江苏省盐城市2015-2016学年度第二学期高一年级期终考试数学试卷

1 / 9盐城市2015/2016学年度第二学期高一年级期终考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面半径，l 为母线长；柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．直线3y x =-的倾斜角为 ▲ ． 2．函数2sin 2y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是 ▲ ． 3．已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为 ▲ ．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为24n S n n =-+，则其公差d = ▲ ．5．若向量()=2,a m ，()=1,3b ，且+a b 与a b -垂直，则实数m 的值为 ▲ ． 6．如图，三棱柱111ABC A B C -的体积为1V ，四棱锥111A BCC B -的体积为2V ，则12=VV ▲ ．7．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴， 终边过点(1,3)P -，则cos2α的值为 ▲ ．8．设{}n a 是等比数列，若1237a a a ++=，23414a a a ++=， 则456a a a ++= ▲ ．9．设,,l m n 是空间三条不同的直线，,αβ是空间两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若l 与m 异面，m ∥n ，则l 与n 异面； ②若l ∥α，α∥β，则l ∥β； ③若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则l m ⊥； ④若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α. 其中正确命题的序号有 ▲ ．（请将你认为正确命题的序号都填上）第6题图ABCA 1B 1C 12 / 9101cos 20-=︒▲ ．11．在ABC ∆中，设角,,A B C 所对的边分别为,,a b ccos 2A A +=，3a =，512C π=，则b = ▲ ．12．已知点()2,4A ，()6,4B -，点P 在直线3430x y -+=上，若满足22PA PB λ+=的点P 有且仅有1个，则实数λ的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()22:345C x y -+-=，,A B 是圆C 上的两个动点，2AB =，则OA OB ⋅的取值范围为 ▲ ．14．在数列{}n a 中，设2m i a =（*i ∈N ，3231m i m -<+≤，m *∈N ），36912i i i i i i S a a a a a ++++=++++，则满足[]1000,3000i S ∈的i 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）设函数()sin()f x A x ωφ=+（,,A ωφ为常数，且0,0,0A ωφπ>><<）的部分图象如图所示.（1）求,,A ωφ的值； （2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围.第15题图3 / 9如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，CA CB =，,,D E F 分别为11,,AB A D AC 的中点，点G 在1AA 上，且1A D EG ⊥. （1）求证：CD //平面EFG ； （2）求证：1A D ⊥平面EFG .17．（本小题满分14分）如图，在四边形ABCD 中，ABC ∆是边长为6的正三角形，设=BD xBA yBC +（,x y R ∈）.（1）若1x y ==，求||BD ；（2）若36BD BC ⋅=，54BD BA ⋅=，求,x y .18．（本小题满分16分）如图所示，PAQ ∠是村里一个小湖的一角，其中60PAQ ∠=︒. 为了给村民营造丰富的休闲环境，村委会决定在直线湖岸AP 与AQ 上分别建观光长廊AB 与AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米；AC 是窄长廊，造价是400元/米；两段长廊的总造价预算为12万元（恰好都用完）；同时，在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个表演舞台，并建水上通道AD （表演舞台的大小忽略不计），水上通道的造价是600元/米.（1）若规划宽长廊AB 与窄长廊AC 的长度相等，则水上通道AD 的总造价需多少万元？（2）如何设计才能使得水上通道AD 的总造价最低？最低总造价是多少万元？ABCDE第18题图PQ · 第17题图 CFEDA 1B 1BAC 1G第16题图4 / 9已知圆M 的圆心为()1,2M -，直线4y x =+被圆M截得的弦长为，点P 在直线:1l y x =-上.（1）求圆M 的标准方程；（2）设点Q 在圆M 上，且满足4MP QM =，求点P 的坐标；（3）设半径为5的圆N 与圆M 相离，过点P 分别作圆M 与圆N 的切线，切点分别为,A B ，若对任意的点P ，都有PA PB =成立，求圆心N 的坐标.20．（本小题满分16分）设{}n a 是公比为正整数的等比数列，{}n b 是等差数列，且12364a a a =，12342b b b ++=-，1133620a b a b +=+=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设, =21,,, =2,,n n n a n k k N p b n k k N **⎧-∈⎪=⎨∈⎪⎩数列{}n p 的前n 项和为n S . ①试求最小的正整数0n ，使得当0n n ≥时，都有20n S >成立；②是否存在正整数,m n ()m n < ，使得m n S S =成立？若存在，请求出所有满足条件的,m n ；若不存在，请说明理由.5 / 9答案一、填空题： 1．4π2．2 3．3π 4．2- 5．0 6．32 7．45-8．56 9．③ 10．4 1112．58 13．[]8,48 14．16,17,18 二、解答题：15．解：（1）由图像有A =……………2分最小正周期74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22T πω∴==， ……………4分())f x x φ∴=+，由712f π⎛⎫= ⎪⎝⎭722122k ππφπ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈， 523k πφπ∴=-+，k Z ∈，0φπ<<，3πφ∴=. ……………8分（2）())3f x x π=+，[0,]2x π∈，42,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦， ……………10分sin 23x π⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， ……………12分所以()f x的取值范围为32⎡-⎢⎣. ……………14分16．证明：（1）,E F 分别为11,A D A C 的中点，EF ∴//CD ， …………… 2分 又CD ⊂/平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，CD ∴//平面EFG . …………… 6分 （2）AC BC =，D 为AB 的中点，CD AB ∴⊥，又CD ⊂平面ABC ,平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11ABB A 平面ABC AB =，CD ∴⊥平面11ABB A ， ……………10分又1A D ⊂平面11ABB A ，CD ∴⊥1A D ，而EF //CD ，EF ∴⊥1A D ， ……………12分 又1A D EG ⊥，EFEG E =，EF ⊂平面EFG ,EG ⊂平面EFG ，1A D ∴⊥平面EFG . ……………14分17．