第4 5章 刚体力学

i
m i riz i （方向与轴向垂直）
dJ z d 2 Lz mi i k dt dt i dI k I k I k dt
（轴向）

说明
① 刚体作定轴转动，通常受到力矩的作用 ② 当转轴为刚体的对称轴时，
•

3. 平面平行运动

平面平行运动定义
•
在刚体运动过程中，其上任一质元都在与某固定平面
相平行的平面内运动，这种运动为称平面平行运动

•
运动特点
刚体内任一与固定平面相垂直的直线上所有点的运动
状态完全一样
•
在研究作平面平行运动的刚体时，只需考察刚体上与 固定平面相平行的任一剖面即可 自由度 S＝3
•
因为刚体内，各质量元间的距离保持不变，不共线 三个质点可确定一个刚体
三、刚体运动的几种基本形式
1. 平动

•
平动的定义
在刚体上选任意两点连一条直线，在运动过程中，
该条直线的方位保持不变（与初始方位保持平行）
• •
运动特点
刚体上各点的运动状态（速度，加速度）完全一样
可将作平动的刚体视为质点来研究，常将质心作为
约束——对力学系统的运动所施加的限制 如限制在平面作运动的自由质点，
r xi yj zk , z c （一个约束条件）

自由度为：S＝3－1＝2

受到约束的质点系，其自由度会降低。 N个质点的质点系，并有k个约束，描写该质点系 运动的自由度为： S = 3N－k

•
刚体的定轴转动
在Δt时间内，刚体绕转轴转过的角度Δφ
•
Δφ不是矢量，它并不满足矢量运算交换率法则
t
2. 平均角速度
•
不是矢量，它并不满足矢量运算交换率法则
3.角速度
•
•

k
d
角速度定义为
大小： lim t d t
（弧度/秒）
• 方向： 转动平面的正法向（逆时针转动）
距离保持不变的二质点系，在直角坐标系下，两 质点的位矢为
r1 x1 i y1 j z1 k , r2 x 2 i y 2 j z 2 k
约束条件为
l 2 ( x1 x 2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2 ( z1 z 2 ) 2
m i riz i m i r jz j J h m i riz i m i z i ( x i i y i j ) 0
i i



作定轴转动刚体的角动量的几点说明（续）
J z I
I
r r = F ik ?( d ri
r d rk ) =
r r F ik ?d ( ri

刚体内力所作的总功为零（证明）
由于刚体内任意两质点间的距离保持不变，故有：
r r r ( ri - rk ) ?( ri r rk ) = c ( 常 量 )
r r rk） d ri ?（ r rk） 0 =
Ji
ω
J iz
O’
i

riz α i
O
ri
J ih
mi
1. 作定轴转动刚体的角动量（续）

在转轴上任选一点O为参考点，刚体上任一小质元 Δm，其位矢
ri ，线速度 vi
，相对于O的角动量为
J i ri m i v i ( riz i ) m i ( ( riz i )) ( riz i ) m i ( i ) m i riz ( i ) m i i ( i ) 2 m i ri c o s i i m i i k
a a a n
r sin
a
2 a2 a n
4 2

线速度与角速度的关系
r sin
ω
a a a n
ρ Δφ
O’ a
α O

an
v r
r
a n ( r )
可视为刚体随某基点（通常是质心）的平动与刚体 绕基点作定点转动的复合运动。
自由度 S＝3＋3＝6 • 一般来说，刚体的任何运动都可以分解为基点的平动及绕基
点的定点转动。
•
•
选择不同的基点，平动速度就不同；
而转动角速度则与基点的选择无关，不管选择刚体上哪一点， 角速度矢量的方向及大小都不变。
•
刚体的这一重要性质，称为刚体角速度的绝对性。
r r r F ik / / ( ri - rk )
微分一次，得： 即：
r r ( ri - rk ) ^
r （ ri 2
r r d ( ri - rk )
而
• 知刚体的任意一对质元内力作功为零。 • 刚体内任意质元都成对，故刚体的内力所作的总功为零。

刚体的动能定理：
E k (t ) E k (t0 ) = A外
d a r r dt
二．转动定理
1. 作定轴转动刚体的角动量
z
ri rih i
J i ri m i v i J iz J ih 2 J iz m i k i J ih m i riz i m i riz i n

刚体的机械能守恒定律：
若
A非 保 外 = 0
[ E k ( t ) + V ( t )] = [ E k ( t 0 ) + V ( t 0 )] = E
对于刚体，不仅在质心运动定理与动量矩定理中无须计及内力，
就连在动能定理中也无须计及内力，这是不同于一般质点组的。
4.2
一．角速度
1. 角位移Δ φ
④ 刚体定轴转动的角动量定理
讨论力矩对时间的积累效应。 质点系： 对点： 对轴： 刚体：
L外 dJ dt ，

t2 t1
L外 d t J 2 - J 1

t2 t1
L外 z d t J 2 z J 1 z
J z I Z

t2 t1
L外 z d t I z 2 I z 1
即有
J i J ih J iz 2 J iz m i k i J ih m i riz i m i riz i n
1. 作定轴转动刚体的角动量（续）

总角动量
J

i
Ji

i
J ih

i
J iz
2

i
m i riz i


i
mi k
i
Jh Jz

在直角坐标系中的描述
riz z i
Jh Jz
,
i

x i i yi j ,

i
2
i
x 2 y2
i i
m i riz i
i
m i z i ( x i i yi j ) x i2 y i2 ) k

i
mi k
2
i
mi (
i

作定轴转动刚体的角动量的几点说明
① 通常，角动量 J 与角速度 ω 的方向并不一致， 二者间有一个夹角； ② 当ω为常量，J 的方向也可能随时间改变（Jz 分量 不变，Jh 分量的方向变化） ③ 当转轴为刚体的对称轴时， J与ω方向平行。 • 考虑在轴对称位置的任意两质元Δmi和Δmj，总有
Jh 0 Lh dJ h dt 0 , L Lz I k
③
Lz
dI dt
or
Lz I I
称为转动定律
此式是刚体作定轴转动时沿转轴（即 z 轴）方向的动 力学方程，常称为转动定律。它就是角动量定理沿固 定轴方向的分量式。它表明，对作定轴转动的刚体， 外力矩沿固定轴的分量的代数和等于对该轴的转动惯 量与角加速度的来积。
(2)内力无穷大的特殊质点系——内力做功为零；
(3)理想模型.
二、刚体的自由度

•
自由度
描述一个力学体系在空间的几何位形所需要的独立
变量数
• • •
自由质点，自由度为3，独立变量为：
直角坐标系：
柱面坐标系： 球面坐标系：
x，y，z
r，θ，z r，θ，φ
N个自由质点的质点系，自由度为 3N

代表点

自由度 S＝3
2. 定轴转动
•
定轴转动定义
在刚体运动时，若存在着两点，过这两点连一条直线， 该直线上任意点保持不动，该直线称为固定转轴，刚 体绕固定轴转动，这种运动称为定轴转动 运动特点 刚体上各点在垂直于转轴的平面内作圆周运动，且在 相同时间内转过相同的角度，角位移，角速度和角加 速度均相同。 自由度 S＝1 如方位角φ可确定质点的位置
该二质点系的自由度为：S＝3×2－1＝5


自由刚体的自由度数是6
非自由刚体的自由度数 < 6

为什么自由刚体的自由度数是6？
•
• •
一个自由质点自由度：S = 3
两个距离保持不变的质点，自由度： S=2×3－1=5 彼此距离保持不变，且不共线三个质点构成的质点 系。其自由度为：S＝3×3－3＝6