备战2019高考数学大二轮复习 第一部分 思想方法研析指导 思想方法训练1 函数与方程思想 理

思想方法训练2 分类讨论思想一、能力突破训练1.已知函数f(x)=若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2)B.(-∞,4)C.[2,4]D.(2,+∞)2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是()A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c23.若a>0,且a≠1,p=log a(a3+1),q=log a(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.5.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N,=λ,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是()A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线6.若x>0,且x≠1,则函数y=lg x+log x10的值域为()A.RB.[2,+∞)C.(-∞,-2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)7.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2a m,则m等于()A.6B.7C.8D.108.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为()A.30°B.60°C.30°或60°D.45°或60°9.已知函数y=a x(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值是.10.已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.11.已知函数f(x)=2a sin2x-2a sin x cos x+a+b(a≠0)的定义域为,值域为[-5,1],求常数a,b的值.12.设a>0,函数f(x)= x2-(a+1)x+a(1+ln x).(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.二、思维提升训练13.若直线l过点P且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为()A.3x+4y+15=0B.x=-3或y=-C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=014.已知函数f(x)=则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是(注:e为自然对数的底数)()A.(-1,0]B.C.(-1,0]∪D.15.已知a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a= 时,g(a)的值最小.16.已知函数f(x)=a ln x+x2(a为实数).(1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值;(2)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.217.设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f'(x);(2)求A;(3)证明|f'(x)|≤2A.3思想方法训练2分类讨论思想一、能力突破训练1.B解析当-<1时,显然满足条件,即a<2;当a≥2时,-1+a>2a-5,即2≤a<4.综上知,a<4,故选B.2.B解析在△ABC中,由余弦定理得cos A=,则A=又b=a,由正弦定理,得sin B=sin A=,则B=或B=当B=时,△ABC为直角三角形,选项C,D成立;当B=时,△ABC为等腰三角形,选项A成立,故选B.3.C解析当0<a<1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为减函数,∴a3+1<a2+1.∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.当a>1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为增函数,∴a3+1>a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.综上可得p>q.4.C解析焦点在x轴上时,,此时离心率e=;焦点在y轴上时,,此时离心率e=,故选C.5.C解析不妨设|AB|=2,以AB中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-1,0),B(1,0),设M(x,y),则N(x ,0),=(0,-y ),=(x+1,0),=(1-x,0),代入已知式子得λx2+y2=λ,当λ=1时,曲线为A;当λ=2时,曲线为B;当λ<0时,曲线为D,所以选C.6.D解析当x>1时,y=lg x+log x10=lg x+2=2;当0<x<1时,y=lg x+log x10=--2=-2.故函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).7.C解析∵S3,S9,S6成等差数列,∴2S9=S3+S6.若公比q=1,显然有2S9≠S3+S6,因此q≠1,从而2,2q9-q6-q3=0,即2q6-q3-1=0,∴q3=-或q3=1(舍去).∵a2+a5=2a M,∴a2(1+q3-2q m-2)=0,1+q3-2q m-2=0,∴q m-2=,∴m=8.8.C解析球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部;球心在三棱锥外部.球心在三棱锥内部时,三棱锥为正三棱锥,设O'为△ABC的中心,在△ABC中,可求得O'A=,所以可得OA=2,SO'=3,SA与平面ABC所成的角即为∠SAO',由tan∠SAO'=,得∠SAO'=60°.同理可得第二种情况中所成角为30°.49解析当a>1时,y=a x在区间[1,2]上递增,故a2-a=,得a=;当0<a<1时,y=a x在区间[1,2]上递减,故a-a2=,得a=故a=或a=10.4解析f(x)=g(x)=(1)当0<x≤1时,方程化为|-ln x+0|=1,解得x=或x=e(舍去).所以此时方程只有1个实根(2)当1<x<2时,方程可化为|ln x+2-x2|=1.设h(x)=ln x+2-x2,则h'(x)=-2x=因为1<x<2,所以h'(x)=<0,即函数h(x)在区间(1,2)上单调递减.因为h(1)=ln 1+2-12=1,h(2)=ln 2+2-22=ln 2-2,所以h(x)∈(ln 2-2,1).又ln 2-2<-1,故当1<x<2时方程只有1解.(3)当x≥2时,方程可化为|ln x+x2-6|=1.记函数p(x)=ln x+x2-6,显然p(x)在区间[2,+∞)上单调递增.故p(x)≥p(2)=ln 2+22-6=ln 2-2<-1.又p(3)=ln 3+32-6=ln 3+3>1,所以方程|p(x)|=1有2个解,即方程|ln x+x2-6|=1有2个解.综上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4个实根.11.解f(x)=a(1-cos 2x)-a sin 2x+a+b=-2a sin+2a+b.∵x,∴2x+,∴-sin1.因此,由f(x)的值域为[-5,1],可得或5解得12.解 (1)由已知x>0,f'(x)=x-(a+1)+因为曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1,所以f'(2)=1,即2-(a+1)+=1,所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故曲线f(x)在(2,f(2))处的切线方程为x-y-2=0.(2)f'(x)=x-(a+1)+①当0<a<1时,若x∈(0,a),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(a,1),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-a2+a ln a,极小值是f(1)=-②当a=1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,若x=1,则f'(x)=0,若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,所以函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点,也无极值.③当a>1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(1,a),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(a,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增,此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-,极小值是f(a)=-a2+a ln a.综上,当0<a<1时,f(x)的极大值是-a2+a ln a,极小值是-;当a=1时,f(x)无极值;当a>1时,f(x)的极大值是-,极小值是-a2+a ln a.二、思维提升训练13.D解析若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=±4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为,解得k=-,此时直线l的方程为3x+4y+15=0.14.C解析因为方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,所以y=f(x)与y=ax的图象有2个交点,a表示直线y=ax的斜率.当a>0,x>1时,y'=设切点为(x0,y0),k=,所以切线方程为y-y0=(x-x0),而切线过原点,所以y0=1,x0=e2,k=,所以切线l1的斜率为设过原点与y=x+1平行的直线为l2,则直线l2的斜率为,所以当直线在l1和l2之间时,符合题意,此时实数a 的取值范围是当a<0时,设过原点与点(1,-1)的直线为l3,其斜率为-1,则在l3的位置以O为中心逆时针旋转一直转67到水平位置都符合题意,此时实数a 的取值范围是(-1,0].综上所述,实数a 的取值范围是(-1,0],故选C.15.2-2 解析 当a ≤0时,在区间[0,1]上,f (x )=|x 2-ax|=x 2-ax ,且在区间[0,1]上为增函数,当x=1时,f (x )取得的最大值为f (1)=1-a ;当0<a<1时,f (x )=在区间内递增,在区间上递减,在区间(a ,1]上递增,且f ,f (1)=1-a,-(1-a )=(a 2+4a-4), ∴当0<a<2-2时,<1-a.当2-2≤a<1时,1-a ;当1≤a<2时,f (x )=-x 2+ax 在区间上递增,在区间上递减,当x=时,f (x )取得最大值f ;当a ≥2时,f (x )=-x 2+ax 在区间[0,1]上递增, 当x=1时,f (x )取得最大值f (1)=a-1.则g (a )=在区间(-∞,2-2)上递减,在区间[2-2,+∞)上递增,即当a=2-2时,g (a )有最小值.16.解 (1)f (x )=a ln x+x 2的定义域为(0,+∞),f'(x )= +2x=当x ∈[1,e]时,2x 2∈[2,2e 2].若a ≥-2,则f'(x )在区间[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f'(x )=0), 故f (x )在区间[1,e]上单调递增,此时f (x )min =f (1)=1;若-2e 2<a<-2,令f'(x )<0,解得1≤x<,此时f (x )单调递减;令f'(x )>0,解得<x ≤e,此时f (x )单调递增,所以f (x )min =f ln ;若a≤-2e2,f'(x)在区间[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递减,此时f(x)min=f(e)=a+e2.综上所述,当a≥-2时,f(x)min=1,相应的x=1;当-2e2<a<-2时,f(x)min =ln,相应的x=;当a≤-2e2时,f(x)min=a+e2,相应的x=e.(2)不等式f(x)≤(a+2)x可化为a(x-ln x)≥x2-2x.由x∈[1,e],知ln x≤1≤x且等号不能同时成立,得ln x<x,即x-ln x>0,因而a,x∈[1,e],令g(x)=(x∈[1,e]),则g'(x)=,当x∈[1,e]时,x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0,从而g'(x)≥0(仅当x=1时取等号),所以g(x)在区间[1,e]上是增函数,故g(x)min=g(1)=-1,所以实数a的取值范围是[-1,+∞).17.(1)解f'(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.(2)解 (分类讨论)当α≥1时,|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).因此A=3α-2.当0<α<1时,将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α-1)cos x-1.令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,g(-1)=α,g(1)=3α-2,且当t=时,g(t)取得极小值,极小值为g =--1=-令-1<<1,解得α<-(舍去),α>当0<时,g(t)在区间(-1,1)内无极值点,|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,所以A=2-3α.当<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知g(-1)>g(1)>g又-|g(-1)|=>0,8所以A=综上,A=(3)证明由(1)得|f'(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|.当0<时,|f'(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.当<α<1时,A=1,所以|f'(x)|≤1+α<2A.当α≥1时,|f'(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.所以|f'(x)|≤2A.9。