解：（1）法一：若1x y ==，则=BD BA BC +，所以()22=BD BA BC+ ……………2分222BA BC BA BC =++⋅136362661082=++⨯⨯⨯=， ……………6分6 / 9=63BD ∴. ……………7分法二：坐标法，略.法三：由三角形法则或平行四边形法则作图，略. （2）法一：由=BD xBA yBC +，得()(),,BD BC xBA yBC BC xBA BC yBC BC BD BA xBA yBC BA xBA BA yBC BA ⎧⋅=+⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=+⋅=⋅+⋅⎪⎩……………10分 即361836,543618,x y x y =+⎧⎨=+⎩……………13分解得41,33x y ==. ……………14分法二：以B 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则()6,0A -，()0,0B，(C -，()6,0BA =-，(BC =-，由=BD xBA yBC +，得()(()=6,03,363,3BD x y x y -+-=--， ……………10分则())363183636BD BC x y x y ⋅=---+=+=，()663361854BD BA x y x y ⋅=---=+=， ……………13分解得41,33x y ==. ……………14分18．解：（1）设A B A C x ==（单位：百米），则宽长廊AB 造价为8x 万元，窄长廊AC 造价为4x 万元，故两段长廊的总造价为12x 万元，所以1212x =，得1x =， 又60PAQ ∠=︒，ABC ∴∆是边长为1的正三角形， 又点D 为线段BC 上靠近点B 的三等分点，所以13BD =, ……………3分 在△ABD 中，由余弦定理得222221172cos 12cos60339AD BA BD BA BD ABD ⎛⎫=+-⨯∠=+-⨯⨯︒= ⎪⎝⎭，3AD ∴= ……………6分又水上通道的造价是6万元/百米，所以水上通道的总造价为万元. ……………8分 （2）法一：设,AB x AC y ==（单位：百米），则两段长廊的总造价为8412x y +=， 即23x y +=，在△ABC 中，由余弦定理得22222222cos 2cos 60BC AB AC AB AC BAC x y xy x y xy =+-⨯∠=+-︒=+-，……10分7 / 9在△ABC 与△ABD 中，由余弦定理及cos cos ABC ABD ∠=∠，得22222222BA BC AC BA BD AD AB BC AB BD +-+-=⨯⨯， ……………12分又3BC BD =，得()()222222412412423232199999993AD x y xy x x x x x x =++=+-+-=-+2433944x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当且仅当34x =时，AD有最小值2，故总造价有最小值32y =， ……………15分即当宽长廊AB 为34百米（75米）、窄长廊AC 为32百米（150米）时，水上通道AD 有最低总造价为. ……………16分法二：由2133AD AB AC =+，平方得222412999AD x y xy =++，以下略.法三：以A 为原点，AP 为x 轴建立平面直角坐标系，求出D 的坐标得222412999AD x y xy =++，以下略.19．解：（1）()1,2M -到直线4y x =+的距离为2d ==， ……………2分 又直线4y x =+被圆M，所以圆M的半径为1r ==，∴圆M 的标准方程为()()22121x y ++-=. ……………5分（2）由4MP QM =，得44MP QM ==，所以点P 在圆()()221216x y ++-=上， ……………7分又点P 在直线1y x =-上，由()()221216,1,x y y x ⎧++-=⎪⎨=-⎪⎩ ……………9分解得12x y =-⎧⎨=-⎩或32x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2--或()3,2. ……………10分（3）设(),1P t t -，(),N a b ，则圆N 的标准方程为()()2225x a y b -+-=，()()22222211121249PA PM t t t t =-=++---=-+，()()()()2222222251252222125PB PN t a t b t a b t a b =-=-+---=-+++++-，……………12分PA PB =，()()22222492222125t t t a b t a b ∴-+=-+++++-，即()()222221340a b t a b +---++= （*），8 / 9因为对任意的点P ，都有PA PB =成立，所以（*）式对任意实数t 恒成立，得()2222201340a b a b +-=⎧⎪⎨++-=⎪⎩， ……………14分 解得54a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩，又因为N 与M 相离，156MN ∴>+=，6>，∴圆心N 的坐标为()5,4-. ……………16分20．解：（1）由12364a a a =，12342b b b ++=-，得24a =，214b =-， ……………2分设{}n a 的公比为()q q N *∈，{}n b 的公差为d ，由1133620a b a b +=+=，得()2222620a b d a q b d q+-=++=， 即241408140d q q d ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩，消去d ，得248280q q +-=，解得32q =或2q =， 又q N *∈，2q ∴=，2d =-，得2n n a =，210n b n =--. ……………4分（2）①212214120S a b =+=-=-<，423412818220S S a b =++=-+-=-<，6456223222120S S a b =++=-+-=-<，86781212826900S S a b =++=-+-=>，……………6分设22(1)n n n t S S -=-,则212122122410n n n n n n t p p a b n ---=+=+=--， 因为()()()21121211241102410324n n n n n t t n n +---+⎡⎤-=-+----=⨯-⎣⎦13240≥⨯->， 所以数列{}n t 单调递增，则n ≥5时，952300n t t ≥=->，即n ≥5时，22(1)n n S S ->，数列{}2n S 在n ≥4时单调递增， ……………9分 而80S >，所以当n ≥4时，280n S S ≥>，综上，最小的正整数04n =. ……………10分 ②法一：112S a ==，212S =-，3231284S S a =+=-+=-，422S =-，545223210S S a =+=-+=，612S =-，76712128116S S a =+=-+=，890S =.1°当,m n 同时为偶数时，由①可知2,6m n ==； ……………11分 2°当,m n 同时为奇数时，设2121n n n r S S +-=-,则212212214102n n n n n n r p p b a n +++=+=+=--+，因为()()2321211411024102324n n n n n r r n n ++++⎡⎤-=-+-+---+=⨯-⎣⎦33240≥⨯->， 所以数列{}n r 单调递增，则当n ≥2时，522180n r r ≥=->，即n ≥2时，2121n n S S +->，数列{}21n S -在n ≥2时单调递增， 而12S =，34S =-，510S =，9 / 9故当,m n 同时为奇数时，m n S S =不成立； ……………13分 3°当m 为偶数，n 为奇数时，显然6m ≤时，m n S S =不成立，若8m ≥，则11111112m m m m m m m m S S p S a S S +++++++=-=-=-<， ∵m n <，∴1m n +≤，由2°可知1m n S S +≤，∴1m m n S S S +<≤，∴当m 为偶数，n 为奇数时，m n S S =不成立； ……………14分 4°当m 为奇数，n 为偶数时，显然5m ≤时，m n S S =不成立， 若7m ≥，则1n m ≥+，若1n m =+，则()1111112110m m m m m m m n S S p S b S m S S ++++++=-=-=--+->=⎡⎤⎣⎦， 即m n S S >，∴1n m =+时，m n S S =不成立，若1n m >+，即3n m ≥+，由①中数列{}2n S 的单调性，可知3n m S S +≥，231231232428m n m m m m m m m m m S S S S p p p b a b m ++++++++∴-≥-=++=++=--，设22428m m u m +=--， 因为()()3221241282428240m m m m m u u m m ++++⎡⎤-=-+----=->⎣⎦恒成立， 所以数列{}m u 单调递增，则当7m ≥时，972560m u u ≥=->，0n m S S ∴->，∴1n m >+时m n S S =也不成立；综上1°2°3°4°，存在正整数2,6m n ==，使得m n S S =成立. ……………16分 法二：可以证明当3k ≥时，不等式2212221k k k k S S S S -++<<<恒成立，余下略.。

