人教版九年级数学上册：22.1.2 二次函数 的图象和性质同步测试题-最佳新修版

22.1二次函数的图像和性质一、单选题1．下列函数是二次函数的是（ ）A ．21y x =+B ．y 2x 1=-+C ．2y x 2=+D ．1y x 22=-2．下列关于二次函数223y x =+，下列说法正确的是（ ）．A ．它的开口方向向下B ．它的顶点坐标是()2,3C ．当1x <-时，y 随x 的增大而增大D ．当0x =时，y 有最小值是33．二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．抛物线y=－2(x －3)2－4的顶点坐标( )A ．(－3,4)B ．(－3, －4)C ．(3, －4)D ．(3,4)5．在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋c 和二次函数y ＝a(x ＋c)2的图象大致为()A ．B ．C ．D ．6．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y ax c =+的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．抛物线2y 2x =-经过平移得到2y 2(x 1)3=--+，平移方法是( )A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位8．若()14,A y -，()21,B y -，()32,C y 为二次函数()223=-++y x 的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的关系是（ ）．A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．312y y y <<D ．213y y y <<9．如图，Rt AOB 中，AB OB ⊥，且AB OB 3==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A ．B ．C ．D ．10．如图是二次函数 2y ax bx c =++ 的图象的一部分，对称轴是直线 1x =. 以下四个判断：① 24b ac > ；② 420a b c -+< ；③不等式 20ax bx c ++> 的解集是 2x > ；④若（ 1- ，y 1），（5，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2。

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质1．在同一直角坐标系中作出函数y＝x2，y＝2x2和y＝3x2的图象，然后根据图象填空：抛物线y＝x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝2x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝3x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________．可以发现，抛物线y＝x2，y＝2x2，y＝3x2的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越________．2．在同一直角坐标系中作出函数y＝－x2，y＝－2x2和y＝－3x2的图象，然后根据图象填空：抛物线y＝－x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝－2x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝－3x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________．可以发现，抛物线y＝－x2，y＝－2x2，y＝－3x2的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越________．3．(1)抛物线y＝ax2的开口方向和开口大小由________决定，当a________0时，抛物线的开口向上；当a________0时，抛物线的开口向下；(2)抛物线y＝ax2的顶点坐标是( )，当a________0时，它是抛物线的最低点，即当x＝________时，函数取得最小值为________；当a________0时，它是抛物线的最高点，即当x＝________时，函数取得最大值为________；(3)抛物线y＝ax2的对称轴是________．4．在同一直角坐标系中作出函数y＝－x2，y＝－x2＋2，y＝－x2－3的图象，然后根据图象填空：抛物线y＝－x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝－x2＋2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；抛物线y＝－x2－3的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________．可以发现，抛物线y＝－x2＋2，y＝－x2－3与抛物线y＝－x2的形状、开口大小相同，只是抛物线的顶点位置发生了变化．把抛物线y＝－x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y＝－x2＋2；把抛物线y＝－x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y ＝－x2－3．5．填空(如果需要可作草图)：(1)抛物线y＝x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；(2)抛物线y=x2＋2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；(3)抛物线y＝x2－3的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________．可以发现，抛物线y＝x2＋2，y＝x2－3与抛物线y＝x2的形状、开口大小相同，只是抛物线的顶点位置发生了变化．把抛物线y＝x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y ＝x2＋2；把抛物线y＝x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y＝x2－3．答案：1． (0，0) ，y轴，上；(0，0) ，y轴，上；(0，0) ，y轴，上；小．2． (0，0) ，y轴，下；(0，0) ，y轴，下；(0，0) ，y轴，下；小．3． (1) a，＞，＜；(2) (0，0) ，＞，0，0；＜，0，0；(3) y轴．4． (0，0) ，y轴，下；(0，2) ，y轴，下；(0，－3) ，y轴，下；上，2；下，3．5． (1) (0，0) ，y轴，上；(2) (0，2) ，y轴，上；(3) (0，－3) ，y轴，上；上，2；下，3．思考·探索·交流1．把抛物线y＝x2沿y轴向上平移3个单位能得到抛物线y＝3x2吗？把抛物线y＝－x2沿y 轴向下平移3个单位能得到抛物线y＝－3x2吗？答案：1．不能，不能．。

二次函数的图像和性质测试题时间：90分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若二次函数y=x2−6x+9的图象经过A(−1,y1)，B(1,y2)，C(3+√3,y3)三点.则关于y1，y2，y3大小关系正确的是()A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y2>y1>y3D. y3>y1>y22.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，有下面四个结论：①abc>0；②a−b+c>0；③2a+3b>0；④c−4b>0其中，正确的结论是()A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①③④3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①b<0，c>0；②a+b+c<0；③方程的两根之和大于0；④a−b+c<0，其中正确的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2−bx的图象可能是()A. B.C. D.5.将抛物线y=−3x2平移，得到抛物线y=−3(x−1)2−2，下列平移方式中，正确的是()A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c−m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2−4ac<0；②abc>0；③a−b+c<0；④m>−2，其中，正确的个数有()A. 1B. 2C. 3D. 47.若抛物线y=x2−2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为()A. y=(x−2)2+3B. y=(x−2)2+5C. y=x2−1D. y=x2+48.二次函数y=2x2−3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是()A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2,3)C. 抛物线的对称轴是直线x=1D. 抛物线与x轴有两个交点9.在二次函数y=−x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而减少，则x的取值范围是()A. x<1B. x>1C. x<−1D. x>−110.直线y=52x−2与抛物线y=x2−12x的交点个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 互相重合的两个二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.已知抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在坐标轴上，则k的值为______．12.二次函数y=−x2+2x+2图象的顶点坐标是______．13.函数y=x2+mx−4，当x<2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______ ．14.抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−5,4)，且对称轴是直线x=−2，则a+b+c=______ ．15.二次函数y=−2(x−1)2+5的图象的对称轴为______ ，顶点坐标为______ ．16.如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0)，Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为______ ．17.如图，抛物线C1：y=12x2经过平移得到抛物线C2：y=12x2+2x，抛物线C2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是______ ．18.已知(−3,y1)，(4,y2)，(−1,y3)是二次函数y=x2−4x上的点，则y1，y2，y3从小到大用“<”排列是______．19.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x=−1，点B的坐标为(1,0).下面的四个结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③ab<0；④a−b+c<0，其中正确的结论是______ (填写序号)．20.如图，抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，有下列结论：①abc<0；②10a+3b+c>0；③抛物线经过点(4,y1)与点(−3,y2)，则y1>y2；④无论a，b，c取,0)；⑤am2+bm+何值，抛物线都经过同一个点(−caa≥0，其中所有正确的结论是______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.已知：二次函数图象的顶点坐标是(3,5)，且抛物线经过点A(1,3)．(1)求此抛物线的表达式；(2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．22.已知二次函数y=(m−2)x2+(m+3)x+m+2的图象过点(0,5)．(1)求m的值，并写出二次函数的解析式；(2)求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．23.已知函数y=−x2+(m−1)x+m(m为常数)．(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是______．A.0B.1C.2D.1或2(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上．(3)当−2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．24.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(−1,0)和点C(0,3)，对称轴为直线x=1．(1)求该二次函数的关系式和顶点坐标；(2)结合图象，解答下列问题：①当−1<x<2时，求函数y的取值范围．②当y<3时，求x的取值范围．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点C和点D的坐标；(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−b2a ,4ac−b24a)(m2+1)=0有实数根．26.已知关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+12(1)求m的值；(m2+1)的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图(2)先作y=x2−(m+1)x+12形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；(3)在(2)的条件下，当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n2−4n的最大值和最小值．答案和解析【答案】 1. A 2. C 3. B 4. C 5. D6. B7. C8. D 9. B 10. C11. 4，−8，−2 12. (1,3) 13. m ≤−4 14. 415. x =1；(1,5) 16. (−2,0) 17. 418. y 2<y 3<y 1 19. ①②④ 20. ②④⑤21. 解：(1)设抛物线的解析式为y =a(x −3)2+5， 将A(1,3)代入上式得3=a(1−3)2+5，解得a =−12， ∴抛物线的解析式为y =−12(x −3)2+5， (2)∵A(1,3)抛物线对称轴为：直线x =3 ∴B(5,3)，令x =0，y =−12(x −3)2+5=12，则C(0,12)， △ABC 的面积=12×(5−1)×(3−12)=5．22. 解：(1)把(0,5)代入y =(m −2)x 2+(m +3)x +m +2得m +2=5， 解得m =3所以二次函数解析式为y =x 2+6x +5； (2)因为y =x 2+6x +5=(x +3)2−4，所以此二次函数图象的顶点坐标为(−3,−4)，对称轴为直线x =−3． 23. D24. 解：(1)根据题意得{a −b +c =0c =3−b2a =1，解得{a =−1b =2c =3， 所以二次函数关系式为y =−x 2+2x +3，因为y =−(x −1)2+4，所以抛物线的顶点坐标为(1,4)；(2)①当x =−1时，y =0；x =2时，y =3； 而抛物线的顶点坐标为(1,4)，且开口向下， 所以当−1<x <2时，0<y ≤4；②当y =3时，−x 2+2x +3=3，解得x =0或2， 所以当y <3时，x <0或x >2．25. 解：(1)由点A(−1,0)和点B(3,0)得{−9+3b +c =0−1−b+c=0，解得：{b=2，(2)令x =0，则y =3， ∴C(0,3)，∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4， ∴D(1,4)；(3)设P(x,y)(x >0,y >0)，S △COE =12×1×3=32，S △ABP =12×4y =2y ，∵S △ABP =4S △COE ，∴2y =4×32， ∴y =3，∴−x 2+2x +3=3，解得：x 1=0(不合题意，舍去)，x 2=2， ∴P(2,3)．26. 解：(1)对于一元二次方程x 2−(m +1)x +12(m 2+1)=0，△=(m +1)2−2(m 2+1)=−m 2+2m −1=−(m −1)2， ∵方程有实数根， ∴−(m −1)2≥0， ∴m =1．(2)由(1)可知y =x 2−2x +1=(x −1)2， 图象如图所示：平移后的解析式为y =−(x +2)2+2=−x 2−4x −2．(3)由{y =2x +n y =−x 2−4x −2消去y 得到x 2+6x +n +2=0， 由题意∆≥0，∴36−4n −8≥0， ∴n ≤7，∵n ≥m ，m =1， ∴1≤n ≤7， 令，∴n =2时，y′的值最小，最小值为−4， n =7时，y′的值最大，最大值为21， ∴n 2−4n 的最大值为21，最小值为−4．1. 解：二次函数对称轴为直线x=−−62×1=3，3−(−1)=4，3−1=2，3+√3−3=√3，∵4>2>√3，∴y1>y2>y3．故选A．先求出二次函数的对称轴，再求出点A、B、C到对称轴的距离，然后根据二次函数增减性判断即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性以及增减性，确定出各点到对称轴的距离的大小是解题的关键．2. 解：∵抛物线开口向上，∴a>0；∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=−b2a>0，∴b<0；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c<0，∴abc>0，所以①正确；∵x=−1时，y>0，∴a−b+c>0，所以②正确；∵x=−b2a =13，∴2a+3b=0，所以③错误；∵x=2时，y>0，∴4a+2b+c>0，把2a=−3b代入得−6b+2b+c>0，∴c−4b>0，所以④正确．故选：C．根据抛物线开口方向得到a>0；根据对称轴得到x=−b2a>0，则b<0；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c<0，则abc>0，可判断①正确；当自变量为−1时对应的函数图象在x轴上方，则a−b+c>0，可判断②正确；根据抛物线对称轴方程得到x=−b2a =13，则2a+3b=0，可判断③错误；当自变量为2时对应的函数图象在x轴上方，则4a+2b+c>0，把2a=−3b代入可对④进行判断．本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=--b2a；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)．3. 解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线对称轴x>0，且抛物线与y轴交于正半轴，∴b>0，c>0，故①错误；>0，即x1+x2>0，故③正确；由对称轴x>0，可知x1+x22由可知抛物线与x轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：−1<x<0，∴当x=−1时，y=a−b+c<0，故④正确．故选：B．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点是关键．4. 解：A、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线>0，应在y轴的右侧，故不合题意，图形错误；y=ax2−bx来说，对称轴x=b2aB、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a<0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx<0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误；来说，对称轴x=b2aC、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx>0，应在y轴的右侧，故符合题意；来说，图象开口向上，对称轴x=b2aD、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx 来说，图象开口向下，a<0，故不合题意，图形错误；故选：C．首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．5. 解：∵y=−3x2的顶点坐标为(0,0)，y=−3(x−1)2−2的顶点坐标为(1,−2)，∴将抛物线y=−3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=−3(x−1)2−2．故选：D．找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．6. 解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2−4ac>0，故①错误；∵图象开口向上，∴a>0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b<0，∵图象与y轴交于x轴下方，∴c<0，∴abc>0，故②正确；当x=−1时，a−b+c>0，故此选项错误；∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：−2，故二次函数y=ax2+bx+c向上平移小于2个单位，则平移后解析式y=ax2+bx+c−m与x轴有两个交点，此时关于x的一元二次方程ax2+bx+c−m=0有两个不相等的实数根，故④正确．故选：B．直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案．此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握二次函数与方程之间的关系是解题关键．7. 解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，∵y=(x−1)2+2，∴原抛物线图象的解析式应变为y=(x−1+1)2+2−3=x2−1，故答案为C．思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型．8. 解：A、a=2，则抛物线y=2x2−3的开口向上，所以A选项错误；B、当x=2时，y=2×4−3=5，则抛物线不经过点(2,3)，所以B选项错误；C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；D、当y=0时，2x2−3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确．故选D．根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2−3=0解的情况对D进行判断．本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，它的顶点坐标是(−b2a ,4ac−b24a)，对称轴为直线x=−b2a，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质：当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上，x<−b2a时，y随x的增大而减小；x>−b2a时，y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下，x<−b2a 时，y随x的增大而增大；x>−b2a时，y随x的增大而减小．9. 解：y=−x2+2x+1=−(x−1)2+2，抛物线的对称轴为直线x=1，∵a=−1<0，∴当x>1时，y随x的增大而减少．故选B．先配方得到抛物线的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质求解．本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(−b2a ,4ac−b24a)，对称轴直线x=−b2a，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质：当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上，x<−b2a时，y随x的增大而减小；x>−b2a 时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，对称即顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下，x<−b2a 时，y随x的增大而增大；x>−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．10. 解：直线y=52x−2与抛物线y=x2−12x的交点求法是：令52x−2=x2−12x，∴x2−3x+2=0，∴x1=1，x2=2，∴直线y=52x−2与抛物线y=x2−12x的个数是2个．故选C．根据直线与二次函数交点的求法得出一元二次方程的解，即可得出交点个数．此题主要考查了一元二次方程的性质，根据题意得出一元二次方程的解的个数是解决问题的关键．11. 解：当抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在x轴上时，△=0，即△=(k+2)2−4×9=0，解得k=4或k=−8；当抛物线y=x2−(k+2)x+9的顶点在y轴上时，x=−b2a =k+22=0，解得k=−2．故答案为：4，−8，−2．由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．12. 解：∵y=−x2+2x+2=−(x2−2x+1)+3=−(x−1)2+3，故顶点的坐标是(1,3).故填空答案：(1,3)．此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．13. 解：∵x<2时，y随x的增大而减小，∴−m2×1≥2，∴m≤−4．故答案为：m≤−4．根据二次函数的性质，二次函数的顶点的横坐标不小于2列式计算即可得解．本题考查了二次函数的性质，熟记性质，根据顶点的横坐标列出不等式是解题的关键．14. 解：∵对称轴方程为x=−2，∴−b2a=−2，整理可得b=4a，∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−5,4)，∴4=25a−5b+c，把b=4a代入可得，4=25a−20a+c，解得c=4−5a，∴抛物线解析式为y=ax2+4ax+4−5a，当x=1时，则有a+b+c=a+4a+4−5a=4，故答案为：4．把A点坐标代入抛物线解析式结合对称轴方程可用a分别表示出b和c，则可用a表示出抛物线解析式，再令x=1代入可求得y的值，即a+b+c的值．本题主要考查二次函数的解析式，分别用a表示出b和c，得出抛物线解析式是解题的关键．15. 解：∵y=−2(x−1)2+5，∴抛物线顶点坐标为(1,5)，对称轴为x=1，故答案为：x=1，(1,5)．由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．16. 解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0)，Q两点关于它的对称轴x=1对称，∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等，∴Q点的坐标为：(−2,0)．故答案为：(−2,0)．直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可．此题主要考查了二次函数的性质，正确利用函数对称性得出答案是解题关键．17. 解：抛物线C1：y=12x2的顶点坐标为(0,0)，∵y=12x2+2x=12(x+2)2−2，∴平移后抛物线的顶点坐标为(−2,2)，对称轴为直线x=−2，当x=−2时，y=12×(−2)2=2，∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积为：12×(2+2)×2=4，故答案为：4．确定出抛物线y=12x2+2x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．18. 解：y1=(−3)2+4×3=21，y2=42−4×4=0，y3=(−1)2+4×1=5，∴y2<y3<y1，故答案为：y2<y3<y1，可分别求出y1、y2、y3的值后，再进行比较大小．本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是求出各点的函数值，本题属于基础题型．19. 解：∵抛物线对称轴是直线x=−1，点B的坐标为(1,0)，∴A(−3,0)，∴AB=4，故选项①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故选项②正确；∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴ab>0，故选项③错误；当x=−1时，y=a−b+c此时最小，为负数，故选项④正确；故答案为：①②④．利用二次函数对称性以及结合b2−4ac的符号与x轴交点个数关系，再利用数形结合分别分析得出答案．此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确判断a−b+c的符号是解题关键．20. 解：由图象可知，抛物线开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，抛物线与y轴交于负半轴，则c<0，∴abc>0，故①错误；∵抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，∴抛物线y=ax2+bx+c过点(3,0)，∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，∵a>0，∴10a+3b+c>0，故②正确；∵对称轴为x=1，且开口向上，∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，∴y1<y2，故③错误；当x=−ca 时，y=a⋅(−ca)2+b⋅(−ca)+c=c2−bc+aca=c(a−b+c)a，∵当x=−1时，y=a−b+c=0，∴当x=−ca 时，y=a⋅(−ca)2+b⋅(−ca)+c=0，即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点(−ca,0)，故④正确；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=1对应的函数值为y=a+b+c，又∵x=1时函数取得最小值，∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，∵b=−2a，∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；故答案为：②④⑤．由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断①；由x=3时的函数值及a>0可判断②；由抛物线的增减性可判断③；由当x=−ca 时，y=a⋅(−ca)2+b⋅(−ca)+c=c(a−b+c)a且a−b+c=0可判断④；由x=1时函数y取得最小值及b=−2a可判断⑤．本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．21. (1)设顶点式y=a(x−3)2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；(2)利用抛物线的对称性得到B(5,3)，再确定出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．22. (1)把已知点的坐标代入y =(m −2)x 2+(m +3)x +m +2可求出m 的值，从而得到抛物线解析式；(2)把(1)中的解析式配成顶点式，从而得到二次函数图象的顶点坐标和对称轴．本题考查了在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性质．23. 解：(1)∵函数y =−x 2+(m −1)x +m(m 为常数)，∴△=(m −1)2+4m =(m +1)2≥0，则该函数图象与x 轴的公共点的个数是1或2，故选D ；(2)y =−x 2+(m −1)x +m =−(x −m−12)2+(m+1)24， 把x =m−12代入y =(x +1)2得：y =(m−12+1)2=(m+1)24， 则不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数y =(x +1)2的图象上；(3)设函数z =(m+1)24，当m =−1时，z 有最小值为0；当m <−1时，z 随m 的增大而减小；当m >−1时，z 随m 的增大而增大，当m =−2时，z =14；当m =3时，z =4，则当−2≤m ≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z ≤4．(1)表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；(2)将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；(3)根据m 的范围确定出顶点纵坐标范围即可．此题考查了抛物线与x 轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．24. (1)把A 点和C 点坐标代入y =ax 2+bx +c 得到两个方程，再加上对称轴方程即可得到三元方程组，然后解方程组求出a 、b 、c 即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式即可得到顶点坐标；(2)①先分别计算出x 为−1和2时的函数值，然后根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围；②先计算出函数值为3所对应的自变量的值，然后根据二次函数的性质写出y <3时，x 的取值范围．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性质．25. (1)将A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b 、c 的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；(2)令x =0，可得C 点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C 的坐标；(3)设P(x,y)(x >0,y >0)，根据题意列出方程即可求得y ，即得D 点坐标．此题主要考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S△ABP=4S△COE列出方程是解决问题的关键．26. (1)由题意△≥0，列出不等式，解不等式即可；(2)画出翻折.平移后的图象，根据顶点坐标即可写出函数的解析式；(3)首先确定n的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题；本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法、翻折变换、平移变换、二次函数的最值问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．。

