特殊三角形同步讲义资料

总复习第21讲 特殊三角形一、考点诠释 ㈠等腰三角形1、定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

2、性质： ①等边对等角：②三线合一：顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合。

3、判定：等角对等边（在一个三角形中，若有两个角相等，则它们所对的边也相等）说明：腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念。

㈡等边三角形1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、性质：等边三角形的各角都相等，且都等于60°3、判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形。

②有一角为60°的等腰三角形是等边三角形。

说明：等边三角形是特殊的等腰三角形。

㈢直角三角形1、定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

2、性质：直角三角形中的两锐角互余。

②直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半。

③直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

④勾股定理：222c b a =+（直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方） ⑤ch ab S ABC Rt 2121==∆（其中a 、b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高） 3、判定：①两内角互余的三角形是直角三角形。

②勾股定理逆定理：在一个三角形中，若有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。

③在一个三角形中，若有一边上的中线等于该边的一半， 则这个三角形是直角三角形。

ABC腰腰 底底角顶 角 ┐A BCD 1 2┐30°A C B┐ AC B D┐ABC Da bc h二、考题精练 ㈠选择题：1、等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长是（ ） A 、13 B 、17 C 、22 D 、17或222、已知，一个等腰三角形两内角之比为1∶4，则它的顶角的度数为（ ）A 、20°B 、120°C 、20°或120°D 、36° 3、AB=AC ，∠A=44°，CD ⊥AB 于D ，则∠DCB 等于（ ） A 、44° B 、68° C 、46° D 、22° 4、将一张矩形ABCD 如图那样折起，使顶点C 落在C′处， 其中AB=4。

特殊三角形主讲教师：傲德我们一起回顾1、等腰三角形2、等边三角形3、直角三角形重难点易错点解析等腰三角形题一：如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C．等边三角形题二：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．直角三角形题三：如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF．请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF．金题精讲题一：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：BD=2CD．题二：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长．题三：如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．思维拓展题一：已知：在同一平面内，直线m⊥l，直线n与l相交但不垂直，求证：直线m、n相交．学习提醒重点：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一等腰三角形的判定——等角对等边等边三角形的性质——三边相等，3个60°等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理特殊三角形讲义参考答案重难点易错点解析题一：证明略点拨：等腰三角形的性质——等边对等角、三线合一等腰三角形的判定——等角对等边题二：证明略点拨：等边三角形的性质——三边相等，3个60°等边三角形的判定——三个角都相等，一个角是60°的等腰三角形30°的直角三角形——30°所对直角边是斜边的一半题三：证明略点拨：直角三角形的性质——两锐角互余，勾股定理直角三角形的判定——有两角互余，勾股定理逆定理金题精讲题一：证明略题三：证明略思维拓展题一：证明略。

中考总复习：特殊三角形—知识讲解（基础）【考纲要求】1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定；2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题；3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：(1具有三角形的一切性质.(2两底角相等(等边对等角(3顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一(4等边三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定：(1如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边；(2三个角都相等的三角形是等边三角形；(3有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：(1腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2等边三角形是特殊的等腰三角形.考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2性质：(1直角三角形中两锐角互余.(2直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.(4勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3．判定：(1有两内角互余的三角形是直角三角形.(2一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.(3如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.【典型例题】类型一、等腰三角形1．如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于(A.顶角的2倍B.顶角的一半C.顶角D.底角的一半【思路点拨】等角的余角相等.【答案】LNG项目【解析】如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=90°-(180-∠A= ∠A，【总结升华】本题适用于任何一种等腰三角形,可以试着证明在钝角三角形中结论一样成立；总结规律，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半.接收站形式【变式】如图，在△报批形式中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC二期）A．5个B接收站4个 C．3个 2大连【答案】A．2．如图,已知AB=AC，BD、大连港股份有限公司出资CE分别是∠B、∠C的平分线，AM⊥BD于点MAN⊥CE于点N，年求证：ΔAMN是等腰三角形.万吨【思路点拨】证明等腰三角形两个思路，一是证明有两个等角，二是证明有两个等边，结合条件考虑选择哪种方式./年；三期计划【答案与解析】万吨140∴∠年。