2015-2016学年江苏省盐城中学高一（下）第一次段考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。

1．1+与1﹣的等差中项是．2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c．若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则a:b：c=,∠B的大小是°．3．等比数列{a n}中，已知a1=1，a4=27，则a3=．4．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，a=4，A=30°，B=60°，则b等于．5．已知数列｛a n}的前n项和为S n=3n﹣1(n∈N*），则a4=．6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b,c，且c2=a2+b2﹣ab,则角C=．7．已知四个正数1，x，y，3中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则x+y=．8．设公差不为零的等差数列｛a n},a1=1,a2,a4,a5成等比数列,则公差d=．9．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，A=，a=，c=1，则△ABC的面积S=．10．已知各项不为0的等差数列｛a n}，满足，前13项和S13=．11．在△ABC中，已知BC=7，AC=8，AB=9,试求AC边上的中线长．12．已知等比数列｛a n｝的首项a1=8,令b n=log2a n，S n是数列｛b n｝的前n项和，若S3是数列｛S n｝中的唯一最大项，则｛a n}的公比q的取值范围是．13．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a,b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于．14．在△ABC中，点D在线段AB上,且AD=2DB，CA:CD：CB=3:m：2,则实数m的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。

2015-2016学年江苏省盐城市建湖二中高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上1．（5分）直线y=2x﹣5在y轴上的截距是．2．（5分）已知A（3，2），B（2，3），则线段AB的长度为．3．（5分）已知圆心坐标为（﹣1，1），半径是2的圆的标准方程：．4．（5分）若直线ax+3y﹣2=0过点A（2，4），则a=．5．（5分）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=．6．（5分）已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是．7．（5分）已知直线l1：ax+4y+1=0与直线l2：（4﹣a）x﹣y+a=0，若l1⊥l2，则实数a=．8．（5分）已知α为第二象限角，sinα+cosα=，则cos2α=．9．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣6x﹣7=0，圆C2：x2+y2﹣4y﹣5=0，两圆的位置关系．10．（5分）两条平行线4x+3y+1=0与8x+6y﹣9=0的距离是．11．（5分）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的序号是（1）若m∥l，m∥α，则l∥α；（2）若m⊥α，l⊥m，则l∥α；（3）若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；（4）若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β12．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜的部分图象如图所示，则f（π）的值为．13．（5分）直线y=x+m与曲线有两个交点，则实数m的取值范围是．14．（5分）设圆O：x2+y2=，直线l：x+3y﹣8=0，点A∈l，圆O上存在点B 且∠OAB=30°（O为坐标原点），则点A的纵坐标的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f（x）=cos2﹣sin cos﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）若f（α）=，求sin2α的值．16．（14分）正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，且AE ⊥平面CDE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．17．（14分）已知△ABC的顶点A（3，2），B（1，0），C（﹣1，4），求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）AC边上的中线所在直线的方程；（3）△ABC外接圆方程．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．19．（16分）已知：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（m+1）x+（2m+1）y﹣7m﹣4=0．求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；（2）求证：不论m取何值，直线l与圆恒有两个交点；（3）求直线l被圆M截得的弦长最小时的方程．20．（16分）已知圆M（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）过点T（﹣3，﹣3），圆M 关于直线x+y+2=0对称的圆为圆C，设P点为T点关于x+y+2=0的对称点．（1）求圆C方程；（2）设Q为圆C上的一个动点，求的最小值；（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB分别与x轴的交点分别为E，F，若△PEF是以P为顶点的等腰三角形，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行，并说明理由．2015-2016学年江苏省盐城市建湖二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上1．（5分）直线y=2x﹣5在y轴上的截距是﹣5．【解答】解：∵令x=0，则y=﹣5，∴直线y=2x﹣5在y轴上的截距是﹣5．故答案为：﹣5．2．（5分）已知A（3，2），B（2，3），则线段AB的长度为．【解答】解：∵A（3，2），B（2，3），∴线段AB的长度为|AB|==．故答案为：．3．（5分）已知圆心坐标为（﹣1，1），半径是2的圆的标准方程：（x+1）2+（y﹣1）2=12．