Riccati微分方程特解的向量场分析法

代数Riccati方程和卡尔曼-布什滤波器（Kalman-Bucy Filter）是控制理论和信号处理中的重要概念。

1. 代数Riccati方程：- 定义：代数Riccati方程是一个关于对称矩阵的线性偏微分方程，它在最优控制、线性二次调节器（LQR）和鲁棒控制等领域有广泛应用。

- 形式：代数Riccati方程通常表示为\dot{P} = -PAP + PBR^{-1}BP - P + S其中$P$ 是一个对称矩阵，$A$ 和$B$ 是系统矩阵，$R$ 是权重矩阵，是代价函数的正定项。

- 解法：求解代数Riccati方程通常使用数值方法，如有限差分法、有限元法等。

此外，对于特定形式的系统矩阵和代价函数，也可以使用解析方法求解。

2. 卡尔曼滤波器：- 定义：卡尔曼滤波器是一种递归滤波器，用于估计状态变量的最优估计值。

它广泛应用于导航、控制系统和信号处理等领域。

- 原理：卡尔曼滤波器基于状态方程和观测方程，通过预测和更新两个步骤来递归估计状态变量的最优值。

它采用最小方差估计方法，使得估计误差的协方差矩阵最小。

- 形式：卡尔曼滤波器的核心是卡尔曼增益矩阵和状态更新方程，分别表示为K = P_k|k-1 H^T / (H P_k|k-1 H^T + R)\hat{x}_k|k = \hat{x}_k|k-1 + K(z_k - H \hat{x}_k|k-1)其中$\hat{x}_k|k$ 和$\hat{x}_k|k-1$ 分别表示状态变量的最优估计值和预测值，$z_k$ 是观测值，$H$ 是观测矩阵，$P_k|k-1$ 和$P_k|k$ 分别表示预测误差的协方差矩阵和更新后的协方差矩阵，$R$ 是观测噪声的协方差矩阵。

- 扩展：卡尔曼滤波器有多种扩展形式，如扩展卡尔曼滤波器（EKF）、无迹卡尔曼滤波器（UKF）和粒子滤波器（Particle Filter）等。

这些扩展形式适用于非线性系统和非高斯噪声系统。

世界著名难题黎卡提(Riccati)方程的解法林文业湛江公路工程大队 邮编:52400 电话0668-8322239摘要: 对于黎卡提(Riccati)方程)()()(/2x r y x q y x p dx dy ++=,本文先将其化为二阶线性微分方程,再由《关于高阶线性微分方程的一般解法》(2000年《湛江师范学报.增刊》发表)提供的方法,求得通解。

关键词: 黎卡提(Riccati)方程；通解 一. 方程的线性化及求解对于黎卡提(Riccati)方程 )()()(/2x r y x q y x p dx dy ++= (1.1) 其中)(x p 在[]b a ,上一阶可导,且0)(≠x p ,)(x q 、)(x r 在[]b a ,上连续, a 、b 为实数。

设Y x f y )(=，0)(≠x f ，则(1.1)化为)()()()()()()()(2x f x r Y x f x f x f x q Y x f x p Y +'-+=' (1.2) 令)(1)(x p x f =,则(1.2)为 )()()()()()(2x r x p Y x p x p x q x p Y Y +'++=' 设)()()()()(x p x p x q x p x g '+=,)()()(x r x p x h =,则上式变为 )()(2x h Y x g Y Y ++=' (1.3) 设zz Y '-=(0≠z ),则(1.3)化为 z x h z x g z )()(-'='' (1.4) 令j x i z )(=,0)(≠x i ,则(1.4)化为j x i x i x i x h x i x g j x i x i x i x g j )()()()()()()()(2)()(''--'+''-='' (1.5) 令 0)(2)()(='-x i x i x g , (1.6) 则(1.4)化为j x i x i x i x h x i x g j )()()()()()(''--'='' 简记为j x k j )(='' 其中)()()()()()()(x i x i x i x h x i x g x k ''--'=(1.7)解(1.6),得 ⎰=dx x g e x i )(21)( 代入(1.7),得())(21)()(41)(2x g x h x g x k '--= (1.8) 由《关于高阶线性微分方程的一般解法》(2000年《湛江师范学报.增刊》发表)提供的方法,求得微分方程j x k j )(=''的通解为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋯⋯++⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋯⋯++⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--x a x a x a m x a x a x a x a m x a dx j x k dx dx x x k x k dx x x k x C dx j x k dx dx x k x k dx x k C x j 2)1(2222222222)1(122222221)()()()()()()()()()()())(()())((1)(其中)()()()()()(21)()()()(41)(2x r x p x p x p x q x p x p x p x q x p x k -'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=,[]b a x ,∈, 1C ,2C 为任意常数。