人教版九年级数学上册22.1 --22.3同步测试题（含答案）22.1 二次函数的图象和性质一、选择题1. 二次函数y＝(x－1)2＋3的图象的顶点坐标是()A．(1，3) B．(1，－3)C．(－1，3) D．(－1，－3)2. 将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为()A．y＝－5(x＋1)2－1 B．y＝－5(x－1)2－1C．y＝－5(x＋1)2＋3 D．y＝－5(x－1)2＋33. 二次函数y＝x2－2x－3的图象如所示，当y＜0时，自变量x的取值范围是()A．－1＜x＜3 B．x＜－1C．x＞3 D．x＜－1或x＞34. 已知二次函数y＝a(x－1)2＋c的图象如图，则一次函数y＝ax＋c的图象大致是()5. 若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系．．．．．．．．xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为()A. y＝(x－2)2＋3B. y＝(x－2)2＋5C. y＝x2－1D. y＝x2＋46. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1<x2，图象上有一点M(x0，y0)在x轴下方，则下列判断正确的是()A．a>0 B．b2－4ac≥0C．x1<x0<x2D．a(x0－x1)(x0－x2)<07. 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，有下列说法：①ac>0；②2a＋b>0；③4ac<b2；④a＋b＋c<0；⑤当x>0时，y随x的增大而减小．其中正确的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤8. (2019•嘉兴)小飞研究二次函数y=–(x–m)2–m+1(m为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m，则y1<y2；④当–1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是A．①B．②C．③D．④9. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论中正确的有()①abc<0；②b2－4ac<0；③2a>b；④(a＋c)2<b2.A．1个B．2个C．3个D．4个10. 如图，在Rt △PMN 中，∠P ＝90°，PM ＝PN ，MN ＝6 cm ，在矩形ABCD 中，AB ＝2 cm ，BC ＝10 cm ，点C 和点M 重合，点B ，C(M)，N 在同一直线上，令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线以每秒1 cm 的速度向右移动，至点C 与点N 重合为止．设移动x s 后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为y cm 2，则y 关于x 的大致图象是( )二、填空题11. (2019•武汉)抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(4,0)B 两点，则关于x 的一元二次方程2(1)a x c b bx -+=-的解是__________．12. 二次函数y ＝－2x 2－4x ＋5的最大值是________．13. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．14. 将抛物线y ＝2x 2向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为________________．15. 如图，已知抛物线过A ，B ，C 三点，点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(3，0)，且3AB ＝4OC ，则此抛物线的解析式为__________________．16. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)经过A(－1，1)，B(2，4)两点，顶点坐标为(m ，n)，有下列结论：①b＜1；②c＜2；③0＜m＜12；④n≤1.则所有正确结论的序号是________．17. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.三、解答题18. 2018·南京已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？19. 已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP∶PD＝2∶3.(1)求A、B两点的坐标；(2)若tan∠PDB＝54，求这个二次函数的关系式．20. 如图，已知抛物线y＝x2－(m＋3)x＋9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y ＝x＋3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴分别交于D、E两点．(1)求m的值；(2)求A、B两点的坐标；(3)点P(a，b)(－3<a<1)是抛物线上一点，当△P AB的面积是△ABC面积的2倍时，求a、b的值．人教版九年级数学上册23.1 二次函数的图象和性质课时训练-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A[解析] 已知原抛物线的顶点坐标为(0，1)，平移后的顶点坐标是(－1，－1)，因此平移后的抛物线的解析式为y＝－5(x＋1)2－1.故选A.3. 【答案】A[解析] 在抛物线y＝x2－2x－3上，y＜0的所有点在x轴的下方，这些点对应的x值为－1＜x＜3，所以自变量x的取值范围为－1＜x＜3.4. 【答案】B[解析] 根据二次函数的图象开口向上，得a＞0，根据c是二次函数图象顶点的纵坐标，得出c＜0，故一次函数y＝ax＋c的图象经过第一、三、四象限．故选B.5. 【答案】C【解析】由抛物线y＝x2－2x＋3得y＝(x－1)2＋2.保持抛物线不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位，其实质相当于抛物线向左平移1个单位，再将平面直角坐标系向上平移3个单位，则相当于抛物线向下平移3个单位，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，可得新的抛物线解析式为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1.6. 【答案】D7. 【答案】C[解析] ①由图象可知：a>0，c<0，∴ac<0，故①错误；②由对称轴可知：－b2a<1，∴2a＋b>0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2－4ac>0，即4ac<b2，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a＋b＋c<0，故④正确；⑤当x>－b2a时，y随着x的增大而增大，故⑤错误．故选C.8. 【答案】C【解析】把(m，–m+1)代入y=–x+1，–m+1=–m+1，左=右，故①正确；当–(x–m)2–m+1=0时，x1=1m m--，x2=1m m+-，若顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形，则1–m+(1–m)2+1–m+(1–m)2=4(1–m)，即m2–m=0，∴m=0或1时，∴存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确；当x1<x2，且x1、x2在对称轴右侧时，∵–1<0，∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，即y1>y2，故③错误；∵–1<0，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，∴m≥2，故④正确，故选C．9. 【答案】A[解析] ①由抛物线的开口方向向下知a<0，由对称轴在y轴的左侧得a，b 同号，∴b<0.由抛物线与y轴交于正半轴得c>0，∴abc>0，故结论①错误．②由抛物线与x轴有两个交点得b2－4ac>0，故结论②错误．③由图象知对称轴x＝－b2a>－1得b2a<1；由a<0，结合不等式的性质三可得b>2a，即2a<b，故结论③错误．④由图象知：当x＝1时，y<0，即a＋b＋c<0；当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，∴(a＋b＋c)(a－b＋c)<0，即(a＋c)2－b2<0，∴(a＋c)2<b2.故结论④正确．故选A.10. 【答案】A[解析] (1)当点D位于PM上时，x＝2.当0≤x＜2时，重叠部分是等腰直角三角形，y＝12x2，图象是顶点为(0，0)且开口向上的抛物线的一部分．(2)当点D位于PN上时，x ＝4.当2≤x≤4时，重叠部分是直角梯形，y ＝12×(x －2＋x)×2＝2x －2，图象是直线的一部分；(3)当4＜x≤6时，重叠部分是一个五边形，y ＝12×(2＋6)×2－12(6－x)2＝8－12(6－x)2，图象是顶点为(6，8)且开口向下的抛物线的一部分．故选A.二、填空题11. 【答案】12x =-，25x =【解析】依题意，得：9301640a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：12b ac a =-⎧⎨=-⎩，所以，关于x 的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx 为：2(1)12a x a a ax --=-+， 即：2(1)121x x --=-+， 化为：23100x x --=， 解得：12x =-，25x =， 故答案为：12x =-，25x =．12. 【答案】713. 【答案】0 [解析] ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一交点的坐标为(1，0)， ∴a ＋b ＋c ＝0.14. 【答案】y ＝2(x ＋1)2－215. 【答案】 y ＝－x2＋2x ＋316. 【答案】①②④ [解析] ∵抛物线过点A(－1，1)，B(2，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝4， ∴b ＝－a ＋1，c ＝－2a ＋2. ∵a ＞0，∴b ＜1，c ＜2，∴结论①②正确；∵抛物线的顶点坐标为(m ，n)，∴m ＝－b 2a ＝－－a ＋12a ＝12－12a ，∴m ＜12，∴结论③不正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)经过A(－1，1)，顶点坐标为(m ，n)， ∴n≤1，∴结论④正确． 综上所述，正确的结论是①②④. 故答案为①②④.17. 【答案】③④ [解析] ∵抛物线开口向上，∴a ＞0.又∵对称轴为直线x ＝－b2a ＞0，∴b ＜0，∴结论①不正确；∵当x ＝－1时，y ＞0，∴a －b ＋c ＞0，∴结论②不正确；根据抛物线的对称性，可将阴影部分的面积进行转化，从而求得阴影部分的面积＝2×2＝4，∴结论③正确；∵4ac －b 24a ＝－2，c ＝－1，∴b 2＝4a ，∴结论④正确．综上，正确的结论是③④.三、解答题18. 【答案】解：(1)证明：当y ＝0时，2(x －1)(x －m －3)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝m ＋3.当m ＋3＝1，即m ＝－2时，方程有两个相等的实数根； 当m ＋3≠1，即m ≠－2时，方程有两个不相等的实数根． 综上，不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点． (2)当x ＝0时，y ＝2(x －1)(x －m －3)＝2m ＋6， ∴该函数的图象与y 轴交点的纵坐标为2m ＋6，∴当2m ＋6＞0，即m ＞－3时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．19. 【答案】解：(1)y ＝ax 2－2ax ＋c＝a(x 2－2x)＋c ＝a(x －1)2＋c －a ∴P 点坐标为(1，c －a)．(2分)如图，过点C 作CE ⊥PQ ，垂足为E ，延长CE 交BD 于点F ，则CF ⊥BD. ∵P(1，c －a)， ∴CE ＝OQ ＝1. ∵PQ ∥BD ，∴△CEP ∽△CFD ， ∴CP CD ＝CE CF .又∵CP ∶PD ＝2∶3， ∴CE CF ＝CP CD ＝22＋3＝25，∴CF ＝2.5，(4分) ∴OB ＝CF ＝2.5，∴BQ ＝OB －OQ ＝1.5， ∴AQ ＝BQ ＝1.5，∴OA ＝AQ －OQ ＝1.5－1＝0.5， ∴A(－0.5，0)，B(2.5，0)．(5分)(2)∵tan ∠PDB ＝54， ∴CF DF ＝54，∴DF ＝45CF ＝45×2.5＝2，(6分) ∵△CFD ∽△CEP ， ∴PE DF ＝CE CF ，∴PE ＝DF·CE CF ＝2×12.5＝0.8. ∵P(1，c －a)，C(0，c)，∴PE ＝PQ －OC ＝c －(c －a)＝a ， ∴a ＝0.8，(8分) ∴y ＝0.8x 2－1.6x ＋c.把A(－0.5，0)代入得：0.8×(－0.5)2－1.6×(－0.5)＋c ＝0， 解得c ＝－1.(9分)∴这个二次函数的关系式为：y ＝0.8x 2－1.6x －1.(10分)20. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝x 2－(m ＋3)x ＋9的顶点在x 轴的正半轴上， ∴方程x 2－(m ＋3)x ＋9＝0有两个相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝[－(m ＋3)]2－4×9＝0，解得m ＝3或m ＝－9， 又∵抛物线对称轴大于0，即m ＋3>0，∴m ＝3.(3分)(2)由(1)可知抛物线解析式为y ＝x 2－6x ＋9，联立一次函数y ＝x ＋3， 可得⎩⎨⎧y ＝x 2－6x ＋9y ＝x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝4或⎩⎨⎧x ＝6y ＝9，∴A(1，4)，B(6，9)．(6分)(3)如解图，分别过A 、B 、P 三点作x 轴的垂线，垂足分别为R 、S 、T ，解图∵A(1，4)，B(6，9)，C(3，0)，P(a ，b)，∴AR ＝4，BS ＝9，RC ＝3－1＝2，CS ＝6－3＝3，RS ＝6－1＝5，PT ＝b ，RT ＝1－a ，ST ＝6－a ，∴S △ABC ＝S 梯形ABSR －S △ARC －S △BCS ＝12×(4＋9)×5－12×2×4－12×3×9＝15，S △PAB ＝S 梯形PBST －S 梯形ARTP －S 梯形ARSB ＝12(9＋b)(6－a)－12(b ＋4)(1－a)－12×(4＋9)×5＝12(5b －5a －15)．(8分) 又∵S △PAB ＝2S △ABC ， ∴12(5b －5a －15)＝30，即b －a ＝15， ∴b ＝15＋a ，∵P 点在抛物线上， ∴b ＝a 2－6a ＋9，∴15＋a ＝a 2－6a ＋9，解得a ＝7±732， ∵－3<a<1， ∴a ＝7－732， ∴b ＝15＋7－732＝37－732.(10分)22.2《二次函数与一元二次方程》1.抛物线与两坐标轴的交点个数为( ) A.个B.个C.个D.个2.如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（）A. B. C. D.3.下列表格是二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程，，，为常数）的一个解的范围是（）A. B. C. D.4.关于的方程的两个相异实根均大于且小于，那么的取值范围是（）A. B. C.或 D.5.函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等实数根D.无实数根6. 二次函数中，自变量与函数的对应值如下表：…………若，则一元二次方程的两个根，的取值范围是（）A.，B.，C.，D.，7.利用函数图象求方程的实数根（精确到），要先作函数________的图象，如图所示，它与轴的公共点的横坐标大约是、，所以方程的实数根为________，________．8.二次函数的图象与轴交点的横坐标是________．9.若二次函数的图象与轴有两个交点，则实数的取值范围是________．10.若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是________．11.二次函数的图象与轴的交点坐标是________．12.已知二次函数的图象与轴交于、，顶点到轴的距离为，求函数的解析式．13.某商场计划购进两种新型节能台灯共盏，已知购进型台灯盏，型台灯盏需元；购进型台灯盏，项台灯盏需元．(1)填空．进价/(元/盏) 售价/(元/盏)型型（2)若商场购进型台灯不超过盏，预计进货款不多于元，则一共有多少种购买方案?(3)在的购买方案中，哪种方案能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？14.求证：方程的一个根大于，另一个小于．15.如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，其中点、的坐标分别为、．（1）求抛物线的解析式，并用配方法把其化为的形式，写出顶点坐标；（2）已知点在第二象限的抛物线上，求出的值，并直接写出点关于直线的对称点的坐标．16. 如图，已知的图象与的图象交于、两点且与轴，轴分别交于、两点，为坐标轴原点．（1）求点、的坐标；（2）求的值．参考答案1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】,,8.【答案】和9.【答案】且10.【答案】且11.【答案】，12.解：由题意知，顶点为或．设抛物线的表达式为．①当顶点为时，∵抛物线过，∴，∴．∴抛物线解析式为，即；②当顶点为时，∵抛物线过，∴，∴．∴抛物线解析式为，即．13.解：(1)填表如下：进价/(元/盏) 售价/(元/盏)型型设项台灯的进价是元/盏，型台灯的进价是元/盏，根据题意列方程组，得解得故型台灯的进价是元/盏，型台灯的进价是元/盏．（2)设商场购进型台灯盏，型台灯的进价是元/盏，根据题意得，解得，故取直范围是．因为是正整数，所以，故共有种购买方案．(3)设商场销售完议批台灯可获利元，则∵∴随的增大而减小，∴当时，取得最大值，为．答：在()的购买方案中，商场购进型台灯盏，型台灯盏时，销售完这批台灯获利最多，此时利润为元．14.证明：的两个根为，，则方程一定有两个根，设方程的两根为，，当时，，当时，，当时，，则方程、的根一定一根大于，一根小于．15.解：（1）抛物线经过、两点，∴，解得．∴此抛物线的解析式为．（2）∵点在抛物线上，∴，解得，．∵点在第二象限，∴．令，解得，．∴．∴．连接，易知，，．∴．∴．过点作于，延长交轴于，∴．∴．∴．∴点即为点关于直线的对称点．∴，∴∴．16.解：（1）∵的图象与的图象交于、两点，∴解方程组，解得，故点的坐标为，点的坐标为．（2）作垂直与轴与点，垂直与轴与点将代入得，∴点的坐标为又∵点的坐标为，点的坐标为∴，，∴故的值为．22.3《实际问题与二次函数》一．选择题1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A．y＝60（300+20x）B．y＝（60﹣x）（300+20x）C．y＝300（60﹣20x）D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）2．用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为（）A．y＝x2﹣30x（0＜x＜30）B．y＝﹣x2+30x（0≤x＜30）C．y＝﹣x2+30x（0＜x＜30）D．y＝﹣x2+30x（0＜x≤30）3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（）A．S＝B．S＝C．S＝D．S＝4．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（）A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m5．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈利的月份为（）A．2月和12月B．2月至12月C．1月D．1月、2月和12月6．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球运动的时间为6s；③小球抛出3秒时，速度为0；④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．其中正确的是（）A．①④B．①②C．②③④D．②④7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（）秒，四边形APQC的面积最小．A．1B．2C．3D．48．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣5、最大值0B．有最小值﹣3、最大值6C．有最小值0、最大值6D．有最小值2、最大值610．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF ＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（）A．B．C．D．11．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；③AB的长度可以等于5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是（）A．①②B．①②⑤C．②③④D．①②④⑤二．填空题12．中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y美元．设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是．13．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加m．14．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是m．15．如图所示，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M 是DB上一点，且BP＝DM，设BP＝x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为．16．如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是．三．解答题17．某店销售一种小工艺品．该工艺品每件进价12元，售价为20元．每周可售出40件．经调查发现，若把每件工艺品的售价提高1元，就会少售出2件．设每件工艺品售价提高x 元，每周从销售这种工艺品中获得的利润为y元．（1）填空：每件工艺品售价提高x元后的利润为元，每周可售出工艺品件，y关于x的函数关系式为；（2）若y＝384，则每件工艺品的售价应确定为多少元？18．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a＝﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m 的Q处时，乙扣球成功，求a的值．19．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．（1）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；（2）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（3）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．20．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，y＝（60﹣x）（300+20x），故选：B．2．解：由题意得：矩形的另一边长＝60÷2﹣x＝30﹣x，矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x （0＜x＜30）．故选：C．3．解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2，∵Rt△ABC的面积S，∴S＝ab，∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，∴c2+4S＝25，∴S＝．故选：A．4．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，2×3﹣4＝2，所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．故选：B．5．解：∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），1≤n≤12且n为整数，∴当y＝0时，n＝2或n＝12，当y＜0时，n＝1，故选：D．6．解：①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故①错误；②由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确；④设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣，∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，∴当t＝1.5s时，h＝﹣（1.5﹣3）2+40＝30，∴④正确．综上，正确的有②③④．故选：C．7．解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：S＝S△ABC﹣S△PBQ＝×12×6﹣（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+36＝（t﹣3）2+27．∴当t＝3s时，S取得最小值．故选：C．8．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4，解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．9．解：由二次函数的图象可知，∵﹣5≤x≤0，∴当x＝﹣2时函数有最大值，y最大＝6；当x＝﹣5时函数值最小，y最小＝﹣3．故选：B．10．解：设正方形的边长为m，则m＞0，∵AE＝x，∴DH＝x，∴AH＝m﹣x，∵EH2＝AE2+AH2，∴y＝x2+（m﹣x）2，y＝x2+x2﹣2mx+m2，y＝2x2﹣2mx+m2，＝2[（x﹣m）2+]，＝2（x﹣m）2+m2，∴y与x的函数图象是A．故选：A．11．解：①抛物线y＝ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；②根据图象得：直线y＝kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y＝ax2（a≠0）当x＞0时y的值随的x的增大而增大，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；③由A、B横坐标分别为﹣2，3，若AB＝5，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；④若OA＝OB，得到直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；⑤直线y＝﹣kx+b与y＝kx+b关于y轴对称，如图所示：可得出直线y＝﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3，2，由图象可得：当﹣3＜x＜2时，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，则正确的结论有①②⑤．故选：B．二．填空题12．解：设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意得2019年年人均收入为：300（x+1）2，y与x的函数关系式是为：y＝300（x+1）2．故答案为y＝300（x+1）2．13．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），得：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4，故答案为：（2﹣4）．14．解：设抛物线的解析式为：y＝ax2+b，由图得知：点（0，2.4），（3，0）在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2.4，∵菜农的身高为1.8m，即y＝1.8，则1.8＝﹣x2+2.4，解得：x＝±，故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：3米，故答案为：3．15．解：∵AB＝8，BC＝6，∴CD＝8，∴BD＝10，∵DM＝x，∴BM＝10﹣x，如图，过点M作ME⊥BC于点E，∴ME∥DC，∴△BME∽△BDC，∴＝，∴ME＝8﹣x，而S△MBP＝×BP×ME，∴y＝x2+4x，P不与B重合，那么x＞0，可与点C重合，那么x≤6．故填空答案：y＝x2+4x（0＜x≤6）．16．解：作MG⊥DC于G，如图所示：设MN＝y，PC＝x，根据题意得：GN＝5，MG＝|10﹣2x|，在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2＝MG2+GN2，即y2＝52+（10﹣2x）2．∵0＜x＜10，∴当10﹣2x＝0，即x＝5时，y2最小值＝25，∴y最小值＝5．即MN的最小值为5；故答案为：5．三．解答题17．解：（1）∵该工艺品每件进价12元，售价为20元，∴每件工艺品售价提高x元后的利润为：（20﹣12+x）＝（8+x）（元），∵把每件工艺品的售价提高1元，就会少售出2件，∴每周可售出工艺品：（40﹣2x）（件），∴y关于x的函数关系式为：y＝（40﹣2x）（8+x））＝﹣2x2+24x+320；故答案为：8+x；40﹣2x；y＝﹣2x2+24x+320；（2）∵y＝384，∴384＝﹣2x2+24x+320，整理得出：x2﹣12x+32＝0，（x﹣4）（x﹣8）＝0，解得：x1＝4，x2＝8，4+20＝24，8+20＝28，答：每件工艺品的售价应确定为24元或28元．18．解：（1）①当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣4）2+h，将点P（0，1）代入，得：﹣×16+h＝1，解得：h＝；②把x＝5代入y＝﹣（x﹣4）2+，得：y＝﹣×（5﹣4）2+＝1.625，∵1.625＞1.55，∴此球能过网；（2）把（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：，解得：，∴a＝﹣．19．解：（1）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴当x＝﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；（2）当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2+bx+5，由题意得，x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，∴△＝b2﹣16＝0，解得，b1＝4，b2＝﹣4，∴二次函数的解析式y＝x2+4x+5，y＝x2﹣4x+5；（3）当c＝b2时，二次函数解析式为y═x2+bx+b2，图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，①当﹣＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y＝b2+b•b+b2＝3b2为最小值，∴3b2＝21，解得，b1＝﹣（舍去），b2＝；②当b≤﹣≤b+3时，即﹣2≤b≤0，∴x＝﹣，y＝b2为最小值，∴b2＝21，解得，b1＝﹣2（舍去），b2＝2（舍去）；③当﹣＞b+3，即b＜﹣2，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；∴b＝时，解析式为：y＝x2+x+7b＝﹣4时，解析式为：y＝x2﹣4x+16．综上可得，此时二次函数的解析式为y＝x2+x+7或y＝x2﹣4x+16．20．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），∴根据题意，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），定义抛物线y＝﹣x2+2x+3．令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴CD＝＝，BC＝＝3，BD＝＝2，∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，∴CD2+BC2＝BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）存在．y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．①若以CD为底边，则P1D＝P1C，设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y＝4﹣x．又P1点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1＝0，解得x1＝，x2＝＜1，应舍去，∴x＝，∴y＝4﹣x＝，即点P1坐标为（，）．②若以CD为一腰，∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，此时点P2坐标为（2，3）．∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．。

