x10-3向量函数的微分

酒泉市普通高中2023~2024学年度第二学期期末考试高二数学考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：选择性必修一4.4二项式定理，选择性必修二全部。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量 a =(1,0,3),b =(0,−1,2),c =(3,1,0)，则 a ⋅(b−c )=A ．−3B ．3C ．9D ．02．一质点 A 沿直线运动，位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系为 s (t )=12t 2+2ln t ，则质点 A 在 t =2秒时的瞬时速度为A ．1米/秒B ．2米/秒C ．3米/秒D ．4米/秒3．函数 f (x )=x 3+ax 在 x =1处取得极小值，则 a =A ．−3B ．3C ．1D ．−14．有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的 70%,30%，甲、乙两台车床的正品率分别为 94%,92%. 现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为A ．0.93B ．0.934C ．0.94D ．0.9455．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用 2×2列联表进行独立性检验. 整理所得数据后发现，若依据 α=0.010的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据 α=0.025的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则 χ2的值可能为α0.1000.0500.0250.0100.001x α 2.7063.8415.0246.63510.828A ．4.238B ．4.972C ．6.687D ．6.0696．设 a =(1,1,0),b =(t ,0,1)分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为 60∘，则t 等于A ．1B ．−1C ．−1或1D ．27．若点P 是曲线 y =4ln x−x 2上任意一点，则点P 到直线 l :2x +y−5ln2=0的距离的最小值为A ．5ln25B ．255C ．552D ．4ln258．质数 (primenumber)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数. 数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过32的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A =“这两个数都是素数”，事件B =“这两个数不是孪生素数”，则 P (B |A )=A ．1011B ．911C ．1315D ．1145二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知空间中三点 A (0,1,0),B (2,2,0),C(−1,3,1)，则下列说法正确的是A ．|AC |=6B ．AB 与 BC 是共线向量C ．AB 和 AC 夹角的余弦值是 1D ．与 BC 同向的单位向量是(−31111,1111,1111)10．关于二项式(2x−1x)6的展开式，下列说法错误的是A．常数项为−60B．有理项的项数为4C．各项系数之和为64D．二项式系数最大的项为第4项11．已知函数f(x)=e x与函数g(x)=x+2x−2的图象相交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点，且x1<x2，则A．y1y2=1B．y x12=e2C．直线MN的斜率k>1D．x2y2>2e2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．某班有50名学生，某次数学考试成绩X∼N(100,σ2)，若P(90≤x≤10)=0.4，则估计该班学生数学成绩超过110分的人数为 .13．已知直线l的方向向量为(−3,m,2)，平面α的法向量为(n,3,4)，且l⊥α，则2m+n= . 14．甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为X n,Y n，则P(x1≥y1)= .若第1轮甲得3分，则P(X4>Y4)= .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f(x)=x−2x−3ln x.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若x∈[1,6],f(x)≤m恒成立，求实数m的取值范围.16．（15分）某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：年份序号x12345招生人数y/百人712131924（1）求该学校招生人数y与年份序号x的相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有较强线性相关程度（0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关程度较强；|r|<0.75，则认为y与x的线性相关程度较弱）；（2）求y关于x的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数.参考公式：相关系数r=n∑i=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2n∑i=1(y i−y)2，回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=n∑i=1(x i−x)(y i−y)n∑i=1(x i−x)2,a=y−b x.参考数据：1740≈41.7.17．（15分）某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元.（1）设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；（2）设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差；（3）如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.18．（17分）请用空间向量的知识解答下列问题：所成角的大小；上一点，四边形BEQF是过B,Q两点的截面，且AC【解析】不超过32的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31共11个，孪生素数有3和 5,5和7,11和13,17和29,29和31，共5组，所以 η(A )=C 211=55,η(AB )=C 211−5=50，所以 P (B |A )=P (AB )P (A )=n (AB )n (A )=1011.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．AD 10．