【解答】解：∵圆心坐标为（﹣1，1），半径是2，∴圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣1）2=12．故答案为：（x+1）2+（y﹣1）2=12．4．（5分）若直线ax+3y﹣2=0过点A（2，4），则a=﹣5．【解答】解：将A（2，4）代入直线ax+3y﹣2=0，得：2a+12﹣2=0，解得：a=﹣5，故答案为：﹣5．5．（5分）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=．【解答】解：因为x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），则==，6．（5分）已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是48．【解答】解：∵正四棱锥的底面边长是6，高为，正四棱锥的侧高为=4∴正四棱锥的侧面积是4××6×4=48故答案为：487．（5分）已知直线l1：ax+4y+1=0与直线l2：（4﹣a）x﹣y+a=0，若l1⊥l2，则实数a=2．【解答】解：∵直线l1：ax+4y+1=0，与直线l2：（4﹣a）x﹣y+a=0，∴k1=﹣，k2=4﹣a因为两条直线的斜率都存在，且l1⊥l2，∴k1•k2=﹣1，即（4﹣a）•（﹣）=﹣1，解得a=2．故答案为：2．8．（5分）已知α为第二象限角，sinα+cosα=，则cos2α=﹣．【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=﹣×=﹣．9．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣6x﹣7=0，圆C2：x2+y2﹣4y﹣5=0，两圆的位置关系相交．【解答】解：由于圆C1：x2+y2﹣6x﹣7=0，即（x﹣3）2+y2=16，表示以C1（3，0）为圆心，半径等于4的圆．圆C2：x2+y2﹣4y﹣5=0，即x2+（y﹣2）2=9，表示以C2（0，2）为圆心，半径等于3的圆．由于两圆的圆心距等于=，∵，4﹣3＜＜4+3，故两个圆相交．故答案为：相交．10．（5分）两条平行线4x+3y+1=0与8x+6y﹣9=0的距离是．【解答】解：直线4x+3y+1=0可化为8x+6y+2=0，所以平行线8x+6y+2=0与8x+6y﹣9=0的距离是d==，即平行线4x+3y+1=0与8x+6y﹣9=0的距离是．故答案为：．11．（5分）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的序号是（3）（1）若m∥l，m∥α，则l∥α；（2）若m⊥α，l⊥m，则l∥α；（3）若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；（4）若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β【解答】解：对于（1），当l⊂α时，结论显然不成立；故（1）为假命题．对于（2），当l⊂α时，结论显然不成立；故（2）为假命题．对于（3），∵α∥β，l⊥α，∴l⊥β，∵m∥β，∴存在直线m′⊂β，使得m∥m′，∴l⊥m′，∴l⊥m．故命题（3）正确．对于（4），若α∩β=b，m∥b∥l，显然符合条件，但结论不成立，故（4）为假命题．故答案为：（3）．12．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜的部分图象如图所示，则f（π）的值为﹣．【解答】解析：由图可知，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）．∵，∴．再根据，∴，∴，∴，故答案为：﹣．13．（5分）直线y=x+m与曲线有两个交点，则实数m的取值范围是．【解答】解：表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分．作出曲线的图象，在同一坐标系中，再作出斜率是1的直线，由左向右移动，可发现，直线先与圆相切，再与圆有两个交点，直线与曲线相切时的m值为2，直线与曲线有两个交点时的m值为1，则故答案为：14．（5分）设圆O：x2+y2=，直线l：x+3y﹣8=0，点A∈l，圆O上存在点B且∠OAB=30°（O为坐标原点），则点A的纵坐标的取值范围[] ．【解答】解：过点A作圆的切线AB，B为切点，设点A（8﹣3m，m），由题意得，A与B连线与圆相切时∠OAB最大，∴sin∠OAB==≥，解得：≤m≤，故答案为：[]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数f（x）=cos2﹣sin cos﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）若f（α）=，求sin2α的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f（x）=﹣sin cos﹣=（1+cosx）﹣sinx﹣=cos（x+）．∴函数f（x）的最小正周期为2π，值域为[﹣，]．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（α）=cos（α+）=，∴cos（α+）=，∴sin2α=﹣cos（+2α）=﹣cos2（α+）=1﹣2=1﹣=．16．（14分）正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，且AE ⊥平面CDE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．【解答】证明：（1）正方形ABCD中，AB∥CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE．（6分）（2）因为AE⊥平面CDE，且CD⊂平面CDE，所以AE⊥CD，（8分）又正方形ABCD中，CD⊥AD且AE∩AD=A，AE，AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE，（12分）又CD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ADE．（14分17．（14分）已知△ABC的顶点A（3，2），B（1，0），C（﹣1，4），求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）AC边上的中线所在直线的方程；（3）△ABC外接圆方程．【解答】解：（1）k AB==1，∴AB边上的高的斜率为﹣1，∴AB边上的高所在直线的方程为y﹣4=﹣（x+1），即x+y﹣3=0；（2）AC的中点坐标为（1，3），∴AC边上的中线所在直线的方程为x=1；（3）△ABC外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．则∴D=﹣，E=﹣，F=，∴△ABC外接圆方程为x2+y2﹣x﹣y+=0．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，设切点的横坐标为a，2a﹣4=a﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）．∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则=1，解得：k=﹣，…（4分）又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣x+3，即x=0或12x+5y﹣15=0；（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．19．（16分）已知：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（m+1）x+（2m+1）y﹣7m﹣4=0．求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；（2）求证：不论m取何值，直线l与圆恒有两个交点；（3）求直线l被圆M截得的弦长最小时的方程．【解答】解：（1）由直线l：（m+1）x+（2m+1）y﹣7m﹣4=0，得m（x+2y﹣7）+x+y﹣4=0，联立，解得，∴直线l恒过定点P的坐标为（1，3）；证明：（2）∵（1﹣1）2+（3﹣2）2=1＜25，∴点P在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25内，故不论m取何值，直线l与圆恒有两个交点；解：（3）当直线l⊥CP时，直线l被圆M截得的弦长最小，∵P（1，3），C（1，2），∴直线CP的斜率不存在，则k l=0，直线l的方程为y=3．