22.1.2二次函数()2h x a y -=的图象和性质同步练习 一、选择题1．抛物线12-=x y 的顶点坐标为( )A ．(1，0)B ．(−1，0)C ．(0，−1)D ．(2，3)2．抛物线()4232+--=x y 的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为( ) A ．开口向下，对称轴2-=x ，顶点坐标(−2，4) B ．开口向上，对称轴2=x ，顶点坐标(2，4)C ．开口向上，对称轴2=x ，顶点坐标(2，−4)D ．开口向下，对称轴2=x ，顶点坐标(2，4)3．抛物线()52342-+=--m x y m m 的顶点在x 轴下方，则( )A ．5=mB ．1-=mC ．15-==m m 或D ．15=-=m m 或4．把抛物线221x y =向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位，得抛物线为( ) A ．()22212++=x x y B ．()12212-+=x x y C ．()12212--=x x y D ．()12212+-=x x y 5．二次函数()2122+-=x y 的图象可由22x y =的图象( )得到. A ．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度B ．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C ．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D ．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度6．将抛物线12--=x y 向上平移2个单位得到抛物线的表达式（ ）A ．2x y -=B ．22--=x yC ．12+-=x yD ．12+=x y 7．抛物线b x y +=2与抛物线22-=ax y 的形状相同，只是位置不同，则b a 、值分别是（ ） A ．2,1-≠=b a B ．2,1≠=b a C ．2,1-≠±=b a D ．2,1≠±=b a 8. 二次函数2ax y =与一次函数a ax y +=在同一坐标系中的图象大致是（ ） A.B. C. D. 9. 函数b ax y +=2与b ax y +=在同一坐标系里的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 10. 已知二次函数()k x y +-=213的图象上有三点A(2，y 1)，B(2，y 2)，C(−5，y 3)，则321y y y 、、的大小关系为( )A ．321y y y >>B ．312y y y >>C ．213y y y >>D ．123y y y >>二、填空题1、抛物线()232+=x y 的开口 ；顶点坐标为 ；对称轴是_________；当3->x 时，y 随x 的增大而 ；当3-=x 时，y 有最 值是_________．2、函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数取得最 值，最 值y = .3、若抛物线()21+=x m y 过点（1，－4），则m ＝__________．4、抛物线()224-=x y 与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标为 ． 5、把抛物线23x y =向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为 ，再向上平移4个单位得到的抛物线的表达式为 .6、将抛物线()2131--=x y 向左平移2个单位后得到的抛物线解析式为 . 7、二次函数12+-=mx x y 的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是 .8、抛物线()2n x m y +=向左平移2个单位后，得到的函数关系式是()244--=x y ，则m ＝ ，n ＝ ．9、二次函数2)2(31+=x y ，若y 恒大于0，则自变量x 的取值范围是 . 10、把抛物线22y x =向左平移使顶点坐标是（-1，0），则所得抛物线的表达式为 .11、写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线22x y -=都相同的二次函数解析式_________________．12、一条抛物线的对称轴是1x =，且与x 轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式是 .（任写一个）三、解答题1、已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式.2、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA OC =，试求该抛物线的解析式.3、将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为2-，且新抛物线经过点()1,3，求a 的值.4、如图所示，抛物线2()y x m =--的顶点为A ，直线L ：y x m =-与y 轴的交点为B ，其中0>m .（1）写出抛物线的对称轴和顶点坐标；（用含m 的式子表示）；（2）若点A 在直线L 上，求∠ABO 的大小.5、如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m 时，水面宽AB 为6m ，当水位上升0.5m 时：（1）求抛物线的解析式。