AC【解析】二项式 (2x−13)6展开式的通项 T r +1=C r 6(2x )6−r (−x −12)r =(−1)r C r 626−r x 6−32r (0≤r ≤6,r ∈Z ). 令 6−32r =0，得 r =4，此时 (−1)r C r 626−r =15×4=60，故常数项为60，故 A 错误；若为展开式中的有理项，则 6−32r 为整数，即 r 为偶数，故 r =0,2,4,6时，均满足有理项要求，共有4项，故 B 正确；令 x =1得，(2−1)6=1，所以各项系数之和为1，故 C 错误；展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项，D 正确.11．ACD【解析】由题意 e x =x +2x−2有两个不等的实数根，则 x =ln x +2x−2，令ℎ(x )=x−ln x +2x−2（x >2或x <−2），则ℎ(−x )=−x−ln −x +2−x−2=−ℎ(x )，即 ℎ(x )为奇函数. ℎ′(x )=x 2x 2−4>0,ℎ(x )在 (2,+∞)，(−∞,−2)上均单调递增.若 ℎ(x 1)=0，则 ℎ(−x 1)=0，又 ℎ(x 2)=0，所以 x 1+x 2=0,y 1y 2=e x 1e x 2=e x 1+x 2=1，故 A 正确；若y x 12=ex 1x 2=e 2成立，则有 x 1x 2=2，与 x 1+x 2=0矛盾，故 B 错误；k MN =y 2−y 1x 2−x 1=e x 2−e −x 22x 2，令m (x )=e x −e −x2x(x >2)，则m ′(x )=(x−1)e x +(x +1)e −x2x 2>0，所以 m (x )在(2,+∞)上单调递增，m (x )>m (2)=e 2−e −24>1, C 正确.令 F (x )=x e x ,F ′(x )=(x +1)e x ，当x >2时，F ′(x )>0,F (x )为增函数，所以F (x 2)>F (2)=2e 2，即x 2y 2>2e 2,D 正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．15【解析】因为数学成绩 X ∼N (100,σ2)，由 P (90≤X ≤110)=0.4，可得P (X >110)=0.3，所以该班学生数学成绩超过110分的人数为 0.3×50=15.13．−314．23（2分）； 1727（3分）【解析】由题知每一轮甲得3分的概率为13，得0分的概率为13，得1分的概率为 13，所以P (X 1≥Y 1)=13+13=23；若第1轮甲得3分，则X 4>Y 4对应的甲乙得分情况可能为 (12,0),(10,1)(9,3),(8,2)，(7,4)，(6,3)，所以P (X 4>Y 4)=(13)3+C 13×13×(13)2+C 13×13×(13)2+C 13×13×(13)2+C l 3×13×C l 2×13×13+(13)3=1727.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（1） 解：f (x )=x−2x −3ln(x ,f ′(x )=1+2x 2−3x =(x−1)(x−2)x 2(x >0).…………2分令f ′(x )>0，得x >2或0<x <1；令f ′(x )<0，得1<x <2,所以函数 f (x )的单调递增区间为 (0,1)，(2,+∞)，单调递减区间为 (1,2).…………6分（2） 由（1）知 f (x )在 [1,2]上单调递减，在 [2,6]上单调递增.又 f (1)=−1,f (6)=173−3ln6,f (6)−f (1)=203−3ln6=3(2−ln 6)+23>0，…………10分所以f (6)>f (1), m ≥f (6)=173−3ln6,所以实数m 的取值范围为[173−3ln6,+∞).…………13分16．（1） 解：由题知： x =15(1+2+3+4+5)=3,y =7+12+13+19+245=15,5∑i =1(x i −x )(y i −y )=(1−3)×(7−15)+(2−3)×(12−15)+(3−3)×(13−15)+(4−3)×(19−15)15)+(5−3)×(24−15)=41，5∑i =1(y i −y )2=(7−15)2+(12−15)2+(13−15)2+(19−15)2+(24−15)2=174，3∑i =1(x i −x )2=(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2=10，所以相关系数r =411740≈4141.7≈0.98>0.75，…………6分因此，两个变量具有很强的线性相关程度.…………7分（2） b =n∑i =1(x i −x )(y i −y )n∑i =1(x i −x )2=4110=4.1,a =y−bx =15−4.1×3=2.7，所以y 关于x 的回归直线方程为y =4.1x+2.7.…………12分当 x =7时，y =4.1×7+2.7=31.4,由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为31.4百人.…………15分17．（1） 解：设方案一摸出的红球个数为 X ，则 X 的所有可能取值为1,2,3.P (X =1)=C 14C 22C 35=15,P (X =2)=C 24C 12C 35=35,P (X =3)=C 54C 35=15.X 的分布列为：X 123P153515所以 E (X )=1×15+2×35+3×15=2,D (X )=15×(1−2)2+35×(2−2)2+15×(3−2)2=25.…………6分（2） 设方案二摸出的红球个数为 Y ，则 Y 的所有可能取值为 0,1,2,3.,. 则 Y ∼B (3,23).所以E (Y )=3×23=2,D (Y )=3×23×(1−23)=23.…………12分（3） 因为E (X )=E (Y ),D (X )<D (Y )，即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定，所以应选择方案一的抽奖方式.…………15分18．（1） 解：因为 PB ⊥AC ,AB ⊥AC ,PB ∩AB =B ,PB ⊂平面 PAB ,AB ⊂平面 PAB ,所以 AC ⊥平面 PAB .又 AC ⊂平面 ABCD ，所以平面 ABCD ⊥平面 PAB .…………2分取 AB 中点 H ，连接 PH ,则在等边三角形 PAB 中，PH ⊥AB ,PH =3，又平面 ABCD ∩平面 PAB =AB ，所以 PH ⊥平面 ABCD ，…………3分如图，以 A 为原点，分别以 AB ,AC 为 x ,y 轴的正方向建立空间直角坐标系 A−xyz ,则 A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,23,0)，D(−2,23,0)，P (1,0,3),AC =(0,23,0)，DP =(3,−23,3)，…………5分设 PD 与平面 PAB 所成角为 θ，则 AC =(0,23,0)是平面 PAB 的一个法向量，…………6分所以 sin θ=|cos⟨AC ,DP⟩|=|AC ⋅DP ||AC |⋅|DP |=22，所以 θ=π4，即PD 与平面PAB 所成角的大小为π4.…………8分BEQF与平面PAD所成角的余弦值为35根据零点存在定理可知，∃x2∈(x1,2)，使得f(x2)=0.综上所述，f(x)在R上的零点个数为2.…………17分。

