mxt0-中学数学函数最值问题的求法Y

高中数学解题技巧之函数最值求解函数最值求解是高中数学中常见的题型，也是考试中的重点内容之一。

掌握函数最值求解的方法和技巧，不仅可以帮助学生在考试中取得好成绩，还能提高数学思维能力和解题能力。

一、函数最大值和最小值的定义在解决函数最值问题之前，我们首先要明确函数最大值和最小值的定义。

对于函数f(x)，如果在定义域D上存在一个数x1，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤f(x1)，那么f(x1)就是函数f(x)在D上的最大值；如果在定义域D上存在一个数x2，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥f(x2)，那么f(x2)就是函数f(x)在D上的最小值。

二、求解函数最值的方法1. 函数图像法通过观察函数的图像，我们可以大致判断出函数的最值所在的区间。

例如，对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，如果a>0，那么函数的图像将开口向上，最小值一定在顶点处取得；如果a<0，那么函数的图像将开口向下，最大值一定在顶点处取得。

举例：求函数f(x)=2x^2+3x-4的最值。

首先，我们可以通过观察函数的图像来判断最值所在的区间。

由于a=2>0，所以函数的图像开口向上，最小值一定在顶点处取得。

根据二次函数的顶点公式，顶点的横坐标为x=-b/2a，代入得到x=-3/4。

将x=-3/4代入函数中求得f(-3/4)=-37/8，所以函数f(x)=2x^2+3x-4的最小值为-37/8。

2. 导数法对于一元函数，我们可以通过求导数来求解函数的最值。

首先，我们求函数的导数，然后求导数为0的点，再通过判断导数的正负性来确定最值所在的区间。

举例：求函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5的最值。

首先，我们求函数的导数f'(x)=3x^2-6x-9。

然后，令导数f'(x)为0，解方程3x^2-6x-9=0得到x=3或x=-1。

接下来，我们可以通过判断导数的正负性来确定最值所在的区间。

当x<-1时，导数f'(x)为正；当-1<x<3时，导数f'(x)为负；当x>3时，导数f'(x)为正。

高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结在高中数学中，求函数的最值问题是经常出现的一类问题，对于这类问题我们可以通过求导数的方法来解决。