人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质同步训练一、选择题1. 二次函数y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2的共同性质是()A．其图象开口都向上B．其图象的对称轴都是y轴C．其图象都有最高点D．y随x的增大而增大2. 若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中的信息可知y与x之间的函数解析式是()A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋83. 若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为()A. x1＝0，x2＝6B. x1＝1，x2＝7C. x1＝1，x2＝－7D. x1＝－1，x2＝74. 已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是()A．b≥－1 B．b≤－1C．b≥1 D．b≤15. 二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是()A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2，3)C. 抛物线的对称轴是直线x＝1D. 抛物线与x轴有两个交点6. 将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是() A．向左平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度7. 已知抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，－2)，则b与c的值分别为() A．－1，－2 B．4，－2C．－4，0 D．4，08. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且图象过A(x1，m)、B(x1＋n，m)两点，则m、n的关系为()A. m＝12n B. m＝14n C. m＝12n2 D. m＝14n2二、填空题9. 某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝12x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数解析式为________________．10. 已知抛物线y＝2(x－1)2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，且1＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是________．11. 抛物线y＝－8x2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x＞0时，y随x的增大而________，当x＜0时，y随x的增大而________．12. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________________．13. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为________．14. 顶点坐标是(2，0)，且与抛物线y＝－3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为________．15. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________．16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．三、解答题17. 已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．(1)求此抛物线的解析式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；(3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．18. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；(3)若直线y＝－12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，求b的取值范围．19. 如图，等腰直角三角形ABC的直角边与正方形MNPQ的边长均为10 cm，边CA与边MN在同一直线上，开始时点A与点M重合，△ABC沿MN方向以1 cm/s 的速度匀速运动，当点A与点N重合时，停止运动．设运动的时间为t s，运动过程中△ABC与正方形MNPQ重叠部分的面积为S cm2.(1)试写出S关于t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；(2)当MA＝2 cm时，重叠部分的面积是多少？20. 设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质同步训练-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】A[解析] ∵x ＝1时，ax 2＝1，∴a ＝1.将(－1，8)，(0，3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧1－b ＋c ＝8，c ＝3，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3.∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝x 2－4x ＋3.故选A.3. 【答案】D【解析】∵二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴为x ＝－m2＝3，解得m ＝－6，则关于x 的方程为x 2－6x ＝7，解得，x 1＝－1，x 2＝7.4. 【答案】D [解析] 先根据抛物线的性质得到其对称轴为直线x ＝b ，且当x ＞b 时，y 的值随x 值的增大而减小．因为当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，所以b≤1.5. 【答案】D【解析】本题考查了二次函数的性质，由于2>0，所以抛物线的开口向上，所以A 选项错误；由于当x ＝2时，y ＝8－3＝5，所以B 选项错误；由于y ＝2x 2－3的对称轴是y 轴，所以C 选项错误；由2x 2－3＝0得b 2－4ac ＝24>0，则该抛物线与x 轴有两个交点，所以D 选项正确．6. 【答案】D [解析] A ．将函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位长度得到函数y ＝(x ＋1)2的图象，它经过点(1，4)；B.将函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位长度得到函数y ＝(x －3)2的图象，它经过点(1，4)；C.将函数y ＝x 2的图象向上平移3个单位长度得到函数y ＝x 2＋3的图象，它经过点(1，4)；D.将函数y ＝x 2的图象向下平移1个单位长度得到函数y ＝x 2－1的图象，它不经过点(1，4)．故选D.7. 【答案】D8. 【答案】D【解析】因为二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴只有一个交点，∴b 2－4c ＝0，即c ＝b 24，由题意知，点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，∴12AB＝|n|2＝－b 2－x 1，b ＝－|n|－2x 1, ∴c ＝（－|n|－2x 1）24＝|n|2＋4|n|x 1＋4x 214，∵A(x 1，m)在y ＝x 2＋bx ＋c 上，∴m ＝x 21＋bx 1＋c ，∴ m ＝x 21＋(－|n|－2x 1)· x 1＋|n|2＋4|n|x 1＋4x 214，化简整理得m ＝14n 2，故选D .二、填空题9. 【答案】y ＝12(x ＋2)2＋1 [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y ＝a(x －h)2＋k.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12，所以该抛物线的函数解析式是y ＝12(x ＋2)2＋1.10. 【答案】y 1<y 2[解析] ∵抛物线的解析式是y ＝2(x －1)2，∴其对称轴是直线x ＝1，抛物线的开口向上， ∴在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大．又∵抛物线y ＝2(x －1)2上有两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且1＜x 1＜x 2，∴y 1<y 2.11. 【答案】下y 轴 (0，0) 减小 增大12. 【答案】y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x 【解析】依题意，所求函数有可能经过(－1，0)，(－12，－14) 或(1，0)，(－12，－14) .设所求函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，图象经过原点，则c ＝0，当图象经过(－1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝b ＝1，即所求解析式为y ＝x 2＋x ; 当图象经过(1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝－13，b ＝13，即所求解析式为y ＝－13x 2＋13x .综上所述，所求函数的解析式为y＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x .13. 【答案】0 【解析】设抛物线与x 轴的另一个交点是Q ，∵抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与x 轴的一个交点是P(4，0)，∴与x 轴的另一个交点Q(－2，0)，把(－2，0)代入解析式得：0＝4a －2b ＋c ，∴4a －2b ＋c ＝0.14. 【答案】y ＝－3(x －2)215. 【答案】(－2，0)【解析】如解图，过D 作DM ⊥x 轴于点M ，∴M(m ，0)，又B(m ＋2，0)，∴MB ＝2，由C(0，c)，D(m ，c)知：OC ＝DM ，即点C 、D 关于对称轴对称，故点O 、M 也关于对称轴对称，∴OA ＝MB ＝2，∴A(－2，0)．16. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b 24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．三、解答题17. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2经过点A(－2，－8)，∴4a ＝－8，解得a ＝－2，∴此抛物线的解析式为y ＝－2x 2.(2)当x ＝－1时，y ＝－2，∴点B(－1，－4)不在此抛物线上．(3)把y ＝－6代入y ＝－2x 2，得－2x 2＝－6，解得x ＝±3，∴抛物线上纵坐标为－6的点的坐标为(3，－6)，(－3，－6)．18. 【答案】解：(1)把B(－2，6)，C(2，2)代入抛物线的解析式得： ⎩⎨⎧6＝a·（－2）2＋b·（－2）＋22＝a·22＋b·2＋2，(1分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－1，(2分)∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x ＋2.(3分)(2)抛物线解析式化为顶点式：y ＝12(x －1)2＋32，则抛物线顶点D(1，32)，(4分) 如解图①所示，过点B 、D 、C 分别向x 轴作垂线，垂足分别为点M 、N 、H ，则有：S △BCD ＝S 梯形BMHC －S 梯形BMND －S 梯形DNHC ＝12(6＋2) ×4－12(6＋32)×3－12(32＋2) ×1 ＝3.(6分)解图①解图② (3)如解图②所示，连接BC ，∵直线BC 斜率k BC ＝2－62－（－2）＝－1＜－12，∴过点C 作直线MN 与直线y ＝－12x 平行，设直线MN 的解析式为y ＝－12x ＋b 1，代入C(2，2)， ∴b 1＝3.(7分)作直线EF 与抛物线相切，且与直线y ＝－12x 平行， 设直线EF 的解析式为y ＝－12x ＋b 2，联立抛物线解析式得， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2－x ＋2y ＝－12x ＋b 2， ∴x 2－x ＋4－2b 2＝ 0， ∵直线EF 与抛物线相切，∴b 2－4ac ＝0，即(－1)2－4(4－2b 2)＝0，(9分)∴b 2＝158，(11分) ∴158＜b ≤3.(12分)注：斜率知识为高中知识，但常渗透于中考压轴题，与二次函数相结合考查，做题时注意其性质的应用．19. 【答案】解：(1)设AB 与MQ 交于点R.∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形MNPQ 是正方形， ∴△AMR 是等腰直角三角形． 由题意知，AM ＝MR ＝t ，∴S ＝S △AMR ＝12t·t ＝12t 2(0≤t≤10)．(2)当MA ＝2 cm ，即t ＝2时，重叠部分的面积是12×2×2＝2(cm 2)．20. 【答案】解：(1)当k ＝0时，y ＝－(x －1)(x ＋3)，所画图象如解图所示．(2分)(2)①k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称，②函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(k －3)](k 是常数)的图象都经过(1，0)和(－1，4)．(5分)(3)由题意可得y 2＝(x －1)[(2－1)x ＋(2－3)]＝(x －1)2，平移后的函数y 3的表达式为y 3＝(x －1＋4)2－2＝(x ＋3)2－2， 所以当x ＝－3时，函数y 3的最小值是－2.(8分)。

