时间序列分析讲义 第10章 协方差平稳向量过程

平稳过程公式自协方差函数自相关函数的计算公式为了计算平稳过程的自协方差函数和自相关函数，我们首先需要了解平稳过程、协方差函数和自相关函数的定义和计算方法。

一、平稳过程的定义在时间序列分析中，平稳过程指的是具有稳定统计特性的随机过程。

简单来说，平稳过程是指整个时间序列的统计分布在不同时刻不发生明显变化的过程。

二、协方差函数的定义和计算公式协方差函数用来衡量两个随机变量之间的线性关系程度。

对于平稳过程，协方差函数只与时间间隔有关，而与具体的时间点无关。

对于平稳过程{X(t)}，其协方差函数γ(k)定义为：γ(k) = Cov(X(t), X(t+k))其中，Cov表示协方差的计算，k表示时间间隔。

根据简单的平均值计算公式，协方差函数的计算公式为：γ(k) = E[(X(t)-μ)(X(t+k)-μ)]其中，E表示期望操作，μ表示随机变量X(t)的均值。

三、自相关函数的定义和计算公式自相关函数用来衡量一个随机过程在不同时刻的相关性。

对于平稳过程，自相关函数只与时间间隔有关，而与具体的时间点无关。

自相关函数ρ(k)定义为：ρ(k) = Co v(X(t), X(t+k)) / Var(X(t))其中，Cov和Var分别表示协方差和方差。

根据协方差函数和方差的定义，自相关函数的计算公式为：ρ(k) = γ(k) / γ(0)其中，γ(k)表示协方差函数。

四、总结通过以上的论述，我们可以得出平稳过程的自协方差函数和自相关函数的计算公式：自协方差函数：γ(k) = Cov(X(t), X(t+k))自相关函数：ρ(k) = γ(k) / γ(0)需要注意的是，在实际计算中，协方差函数和自相关函数通常只计算一部分的值，比如只计算前几个滞后阶数的值，以节省计算时间和资源。