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９ ２４一类Ｒｉｃｃａｔｉ方程的可解的条件一类Ｒｉｃｃａｔｉ方程的可解的条件Һ宋华兵㊀(肇庆学院数学学院ꎬ广东㊀肇庆㊀５２６０６１)㊀㊀ʌ摘要ɔ本文讨论了Ｒｉｃｃａｔｉ方程在特定约束条件下ꎬ转化为可解的微分方程ꎬ得到方程的特解ꎬ并通过变换得到其通解ꎬ从而丰富了Ｒｉｃｃａｔｉ方程的求解方法.ʌ关键词ɔＲｉｃｃａｔｉ方程ꎻ约束条件ꎻ求解方法一㊁引㊀言Ｒｉｃｃａｔｉ方程的一般形式如下ｄｙｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｙ２＋Ｑ(ｘ)ｙ＋Ｒ(ｘ)ꎬ(１)其中ꎬＰ(ｘ)ꎬＱ(ｘ)ꎬＲ(ｘ)为区间[ａꎬｂ]上的连续可微函数ꎬ且Ｐ(ｘ)ʂ０ꎬ１８４１年法国数学家Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ证明此方程没有初等解法ꎬ但如果满足可积的充分条件[６]ꎬ求得Ｒｉｃｃａｔｉ方程的一个特解[２ꎬ３]ꎬ则可以通过变换得到其通解[４ꎬ５]ꎬ由于Ｒｉｃｃａｔｉ方程在控制[６]及非线性方程[７]领域具有重要应用ꎬ对Ｒｉｃｃａｔｉ方程的求解可提高其应用价值.本文介绍了一种新的Ｒｉｃｃａｔｉ方程约束条件ꎬ并得到一类Ｒｉｃｃａｔｉ方程的解.二㊁主要结论及求解过程对式(１)的Ｒｉｃｃａｔｉ方程ꎬ若Ｑ(ｘ)可表示成形如Ｑ(ｘ)＝Ｐ(ｘ)φ(ｘ)的格式ꎬ其中φ(ｘ)Ｐ(ｘ)为[ａꎬｂ]上的连续可微函数ꎬ则方程(１)便有如下形式:ｄｙｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｙ２＋Ｐ(ｘ)φ(ｘ)ｙ＋Ｒ(ｘ)ꎬ(２)可写成:ｄｙｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｙ[ｙ＋φ(ｘ)]＋Ｒ(ｘ).因为ｙ(ｘ)ꎬＰ(ｘ)ꎬφ(ｘ)ꎬＲ(ｘ)皆为关于ｘ的函数ꎬ若令ｙ＋φ(ｘ)＝１ꎬ(３)则有ｄｙｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｙ＋Ｒ(ｘ)ꎬ有解ｙ~＝ｅʏＰ(ｘ)ｄｘ(ʏＲ(ｘ)ｅ－ʏＰ(ｘ)ｄｘｄｘ＋Ｃ)ꎬ将其代入式(３)得:φ(ｘ)＝１－ｅʏＰ(ｘ)ｄｘ(ʏＲ(ｘ)ｅ－ʏＰ(ｘ)ｄｘｄｘ＋Ｃ)ꎬ(４)Ｑ(ｘ)＝Ｐ(ｘ)φ(ｘ)＝Ｐ(ｘ)(１－ｙ~)＝Ｐ(ｘ)－Ｐ(ｘ)ｅʏＰ(ｘ)ｄｘ(ʏＲ(ｘ)ｅ－ʏＰ(ｘ)ｄｘｄｘ＋Ｃ)ꎬ(５)其中ꎬＣ为任意常数.结论１㊀对形如(２)式的Ｒｉｃｃａｔｉ方程ꎬ当Ｐ(ｘ)ꎬφ(ｘ)ꎬＲ(ｘ)满足条件(４)时ꎬ方程(２)有形如ｙ~＝ｅʏＰ(ｘ)ｄｘ(ʏＲ(ｘ)ｅ－ʏＰ(ｘ)ｄｘｄｘ＋Ｃ)的特解ꎬ其中ꎬＣ为任意常数.此时ꎬ设ｙ(ｘ)＝ｚ(ｘ)＋ｙ~(ｘ)为方程(２)的解ꎬ则有ｄｙｄｘ＝ｄｚｄｘ＋ｄｙ~ｄｘ＝Ｐ(ｘ)(ｚ＋ｙ~)２＋Ｐ(ｘ)φ(ｘ)(ｚ＋ｙ~)＋Ｒ(ｘ)＝Ｐ(ｘ)ｚ２＋(２Ｐ(ｘ)ｙ~＋Ｐ(ｘ)φ(ｘ))ｚ＋Ｐ(ｘ)ｙ~２＋Ｐ(ｘ)φ(ｘ)ｙ~＋Ｒ(ｘ)ꎬ可得伯努利方程:ｄｚｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｚ２＋(２Ｐ(ｘ)ｙ~＋Ｐ(ｘ)φ(ｘ))ｚ＝Ｐ(ｘ)ｚ２＋Ｐ(ｘ)(２ｙ~＋φ(ｘ))ｚ.由式(３)得ｄｚｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｚ２＋Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｚ.(６)令ｕ＝ｚ－１ꎬ有ｄｕｄｘ＝－１ｚ２ｄｚｄｘꎬ则ꎬ式(６)可化为ｄｕｄｘ＝－Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｕ－Ｐ(ｘ)ꎬ有解ｕ＝ｅʏ－Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘ(－ʏＰ(ｘ)ｅʏＰ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘｄｘ＋Ｃ~)ꎬ其中ꎬＣ~为任意常数.ｚ＝１ｕ＝１ｅʏ－Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘ(－ʏＰ(ｘ)ｅʏＰ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘｄｘ＋Ｃ~)ꎬｙ＝ｚ＋ｙ~＝１ｅʏ－Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘ(－ʏＰ(ｘ)ｅʏＰ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘｄｘ＋Ｃ~)＋ｙ~.