下面是一些关于根据导数求函数最值问题的解题技巧的总结。

1. 确定函数的定义域在解决函数的最值问题之前，我们需要确定函数的定义域。

定义域是指函数在实数范围内的取值范围。

确定定义域的同时，我们也要考虑函数是否连续以及是否存在间断点等因素。

2. 求函数的一阶导数为了求函数的最值，我们需要先求出函数的一阶导数。

对于一元函数而言，我们可以使用导数的定义或者常见的求导法则来求出一阶导数。

一阶导数能够反映函数的变化趋势以及函数的增减性质。

3. 找出导数为零的点接下来，我们需要找出函数的一阶导数为零的点，即导数为零的临界点。

这些点也称为函数的驻点。

通过求解导数为零的方程，我们可以得到函数取得极值的可能点。

4. 判断临界点的性质在找出函数的驻点之后，我们需要进一步判断这些点的性质。

根据导数的符号变化，我们可以判断驻点是极大值点还是极小值点。

通常我们可以通过求解导数的二阶导数，来判断驻点的性质。

5. 极值与最值的关系在有限闭区间上，函数的极大值和极小值统称为最值。

通过比较极值点的函数值，我们可以确定函数的最大值和最小值。

同时，我们还需要考虑函数在定义域的两端是否存在最值。

6. 综合应用求解问题除了在抽象的函数图像上求解最值问题，我们还可以将最值问题与实际问题相结合。

通过建立函数模型，并利用导数的知识来解决实际问题。

这样可以提升我们对于求解最值问题的能力和灵活性。

通过以上的技巧，我们能够更加高效地解决高中数学中根据导数求函数最值问题。

同时，在实际应用中，我们也需要不断的进行练习和思考，熟练掌握这些技巧，从而更好地应对各种求解最值问题的场景。

高中数学函数最值问题的求解思路与实例分析在高中数学中，函数最值问题是一个常见且重要的考点。

解决这类问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。

本文将从求解思路和实例分析两个方面，详细介绍高中数学函数最值问题的解题方法。

一、求解思路要解决函数最值问题，首先需要明确函数的定义域和值域。

在明确了函数的定义域和值域后，我们可以采取以下步骤来求解函数的最值问题。

1. 找出函数的极值点函数的极值点是函数取得最大值或最小值的点。

要找出函数的极值点，可以先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标。

再将这些横坐标代入原函数中，求出对应的纵坐标，即可得到函数的极值点。

2. 检查边界点边界点是函数定义域的端点。

在求解函数的最值问题时，需要检查边界点是否可能成为函数的最值点。

将边界点代入函数中，与已经求得的极值点进行比较，找出最大值或最小值。

3. 比较极值点和边界点的大小将已经求得的极值点和边界点进行比较，找出其中的最大值或最小值。

这个值就是函数的最大值或最小值。

二、实例分析为了更好地理解函数最值问题的解题方法，我们来看一个具体的例子。

例题：求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1的最大值和最小值。

解题步骤：1. 求导数f'(x) = 6x^2 - 6x - 122. 求极值点的横坐标令f'(x) = 0，解方程得到x = -1和x = 3。

3. 求极值点的纵坐标将x = -1和x = 3代入原函数f(x)中，得到f(-1) = -8和f(3) = -32。

4. 检查边界点由于函数没有明确的定义域，我们需要检查函数的值域。

当x趋于正无穷大时，f(x)也趋于正无穷大；当x趋于负无穷大时，f(x)也趋于负无穷大。

因此，函数的边界点为正负无穷大。

5. 比较极值点和边界点的大小将已经求得的极值点和边界点进行比较，发现f(-1) = -8是最小值，f(3) = -32是最大值。

综上所述，函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1的最大值为-32，最小值为-8。

求函数最值的题型和方法
求函数的最值是数学中的常见问题，下面列举了几种常见的求函数最值的题型和方法：
1. 单变量函数的最值：对于单变量函数，可以通过求导数的方法来求函数的最值。