总而言之，平稳过程的自协方差函数和自相关函数提供了衡量序列内在关系的重要指标，对于分析时间序列的特征和预测未来数值具有重要作用。

正确理解和计算这些函数的公式是进行时间序列分析的基础。

第十章 协方差平稳向量过程在时间序列理论当中，涉及到向量时间序列地主要有两部分内容，一部分是多元动态系统，另一部分是向量自回归模型地估计和检验.在本章当中，我们主要讨论一些有关向量随机过程地基本概念.§10.1 向量自回归导论仍然利用小写字母表示随机变量或者观测地实现，只是现在讨论1⨯n 维随机向量之间地动态交互作用.一个p 阶向量自回归模型可以表示为)(p VAR ：t p t p 2t 21t 1t εY ΦY ΦY Φc Y +++++=---其中p 1ΦΦ ,是n n ⨯阶系数矩阵，t ε是白噪声向量，满足：⎩⎨⎧≠=Ω=t s t s E ,0,)(t s εε 其中Ω是n n ⨯阶正定矩阵.可以利用分量形式将上述方程组地第一个方程表示为：tp t n p n p t p p t p t n n t t t n n t t t y y y y y y y y y c y 1,)(1,2)(12,1)(112,)2(12,2)2(122,1)2(111,)1(11,2)1(121,1)1(1111εφφφφφφφφφ++++++++++++++=---------由此可见，在)(p VAR 模型当中，每个变量都表示成为常数项和其他所有变量地p 阶自回归形式.一个显著地不同是，每个方程地残差项之间可能是相关地.利用滞后算子形式，可以将)(p VAR 模型表示成为：t t p 21εc ΦΦΦ+=----y L L L I p n ][2其中滞后算子多项式地元素可以表示成为：p p ij ij ij ij ij L L L L )(2)2()1()(φφφδ----= Φ其中j i ij ==,1δ，j i ij ≠=,0δ定义10.1如果一个向量过程地一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程.此时下述变量与初始时间t 无关：)(t E y 和)(j t t E -'y y命题10.1如果一个向量过程满足)(p VAR 模型，则有：(1) 该过程地均值向量可以表示成为：c ΦΦΦI μp 211][-----= n(2) )(p VAR 模型可以表示成为中心化形式：t 1εμy Φμy Φμy Φμy +-++-+-=----)()()()(221p t p t t t类似于高阶差分方程情形，我们也可以将向量)(p VAR 模型表示成为)1(VAR 过程.定义：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=+---μμμμξ121p t t t t t y y y y ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-0000000000001321p n p n nI I I F φφφφφ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000 t t w v则向量)(p VAR 模型可以表示成为)1(VAR 过程：t t t v F +=-1ξξ与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，也可以将VAR (p )表示成为VAR (1)地形式.为此，定义更高阶地向量：),,,(111'---=+--⨯μμμξp t t t np y y y)0,,0,(1'=⨯ t np V ε⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦΦΦΦ=⨯0000000000001321n n n p np np I I I F定义10.2 如果一个向量过程地一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程.此时下§10.2 向量过程地自协方差和收敛结果与标量过程类似，我们继续讨论向量过程地自协方差函数及其性质.10.2.1j 阶自相关矩阵对一个协方差平稳地n 维向量过程，j 阶自协方差定义为下面地n n ⨯维矩阵：][)μμ)(y (y Γ'--=-j t t j E我们需要注意地是，对于标量过程而言，如果该过程是协方差平稳地，则自协方差函数具有对称性，即j j -=γγ.但是对向量平稳过程而言，却有：j j -≠ΓΓ.例如，矩阵j Γ地)2,1(位置元素是),cov(21j t t y y -，而矩阵j -Γ地)2,1(位置元素是),cov(21j t t y y +，没有理由认为这两者之间是相关地，因为1y 对以前出现在2y 地变化产生地反应可能与2y 对以前出现在1y 地变化地反应完全不同.但是，正确地关系式是：j j -='ΓΓ为了推导出这个公式，注意到协方差平稳性意味着时刻t 可以替代为任意地j t +，则有： ][][)μμ)(y (y )μμ)(y (y Γ'--='--=+-++t j t j j t j t j E E对上式进行转置运算，得到：j j t t j E -+='--='Γ)μμ)(y (y Γ][10.2.1向量)(q MA 过程对一个协方差平稳地n 维向量版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.jLBHr。

平稳过程的条件平稳过程的条件一、引言在统计学中，平稳过程是指随机过程的统计性质不随时间的变化而改变。

例如，如果一个时间序列的均值和方差不随时间变化，则该序列是平稳的。

平稳过程是许多统计学方法的基础，因此了解什么是平稳过程以及如何识别它们非常重要。

二、什么是平稳过程？平稳过程是指随机过程在统计上具有不变性。

具体来说，如果一个时间序列的均值、方差和自协方差函数不随时间变化，则该序列被认为是弱平稳的；如果自协方差函数只依赖于时间间隔而与起始时间无关，则该序列被认为是强平稳的。

三、如何判断一个时间序列是否为平稳过程？1. 观察图形通过绘制时序图、自相关图和偏自相关图进行观察。

如果时序图呈现出明显的趋势或周期性，则该序列不是平稳的。

自相关图和偏自相关图可以帮助我们确定是否存在任何显著的自相关或偏自相关。

2. 统计检验使用单位根检验（ADF检验）等方法对时间序列进行统计检验。

如果序列的单位根检验的p值小于0.05，则说明该序列不是平稳的。

3. 模型拟合使用ARIMA模型等方法对时间序列进行拟合。

如果模型的残差具有自相关性，则说明该序列不是平稳的。

四、平稳过程的条件1. 均值不变性平稳过程在时间上保持均值不变性，即随机过程在任何时刻t的均值都相同。

这意味着，在任何时刻t，随机过程与其在另一个时刻t'（t≠t'）的均值相同。

2. 方差不变性平稳过程在时间上保持方差不变性，即随机过程在任何时刻t的方差都相同。

这意味着，在任何时刻t，随机过程与其在另一个时刻t'（t≠t'）的方差相同。

3. 自协方差函数只依赖于时间间隔自协方差函数只依赖于时间间隔而与起始时间无关，即Cov(X_t,X_{t+h})=Cov(X_{s},X_{s+h})，其中s、t和h为任意实数。

4. 自相关系数只依赖于时间间隔自相关系数只依赖于时间间隔而与起始时间无关，即Corr(X_t,X_{t+h})=Corr(X_{s},X_{s+h})，其中s、t和h为任意实数。

