2] C.(0,3-1] D.22,3-1 12已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 作圆x 2+y 2=b 2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为()A.12B.22C.23D.6313椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，直线AF 2与椭圆C 的另一个交点为B ，F 1A ⋅F 1B =0，则椭圆C 的离心率为()A.22B.33C.12D.5514设点F 1、F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，点M 、N 在C 上(M 位于第一象限)且点M 、N 关于原点对称，若MN =F 1F 2 ，NF 2 =3MF 2 ，则C 的离心率为()A.108 B.104 C.58 D.55815已知点P 在以F 1，F 2为左、右焦点的椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，椭圆内存在一点Q 在PF 2的延长线上，且满足QF 1⊥QP ，若sin ∠F 1PQ =35，则该椭圆离心率取值范围是()A.15,13 B.13,22 C.22,1 D.0,2216已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为34的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，则椭圆C 的离心率为.µ双曲线1已知F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点M 是过坐标原点O 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线C 的一个交点，且MF 1 +MF 2 =MF 1 -MF 2 则双曲线C 的离心率为()A.2B.2+3C.3+1D.32已知F 1、F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点A 是双曲线C 的右顶点，点P 在过点A 且斜率为233的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，则双曲线C 的离心率为()A.32B.2C.3D.43过双曲线x 2a 2-y 2b2=1的右焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是左焦点，若∠PF 1Q =90°，则双曲线的离心率是()A.2B.1+2C.2+2D.3-24过双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ．若∠AFO =2∠AOF (O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为()A.52B.233C.2D.233或25双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的离心率为()A.2B.5C.3D.56设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与双曲线左、右两支交于M，N两点，且F2M⊥F2N，F2M=F2N，则双曲线C的离心率为() A.3 B.3 C.5 D.5-17若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x-22+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为() A.2 B.3 C.2 D.2338过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F且斜率为3的直线与双曲线的左右支各有一个交点，则双曲线的离心率取值范围是() A.(1,3) B.(1,2) C.(3,+∞) D.(2,+∞)9已知椭圆x23a2+y23b2=1(a>0,b>0)与双曲线x2a2-y2b2=1相同的焦点，则椭圆和双曲线的离心e1，e2分别为() A.e1=22,e2=3 B.e1=22,e2=62 C.e1=12,e2=3 D.e1=12,e2=6210已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于点A ,B ，若△ABF 2是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为()A.3B.7C.5D.211已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若A 为线段BF 1的中点，且BF 1⊥BF 2，则C 的离心率为()A.3B.2C.3+1D.312已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，点F 1关于渐近线的对称点恰好落在以F 2为圆心，OF 2 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为()A.2 B.3 C.2 D.3+113设A 、B 分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右顶点，P 、Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP 、BQ 的斜率分别为m 、n ，若mn =-1，则双曲线C 的离心率e 是.14已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，以原点O 为圆心，C 的焦距为半径的圆交x 轴于A ，B 两点，P ，Q 是圆O 与C 在x 轴上方的两个交点．若AB =2PQ ，则C 的离心率为．15设F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，O 是坐标原点，过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若PF 1 =2PF 2 ，则双曲线C 的离心率为.16过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左焦点F (-c ，0)作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ，O 为坐标原点，若OE =12OF +OP ，则双曲线的离心率为.17设F 1,F 2为双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与C 在第一象限相交于一点P ，若F 1P =F 1F 2 ，且直线l 倾斜角的余弦值为78，则C 的离心率为．18设双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为双曲线E 上在第一象限内的点，线段F 1B 与双曲线E 相交于另一点A ，AB 的中点为M ，且F 2M ⊥AB ，若∠AF 1F 2=30°，则双曲线E 的离心率为．19已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，双曲线的左顶点为A ，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，其中点Q 在y 轴右侧，若AQ ≥3AP ，则该双曲线的离心率的取值范围是.。

离心率的一些常考试题1 若m是1和4的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．或3C．或3D．或答案：D。

2 已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若AF1⊥AB，且|AB|＝2|AF1|，则C的离心率为（）A．B．C．D．答案：C。

3 已知F（c，0）为双曲线的右焦点，过原点O的直线与双曲线交于A，B两点，若AF⊥BF且△ABF的周长为4a+2c，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．答案：D。

4已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形ABCD的边长为2，则双曲线E的离心率为（）A．+1B．﹣1C．2+2D．2﹣2答案：A。

5已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为（4，1），则C的离心率e＝（）A．B．C．D．答案：C。

6 双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条有近线方程为y＝﹣2x，则其离心率为（）A．3B．C．D．5答案：A。

7 已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线交C于M，N两点，若MF2⊥NF2，则C的离心率为（）A．B．2C．D．答案：A。

8已知双曲线C：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1，求双曲线C的标准方程与离心率。

答案：双曲线C的方程：，双曲线的离心率。

9已知椭圆的左右焦点为F1，F2，P为其上顶点，△PF1F2正三角形，求椭圆C的离心率。

答案：椭圆的离心率e＝＝。

10设椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若，求椭圆的离心率。

答案：椭圆的离心率。

11已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点为A1，右焦点为F2，过F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M，N 两点，直线A1M的斜率为．求椭圆的离心率。

答案：椭圆的离心率e＝＝。

12已知双曲线的左，右焦点分别为F1、F2，焦距为2c．若以线段F1F2为直径的圆与直线ax﹣by+2ac＝0有交点，则双曲线C的离心率取值范围为（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，2]D．[2，+∞）答案：D。