FE CAD CEB AF_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______________________________【参考答案】一、精讲精练1．①三边都相等；②有一个角是60°；有两个角是60°；③三边都相等，三个内角都是60°．2．①直角；②有两个角是45°；③两直角边相等，两底角都是45°．3．30°角所对的直角边是斜边的一半．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二、精讲精练1．150°2．①②③④3． 8cm4． 证明：如图，延长BC 到E ，使CE =CD ，连接DE ，BD ． ∵∠BCD =120° ∴∠1=60°∴△DCE 为等边三角形∴DC =DE ，∠2=60°∵AB =AD ，∠BAD =60° ∴△ABD 为等边三角形 ∴AD =BD ，∠3=60° ∴∠2=∠3∴∠ADC =∠BDE 在△ADC 和△BDE 中AD BD ADC BDE DC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ADC ≌△BDE （SAS ） ∴AC =BE ∵BE =BC +CE =BC +DC ∴BC +DC =AC 5． （1）略；（2）四边形AEDF 的面积保持不变，S =12ABC S ∆（3）△ABC 仍为等腰直角三角形 6． △EMC 是等腰直角三角形 7． C321EA B C D特殊三角形（作业）1. 如图，以正方形ABCD 的边AB 为一边向外作等边△ABE ，则∠BED 的度数为________．B C EADOAC DE第1题图 第2题图2. 如图，△ABD ，△ACE 都是等边三角形，BE 和CD 交于点O ，连接BC ，则∠BOC =__________．3. 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =60°，AB =BC ，AD =DC ，点E在边BC 上，点F 在边CD 上．若∠EAF =60°，求证：△AEF 是等边三角形．FABCDE4. 已知：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，点E为AC 中点，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ．求证：EF =EG ．F 为BC 的中点．连接DE ，DF ，EF ．求证：∠FED =∠FDE ．F ABC DE6. 纳米技术（nanotechnology ）是用单个原子、分子制造物质的科学技术，研究结构尺寸在0.1至100纳米范围内材料的性质和应用．已知，某分子的直径约为0.399纳米，则这个分子的直径可用科学记数法表示为（ ）米．（保留两个有效数字） A ．3.9×10-1B ．3.9×10-10C ．4.0×10-10D ．4.0×10-17. 如图1，在长方形ABCD 中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC →CD →DA 运动至点A 停止．设点P 运动的时间为x ，△ABP 的面积为y ，若y 与x 的关系图象如图2所示，则m 的值是（ ） A ．2.5B ．4.5C ．5D ．7【参考答案】1．45° 2．120° 3．证明：如图，连接AC∵∠B=∠D =60°，AB=BC,AD=DC ∴△ABC 和△ACD 是等边三角形 ∴∠ACE=∠CAD =60°AC=AD ∵∠EAF =60°∴∠CAD -∠CAF=∠EAF -∠CAF ∴∠EAC=∠F AD 在△EAC 和△F AD 中ACE D AC ADEAC FAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△EAC ≌△F AD （ASA ） ∴AE=AFFEDCBA 第3题图∴△AEF 是等边三角形 4．证明：连接DE∵AC=BC ，∠ACB=90°∴∠A =45° ∵CD ⊥AB∴∠ADC =90°，AD =12AB∴CD =12AB∴AD =CD∵E 为AC 中点∴DE =12AC=AE ，DE ⊥AC ，∠1=45°∴∠AED =90°，∠A =∠1 ∴∠2+∠DEF =90° ∵EF ⊥BE∴∠3+∠DEF =90° ∴∠2=∠3在△AEF 和△DEG 中123A EA ED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEF ≌△DEG （ASA ）∴EG =EF5．证明：∵BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高 ∴∠BDC =∠CEB =90°∵F 是BC 的中点∴EF =12BC ，DF =12BC∴∠FED =∠FDE6．C 7．B8．15AD <<321E FCBAG D第4题图FA B CDE特殊三角形随堂测试题姓名________1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上的一点，EC⊥BC，EC=BD，连接AD，AE，DE．点F为DE中点，连接AF，CF．求证：（1）AD=AE；（2）AF=CF．AEFD【参考答案】略。

初三特殊的三角形培优同步讲义1. 等腰三角形1.1 定义等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两边对应的两个角也是相等的。

1.2 性质- 等腰三角形的底角（即两个底边夹角）相等。

- 等腰三角形的顶角（即顶边夹角）也是相等的。

2. 直角三角形2.1 定义直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

直角三角形的斜边是其他两边之间最长的一边。

2.2 特殊三角形- 30度-60度-90度三角形：其中一个角度为90度，另外两个角度为30度和60度。

这种三角形的边长比例为1:√3:2。

30度-60度-90度三角形：其中一个角度为90度，另外两个角度为30度和60度。

这种三角形的边长比例为1:√3:2。

- 45度-45度-90度三角形：其中一个角度为90度，另外两个角度为45度。

这种三角形的两条直角边的边长相等。

45度-45度-90度三角形：其中一个角度为90度，另外两个角度为45度。

这种三角形的两条直角边的边长相等。

3. 等边三角形3.1 定义等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

在等边三角形中，每个角的度数都是60度。

3.2 性质- 等边三角形的三个内角都是60度。

- 等边三角形的高、中线、角平分线三者重合，且均通过三角形的重心点。

4. 总结初三特殊的三角形主要包括等腰三角形、直角三角形和等边三角形。

通过对这些三角形的认识和特点的理解，能够更好地解决与三角形相关的问题和题目。

---_注意：以上内容仅供参考，具体知识点和定义请以教材为准。

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八年级上目录封面 (1)特殊三角形§2.1 等腰三角形 (3)§2.2 等边三角形 (14)§2.3 直角三角形与勾股定理 (25)§2.4 反思与总结 (33)§2.5 章节成果检测................................... 封底 . (34)章节概述：特殊三角形式分三节内容，等腰三角形、等边三角形和直角三角形。

本章主要知识点有等腰三角形的概念，性质：角相等，是轴对称图形，顶角的平分线所在的直线是它的对称轴，三线合一；等腰三角形的判定定理及应用。

等边三角形的概念，三边相等；性质：三边相等，三角相等，每条边上三线合一。

直角三角形的概念，有一个角是直角的三角形；性质，斜边上的中线是斜边的一半，30°所对的直角边等于斜边的一半；等腰直角三角形的概念；勾股定理；直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，两角互余；直角三角形的判定，HL。