(７)结论２㊀如果Ｒｉｃｃａｔｉ方程中的Ｐ(ｘ)ꎬＱ(ｘ)ꎬＲ(ｘ)满足条件(４)ꎬ则方程(２)的通解为:ｙ＝ｚ＋ｙ~＝１ｅʏ－Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘ(－ʏＰ(ｘ)ｅʏＰ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘｄｘ＋Ｃ~)＋ｙ~ꎬ其中ꎬｙ~＝ｅʏＰ(ｘ)ｄｘ(ʏＲ(ｘ)ｅ－ʏＰ(ｘ)ｄｘｄｘ＋Ｃ)ꎬＣꎬＣ~为任意常数.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９ ２４三㊁应用举例例１㊀当Ｐ(ｘ)＝１ꎬＲ(ｘ)＝１时ꎬφ(ｘ)＝２－ｃｅｘꎬ验证ｙ＝ｃｅｘ－１为方程ｄｙｄｘ＝ｙ２＋(２－ｃｅｘ)ｙ＋１的一个特解.证㊀方程左边ꎬｄｙｄｘ＝ｃｅｘꎬ右边＝ｙ２＋(２－ｃｅｘ)ｙ＋１＝(ｃｅｘ－１)２＋(２－ｃｅｘ)(ｃｅｘ－１)＋１＝ｃｅｘꎬ方程两边相等ꎬ证毕.例２㊀求ｄｙｄｘ＝ｘｙ２＋ｘ(１－ｅｘ２２ʏｅ－ｘ２２ｄｘ－ｅｘ２２)ｙ＋１的解.解㊀因为Ｐ(ｘ)＝ｘꎬＲ(ｘ)＝１ꎬＱ(ｘ)＝ｘ１－ｅｘ２２ʏｅ－ｘ２２ｄｘ－ｅｘ２２()满足条件(４)ꎬ由结论１ꎬ原方程有特解:ｙ~＝ｅｘ２２ʏｅ－ｘ２２ｄｘｄｘ＋ｅｘ２２ꎬ由结论２ꎬ原方程的通解为:ｙ＝１ｅʏ－ｘ(ｙ~＋１)ｄｘ(－ʏｘｅʏｘ(ｙ~＋１)ｄｘｄｘ＋Ｃ~)＋ｙ~ꎬ其中ꎬＣ~为任意常数.ʌ参考文献ɔ[１]李天林.黎卡提方程可积的一个充分条件[Ｊ].数学通报ꎬ１９９１(５):４０－４１.[２]王明建.Ｒｉｃｃａｔｉ微分方程特解新求法的研究[Ｊ].数学的实践与认识ꎬ２００６(７):３８２－３８６.[３]保继光.Ｒｉｃｃａｔｉ方程的特解[Ｊ].数学通报ꎬ２０００(１０):４１－４２.[４]张玮玮.一类特殊类型的Ｒｉｃｃａｔｉ方程的求解[Ｊ].安庆师范学院学报(自然科学版)ꎬ２０１５(２):１１０－１１１.[５]贾庆菊ꎬ冯文俊ꎬ武跃祥.某些黎卡蒂(Ｒｉｃｃａｔｉ)方程的解[Ｊ].中央民族大学学报(自然科学版)ꎬ２０１３(１):４８－５１.[６]ＲｏｇｅｒｓＣꎬＳｃｈｉｅｆＷＫ.ＢａｃｋｌｕｎｄａｎｄＤａｒｂｏｕｘＴｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎＧｅｏｍｅｔｒｙａｎｄＭｏｄｅｒｎＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｉｎＳｏｌｉｔｏｎｓＴｈｅｏｒｙ[Ｍ].Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ:ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓꎬ２００２.[７]ＲｉｃｈａｒｄＤａｖｉｅｓꎬＰｅｎｇｓｈｉａｎｄＲｏｎＷｉｌｔｓｈｉｒｅ.Ｎｅｗｕｐｐｅｒｓｏｌｕｔｉｏｎｂｏｕｎｄｓｆｏｒｐｅｒ－ｔｕｒｂｅｄｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓａｌｇｅｂｒａｉｃＲｉｃｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎｓａｐｐｌｉｅｄｔｏａｕｔｏｍａｔｉｃｃｏｎｔｒｏｌ[Ｊ].ＣｈａｏｓꎬＳｏｌｉｔｏｎｓａｎｄＦｒａｃｔａｌｓꎬ２００７(３２):４８７－４９５.㊀(上接１５页)㊀㊀注意:复合函数求导时ꎬ要由外往里层层应用整体思维进行复合求导ꎬ在此过程中ꎬ把哪个部分看成整体就在右边乘这个整体的导数ꎬ直到最后的那个整体是基本初等函数或简单函数为止.四㊁凑微分法求积分应用整体思维ꎬ可以把积分公式ʏｆ(ｘ)ｄｘ＝Ｆ(ｘ)＋ｃ看成:㊀ʏｆ(Ѳ)ｄѲ＝Ｆ(Ѳ)＋ｃ(这里Ѳ表示一个整体).例６㊀求不定积分ʏｅ２ｘｄｘ.分析㊀把２ｘ看成一个整体ꎬ把微分凑成２ｘꎬ则转化为ʏｅѲｄѲꎬ这是可以直接用积分公式的ꎬ于是有:ʏｅ２ｘｄｘ＝１２ʏｅ２ｘｄ(２ｘ)＝ｅ２ｘ２＋ｃ.例７㊀求不定积分ʏｓｉｎ１ｘｘ２ｄｘ.分析㊀把被积函数看成ｓｉｎ１ｘ和１ｘ２两个部分ꎬ从整体看ꎬ可以把１ｘ２ｄｘ凑成－ｄ１ｘ()ꎬ然后把１ｘ看成一个整体ꎬ可以直接利用积分公式得出结果ꎬ即:ʏｓｉｎ１ｘｘ２ｄｘ＝－ʏｓｉｎ１ｘｄ１ｘ()＝ｃｏｓ１ｘ()＋ｃ.由以上我们可以得出ꎬ利用整体思维解决问题ꎬ一般是三个步骤ꎬ第一步:找准整体对象ꎬ即把哪个部分看成是一个整体ꎻ第二步:进行等值变换ꎬ即把用整体替换后的式子进行等值变换使其与原来的式子相等ꎻ第三步:利用已知的数学结论得出计算结果.ʌ参考文献ɔ[１]柳重堪.高等数学(上册第一分册)[Ｍ].北京:国家开放大学出版社ꎬ１９９９.[２]李林曙ꎬ黎诣远.经济数学基础(微积分)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００４.[３]赵坚ꎬ顾静相.微积分初步[Ｍ].北京:中央广播电视大学出版社ꎬ２００６.[４]曾亮.整体概念在高等数学教学中的应用[Ｊ].高等函授学报(自然科学版)ꎬ２０１０(２):４８－５０.。