思想方法训练2分类讨论思想一、能力突破训练1.已知函数f(x)=若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2)B.(-∞,4)C.[2,4]D.(2,+∞)2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是()A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c23.若a>0,且a≠1,p=log a(a3+1),q=log a(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.5.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N,=λ,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是()A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线6.若x>0,且x≠1,则函数y=lg x+log x10的值域为()A.RB.[2,+∞)C.(-∞,-2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)7.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2a m,则m等于()A.6B.7C.8D.108.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC 的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为()A.30°B.60°C.30°或60°D.45°或60°9.已知函数y=a x(a>0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值是.10.已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.11.已知函数f(x)=2a sin2x-2a sin x cos x+a+b(a≠0)的定义域为,值域为[-5,1],求常数a,b的值.12.设a>0,函数f(x)= x2-(a+1)x+a(1+ln x).(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.二、思维提升训练13.若直线l过点P且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为()A.3x+4y+15=0B.x=-3或y=-C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=014.已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.15.若a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a),则当a=时,g(a)的值最小.16.已知函数f (x)=ax2-2x(0≤x≤1),求函数f(x)的最小值.17.已知函数f(x)=a ln x+x2(a为实数).(1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值;(2)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.思想方法训练2分类讨论思想一、能力突破训练1.B解析当-<1时,显然满足条件,即a<2;当a≥2时,-1+a>2a-5,即2≤a<4.综上知,a<4,故选B.2.B解析在△ABC中,由余弦定理得cos A=,则A=.又b=a,由正弦定理,得sin B=sin A=,则B=或B=.当B=时,△ABC为直角三角形,选项C,D成立;当B=时,△ABC为等腰三角形,选项A成立,故选B.3.C解析当0<a<1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为减函数,∴a3+1<a2+1.∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.当a>1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为增函数,∴a3+1>a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.综上可得p>q.4.C解析当焦点在x轴上时,,此时离心率e=;当焦点在y轴上时,,此时离心率e=,故选C.5.C解析不妨设|AB|=2,以AB中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-1,0),B(1,0),设M(x,y),则N(x,0),=(0,-y),=(x+1,0),=(1-x,0),代入已知式子得λx2+y2=λ,当λ=1时,曲线为A;当λ=2时,曲线为B;当λ<0时,曲线为D,所以选C.6.D解析当x>1时,y=lg x+log x10=lg x+≥2=2;当0<x<1时,y=lg x+log x10=-≤-2=-2.故函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).7.C解析∵S3,S9,S6成等差数列,∴2S9=S3+S6.若公比q=1,显然有2S9≠S3+S6,因此q≠1,从而2,2q9-q6-q3=0,即2q6-q3-1=0,∴q3=-或q3=1(舍去).∵a2+a5=2a m,∴a2(1+q3-2q m-2)=0,1+q3-2q m-2=0,∴q m-2=,∴m=8.8.C解析球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部;球心在三棱锥外部.球心在三棱锥内部时,三棱锥为正三棱锥,设O'为△ABC的中心,在△ABC中,可求得O'A=,所以可得OA=2,SO'=3,SA与平面ABC所成的角即为∠SAO',由tan∠SAO'=,得∠SAO'=60°.同理可得第二种情况中所成角为30°.9.解析当a>1时,y=a x在区间[1,2]上递增,故a2-a=,得a=;当0<a<1时,y=a x在区间[1,2]上递减,故a-a2=,得a=.故a=或a=.10.4解析f(x)=g(x)=(1)当0<x≤1时,方程化为|-ln x+0|=1,解得x=或x=e(舍去).所以此时方程只有一个实根.(2)当1<x<2时,方程可化为|ln x+2-x2|=1.设h(x)=ln x+2-x2,h'(x)=-2x=.因为1<x<2,所以h'(x)=<0,即函数h(x)在区间(1,2)上单调递减.因为h(1)=ln 1+2-12=1,h(2)=ln 2+2-22=ln 2-2,所以h(x)∈(ln 2-2,1).又ln 2-2<-1,故当1<x<2时方程只有一解.(3)当x≥2时,方程可化为|ln x+x2-6|=1.记函数p(x)=ln x+x2-6,显然p(x)在区间[2,+∞)上单调递增.故p(x)≥p(2)=ln 2+22-6=ln 2-2<-1.又p(3)=ln 3+32-6=ln 3+3>1,所以方程|p(x)|=1有两个解,即方程|ln x+x2-6|=1有两个解.综上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4个实根.11.解f(x)=a(1-cos 2x)-a sin 2x+a+b=-2a sin+2a+b.∵x∈,∴2x+,∴-≤sin≤1.因此,由f(x)的值域为[-5,1],可得或解得12.解(1)由已知x>0,f'(x)=x-(a+1)+.因为曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1,所以f'(2)=1,即2-(a+1)+=1,所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故曲线f(x)在(2,f(2))处的切线方程为x-y-2=0.(2)f'(x)=x-(a+1)+.①当0<a<1时,若x∈(0,a),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(a,1),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-a2+a ln a,极小值是f(1)=-.②当a=1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,若x=1,则f'(x)=0,若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,所以函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点,也无极值.③当a>1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(1,a),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(a,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增,此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-,极小值是f(a)=-a2+a ln a.综上,当0<a<1时,f(x)的极大值是-a2+a ln a,极小值是-;当a=1时,f(x)无极值;当a>1时,f(x)的极大值是-,极小值是-a2+a ln a.二、思维提升训练13.D解析若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=±4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为,解得k=-,此时直线l的方程为3x+4y+15=0.14.(3,+∞)解析当x>m时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.其所在抛物线的顶点为P(m,4m-m2).函数y=f(x)的图象与直线x=m的交点为Q(m,m).(1)点P在点Q的上方或与Q点重合时,即4m-m2≥m,也就是m(m-3)≤0时,解得0≤m≤3,又因为m>0,所以0<m≤3.此时函数的图象如图所示(实线部分),显然此时直线y=b与函数图象最多只有两个交点,不合题意;(2)点P在点Q的下方时,即4m-m2<m,也就是m(m-3)>0时,解得m<0或m>3,又因为m>0,所以m>3.此时函数的图象如图所示(实线部分),显然此时直线y=b与函数图象最多可有三个交点,符合题意.所以m>3.15.2-2解析当a≤0时,在区间[0,1]上,f(x)=|x2-ax|=x2-ax,且在区间[0,1]上为增函数,当x=1时,f(x)取得的最大值为f(1)=1-a;当0<a<1时,f(x)=在区间内递增,在区间上递减,在区间(a,1]上递增,且f,f(1)=1-a,∵-(1-a)=(a2+4a-4),∴当0<a<2-2时,<1-a.当2-2≤a<1时,≥1-a;当1≤a<2时,f(x)=-x2+ax在区间上递增,在区间上递减,当x=时,f(x)取得最大值f;当a≥2时,f(x)=-x2+ax在区间[0,1]上递增,当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=a-1.则g(a)=在区间(-∞,2-2)上递减,在区间[2-2,+∞)上递增,即当a=2-2时,g(a)有最小值.16.解(1)当a=0时,函数f(x)=-2x在区间[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=-2.(2)当a>0时,函数f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向上,且对称轴为直线x=.①当≤1,即a≥1时,f(x)=ax2-2x的图象对称轴在区间[0,1]内,∴f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,∴f(x)min=f=-.②当>1,即0<a<1时,函数f(x)=ax2-2x的图象对称轴在区间[0,1]的右侧,∴f(x)在[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=a-2.(3)当a<0时,函数f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向下,且对称轴x=<0,在y轴的左侧,∴函数f(x)=ax2-2x在区间[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=a-2.综上所述,f(x)min=17.解(1)f(x)=a ln x+x2的定义域为(0,+∞),f'(x)= +2x=.当x∈[1,e]时,2x2∈[2,2e2].若a≥-2,则f'(x)在区间[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递增,此时f(x)min=f(1)=1;若-2e2<a<-2,令f'(x)<0,解得1≤x<,此时f(x)单调递减;令f'(x)>0,解得<x≤e,此时f(x)单调递增,∴f(x)min=f ln;若a≤-2e2,f'(x)在区间[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递减,此时f(x)min=f(e)=a+e2.综上所述,当a≥-2时,f(x)min=1,相应的x=1;当-2e2<a<-2时,f(x)min=ln,相应的x=;当a≤-2e2时,f(x)min=a+e2,相应的x=e.(2)不等式f(x)≤(a+2)x可化为a(x-ln x)≥x2-2x.∵x∈[1,e],∴ln x≤1≤x且等号不能同时成立,∴ln x<x,即x-ln x>0,因而a≥,x∈[1,e],令g(x)=(x∈[1,e]),则g'(x)=,当x∈[1,e]时,x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0,从而g'(x)≥0(仅当x=1时取等号),∴g(x)在区间[1,e]上是增函数,故g(x)min=g(1)=-1,∴实数a的取值范围是[-1,+∞).。