向量函数的微分法则
我们要理解向量函数的微分法则。

首先，我们需要知道什么是向量函数。

向量函数是定义在实数集上的向量值函数，它返回一个向量而不是标量。

例如，一个向量函数可能是这样的形式：f(x) = <f1(x), f2(x), ..., fn(x)>，其中f1(x), f2(x), ..., fn(x)都是实数集上的函数。

当我们对向量函数进行微分时，我们得到一个向量微分，而不是标量微分。

向量的微分是由函数的雅可比矩阵定义的，它是一个矩阵，其元素是偏导数。

具体来说，对于向量函数f(x) = <f1(x), f2(x), ..., fn(x)>，其雅可比矩阵是：J = [∂f1/∂x1, ∂f1/∂x2, ..., ∂f1/∂xn]
[∂f2/∂x1, ∂f2/∂x2, ..., ∂f2/∂xn]
...
[∂fn/∂x1, ∂fn/∂x2, ..., ∂fn/∂xn]
这就是向量函数的微分法则。

大学向量函数知识点总结一、向量函数的定义1. 向量函数的概念向量函数是一个从实数集到向量空间的映射，它通常由一个或多个实变量的函数分量组成，每个函数分量都是实数到向量的映射。

向量函数可以用一般形式表示为：\begin{align*}\mathbf{r}(t) = \begin{bmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \\ f_3(t) \end{bmatrix}\end{align*}其中，\(\mathbf{r}(t)\)是一个三维向量函数，\(f_1(t)\)、\(f_2(t)\) 和 \(f_3(t)\)是关于实变量\(t\)的函数分量。

2. 向量函数的定义域与值域对于向量函数 \(\mathbf{r}(t)\)，其定义域通常是实数集，即 \(t\) 可以取任意实数值。

而值域是由函数分量的取值范围所决定的。

3. 向量函数的图像向量函数的图像通常是在三维坐标系中的曲线或曲面，它描述了随着参数变化而变化的向量在空间中的轨迹。

二、向量函数的性质1. 向量函数的连续性向量函数在定义域上的连续性是指当自变量的取值趋于某一实数时，函数值也趋于一个确定的向量。

向量函数的连续性与函数分量的连续性有关，只有当函数分量都是连续的时候，向量函数才是连续的。

2. 向量函数的可微性向量函数的可微性常常用来描述函数在某一点处的变化率。

如果向量函数在某一点处可微，则其在该点的微分近似等于函数值的变化量。

向量函数的可微性与函数分量的可微性有关，只有当函数分量都是可微的时候，向量函数才是可微的。

3. 向量函数的导数向量函数的导数描述了函数在某一点处的变化率和方向。

向量函数的导数通常表示为\(\mathbf{r}'(t)\) 或 \(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\)，它是一个与给定参数\(t\)相关的向量。