首先求出函数的导数，然后将导数等于0的方程求解，得到驻点（即函数取得极值的点）。

接着，通过将
驻点和函数的端点（如果有的话）进行比较，确定函数的最值。

2. 多变量函数的最值：对于多变量函数，求解最值的方法更加复杂。

可以通过求偏导数和二阶导数的方法来求解。

首先求出函数的偏导数，然后将偏导数等于0的方程组求解，得到驻点。

接着，求解雅可比矩阵的特征值，根据特征值的正负来确定驻点的类型（最大值、最小值或鞍点）。

最后，对比驻点和函数的端点（如果有的话），确定函数的最值。

3. 约束条件下的最值：在某些情况下，函数的变量受到一定的约束条件限制。

求解这种情况下函数的最值，可以通过拉格朗日乘数法来实现。

首先，将约束条件转化为方程组，然后定义拉格朗日函数。

接着，求解拉格朗日函数的导数等于0的方程组，得到驻点。

最后，通过对比驻
点和边界点，确定函数的最值。

4. 条件最值：在某些情况下，函数的取值受到一定的条件限制。

求解这种情况下函数的最值，可以通过消元法来实现。

首先，将条件限制转化为方程组，然后将其中的一个方程代入到函数中，得到一个只包含一个变量的函数。

接着，通过求解这个函数的最值，得到函数在满足条件限制下的最值。

需要注意的是，对于非线性函数或复杂函数，求解最值可能涉及到数值计算或近似计算的方法。

在实际应用中，通常会使用数值计算软件来求解函数的最值。

函数的最值的求解方法
函数最值的求解方法是一种重要的数学运算方法，这种方法可以
帮助研究人员更好地理解变量之间的关系。

在函数的最值求解中，有
三种主要的方法可以使用：极值定理、极限分析和微积分方法。

1. 极值定理：极值定理可以被用来求解函数的最值。

在使用极
值定理之前，必须先明确函数的特征，包括函数的显式表达式，极点
的位置，以及函数的变化规律。

极值定理的主要思想是，将函数的极
点连接起来，然后根据导数的正负性确定函数的最值。

2. 极限分析：极限分析也可以用于求解函数的最值。

这种方法
利用函数的极限结果，通过观察函数随自变量变化时函数的波动范围
來确定函数在某个特定自变量处的最值。

3. 微积分法：微积分法也可以用来求解函数的最值。

微积分法利
用解导数方程的结论，确定函数的最值。

总的来说，上述三种方法都可以用于求解函数的最值，但每种方
法都有一定的缺点。

例如，极值定理要求函数具有较为复杂的表达式
才能有效；极限分析只适用于函数有限的自变量；而微积分方法也要
求函数具有较为复杂的表达式才能有效。

因此，在求解函数的最值时，应该根据函数的具体表达式，以及所采用的求解方法的优势和劣势，
从而选择最合适的方法。

值得强调的是，无论使用何种方法求解函数
的最值，都要牢记函数的特征和规律，以保证函数最值的准确性。

求函数最值的10种方法1.符号法：通过观察函数的符号变化来找到最值点。

首先将函数的导数找出并求出导函数的零点，然后根据适当的区间划分关心的区域，根据导函数的正负性确定最值的位置。

2.迭代法：通过迭代的方式来逼近函数的最值点。

首先选取一个初始点，通过函数的变化规律逐步逼近最值点。

3.化简法：对函数进行化简，将其转化为更简单的形式，然后找到最值点。

通常利用函数的对称性或特殊性质进行化简，如利用函数的周期性、对称轴等。

4.一阶导数法：通过求函数的一阶导数，找到导数的零点，然后判断导数的增减性来确定最值点。

5.二阶导数法：通过求函数的二阶导数，找到导数的零点，并进行二阶导数测试，来判断极值的类型。

根据极值类型确定最值点。

6.平均值定理：根据函数的连续性和可导性，利用平均值定理找到函数变化最大或最小的点。

平均值定理指出，对于连续函数，必定存在一点使其导数等于函数的平均变化率。

7.极值定理：根据极值定理，函数在闭区间上的最大值和最小值必然出现在临界点或者函数的端点上。

8.最值的组合法：通过将函数分成多个子区间，找到每个子区间上的最大值或最小值，然后将它们组合起来，得到整个区间上的最大值或最小值。

9.边界法：通过找出定义域的边界点，并将其与函数值进行比较，找到最大值或最小值。

这种方法适用于非连续函数或无导数的函数。

10.数值计算法：当无法找到解析解时，可以利用计算机进行数值计算，通过穷举法或优化算法来找到函数的最值。

以上是求解函数最值的10种常用方法，每种方法都有其特点和适用范围。

在实际问题中，选择合适的方法可以更快地找到函数的最值。

函数最值的求解方法及应用最值问题（Maximum and Minimum Problems）是一类数学问题，一般指某个函数在给定的某个“区域”上取得最大值或最小值的问题。

求解最值问题有下述常见的几种方法。

一、极大值与极小值中值定理对于定义在完整的区域上的连续函数，其最大值或最小值必然发生在函数的极大值点或极小值点。

所以相应的问题解就在函数的极大值解或极小值点上取到，即让函数的一阶导数等于零并解出其中的变量值即可求出极大值点或极小值点，从而求出最值。

二、链式求导法就是对函数求几次导数，首先判断其一阶导数的正负性，当正则，则求此时的函数最小值，当其一阶偏导数为负，则说明此时函数达到极大值，通过几次导数的求取来判断以及进行求解。