人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质[测试时间：45分钟分值：100分]一、选择题(每题5分，共30分)1．与抛物线y＝2(x－1)2＋2形状相同的抛物线是()A．y＝12(x－1)2B．y＝2x2C．y＝(x－1)2＋2 D．y＝(2x－1)2＋22．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝ax＋b(a，b都不为0)的图象的相对位置可以是()A BC D3．关于二次函数y＝－12(x－3)2－2的图象与性质，下列结论错误的是()A．抛物线的开口向下B．当x＝3时，函数有最大值－2 C．当x>3时，y随x的增大而减小D．抛物线可由y＝12x2的图象经过平移得到4．已知二次函数y＝a(x－1)2＋3，当x<1时，y随x的增大而增大，则a 的取值范围是()A．a≥0 B．a≤0C．a>0 D．a<05．下列抛物线中，顶点坐标为(2,1)的是()A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x－2)2＋1C．y＝(x＋2)2－1 D．y＝(x－2)2－16．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图1)，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4 cm，最低点C在x轴上，高CH＝2 cm，BD＝2 cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为()图1A ．y ＝12(x ＋3)2B ．y ＝12(x －3)2C ．y ＝－12(x ＋3)2D ．y ＝－12(x －3)2二、填空题(每题4分，共24分)7．二次函数y ＝－(x －3)2＋2的图象的顶点坐标是______________，对称轴是______________．8．已知二次函数y ＝－12x 2－3，如果x >0，那么函数值y 随着自变量x 的增大而________(填“增大”或“减小”)．9．隧道的截面是抛物线形，以水平面为x 轴，隧道中线为y 轴，则抛物线的解析式为y ＝－19x 2＋3.25，一辆车高3 m ，宽4 m ，该车________通过该隧道(填“能”或“不能”)．10．如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，抛物线C 2的顶点也在抛物线C 1上时，此时我们称抛物线C 1与C 2是“互为关联”的抛物线．那么与抛物线y ＝2x 2是“互为关联”且顶点不同的抛物线的解析式可以是__________________(只需写出一个)．11．某游乐园要建一个圆形喷水池，在喷水池的中心安装一个大的喷水头，高度为103m ，喷出的水柱沿抛物线轨迹运动(如图2)，在离中心水平距离4 m 处达到最高，高度为6 m ，之后落在水池边缘，那么这个喷水池的直径为________ m.图212．如图3，抛物线y ＝ax 2＋c (a <0)交x 轴于点G ，F ，交y 轴于点D ，在x轴上方的抛物线上有两点B ，E ，它们关于y 轴对称，点G ，B 在y 轴左侧，BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ，四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为________．图3三、解答题(共46分)13．(8分)已知抛物线如图4，根据图象可得：图4(1)抛物线的顶点坐标为______________； (2)对称轴为______________；(3)当x ＝______________时，y 有最大值，最大值是______________； (4)当______________时，y 随着x 的增大而增大； (5)当______________时，y >0.14．(8分)已知二次函数y ＝12(x ＋1)2＋4.(1)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；(2)画出此函数的图象，并说出将此函数图象如何平移得到y ＝12x 2的图象．15．(10分)如图5，一个运动员推铅球，铅球在点A 处出手，出手时球离地面约53 m ．铅球落地点在B 处，铅球运行中在运动员前4 m 处(即OC ＝4 m)到达最高点，最高点高为3 m ．已知铅球经过的路线是抛物线，根据如图的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？图516．(10分)如图6，点A是抛物线y＝ax2上第一象限内的点，点A的坐标为(3,6)，AB⊥y轴与抛物线y＝ax2的另一交点为点B.(1)求a的值和点B的坐标；(2)在x轴上有一点C，点C的坐标为(5,0)，求△AOC的面积．图617．(10分)如图7，抛物线的顶点为(1，－4)，与x轴交于A，B两点，与y 轴负半轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P点的坐标．图7参考答案1．B 2.A 3.D 4.D 5.B 6.B7．(3,2)直线x＝38.减小9.不能10．y＝－2(x－1)2＋2(答案不唯一)11．2012.413．(1)(－3,2)(2)直线x＝－3(3)－32(4)x<－3(5)－5<x<－1 14．(1)抛物线的开口向上，顶点坐标为(－1,4)，对称轴为直线x＝－1.(2)图略，将二次函数y＝12(x＋1)2＋4的图象向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度可得到y＝12x2的图象．15．该运动员的成绩为10 m.16．(1)a＝23，点B的坐标为(－3,6)．(2)S△AOC＝15.17．(1)y＝x2－2x－3.(2)点P的坐标为(2，－3)或(4,5)．。

⼈教版数学九年级上册22.1《⼆次函数的图像和性质》测试题（含答案及解析）⼆次函数的图像和性质测试题时间：90分钟总分：100⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，共30.0分）1.若⼆次函数y=x2?6x+9的图象经过A(?1,y1)，B(1,y2)，C(3+3,y3)三点.则关于y1，y2，y3⼤⼩关系正确的是()A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y2>y1>y3D. y3>y1>y22.如图是⼆次函数y=ax2+bx+c的图象，有下⾯四个结论：①abc>0；②a?b+c>0；③2a+3b>0；④c?4b>0其中，正确的结论是()A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①③④3.已知⼆次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所⽰，则下列结论：①b<0，c>0；②a+b+c<0；③⽅程的两根之和⼤于0；④a?b+c<0，其中正确的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.在同⼀平⾯直⾓坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2?bx的图象可能是()A. B.C. D.5.将抛物线y=?3x2平移，得到抛物线y=?3(x?1)2?2，下列平移⽅式中，正确的是()A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位6.已知⼆次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所⽰，并且关于x的⼀元⼆次⽅程ax2+bx+c?m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2?4ac<0；②abc>0；③a?b+c<0；④m>?2，其中，正确的个数有()A. 1B. 2C. 3D. 47.若抛物线y=x2?2x+3不动，将平⾯直⾓坐标系xOy先沿⽔平⽅向向右平移⼀个单位，再沿铅直⽅向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为()A. y=(x?2)2+3B. y=(x?2)2+5C. y=x2?1D. y=x2+48.⼆次函数y=2x2?3的图象是⼀条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是( )A. 抛物线开⼝向下B. 抛物线经过点(2,3)C. 抛物线的对称轴是直线x=1D. 抛物线与x轴有两个交点9.在⼆次函数y=?x2+2x+1的图象中，若y随x的增⼤⽽减少，则x的取值范围是()A. x<1B. x>1C. xD. x>?110.直线y=52x?2与抛物线y=x2?12x的交点个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 互相重合的两个⼆、填空题（本⼤题共10⼩题，共30.0分）11.已知抛物线y=x2?(k+2)x+9的顶点在坐标轴上，则k的值为______．12.⼆次函数y=?x2+2x+2图象的顶点坐标是______．13.函数y=x2+mx?4，当x<2时，y随x的增⼤⽽减⼩，则m的取值范围是______ ．14.抛物线y=ax2+bx+c经过点A(?5,4)，且对称轴是直线x=?2，则a+b+c=______ ．15.⼆次函数y=?2(x?1)2+5的图象的对称轴为______ ，顶点坐标为______ ．16.如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0)，Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为______ ．17.如图，抛物线C1：y=12x2经过平移得到抛物线C2：y=12x2+2x，抛物线C2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的⾯积是______ ．18.已知(?3,y1)，(4,y2)，(?1,y3)是⼆次函数y=x2?4x上的点，则y1，y2，y3从⼩到⼤⽤“<”排列是______．19.如图，⼆次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x=?1，点B的坐标为(1,0).下⾯的四个结论：①AB=4；②b2?4ac>0；③ab<0；④a?b+c<0，其中正确的结论是______ (填写序号)．20.如图，抛物线y=ax2+bx+c过点(?1,0)，且对称轴为直线x=1，有下列结论：①abc<0；②10a+3b+c>0；③抛物线经过点(4,y1)与点(?3,y2)，则y1>y2；④⽆论a，b，c取何,0)；⑤am2+bm+值，抛物线都经过同⼀个点(?caa≥0，其中所有正确的结论是______ ．三、计算题（本⼤题共4⼩题，共24.0分）21.已知：⼆次函数图象的顶点坐标是(3,5)，且抛物线经过点A(1,3)．(1)求此抛物线的表达式；(2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的⾯积．22.已知⼆次函数y=(m?2)x2+(m+3)x+m+2的图象过点(0,5)．(1)求m的值，并写出⼆次函数的解析式；(2)求出⼆次函数图象的顶点坐标和对称轴．23.已知函数y=?x2+(m?1)x+m(m为常数)．(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是______．A.0B.1C.2D.1或2(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上．(3)当?2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．24.如图，已知⼆次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(?1,0)和点C(0,3)，对称轴为直线x=1．(1)求该⼆次函数的关系式和顶点坐标；(2)结合图象，解答下列问题：①当?1②当y<3时，求x的取值范围．四、解答题（本⼤题共2⼩题，共16.0分）25.如图，已知抛物线y=?x2+bx+c与x轴交于点A(?1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点C和点D的坐标；(3)若点P在第⼀象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．注：⼆次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(?b2a ,4ac?b24a)m2+1=0有实数根．26.已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2?m+1x+12(1)求m的值；m2+1的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图(2)先作y=x2?m+1x+12形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；(3)在(2)的条件下，当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n2?4n的最⼤值和最⼩值．答案和解析【答案】1. A2. C3. B4. C5. D6. B7. C8. D9. B10. C11. 4，?8，?212. (1,3)13. m≤?414. 415. x=1；(1,5)16. (?2,0)17. 418. y219. ①②④20. ②④⑤21. 解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x?3)2+5，将A(1,3)代⼊上式得3=a(1?3)2+5，解得a=?12，∴抛物线的解析式为y=?12(x?3)2+5，(2)∵A(1,3)抛物线对称轴为：直线x=3∴B(5,3)，令x=0，y=?12(x?3)2+5=12，则C(0,12)，△ABC的⾯积=12×(5?1)×(3?12)=5．22. 解：(1)把(0,5)代⼊y=(m?2)x2+(m+3)x+m+2得m+2=5，解得m=3所以⼆次函数解析式为y=x2+6x+5；(2)因为y=x2+6x+5=(x+3)2?4，所以此⼆次函数图象的顶点坐标为(?3,?4)，对称轴为直线x=?3．23. D 24. 解：(1)根据题意得a?b+c=0c=3b2a=1，解得a=?1b=2c=3，所以⼆次函数关系式为y=?x2+2x+3，因为y=?(x?1)2+4，所以抛物线的顶点坐标为(1,4)；(2)①当x=?1时，y=0；x=2时，y=3；⽽抛物线的顶点坐标为(1,4)，且开⼝向下，所以当?1②当y=3时，?x2+2x+3=3，解得x=0或2，所以当y<3时，x<0或x>2．25. 解：(1)由点A(?1,0)和点B(3,0)得?9+3b+c=01b+c=0，解得：c=3b=2，∴抛物线的解析式为y=?x2+2x+3；(2)令x=0，则y=3，∴C(0,3)，∵y=?x2+2x+3=?(x?1)2+4，∴D(1,4)；(3)设P(x,y)(x>0,y>0)，S△COE=12×1×3=32，S△ABP=12×4y=2y，∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4×32，∴y=3，∴?x2+2x+3=3，解得：x1=0(不合题意，舍去)，x2=2，∴P(2,3)．26. 解：(1)对于⼀元⼆次⽅程x2?m+1x+12m2+1=0，△=m+12?2m2+1=?m2+2m?1=?m?12，∵⽅程有实数根，∴?m?12≥0，∴m=1．(2)由(1)可知y=x2?2x+1=x?12，图象如图所⽰：平移后的解析式为y=?x+22+2=?x2?4x?2．(3)由y=2x+ny=?x2?4x?2消去y得到x2+6x+n+2=0，由题意?≥0，∴36?4n?8≥0，∴n≤7，∵n≥m，m=1，∴1≤n≤7，令，∴n=2时，y′的值最⼩，最⼩值为?4，n=7时，y′的值最⼤，最⼤值为21，∴n2?4n的最⼤值为21，最⼩值为?4．【解析】1. 解：⼆次函数对称轴为直线x=??62×1=3，3?(?1)=4，3?1=2，3+3?3=3，∵4>2>3，∴y1>y2>y3．故选A．先求出⼆次函数的对称轴，再求出点A、B、C到对称轴的距离，然后根据⼆次函数增减性判断即可．本题考查了⼆次函数图象上点的坐标特征，主要利⽤了⼆次函数的对称性以及增减性，确定出各点到对称轴的距离的⼤⼩是解题的关键．2. 解：∵抛物线开⼝向上，∴a>0；∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=?b2a>0，∴b<0；∵抛物线与y轴的交点在x轴下⽅，∴c<0，∴abc>0，所以①正确；∵x=?1时，y>0，∴a?b+c>0，所以②正确；∵x=?b2a =13，∴2a+3b=0，所以③错误；∵x=2时，y>0，∴4a+2b+c>0，把2a=?3b代⼊得?6b+2b+c>0，∴c?4b>0，所以④正确．故选：C．根据抛物线开⼝⽅向得到a>0；根据对称轴得到x=?b2a>0，则b<0；根据抛物线与y轴的交点在x轴下⽅得到c<0，则abc>0，可判断①正确；当⾃变量为?1时对应的函数图象在x轴上⽅，则a?b+c>0，可判断②正确；根据抛物线对称轴⽅程得到x=?b2a =13，则2a+3b=0，可判断③错误；当⾃变量为2时对应的函数图象在x轴上⽅，则4a+2b+c>0，把2a=?3b代⼊可对④进⾏判断．本题考查了⼆次函数的图象与系数的关系：⼆次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当a>0，抛物线开⼝向上；对称轴为直线x=--b2a；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)．3. 解：∵抛物线开⼝向下，∴a<0，∵抛物线对称轴x>0，且抛物线与y轴交于正半轴，∴b>0，c>0，故①错误；由图象知，当x=1时，y<0，即a+b+c<0，故②正确，令⽅程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，。