首先，我们需要了解这四个方程各自的定义和特性。

1.Riccati方程：Riccati方程是一个二阶线性微分方程，通常用于控制理论和滤波器设
计。

它的一般形式是：
(y''(t) + a(t)y'(t) + b(t)y(t) = 0)
其中，(a(t)) 和 (b(t)) 是时间 t 的函数。

2.摇摆方程：摇摆方程（也称为摆动方程或振动方程）描述的是一个物理系统在受到
某种力（如重力）作用下的运动。

一个常见的形式是：
(m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg\sin y)
其中，m 是质量，g 是重力加速度，y 是位移。

3.Levine-Athans 方程：Levine-Athans 方程是一个用于解决库存问题的数学模型。

它
描述了在一定时间内库存如何变化，通常用于供应链管理和生产计划。

4.输出方程：输出方程通常用于描述一个系统的输出与输入或其他系统参数之间的关
系。

具体的方程形式取决于系统的特性和需求。

综上所述，这四个方程各自描述了不同的物理现象或系统行为，没有一个是另一个的简写或特例。

因此，它们之间没有直接的关系或相似性。

谈几种Riccati方程的特解及解法作者：高金萍来源：《中国教育与教学研究》2013年第05期【摘要】本文对于有些Riccati方程，根据其系数函数的特殊内在关系，借助初等变换，讨论了其求解问题。

【关键词】Riccati方程；特解；Bernoulli方程；行列式；初等变换On the Solving methods for some kinds of Riccati equationGao Jin-ping【Abstract】this essay mainly discusses the solving methods some kinds of Riccati equations according to the special inner relations of their coefficient functions and the usage of elementary transformation.【Key words】Riccati Equation； Particular Solution； Bernoulli Equation； Determinant；Elementary Transformation.一、引言由牛顿（Newton，1642-1727）和莱不尼兹（Lenbinz，1646-1716）所创立的微积分，是人类科学史上重大的发现，而微积分的产生与发展，和人们求解微分方程有密切关系。