三、凸性理论凸性理论又称凸函数理论，是数学分析的一个方面，要求最值问题的解决必须符合凸性的条件，只要满足凸性的条件，就能获得最值问题的求解结果。

并且使用凸性理论可以得到准确精确的结果。

四、算法及数值解法首先给出一些值时，大量的计算过程可以有效地进行最值求解，可以运用搜索穷举法，直接计算一组变量，以实现最值问题的求解。

此外还可以运用精确计算技术，用一定的方法计算某一点，每次只移动一小步来求出最值问题的解决方案。

最值问题在许多领域的应用都非常广泛，比如#########：1. 决策模型：很多决策问题可以使用最值理论来分析和研究，比如投资决策、定价问题、途径选择等。

2. 能源优化：随着能源、资源逐渐枯竭，优化资源利用，就需要最值问题的解决，以便在有限的资源状况下取得最优的能源分配方法。

3. 形式化学习：形式化学习是一个研究智能体如何学习的方法，最值问题可以求出在不同学习情境下的学习的最优模型。

4. 优化算法：很多优化算法都需要充分利用最值问题的求解方法，特别是采用机器学习算法的多重优化中，最值理论是一个重要组成部分。

5. 风险管理：通过最值问题可以有效地理清投资组合中所面临的风险，从而分析这样的投资组合是否利可观；或者是否需要进行风险抵御等措施。

函数最值的几种求法新课程标准中,高中数学知识更加丰富,层次性更强,和高等教育的结合更加紧密.要想较好的完成新课标的教学任务,必须从整体上把握课程标准,运用主线知识将高中数学知识穿成串,连成片,织成网,才有利于学生更好的掌握,而函数的最值问题在整个高中教材中显得非常重要,为了能系统的学好这方面的知识,本文总结归纳出八种求函数最值的常见方法.一 由定义域直接求函数的最值一次函数的最大值与最小值常与它的定义域与值域有关系,即若y 是x 的函数,则由x 的取值范围,并且根据一次函数的单调性,就能得到y 的最大(小)值.例1 变量x ,y ,z 均不小于0,并满足x z y -=+323及x z y 343-=+,求函数z y x t 423+-=的最大值与最小值.解 由x z y -=+323及x z y 343-=+得,)1(35x y -=及12-=x z .又由x ,y ,z 均不小于0,推出121≤≤x . 再将)1(35x y -=与12-=x z 代入z y x t 423+-=得,)2243(31-=x t , 它是单调递增函数,而121≤≤x .所以,当21=x 时,t 有最小值61min -=t ;当1=x 时,t 有最大值7max =t .二 用配方法求函数的最值[1]对于二次函数可以用配方法讨论它的最值情况,即二次函数a b ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=)0(≠a .当0>a 时,y 有最小值,即当abx 2-=时,a b ac y 442min-=;当0<a 时,y 有最大值,即当abx 2-=时,a b ac y 442max -=.例2 设2234)(x x x f -+-=.求min y 和m ax y . 解 由0232≥-+x x 得,31≤≤-x .又因 4)1(42+---=x y ,所以 当1=x 时,y 有最小值224)1(min =-==y y ;当1-=x 时,y 有最大值4)1(max =-=y y .例3 设t tx x x f +-=2)(2在区间[-1,1]上最小值为g(t),求g(t)的最大值. 解 对)(x f 关于x 配方得,22)()(t t t x x f -+-=.由已知11≤≤-x 得,当1≥t 时,t f t g -==1)1()(;当11<<-t 时,2)()(t t t f t g -==;当1-≤t 时,t f t g 31)1()(+=-=.因此,当1≥t 时,)(t g 的最大值为0 g (1)=;当11<<-t 时,41)21()()(22+--=-==t t t t f t g ,且)(t g 的最大值为41)21(=g ;当1-≤t 时,)(t g 的最大值为2)1(-=-g .三 用判别式法（也称△法）求最值判别式法就是利用二次方程0) (a 0 = c +bx + ax 2≠有实数根的充要条件)0(≥∆来求出函数的最值.除了二次函数,对于一些常见的含有根号的无理函数,也可以利用平方法去掉根号后再根据二次函数的△法来求最值,或如果一个问题中,诸量之间的关系最后可化为以某一变量为元的二次方程的形式,便可运用判别式来求最,但要注意函数的定义域对函数的制约作用.例4[2] 求函数x x y 3184-+-=)64(≤≤x 的最值, 以及函数取最值时x 的取值. 解 显然0>y .等式两边平方有 )318)(4(22142x x x y --+-=, 移项再平方整理得 048428)1764(162422=+-+-+y y x y x , 又由 0)48428(64)1764(2422≥+---=∆y y y , 得 8y 02≤≤,又因为 0>y 并且0)318)(4(2)214(2≥--=--x x x y得 2≥y , 所以 222≤≤y .于是 当6 =x 时,2m in =y ;当9/2=x 时,22max =y四 换元法就是通过换元把一个复杂的函数变为简单函数.这种题的特征是函数的解析式中含有根式.当根式为一次式时, 用代数换元（直接换元）;当根式是二次式时,用三角换元.例5 用换元法求函数x x y 212-+=的最大值（无最小值）.解 令x t 21-=)0(≥t ,212t x -=.所以 45)21(1)1(112122222+--=++-=--+-=-+=t t t t t x x y .于是 当1/2 t =,即83=x 时,45max =y .