22.1.2 二次函数2ax y =的图象和性质知识点：1.用描点发画函数图象的步骤是 ， ， 。

2.二次函数图象是 ，开口方向由 决定，开口大小的程度又是由谁决定的？3.一般地,抛物线2ax y =的对称轴是 ,顶点坐标是 ．当0>a 时,抛物线开口向 ,顶点是抛物线的 ,a 越大,抛物线的开口越 ;当0<a 时,抛物线开口向 ,顶点是抛物线的 ,a 越大,抛物线的开口越 。

一．选择题1.关于函数23x y = 的性质的叙述,错误的是( )．A ．对称轴是y 轴B ．顶点是原点C ．当0>x 时,y 随x 的增大而增大D ．y 有最大值2.在同一坐标系中,抛物线22221,,x y x y x y =-==的共同点是( )． A ．开口向上,对称轴是y 轴,顶点是原点B ．对称轴是y 轴,顶点是原点C ．开口向下,对称轴是y 轴,顶点是原点D ．有最小值为03.函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．4.在同一平面直角坐标系中，同一水平线上开口最大的抛物线是（ ）A. 2x y -=B. 231x y -=C. 233x y -= D. 22x y -= 5.下列函数中,具有过原点,且当0>x 时,y 随x 增大而减小,这两个特征的有( )．①)0(2>-=a ax y ;②)1()1(2<-=a x a y ;③)0(22≠+-=a a x y ;④)0(23≠-=a a x y A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6.若对任意实数x,二次函数2)1(x a y +=的值总是非负数,则a 的取值范围是( )．A ．1-≥aB ．1-≤aC ．1->aD ．1-<a7.下列说法错误的是( )．A ．在二次函数23x y = 中,当0>x 时,y 随x 的增大而增大B ．在二次函数26x y -= 中,当0=x 时,y 有最大值0C ．a 越大图象开口越小,a 越小图象开口越大D ．不论a 是正数还是负数,抛物线)0(2≠=a ax y 的顶点一定是坐标原点 8.已知点),2(),,1(),,3(321y C y B y A --在抛物线232x y =上,则321,,y y y 的大小关系 是( )． A ．321y y y << B ．321y y y >> C ．231y y y << D ．132y y y <<二．填空题1.抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，抛物线上的点都在x 轴的 方，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x = 时，该函数有最 值是 。

第二十二章 22.1 二次函数的图象和性质同步练习二次函数图象与性质（1）同步练习（答题时间：20分钟）1. 下列函数关系式中，不属于二次函数的是（ ）A. 21x y -= B. 212)34)(23(x x x y --+=C. )0(2≠++=a c bx ax yD. 2)2(2+-=x y 2. 函数y ＝ax 2（a≠0）的图象经过点（a ，8），则a 的值为（ ） A. ±2 B. －2C. 2D. 3*3. 给出下列四个函数：①x y -=；②x y =；③xy 1=；④2x y =。

0<x 时，y 随x 的增大而减小的函数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个*4. 如果函数1)3(232++-=+-kx x k y k k是二次函数，则k 的值一定是__________。

*5. 二次函数y ＝ax 2的图象如图，该函数的关系式是 ；如果另一个函数的图象与该函数关于x 轴对称，那么这个函数的关系式是 。

*6. 如图，A 、B 分别为抛物线y ＝ax 2上两点，且线段AB ⊥y 轴于点C ，若AB ＝OC ＝6，则a 的值为 。

**7. 已知函数 k kx x k k y -++-=2)(22（1）k 为何值时，y 是关于x 的一次函数？ （2）k 为何值时，y 是关于x 的二次函数？**8. 如图，在抛物线2y x =-上取三点A 、B 、C ，设A 、B 的横坐标分别为a （a ＞0）、a ＋1，直线BC 与x 轴平行。

（1）把△ABC的面积S用a表示；（2）当△ABC的面积S＝15时，求a的值；（3）当△ABC的面积S＝15时，在BC上求一点D，使△ACD的面积为8。

二次函数图象与性质（1）同步练习参考答案1. B 解析：B 选项经过化简，二次项系数为0，它不是二次函数。

2. C 解析：∵函数y ＝ax 2（a≠0）的图象经过点（a ，8），∴点的坐标满足函数解析式，∴28a a ⋅=，即38a =，∴2a =，故选C 。

人教版九年级数学上册同步练习题 第二十二章 二次函数 22.1二次函数的图像和性质一、单选题1．若抛物线2y x ax b =++与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1x =，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A ．()3,6--B ．()3,0-C ．()3,5--D ．()3,1--2．抛物线y=2(x -1)2+c 过(-2，y 1)，(0，y 2)， (52，y 3)三点，则122,,y y y 大小关系是( ) A ．231y y y >> B ．123y y y >> C ．213y y y >> D ．132y y y >>3．已知抛物线24y x bx =-++经过(2,)n -和(4, )n 两点，则n 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣4C ．2D ．44．已知二次函数y=x 2﹣2mx （m 为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y 的最小值为﹣2，则m 的值是（ ）A ．32 BC ．32或D ．32- 5．已知：抛物线()20y ax bx c a =++<经过点()1,0-，且满足420a b c ++>，以下结论：①0a b +>；②0a c +>；③0a b c -++>；④2225b ac a ->，其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．抛物线222y x x =-+-经过平移得到2y x =-，平移方法是（ ）A ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位7．某品牌钢笔进价8元，按10元1支出售时每天能卖出20支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（ ）A ．11元B ．12元C ．13元D ．14元8．下列函数关系中，可以看作二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）模型的是（ ）A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D ．圆的周长与圆的半径之间的关系9．老师出示了小黑板上的题目后（如图），小华说：过点()3,0；小彬说：过点()4,3；小明说：1a =；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有（ ）.已知抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()1,0，试添加一个条件，使它的对称轴为直线2x =. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M，N 的坐标分别为（﹣1，2，，，2，1），若抛物线y=ax 2，x+2，a≠0）与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ）A ．a≤，1或14≤a，13 B ．14≤a，13 C ．a≤14或a，13 D ．a≤，1或a≥14二、填空题11．抛物线y ＝x 2－(2m －1)x －6m 与x 轴交于(x 1，0)和(x 2，0)两点，已知x 1x 2＝x 1＋x 2＋49，要使此抛物线经过原点，应将它向右平移__________个单位12．已知正方形ABCD 中A (1，1)、B (1，2)、C (2，2)、D (2，1)，有一抛物线y ＝(x +1)2向下平移m 个单位(m ＞0)与正方形ABCD 的边(包括四个顶点)有交点，则m 的取值范围是_____．13．已知点(),P m n 在抛物线2y ax x a =--上，当1m ≥-时，总有1n ≤成立，则a 的取值范围是________． 14．已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣2，0），B （4，0）两点，顶点C 到x 轴的距离为2，则此抛物线的解析式为______，15．将抛物线2365y x x =-+绕顶点旋转180°，再沿对称轴平移，得到一条与直线2y x =--交于点（2，m ）的新抛物线，新抛物线的解析式为______________．三、解答题16．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P （2，m ）是反比例函数y=n x（n 为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式； （2）函数y=3kx+s ﹣1（k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，说明理由；（3）若二次函数y=ax 2+bx+1（a ，b 是常数，a ＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），且满足﹣2＜x 1＜2，|x 1﹣x 2|=2，令t=b 2﹣2b+15748，试求出t 的取值范围． 17．己知二次函数()2211y x m x m =++-+．以下四个结论：，不论m 取何值，图象始终过点（12，124）；，当30m -<<时，抛物线与x 轴没有交点：，当2x m >--时，y 随x 的增大而增大；，当32m =-时，抛物线的顶点达到最高位置． 请你分别判断四个结论的真假，并给出理由．18．如图，正三角形ABC 的边长为3+√3．（1）如图①，正方形EFPN 的顶点E 、F 在边AB 上，顶点N 在边AC 上．在正三角形ABC 及其内部，以A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形E 'F 'P 'N '，且使正方形E 'F 'P 'N '的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E 'F 'P 'N '的边长；（3）如图②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE 、EF 在边AB 上，点P 、N 分别在边CB 、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．（无原图）19．如果抛物线y ，ax 2，bx ，c 过定点M (1，0)，则称此抛物线为定点抛物线．(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的解析式．小敏写出了一个正确的答案：y ，2x 2，3x ，5.请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y ，，x 2，2bx ，c ，求该抛物线的顶点最低时的解析式． 20．设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋a 2＋4a －2＝0的两个实数根，当a 为何值时，x 12＋x 22有最小值？最小值是多少？21．已知抛物线2234y x mx m =+-，m，0，与x 轴交于A 、B 两点． （1）求证：抛物线的对称轴在y 轴的左侧；（2）若1123OB OA -=（O 为坐标原点），求抛物线的解析式； （3）设抛物线与y 轴交于点C ，若，ABC 是直角三角形．求，ABC 的面积．22．已知2(1)m m y m x -=+是二次函数，求m 的值．23．用配方法把函数23610y x x =--+化成2y a x h k =-+（）的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．【参考答案】1．B 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8．C 9．C 10．A11．4或912．2≤m≤813．102a -≤< 14．y=﹣29x 2+49x+169或y=29x 2﹣49x ﹣169 15．4632-+-=x x y16．（1）y=4x；（2）当k≠13时，“梦之点”的坐标为（131sk--，131sk--）；当k=13，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=13，s≠1时，不存在“梦之点”；（3）t＞17 16．17．①②④正确，③错误；理由略18．（1）见解析（2）3√3-3（3）S最小=92，S最大=99-54√3，理由略19．(1)y，x2，3x，4(答案不唯一);(2)y，，x2，2x，120．1 221．（1）证明略（2）y=x2+2x﹣3（3 22．m=223．向下，x=-1，，-1，13，，最大值13。

