2.3逆矩阵

逆矩阵的知识点总结一、逆矩阵的基本概念1.1 矩阵的逆在矩阵理论中，矩阵的逆是一个重要的概念。

如果存在一个矩阵B，使得矩阵A与矩阵B相乘得到单位矩阵I，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵，记作A-1。

换句话说，如果AB=I，那么B就是A的逆矩阵。

1.2 逆矩阵的存在性并非所有的矩阵都有逆矩阵。

只有当矩阵是可逆的时候，才会存在逆矩阵。

一个矩阵是可逆的，当且仅当它是一个方阵且其行列式不为0。

1.3 逆矩阵的求解要求解矩阵的逆，可以使用多种方法。

其中最常用的方法是高斯-约当法求解逆矩阵。

这一方法通过行变换和列变换来将矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。

1.4 逆矩阵与解的关系在线性代数中，矩阵的逆与线性方程组的解密切相关。

如果一个矩阵是可逆的，那么它所代表的线性方程组一定有唯一解，反之亦然。

二、逆矩阵的性质2.1 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵有逆矩阵，那么逆矩阵是唯一的。

这是因为如果存在两个不同的矩阵B和C，使得AB=I且AC=I，那么由矩阵乘法的结合律可得B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C，即B=C。

2.2 逆矩阵的乘法逆矩阵有一个重要的性质，即两个可逆矩阵的乘积仍然是可逆的，并且其逆矩阵等于这两个矩阵的逆的乘积的逆。

换句话说，如果A和B都是可逆的矩阵，那么(AB)-1=B-1A-1。

2.3 逆矩阵与转置矩阵的关系矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

在逆矩阵的情况下，有一个重要的性质，即一个矩阵的逆与其转置的逆是相等的，即(A-1)T=(AT)-1。

2.4 逆矩阵与幂的关系矩阵的逆与幂有着密切的关系。

如果一个矩阵A是可逆的，那么其幂A^n也是可逆的，并且(A^n)-1=(A-1)^n。

2.5 逆矩阵与伴随矩阵的关系在矩阵理论中，有一个与逆矩阵密切相关的概念，即伴随矩阵。

伴随矩阵是一个矩阵的行列式和代数余子式构成的矩阵。

与逆矩阵的关系在于，如果一个矩阵A是可逆的，那么它的伴随矩阵乘以矩阵A的行列式就等于单位矩阵。

逆矩阵逆矩阵的定义和性质求逆公式逆矩阵的初步应用逆矩阵的定义和性质定义设为阶方阵，A n ==，AB BA E 使得若存在阶方阵,B n 则称矩阵是可逆的, A 并称是的逆矩阵.A B 注：若阶方阵可逆，则其逆矩阵是唯一的！n A 设矩阵、都是矩阵的逆矩阵，1B 2B A 1=B E 12()=B AB 12()=B A B 2=EB 2.=B 1B 的逆记为A 1.-A 1-=B A逆矩阵满足的运算规律（逆矩阵的性质）：(i ) 若矩阵可逆,A 则也可逆，且；1A -()11A A --=(ii ) 若可逆,数，0λ≠A 则可逆，且；A λ()111A A λλ--=()()1111.A A AA E λλλλ--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1111.A A A A E λλλλ--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可逆，且AB ()111AB B A ---=；(iii ) 若、为同阶矩阵且均可逆，A B ()()()1111AB BAA BB A ----=11.AEA AA E --===()()()1111BAAB B A A B----=11.B EB B B E --===(iv ) 若可逆, A 则也可逆，且.T A ()()1TT 1AA--=()()TTT11AA A A --=.E =()T1TA A -.E =其中.k +∈当方阵可逆，、为整数时，有μA λ还可以定义()1kkAA--=，当可逆时，A A A Aλμλμ+=，().A A μλλμ=证明即存在矩阵满足B 由行列式的性质，得||1AB BA E ===，所以0.A ≠定理1若阶方阵可逆，则||0.A ≠n A 若方阵可逆，A ==，AB BA E A B ⋅=证明**==AA A A A E ，||0A ≠，1*1.||A A A -=定理2 若，则矩阵可逆，且||0A ≠A 设是矩阵的伴随矩阵，A *A 于是有**11==A A A A E A A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以矩阵可逆，且1*1.||A A A -=A可逆矩阵就是非奇异矩阵.当时，A 称为奇异矩阵,||0A =当时，||0A ≠A 称为非奇异矩阵.是可逆矩阵的充分必要条件是.A ||0A ≠AB E =BA E =1.B A -=推论若（或），则例：求矩阵可逆的充分必要条件，a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭||a b A ad bc c d==-，1*1||A A A -=并在可逆时，求其逆矩阵.解0.ad bc ⇔-≠A 可逆当时，0ad bc -≠1.d b c a ad bc -⎛⎫= ⎪--⎝⎭例：求方阵的逆矩阵.123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭||20A =≠，解1A -存在.再计算的余子式.||A 112M =，123M =，132M =，216M =-，226M =-，232M =-，314M =-，325M =-，332M =-，求逆公式所以112131*122232132333M M M A M M M M M M -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭1*1||A A A -=132353.22111-⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭112M =，123M =，132M =，216M =-，226M =-，232M =-，314M =-，325M =-，332M =-，264365222-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭对于低阶以及某些特殊矩阵的讨论，此公式仍推导，很少用来计算.若要根据求逆公式来求阶n 行列式，运算量非常大！1n -ij A 方阵的逆矩阵，需要计算阶行列式以及个n 2n A 注：求逆公式主要用来理论证明和1*1||A A A -=可以给我们带来一些便利.。