思想方法训练4 转化与化归思想一、能力突破训练1.已知M={(x,y)|y=x+a},N={(x,y)|x2+y2=2},且M∩N=⌀,则实数a的取值范围是()A.a>2B.a<-2C.a>2或a<-2D.-2<a<22.若直线y=x+b被圆x2+y2=1所截得的弦长不小于1,则b的取值范围是()A.[-1,1]B.C.D.3.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为()A.B.[-1,0]C.[0,1]D.4.(2018北京,理7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.45.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<2(x∈R),则不等式f(x)<2x+1的解集为()A.(1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)6.已知函数f(x)=ax3+b sin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg 2))=()A.-5B.-1C.3D.47.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.8.已知函数f(x)=2x-2-x,若不等式f(x2-ax+a)+f(3)>0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.9.若对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2-2x在区间(t,3)内总不为单调函数,求实数m的取值范围.10.已知函数f(x)= x3-2ax2-3x.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)已知对一切x∈(0,+∞),af'(x)+4a2x≥ln x-3a-1恒成立,求实数a的取值范围.二、思维提升训练11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的最小值是()A.B .C .D .12.设F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使()·=0,O为坐标原点,且||=|,则该双曲线的离心率为()A .+1B .C .D .13.若函数f(x)=x2-ax+2在区间[0,1]上至少有一个零点,则实数a的取值范围是.14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是.15.已知函数f(x)=eln x,g(x)= f(x)-(x+1)(e=2.718……).(1)求函数g(x)的极大值;(2)求证:1++…+>ln(n+1)(n∈N*).2思想方法训练4转化与化归思想一、能力突破训练1.C解析M∩N=⌀等价于方程组无解.把y=x+a代入到方程x2+y2=2中,消去y,得到关于x的一元二次方程2x2+2ax+a2-2=0, ①由题易知一元二次方程①无实根,即Δ=(2a)2-4×2×(a2-2)<0,由此解得a>2或a<-2.2.D解析由弦长不小于1可知圆心到直线的距离不大于,即,解得-b3.A解析设P(x0,y0),倾斜角为α,0≤tan α≤1,y=f(x)=x2+2x+3,f'(x)=2x+2,0≤2x0+2≤1,-1≤x0≤-,故选A.4.C解析设P(x,y),则x2+y2=1.即点P在单位圆上,点P到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+=1+当m=0时,d max=3.5.A解析设F(x)=f(x)-2x-1,则F'(x)=f'(x)-2<0,得F(x)在R上是减函数.又F(1)=f(1)-2-1=0,即当x>1时,F(x)<0,不等式f(x)<2x+1的解集为(1,+∞),故选A.6.C解析因为lg(log210)+lg(lg 2)=lg(log210×lg 2)=lg=lg 1=0,所以lg(lg 2)=-lg(log210).设lg(log210)=t,则lg(lg 2)=-t.由条件可知f(t)=5,即f(t)=at3+b sin t+4=5,所以at3+b sin t=1,所以f(-t)=-at3-b sin t+4=-1+4=3.7.(-13,13)解析若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1.∵d=,∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13).8.(-2,6)解析f(x)=2x-2-x为奇函数且在R上为增函数,所以f(x2-ax+a)+f(3)>0⇒f(x2-ax+a)>-f(3)⇒f(x2-ax+a)>f(-3)⇒x2-ax+a>-3对任意实数x恒成立,即Δ=a2-4(a+3)<0⇒-2<a<6,所以实数a的取值范围是(-2,6).9.解g'(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)内总为单调函数,则①g'(x)≥0在区间(t,3)内恒成立或②g'(x)≤0在区间(t,3)内恒成立.由①得3x2+(m+4)x-2≥0,即m+4-3x在x∈(t,3)内恒成立,∴m+4-3t恒成立,则m+4≥-1,即m≥-5;由②得m+4-3x在x∈(t,3)内恒成立,则m+4-9,即m≤-故函数g(x)在区间(t,3)内总不为单调函数的m的取值范围为-<m<-5.10.解 (1)由题意知当a=0时,f(x)= x3-3x,3所以f'(x)=2x2-3.又f(3)=9,f'(3)=15,所以曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为15x-y-36=0.(2)f'(x)=2x2-4ax-3,则由题意得2ax2+1≥ln x,即a在x∈(0,+∞)时恒成立.设g(x)=,则g'(x)=,当0<x<时,g'(x)>0;当x>时,g'(x)<0,所以当x=时,g(x)取得最大值,且g(x)max =,故实数a 的取值范围为二、思维提升训练11.B解析显然点A为准线与x轴的交点,如图,过点P作PB垂直准线于点B,则|PB|=|PF|.=sin∠PAB.设过A的直线AC与抛物线切于点C,则0<∠BAC≤∠PAB,∴sin∠BAC≤sin∠PAB.设切点为(x0,y0),则=4x0,又=y',解得C(1,2),|AC|=2∴sin∠BAC=,的最小值为故应选B.12.A解析如图,取F2P的中点M,则=2又由已知得2=0,即=0,,又OM为△F2F1P的中位线4在△PF1F2中,2a=||-||=(-1)||,由勾股定理,得2c=2||.∴e=+1.13.[3,+∞)解析由题意,知关于x的方程x2-ax+2=0在区间[0,1]上有实数解.又易知x=0不是方程x2-ax+2=0的解,所以根据0<x≤1可将方程x2-ax+2=0变形为a==x+从而问题转化为求函数g(x)=x+(0<x≤1)的值域.易知函数g(x)在区间(0,1]上单调递减,所以g(x)∈[3,+∞).故所求实数a的取值范围是a≥3.14.(-4,0)解析将问题转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0的解集的子集求解.∵g(x)=2x-2<0,∴x<1.又∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,∴[1,+∞)是f(x)<0的解集的子集.又由f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0知m不可能大于等于0,因此m<0.当m<0时,f(x)<0,即(x-2m)(x+m+3)>0,若2m=-m-3,即m=-1,此时f(x)<0的解集为{x|x≠-2},满足题意;若2m>-m-3,即-1<m<0,此时f(x)<0的解集为{x|x>2m或x<-m-3},依题意2m<1,即-1<m<0;若2m<-m-3,即m<-1,此时f(x)<0的解集为{x|x<2m或x>-m-3},依题意-m-3<1,m>-4,即-4<m<-1.综上可知,满足条件的m的取值范围是-4<m<0.15.(1)解∵g(x)= f(x)-(x+1)=ln x-(x+1),∴g'(x)=-1(x>0).令g'(x)>0,解得0<x<1;令g'(x)<0,解得x>1.∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴g(x)极大值=g(1)=-2.(2)证明由(1)知x=1是函数g(x)的极大值点,也是最大值点,∴g(x)≤g(1)=-2,即ln x-(x+1)≤-2⇒ln x≤x-1(当且仅当x=1时等号成立).令t=x-1,得t≥ln(t+1),取t=(n∈N*),则>ln=ln,∴1>ln 2,>ln>ln ,…,>ln,叠加得1++…+>ln=ln(n+1).5。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……思想方法训练1 函数与方程思想一、能力突破训练1.已知椭圆+y2=1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,其一个交点为P,则|PF2|=()A. B. C. D.42.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.-2B.-1C.0D.13.已知函数f(x)=x2+e x- (x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()A. B.(-∞,)C. D.4.已知{a n}是等差数列,a1=1,公差d≠0,S n为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8的值为()A.16B.32C.64D.625.已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .6.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为.7.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x+2)<5的解集是.8.设函数f(x)=cos2x+sin x+a-1,已知不等式1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立,求a的取值范围.9.在△ABC中,内角A,B,C所对边的边长分别是a,b,c.已知c=2,C=.(1)若△ABC的面积等于,求a,b的值;(2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的面积.10.某地区要在如图所示的一块不规则用地上规划建成一个矩形商业楼区,余下的作为休闲区,已知AB ⊥BC,OA∥BC,且|AB|=|BC|=2|OA|=4,曲线OC是以O为顶点且开口向上的抛物线的一段,如果矩形的两边分别落在AB,BC上,且一个顶点在曲线OC段上,应当如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大?并求出最大的用地面积.二、思维提升训练11.已知数列{a n}是等差数列,a1=1,a2+a3+…+a10=144.(1)求数列{a n}的通项a n;(2)设数列{b n}的通项b n=,记S n是数列{b n}的前n项和,若n≥3时,有S n≥m恒成立,求m的最大值.12.已知椭圆C:=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)当△AMN的面积为时,求k的值.13.直线m:y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A,B两点,直线l过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求直线l在y轴上的截距b的取值范围.思想方法训练1函数与方程思想一、能力突破训练1.C解析如图,令|F1P|=r1,|F2P|=r2,则化简得解得r2=2.D解析因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).又因为f(x+2)是偶函数,则f(-x+2)=f(x+2),所以f(8)=f(6+2)=f(-6+2)=f(-4)=-f(4),而f(4)=f(2+2)=f(-2+2)=f(0)=0,所以f(8)=0;同理f(9)=f(7+2)=f(-7+2)=f(-5)=-f(5),而f(5)=f(3+2)=f(-3+2)=f(-1)=-f(1)=-1,所以f(9)=1,所以f(8)+f(9)=1.故选D.3.B解析由已知得,与函数f(x)的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为h(x)=x2+e-x- (x>0).令h(x)=g(x),得ln(x+a)=e-x-,作函数M(x)=e-x-的图象,显然当a≤0时,函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象一定有交点.当a>0时,若函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象有交点,则ln a<,则0<a<综上a<故选B.4.C解析因为a1,a2,a5成等比数列,则=a1·a5,即(1+d)2=1×(1+4d),d=2.所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,S8==4×(1+15)=64.5.- 解析f(x)=a x+b是单调函数,当a>1时,f(x)是增函数,无解.当0<a<1时,f(x)是减函数,综上,a+b=+(-2)=-6.[1,+∞)解析以AB为直径的圆的方程为x2+(y-a)2=a,由得y2+(1-2a)y+a2-a=0.即(y-a)[y-(a-1)]=0,则由题意得解得a≥1.7.{x|-7<x<3}解析令x<0,则-x>0,∵当x≥0时,f(x)=x2-4x,∴f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x,又f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴当x<0时,f(x)=x2+4x,故有f(x)=再求f(x)<5的解,由得0≤x<5;由得-5<x<0,即f(x)<5的解集为(-5,5).由于f(x)的图象向左平移两个单位即得f(x+2)的图象,故f(x+2)<5的解集为{x|-7<x<3}.8.解f(x)=cos2x+sin x+a-1=1-sin2x+sin x+a-1=-+a+因为-1≤sin x≤1,所以当sin x=时,函数有最大值f(x)max=a+,当sin x=-1时,函数有最小值f(x)min=a-2.因为1≤f(x)对一切x∈R恒成立,所以f(x)max,且f(x)min≥1,即解得3≤a≤4,故a的取值范围是[3,4].9.解 (1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4.因为△ABC的面积等于,所以ab sin C=,得ab=4.联立解得a=2,b=2.(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sin A cos A,即sin B cos A=2sin A cos A,当cos A=0时,A=,B=,a=,b=,当cos A≠0时,得sin B=2sin A,由正弦定理得b=2a,联立解得a=,b=故△ABC的面积S=ab sin C=10.解以点O为原点,OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(-2,4),C(2,4),设抛物线的方程为x2=2py,把C(2,4)代入抛物线方程得p=,所以曲线段OC的方程为y=x2(x∈[0,2]).设P(x,x2)(x∈[0,2])在OC上,过点P作PQ⊥AB于点Q,PN⊥BC于点N,故|PQ|=2+x,|PN|=4-x2,则矩形商业楼区的面积S=(2+x)(4-x2)(x∈[0,2]).整理,得S=-x3-2x2+4x+8,令S'=-3x2-4x+4=0,得x=或x=-2(舍去),当x时,S'>0,S是关于x的增函数,当x时,S'<0,S是关于x的减函数,所以当x=时,S取得最大值,此时|PQ|=2+x=,|PN|=4-x2=,S max=故该矩形商业楼区规划成长为,宽为时,用地面积最大为二、思维提升训练11.解 (1)∵{a n}是等差数列,a1=1,a2+a3+…+a10=144,∴S10=145,∵S10=,∴a10=28,∴公差d=3.∴a n=3n-2(n∈N*).(2)由(1)知b n==,∴S n=b1+b2+…+b n=,∴S n=∵S n+1-S n=>0,∴数列{S n}是递增数列.当n≥3时,(S n)min=S3=,依题意,得m,故m的最大值为12.解 (1)由题意得解得b=所以椭圆C的方程为=1.(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=所以|MN|===因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=,所以△AMN的面积为S=|MN|·d=由,解得k=±1.所以k的值为1或-1.13.解由(x≤-1)消去y,得(k2-1)x2+2kx+2=0.①∵直线m与双曲线的左支有两个交点,∴方程①有两个不相等的负实数根.解得1<k<设M(x0,y0),则由P(-2,0),M,Q(0,b)三点共线,得出b=,设f(k)=-2k2+k+2=-2,则f(k)在(1,)上为减函数,∴f()<f(k)<f(1),且f(k)≠0.∴-(2-)<f(k)<0或0<f(k)<1.∴b<--2或b>2.∴b的取值范围是(-∞,--2)∪(2,+∞).。