所谓微分方程，就是联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数的方程。

在物理学、化学、生物学、工程技术和某些社会科学中的大量问题一旦加以精确的数学描述，往往会出现微分方程，这说明，微分方程的确有十分广泛的应用。

一般的微分方程不一定有初等解法，如曾Bessel方程就没有初等解法，对于形式上十分简单的Riccati方程dydx =P（x） y2+Q（x） y+R（x）（1）其中P（x）、 Q（x）、 R（x）∈c[a，b]， P（x）≠0。

连续时间代数riccati方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：连续时间代数Riccati方程是一类重要的微分代数方程，广泛应用于控制理论、动力系统、信号处理等领域。

它可以描述系统状态随时间演化的动态过程，并在实际应用中发挥着重要作用。

本文将介绍连续时间代数Riccati方程的基本概念、求解方法和应用领域。

一、基本概念连续时间代数Riccati方程是一种特殊的矩阵微分方程，定义如下：\dot{P}(t) = -A^T P(t) - P(t)A - P(t)B R^{-1} B^T P(t) + QP(t)是一个对称矩阵，称为Riccati方程的解；A、B、R、Q分别是给定的矩阵，分别代表系统的状态矩阵、输入矩阵、状态-输入权重矩阵和状态-状态权重矩阵。

连续时间代数Riccati方程的特点在于，它不仅包含了状态矩阵的演化动态，还考虑了系统输入和权重矩阵对系统状态的影响。

Riccati 方程可以描述系统在连续时间下的状态演化规律，是控制理论中的重要工具。

二、求解方法对于一般的连续时间代数Riccati方程，其解并不容易求解。

针对特定情况下的Riccati方程，可以采用不同的方法进行求解。

常用的求解方法包括：1. Lyapunov方程法：将Riccati方程转化为Lyapunov方程进行求解；2. 反应敏感性法：通过求解线性化的Riccati方程，然后利用反应敏感性理论进行逼近求解；3. 近似法：将Riccati方程展开成级数，通过截断级数求解近似解。

这些方法在实际应用中都有其适用范围，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。

三、应用领域连续时间代数Riccati方程在控制理论、动力系统、信号处理等领域有着广泛的应用。

一些典型的应用包括：1. 线性二次型控制：Riccati方程是线性二次型控制理论的核心工具，用于设计最优控制器，实现控制系统的性能优化；2. 动态系统稳定性分析：通过求解Riccati方程，可以分析系统的稳定性和受控性，评估系统的运动特性；3. 鲁棒控制设计：Riccati方程在鲁棒控制设计中起着重要作用，可以设计具有鲁棒性能的控制器。

求一类Riccati微分方程通解的分项组合法王桂花;王明建【摘要】讨论了一类Riccati微分方程的通解,得到了它可以使用分项组合法的充要条件,为寻求Riccati微分方程的通解提供了有效的方法,并给出了它的应用.【期刊名称】《西安文理学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(014)002【总页数】3页(P46-48)【关键词】Riccati微分方程;通解;分项组合法;充要条件【作者】王桂花;王明建【作者单位】郑州师范学院数学系,河南郑州450044;郑州师范学院数学系,河南郑州450044【正文语种】中文【中图分类】O177.5(其中 P(x)、Q(x)和 R(x)都是定义域 D上的连续可微函数,且P(x)R(x)≠0)一般没有初等积分解法[1],求通解的途径是:预先知道 (1)的一个特解,再利用初等变换y=z+y0,使之变为 Bernoulli方程再求解.然而求(1)一个特解的难度并不亚于求其通解.本文把分项组合和积分因子两种方法同时应用到(1)上,得到了(1)中一类方程可以使用分项组合法的充要条件,为寻求 Riccati方程的通解提供了有效的方法,并给出了它的一些应用.众所周知,非线性 Riccati微分方程1 主要结果及证明首先给出以下两个引理引理 1[2]如果存在连续可微的函数μ=μ(x,y)≠0,使得为一全微分方程,即存在函数 v=v(x,y),使得则函数μ=μ(x,y)为方程的一个积分因子.引理 2[3]方程 (4)存在积分因子μ=μ(x,y)的充要条件是其中μ=μ(x,y),M=M(x,y),N=N(x,y)都是定义域D上的连续可微函数.使用分项组合法求解微分方程的通解,与明确其积分因子是密不可分的.定理 1 如果方程(1)中的系数函数 P(x)、Q(x)和 R(x)都是定义域D上的非分式函数,那么 (1)有通解为任意常数)的充要条件是:成立(其中2Py+Q≠0).证明必要性易证,只证充分性.由(1)得两边同除以得显然,对于(7)的后一项,考察微分把 (6)的条件代入,即知 (1)有通解(其中2Py+Q≠0).定理 2 如果方程(1)中的系数函数 P(x)、Q(x)和 R(x)都是定义域D上的非分式函数,那么 (1)有通解为任意常数)的充要条件是之一成立.证明只证必要性.(1)变形得两边同除以ex(y±1)2得显然,对于(9)的后一项,考察微分如果(1)有通解(C为任意常数),将(10)式与 (9)式的后一项对比,必有方程组合并统一后即为条件 (8).2 应用举例例 1[4-6] 求 Riccati方程的通解.解因为这里2(PQ′-P′Q)=PQ2-4P2R=-4e3x,所以可作如下的分项组合两边同乘以得即故方程有通解(其中 C为任意常数).例 2[5-6] 求 Riccati方程的通解.解因为这里Q=1-2x=-2x+1=-2R+1,所以可作如下的分项组合两边同乘以得即故方程有通解(其中 C为任意常数).3 结论使用 Riccati方程的分项组合法,首先应满足使用它的条件,如果对应于各定理的条件成立,那么寻找它的积分因子应该是不困难的,从而用分项组合法解(1)也是明确和易行的,尽管某些方程具有多个变量的积分因子.[参考文献][1] 王高雄.常微分方程 (第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006:72.[2] 丁同仁.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社,1991:44.[3] 都长青.常微分方程 (修订版)[M].北京:高等教育出版社,1991:21.[4] 庄万.常微分方程习题与解答[M].北京:高等教育出版社,1991:156.[5] A·菲利波夫.常微分方程习题集[M].孙广成,张德厚译.上海:上海科学技术出版社,1981:277.[6] 王明建.常微分方程 -内容、思想方法和技巧[M].吉林:吉林大学出版社,2007:27.。