向量函数的导数可以用分量形式表示为：\begin{align*}\mathbf{r}'(t) = \begin{bmatrix} f_1'(t) \\ f_2'(t) \\ f_3'(t) \end{bmatrix}\end{align*}其中，\(f_1'(t)\)、\(f_2'(t)\) 和\( f_3'(t)\)分别是函数分量\(f_1(t)\)、\(f_2(t)\) 和\(f_3(t)\)关于\(t\)的导数。

向量的微分
向量的微分是一种重要的数学概念，它是求解向量函数的变化率的一种方法。

它可以用来
描述物理系统中的变化，如力、速度、加速度等。

向量的微分可以用来描述物理系统中的变化，它可以用来求解向量函数的变化率。

它可以
用来描述物理系统中的变化，如力、速度、加速度等。

向量的微分可以用来求解向量函数
的变化率，它可以用来描述物理系统中的变化，如力、速度、加速度等。

向量的微分可以用来求解向量函数的变化率，它可以用来描述物理系统中的变化，如力、
速度、加速度等。

它可以用来求解向量函数的变化率，以及物理系统中的变化，如力、速度、加速度等。

向量的微分可以用来求解向量函数的变化率，它可以用来描述物理系统中的变化，如力、
速度、加速度等。

它还可以用来求解向量函数的极限，以及物理系统中的变化，如力、速度、加速度等。

向量的微分可以用来求解向量函数的变化率，它可以用来描述物理系统中的变化，如力、
速度、加速度等。

它还可以用来求解向量函数的极限，以及物理系统中的变化，如力、速度、加速度等。

此外，它还可以用来求解向量函数的极限，以及物理系统中的变化，如力、速度、加速度等。

总之，向量的微分是一种重要的数学概念，它可以用来求解向量函数的变化率，以及物理系统中的变化，如力、速度、加速度等。

它可以用来求解向量函数的极限，以及物理系统
中的变化，如力、速度、加速度等。

它是一种重要的数学概念，可以用来描述物理系统中
的变化，并且可以用来求解向量函数的变化率。

因此，向量的微分在物理学和数学中都有
着重要的作用。

向量微积分数学物理方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：向量微积分是数学物理方法中的一种重要工具，广泛应用于物理学、工程学和计算机科学中。

向量微积分涉及到对矢量变量的微积分运算，包括矢量函数的微分、积分和微分方程等内容。

在物理学中常常用来描述力、速度、加速度等量的运动规律，而在工程学中则常用来解决各种复杂的问题，比如电路分析、流体力学和结构力学等。

向量微积分的基本概念包括矢量的定义、运算法则和坐标系等内容。

一个矢量通常用箭头表示，箭头的长度代表了矢量的大小，箭头的方向则代表了矢量的方向。

矢量的大小叫做模长，通常用符号|a|表示，矢量的方向可以用角度或者单位矢量来表示。

在笛卡尔坐标系中，一个三维矢量a可以表示为a = a1a + a2a + a3a，其中a1、a2、a3是a - 三个分量，a、a、a是三个单位矢量，分别指向x、y、z三个坐标轴的正方向。

向量的加法与减法是向量运算中的两个基本运算，具有与实数加法和减法相似的性质。

如果有两个向量a = a1a + a2a + a3a和a = a1a + a2a + a3a，则它们的和为a + a = (a1 + a1)a + (a2 +a2)a + (a3 + a3)a，差为a - a = (a1 - a1)a + (a2 - a2)a + (a3 - a3)a。