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思想方法训练2 分类讨论思想一、能力突破训练1。

已知函数f(x)=若存在x1，x2∈R,且x1≠x2,使得f（x1)=f（x2）成立,则实数a的取值范围是()A。

(—∞,2) B.（—∞，4)C。

［2，4］D。

（2,+∞）2。

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b，c，若b2+c2-a2=bc，且b=a,则下列关系一定不成立的是(）A。

a=c B。

b=cC.2a=cD.a2+b2=c23.若a>0,且a≠1,p=log a(a3+1),q=log a(a2+1），则p，q的大小关系是（）A.p=qB.p〈qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p〈q4。

已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的离心率为（)A.B。

C。

D.5。

已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N,=λ,其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是（)A.圆B。

椭圆C。

抛物线 D.双曲线6.若x〉0,且x≠1，则函数y=lg x+log x10的值域为（)A.RB.［2，+∞）C.（-∞，—2]D.(-∞,—2]∪[2,+∞)7.设S n是等比数列｛a n｝的前n项和，S3，S9，S6成等差数列,且a2+a5=2a m，则m等于(）A。

思想方法训练4转化与化归思想一、能力突破训练1.已知M={(x,y)|y=x+a},N={(x,y)|x2+y2=2},且M∩N=⌀,则实数a的取值范围是()A.a>2B.a<-2C.a>2或a<-2D.-2<a<22.若直线y=x+b被圆x2+y2=1所截得的弦长不小于1,则b的取值范围是()A.[-1,1]B.C.D.3.设P为曲线C: y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为()A.B.[-1,0]C.[0,1]D.4.设a=(sin 17°+cos 17°),b=2cos213°-1,c=,则a,b,c的大小关系是()A.c<a<bB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a5.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<2(x∈R),则不等式f(x)<2x+1的解集为()A.(1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)6.已知函数f(x)=ax3+b sin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg 2))=()A.-5B.-1C.3D.47.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.8.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是.9.若对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2-2x在区间(t,3)内总不为单调函数,求实数m的取值范围.10.已知函数f(x)= x3-2ax2-3x.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)已知对一切x∈(0,+∞),af'(x)+4a2x≥ln x-3a-1恒成立,求实数a的取值范围.二、思维提升训练11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的最小值是()A.B.C.D.12.设F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使()·=0,O为坐标原点,且||=|,则该双曲线的离心率为()A.+1B.C.D.13.若函数f(x)=x2-ax+2在区间[0,1]上至少有一个零点,则实数a的取值范围是.14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是.15.已知函数f(x)=eln x,g(x)= f(x)-(x+1)(e=2.718……).(1)求函数g(x)的极大值;(2)求证:1++…+>ln(n+1)(n∈N*).思想方法训练4转化与化归思想一、能力突破训练1.C解析M∩N=⌀等价于方程组无解.把y=x+a代入到方程x2+y2=2中,消去y,得关于x的一元二次方程2x2+2ax+a2-2=0,①由题易知一元二次方程①无实根,即Δ=(2a)2-4×2×(a2-2)<0,由此解得a>2或a<-2.2.D解析由弦长不小于1可知圆心到直线的距离不大于,即,解得-≤b≤.3.A解析设P(x0,y0),倾斜角为α,0≤tan α≤1,y=f(x)=x2+2x+3,f'(x)=2x+2,0≤2x0+2≤1,-1≤x0≤-,故选A.4.A解析∵a=sin(17°+45°)=sin 62°,b=cos 26°=sin 64°,c=sin 60°,∴c<a<b.5.A解析设F(x)=f(x)-2x-1,则F'(x)=f'(x)-2<0,得F(x)在R上是减函数.又F(1)=f(1)-2-1=0,即当x>1时,F(x)<0,不等式f(x)<2x+1的解集为(1,+∞),故选A.6.C解析因为lg(log210)+lg(lg 2)=lg(log210×lg 2)=lg=lg 1=0,所以lg(lg 2)=-lg(log210).设lg(log210)=t,则lg(lg 2)=-t.由条件可知f(t)=5,即f(t)=at3+b sin t+4=5,所以at3+b sin t=1,所以f(-t)=-at3-b sin t+4=-1+4=3.7.(-13,13)解析若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1.∵d=,∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13).8.(-∞,-5]解析当x≥0时,f(x)=x2,此时函数f(x)单调递增.∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴函数f(x)在R上单调递增.若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则x+a≥3x+1恒成立,即a≥2x+1恒成立.∵x∈[a,a+2],∴(2x+1)max=2(a+2)+1=2a+5,即a≥2a+5,解得a≤-5,∴实数a的取值范围是(-∞,-5].9.解g'(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)内总为单调函数,则①g'(x)≥0在区间(t,3)内恒成立或②g'(x)≤0在区间(t,3)内恒成立.由①得3x2+(m+4)x-2≥0,即m+4≥-3x在x∈(t,3)内恒成立,∴m+4≥-3t恒成立,则m+4≥-1,即m≥-5;由②得m+4≤-3x在x∈(t,3)内恒成立,则m+4≤-9,即m≤-.故函数g(x)在区间(t,3)内总不为单调函数的m的取值范围为-<m<-5.10.解(1)由题意知当a=0时,f(x)= x3-3x,所以f'(x)=2x2-3.又f(3)=9,f'(3)=15,所以曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为15x-y-36=0.(2)f'(x)=2x2-4ax-3,则由题意得2ax2+1≥ln x,即a≥在x∈(0,+∞)时恒成立.设g(x)=,则g'(x)=,当0<x<时,g'(x)>0;当x>时,g'(x)<0,所以当x=时,g(x)取得最大值,且g(x)max=,故实数a的取值范围为.二、思维提升训练11.B解析显然点A为准线与x轴的交点,如图,过点P作PB垂直准线于点B,则|PB|=|PF|.∴=sin∠PAB.设过A的直线AC与抛物线切于点C,则0<∠BAC≤∠PAB≤,∴sin∠BAC≤sin∠PAB.设切点为(x0,y0),则=4x0,又=y',解得∴C(1,2),|AC|=2.∴sin∠BAC=,∴的最小值为.故应选B.12.A解析如图,取F2P的中点M,则=2.又由已知得2=0,∴.又OM为△F2F1P的中位线,∴.在△PF1F2中,2a=||-||=(-1)||,由勾股定理,得2c=2||.∴e=+1.13.[3,+∞)解析由题意,知关于x的方程x2-ax+2=0在[0,1]上有实数解.又易知x=0不是方程x2-ax+2=0的解,所以根据0<x≤1可将方程x2-ax+2=0变形为a==x+.从而问题转化为求函数g(x)=x+(0<x≤1)的值域.易知函数g(x)在区间(0,1]上单调递减,所以g(x)∈[3,+∞).故所求实数a的取值范围是a≥3.14.(-4,0)解析将问题转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0的解集的子集求解.∵g(x)=2x-2<0,∴x<1.又∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,∴[1,+∞)是f(x)<0的解集的子集.又由f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0知m不可能大于等于0,因此m<0.当m<0时,f(x)<0,即(x-2m)(x+m+3)>0,若2m=-m-3,即m=-1,此时f(x)<0的解集为{x|x≠-2},满足题意;若2m>-m-3,即-1<m<0,此时f(x)<0的解集为{x|x>2m或x<-m-3},依题意2m<1,即-1<m<0;若2m<-m-3,即m<-1,此时f(x)<0的解集为{x|x<2m或x>-m-3},依题意-m-3<1,m>-4,即-4<m<-1.综上可知,满足条件的m的取值范围是-4<m<0.15.(1)解∵g(x)= f(x)-(x+1)=ln x-(x+1),∴g'(x)=-1(x>0).令g'(x)>0,解得0<x<1;令g'(x)<0,解得x>1.∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴g(x)极大值=g(1)=-2.(2)证明由(1)知x=1是函数g(x)的极大值点,也是最大值点,∴g(x)≤g(1)=-2,即ln x-(x+1)≤-2⇒ln x≤x-1(当且仅当x=1时等号成立).令t=x-1,得t≥ln(t+1),取t=(n∈N*),则>ln=ln,∴1>ln 2,>ln>ln,…,>ln,叠加得1++…+>ln·…·=ln(n+1).。