20．（16分）已知圆M（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）过点T（﹣3，﹣3），圆M关于直线x+y+2=0对称的圆为圆C，设P点为T点关于x+y+2=0的对称点．（1）求圆C方程；（2）设Q为圆C上的一个动点，求的最小值；（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB分别与x轴的交点分别为E，F，若△PEF是以P为顶点的等腰三角形，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行，并说明理由．【解答】解：（1）圆M（x+2）2+（y+2）2=r2的圆心坐标为M（﹣2，﹣2），设M关于直线x+y+2=0对称的圆为圆C（a，b），则，解得：a=b=0，又圆M过点T（﹣3，﹣3），∴r2=2，则圆C的方程为x2+y2=2；（2）设P（x，y），则，解得，∴P（1，1），设Q（x0，y0），则=（x0﹣1，y0﹣1）•（x0+2，y0+2）=（x0﹣1）（x0+2）+（y0﹣1）（y0+2）==，设D（），则的最小值为圆x2+y2=2上的点与D的距离的最小值的平方减．∵，∴的最小值为；（3）∵点P（1，1）在圆C上，由题意可知，直线PA，PB的斜率都存在且互为相反数，设PA：y﹣1=k（x﹣1），即y=kx﹣k+1，则PB：y=﹣kx+k+1，由，得（1+k2）x2+（2k﹣2k2）x+k2﹣2k﹣1=0．∵x=1满足方程，∴，同理，∴=，又k OP=1，∴OP∥AB．。

知识改变命运盐城市南洋中学2016年春学期高一年级期中考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． _______cos )(6______326,sin )(5______2sin )(4_____cos ,,2,53sin 3_____si 4,32____3sin1析式为后所得的图象的函数解的图象向右平移个单位、将函数的值域为，、函数的最小正周期为、函数则）（、已知），则（的终边经过点、已知角、求值x x f x x x f x x f n P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈===∈===ππαππααααπ7、若=)8,2(，=)2,7(-，则AB =_________8、已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x =______ 9、若3a =,2b =，且与的夹角为060，则a b -= 10、化简： _____13sin 58sin 13cos 58cos =︒︒+︒︒11、已知5tan 2tan =-=βα，，求_____)tan(=+βα 12、求值：8cos8sin ππ=13、化简：︒-︒+10sin 20cos 22=14、若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35， sin β=二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、(本小题满分14分)已知),,2(,53cos ππθθ∈-=求（1）θsin 的值 （2）)3cos(θπ-的值16、(本小题满分14分)已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时，知识改变命运（1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka +b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？17、(本小题满分14分)已知函数()s i n (f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式； （2）求函数()y f x =的单调增区间。

2015-2016学年江苏省盐城市时杨中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是．2．（5分）已知A（﹣1，2），B（2，4），C（x，3），且A、B、C三点共线，则x=．3．（5分）已知||=2，||=3，，的夹角为60°，则|2﹣|=．4．（5分）已知一个球的表面积和体积相等，则它的半径为．5．（5分）已知圆的一般方程x2+y2﹣4x﹣2y﹣5=0，其半径是．6．（5分）原点到直线2x+y﹣5=0的距离等于．7．（5分）△ABC中，cosA=，cosB=，则cosC=．8．（5分）两条平行直线3x﹣4y+2=0与6x﹣my+14=0之间的距离等于．9．（5分）求经过点A（﹣5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．10．（5分）不论m为何实数，直线mx﹣y+3+m=0恒过定点．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于．12．（5分）M（﹣1，0）关于直线x+2y﹣1=0对称点M′的坐标是．13．（5分）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊥α，则l⊥β；②若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；③若m⊥α，l⊥m，则l∥α；④若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m．其中真命题的序号为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴相交于A（1，0）、B（3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，则圆C的标准方程为．二、解答题15．（14分）已知平面内三个向量：．．（1）若∥，求实数λ；（2）若）⊥，求实数λ．16．（14分）如图，四边形ABCD、ADEF为正方形，G，H是DF，FC的中点．（1）求证：GH∥平面CDE；（2）求证：BC⊥平面CDE．17．（14分）求经过三点A（1，4），B（﹣2，3），C（4，﹣5）的圆的方程．18．（16分）在△ABC中，点A（1，1），B（0，﹣2），C（4，2），D为AB的中点，DE∥BC．（Ⅰ）求BC边上的高所在直线的方程；（Ⅱ）求DE所在直线的方程．19．（16分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．20．（16分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．2015-2016学年江苏省盐城市时杨中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是45°．【解答】解：由直线x﹣y+1=0变形得：y=x+1所以该直线的斜率k=1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1，∵α∈[0，180°），∴α=45°．故答案为：45°．2．（5分）已知A（﹣1，2），B（2，4），C（x，3），且A、B、C三点共线，则x=．【解答】解：∵A、B、C三点共线，∴k AB=k AC，∴，化为2x=1，解得x=．故答案为：．3．（5分）已知||=2，||=3，，的夹角为60°，则|2﹣|=．【解答】解：∵已知，，、的夹角为60°，∴=2×3cos60°=3，∴====，故答案为．4．（5分）已知一个球的表面积和体积相等，则它的半径为3．【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πr2因为球的体积与其表面积的数值相等，所以=4πr2，解得r=3故答案为：3．5．（5分）已知圆的一般方程x2+y2﹣4x﹣2y﹣5=0，其半径是．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=10．∴圆的半径为．故答案为．6．（5分）原点到直线2x+y﹣5=0的距离等于．