22.1 二次函数的图象和性质1.有下列函数：①y=x 2;②y=-x 2;③y=(x-1)2+2.其中，图象通过平移可以得到函数y=x 2+2x-3的有(B). A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2.已知二次函数y=ax 2-2x+2(a ＞0)，那么它的图象一定不经过(C). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.抛物线y=(m-1)x 2-mx-m 2+1的图象过原点，则m 的值为(D). A.±1 B.0 C.1 D.-14.二次函数y=x 2+bx+c ，若b+c=0，则它的图象一定过点(D). A.(-1，-1) B.(1，-1) C.(-1，1) D.(1，1)5.请写出一个对称轴为直线x=1，且图象开口向上的二次函数表达式： y=x 2-2x ． 6.将二次函数y=12x 2-2x+1化成y=ax+m 2+n 的形式为 y=21 (x －2)2－1 ． 7.已知抛物线y=x 2+bx+c 经过点A(0，5)，B(4，5)，则此抛物线的对称轴是 直线x=2 ． 8.已知y 是x 的二次函数，y 与x 的部分对应值如下表所示：该二次函数图象向左平移 3 个单位，图象经过原点. 9.已知二次函数y=-21x 2-x+23．(第9题) (1)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． (2)根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围．(3)若将此函数图象沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【答案】(1)图略 (2)x ＜-3或x ＞1. (3)∵y=-21（x+1）2+2，∴此图象沿x 轴向右平移3个单位，平移后图象所对应的二次函数表达式为y=-21（x-2）2+2. 10.已知抛物线y=-x 2+bx+c 经过点B(-1，0)和点C(2，3). (1)求此抛物线的函数表达式.(2)如果此抛物线沿y 轴平移一次后过点(-2，1)，试确定这次平移的方向和距离. 【答案】(1)由题可得⎩⎨⎧=++-=+--32401c b c b ,解得⎩⎨⎧==32c b .∴抛物线的函数表达式为y=-x 2+2x+3.(2)设沿y 轴平移m 个单位，则此抛物线的函数表达式为y=-x 2+2x+3+m. 由题意可知1=-4-4+3+m ，解得m=6＞0，∴抛物线向上平移了6个单位.11.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列说法中，正确的是(B). A.abc ＜0，b 2-4ac ＞0 B.abc ＞0，b 2-4ac ＞0 C.abc ＜0，b 2-4ac ＜0 D.abc ＞0，b 2-4ac ＜0（第11题）（第12题） （第14题）12.如图所示，抛物线y=x 2-2x-3与y 轴交于点C ，点D 的坐标为(0，-1)，在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，则点P 的横坐标为(A). A.1+2 B.1-2 C.2-1 D.1-2或1+213.小颖想用“描点法”画二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象，取自变量x 的5个值，分别计算出对应的y 值(如下表).由于粗心，小颖算错了其中的一个y 值，请你指出这个算错的y 值所对应的x= 2 ．14.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为(3，0)，顶点B在y轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上.若抛物线y=-x2-5x+c经过点B，C，则菱形ABCD的面积为 20 .（第15题）15.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA，OC分别在坐标轴上，OA=2，OC=1，以点A 为顶点的抛物线经过点C.(1)求抛物线的函数表达式.(2)将矩形ABCO绕点A旋转，得到矩形AB′C′O′，使点C′落在x轴上，抛物线是否经过点C′？请说明理由.【答案】(1)∵OA=2，∴抛物线的顶点A的坐标是(0，2)，C(-1，0).∴设抛物线的函数表达式为y=ax2+2，把点C(-1，0)代入，得0=a+2，解得a=-2.∴抛物线的函数表达式为y=-2x2+2.（第15题答图）(2)如答图所示，连结AC，AC′.根据旋转的性质得到AC=AC′，OA⊥CC′，即点C与点C′关于y轴对称.又∵该抛物线的对称轴是y轴，点C在该抛物线上，∴抛物线经过点C′.16.如果二次函数的二次项系数为1，那么此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称［p，q］为此函数的特征数，如函数y=x 2+2x+3的特征数是［2，3］．(1)若一个二次函数的特征数为［-2，1］，求此函数图象的顶点坐标． (2)探究下列问题：①若一个二次函数的特征数为［4，-1］，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②若一个二次函数的特征数为［2，3］，则此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为［3，4］？【答案】 (1)由题意得y=x 2-2x+1=（x-1）2，∴此函数图象的顶点坐标为（1，0）. (2)①由题意得y=x 2+4x-1=（x+2）2-5，∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得y=（x+2-1）2-5+1=（x+1）2-4=x 2+2x-3.∴图象对应的函数的特征数为 ［2，-3］.②∵原函数的特征数为 [2，3]，∴该函数表达式为y=x 2+2x+3=（x+1）2+2. ∵平移后图象对应的函数的特征数为[3，4]，∴该函数表达式为y=x 2+3x+4=（x+23）2+47. ∴原函数的图象应向左平移21个单位，再向下平移41个单位. 17.【绍兴】矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2，1).一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y=x 2，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为(A).A.y=x 2+8x+14 B.y=x 2-8x+14 C.y=x 2+4x+3 D.y=x 2-4x+318.【杭州】设直线x=1是函数y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是实数，且a ＜0)的图象的对称轴，下列说法中，正确的是(C).A.若m ＞1，则(m-1)a+b ＞0B.若m ＞1，则(m-1)a+b ＜0C.若m ＜1，则(m+1)a+b ＞0D.若m ＜1，则(m+1)a+b ＜0（第19题）19.【宁波】如图所示，已知抛物线y=-x 2+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(3，0).(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标.(2)P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标. 【答案】(1)把点B(3，0)代入抛物线y=-x 2+mx+3，得0=-32+3m+3，解得m=2. ∴y=-x 2+2x+3=-(x-1)2+4.∴抛物线的顶点坐标为(1，4).（第19题答图）(2)如答图所示，连结BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小. 抛物线y=-x 2+mx+3与y 轴的交点为C （0，3）.设直线BC 的表达式为y=kx+b.∵点B(3，0)，点C(0，3)，∴⎩⎨⎧=+=b b k 330,解得⎩⎨⎧=-=31b k .∴直线BC 的表达式为y=-x+3. 当x=1时，y=-1+3=2，∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2).（第20题）20.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y=a （x-25）2+h 分别与x 轴、y 轴交于点A(1，0)和点B(0，-2)，将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°至AP. (1)求点P 的坐标及抛物线C 1的函数表达式.(2)将抛物线C 1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C 2，请判断点P 是否在抛物线C 2上，并说明理由. 【答案】（第20 题答图） (1)∵点A(1，0)和点B(0，-2)，∴OA=1，OB=2.如答图所示，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，由题意得AB=AP ，∠BAP=90°， ∴∠OAB+∠PAM=∠ABO+∠OAB=90°. ∴∠ABO=∠PAM. 在△ABO 与△PAM 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AP,AB PAM,ABO AMP,AOB ,∴△ABO ≌△PAM.∴AM=OB ，PM=OA. ∴P(3，-1).∵点A(1，0)，B(0，-2)在抛物线C 1:y=a （x-25）2+h 上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=h a h a 2225022510,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=8921h a .∴抛物线的函数表达式C 1：y=-21（x-25）2+89.(2)∵将抛物线C 1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C 2，∴抛物线C 2的表达式为y=-21（x-25+2）2+89+1=-21（x-21）2+817.当x=3时，y=-21（3-21）2+817=-1，∴点P 在抛物线C 2上.。

22.1《二次函数的图像与性质》同步练习1带答案一．选择题1.抛物线122+=x y 的顶点坐标是（ ）A.(0，1)B. (0，-1)C. (1，0)D. (-1，0)2.抛物线)0(2≠+=a b ax y 与x 轴有两个交点，且开口向下，则b a ,的取值范围分别是（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0<<b a D.0,0><b a3.如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分，若命中篮 圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ）A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m4.将抛物线322-=x y 平移后得到抛物线22x y =，平移的方法可以是（ ） 第3题A.向下平移3个单位长度B. 向上平移3个单位长度C.向下平移2个单位长度D.向下平移2个单位长度5.抛物线122+-=x y 的对称轴是（ ） A ．直线21=x B ．直线21-=x C ．y 轴 D ．直线2=x 6.抛物线42-=x y 与x 轴交于B,C 两点，顶点为A ，则ABC ∆的周长为（ ） A ．54 B ．454+ C ．12 D ．452+7.在同一平面直角坐标系中，一次函数c ax y +=和二次函数c ax y +=2的图象大致所示中的（ ）AB ．C ．D ．二．填空题 1．抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.2．二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当)(,2121x x x x x ≠取时，函数值相等，则当x 取21x x +时，函数值等于 。

3．任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点。

22.1.2 二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象和性质（三） 知识点:1、抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y 的对称轴为 ，顶点坐标为 。

2、抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y 与抛物线)0(2≠=a ax y 的形状 ，位置 ，将抛物线)0(2≠=a ax y 进行平移可得到抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y ，平移规律为：当0,0>>k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线 )0()(2≠+-=a k h x a y ；当0,0<>k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线 )0()(2≠+-=a k h x a y ；当0,0><k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线 )0()(2≠+-=a k h x a y ；当0,0<<k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线 )0()(2≠+-=a k h x a y ；3、抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象特点： 0>a 时，抛物线开口向 ，左 右 ，顶点最 ；0<a 时，抛物线开口向 ，左 右 ，顶点最 ；一、选择题：1、抛物线21)1(22+--=x y 的顶点坐标为（ ） A 、（-1，21） B 、（1，21） C 、（-1，—21） D 、（1，—21） 2、对于2)3(22+-=x y 的图象，下列叙述正确的是（ ）A 、顶点坐标为（-3,2）B 、对称轴是直线3-=yC 、当3≥x 时，y 随x 的增大而增大D 、当3≥x 时，y 随x 的增大而减小3、将抛物线2x y =向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ）A 、3)1(2++=x yB 、3)1(2+-=x yC 、3)1(2-+=x yD 、3)1(2--=x y4、抛物线2)1(22-+-=x y 可由抛物线22x y -=平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A 、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B 、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位C 、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位D 、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位5、如图，把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是（ ） A 、y=（x+1）2-1 B ．y=（x+1）2+1 C ．y=（x-1）2+1 D ．y=（x-1）2-16、设A （-1，1y ）、B （1，2y ）、C （3，3y ）是抛物线k x y +--=2)21(21上的三个点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A 、1y <2y <3yB 、2y <1y <3yC 、3y <1y <2yD 、2y <3y <1y7、若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）A ．m =lB ．m >lC ．m ≥lD ．m ≤l8、二次函数n m x a y ++=2)(的图象如图所示，则一次函数n mx y +=的图象经过（ ）A 、第一、二、三象限B 、第一、二、四象限C 、第二、三、四象限D 、第一、三、四象限二、填空题：1、抛物线1)3(22-+-=x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，y 取最 值为 。