思想方法训练4 转化与化归思想一、能力突破训练1.已知M={(x,y)|y=x+a},N={(x,y)|x2+y2=2},且M∩N=⌀,则实数a的取值范围是()A.a>2B.a<-2C.a>2或a<-2D.-2<a<22.若直线y=x+b被圆x2+y2=1所截得的弦长不小于1,则b的取值范围是()A.[-1,1]B.C.D.3.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为()A.B.[-1,0]C.[0,1]D.4.(2018北京,理7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.45.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<2(x∈R),则不等式f(x)<2x+1的解集为()A.(1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)6.已知函数f(x)=ax3+b sin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg 2))=()A.-5B.-1C.3D.47.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.8.已知函数f(x)=2x-2-x,若不等式f(x2-ax+a)+f(3)>0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.9.若对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2-2x在区间(t,3)内总不为单调函数,求实数m的取值范围.10.已知函数f(x)= x3-2ax2-3x.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)已知对一切x∈(0,+∞),af'(x)+4a2x≥ln x-3a-1恒成立,求实数a的取值范围.二、思维提升训练11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的最小值是()A.B.C.D.12.设F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使()·=0,O为坐标原点,且||=|,则该双曲线的离心率为()A.+1B.C.D.13.若函数f(x)=x2-ax+2在区间[0,1]上至少有一个零点,则实数a的取值范围是.14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是.15.已知函数f(x)=eln x,g(x)= f(x)-(x+1)(e=2.718……).(1)求函数g(x)的极大值;(2)求证:1++…+>ln(n+1)(n∈N*).思想方法训练4转化与化归思想一、能力突破训练1.C解析M∩N=⌀等价于方程组无解.把y=x+a代入到方程x2+y2=2中,消去y,得到关于x的一元二次方程2x2+2ax+a2-2=0, ①由题易知一元二次方程①无实根,即Δ=(2a)2-4×2×(a2-2)<0,由此解得a>2或a<-2.2.D解析由弦长不小于1可知圆心到直线的距离不大于,即,解得-b3.A解析设P(x0,y0),倾斜角为α,0≤tan α≤1,y=f(x)=x2+2x+3,f'(x)=2x+2,0≤2x0+2≤1,-1≤x0≤-,故选A.4.C解析设P(x,y),则x2+y2=1.即点P在单位圆上,点P到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+=1+当m=0时,d max=3.5.A解析设F(x)=f(x)-2x-1,则F'(x)=f'(x)-2<0,得F(x)在R上是减函数.又F(1)=f(1)-2-1=0,即当x>1时,F(x)<0,不等式f(x)<2x+1的解集为(1,+∞),故选A.6.C解析因为lg(log210)+lg(lg 2)=lg(log210×lg 2)=lg=lg 1=0,所以lg(lg 2)=-lg(log210).设lg(log210)=t,则lg(lg 2)=-t.由条件可知f(t)=5,即f(t)=at3+b sin t+4=5,所以at3+b sin t=1,所以f(-t)=-at3-b sin t+4=-1+4=3.7.(-13,13)解析若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1.∵d=,∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13).8.(-2,6)解析f(x)=2x-2-x为奇函数且在R上为增函数,所以f(x2-ax+a)+f(3)>0⇒f(x2-ax+a)>-f(3)⇒f(x2-ax+a)>f(-3)⇒x2-ax+a>-3对任意实数x恒成立,即Δ=a2-4(a+3)<0⇒-2<a<6,所以实数a的取值范围是(-2,6).9.解g'(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)内总为单调函数,则①g'(x)≥0在区间(t,3)内恒成立或②g'(x)≤0在区间(t,3)内恒成立.由①得3x2+(m+4)x-2≥0,即m+4-3x在x∈(t,3)内恒成立,∴m+4-3t恒成立,则m+4≥-1,即m≥-5;由②得m+4-3x在x∈(t,3)内恒成立,则m+4-9,即m≤-故函数g(x)在区间(t,3)内总不为单调函数的m的取值范围为-<m<-5.10.解 (1)由题意知当a=0时,f(x)= x3-3x,所以f'(x)=2x2-3.又f(3)=9,f'(3)=15,所以曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为15x-y-36=0.(2)f'(x)=2x2-4ax-3,则由题意得2ax2+1≥ln x,即a在x∈(0,+∞)时恒成立.设g(x)=,则g'(x)=,当0<x<时,g'(x)>0;当x>时,g'(x)<0,所以当x=时,g(x)取得最大值,且g(x)max=,故实数a的取值范围为二、思维提升训练11.B解析显然点A为准线与x轴的交点,如图,过点P作PB垂直准线于点B,则|PB|=|PF|.=sin∠PAB.设过A的直线AC与抛物线切于点C,则0<∠BAC≤∠PAB,∴sin∠BAC≤sin∠PAB.设切点为(x0,y0),则=4x0,又=y',解得C(1,2),|AC|=2∴sin∠BAC=,的最小值为故应选B.12.A解析如图,取F2P的中点M,则=2又由已知得2=0,即=0,又OM为△F2F1P的中位线,在△PF1F2中,2a=||-||=(-1)||,由勾股定理,得2c=2||.∴e=+1.13.[3,+∞)解析由题意,知关于x的方程x2-ax+2=0在区间[0,1]上有实数解.又易知x=0不是方程x2-ax+2=0的解,所以根据0<x≤1可将方程x2-ax+2=0变形为a==x+从而问题转化为求函数g(x)=x+(0<x≤1)的值域.易知函数g(x)在区间(0,1]上单调递减,所以g(x)∈[3,+∞).故所求实数a的取值范围是a≥3.14.(-4,0)解析将问题转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0的解集的子集求解.∵g(x)=2x-2<0,∴x<1.又∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,∴[1,+∞)是f(x)<0的解集的子集.又由f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0知m不可能大于等于0,因此m<0.当m<0时,f(x)<0,即(x-2m)(x+m+3)>0,若2m=-m-3,即m=-1,此时f(x)<0的解集为{x|x≠-2},满足题意;若2m>-m-3,即-1<m<0,此时f(x)<0的解集为{x|x>2m或x<-m-3},依题意2m<1,即-1<m<0;若2m<-m-3,即m<-1,此时f(x)<0的解集为{x|x<2m或x>-m-3},依题意-m-3<1,m>-4,即-4<m<-1.综上可知,满足条件的m的取值范围是-4<m<0.15.(1)解∵g(x)= f(x)-(x+1)=ln x-(x+1),∴g'(x)=-1(x>0).令g'(x)>0,解得0<x<1;令g'(x)<0,解得x>1.∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴g(x)极大值=g(1)=-2.(2)证明由(1)知x=1是函数g(x)的极大值点,也是最大值点,∴g(x)≤g(1)=-2,即ln x-(x+1)≤-2⇒ln x≤x-1(当且仅当x=1时等号成立).令t=x-1,得t≥ln(t+1),取t=(n∈N*),则>ln=ln,∴1>ln 2,>ln>ln,…,>ln,叠加得1++…+>ln=ln(n+1).。