例6 用三角换元法求函数21x x y -+=的最值. 解 令t x sin =,则22ππ≤≤-t .所以,原函数变为)4sin(2cos sin t sin 1sin t 1 22π+=+=-+=-+=t t t x x y .又因为22ππ≤≤-t ,故4344πππ≤+≤-t ,所以,当44ππ-=+t ,即2π-=t ,1-=x 时, 取得最小值1)1(min -=-=y y ;当24ππ=+t ,4π=t ,22=x 时,取得最大值2)22(max ==y y . 五 利用不等式求函数的最值基本不等式:ab b a 2≥+),(+∈R b a 是求函数的最值问题的重要工具.但要注意取得最值的条件“一正, 二定, 三相等”[3].并合理的进行拆分和配凑,灵活变形使得问题简捷从而获解.例7 求函数142+=x xy 的最大值.解 xx xxy 2121142+=+= ,而2212≥+x x (注意02≥x ,021≥x )当且仅当xx212=,即0=x 时,x x 212+有最小值2.所以,当0=x 时,原函数有最大值21max =y . 六 利用导数求闭区间上连续函数的最值利用导数研究函数的性质尤其是函数的最值问题是强有力的手段.连续函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值(或最小值)的求法:(1)求出)(x f 的所有极值点(驻点和导数不存在的点);(2)计算并比较f(x)在所有极值点及两个端点处的值,其中最大者就是最大值,最小者就是最小值[4].例8 求函数255)(345++-=x x x x f 在闭区间[]2,1-上的最值. 解 对原函数关于x 求导数可得,)3)(1(515205)(2234--=+-='x x x x x x x f .令0)(='x f ,0,1,3=x (舍去).再计算端点和导数为0点（驻点）处的函数值得,9)1(-=-=x y ,2)0(==x y ,3)1(==x y ,6)2(-==x y .所以,当1-=x 时,原函数有最小值9min -=y ,当1=x 时,原函数有最大值3max =y .七 数形结合法求函数的最值当要求的解析式明显具备某种几何意义时,如两点间的距离公式,直线斜率,直线在坐标轴上的截距等等.可以利用数形结合来求它的最值.例9[5] 求函数xxx f cos 2sin )(-=的最大值和最小值.解 因为2cos 0sin cos 2sin )(---=-=x x x x x f ,现令2cos 0sin --=x x k .则易知k 表示一定点A （2,0）与单位圆122=+y x 上的动点)cos ,(sin x x p 连线的斜率的大小.如（图1）.对于L1有:33min -=k ,对于L2有:33max =k ,所以,当3π=x 时,33min max =-=k y ;当3π-=x 时, 33max min -=-=k y .（图1） （图2）例10 例4解法二.解 令4-=x u ,x v 318-=,则原函数可化为⎩⎨⎧=++-=6322v u yu v )0,(≥v u .此时原问题转化为曲线与直线有公共点时,在v 轴上截距y 的最值.如(图2).显然可得,当直线过（2,0）点,即6=x 时,在v 轴上的截距y 取得最小值2min =y ;当直线与曲线相切,即2/9=x (因为曲线6322=+v u 上任一点切线斜率为vu3-,要使直线与曲线相切则 13-=-vu,即v u =3,所以由x x 31843-=-得,2/9=x .于是,22|)(2/9=+==x v u y )时, 在v 轴上的截距y 取得最大值22max =y .八 构造向量求函数最值向量具有代数和几何的双重性.用向量法解决代数问题的关键是善于观察问题的结构,挖掘代数结构的向量模型,构造合适的向量,把原有问题转化为向量问题求解,它是一种重要的数学思维方法.例11 在0>x 上,求函数24632222+--+++=x x x x y 的最值.解 令向量)3,1(=p ,)82,22(22+--++=x x x x q,则|2=p ,10=q .令向量p 与q 的夹角为α,再令222++=x x m ,822+--=x x n ,则1022=+n m .如(图3),向量q 的终点落在以原点为心,10为半径的41圆周上,因为p的幅角为3π.故两向量的夹角⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,0πα,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21cos α. 从而 ,ααcos 102cos 24632222=⋅=⋅=+--+++=q p q p x x x x y,其中, []1,2/1cos ∈α,故[]102,10∈y .(图3)所以,当21cos =α时,即10222=++x x ,其解为4-=x 或2=x （取正值,因为0>x ）, 即当2=x 时,10min =y ;当1cos =α时,即8222322+--=++x x x x （即向量p与q共线）,其解为262±-=x (取正值,因为0>x ),亦即当226-=x 时, 102max =y .总结:通过以上几种函数最值求法的总结归纳,可以对一些有关的题目进行解答,尤其是一些综合性强的题目,可以达到事半功倍的作用.函数是中学数学的主要内容.几乎可以用函数为纲,把中学数学各方面内容有机结合起来,许多数学综合题,可以转化为函数的问题进行讨论.函数是高考重点考查对象,而函数的最值又是高考的重点,每年必考.虽然教材上没有归纳介绍求解方法,但也不是完全无章可循.只要认真地分析所给的函数特点,灵活地运用所学的知识,是不难找到解决问题的途径和方法的.。