【解答】解：∵原点坐标为（0，0）∴原点到直线2x+y﹣5=0的距离d==故答案为：7．（5分）△ABC中，cosA=，cosB=，则cosC=．【解答】解：在△ABC中，由cosA=，cosB=，可知A，B均为锐角，则，sinB=，∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=．故答案为：．8．（5分）两条平行直线3x﹣4y+2=0与6x﹣my+14=0之间的距离等于1．【解答】解：两条直线3x﹣4y+2=0与6x﹣my+14=0平行，∴=﹣，解得m=8．∴6x﹣my+14=0化为：3x﹣4y+7=0．∴两条平行直线3x﹣4y+2=0与6x﹣my+14=0之间的距离d==1．故答案为：1．9．（5分）求经过点A（﹣5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程2x+5y=0或x+2y+1=0．【解答】解：当截距为0时，设直线方程为y=kx，则﹣5k=2，∴∴直线方程为2x+5y=0当截距不为0时，设直线方程为由题意，，∴a=﹣．∴x+2y+1=0．综上，2x+5y=0或x+2y+1=0．10．（5分）不论m为何实数，直线mx﹣y+3+m=0恒过定点（﹣1，3）．【解答】解：直线mx﹣y+3+m=0化为：m（x+1）+（3﹣y）=0，令，解得x=﹣1，y=3．∴直线恒过定点（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心坐标为（0，0），半径为2∵圆心到直线3x+4y﹣5=0的距离为=1∴弦AB的长等于2=故答案为：12．（5分）M（﹣1，0）关于直线x+2y﹣1=0对称点M′的坐标是（﹣，）．【解答】解：设M（﹣1，0）关于直线x+2y﹣1=0对称点M′的坐标是（a，b ），则有，解得a=﹣，b=，故M’的坐标是（﹣，），故答案为：（﹣，）．13．（5分）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊥α，则l⊥β；②若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；③若m⊥α，l⊥m，则l∥α；④若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m．其中真命题的序号为①．【解答】解：对于①，当α∥β时，若l⊥α，则l⊥β，理由是如果一条直线与两个平行平面中的一个垂直，那么它与另一个平面垂直，∴①正确；对于②，当l∥m，l⊂α，m⊂β时，α∥β或α与β相交，∴②错误；对于③，当m⊥α，l⊥m时，l∥α或l⊂α，∴③错误；对于④，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l⊥m或l与m不垂直，∴④错误．综上，正确的命题是①．故答案为：①．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴相交于A（1，0）、B（3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．【解答】解：∵圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴相交于A（1，0）、B（3，0）两点，∴设圆心坐标为（2，b）（b＞0），∵圆与直线x﹣y+1=0相切，∴，∴b2+6b﹣7=0，解得b=1或b=﹣7，∵b＞0，∴b=1∴圆C的圆心C（2，1），半径r==．∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．二、解答题15．（14分）已知平面内三个向量：．．（1）若∥，求实数λ；（2）若）⊥，求实数λ．【解答】解：∵．．∴，（1）∵∥，∴2（3+4λ）﹣（﹣5）（2+λ）=0解得：（2）∵⊥，∴（﹣5）•（3+4λ）+2•（2+λ）=0解得：16．（14分）如图，四边形ABCD、ADEF为正方形，G，H是DF，FC的中点．（1）求证：GH∥平面CDE；（2）求证：BC⊥平面CDE．【解答】证明：（1）∵G，H是DF，FC的中点．∴GH∥CD，又GH⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴GH∥平面CDE．（2）∵四边形ABCD、ADEF为正方形，∴DE⊥AD，CD⊥AD，BC∥AD．又DE⊂平面CDE，CD⊂平面CDE，CD∩DE=D，∴AD⊥平面CDE，又BC∥AD，∴BC⊥平面CDE．17．（14分）求经过三点A（1，4），B（﹣2，3），C（4，﹣5）的圆的方程．【解答】解：设经过三点A（1，4），B（﹣2，3），C（4，﹣5）的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵点A（1，4），B（﹣2，3），C（4，﹣5）三点在圆上，∴将A、B、C的坐标代入，可得，解得，故圆的方程为x2+y2 ﹣2x+2y﹣23=0．18．（16分）在△ABC中，点A（1，1），B（0，﹣2），C（4，2），D为AB的中点，DE∥BC．（Ⅰ）求BC边上的高所在直线的方程；（Ⅱ）求DE所在直线的方程．【解答】解：（1）∵A（1，1），B（0，﹣2），C（4，2），∴BC的斜率为=1，∴BC边上的高所在直线的斜率为﹣1，∴所求直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），化为一般式可得x+y﹣2=0；（2）由中点坐标公式可得D（，），∵DE∥BC，∴DE的斜率等于BC的斜率1，∴DE的方程为y+=x﹣化为一般式可得：x﹣y﹣1=019．（16分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）∴f（x）的最小正周期为，令，则，∴f（x）的对称中心为；（2）∵∴∴∴﹣1≤f（x）≤2∴当时，f（x）的最小值为﹣1；当时，f（x）的最大值为2．20．（16分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．【解答】解（1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=DE．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．又AB=DE，∴GF=AB．∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．。

盐城中学高一年级阶段练习（2016.3.26）数学试题一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1. 21+与21-的等差中项是 ▲ ．12.若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c ，sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则=c b a :: ▲ ．5:7:83. 等比数列}{n a 中，已知1=1a ，274=a ，则=3a ▲ ．94. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，4,30,60,a A B ===则b 等于 ▲ ．345. 已知数列}{n a 的前n 项和为31n n S =-（*N n ∈），则4a =▲ ．546. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ab b a c -+=222，则角=C ▲ ．︒607. 已知四个正数1，x ，y ，3中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则x y += ．4158. 设公差不为零的等差数列}{n a ，11=a ，542,,a a a 成等比数列，则公差=d ▲ ．51-9.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，3π=A ，3=a ，1=c ，则ABC ∆的面积是 ▲ ．23 10. 已知各项不为0的等差数列{a n }，满足011273=+-a a a ，前13项和=13S ▲ ．2611. 在ABC ∆中, 已知9,8,7===AB AC CB ,则AC 边上的中线的长为 ▲ ．712. 