第十章 协方差平稳向量过程和向量自回归模型在时间序列理论当中，涉及到向量时间序列的主要有两部分内容，一部分是多元动态系统，另一部分是向量自回归模型的估计和检验。

在本章当中，我们主要讨论一些基本概念。

§10.1 向量自回归导论仍然利用小写字母表示随机变量或者实现，只是现在讨论1⨯n 向量之间的动态交互作用。

假设一个p 阶向量自回归模型可以表示为)(p VAR ：t p t p 2t 21t 1t εY ΦY ΦY Φc Y +++++=--- (10.1) 其中p 1ΦΦ ,是n n ⨯阶系数矩阵，t ε是白噪声向量，满足：⎩⎨⎧≠=Ω=t s t s E ,0,)(t s εε 其中Ω是n n ⨯阶正定矩阵。

可以利用分量形式将上述方程组的第一个方程表示为：tp t n p n p t p p t p t n n t t t n n t t t y y y y y y y y y c y 1,)(1,2)(12,1)(112,)2(12,2)2(122,1)2(111,)1(11,2)1(121,1)1(1111εφφφφφφφφφ++++++++++++++=--------- (10.2)由此可见，在)(p VAR 模型当中，每个变量都表示成为常数项和其他所有变量的p 阶自回归的形式。

此时与一元情形的一个显著的不同是，每个方程的残差项之间可能是相关的。

利用滞后算子形式，可以将)(p VAR 模型表示成为：t t p 21εc ΦΦΦ+=----y L L L I p n ][2 (10.3) 其中滞后算子多项式的元素可以表示成为：p p ij ij ij ij ij L L L L )(2)2()1()(φφφδ----= Φ其中j i ij ==,1δ，j i ij ≠=,0δ定义10.1 如果一个向量过程的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程。

此时下述变量与初始时间t 无关：)(t E y 和)(j t t E -'y y命题10.1 如果一个向量过程满足)(p VAR 模型，且该过程是向量协方差平稳过程，则该过程的性质有：(1) 该过程的均值向量可以表示成为：c ΦΦΦI μp 211][-----= n (10.4)(2) )(p VAR 模型可以表示成为中心化形式：12()()()()t t t t p t ----=-+-++-+12p y μΦy μΦy μΦy με (10.5)§10.2 向量自回归方程的表示和平稳性条件与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，我们也可以将一个普通的VAR (p )模型表示成为VAR (1) 的形式。

时间序列平稳性分析(课件)时间序列平稳性分析文章结构•时间序列的概念•平稳性检验•纯随机性检验•spss的具体操作1.1时间序列分析的概念•时间序列是一个按时间的次序排列起来的随机数据集合。

而时间序列分析是概率论与数理统计学科的一个重要分支，它以概率统计学为理论基础来分析随机数据序列（或称为动态数据序列）并对其建立相应的数学模型，即对模型定阶，进行参数估计，进一步将用于预测。

在对时间序列进行分析的时候我们的前提任务是如何进行的呢？2.1平稳性检验•••••特征统计量平稳时间序列的定义平稳时间序列的统计性质平稳时间序列的意义平稳性检验概率分布•概率分布的意义随机变量族的统计性质完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定•时间序列概率分布族的定义{ }Ft1,t2,...,tm(x1,x2,...,xm)m(1,2,...,m),t1,2,...,T•实际应用局限性概率分布•概率分布的意义随机变量族的统计性质完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定•时间序列概率分布族的定义{ }Ft1,t2,...,tm(x1,x2,...,xm)m(1,2,...,m),t1,2,...,T•实际应用局限性特征统计量•均值t EXt•方差Var(Xt)E(Xt t)xdFt(x)2(x t)dFt(x)•协方差•自相关系数(t,s)E(Xt t)(XS)S(t,s)(t,s)DXt DXs平稳时间序列的定义•严平稳严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列所有的统计性质都不会随时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳•宽平稳宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。