两个向量的数量积和矢量积也是向量微积分中的重要运算，数量积表示了两个向量之间的夹角关系，而矢量积则表示了两个向量之间的垂直关系。

在向量微积分中，矢量函数的导数和积分是矢量微积分的核心内容。

对于一个矢量函数a(a) = a1(a)a + a2(a)a + a3(a)a，它的导数定义为a'(a) = a1'(a)a + a2'(a)a + a3'(a)a，其中a1'(a)、a2'(a)、a3'(a)分别代表了矢量函数a在t时刻各个分量的导数。

sympy 向量值函数Sympy是一种强大的数学库，提供了许多数值解决方案，包括求导、积分、方程、线性代数、向量值函数等。

Sympy向量值函数是指由向量构成的函数，而这些向量可能是在一个三维空间中。

在本篇文章中，我们将分步骤阐述如何使用Sympy库处理向量值函数。

步骤一：定义向量值函数首先，我们需要定义一个向量值函数，代表一个由向量构成的函数。

通常，我们可以使用向量的坐标形式或参数形式来表示向量值函数。

以参数形式为例，可以定义一个向量值函数r(t) = <3cos(t),3sin(t), 4t>。

步骤二：导入Sympy接下来，我们需要在Python程序中导入Sympy库。

通常，我们可以使用以下指令来导入Sympy库：import sympy as sp步骤三：定义向量一旦我们导入了Sympy库，我们可以开始定义向量。

在本例中，我们需要定义x、y和z的符号。

我们可以使用以下代码来实现：x, y, z = sp.symbols('x y z')步骤四：定义向量值函数的符号表示接着，我们需要使用符号表示向量值函数。

我们可以使用以下代码来实现：r = sp.Matrix([3 * sp.cos(t), 3 * sp.sin(t), 4 * t])步骤五：向量求导在计算向量值函数时，我们经常需要对其进行求导，以便获得曲线的切向量和法向量。

在Sympy中，我们可以使用diff函数进行向量求导。

以下代码演示了如何求取向量值函数的导数：dr = r.diff(t)步骤六：求取向量值函数的长度要求取向量值函数的长度，我们可以使用magnitude函数。

以下代码演示了如何使用magnitude函数，以求取向量值函数r(t)的长度：r_magnitude = sp.simplify(sp.sqrt(r.dot(r)))此指令将返回一个代表向量值函数r(t)的长度的符号表达式。

步骤七：绘制向量值函数最后，我们可以使用matplotlib库来绘制向量值函数的图像。

[理学]微积分第10章总结第十章微分方程,§1、微分方程的基本概念,１微分方程的定义：含有未知函数的倒数（或微分）的方程，称为微分方程。

未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程称为偏微分方程,如：,均为微分方程，简称为方程,,,删掉偏微分方程,,２微分方程的阶的定义：微分方程中出现的未知函数导数或微分的最高阶数，称为微分方程的阶,N阶常微分方程的一般形式是：,主要问题-----求方程的解,微分方程的解的定义:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之微分方程的解.,微分方程的解的分类：,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,通解,解的图象:微分方程的积分曲线.,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,10.2一阶微分方程,10.2.1可分离变量的方程10.2.2齐次方程10.2.3一阶线性微分方程,解答步骤,,f(x)g(y)分别是x,y,的连续函数，g(y)≠0,,对x,y分别积分,,,的原函数为G(y),f(x)的原函数为F(x),G(y)=F(x)+C,,,例题,齐次方程,,解题步骤,注意：齐次方程中x与y一般是不能分离的,令,对y=ux两边分别微分,dy=udx+xdu,,代入原式,,对其分离变量,,两边分别积分,将,代入即得出通解,例题,,,令y=ux,dy=xdu+udx代入上式,分离变量，得,,两边同时积分,,,,一阶线性微分方程,解题步骤,,转化为,（对应齐次微分方程）,一阶线性微分方程的解=（对应齐次方程的通解+自身的特解）,,分离变量，两边同时积分,,令c=c(x),dui,(对应齐次方程的通解),,代入原式，将其求导一同代入原式,再对其积分,自身方程的通解,例题,求微分方程,满足x=1,y=1的特解,,,,积分，令c=c(y),将x=c(y).y及,代入原方程得,,,C(y)=-y+c,,X=y(-y+c),将x=1,y=1代入上式得c=2,,,特解,§10.3高阶微分方程,N阶线性微分方程解的结构N阶线性微分方程的一般形式：y(n)+a1(x)y(n-1)+…+an-1(x)y’+an(x)y=f(x)其中a1(x),a2(x),…,an(x),f(x)都为自变量x的已知函数。