重要辅助线有，等腰三角形底边上的高，腰上的高及等边三角形的高线，直角三角形斜边上的中线，构造直角三角形。

目标，能通过理解特殊三角形的性质，判定方法的证明过程和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，并加深对图形变换的认识. 进一步强化推理、判断、计算和作图．§2.1 等腰三角形§2.1.1 等腰三角形定义知识目标：1、明确等腰三角形的含义2、学会用等腰来解决问题例1：已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为18cm和21cm两部分，则它的三边长为________________解析：解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长分两种情况讨论：当AB+AD=18，BC+DC=21或AB+AD=21，BC+DC=18，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为12，12，15或14，14，11．解：设AD=x则，当2x+x=18时，x=6，即AB=AC=12，∵周长是18+21=39，∴BC=15cm；三边分别为：12、12、15 两边之和大于第三边。

特殊三角形三讲义例题讲解一1、如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．2、已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.3、如图 AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．【变式】如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．4、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的长.5、如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC．【变式】如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：∠APC=∠BPC．例题讲解二1、如图，已知A、B两点在直线l的同一侧，根据题意，尺规作图．（1）在（图1）直线l上找出一点P，使PA=PB．（2）在（图2）直线l上找出一点P，使PA+PB的值最小．（3）在（图3）直线l上找出一点P，使PA﹣PB的值最大．2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD、△A FD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数．（2）设∠BAD=θ，当θ为何值时，△DFG为等腰三角形？举一反三：【变式】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．试判断△COD的形状，并说明理由．3.用圆规和直尺作图，在∠DEC中找一点P，使点P到∠DEC两边的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等（保留作图痕迹）．【变式】尺规作图是指（）A . 用量角器和刻度尺作图B . 用圆规和有刻度的直尺作图C . 用圆规和无刻度的直尺作图D . 用量角器和无刻度的直尺作图4. 如图，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE=ED，你同意王云同学的判断吗？请充分说明理由；（2）设对角线AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．5、如图所示，∠A＝60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD＝1，HE＝2，试求BD和CE的长．6、已知，如图，AC、BD相交于O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90° .求证：OC＝OD.7、如图所示，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝∠90°，求四边形ABCD的面积．【变式】如图，已知AB=5，BC=12，CD=13，DA=10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．例题讲解三1、在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）【变式】如图：A村和B村在公路l同侧，且AB=3千米，两村距离公路都是2千米．现决定在公路l上建立一个供水站P，要求使PA+PB最短．（1）用尺规作图，作出点P；（作图要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）求出PA+PB的最小值．2、如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BC E，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN．（1）求证：△ABE≌△DBC．（2）试判断△BMN的形状，并说明理由．【变式1】若等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm的两部分，求该三角形各边的长.【变式2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°3.（2016•德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65° B．60° C．55° D．45°4、如图所示，在等边△ABC中，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：BP＝2PQ．5、已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.【变式】如图, △ABC中, ∠ACB=90°, ∠ABC=60°, AB的中垂线交BC的延长线于D，交AC于E, 已知DE=2.则 AC的长为_________.6、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝23，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．【变式】如图所示，折叠矩形ABCD一边，点D落在BC边的点F处，若AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．同步练习一一、选择题1.下列命题中，不正确的是（）A.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等B.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等C.有一条边相等的两个等腰直角三角形全等D.有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等2. 如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对3. 如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（）A.1B.2C.3D.44. 如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）A. △ABE≌△ACFB. 点D在∠BAC的平分线上C. △BDF≌△CDED. 点D是BE的中点5．5.（2016春•泰山区期末）如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD 全等．以下给出的条件适合的是（）A．AC=AD B．AB=AB C．∠ABC=∠ABD D．∠BAC=∠BAD6. 已知,如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A. 1B. 2C. 5D. 无法确定二、填空题7. （2016秋•亭湖区校级月考）如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O，图中有对全等的直角三角形．8. 已知，如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________ 度．9. 判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边；（2）两边对应相等；（3）两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是_________.10.如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动分钟后△CAP与△PQB全等．11. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则∠BAD＝_______.12. 如图所示的网格中（4×4的正方形），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________.三、解答题13．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON （如图），再分别过点M、N 作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．14. 求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等．15. 如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，•若AB＝CD，试证明BD平分EF．16.如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．同步练习二一.选择题1. 