高中数学 1.2.1任意角的三角函数(二)全册精品教案 新人教A版必修4

2021年高中数学1.2.1任意角的三角函数（二）三角函数线教案新人教A 版必修4一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生理解正弦线、余弦线、正切线的定义；利用三角函数线解三角方程；利用三角函数线解三角简单不等式；利用三角函数比较大小；利用三角函数线证明有关不等式。

教学目的：引导学生认识正弦线、余弦线、正切线的价值。

教学意义：培养学生三角函数中数形结合的思想二、教学过程１．有向线段：被看作带有方向的线段，叫做有向线段．数轴上或与数轴平行的有向线段是正向时，它的数量等于长度；有向线段是负向时，它的数量等于长度的相反数；有向线段长度是０，那么其数量为０．２．正弦线、余弦线、正切线的定义：如图，角的终边与单位圆交于点Ｐ．过点Ｐ作轴的垂线，垂足为Ｍ．根据三角函数的定义，我们有，，AT OAAT OM MP x y ====αtan 举例：用正弦线、余弦线、正切线表示，并比较３．利用三角函数线解三角方程４．利用三角函数线解三角简单不等式例 在上满足的的取值范围（ Ｂ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．５．利用三角函数比较大小例 已知，那么下列命题成立的是（ Ｃ ）Ａ．若是第一象限角，则；Ｂ．若是第二象限角，则；Ｃ．若是第三象限角，则Ｄ．若是第四象限角，则６．利用三角函数线证明有关不等式：例 已知：角为锐角，试证：（１）；（２）。

三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．已知：，试证：．２．已知，求满足此不等式的角的集合．Z k k k ∈++],342,322[ππππ ３．求下列函数的定义域：（１）；（２）；（１）7[2,2],66k k k Z ππππ++∈；（２）五、课后作业 同步练习１．已知，那么角的终边落在第一象限内的范围是（ Ｃ ） Ａ． Ｂ． Ｃ．Z k k k ∈++),22,42[ππππ Ｄ． ２．若，则下列不等式成立的是（ Ｄ ）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．３．如图，角，角的终边关于轴对称，则下面关系式：①；②；③；④．其中，正确关系式的序号是 ①④ ．４．已知点Ｐ的坐标为)3cos 3sin ,3cos 3(sin +-，则点Ｐ在第四 象限．５．比较下列各组数的大小：（１）与；（２）与；（３）与（１）＜；（２）＜； （３）＞６．若，试比较与的大小； ＞提示：利用两条正弦线，两条弧长，观察作差的结果．７．已知为锐角，求证：．提示：利用两个三角形面积和小于圆面积．。

4.3随意角的三角函数（二）教课目标：1. 理解并掌握各样三角函数在各象限内的符号.2. 理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.教课要点：三角函数在各象限内的符号, 终边相同的角的同一三角函数值相等教课难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数讲课种类：新讲课教课过程：一、复习引入：1. 设是一个随意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（ x,y ）则 P 与原点的距离r22x2y 20 x y2. 比值y叫做的正弦记作：sin y r r比值x叫做的余弦记作：cos x r r比值y叫做的正切记作：tan y x x比值x叫做的余切记作：cot xy yP(x, y)r以上四种函数，统称为三角函数 .3.突出研究的几个问题：①角是“随意角”，当=2k + (k Z) 时，与的同名三角函数值应当是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等②实质上，假如终边在座标轴上，上述定义相同合用③三角函数是以“比值”为函数值的函数④ r 0 而x,y 的正负是随象限的变化而不一样，故三角函数的符号应由象限确立 .⑤定义域：yR xRsin cosr ry|k , k Z tanx2二、解说新课：1.三角函数在各象限内的符号规律：sin>0sin>0cos<0cos>0tan<0tan>0cot<0cot>0sin<0sin<0cos>0cos<0tan<0tan>0cot<0cot>02.终边相同的角的同一三角函数值相等比如 390°和 -330 °都与30°终边地点相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390 ° =sin30 °cos390 ° =cos30°y sin(-330 °)=sin30 °cos(-330 ° )=cos30 °引诱公式一（此中 k Z）:用弧度制可写成240 0sin(k360 )sin sin(2k)sin-5100 cos(k360 )cos cos(2k)costan(k360 )tan tan(2k)tan这组公式的作用是可把随意角的三角函数值问题转变为0～2π间角的三角函数值问题．三、解说典范：例 1(1)cos250 °（2）sin()（3） tan （－ 672°） (4)tan(11)43例 2 求证角θ为第三象限角的充足必需条件是sin0 tan0例 3求以下三角函数的值(1)sin1480 ° 10′ (2)cos9（ 3）tan(11).46例 4求值： sin(-1320° )cos1110 ° +cos(-1020° )sin750 ° +tg4950 °．四、讲堂练习：1.确立以下各式的符号(1) sin100 °· cos240°(2)sin5+tan52. . x取什么 ,sin x cosx 存心?tan x3．若三角形的两内角，足 sin cos0，此三角形必⋯⋯（B）A 角三角形B角三角形C直角三角形 D 以上三种状况都可能4．假如第三象限角，以下各式中不建立的是⋯⋯⋯⋯⋯⋯（B）A： sin+cos0B：tan sin0C： cos cot0D：cot csc05．已知是第三象限角且cos0 ，是第几象限角？221sin 26．已知 1 ，第几象限角？2五、小本我要点了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一公式，二者的作用分是：前者确立函数的符号，后者将随意角的三角函数化0°到 360°角的三角函数，两个内容是我往后学的基.六、后作：1.确立以下三角函数符号：(1)tan(556012 )(2)cos1652.化 tan2cot 211.sin 2cos2 a cos2sin 2。