最值问题的常用解法
在研究数学时，函数的极值与最值问题是非常值得注意的，两者是数学中函数性态中相对比较重要的一部分。

在实际生产和日常生活中也是应用相对广泛，常常能在最大化、最小化问题中遇到极值与最值的应用实例，最值问题的常用解法有：
1.配方法：用于二次函数及二次方程的最值求解。

2.单调性法：利用函数单调性求最值。

3.均值不等式法：利用均值不等式求最值。

4.导数法：用于求函数单调区间及极值。

5.判别式法：主要用于二次方程根的分布问题。

6.三角函数有界性：利用三角函数的有界性来求最值。

7.数形结合图象法：通过将问题与图形相结合来求解。

高中数学函数最值问题的解题思路与举例在高中数学中，函数最值问题是一个常见且重要的考点。

解决这类问题需要运用一定的解题思路和技巧。

本文将介绍一些常见的函数最值问题及其解题思路，并通过具体的例子来说明。

一、函数最值问题的基本概念和解题思路函数最值问题是指在一定的条件下，求函数的最大值或最小值。

解决这类问题的基本思路是找到函数的极值点，然后比较这些极值点的函数值，得出最值。

对于一元函数，我们可以通过求导数的方法来求解极值点。

具体步骤如下：1. 求函数的导数；2. 令导数等于零，解方程得到极值点；3. 比较这些极值点的函数值，得出最值。

对于二元函数，我们可以通过偏导数的方法来求解极值点。

具体步骤如下：1. 求函数的偏导数；2. 令偏导数等于零，解方程得到极值点；3. 比较这些极值点的函数值，得出最值。

二、函数最值问题的举例及解析1. 求函数 y = x^2 在区间 [0, 2] 上的最大值和最小值。

解析：首先，我们求函数的导数：y' = 2x。

令导数等于零，得到 x = 0。

将 x = 0 代入函数，得到 y = 0。

所以函数在 x = 0 处取得最小值 0。

然后，我们比较区间的两个端点和极值点的函数值。

将 x = 0、x = 2 代入函数，得到 y(0) = 0，y(2) = 4。

所以函数在区间 [0, 2] 上的最大值为 4。

综上所述，函数 y = x^2 在区间 [0, 2] 上的最大值为 4，最小值为 0。

2. 求函数 y = x^3 - 3x 在区间 [-2, 2] 上的最大值和最小值。

解析：首先，我们求函数的导数：y' = 3x^2 - 3。

令导数等于零，解方程得到 x = ±1。

将 x = ±1 代入函数，得到 y(1) = -2，y(-1) = 2。

所以函数在 x = ±1 处取得极值。

然后，我们比较区间的两个端点和极值点的函数值。

将 x = -2、x = 2 代入函数，得到 y(-2) = -14，y(2) = 10。

求函数最值的方法总结一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。

简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。

下面就是小编整理的求函数最值的方法总结，一起来看一下吧。

函数的最值问题既是历年高考重点考查的内容之一，也是中学数学的主要内容。

函数最值问题的概念性、综合性和灵活性较强，考题的知识涉及面较广，对于学生的分析和逻辑推理能力要求较高。

通过对函数最值问题的相关研究，结合自身的感触和学习的心得，总结归纳出了求解函数最值的几种常用的方法，并讨论了学习函数最值求解中应该注意的问题，这将有利于提高学生的数学建模能力和解题能力。

文章主要通过举例说明的方式来阐述求解函数最值的几种常用解法，希望对培养学生数学学习能力，提高学生的解题能力有所帮助。

函数f（x）在区间I上的最大值和最小值问题，本质上是一个最优化的问题。

求解函数最大值与最小值的实际问题，包括三方面的工作：一是根据实际问题建立目标函数，通常总是选取待求的最优量为因变量：二是按上述的求解方法求出目标函数在相应区间上的最大值或最小值；三是对所求得的解进行相应实际背景的几何意义的解释。