如图，三个小正方形组成的图形，请你在图形中补画一个小正方形，使得补画的图形为轴对称图形或中心对称图形，补画成轴对称图形或中心对称图形的个数分别是（）A．3个或2个B．3个或3个C．4个或2个D．4个或3个2.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里3.如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（）A．b2+（b﹣a）2B．b2+a2C．（b+a）2D．a2+2ab4．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A. 1B. 2C. 5D. 无法确定5.如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）A． 30°B．35°C． 40°D． 50°6. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（）．A．1B．1.5 C．2D．2.57. 如图，已知AB＝AC，PB＝PC，且点A、P、D、E在同一条直线上.下面的结论：①EB＝EC；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的有（）A.1个B. 2个C.3个D. 4个8. 用尺规作图“已知底边和底边上的高线，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段BC=a；②作线段BC的垂直平分线m，交BC于点D；③在直线m上截取DA=h，连接AB、AC．这样作法的根据是（）A．等腰三角形三线合一B．等腰三角形两底角相等C．等腰三角形两腰相等D．等腰三角形的轴对称性二.填空题9.命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是．10. 如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长是___________．11. 如图，已知△ABC 是等边三角形，点O 是BC 上任意一点，OE 、OF 分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE ＋OF 的值为 ．12．如图所示，△ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD ＋CE ＝9，线段DE ＝_______．13. 如图，Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若点O 到三角形三边的距离相等，则∠AOC ＝_________.14.（2016•道外区二模）已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为 ．15．如图，矩形AOBC 中，点A 的坐标为（0，8)，点D 的纵坐标为3，若将矩形沿直线AD 折叠，则顶点C 恰好落在边OB 上E 处，那么图中阴影部分的面积为 .16. 如图，小明要给正方形桌子买一块正方形桌布．铺成图1时，四周垂下的桌布，其长方形部分的宽均为20cm ；铺成图2时，四周垂下的桌布都是等腰直角三角形，且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上，则要买桌布的边长是___________cm 2 1.4≈3 1.7≈）三.解答题17．已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为；（2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为；（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．18．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．（1）当点P在∠ABC的平分线上时，求DP的长；（2）当点PD＝BC时，求此时∠PDA的度数.19. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BD=AD，求∠A的度数．20．已知：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ADC＝60°．问题1：如图1，若∠ACB＝90°，AC＝m AB，BD＝n DC，则m的值为_________，n的值为__________．问题2：如图2，若∠ACB为钝角，且AB＞AC，BD＞DC．（1）求证：BD－DC＜AB－AC；（2）若点E在AD上，且DE＝DB，延长CE交AB于点F，求∠BFC的度数．答案特殊三角形三讲义例题讲解一1、（2016春•苏仙区期末）如图，∠A=∠B=90°，E 是AB 上的一点，且AE=BC ，∠1=∠2．（1）Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗？并说明理由；（2）△CDE 是不是直角三角形？并说明理由．21A DB CE【思路点拨】（1）根据∠1=∠2，得DE=CE ，利用“HL ”可证明Rt △ADE ≌Rt △BEC ；（2）是直角三角形，由Rt △ADE ≌Rt △BEC 得，∠3=∠4，从而得出∠4+∠5=90°，则△CDE 是直角三角形．【答案与解析】 解：（1）全等，理由是： ∵∠1=∠2，∴DE=CE ， ∵∠A=∠B=90°，AE=BC ， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC(HL)； （2）是直角三角形，理由是： ∵Rt △ADE ≌Rt △BEC ，∴∠3=∠4，∵∠3+∠5=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠DEC=90°，∴△CDE 是直角三角形．【总结升华】考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结合图形，在图形上找条件．【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，巩固练习3】2、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.【思路点拨】从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ，从结论又需证Rt △CDE ≌Rt △ABF.45321A D BC E【答案与解析】证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DEBF ⎧⎨⎩＝，＝ ∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ）∴AE ＝CF ，DE ＝BF∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE在Rt △CDE 与Rt △ABF 中，DE BF DEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △CDE ≌Rt △ABF （SAS ）∴∠DCE ＝∠BAF∴AB ∥DC.【总结升华】我们分析已知能推证出什么，再看要证到这个结论，我们还需要哪些条件，这样从已知和结论向中间推进，从而证出题目.3、如图AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F ．求证：AF 平分∠BAC ．【思路点拨】若能证得AD ＝AE ，由于∠ADB 、∠AEC 都是直角，可证得Rt △ADF ≌Rt △AEF ，而要证AD ＝AE ，就应先考虑Rt △ABD 与Rt △AEC ，由题意已知AB ＝AC ，∠BAC 是公共角，可证得Rt △ABD ≌Rt △ACE ．【答案与解析】证明： 在Rt △ABD 与Rt △ACE 中∴Rt △ABD ≌Rt △ACE(AAS)∴AD ＝AE(全等三角形对应边相等) 在Rt △ADF 与Rt △AEF 中∴Rt △ADF ≌Rt △AEF(HL)∴∠DAF ＝∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF 平分∠BAC(角平分线的定义)【总结升华】条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.举一反三：【变式】如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．【答案】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°AC=BD，BC=BC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB=∠DCB，∴OB=OC，∴△OBC是等腰三角形.4、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的长.【答案与解析】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE＝CD．（2）解：由（1）得AE＝CD，AC＝BC，∴△CDB≌△AEC（HL）∴BD＝EC＝12BC＝12AC，且AC＝12．∴BD＝6（cm）．【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件类型二、角平分线的第二个性质定理5、如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC．【思路点拨】如图过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，根据角平分线的性质可得EH=EG，EI=EG，再根据角平分线的第二性质定理可证AE平分∠FAC．【答案与解析】证明：过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，∵BE平分∠ABC，EG⊥BD，EH⊥BA，∴EH=EG．