编号 090901228毕业论文( 2013 届本科）题目：浅谈黎卡提的求解学院: 数学与统计学院专业：数学与应用数学作者姓名: 吴大婷指导教师：张飞羽职称：教授完成日期： 2013 年 5 月 30 日二○一三年四月浅谈黎卡提方程的求解吴大婷指导老师：张飞羽（河西学院数学与应用数学专业2013届2班28号, 甘肃张掖734000)摘要著名的黎卡提方程是一个部分可积的非线性常微分方程，本文给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件,使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解，并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示。

此外，本文还提出了黎卡提方程的另一种解法,即将它转化为二阶齐次性微分方程，再根据朗斯基定理，得出其通解.关键词黎卡提方程；初等积分法；分离变量；伯努利方程；朗斯基；中图分类号O175。

14The Solution of Riccati EquationWu Dating Instructor Zhang Feiyu(No。

28，Class 2 of 2013, Specialty of Mathematics and Applied Mathematics,Hexi University，Zhangye,Gansu，734000）Abstract: The Riccati equation is a partly interglacial differential equation。

In this paper some sufficient conditions are given that elementary integration as well as the representatives of general solutions for several Riccati equations. We also puts forward another solution for Riccati equations which turns it into two order homogeneous linear differential equation, then gets the general answer of Riccati equation basics on the Wronsky theorem。

黎卡提方程的解法作者：张孟霞，郭春晓来源：《教育教学论坛》2017年第45期摘要：17世纪，意大利数学家黎卡提提出方程：■=p（x）+q（x）y+r（x）y■称为黎卡提方程。

黎卡提方程有着重要的应用，比如，可用此方程证明贝塞尔方程的解不是初等函数；另外，它也出现在现代控制论和向量场分支理论的一些问题中。

黎卡提方程自从17世纪黎卡提提出以来，历经了三百多年一直未有一般解法，虽然有众多特例解法，但是未能从根本上解决这个方程。

本文主要利用无穷小生成元的思想介绍黎卡提方程的几种解法。

关键词：黎卡提方程；无穷小生成元；李积分因子；典型变量中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）45-0164-02一、黎卡提方程的几种等价形式黎卡提方程的一般形式为：y'=p（x）+q（x）y+r（x）y2（1）1.方程（1）可以通过变换y=-r（x）y写为：y'+y2=p（x）+q（x）y （2）其中，q=q+■，p=-rp2.方程（2）可以通过变换■=y-■q（x）写为：■'+■2=■（x）（3）其中，■=-■q'+■q2+p3.方程（2）可以通过变换y=■写为一个二阶线性方程：u"=q（x）u'+p（x）u（4）二、黎卡提方程可线性化的充分条件定理：黎卡提方程（1）可线性化的充分条件为：（A）方程（1）有形式y'=q（x）y+r （x）y2，或有形式y'=p（x）+q（x）y+k（q（x）-kp（x））y2，其中k为常数；（B）方程（1）有一个常数解。