同时一方面要深刻理解题意，提高阅读能力，要加强对常见的数学模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面要不断拓宽知识面，提高间接的生活阅历，如了解一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，培养实际问题数学化的意识和能力。

最值问题综合性强，几乎涉及高中数学各个分支，要学好各个数学分支知识，透彻地理解题意，能综合运用各种数学技能，熟练地掌握常用的解题方法，才能收到较好的效果。

（1）代数法。

代数法包括判别式法（主要是应用方程的思想来解决函数最值问题）配方法（解决二次函数可转化为求二次函数的最值问题）不等式法（基本不等式是求最值问题的重要工具，灵活运用不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值问题）④换元法（利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决，常用的换元法有代数换元法和三角换元法）。

求函数最值的12种方法在数学中，函数的最值是指函数在定义域上的极大值和极小值。

求函数的最值有很多不同的方法，下面将介绍12种常用的方法。

希望能够帮助你对函数的最值求解有更深入的理解。

方法一：函数图像法这是最直观的方法之一，通过绘制函数的图像，可以清楚地观察到函数的最值点所在的位置。

最大值对应函数的极大值点，最小值对应函数的极小值点。

方法二：导数法求函数的最值，常常使用导数法。

首先求函数的导数，然后将导数为零的点与定义域的边界进行比较，即可得到函数的最值点。

方法三：导数的符号法求函数的最值，还可以通过分析导数的符号来求解。

当导数恒大于零时，函数是递增的，函数的最大值出现在定义域的上界；当导数恒小于零时，函数是递减的，函数的最小值出现在定义域的下界。

方法四：高次函数的极值点对于高次函数来说，还可以通过求导数的高阶导数来找到极值点。

当高阶导数为零时，该点可能是极值点；当高阶导数不为零时，可通过判断导数的符号来确定它是极大值还是极小值。

方法五：函数的平均值定理利用函数的平均值定理可以得到函数最值的一个粗略的估计。

平均值定理指出，如果函数连续且可微分，那么在两个点之间存在一个点，使这三个点的斜率与两点之间切线的斜率相同。

这个点可能是函数的极值点。

方法六：拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法可以求解带有约束条件的函数最值问题。

通过引入拉格朗日乘子，将带有约束条件的函数最值问题转化为无约束条件的函数最值问题。

然后可以利用导数法等方法来求解。

方法七：边界法对于函数的有界定义域，可以通过比较边界处函数值的大小来求解最值问题。

找到定义域的上界和下界，并将其代入函数，比较函数值的大小即可得到最值。

方法八：几何法对于一些特殊的函数图像，可以利用函数的几何性质来求解最值。

如对于抛物线函数，其最值点处对应抛物线的顶点。

方法九：二次函数的最值对于二次函数，可以通过求取顶点坐标来得到函数的最值。

二次函数的顶点坐标即为函数的最值点。

方法十：三角函数的最值对于一些三角函数，可以利用函数图像的周期性来求解最值问题。

高中数学中函数的最大值和最小值求解方法
在高中数学中，函数的最大值和最小值是关于函数在定义域内取得的最大和最小值。

为了求解函数的最大值和最小值，我们需要掌握一些方法和技巧，下面将介绍几种常见的方法：
寻找导数为零点
对于连续可导的函数，其极值点通常出现在导数为零的点。

因此，我们可以通过对函数求导并解方程找到函数的最大值和最小值。

具体步骤如下：
1.求出函数的导数。

2.解方程求出导数为零的点。

3.确定这些点中哪些是最大值，哪些是最小值。

利用一元二次函数的性质
当函数为一元二次函数时，可以利用一元二次函数的性质来求得最大值和最小值。

一元二次函数通常具有一个顶点，顶点处即为函数的最大值或最小值。

求解方法如下：
1.将一元二次函数表示为标准形式。

2.根据顶点公式，求出顶点的横坐标。

3.将横坐标代入函数中，求出最大值或最小值。

利用函数的性质
有些函数具有特定的性质，例如指数函数、对数函数等。

针对这些特定函数，我们可以利用其性质来求解最大值和最小值。

以指数函数为例，指数函数具有非负性，因此最小值为0。

对数函数则要求底数大于1才有定义，因此最小值为正数。

