高考数学复习 6-2 基本不等式课件 新人教A版

3．“恒成立”问题的解法 不等式的“恒成立”问题是不等式综合应用中一类 常见的题型，蕴涵着转化、数形结合、分类讨论、函数 与方程等丰富的数学思想方法，处理不等式恒成立问题 的基本思路是转化为求函数的最值或函数值域的问题．
利用基本不等式比较大小
[例 1] (文 )(2010· 江苏南京 )已知 b>a>0， 且 a＋ b＝ 1， 那么 ( )
答案：A
(2011· 陕西文， 3)设 0<a<b，则下列不等式中正确 的是 ( ) a＋ b B． a< ab< <b 2 a＋ b D. ab<a< <b 2
a＋ b A． a<b< ab< 2 a＋ b C． a< ab<b< 2
解析： 解法 1：取 a＝ 1， b＝ 2，易排除 A、 C、D. a＋ b 解法 2：∵ 0<a<b，∴由基本不等式知 > ab. 2 2a a＋ b 2b 又 a＝ < < ＝b， a< ab<b， 2 2 2 a＋ b ∴ a< ab< <b. 2
A． RA>RB C． RA<RB
B．RA＝ RB D．不确定
R1＋ R2 2R1R2 解析： RA＝ ，RB＝ ， 2 R1＋ R2 R1＋R2 2R1R2 R1＋R22－4R1R2 RA－ RB＝ － ＝ 2 R1＋ R2 2 R1＋ R2 R1－ R22 ＝ >0，所以 RA>RB. 2 R1＋ R2
第 二 节
基本不等式
重点难点 重点： 基本不等式的理解与运用． 难点：应用基本不等式解决实际问题时条件的把握．
知识归纳 a＋ b 1． 基本不等式： 对任意 a、 b∈____ 有 ≥ ab成 R ， 2
＋
立，当且仅当 a＝ b 时取等号． (1)x、 y∈(0，＋∞ )，且 xy＝ P(定值)，那么当 x＝ y
b)(1－ 2b)<0.故应选 B.
答案：B
点评：可用特值法，∵ b>a>0，a＋ b＝1，∴可取 b 3 1 ＝ ， a＝ ，则可知其大小关系． 4 4
(理)已知 R1、R2 是阻值不同的两个电阻，现分别按 图①②连接，设相应的总阻值分别为 RA、 RB，则 RA 与 RB 的大小关系是 ( )
16 ＝ (x－ 8)＋ ＋ 10≥ 2 x－ 8
16 x－ 8 · ＋ 10＝ 18. x－ 8
2 3 解析：(1) ＋ ≥ 2 x y 号在 x＝ 2， y＝ 3 时成立 ) 故 xy 的最小值为 6.
6 ，∴ 2 xy
6 ≤ 2，∴xy≥ 6.(等 xy
(2)由 2x＋8y－ xy＝ 0 得 y(x－ 8)＝2x. 2x ∵ x>0， y>0，∴ x－ 8>0， y＝ . x－ 8 2x－ 16＋ 16 2x u＝ x＋ y＝x＋ ＝x＋ x－ 8 x－ 8
a4－ b4 a＋ b A． 2ab< < <b 2 a－ b a＋ b a4－ b4 B． 2ab< < <b 2 a－ b a4－ b4 a＋ b C. <2ab< <b 2 a－ b a＋ b a4－b4 D． 2ab< <b< 2 a－ b
2 a ＋ b 1 解析：∵ b>a>0，a＋b＝1，∴ b> ，∴ 2ab< ＝ 2 2 2 4 4 a＋ b a ＋ b a － b 1 ， 且 a2 ＋ b2> ＝ .∴ ＝ (a ＋ b)(a2 ＋ 2 2 2 a－ b 4 4 a ＋ b a － b b2)> .又 － b ＝ a2 ＋ b2 － b ＝ 2b2 － 3b ＋ 1 ＝ (1 － 2 a－ b
答案：B
点评： 关于不等式的解集，不等式的一些关系式， 用特值法有时会简捷获解 .
利用基本不等式求最值
2 3 [例 2] (1)已知 ＋ ＝ 2(x>0， y>0)，求 xy 的最小值． x y (2)若 x、 y∈ R＋，且 2x＋ 8y－ xy＝ 0.求 x＋ y 的最小值． 分析： (1)可利用基本不等式转化为 xy的不等式求解． (2)可消去一个变量，将 x＋ y 用一个变量表示，再配凑 出能运用基本不等式的条件．
R)
2 2 a＋ b a ＋ b 2 ≤ (a、 b∈ R)，以上各等号在 ____ 2 2
a＝ห้องสมุดไป่ตู้b 时
成立．
a b 1 1 (2) ＋ ≥ 2(a、 b 同号 )， 特别地 ＋ a≥ 2(a>0)， ＋ a≤ b a a a － 2(a<0)． a2＋ b2 a＋ b 2 ＋ ≥ ≥ ab≥ (a、 b∈ R )． 2 2 1 1 ＋ a b 3．含绝对值的不等式 ||a |－ |b ||≤ |a± b|≤ |a |＋ |b |， a＋ m a 4. > (b>a>0， m>0) b＋ m b
误区警示 在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、 三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值， “二定”是说各个项的和(或积 )必须为定值． “三相等” 是说各个项中字母取某个值时，能够使得各项的值相等． 多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次 等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．
小 值 2 P. 时， x＋ y 有最 ___
(2)x、 y∈(0，＋∞)，且 x＋ y＝ S(定值)，那么当 x＝ S2 大 值 . y 时， xy 有最 ____ 4
2．基本不等式的常见变式及有关结论
2 2 a ＋ b (1)a2＋ b2≥ 2ab(a、 b∈ R)； ab≤ (a、 b∈ R) 2 2 a＋ b a ＋ b 2 2 ≥ 2 ≤ a ＋ b ____ (a、 b∈ R)； ab____ 2 ( a、 b∈ 2
解题技巧 1．证明不等式常用的方法： 比较法 (作差法和作商法 )、 综合法、 分析法、 反证法、 放缩法、换元法 (三角代换法 )、单调性法、判别式法、几 何法 (利用几何意义)． 2．条件最值是基本不等式的一个重要应用．应用基 本不等式求最值时，①通过对所给式进行巧妙分拆、变 形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键．② 必须指出等号成立的条件．