已知等比数列{}n a 的首项81=a ，令n n a b 2l o g=，n S 是数列{}n b 的前n项和，若3S 是数列{}n S 中的唯一最大项，则{}n a 的公比q 的取值范围是 ▲ ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,42 13. 若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于 ▲ ．914. 在ABC ∆中，点D 在线段AB 上，且DB AD 2=，2::3::m CB CD CA =，则实数m 的取值范围 ▲ ．⎪⎭⎫⎝⎛37,31解相邻三角形问题或用向量方法处理二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. 等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22na nb n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．答：（1）设公差为d ，则()()⎩⎨⎧=+++=+15634111d a d a d a ，解得⎩⎨⎧==131d a 所以 2+=n a n（2）n n b n a n n+=+=-222()()()()101210123102121011022212102101122b b b b -+∴+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+=-16. ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，向量()m a =，)cos ,(sin A B -=，且0=⋅.（1）求A ；（2）若27=a ，ABC ∆的面积为323，求c b +的值． 答：（1） 0=⋅，0cos 3sin =-∴A b B a ，由正弦定理知0cos sin 3sin sin =-A B B A ，又0sin ≠B 3tan =∴A ，()3,0ππ=∴∈A A（2） ABC ∆的面积323=S ，又A bc S ABC sin 21=∆，3π=A ，6=∴bc 由余弦定理得：()bc c b A bc c b a 3cos 22222-+=-+=，又27=a ，6=bc ，211=+∴c b ．17. 如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB ，其中O 为扇形所在圆的圆心，半径为R ，60AOB ∠=︒，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧AB 上选一点C ，过C 修建与OB平行的小路CD ，与OA 平行的小路CE ，设θ=∠COA ， （1）当 45=θ时，求CD ；（2）θ为何值时，才能使得修建的道路CD 与CE 的总长最大，并说明理由．答：（1）在COD ∆中，︒=∠45COD ，︒=∠120ODC ，R OC = 由正弦定理得：ODCOCCOD CD ∠=∠sin sinR CD 36=∴ （2）在C O D ∆中，由正弦定理得：θsin 332R CD =，()θ-︒=60sin 332R OD ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-︒+=+=+∴θθθθcos 23sin 2133260sin 332sin 332R R R OD CD CE CD即()︒+=+60sin 332θR CE CD ()︒︒∈60,0θ ，()︒︒∈︒+∴120,6060θ所以，当︒=30θ时，CD 与CE 的总长最大，最大值为R 332． 18. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，tan 21tan C aB b+=， (1) 求角C 的大小；（2）若,31)6cos(=+πB 求A sin 的值；（3）若22()4a b c +-=，求b a +3的最小值；答：（1）由b a B C 2t a n t a n 1=+知:BAB C B C sin sin 2sin cos cos sin 1=+,即B AB C B C B C sin sin 2sin cos sin cos cos sin =+B A BC A sin sin 2sin cos sin =∴， 0sin 0sin ≠≠∆B A ABC ，，中在 ，21cos =∴C ()3,0ππ=∴∈C C（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈65,6632,0ππππB B ,3226sin 316cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππB B ()61626sin6cos 6cos 6sin 66sin 3sin sin sin +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∴πππππππB B B B C B A （3）()42422222=+-+∴=-+ab c b a c b a ，由余弦定理知42cos 2=+ab C abba ab C 34343==∴=即π()43043min =+∴>+=+∴b a b b bb a19. 已知数列{}n a 通项公式n a n 2=，其前n 项和n S ，数列{}n b 是以21为首项的等比数列，且641321=b b b ． (1) 求数列{}n b 的通项公式；（2）记=n C nS S S 11121+⋅⋅⋅++，求n C ； (3) 设数列{b n }的前n 项和为n T ，若对任意*∈N n 不等式n C ≥n T t 2141-恒成立，求t 的取值范围．答：（1）nn b ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 （4分）（2）2,21=-∴=+n n n a a n a ，数列{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，()()()1111111222+-=+=∴+=+=∴n n n n S n n n n S n n 1111111312121111121+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅⋅⋅++=∴n n n n n S S S C n n（9分）（3）nn T ⎪⎭⎫⎝⎛-=211 ，111+-=n C n，n C ≥n T t 2141- 1212141111+⎪⎭⎫⎝⎛+-≥+-∴n t n 即112123411+--≤+n t n 1121231+--+n n 对*n N ∈递增 43112123min 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∴+n n 4341≤∴t 即t 的取值范围为(]3,∞- （16分）20. 设数列{}{}{},,n n n a b c 满足111,1,3,a abc ===对于任意*n N ∈，有11,22n n n n n n a c a bb c ++++==. （1）求证数列}{n n b c -为等比数列；（2）若数列{}n a 和{}n n c b +都是常数列，求实数a 的值；（3）若数列{}n a 是公比为a 的等比数列，记数列{}n b 和{}n c 的前n 项和分别为,n n S T ，记12n n n M S T +=-，求使52n M <对任意*n N ∈恒成立的a 的取值范围.答：（1）()n n n n n n n n n n b c c b c a b a b c --=-=+-+=-++2122211 ，（要交待()0n n c b -≠）2211111=--=--∴++b c b c b c n n n n 又，∴数列}{n n b c -是首项为2，公比为21-的等比数列.（4分） （2） 11,22n n n n n n a c a b b c ++++==，()n n n n n c b a c b ++=+∴++2111 数列{}n a 和{}n n c b +都是常数列 4,111=+=+==∴b c b c a a a n n n244+=∴a 即2=a .检验当2=a 时，(),21211n n n n c b c b ++=+∴++ (),421411-+=-+∴++n n n n c b c b 而0411=-+c b ，所以由上述递推关系可得，当*N ∈n 时，04=-+n n c b 恒成立，所以{}n n c b +都是常数列．