综上所述，求解函数的最大值和最小值是高中数学中的一个重要知识点。

通过掌握导数为零点、一元二次函数的性质以及函数的特性，我们可以灵活应用不同的方法来解决函数最大值和最小值的问题。

希望通过这些方法的介绍，读者能够更好地理解和掌握这一知识点。

求函数最值的方法求函数最值是数学中常见的问题之一，它在实际问题中具有广泛的应用价值。

本文将介绍几种常见的方法来求解函数的最值，包括数学方法和计算机方法。

一、数学方法1. 导数法导数法是求解函数最值最常用的方法之一。

通过求函数的导数，可以求得函数的增减性和驻点，进而确定函数的最值点。

具体步骤如下：（1）求函数的导数；（2）求导函数的零点，即求得导数为零的点；（3）将这些零点代入原函数，求得函数的最值。

2. 极值点法极值点法是通过求函数的极值点来确定函数的最值。

具体步骤如下：（1）求函数的一阶导数和二阶导数；（2）求导函数的驻点，即求得导数为零的点；（3）求驻点的二阶导数值，判断驻点是极大值点还是极小值点；（4）将极值点代入原函数，求得函数的最值。

3. 区间法区间法是通过将函数的定义域分成若干个子区间，然后逐个求解函数在每个子区间内的最值，最后比较得出整个函数的最值。

具体步骤如下：（1）将函数的定义域分成若干个子区间；（2）求解函数在每个子区间内的最值；（3）比较各个子区间内的最值，得出整个函数的最值。

二、计算机方法1. 数值计算法数值计算法是利用计算机对函数进行离散化处理，通过计算函数在一定范围内的取值，找到其中的最大值或最小值。

具体步骤如下：（1）确定函数的取值范围和步长；（2）计算函数在每个点上的取值；（3）比较各个点的取值，找到最大值或最小值。

2. 迭代法迭代法是通过不断迭代逼近函数的最值。

具体步骤如下：（1）选择一个初始点；（2）根据函数的梯度方向，更新初始点的位置；（3）重复以上步骤，直到满足终止条件。

三、总结通过以上介绍，我们可以看出，求函数最值的方法有很多种，选择合适的方法取决于具体问题的性质和要求。

数学方法适用于一些简单的函数，计算机方法适用于复杂的函数或大规模的数据。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解函数的最值，以得到更准确的结果。

函数最值的求解方法及应用函数最值问题是数学中常见且重要的问题。

函数的最值包括最大值和最小值，通常涉及函数的图像及其性质。

本文将介绍几种常见的函数最值的求解方法，并通过实例说明其应用。

一、函数最值的求解方法1.导数法导数法是求函数最值的常用方法。

对于定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)，其最值一定发生在函数的驻点或者区间的端点处。

-首先，求出f(x)的导数f'(x)。

-然后，求出f'(x)=0的解，即找到函数的驻点。

-最后，比较函数在驻点及端点处的取值，找到最大值和最小值。

2.二次函数的最值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），可以通过求导数的方法得到它的最值。

- 首先，求出f'(x)=2ax+b=0的解，即找到函数的驻点。

-如果a>0，则驻点为极小值点，此时f(x)的最小值为f(驻点)。

-如果a<0，则驻点为极大值点，此时f(x)的最大值为f(驻点)。

3.梯度下降法梯度下降法是一种可用于求解无约束最优化问题的迭代算法。

它的基本思想是通过迭代的方式逐步接近函数的最值。

-首先，选择任意一个起始点x_0。

-然后，根据函数的梯度(即导数的向量)，沿着梯度的反方向更新参数x。

-重复上述步骤，直到满足停止条件为止。

二、函数最值的应用1.经济学中的应用函数最值在经济学中有重要的应用。

例如，生产函数描述了产出与生产要素之间的关系，通过求函数最值可以确定生产要素的最佳配置方案，实现最大化的产出。

供求函数描述了市场上商品的供给和需求关系，通过求函数最值可以确定市场的平衡价格和数量。

2.优化问题的求解优化问题是数学中的一个重要分支，涉及到在一定约束条件下求解一些目标函数的最值。

例如，在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化利润或最小化成本是一个常见的优化问题。

3.最大似然估计最大似然估计是概率统计中的一种参数估计方法，通过求解似然函数的最值来选择模型的参数。

似然函数描述了给定参数下观测数据出现的可能性，通过求似然函数的最大值可以得到最优的参数估计值。