2019-2020年高考数学二轮复习第一部分思想方法研析指导思想方法训练2分类讨论思想理1.已知函数f(x)=若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2)B.(-∞,4)C.[2,4]D.(2,+∞)2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是()A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c23.若a>0,且a≠1,p=log a(a3+1),q=log a(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.5.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N,=λ,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是()A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线6.若x>0,且x≠1,则函数y=lg x+log x10的值域为()A.RB.[2,+∞)C.(-∞,-2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)7.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2a m,则m等于()A.6B.7C.8D.108.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为()A.30°B.60°C.30°或60°D.45°或60°9.已知函数y=a x(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值是.10.已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.11.已知函数f(x)=2a sin2x-2a sin x cos x+a+b(a≠0)的定义域为,值域为[-5,1],求常数a,b的值.12.设a>0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+ln x).(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.思维提升训练13.若直线l过点P且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为()A.3x+4y+15=0B.x=-3或y=-C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=014.已知函数f(x)=则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是(注:e为自然对数的底数)()A.(-1,0]B.C.(-1,0]∪D.15.已知a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a=时,g(a)的值最小.16.已知函数f(x)=a ln x+x2(a为实数).(1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值;(2)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.17.设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f'(x);(2)求A;(3)证明|f'(x)|≤2A.参考答案思想方法训练2分类讨论思想能力突破训练1.B解析当-<1时,显然满足条件,即a<2;当a≥2时,-1+a>2a-5,即2≤a<4.综上知,a<4,故选B.2.B解析在△ABC中,由余弦定理得cos A=,则A=又b=a,由正弦定理,得sin B=sin A=,则B=或B=当B=时,△ABC为直角三角形,选项C,D成立;当B=时,△ABC为等腰三角形,选项A成立,故选B.3.C解析当0<a<1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为减函数,∴a3+1<a2+1.∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.当a>1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为增函数,∴a3+1>a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.综上可得p>q.4.C解析焦点在x轴上时,,此时离心率e=;焦点在y轴上时,,此时离心率e=,故选C.5.C解析不妨设|AB|=2,以AB中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-1,0),B(1,0),设M(x,y),则N(x,0),=(0,-y),=(x+1,0),=(1-x,0),代入已知式子得λx2+y2=λ,当λ=1时,曲线为A;当λ=2时,曲线为B;当λ<0时,曲线为D,所以选C.6.D解析当x>1时,y=lg x+log x10=lg x+2=2;当0<x<1时,y=lg x+log x10=--2=-2.故函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).7.C解析∵S3,S9,S6成等差数列,∴2S9=S3+S6.若公比q=1,显然有2S9≠S3+S6,因此q≠1,从而2,2q9-q6-q3=0,即2q6-q3-1=0,∴q3=-或q3=1(舍去).∵a2+a5=2a m,∴a2(1+q3-2q m-2)=0,1+q3-2q m-2=0,∴q m-2=,∴m=8.8.C解析球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部;球心在三棱锥外部.球心在三棱锥内部时,三棱锥为正三棱锥,设O'为△ABC的中心,在△ABC中,可求得O'A=,所以可得OA=2,SO'=3,SA与平面ABC所成的角即为∠SAO',由tan∠SAO'=,得∠SAO'=60°.同理可得第二种情况中所成角为30°.9解析当a>1时,y=a x在区间[1,2]上递增,故a2-a=,得a=;当0<a<1时,y=a x在区间[1,2]上递减,故a-a2=,得a=故a=或a=10.4解析f(x)=g(x)=(1)当0<x≤1时,方程化为|-ln x+0|=1,解得x=或x=e(舍去).所以此时方程只有1个实根(2)当1<x<2时,方程可化为|ln x+2-x2|=1.设h(x)=ln x+2-x2,则h'(x)=-2x=因为1<x<2,所以h'(x)=<0,即函数h(x)在区间(1,2)上单调递减.因为h(1)=ln1+2-12=1,h(2)=ln2+2-22=ln2-2,所以h(x)∈(ln2-2,1).又ln2-2<-1,故当1<x<2时方程只有1解.(3)当x≥2时,方程可化为|ln x+x2-6|=1.记函数p(x)=ln x+x2-6,显然p(x)在区间[2,+∞)上单调递增.故p(x)≥p(2)=ln2+22-6=ln2-2<-1.又p(3)=ln3+32-6=ln3+3>1,所以方程|p(x)|=1有2个解,即方程|ln x+x2-6|=1有2个解.综上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4个实根.11.解f(x)=a(1-cos2x)-a sin2x+a+b=-2a sin+2a+b.∵x,∴2x+,∴-sin1.因此,由f(x)的值域为[-5,1],可得或解得12.解(1)由已知x>0,f'(x)=x-(a+1)+因为曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1,所以f'(2)=1,即2-(a+1)+=1,所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故曲线f(x)在(2,f(2))处的切线方程为x-y-2=0.(2)f'(x)=x-(a+1)+①当0<a<1时,若x∈(0,a),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(a,1),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-a2+a ln a,极小值是f(1)=-②当a=1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,若x=1,则f'(x)=0,若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,所以函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点,也无极值.③当a>1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(1,a),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(a,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增,此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-,极小值是f(a)=-a2+a ln a.综上,当0<a<1时,f(x)的极大值是-a2+a ln a,极小值是-;当a=1时,f(x)无极值;当a>1时,f(x)的极大值是-,极小值是-a2+a ln a.思维提升训练13.D解析若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=±4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为,解得k=-,此时直线l的方程为3x+4y+15=0.14.C解析因为方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,所以y=f(x)与y=ax的图象有2个交点,a 表示直线y=ax的斜率.当a>0,x>1时,y'=设切点为(x0,y0),k=,所以切线方程为y-y0=(x-x0),而切线过原点,所以y0=1,x0=e2,k=,所以切线l1的斜率为设过原点与y=x+1平行的直线为l2,则直线l2的斜率为,所以当直线在l1和l2之间时,符合题意,此时实数a的取值范围是当a<0时,设过原点与点(1,-1)的直线为l3,其斜率为-1,则在l3的位置以O为中心逆时针旋转一直转到水平位置都符合题意,此时实数a的取值范围是(-1,0].综上所述,实数a的取值范围是(-1,0],故选C.15.2-2解析当a≤0时,在区间[0,1]上,f(x)=|x2-ax|=x2-ax,且在区间[0,1]上为增函数,当x=1时,f(x)取得的最大值为f(1)=1-a;当0<a<1时,f(x)=在区间内递增,在区间上递减,在区间(a,1]上递增,且f,f(1)=1-a, -(1-a)=(a2+4a-4),∴当0<a<2-2时,<1-a.当2-2≤a<1时,1-a;当1≤a<2时,f(x)=-x2+ax在区间上递增,在区间上递减,当x=时,f(x)取得最大值f;当a≥2时,f(x)=-x2+ax在区间[0,1]上递增,当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=a-1.则g(a)=在区间(-∞,2-2)上递减,在区间[2-2,+∞)上递增,即当a=2-2时,g(a)有最小值.16.解(1)f(x)=a ln x+x2的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x=当x∈[1,e]时,2x2∈[2,2e2].若a≥-2,则f'(x)在区间[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递增,此时f(x)min=f(1)=1;若-2e2<a<-2,令f'(x)<0,解得1≤x<,此时f(x)单调递减;令f'(x)>0,解得<x≤e,此时f(x)单调递增,所以f(x)min=f ln;若a≤-2e2,f'(x)在区间[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递减,此时f(x)min=f(e)=a+e2.综上所述,当a≥-2时,f(x)min=1,相应的x=1;当-2e2<a<-2时,f(x)min=ln,相应的x=;当a≤-2e2时,f(x)min=a+e2,相应的x=e.(2)不等式f(x)≤(a+2)x可化为a(x-ln x)≥x2-2x.由x∈[1,e],知ln x≤1≤x且等号不能同时成立,得ln x<x,即x-ln x>0,因而a,x∈[1,e],令g(x)=(x∈[1,e]),则g'(x)=,当x∈[1,e]时,x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0,从而g'(x)≥0(仅当x=1时取等号),所以g(x)在区间[1,e]上是增函数,故g(x)min=g(1)=-1,所以实数a的取值范围是[-1,+∞).17.(1)解f'(x)=-2αsin2x-(α-1)sin x.(2)解(分类讨论)当α≥1时,|f(x)|=|αcos2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).因此A=3α-2.当0<α<1时,将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α-1)cos x-1.令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,g(-1)=α,g(1)=3α-2,且当t=时,g(t)取得极小值,极小值为g=--1=-令-1<<1,解得α<-(舍去),α>当0<时,g(t)在区间(-1,1)内无极值点,|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,所以A=2-3α.当<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知g(-1)>g(1)>g又-|g(-1)|=>0,所以A=综上,A=(3)证明由(1)得|f'(x)|=|-2αsin2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|.当0<时,|f'(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.当<α<1时,A=1,所以|f'(x)|≤1+α<2A.当α≥1时,|f'(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.所以|f'(x)|≤2A.2019-2020年高考数学二轮复习第一部分思想方法研析指导思想方法训练3数形结合思想理1.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则复数对应的点位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.方程sin x的实数解的个数是()A.2B.3C.4D.以上均不对3.若x∈{x|log2x=2-x},则()A.x2>x>1B.x2>1>xC.1>x2>xD.x>1>x24.若函数f(x)=(a-x)|x-3a|(a>0)在区间(-∞,b]上取得最小值3-4a时所对应的x的值恰有两个,则实数b的值等于()A.2±B.2-或6-3C.6±3D.2+或6+35.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是()A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)6.已知函数f(x)=与g(x)=x3+t,若f(x)与g(x)图象的交点在直线y=x的两侧,则实数t的取值范围是()A.(-6,0]B.(-6,6)C.(4,+∞)D.(-4,4)7.“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.9.函数f(x)=2sin x sin-x2的零点个数为.10.若不等式≤k(x+2)-的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k=.11.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=.12.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=,求函数g(x)在x∈上的最大值,并确定此时x的值.思维提升训练13.已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是()A.B.C.D.14.设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是()A.B.C.D.15.在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=() A.2 B.4C.3D.616.(xx北京,理14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.17.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它们的图象在x=1处的切线互相平行.(1)求b的值;(2)若函数F(x)=且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.参考答案思想方法训练3数形结合思想能力突破训练1.D解析由题图知,z=2+i,则i,则对应的点位于复平面内的第四象限.故选D.2.B解析在同一坐标系内作出y=sin与y=x的图象,如图,可知它们有3个不同的交点.3.A解析设y1=log2x,y2=2-x,在同一坐标系中作出其图象,如图,由图知,交点的横坐标x>1,则有x2>x>1.4.D解析结合函数f(x)的图象(图略)知,3-4a=-a2,即a=1或a=3.当a=1时,-b2+4b-3=-1(b>3),解得b=2+;当a=3时,-b2+12b-27=-9(b>9),解得b=6+3,故选D.5.C解析作出f(x)的大致图象.由图象知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨设a<b<c,则-lg a=lg b=-c+6.∴lg a+lg b=0,∴ab=1,∴abc=c.由图知10<c<12,∴abc∈(10,12).6.B解析如图,由题知,若f(x)=与g(x)=x3+t图象的交点位于y=x两侧,则有解得-6<t<6.7.C解析当a=0时,f(x)=|x|在区间(0,+∞)上单调递增;当a<0,x>0时,f(x)=(-ax+1)x=-ax,结合二次函数的图象可知f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增;当a>0时,函数f(x)=|(ax-1)x|的图象大致如图.函数f(x)在区间(0,+∞)上有增有减,从而“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增”的充要条件,故选C.8.- 解析在同一坐标系中画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-9.2解析f(x)=2sin x sin-x2=2sin x cos x-x2=sin2x-x2.如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=x2的图象,当x≥0时,两图象有2个交点,当x<0时,两图象无交点,综上,两图象有2个交点,即函数的零点个数为2.10解析令y1=,y2=k(x+2)-,在同一个坐标系中作出其图象,如图.k(x+2)-的解集为[a,b],且b-a=2,结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2),∴k=11.-8解析因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),即f(4-x)=f(x).因此,函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x).又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数,如图所示(草图),方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.12.解(1)由题图知A=2,,则=4,得ω=又f=2sin=2sin=0,∴sin=0.∵0<φ<,-<φ-,∴φ-=0,即φ=,∴f(x)的解析式为f(x)=2sin(2)由(1)可得f=2sin=2sin,g(x)==4=2-2cos∵x,∴-3x+,∴当3x+=π,即x=时,g(x)max=4.思维提升训练13.D解析由f(x)=得f(x)=f(2-x)=所以f(x)+f(2-x)=因为函数y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4个零点,所以函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.画出函数y=f(x)+f(2-x)的图象,如图.由图可知,当b时,函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.故选D.14.D解析设g(x)=e x(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).因为g'(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),当x<-时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>-时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=e x(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=e x(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D取点C由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足k PC≤a<k PA.而k PC=,k PA==1,所以a<1.故选D.15.C解析画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.作出直线x+y-2=0.设直线x-3y+4=0与x+y=0的交点为C,直线x=2与直线x+y=0的交点为D.过C作CA⊥直线x+y-2=0于点A,过D作DB⊥直线x+y-2=0于点B,则区域中的点在直线x+y-2=0上的投影为AB.∵直线x+y-2=0与直线x+y=0平行,∴|CD|=|AB|.由C点坐标为(-1,1).由D点坐标为(2,-2).∴|CD|==3,即|AB|=3故选C.16.(1)Q1(2)p2解析(1)连接A1B1,A2B2,A3B3,分别取线段A1B1,A2B2,A3B3的中点C1,C2,C3,显然C i的纵坐标即为第i名工人一天平均加工的零件数,由图可得点C1最高,故Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y1,y2,工作时间分别为x1,x2,则该工人这一天中平均每小时加工的零件数为p==k OC(C为点(x1,y1)和(x2,y2)的中点),由图可得,故p1,p2,p3中最大的是p2.17.解函数g(x)=bx2-ln x的定义域为(0,+∞).(1)f'(x)=3ax2-3a⇒f'(1)=0,g'(x)=2bx-g'(1)=2b-1,依题意2b-1=0,得b=(2)当x∈(0,1)时,g'(x)=x-<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)=x->0.所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=当a=0时,方程F(x)=a2不可能有且仅有四个解.当a<0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,又f(0)=0,所以F(x)的图象如图①所示.从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.当a>0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.又f(0)=0,所以F(x)的图象如图②所示.从图象看出方程F(x)=a2有四个解,则<a2<2a,所以实数a的取值范围是图①图②。