（不检验扣2分）（8分） （3）n n n nn n a c b c a b =-∴+=++1122()()()22222211112111++⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅+-+-=-=∴--++a a a b c b c b c b T S M n n n n n n n n n①若1≥a ，则n M 显然不满足条件；②若10<<a ，则()252-11<+-=a a a M n n ，即()21-11<-a a a n 对任意*n N ∈恒成立，所以21-1≤a a ，即310≤<a ； ③若01<<-a ，则()0-11<-a a a n ，所以()252-11<+-=a a a M n n 恒成立； ④若1-=a ，则n 为奇数时，()1-11-=-a a a n ， n 为偶数时，()0-11=-a a a n，所以()252-11<+-=a a a M n n 恒成立；⑤若1-<a ，则n 为偶数时，()+∞→+-=2-11aa a M nn 不满足条件； 综上，所求a 的取值范围为01<≤-a 或310≤<a . （16分）沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

江苏省盐城市射阳二中2015-2016学年高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．（4分）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=．2．（4分）函数y=的定义域是．3．（4分）（lg5）2+lg2×lg50=．4．（4分）已知函数f（x）==．5．（4分）非零向量，则的夹角为．6．（4分）已知sinθ=，cosθ=（＜θ＜π），则tanθ=．7．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=﹣f（x），若f（1）=1，则f（3）﹣f（4）=．8．（4分）关于函数，有下列命题：（1）为奇函数；（2）要得到函数g（x）=2cos2x的图象，可以将f（x）的图象向左平移个单位；（3）y=f（x）的图象关于直线x=对称；（4）y=f（|x|）为周期函数．其中正确命题的序号为．9．（4分）已知定义在（﹣2，2）上的奇函数f（x）在整个定义域上是减函数，若f（m﹣1）+f（2m﹣1）＞0，求实数m的取值范围．10．（4分）设方程2ln x=10﹣3x的解为x0，则关于x的不等式2x﹣3＜x0的最大整数解为．11．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥AB，=2，||=1，则•的值为．12．（4分）已知实数a＞0，方程有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数a的取值范围．二、解答题（共52分）13．（10分）已知函数f（x）=的定义域为A，集合B是不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集．（Ⅰ）求A，B；（Ⅱ）若A∪B=B，求实数a的取值范围．14．（10分）已知：（1）求（2）求满足条件的实数m，n．（3）若向量满足，且求．15．（10分）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）设α∈（0，π），f（）=，求sinα的值；（Ⅲ）若，函数f（x）的最大值．16．（10分）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|g（x）﹣a|+2a+，x∈[0，24]，其中g（x）=，a是与气象有关的参数，且a∈[0，]，若用每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．（1）令t=g（x），求t的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？17．（12分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f （x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函f（x）的一个上界．已知函数f（x）=1+a+，g（x）=．（1）若函数g（x）为奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，求函数g（x），在区间[，3]上的所有上界构成的集合；（3）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．参考答案一、填空题（每题4分，共48分）1．12．[1，+∞）．3．14．5．6．7．﹣18．（1）（2）（3）9．解：f（m﹣1）+f（2m﹣1）＞0，可化为f（m﹣1）＞f（1﹣2m），∵奇函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，∴，解得：﹣＜m＜．10．211．212．二、解答题（共52分）13．解：（Ⅰ）∵，化为（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，∴函数f（x）=的定义域A=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）；由不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0化为（x﹣a）（x﹣a﹣1）＞0，又a+1＞a，∴x＞a+1或x ＜a，∴不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集B=（﹣∞，a）∪（a+1，+∞）；（Ⅱ）∵A∪B=B，∴A⊆B．∴，解得﹣1≤a≤1．∴实数a的取值范围[﹣1，1]．14．解：（1）=（4，7）（3分）∴（5分）（2）由得（3，2）=m（﹣1，2）+n（4，1）=（﹣m+4n，2m+n）（6分）∴（8分）∴（10分）（3）∴（λ∈R）（11分）∴∴（14分）∴，（15分）．（16分）15．解：（Ⅰ）∵=∴函数f（x）的最小正周期为单调增区间满足：k∈Z即单调增区间为：k∈Z（Ⅱ）∵f（x）=∴f（）=+可化为：=+∴∵α∈（0，π）∴∴∴（Ⅲ）∵∴∴f（x）的最大值为16．解（1）当0≤x≤2时，y=sin∈[0，]，当2＜x≤24时，y=∈[，），则当0＜x≤24时，t的取值范围是[0，]；（2）当a∈[0，]时，记g（t）=|t﹣a|+2a+，则g（t）=，∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，]上单调递增，且g（0）=3a+，g（）=a+，g（0）﹣g（）=2 （a﹣）．故M（a）==，∴当且仅当a≤时，M（a）≤2．故当0≤a≤时不超标，当＜a≤时超标．17．解：（1）∵函数g（x）为奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），即=﹣．，即，得a=±1，而当a=1时不合题意，故a=﹣1．…（4分）（2）由（1）得：g（x）=，∵函数g（x）=在区间（1，+∞）上单调递增，∴函数g（x）=在区间[，3]上单调递增，∴函数g（x）=在区间[，3]上的值域为[﹣2，﹣1]，∴|g（x）|≤2，故函数g（x）在区间[，3]上的所有上界构成集合为[2，+∞）．…（8分）（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．∴﹣3≤f（x）≤3，∴﹣4﹣≤a≤2﹣，∴﹣4•2x﹣≤a≤2•2x﹣在[0，+∞）上恒成立．…（10分）设t=2x，t≥1，h（t）=﹣4t﹣，p（t）=2t﹣，则h′（t）=﹣4+＜0，p′（t）=2+＞0，∴h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，…（12分）∴h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=﹣5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1．∴实数a的取值范围为[﹣5，1]．…（14分）。