当方程（1）满足（A）、（B）条件中的任何一个时，则方程可线性化。

例：将方程y'=q（x）y+r（x）y2（伯努利方程）线性化。

解：将方程左右两边同时除以y2可得：y-2y'=q（x）y-1+r（x）令z=y-1则上式可转化为一阶线性微分方程：z'=-q（x）z-r（x）三、黎卡提方程的通解1.黎卡提方程的性质。

二阶变系数线性微分方程的Riccati 方程解法对于Riccati 微分方程()()()2'y P x y Q x y R x =++ （1） 称系数关系：()()()()()12,'I P x R x I P x P x Q x ==+ 为方程（1）的不变量. 引理 []11 R 氏方程（1）经'()u y P x u=-变换，化为二阶线性方程21'''0.u I u I u -+= 定理 二阶线性方程()2''''0y bG G G y cG y +-+= （b,c 为常数） 经Gudxy e -⎰=变换，化为分离变量方程 2.duGdx u bu c =-+⎰⎰（2）证明 在方程()2''''0y bG G G y cG y +-+=中，取()(),P x G Q x bG ==-(),R x,cG =则不变量满足关系：()()()()212,'I P x R x cG I P x P x ===()Q x +='G.bG -于是，方程()2''''0y bG G G y cG y +-+=可化为Riccati 方程： 2'.u Gu bGu cG =-+ （3）显然，方程（3）为分离变量方程（2）.推论 ()2''''0y bG G G y cG y +-+=可化为分离变量方程 212,duf u Pu P =-+⎰其中u 满足（2）.此时，方程()2''''0y bG G y cG y +-+=中，取',G f =1b P =, 2,c P =则方程20r br c ++=可化为分离变量方程 212'.duf dx f u Pu P ==-+⎰⎰ （4）例 解方程()()()23''21'30.xInx y xIn x y x In x y +--=解 将方程化为()()1''2'30.y Inx y Inx y xInx ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭此时，取,2,G Inx b == 3,c =-则方程化为1213,,2341xdu u x Inxdx In C u u u e --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎰⎰1u =-+414,1xx C e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭1441211Inx Inx dx x xxC e x x y eC C e e ⎛⎫⎪ ⎪-⎪-⎛⎫ ⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦312x x x x K K e e -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭引理 []22 对于R 氏方程（1），若存在常数,,αβγ及可微()D x （不等于0）和()0y x ，满足拓广不变量关系：()[]()()2102,'I P x L y D I P x P x αγ===()()02Q x y x ++()2P x D D β=+.则方程（1）可化为可积形式2,duDdx u u αβγ=++⎰⎰ 其中[]()()()200000,'.Dy u y L y y P x y Q x y R x Pα=+=-+++定理 二阶线性方程 ()[]00'''/2'0y P P Q y P y PL y y -+++= （5）经()P x udxy e -⎰=变换，化为Riccati 方程()()()2'.u P x u Q x u R x =++推论 二阶线性方程22''''''2''''''''''0''f f y F f y F F F F f wf y f f λλ⎛⎫⎛⎫-++++-+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6）经'f udxy e -⎰=变换，化为可积形式 2.duf u u wλ=++⎰（7）例 讨论方程''sin 2'cos 2sin 0V x V x V x +-=的周期性.解 将方程变形为cos ''2'20sin x V V V x +-=.在方程（6）中，取cos 1','sin x F f x c-==（常数0c ≠），20,,w c λ==-则本例方程化为积分形式122,du xc u u c c=+=-⎰ 2/121x ccc c e --+，则2/12112/21()x c dx c e x x c c y ec e c e -⎛⎫-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎰==+ .显然，其解非周期解.参考文献：【1】 张鸿林. 常微分方程手册[M]. 北京：科学出版社，1977.【2】 ZHAOlin-long.The Integrable Conditions of RiccatiDifferential Equation [J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics. 1999,14(3):67-70.。

riccati方程及其幂级数解法拉格朗日-比西利-米勒-科普特（Riccati）方程是一类常微分方程，其表达形式为：$$y'=a(x)y^2+b(x)y+c(x)$$其中，a(x), b(x), c(x)为连续函数，y'表示对y的导数。

拉格朗日-比西利-米勒-科普特（Riccati）方程在物理、化学和数学等领域有着重要的应用，其解可以用幂级数的方法求解。

幂级数的定义是：若存在一系列常数$a_0$,$a_1$,$a_2$,...,$a_n$，则有：$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$$这可以看作一种特殊的函数，称为幂级数。

设$y=\sum_{n=0}^\infty b_nx^n$，将$y$代入Riccati方程，可以得到：$$\sum_{n=0}^\inftyb_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$$$$\sum_{n=1}^\inftynb_nx^{n-1}=a_0x+2a_1x^2+3a_2x^3+...+na_nx^n$$将上面两式相减，得：$$\sum_{n=1}^\infty (nb_n-a_n)x^{n-1}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+(n-1)a_{n-1}x^{n-1}$$令$nb_n-a_n=0$，从而得到：$$b_n=\frac{a_n}{n}$$由此得到：$$y=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n}x^n$$这样，就可以通过幂级数方法求解Riccati方程。