九年级上册第二十二章《 22.1 二次函数的图像和性质》同步练习题一、单项选择题（每题只有一个正确答案）1．以下函数中是二次函数的是( )A． y＝ 3x－ 1B． y＝3x2－ 1C． y＝ (x＋ 1)2－x2D． y＝ ax2＋ 2x－32 2．若 y=（a +a）A． a=﹣ 1 或 a=3 3．抛物线y＝－ x是二次函数，那么（）B． a≠﹣ 1 且 a≠0C． a=﹣ 1D． a=3 2不拥有的性质是()A．张口向下B．对称轴是y 轴C．与 y 轴不订交D．最高点是原点4．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：① y ax2；② y bx2；③ y cx2；④ y dx2，则a,b, c, d的大小关系为()A．a b c d B．a b d c C．b a c d D．b a d c 5．关于的图象以下表达错误的选项是A．极点坐标为（﹣3， 2）B．对称轴为x=﹣ 3C．当 x＜﹣ 3 时 y 随 x 增大而减小D．函数有最大值为26．已知二次函数的图象以下列图，则以下说法正确的选项是（）A．＜0B．＜ 0C．＜ 0D．＜ 07．抛物线 y= （ x﹣ 2）2﹣ 1 可以由抛物线y=x 2平移而获取，以下平移正确的选项是（）A．先向左平移 2 个单位长度，尔后向上平移 1 个单位长度B．先向左平移 2 个单位长度，尔后向下平移 1 个单位长度C．先向右平移 2 个单位长度，尔后向上平移 1 个单位长度D．先向右平移 2 个单位长度，尔后向下平移 1 个单位长度8．如图，二次函数的图象张口向下，且经过第三象限的点若点P 的横坐标为，则一次函数的图象大体是A ．B ．C ．D．二、填空题9．二次函数y＝ kx2－ x－ 2 经过点 (1， 5)，则 k＝_________.10．函数 y= –的图象是抛物线，则 m= __________．11．张口向下的抛物线y＝(m 2－ 2)x2＋2mx ＋1 的对称轴经过点 (－1， 3)，则 m＝ _____．12．如图，这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段文字，则被墨迹污染的二次项系数是__________．13．抛物线 y=ax 2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与 x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象以下列图，以下结论：①4ac＜ b2；②方程ax2+bx+c=0 的两个根是x1=﹣ 1，x2=3；③3a+c=0；④当 y＞ 0 时，x 的取值范围是﹣ 1≤x＜ 3；⑤当 x＜ 0 时，y 随 x 增大而增大，其中结论正确的选项是 _____（只需填序号）三、解答题14．已知函数y=- (m+2)- (m为常数),求当m为何值时:(1)y 是 x 的一次函数 ?(2)y 是 x 的二次函数 ?并求出此时纵坐标为 -8 的点的坐标 .15．某广告公司设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告设计花销为1000 元 /m2.设矩形的一边长为xm，面积为ym2.(1) 求出 y 与 x 之间的函数关系式，说明y 可否是 x 的二次函数，并确定x 的取值范围；(2)若 x＝ 3 时，广告牌的面积最大，求此时的广告费应为多少？16．如图，已知二次函数 y=ax2+bx+3 的图象交 x 轴于点 A （ 1， 0）， B（ 3， 0），交 y 轴于点 C．（ 1）求这个二次函数的表达式；（ 2）点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线 x=m 分别交直线 BC 和抛物线于点 M ， N，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出 m 的值．参照答案1． B【解析】【解析】依照二次函数的定义:形如,则 y 是 x 的二次函数进行判断即可.【详解】A选项 ,y＝ 3x－ 1 是一次函数 ,不吻合题意 ,B选项 ,y＝3x2－ 1 是二次函数 ,吻合题意 ,C选项 , y＝ (x＋1)2－x2整理后 y=2x+1 是一次函数 ,不吻合题意 ,D选项 , y＝ ax2＋ 2x－ 3,二次项系数不确定可否等于0,不用然是二次函数 ,不吻合题意 ,应选 B.【点睛】此题主要观察二次函数的定义,解决此题的要点是要熟练掌握二次函数的定义.2． D【解析】【解析】依照二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0，列出方程与不等式即可解答．【详解】2依照题意，得： a ﹣2a﹣ 1=22又由于 a +a≠0即 a≠0或 a≠﹣ 1应选 D．【点睛】解题要点是掌握二次函数的定义．3． C【解析】【解析】抛物线y=-x 2的二次项系数为-1，故抛物线张口向下，极点坐标（0， 0），最高点为原点，对称轴为y 轴，与 y 轴交于（ 0，0）．∵抛物线y=-x 2的二次项系数为-1，∴抛物线张口向下，极点坐标（0， 0）， A 正确；∴最高点为原点，对称轴为y 轴， B 、D 正确；与y 轴交于（ 0， 0）， C 错误，应选 C．【点睛】此题观察了基本二次函数 y=ax 2的性质：极点坐标（ 0， 0），对称轴为 y 轴，当 a＞ 0 时，张口向上，当 a＜ 0 时，张口向下．4． A【解析】由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象张口向上，当二次项系数为负时，图象张口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的张口越大”解析可得：a b c d .应选 A.点睛：（ 1）二次函数y ax2a0的图象的张口方向由“a 的符号”确定，当a0 时，图象的张口向上，当 a 0 时，图象的张口向下；（2）二次函数y ax2a0的图象的开口大小由a的大小确定，当a越大时，图象的张口越小.5． D【解析】解析：依照二次函数的性质比较四个选项利用消除法即可得出结论.详解：依照二次函数的性质可知的极点坐标为（﹣3， 2），故 A 正确；对称轴为x=﹣ 3，故 B 正确；张口向上，在对称轴右侧y 随x 增大而减小且函数有最小值 2 ，故 C 正确 D 错误 .点睛：此题观察了二次函数的性质，在解题时可结合函数大体图象来判断. 正确理解二次函数的基本性质是解题的要点 .6． B【解析】【解析】依照抛物线的张口方向确定a，依照抛物线与y 轴的交点确定 c，依照对称轴确定b，依照抛物线与 x 轴的交点确定b2-4ac，依照 x=1 时， y＞ 0，确定 a+b+c 的符号．∵抛物线张口向上，∴a＞ 0，∵抛物线交于y 轴的正半轴，∴c＞ 0，∴ac＞ 0，A 错误；∵ - ＞ 0， a＞ 0，∴b＜ 0，∴ B 正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，C 错误；当 x=1 时， y＞ 0，∴a+b+c＞ 0， D 错误；应选B．【点睛】此题观察的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线张口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．7． D【解析】解析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的极点坐标为基准研究．详解：抛物线y=x 2极点为（0，0），抛物线y= （x﹣ 2）2﹣ 1 的极点为（2，﹣ 1），则抛物线y=x 2向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位获取抛物线y= （ x﹣ 2）2﹣ 1 的图象．应选：D．点睛：此题观察二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线极点，从而确定平移方向．8． D【解析】【解析】依照二次函数的图象可以判断a、 b、的正负情况，从而可以获取一次函数经过哪几个象限，观察各选项即可得答案．【详解】由二次函数的图象可知，，，当时，，的图象经过二、三、四象限，观察可得 D 选项的图象吻合，应选 D．【点睛】此题观察二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合思想解答问题是要点.9． 8【解析】解析：把（1， 5）代入 y=kx 2-x-2 中，即可获取关于k 的一元一次方程，解这个方程即可求得k 的值．详解：∵二次函数y=kx 2-x-2 经过点（ 1，5），∴5=k-1-2 ，解得 k=8 ；故答案为 8．点睛：此题观察了二次函数图象上点的坐标特色，抛物线上的点的坐标适合解析式．10．–1【解析】依照抛物线的定义，得＝，解得： m=– 1．11．－ 1【解析】由于抛物线y= （ m2-2） x2+2mx+1 的对称轴经过点（-1， 3），b2m=-1，∴对称轴为直线 x=-1 ，x=2 m22a2解得 m1=-1 ， m2=2．由于抛物线的张口向下，所以当m=2 时， m2-2=2 ＞ 0，不合题意，应舍去，∴m=-1 ．故答案为： -1.12．－ 2【解析】由题意得,所以 a=-2.13．①②③⑤【解析】【解析】利用抛物线与x 轴的交点个数可对①进行判断;利用抛物线的对称性获取抛物线与x 轴的一个交点坐标为(3,0), 则可对②进行判断;由对称轴方程获取b=-2a,尔后依照x=-1时函数值为0可获取 3a+c=0,则可对③进行判断;依照二次函数的性质对④进行判断.【详解】①∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△ =b2﹣ 4ac＞0，∴ 4ac＜ b2，结论①正确；②∵抛物线 y=ax2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=1 ，与 x 轴的一个交点坐标为（﹣ 1， 0），∴抛物线与 x 轴的另一交点坐标为（ 3，0），∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=﹣ 1， x2=3 ，结论②正确；③∵抛物线 y=ax2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=1，∴﹣=1，∴b= ﹣ 2a．∵当 x= ﹣1 时， y=0 ，∴a﹣ b+c=0，即 3a+c=0，结论③正确；④∵抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）、（ 3， 0），∴当 y＞ 0 时， x 的取值范围是﹣1＜ x＜ 3，结论④错误；⑤∵抛物线张口向下，对称轴为直线x=1，∴当 x＜ 0 时， y 随 x 增大而增大，结论⑤正确．综上所述：正确的结论有①②③⑤．故答案为：①②③⑤．【点睛】二次函数图象与系数的关系：关于二次函数y=ax 2+bx+c （ a≠0），二次项系数 a 决定抛物线的张口方向和大小：当a＞ 0 时，抛物线向上张口；当a＜ 0 时，抛物线向下张口；一次项系数b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的地址：当 a 与 b 同号时（即 ab＞ 0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab＜ 0），对称轴在 y 轴右；常数项c 决定抛物线与 y 轴交点地址：抛物线与 y 轴交于（ 0， c）；抛物线与 x 轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞ 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△=b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△=b2-4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点．14． (1) m= ±;(2) m=2, 纵坐标为 -8 的点的坐标是 (±,-8).【解析】【解析】（ 1）依照一次函数的定义求m 的值即可；（2）依照二次函数的定义求得m 的值，从而求得二次函数的解析式，把y=-8代入解析式，求得x 的值，即可得纵坐标为-8的点的坐标.【详解】(1) 由 y=- (m+ 2)(m为常数 ),y 是 x 的一次函数,得解得m=±,当 m=±时 ,y 是 x 的一次函数.(2) 由y=- (m+ 2)(m 为常数),y是x 的二次函数,得解得m=2,m=- 2(不吻合题意的要舍去 ),当 m= 2 时 ,y 是 x 的二次函数 ,当 y=- 8 时 ,-8=- 4x2,解得 x= ±,故纵坐标为 - 8 的点的坐标是 (±,-8) .【点睛】此题观察了一次函数的定义、二次函数的定义，解题要点是掌握一次函数与二次函数的定义．15． (1)y ＝－ x2＋ 6x，是， 0＜ x＜ 6；（2） 9000 元【解析】试题解析：（ 1）矩形的一边长为 xm，依照矩形的周长是 12m，可得矩形的另一边长为（6－x） m，根据矩形的面积公式即可得出y 与 x 之间的函数表达式；（ 2）把 x＝ 3 代入函数的解析式得出y 的值即为广告牌的最大面积，再乘以1000 即为此时的广告费．试题解析：解：（ 1）由题意得出：y ＝ x(6－ x)＝－ x2＋ 6x，是二次函数，0＜ x＜ 6；（2）当 x＝ 3 时， y＝－ 32＋ 3×6＝ 9，1000×9＝ 9000 元，即此时的广告费应为9000 元．点睛：此题主要观察了依照实责问题抽象出二次函数解析式以及求二次函数值，正确得出二次函数解析式是解题要点．16．（ 1）这个二次函数的表达式是 y=x 2﹣ 4x+3 ；（ 2） S△最大 =；（ 3）当△BMN 是等腰BCP三角形时， m 的值为，﹣，1， 2．【解析】解析：（1）依照待定系数法，可得函数解析式；（ 2）依照平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE 的长，依照面积的和差，可得二次函数，依照二次函数的性质，可得答案；（ 3）依照等腰三角形的定义，可得关于m 的方程，依照解方程，可得答案．详解：（ 1）将 A （ 1， 0）， B（ 3， 0）代入函数解析式，得＝，＝解得＝，＝这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3 ；（ 2）当 x=0 时， y=3，即点 C（ 0，3），设 BC 的表达式为y=kx+b ，将点 B（ 3，0）点 C（ 0， 3）代入函数解析式，得＝，＝解这个方程组，得＝＝直线 BC 的解析是为y=-x+3 ，过点 P 作 PE∥ y 轴，交直线 BC 于点 E（ t， -t+3 ），22PE=-t+3-（ t -4t+3 ） =-t +3t，22，∴ S△BCP=S△BPE+S CPE= （ -t +3t）×3=- （ t- ） +∵- ＜ 0，∴当 t= 时， S△BCP最大 = .（3） M （ m， -m+3 ）， N （m， m2-4m+3 ）2MN=m -3m， BM=|m-3|，当 MN=BM时，① m2-3m=（m-3），解得m=，②m2 -3m=- （ m-3），解得 m=-当BN=MN 时，∠ NBM= ∠ BMN=45°，m2 -4m+3=0 ，解得 m=1 或 m=3（舍）当BM=BN 时，∠ BMN= ∠ BNM=45°，-（ m2-4m+3 ） =-m+3 ，解得 m=2 或 m=3（舍），当△BMN 是等腰三角形时，m 的值为，-，1，2．点睛：此题观察了二次函数综合题，解（1）的要点是待定系数法；解（2）的要点是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的要点是利用等腰三角形的定义得出关于m 的方程，要分类谈论，以防遗漏．。

22.1 二次函数的图形与性质一、选择题(每题4分，共32分) 1．下列函数中，是二次函数的有( ) ①y ＝3(x －1)2＋1；②y ＝x ＋1x ；③y ＝8x 2＋1；④y ＝3x 3＋2x 2. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2．抛物线y ＝x 2－2x ＋2的顶点坐标为( ) A ．(1，1) B ．(－1，1) C ．(1，3)D ．(－1，3)3．二次函数y ＝13(x －4)2＋2的图象可由二次函数y ＝13x 2的图象( )A ．向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到B ．向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到C ．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到D ．向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到 4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x ，y 的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为( ) A ．y 轴B ．直线x ＝52C ．直线x ＝2D ．直线x ＝325．如图1，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P 的横坐标为－1，则一次函数y ＝(a －b)x ＋b 的图象大致是( )图1图26．已知两点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是() A．若y1＝y2，则x1＝x2B．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y27．已知抛物线y＝a(x－1)2－3(a≠0)如图3所示，下列命题：①a>0；②对称轴为直线x ＝1；③若抛物线经过点(2，y1)，(4，y2)，则y1>y2；④顶点坐标是(1，－3)．其中真命题的个数是()图3A．1 B．2 C．3 D．48．已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为()A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6二、填空题(每题4分，共32分)9．若二次函数y＝mxm2－7的图象开口向上，则m的值为________．10．已知抛物线y＝(m－1)x2＋4的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是________．11．如果二次函数y＝3x2的图象不动，把x轴向上平移2个单位长度，那么在新的直角坐标系下此抛物线的函数解析式是______________．12．若抛物线y＝－3(x＋k)2－k的顶点在直线y＝3x－4上，则k的值为________．13．试写出一个图象开口向上，且经过点(0，1)的二次函数解析式：________．14．如图4，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a(x－3)2＋2(a＞0)的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线y＝－13x2－2于点B，则A，B两点间的距离为________．图415．二次函数y＝3x2的图象如图5，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C 在二次函数y＝3x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC的面积为________．图516．如图6，点A1，A2，A3，…，A n在抛物线y＝x2上，点B1，B2，B3，…，B n在y 轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△A n B n－1B n都为等腰直角三角形(点B0是坐标原点)，则△A2018B2017B2018的腰长等于________．图6三、解答题(共36分)17．(10分)已知二次函数y＝x2＋4x＋3.(1)用配方法将y＝x2＋4x＋3化成y＝a(x－h)2＋k的形式；(2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．18．(12分)如图7，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(1，0)，C(0，－3)．(1)求此二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，求点P的坐标．图719．(14分)如图8，已知抛物线y＝a(x－1)2－3与y轴交于点A(0，－2)，顶点为B.(1)试确定a的值，并写出点B的坐标；(2)若一次函数的图象经过A，B两点，试写出一次函数的解析式；(3)试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长最小．图81．B 2．A 3．D 4．D 5．D 6．D 7．C 8．B 9．3 10．m ＜1 11．y ＝3x 2－2 12．－2 13．y ＝x 2＋1(答案不唯一) 14．7 15．2 3 16．2018 217．解：(1)y ＝(x 2＋4x)＋3＝(x 2＋4x ＋4－4)＋3＝(x ＋2)2－1. (2)列表：描点、连线，如图所示：18．解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点A(1，0)，C(0，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－3， ∴二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －3.(2)当y ＝0时，x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1， ∴A(1，0)，B(－3，0)， ∴AB ＝4.设P(m ，n)，∵△ABP 的面积为10， ∴12AB·|n|＝10，解得n ＝±5. 当n ＝5时，m 2＋2m －3＝5，解得m ＝－4或2，∴P(－4，5)或P(2，5)； 当n ＝－5时，m 2＋2m －3＝－5，方程无实数根． 综上，点P 的坐标为(－4，5)或(2，5)． 19．解：(1)将A(0，－2)代入y ＝a(x －1)2－3， ∴－2＝a －3， ∴a ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－3， ∴顶点B(1，－3)．(2)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)， 将A(0，－2)和B(1，－3)分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＝b ，－3＝k ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－2.∴直线AB 的解析式为y ＝－x －2. (3)设点A 关于x 轴的对称点为C ， ∴C(0，2)．连接CB ，交x 轴于点P ，此时△PAB 的周长最小． 设直线CB 的解析式为y ＝mx ＋n(m≠0)， 把C(0，2)和B(1，－3)分别代入y ＝mx ＋n ，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝n ，－3＝m ＋n ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－5，n ＝2.∴直线CB 的解析式为y ＝－5x ＋2. 把y ＝0代入y ＝－5x ＋2， 得x ＝25，∴点P 的坐标为(25，0)．。