∵CE平分∠ACD，EG⊥BD，EI⊥AC，∴EI=EG，∴EI=EH（等量代换），∴AE平分∠FAC（角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）．【总结升华】本题主要考查角平分线的性质及其第二性质定理；准确作出辅助线是解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：∠APC=∠BPC．【答案】（1）证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，又∵CA=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB．（2）证明：分别过C作CH⊥AE垂足为H，C作CG⊥BD垂足为G，∵△ACE≌△DCB．∴AE=BD，∵S△ACE=S△DCB（全等三角形的面积相等），∴CH=CG，∴∠APC=∠BPC（角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）．例题讲解二1、（2016秋•和平区期中）如图，已知A、B两点在直线l的同一侧，根据题意，尺规作图．（1）在（图1）直线l上找出一点P，使PA=PB．（2）在（图2）直线l上找出一点P，使PA+PB的值最小．（3）在（图3）直线l上找出一点P，使PA﹣PB的值最大．【思路点拨】直接利用轴对称的性质去作图【答案与解析】解：（1）如图1所示：此时：PA=PB，如图所示：（2）此时：PA+PB最小；（3）如图所示：此时：PA﹣PB最大．【总结升华】本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，关键是正确画出图形，题型较好，难度适中．类型二、等腰三角形及等边三角形的性质定理和判定定理2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD、△A FD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数．（2）设∠BAD=θ，当θ为何值时，△DFG为等腰三角形？【思路点拨】（1）由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；（2）①当GD=GF时，就可以得出∠GDF═80°，根据∠ADG=40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论；当DF=GF时，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，当DF=DG时，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，从而求出结论．【答案与解析】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°．∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF∠BAD=∠FAD=θ，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，，∴△AGF≌△A GC（SAS），∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．答：∠DFG的度数为80°；（2）①当GD=GF时，∴∠GDF=∠GFD=80°．∵∠ADG=40°+θ，∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，∴θ=10°．当DF=GF时，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=80°，∴∠FDG=∠FGD=50°．∴40°+50°+40°+2θ=180°，∴θ=25°．当DF=DG时，∴∠DFG=∠DGF=80°，∴∠GD F=20°，∴40°+20°+40°+2θ=180°，∴θ=40°．∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形．【总结升华】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．举一反三：【变式】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．试判断△COD的形状，并说明理由．【答案】解：△OCD是等边三角形，理由为：由旋转可得△BCO≌△ACD，∴OC=CD，∠BCO=∠ACD，又△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，即∠BCO+∠OCA=60°，∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=60°，又OC=CD，则△OCD是等边三角形；类型三、尺规作图，命题、定理与逆命题、逆定理3.用圆规和直尺作图，在∠DEC中找一点P，使点P到∠DEC两边的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等（保留作图痕迹）．【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知作出∠DEC的平分线与线段MN的垂直平分线，交点即为所求．【答案与解析】解：因为点P到∠DEC两边的距离相等，所以点P在∠DEC的角平分线上；又因为点P到M、N两点的距离，所以点P在MN的垂直平分线上，因而点P是∠DEC的角平分线和MN的垂直平分线的交点．所以，点P即为所求作的点．【总结升华】本题主要考查了角平分线的作法与线段垂直平分线的作法，都是基本作图，需熟练掌握．举一反三：【变式】尺规作图是指（）A . 用量角器和刻度尺作图B . 用圆规和有刻度的直尺作图C . 用圆规和无刻度的直尺作图D . 用量角器和无刻度的直尺作图【答案】C．4. 如图，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE=ED，你同意王云同学的判断吗？请充分说明理由；（2）设对角线AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．【思路点拨】1、根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上来判定．2、把筝形看成两个等底等高的三角形来求面积．【答案与解析】解：（1）王云同学的判断是正确的．理由：根据题设，∵AB=AD，∴点A在BD的垂直平分线上．∵CB=CD，∴点C在BD的垂直平分线上．∴AC为BD的垂直平分线，BE=DE，AC⊥BD．（2）由（1）得AC⊥BD．∴SABCD=S△CBD+S△ABD=12BD×CE+12BD×AE=12BD×AC=12ab．【总结升华】本题利用了线段垂直平分线的判定定理和三角形的三角形的面积公式求解．类型四、直角三角形的性质及全等判定5、如图所示，∠A＝60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD＝1，HE＝2，试求BD和CE的长．【答案与解析】解：∵BD⊥AC于D，∠A＝60°，∴∠ABD＝90°－60°＝30°，在Rt△BEH中，∠HEB＝90°，∠EBH＝30°．∴BH＝2EH＝4．同理可得，CH＝2HD＝2，∴BD＝BH＋HD＝4＋1＝5．CE＝CH＋HE＝2＋2＝4．【总结升华】已知条件中出现60°角与直角三角形并存时，应考虑到“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，进而把三角形中角与角的关系转化为边与边之间的关系，充分应用转化思想来解决问题．6、已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【思路点拨】根据已知条件Rt △ABD 和Rt △BAC 利用HL 可以判定全等，之后利用全等三角形的性质，再次证明三角形全等，从而得到结论.【答案与解析】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BA BD AC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．【总结升华】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △BAC ，再利用全等性质为二次证明三角形全等补充条件，这是全等判定和性质的综合应用题.类型五、勾股定理及其逆定理的运用7、如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，∠B＝∠90°，求四边形ABCD 的面积．【答案与解析】 解：连接AC ，在△ABC 中，因为∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，所以AC2=AB2+BC2=32+42=52=9+16=25，所以AC＝5，在△ACD中，AD＝13，DC＝12，AC＝5，所以DC2+AC2=52+122=25+144=169=132=AD2，即DC2+AC2=AD2．所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×AB×AC+12×AC×DC=12×3×4+12×5×12=6+30=36.【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解．由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，应想到连接AC，则在Rt△ABC中即可求出△ABC的面积，也可求出线段AC的长．所以在△ACD中，已知AC，AD，CD三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．而判断△ACD的形状，常考虑能否用勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形．举一反三：【变式】如图，已知AB=5，BC=12，CD=13，DA=10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．【答案】解：连接AC，过点C作CE⊥AD于点E，∵AB⊥BC，AB=5，BC=12，∴AC===13，∵CD=13，∴A C=CD=13，∵AD=10，∴AE=AD=5，∴CE===12．∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AD•CE=×5×12+×10×12=30+60=90．例题讲解三1、在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）【思路点拨】作A关于ON的对称点E，点B关于OM的对称点F，连接EF交ON于C，交OM于D，连接AC、BD，即可得出答案；根据对称点推出AC=EC，BD=FD，FR=BR，AT=ET，根据两点之间线段最短即可求出答案．【答案与解析】解：沿AC-CD-DB路线走是最短的路线如图（1）所示：证明：如图（2），在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，∵A、E关于ON对称，∴AC=EC，同理BD=FD，FR=BR，AT=ET，∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF，AT+TR+BR=ET+TR+FR，∵ET+TR+FR＞EF，∴AC+CD+DB＜AT+TR+BR，即沿AC-CD-DB路线走是最短的路线．【总结升华】本题主要考查对称线段的性质，轴对称的性质，轴对称-最短路线问题等知识点的理解和掌握，能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键．举一反三：【变式】如图：A村和B村在公路l同侧，且AB=3千米，两村距离公路都是2千米．现决定在公路l上建立一个供水站P，要求使PA+PB最短．（1）用尺规作图，作出点P；（作图要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）求出PA+PB的最小值．【答案】解：（1）作图，如右图，作出A点的对称点A′，连接BA′，找到交点P点；（2）连接AB，由题意知AB=3km，A A′=4km，在Rt△A A′B中，根据勾股定理得：A′B2=42+32，∴A′B=5km，即PA+PB=A′B=5km，答：PA+PB的最小值是5km．类型二、等腰三角形及等边三角形的性质定理和判定定理2、如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BC E，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN．（1）求证：△ABE≌△DBC．（2）试判断△BMN的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等；（2）三角形BMN为等边三角形，理由为：由第一问三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形．【答案与解析】解：（1）证明：∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABE=∠DBC=120°，在△ABE和△DBC中，∵，∴△ABE≌△DBC（SAS）；（2）△BMN为等边三角形，理由为：证明：∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB，又∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=180°﹣60°﹣60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，在△MBE和△NBC中，∵，∴△MBE≌△NBC（ASA），∴BM=BN，∠MBE=60°，则△BMN为等边三角形．【总结升华】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．同时做第二问时注意利用第一问已证的结论．举一反三：【变式1】若等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm的两部分，求该三角形各边的长.【答案】解：设腰长为xcm，底边长为ycm，分两种情况:(1)15262xxxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴10;1xy=⎧⎨=⎩(2)62,152xxxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴4;13xy=⎧⎨=⎩∵4＋4＜13，不能形成三角形，应舍去.∴等腰三角形三边长分别为10cm，10cm，1cm.【变式2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【答案】D. 提示：锐角三角形的高都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部，应进行分类讨论．类型三、尺规作图，命题、定理与逆命题、逆定理3.（2016•德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65° B．60° C．55° D．45°【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【答案与解析】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠D AC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，故选A ．【总结升华】此题中尺规作图的做法恰好是线段垂直平分线的做法，然后根据线段垂直平分线的性质，三角形的内角和解得此题．类型四、直角三角形的性质及全等判定4、如图所示，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD、BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ ．【思路点拨】等边三角形的三个内角都是60°，如果能在直角三角形中出现60°的角，则就会有30°角，利用直角三角形的性质可以推得边的2倍关系.【答案与解析】证明：∵ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝BC ＝AB ，∠C ＝∠BAC ＝60°．在△ACD 和△BAE 中，,AC AB C BAE CD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ACD ≌△BAE(SAS)．∴ ∠CAD ＝∠ABE ．∵ ∠CAD ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°，∴ ∠ABE ＋∠BAP ＝60°，∴ ∠BPQ ＝60°．∵ BQ ⊥AD ，∴ ∠BQP ＝90°，∴ ∠PBQ ＝90°－60°＝30°，∴ BP ＝2PQ ．【总结升华】(1)从结论入手，从要证BP ＝2PQ 联想到要求∠PBQ ＝30°．(2)不能盲目地用截长补短法寻找要证的“倍半”关系．本题适合用“两头凑”的方法，从结论入手找已知条件，即BP ＝2PQ ⇒∠PBQ ＝30°，另一方面从已知条件找结论，即由条件⇒△ACD ≌△BAE ⇒∠BPQ ＝60°⇒∠PBQ ＝30°，分析时要注意联想与题目有关的性质定理．5、已知：如图，DE⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.【答案与解析】证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BCDE BF⎧⎨⎩＝，＝∴Rt△ADE≌Rt△CBF （HL）∴AE＝CF，DE＝BF∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE在Rt△CDE与Rt△ABF中，DE BFDEC BFAEC FA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）∴∠DCE＝∠BAF∴AB∥DC.【总结升华】从已知条件只能先证出Rt△ADE≌Rt△CBF，从结论又需证Rt△CDE≌Rt△ABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.举一反三：【变式】如图, △ABC中, ∠ACB=90°, ∠ABC=60°, AB的中垂线交BC的延长线于D，交AC于E, 已知DE=2.则 AC的长为_________.【答案】3；提示：连接AD，证△ABD为等边三角形，则DE=AE=2，CE=1，所以AC=3.类型五、勾股定理及其逆定理的运用6、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝23，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．【答案与解析】解：∵ AB⊥AD，∴∠A＝90°，在Rt△ABD中，222222(23)16BD AB AD=+=+=．∴ BD＝4，∴12AB BD=，可知∠ADB＝30°，在△BDC 中，22216325BD CD +=+=，22525BC ==，∴ 222BD CD BC +=，∴ ∠BDC ＝90°，∴ ∠ADC ＝∠ADB+∠BDC ＝30°+90°＝120°． 【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理． 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形ABCD 一边，点D 落在BC 边的点F 处，若AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长．【答案与解析】解：设CE ＝x cm ，则DE ＝(8－x )cm ．∵ △ADE 折叠后的图形为△AFE ，∴ △ADE ≌△AFE ．即AF ＝AD ＝BC ＝10cm ，EF ＝ED ＝(8－x )．在Rt △ABF 中，由勾股定理，得BF 2222108AF AB --=6．∴ FC ＝10－6＝4．在Rt △EFC 中，由勾股定理，得222EF EC FC =+，即222(8)4x x -=+．解得3x =．即EF 的长为3cm ．。

