2021年八年级数学上册 . 证明举例()教案 沪教版五四制

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯课题：证明举例（5）教学目标：1、继续学习几何证明过程的分析方法，进一步学习证明角相等、线段相等的常用方法。

2、初步学会添加一条辅助线来进行几何证明。

3、继续引导学生正确、规范地书写证明过程。

4、掌握几何证明的推理步骤和推理过程、以及几何证明中有关演绎推理的思想方法。

5、培养学生一题多解的灵活的解题思路，在自主学习、小组讨论和交流中提高学生分析问题、解决问题的能力。

教学重点、难点：重点：通过添加辅助线构造有效的基本图形，证明角度或线段相等。

难点：辅助线怎么添，添在哪里教学过程：一、问题引入：你知道的证明角度相等或线段相等的方法有哪些？其中用得较多的有哪些？二、新课：（一）问题：如图，AB=AC，DB=DC。

求证∠B=∠C，1、前面所回忆的方法在此似乎都用不上，如何解决这样的问题？①添加辅助线的必要性②如何添？添在哪里呢？为什么这样添线？③如果这样添加的话，用的是什么方法证明角度相等？这里投影出整个过程，尤其辅助线的叙述要引导学生说准确。

2、能否换一种思路添加辅助线？如何添？那样添加的话，又是利用什么解决问题？小结：为什么会产生这样不同的添线的方法？不同的方法形成不同的证明思路，C A BCA 学会比较，尽量选择更为直接、简便的方法。

（二）1、例8已知 ：如图 AD 与BC 相交于O ，AB=CD ，AD=BC求证： ∠A = ∠C这里学生比较容易先想到△ABO 和△CDO 全等，通过分析发现AD=BC 这个条件用不上，如何构造全等三角形？①连接BD ②连接AC 两种办法均一起书写论证过程，进行比较，选择更好的解决办法，体会好在哪里？2、例9的引入：已知，如下图，点D 、E 在BC 上，BD=EC ，AD=AE 。

则图中相等的线段还有哪些？对前面学过的例题进行复习例9 已知：如上图，点D 、E 在BC 上， AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=EC学生首先想到的多数还是全等，利用全等可以怎么证明？哪些三角形能证得全等？等腰三角形的性质除了两个底角相等之外，还有什么？三线合一的用法复习：如图AB=AC ，AH ⊥BC能得到什么？证明：∵AB=AC （已知），AH ⊥BC （作图）∴BH=CH （或AH 平分∠BAC ）（等腰三角形三线合一）回到例9，还可以如何证明？如何添加辅助线？证明：过A 作AH ⊥BC ，垂足为H∵AB=AC （已知），AH ⊥BC （作图）∴BH=CH（等腰三角形三线合一）同理DH=EH∴BH-DH=CH-EH（等式性质）即BD=CE比较全等和利用等腰三角形三线合一的证明方法，显然后者证明更为巧妙些。

《证明举例》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时作业的目标是使学生能够：1. 理解并掌握初中数学证明的基本概念和常用方法；2. 学会从实际问题中抽象出数学问题，并能进行简单的数学证明；3. 培养严谨的逻辑思维能力和解决问题的实践能力。

二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 理解证明的概念和意义，掌握证明的基本步骤和常用方法，如反证法、分析法等；2. 完成教材中提供的证明题目，包括几何图形的性质证明、代数式的恒等式证明等；3. 结合实际生活问题，提出一个需要进行数学证明的实际问题，并尝试进行证明过程的设计。

具体要求如下：（一）理解证明概念与步骤学生需明确证明的概念和意义，了解证明的基本步骤，包括提出命题、分析命题、推理证明等环节。

（二）完成证明题目学生需认真完成教材中提供的证明题目，注重理解题目的背景和解题思路，掌握解题方法。

对于有难度的题目，可查阅相关资料或请教老师。

（三）设计实际问题证明过程学生需结合实际生活问题，提出一个需要进行数学证明的实际问题，并尝试进行证明过程的设计。

问题可以是与几何、代数、概率等相关的实际问题，要求问题明确、具有可证明性。

三、作业要求1. 作业应在规定时间内独立完成，不得抄袭他人作业；2. 证明过程应清晰、严谨，逻辑性强；3. 对于有难度的题目，可适当查阅相关资料或请教老师，但必须注明来源；4. 结合实际生活问题设计的证明过程，应具有实际意义和可操作性。

四、作业评价1. 评价标准：作业的完成情况、证明过程的清晰度、逻辑性以及实际问题的设计质量等；2. 评价方式：教师批改、同学互评、自我评价相结合；3. 反馈方式：对作业中存在的问题进行点评，指出改进方向，对优秀作业进行表扬和展示。

五、作业反馈1. 教师根据学生的作业情况，进行总结和反馈，指出学生在证明过程中存在的问题和不足，提出改进建议；2. 对于优秀作业进行表扬和展示，激励学生积极参与数学学习；3. 针对学生在实际问题的设计过程中遇到的问题，提供指导和帮助，提高学生解决实际问题的能力。

证明举例
教学目标：
1、通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范的表达格式；了解证明之前进行分析的基本思路。

2、能利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质来证明有关线段相等、角相等以及两条直线垂直的简单问题。

3、了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形态。

教学重点：
如何进行演绎证明和简明表达。

教学难点：
证明之前进行分析的基本思路。

例题8 已知:如图，在ABD ∆中,AC ⊥BD ,垂足为点C ,AC =BC .点E 在AC 上,且CE =CD .联结BE 并延长交AD 于点F . 求证:BF ⊥AD . 证明:∵AC ⊥BD (已知), ∴︒=∠=∠90ACD ACB (垂直的定义).
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=∆∆),(),(),(已知已证已知中与在AC BC ACD BCE CD CE ，ACD BCE . ∴BCE ∆≌)..(S A S ACD ∆.
∴21∠=∠(全等三角形的对应角相等).
在ACD ∆中,︒=∠+∠+∠1802ACD D (三角形的内角和等于180°), 在BFD ∆中, ︒=∠+∠+∠1801BFD D (三角形的内角和等于180°), ∴ACD D BFD D ∠+∠+∠=∠+∠+∠21(等量代换). ∴︒=∠=∠90ACD BFD (等式性质). ∴BF ⊥AD (垂直的定义).
说明： 在本题中利用了全等三角形性质与三角形内角和定理来证明两直线垂直,证法有一定的典型性,要引导学生在解题后反思,小结证明两条直线垂直的基本方法. 2．反馈练习，巩固知识 课后练习1、2. 3、课堂小结
你能讲一讲，证明两条直线垂直，一般可以采用什么方法吗？。