它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。

•满足如下条件的序列称为严平稳序列正整数m，t1,t1,...,tm T,正整数t,有Ft1,t2,...,tm（x1,x2,...,xm）Ft1t,t2t,...,•满足如下条件的序列称为宽平稳序列1)EXt,t T2)EXt,为常数，t T2tmt（x1,x2,...,x3)（t,s）（k,k s t）,t,s,k且k s t T•常数性质•自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关1）延迟k自协方差函数（k）（t,t k）,k为整数2）延迟k自相关系数k（k）（0）自相关系数的性质••••规范性对称性非负定性非唯一性平稳性的检验•时序图检验根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应、无明显该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征•自相关图检验平稳序列通常具有短期相关性。

时间序列协方差平稳
时间序列的协方差平稳性是指时间序列数据的协方差在不同时间点上保持稳定或不变的特性。

在统计学和经济学中，时间序列数据的平稳性是一个重要的概念，因为它对于许多时间序列分析方法的有效性和可靠性具有重要影响。

从数学角度来看，时间序列数据的协方差平稳性可以通过满足以下条件来定义：
1. 严平稳性，时间序列数据的协方差是严平稳的，即协方差只取决于时间间隔，而不取决于具体的时间点。

2. 弱平稳性，时间序列数据的协方差是弱平稳的，即均值和方差在不同时间点上是恒定的，且自协方差只取决于时间间隔。

时间序列数据的协方差平稳性对于许多统计模型的应用具有重要意义。

例如，在建立ARMA（自回归移动平均）模型时，平稳性是一个基本的假设条件。

如果时间序列数据的协方差不是平稳的，那么在进行预测和推断时可能会导致错误的结论。

从实际应用的角度来看，时间序列数据的协方差平稳性也对金
融领域的风险管理和投资组合优化具有重要影响。

投资者和风险分
析师需要确保他们使用的时间序列数据具有平稳的协方差特性，以
便能够准确地评估风险和收益的关系。

在实际分析中，我们可以通过统计方法和图形方法来检验时间
序列数据的协方差平稳性。

例如，可以使用单位根检验（ADF检验）来检验时间序列数据的平稳性。

此外，还可以通过绘制自相关图和
偏自相关图来观察时间序列数据的平稳性特征。

总之，时间序列数据的协方差平稳性是时间序列分析中一个重
要的概念，它对于统计建模、风险管理和投资决策都具有重要的影响。

因此，在进行时间序列分析时，需要充分考虑和检验时间序列
数据的协方差平稳性特征。

时间序列分析中的平稳性与非平稳性时间序列分析是一种用来研究时间数据的统计方法，它可以揭示出时间序列数据的模式和趋势，并预测未来的发展。

在进行时间序列分析时，我们经常会遇到平稳性和非平稳性的问题，本文将重点讨论这两个概念及其在时间序列分析中的重要性。

1. 什么是平稳性？平稳性是指时间序列在统计特性上具有不变性，即其均值和方差不随时间的推移而发生改变。

具体而言，平稳时间序列的均值在时间维度上是稳定的，方差也不会随时间变化而增加或减小。

此外，平稳时间序列的自协方差只与时间间隔有关，而与特定时间点无关。

2. 平稳性的判断方法为了判断一个时间序列是否具有平稳性，我们可以使用一些统计检验方法。

常见的方法有ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）、KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test）等。

ADF检验通常用于检验平稳性，其原假设是时间序列具有单位根（非平稳），如果检验结果拒绝了原假设，则可以得出时间序列是平稳的结论。

3. 非平稳性的表现形式非平稳性的时间序列可能会呈现出明显的趋势、季节性或周期性变化。

趋势是时间序列长期的、持续的上升或下降，季节性是指时间序列在特定时间点上出现的周期性波动，周期性是指时间序列存在长期的、不规则的上升或下降。

4. 非平稳性的处理方法如果时间序列是非平稳的，我们需要对其进行处理，以使其具备平稳性。

常见的处理方法有差分法、对数变换等。

差分法可以通过计算相邻时间点的差值来消除趋势和季节性，对数变换则可以通过对时间序列取对数来减少其波动性。

5. 平稳性的重要性平稳性在时间序列分析中非常重要，具有以下几个方面的意义： - 简化模型：平稳时间序列的统计特性稳定，可以简化模型的建立和预测。

- 降低误差：平稳时间序列的随机误差具有恒定的方差，使得模型的预测更准确。

- 提高可靠性：基于平稳时间序列建立的模型具有更好的可靠性和稳定性，可以更好地应对未来的变化。