特殊三角形讲义【知识点精析】一、等腰三角形1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

2. 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

3. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

4. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

5. 等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

6. 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

二、直角三角形1. 认识直角三角形。

学会用符号和字母表示直角三角形。

按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。

通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。

如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。

用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。

如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。

2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。

会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。

3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。

4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。

能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。

5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。

难点：在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。

三、勾股定理及逆定理一、勾股定理及其证明勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.符号语言：在△ABC中，∠C=90°（已知）2c22∴+a=b（1）已知两边（或两边关系）求第三边；（2）已知一边求另两边关系；（3）证明线段的平方关系；（4）作长为n的线段.三、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足22c2b+那么这个三角形是直a=角三角形.1．勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成；2．勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，及以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到.利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： 1．先找出最大边（如c ）；2．计算2c 及22b a +，并验证是否相等. 若222b a c +=，则△ABC 是直角三角形. 若222b a c +≠，则△ABC 不是直角三角形. 注意：（1）△ABC 中，若222c b a =+，则∠C=90°；而222a c b =+时，则∠A=90°；222b c a =+时，则∠B=90°.（2）若222c b a <+，则∠C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形. 若222c b a >+，则∠C 为锐角，但△ABC 不一定为锐角三角形. 三、勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17等.四、全等三角形的概念、性质及判定1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

《特殊三角形》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1．认识轴对称图形的基本特征；掌握判断轴对称图形的方法，并能正确画出简单的轴对称图形；2. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；3．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假；4．了解尺规作图的常用工具；理解并掌握线段垂直平分线定理的逆定理、角平分线性质的第二个定理，并能够熟练地应用它们；5．理解直角三角形的概念及性质的广泛应用，掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用. 领会直角三角形中常规辅助线的添加方法．6．掌握勾股定理及其勾股定理的逆定理的内容及应用，学会用勾股定理解决简单的几何问题，应用勾股定理的逆定理来判断直角三角形．7.理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边”（即“HL”）判定两个直角三角形全等；【知识网络】【要点梳理】要点一、图形的轴对称1.图形轴对称的定义及其性质如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这两个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段.图形的轴对称：一般的，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形是全等形.2.利用轴对称的性质求两点之间的最短距离已知点A,B（A,B）在直线的同侧，和直线a,在直线上求作一点C，使AC+BC的距离和最小.作法：1.作点A关于直线a的对称点A′；2.连接A′B,交直线a与点C;3.连接AC.点C就是所求作的点.下面给出证明：设P是直线a上任意一点，连结AP，A′P．由作图知，直线a垂直平分AA′，则AC=A′C，AP=A′P（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．AP+BP=A′P+BP≥A′B，A′B=A ′C+BC=AC+BC，即AP十BP≥AC+BC，所以沿折线A-C-B的路线行走时路程最短．要点诠释：1.轴对称图形与图形的轴对称是两个不同的概念，轴对称图形是指一个图形的两个部分，也就是说，一条直线把一个图形（比如一个等腰三角形）分成两个部分，这两个部分之间的关系；而图形的轴对称是指两个图形之间的关系，比如两个全等的等腰直角三角形.2.对称轴的实质是一条直线，向两方无限延伸的.3.两点之间的最短距离要分情况讨论，看这两点是否在某一条直线的同侧还是异侧. 要点二、等腰三角形及等边三角形的性质与判定1.等腰三角形的定义及其对称性有相等两边的三角形叫做等腰三角形.三边相等的三角形叫做等边三角形.等腰三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，就是顶角的平分线或是底边的高、中线.等边三角形也是轴对称图形，对称轴有三条，等边三角形是特殊的等腰三角形.2.等腰三角形的性质与判定定理性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“在同一三角形中，等边对等角”）．推论：等边三角形的各个内角都等于60°；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角（简称“在同一三角形中，等角对等边”）.等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：等腰三角形的性质与判定定理是三角形中边与角之间相互转化的重要依据，性质定理是由边的相等得出角的相等，判定定理是由角的相等得出边的相等.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点三、尺规作图，命题、定理与逆命题、逆定理1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.命题与逆命题判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题；（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分；（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.3.定理与逆定理如果一个命题是真命题（正确的命题），那就可以称它为定理.如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.要点诠释：一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.4.角平分线性质的第二个定理角的内部,到角两边的距离相等的点,在这个角平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；第二个性质定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.5.线段垂直平分线（也称中垂线）性质定理的逆定理逆定理：到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点四、直角三角形性质及判定直角三角形的性质性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.性质定理2：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.性质定理2的逆命题也同样正确，在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点五、勾股定理及其逆定理1.勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系；（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.2.勾股定理逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点六、判定直角三角形全等的一般方法和全等的特殊方法——斜边，直角边定理由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。