思想方法训练转化与化归思想一、能力突破训练.已知{()}{()},且∩⌀,则实数的取值范围是()><>或<<<.若直线被圆所截得的弦长不小于,则的取值范围是().[] ....设为曲线上的点,且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为,则点横坐标的取值范围为() ..[].[] ..(北京,理)在平面直角坐标系中,记为点( θθ)到直线的距离.当θ变化时的最大值为().已知定义在实数集上的函数()满足(),且()的导数'()在上恒有'()<(∈),则不等式()<的解集为() .(∞) .(∞).() .(∞)∪(∞).已知函数() (∈)(()),则(( ))().在平面直角坐标系中,已知圆上有且只有四个点到直线的距离为,则实数的取值范围是..已知函数(),若不等式()()>对任意实数恒成立,则实数的取值范围是..若对于任意∈[],函数()在区间()内总不为单调函数,求实数的取值范围..已知函数().()当时,求曲线()在点(())处的切线方程;()已知对一切∈(∞)'()≥恒成立,求实数的取值范围.二、思维提升训练.已知抛物线的焦点为,点()为抛物线上的动点,又点(),则的最小值是().....设分别是双曲线(>>)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点,使()·为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()....若函数()在区间[]上至少有一个零点,则实数的取值范围是..已知()()()(),若∀∈()<或()<,则的取值范围是..已知函数() ()()()(……).()求函数()的极大值;()求证…>()(∈*).思想方法训练转化与化归思想一、能力突破训练解析∩⌀等价于方程组无解.把代入到方程中,消去,得到关于的一元二次方程,①由题易知一元二次方程①无实根,即Δ()××()<,由此解得>或<.解析由弦长不小于可知圆心到直线的距离不大于,即,解得解析设(),倾斜角为α≤α≤()'(),≤≤≤≤,故选.解析设(),则.即点在单位圆上,点到直线的距离可转化为圆心()到直线的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为当时.解析设()(),则'()'()<,得()在上是减函数.又()(),即当>时()<,不等式()<的解集为(∞),故选.解析因为()()(×),所以()().设(),则().由条件可知(),即(),所以,所以()..()解析若圆上有四个点到直线的距离为,则需圆心()到直线的距离满足≤<.∵,。