第三讲 §2.3 逆矩阵2.3.1 逆矩阵的定义与性质我们已经定义了矩阵的加、减、数乘等运算,但是如果已知A 、B ,如何由矩阵方程B X A =⋅求出X 这个矩阵呢?逆矩阵的概念将会很好地解决这个问题.定义2.3.1 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==．则A 称为可逆矩阵．B 称为A 的逆矩阵．由定义可得，A 与B 一定是同阶的，而且A 如果可逆，则A 的逆矩阵是唯一的．这是因为，如果1B 、2B 都是A 的逆矩阵，则有E A B AB ==11，E A B AB ==22那么 22212111)()(B EB B A B AB B E B B =====所以逆矩阵是唯一的．我们把矩阵A 的逆矩阵记作1-A ．逆矩阵有下列性质：（１）如果A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(．由可逆的定义，显然有A 与1-A 是互逆的．（２）如果A 、B 是两个同阶可逆矩阵，则)(AB 也可逆，且111)(---=A B AB ．这是因为 E A A AEA A BB A A B AB =⋅===------111111)())((E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())(( 所以 111)(---=A B AB ．这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形.（３）可逆矩阵A 的转置矩阵TA 也是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=．这是因为 EE A A A A TTTT===--)()(11E E AA A A TTTT===--)()(11 所以 T TA A )()(11--=．（４）如果A 是可逆矩阵，则有11--=AA ．这是因为 E AA =-1，两边取行列式有 11=⋅-A A ，所以 111--==A AA．2.3.2 伴随矩阵定义 2.3.2 如果n 阶矩阵A 的行列式0≠A ,则称A 是非奇异的(或非退化的).否则,称A 是奇异的(或退化的).定义 2.3.3 设n n ij a A ⨯=)(,ij A 是A 中元素)21(n j i a ij ，，，， =的代数余子式.矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn nnn n A A A A A A A A A A212221212111*称为A 的伴随矩阵.定理2.3.1 矩阵n n ij a A ⨯=)(为可逆矩阵的充分必要条件是A 为非奇异矩阵,并且当A 可逆时,有*11A AA =- 证明: 必要性 设A 为可逆矩阵,则存在矩阵1-A ,有E AA =-1,在等式两边取行列式,得111=⋅=--A A AA所以0≠A .即A 是非奇异的.充分性 设A 是非奇异矩阵,则0≠A ,由行列式按一行(列)展开定理有)1(*1A AA AA =-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn nnn n nn n n n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a A2122212121112122221112111 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A A A 0000001 E = 同理可得 E A A =-1,所以A 可逆,并且*11A AA =- 例1. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=313132121A 判断A 是否可逆,如果可逆,求1-A .解: 因为01313132121≠=---=A ,所以A 可逆.又.13221)1(11211)1(;11312)1(71321)1(;63311)1(53112)1(;11332)1(93312)1(;83113)1(333323321331322322221221311321121111=---==-==---=-=--=-=--=-=---==--==--==---=+++++++++A A A A A A A A A所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-1711691581*1A A A 例2 设A 为n (n ≥2)阶方阵,证明:当0≠A 时A AA n 2)(-**=证明 : 当0≠A 时, 有0≠*A ,且1-*⋅=A A A 又1-*=n A A ,所以()1111)()(----****==A A AA A A n =AAA AA n n 211---=这道题当 0=A 时，在学了第三章后也可以证明。