特殊三角形（讲义）课前预习1.对几何图形，我们一般从边、角、特殊的线、周长及面积、对称性等来研究，以等腰三角形为例：（1）边和角：等边对________、等角对________．（2）特殊的线：（顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高）____________________．（3）面积：hh1h2CBAh1+h2_____h（填“>”、“<”或“=”）．（4）对称性：等腰三角形的对称轴是__________________．2.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．求证：12BC AB．30°CB A30°CBA知识点睛1.等边三角形A①定义：_________________的三角形是等边三角形．②性质：边：等边三角形______________．角：等边三角形______________．线：等边三角形______________．③判定：_________________的等腰三角形是等边三角形．角：等腰直角三角形_____________．线：等腰直角三角形____________，______________________________________________．③判定：_______________的三角形是等腰直角三角形．精讲精练1.如图，以BC为边在正方形ABCD内部作等边△PBC，连接AP，DP，则∠P AD=_____________．DA【参考答案】课前预习1.（1）等角、等边（2）三线合一（3）=（4）顶角的角平分线（底边上的中线或底边上的高）所在直线2. 提示：见到线段的和差倍分，考虑截长补短．证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD．∴BC=12 BD∵∠ACB=90°，BC=CD∴AB=AD∵∠ACB=90°，∠BAC=30°∴∠B=60°∴∠D=60°∴∠BAD=60°∴BA=BD∴BC=12 AB知识点睛1.三边都相等②三边都相等，三个内角都是60°，三线合一③有一个角是60°；有两个角是60°2.30°角所对的直角边是斜边的一半直角三角形斜边的中线等于斜边的一半3.①直角②两直角边相等，两底角都是45°，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半③有两个角是45°精讲精练1.15°2.120°3.8 cm4. B5.证明略（提示，连接BE，由DE垂直平分AB得AE=BE，转移角可得∠EBC=30°，利用直角三角形性质可得AE=2CE）6.10，57.证明略（提示：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=MB，由三线合一可得MN⊥BD）8. C9.证明略（提示：连接AD，证明△ADF≌△BDE，转移边转移角证明△DEF为等腰直角三角形）10.△EMC为等腰直角三角形证明略（提示：连接AM，证明△MDE≌△MAC，转移边转移角证明△EMC为等腰直角三角形）。

21D CB AD CBA⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义．⒉ 三角形的分类：(1)按边分类： (2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线.2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线．课 题中考总复习 : 三角形基本性质、 特殊三角形教学内容三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 _C_B _AD CB A（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．4. 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形直角顶上.5.三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．6. 三角形的角与角之间的关系： (1)三角形三个内角的和等于180 ;图3图4 图5 图6图7(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。

第6讲：特殊三角形3（直角三角形、探索勾股定理）一、新知构建1. 直角三角形的概念，表示方法：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC，BC称为直角边，AB称为2. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角3. 直角三角形的判定：有两个锐角的三角形是直角三角形.4. 直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.5. 在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.6. 探究勾股定理的正确性：已知直角三角形ABC的两条直角边分别为a,b，斜边长为c，画一个边长为c的正方形，将4个这样的直角三角形纸片按下图放置。

（1）、中间小正方形的边长和面积分别为多少？（用a,b表示）（2）、大正方形的面积可以看成哪几个图形面积相加得到？（3）、据（2）可以写出怎样一个关系式？思考：你能构建其他图形来说明勾股定理吗？abc试一试，很有挑战性哦！acb CBA7. 根据下列条件，判断下面以a ,b ,c 为边的三角形是不是直角三角形： （1） a =20,b =21,c =29; （2） a =5,b =7,c =8; （3） a =,7b=3,c =2. 二、经典例题例1.如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，CE 是∠BCA 的平分线，∠A =32°，求∠DCE 的度数.例2.如图，已知Rt △ABC 中，AB =AC ，D 是斜边BC 的中点，点E ，F 在AB ，AC 上，且∠EDF =Rt ∠.判断DE 和DF 的大小关系，并说明理由.例3.(1)如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1、l 2、l 3上，且l 1、l 2之间的距离为2，l 2、l 3之间的距离为3，则AC 的长是 ( )A ．217B ．2 5C ．4 2D ．7(2)如图，在钝角三角形ABC 中，BC ＝9，AB ＝17，AC ＝10，AD ⊥BC ，交BC 的延长线于D ，求AD 的长．_ F_ E _ D_ B_ A_ E_ D_ C_ B_ A例4.勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三， 股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，则D 、E 、F 、G 、H 、I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为 ( )A ．90B ．100C ．110D ．121例5. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，点E 是AC 的中点. 找出图中的等腰三角形，分别指出相等的边.例6.已知△ABC 中，∠C =90°，AB =c , BC =a , AC =b ,（1）如果,2,1==b a 求c ； （2）如果,17,15==c a 求b ；（3）如图，是一个长方形零件，根据所给尺寸（单位：cm ），求两孔中心A 、B 之间的距离。