思想方法训练3 数形结合思想一、能力突破训练1.已知i为虚数单位,如果图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,那么复数对应的点位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.方程sin x的实数解的个数是()A.2B.3C.4D.以上均不对3.若x∈{x|log2x=2-x},则()A.x2>x>1B.x2>1>xC.1>x2>xD.x>1>x24.若函数f(x)=(a-x)|x-3a|(a>0)在区间(-∞,b]上取得最小值3-4a时所对应的x的值恰有两个,则实数b的值等于()A.2±B.2-或6-3C.6±3D.2+或6+35.已知函数f(x)=与g(x)=x3+t,若f(x)与g(x)图象的交点在直线y=x的两侧,则实数t的取值范围是()A.(-6,0]B.(-6,6)C.(4,+∞)D.(-4,4)6.(2018浙江,9)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是()A.-1B.+1C.2D.2-7.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.8.函数f(x)=2sin x sin-x2的零点个数为.9.若不等式≤k(x+2)-的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k= .10.已知函数f(x)为偶函数且f(x)=f(x-4),又f(x)=函数g(x)=+a,若F(x)=f(x)-g(x)恰好有4个不同的零点,则a的取值范围是.11.电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万)30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?二、思维提升训练12.已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是()A .B .C.D .13.设函数f(x )=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是()A.B.C.D.14.已知函数f(x)=则方程f(x)=2x在区间[0,2 018]上的根的个数是.15.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),求abc的取值范围.16.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它们在x=1处的切线互相平行.(1)求b的值;(2)若函数F(x)=且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.2思想方法训练3数形结合思想一、能力突破训练1.D解析由题图知,z=2+i,i,则对应的点位于复平面内的第四象限.故选D.2.B解析在同一坐标系内作出y=sin与y=x的图象,如图,可知它们有3个不同的交点.3.A解析设y1=log2x,y2=2-x,在同一坐标系中作出其图象,如图,由图知,交点的横坐标x>1,则有x2>x>1.4.D解析结合函数f(x)的图象(图略)可知,3-4a=-a2,即a=1或a=3.当a=1时,-b2+4b-3=-1(b>3),解得b=2+;当a=3时,-b2+12b-27=-9(b>9),解得b=6+3,故选D.5.B解析如图,由题知,若f(x)=与g(x)=x3+t图象的交点位于y=x两侧,则有解得-6<t<6.6.A解析∵e为单位向量,b2-4e·b+3=0,∴b2-4e·b+4e2=1.∴(b-2e)2=1.以e的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,如图.=2e ,=b ,=a,α=.由(b-2e)2=1,可知点B在以点E为圆心,1为半径的圆上.由|a-b |=||=||,3可知|a-b|的最小值即为||的最小值,即为圆上的点B到直线OA的距离.又直线OA为y=x,点E为(2,0),∴点E到直线OA的距离d=.∴||的最小值为-1,即|a-b|的最小值为-1.7.- 解析在同一坐标系画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-.8.2解析f(x)=2sin x sin-x2=2sin x cos x-x2=sin 2x-x2.如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=x2的图象,当x≥0时,两图象有2个交点,当x<0时,两图象无交点,综上,两图象有2个交点,即函数的零点个数为2.9.解析令y1=,y2=k(x+2)-,在同一个坐标系中作出其图象,如图.∵≤k(x+2)-的解集为[a,b],且b-a=2,结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2),∴k=.10.解析由f(x)=f(x-4),知f(x)是周期为4的函数;由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x+4),得图象的对称轴为直线x=2.若F(x)恰有4个零点,则有解得a ∈.11.解 (1)由已知,x,y 满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:4图1(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.考虑z=60x+25y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取得最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.解方程组得点M的坐标为(6,3).所以,电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.图2二、思维提升训练12.D解析由f(x)=得f(x)=f(2-x)=所以f(x)+f(2-x)=因为函数y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4个零点,所以函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.56画出函数y=f (x )+f (2-x )的图象,如图.由图可知,当b ∈时,函数y=b 与y=f (x )+f (2-x )的图象有4个不同的交点.故选D .13.D 解析 设g (x )=e x(2x-1),h (x )=a (x-1),则不等式f (x )<0即为g (x )<h (x ).因为g'(x )=e x (2x-1)+2e x =e x(2x+1),当x<-时,g'(x )<0,函数g (x )单调递减; 当x>-时,g'(x )>0,函数g (x )单调递增.所以g (x )的最小值为g .而函数h (x )=a (x-1)表示经过点P (1,0),斜率为a 的直线.如图,分别作出函数g (x )=e x(2x-1)与h (x )=a (x-1)的大致图象. 显然,当a ≤0时,满足不等式g (x )<h (x )的整数有无数多个.函数g (x )=e x(2x-1)的图象与y 轴的交点为A (0,-1),与x 轴的交点为D .取点C .由图可知,不等式g (x )<h (x )只有一个整数解时,须满足k PC ≤a<k PA .而k PC =,k PA ==1,所以≤a<1.故选D . 14.2 019解析 画出y=f (x )与y=2x 的图象如图所示,由图象可得,方程f(x)=2x在[0,2 018]内的根分别是x=0,1,2,3,…,2 018,共2 019个.15.解因为-lg a=lg b⇒ab=1,所以abc=c,也就是说只需要求出c的取值范围即可,如下图所示,绘制出图象,平移一条平行于x轴的直线,可以发现c的取值范围是10<c<12,因此10<abc<12.故abc 的取值范围是(10,12).16.解函数g(x)=bx2-ln x的定义域为(0,+∞).(1)f'(x)=3ax2-3a⇒f'(1)=0,g'(x)=2bx-⇒g'(1)=2b-1,依题意2b-1=0,得b=.(2)当x∈(0,1)时,g'(x)=x-<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)=x->0.所以当x=1时,g(x)取得极小值g (1)=.当a=0时,方程F(x)=a2不可能有且仅有四个解.当a<0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,x∈(-1,0)时,f'(x)>0,所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,又f(0)=0,所以F(x)的图象如图①所示.从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.当a>0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,x∈(-1,0)时,f'(x)<0,所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.又f(0)=0,所以F(x)的图象如图②所示.从图象看出方程F(x)=a2有四个解,则<a2<2a,所以实数a 的取值范围是.图①图②7。