拉格朗日-比西利-米勒-科普特（Riccati）方程在物理、化学和数学等领域有着重要的应用，它的解可以用幂级数的方法求解，具体的求解过程为：首先将$y$代入Riccati方程，然后将两式相减，令$nb_n-a_n=0$，得到$b_n=\frac{a_n}{n}$，最后得到：$y=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n}x^n$，这样就可以求出Riccati方程的解。

谈几种Riccati方程的特解及解法作者：高金萍来源：《中国教育与教学研究》2013年第05期【摘要】本文对于有些Riccati方程，根据其系数函数的特殊内在关系，借助初等变换，讨论了其求解问题。

【关键词】Riccati方程；特解；Bernoulli方程；行列式；初等变换On the Solving methods for some kinds of Riccati equationGao Jin-ping【Abstract】this essay mainly discusses the solving methods some kinds of Riccati equations according to the special inner relations of their coefficient functions and the usage of elementary transformation.【Key words】Riccati Equation； Particular Solution； Bernoulli Equation； Determinant；Elementary Transformation.一、引言由牛顿（Newton，1642-1727）和莱不尼兹（Lenbinz，1646-1716）所创立的微积分，是人类科学史上重大的发现，而微积分的产生与发展，和人们求解微分方程有密切关系。

所谓微分方程，就是联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数的方程。

在物理学、化学、生物学、工程技术和某些社会科学中的大量问题一旦加以精确的数学描述，往往会出现微分方程，这说明，微分方程的确有十分广泛的应用。

一般的微分方程不一定有初等解法，如曾Bessel方程就没有初等解法，对于形式上十分简单的Riccati方程dydx =P（x） y2+Q（x） y+R（x）（1）其中P（x）、 Q（x）、 R（x）∈c[a，b]， P（x）≠0。

离散代数riccati方程 lmi离散代数Riccati方程与LMI引言离散代数Riccati方程（Discrete Algebraic Riccati Equation）是控制论和系统科学中的一个重要问题。

它可以通过线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）来表示和求解。

在本文中，我们将介绍离散代数Riccati方程与LMI之间的关系，探讨其应用和解决方法。

离散代数Riccati方程简介离散代数Riccati方程是一类特殊的代数方程，形式如下：X=A T XA−A T XB(R+B T XB)−1B T XA+Q其中，X是未知矩阵，A和B是已知矩阵，Q和R是给定的对称矩阵。

Riccati方程的求解对于控制系统的稳定性和性能分析具有重要意义。

线性矩阵不等式（LMI）线性矩阵不等式是描述矩阵约束条件的不等式。

LMI的一般形式如下：F(X)≼0其中，X 是待求矩阵，F (X ) 是关于 X 的线性函数。

LMI 的解集合可以表示为一组矩阵的集合。

Riccati 方程与LMI 的关系Riccati 方程和LMI 之间存在紧密的关系。

事实上，离散代数Riccati 方程可以转化为一个LMI 问题。

通过引入新的变量和约束，可以将Riccati 方程重新表述为LMI 形式，进而可以使用现有的LMI 求解方法来求解Riccati 方程。

具体而言，我们定义下面的矩阵和变量：X =[X 11X 12X 21X 22], Z =[X 11X 12X 21X 22]T F (X )=[X 11−A T X 11A +Q X 11A −X 12+A T X 21⋆X 22−R] 其中，⋆ 表示可以任意取值的元素。

通过对矩阵 F (X ) 的约束条件进行推导和求解，可以得到Riccati 方程的解。

Riccati 方程的求解方法Riccati 方程是一个重要的非线性方程，其求解是一个复杂的问题。

矩阵黎卡提(Riccati)微分方程的分析解
钟万勰
【期刊名称】《力学季刊》
【年(卷),期】2000(21)1
【摘要】在相应哈密顿矩阵本征解的基础上,本文给出了黎卡提微分方程的分析解,对于最优控制以及卡尔曼-布西滤波的黎卡提微分方程分别给出了分析解的公式。

【总页数】7页(P1-7)
【关键词】黎卡提微分方程;哈密顿矩阵;分析解
【作者】钟万勰
【作者单位】大连理工大学
【正文语种】中文
【中图分类】O316;O342
【相关文献】
1.关于运用黎卡提(Riccati)微分方程特解求通解问题 [J], 王素舟
2.具有初等解法的黎卡提(Riccati)方程 [J], 张金战
3.几类特殊的黎卡提（Riccati）方程通解求法 [J], 刘颖
4.周期黎卡提微分方程正定解的存在性 [J], 陈阳舟;陈善本
5.周期黎卡提微分方程正定解的存在性 [J], 陈阳舟;陈善本
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