§1.2.1 任意角的三角函数（2）教学目标：理解并掌握有向线段的概念；正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.教学重点：正弦、余弦、正切函数值的几何表示.教学难点：正弦、余弦、正切函数值的几何表示.教学过程：一、问题情境1．情境引入：我们已学过任意角三角函数，给出了任意角α的正弦、余弦、正切的定义.2．提出问题：能不能用几何元素表示三角函数值？例如，能不能用线段表示三角函数值？ 二、学生活动学生思考，讨论，回答.讨论可能沿着下面的方向进行：1.通过联想，可以提出问题1：在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段的比，那么，任意角的三角函数是否可以也看成是线段的比呢？2.明确问题，可以提出问题2：问题1的实际意义是什么？什么叫做三角函数？任意角的三角函数是怎样定义的？由此可以进一步明确问题1的意义.具体地，以正弦函数为例，当前的问题就是怎样用几何元素表示ry =αsin .（这里的y x ,是角α终边上任一点P 的坐标） 2.简化问题，可以提出问题3：能进一步简化问题吗？是否可以在角α的终边上取一个特殊点P ，使得三角函数值的表达式更为简单？结论是，当P 点在以原点为圆心，半径为1的圆（单位圆）上时，1=r ，而ααc o s ,si n 的函数值分别为点P 的纵坐标y 和横坐标x .三、建构数学1.有向线段（1）提出解决问题1的关键就这样解决问题4：怎样表示点的纵，横坐标？能不能用线段表示坐标？围绕着如下问题进行讨论：问题5：坐标是什么？问题6：能不能用线段表示坐标？能不能用线段表示数？怎样才能做到这点？ 问题7：和初中的锐角三角函数相比，我们现在面临的情况有什么不同？通过讨论，得到以下共识：为了用线段表示数，我们需要规定线段的方向.（2）给出有向线段、有向线段的数量、有向线段的长度的概念.下图x 轴上，CB BC AB ,,的数量分别是多少？有向线段的数量：2,2,2-===CB BC AB .。

4-1.2.1 任意角的三角函数（二）方案二：【学情分析】：（适用于平行班）三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，……可以说,三角函数线是研究三角函数的有利工具.学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.【教学目标】：（1）复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；（2）掌握利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值，对三角函数的定义域、值域有更深的理解；（3）能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题，如利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围；（4）培养学生善于观察、勇于探索的数学能力，学习转化思想，提高解题能力.【教学重点】：三角函数线的作法及其简单应用.【教学难点】：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.【教学突破点】：通过对有向线段的复习，分解教学难点，同时引导学生动手画图操作，通过观察、分析，获得新知.【教法、学法设计】：（1）教法选择：“引出问题、温故知新、分解难点、引导讨论、巩固应用”——启发式教学（2）学法选择：类比，达到知识迁移；动手实验，以理解知识；分析讨论，学会应用知识.【课前准备】：课件教学环节教学活动设计意图一、复习回顾1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.巩固上节课内容，并为本节课的学习作铺垫二、设置疑问，点明主题前面我们学习了角的弧度制，角α弧度数的绝对值rl=α，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径.特别地, 当r =1时，l=α,此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.既可以引出单位圆，又可以使学生通过类比联想主动、快速的探索出三角函数值的几何形式.起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）.六、巩固训练，提高能力例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）3π；（2）136π-．学生先做,然后投影展示一个学生的作品,并强调三角函数线的位置和方向.解：图略．例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)32sinπ与54sinπ;(2) cos32π与cos54π; (3) tan32π与tan54π解：如图可知：32sinπ>54sinπcos32π>cos54πtan32π< tan54π学生先做，教师引导学生利用三角函数线解题，并投影展示一个学生作品，强调数形结合思想．例3利用三角函数线画出适合下列条件的角α的终边：（1）21sin=α；（2）21cos-=α；（3）1tan=α.共同分析（1），设角α的终边与单位圆交于P(yx,),则αsin=y,所以要作出满足21sin=α的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为21的巩固练习,准确掌握三角函数线的作法.巩固新知，提高运用知识的能力体会三角函数线的用处和实质.逆向思维,灵活运用三角函数线,并为利用三角函数线求解三角函数不等式(组)作铺垫.oBAT2T1P2 P1M2M1。

1.2.1任意角的三角函数（2）教学内容解析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，是对函数模型的丰富，是对函数概念，性质，图像变换及函数应用的进一步深化，是函数概念的下位知识。

三角函数在物理学、天文学、地理学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学及其他学科的基础，因此，通过本章的学习可以培养学生的数学应用能力。

本节之前学生学习了函数的概念，指数函数、对数函数、幂函数和任意角弧度制，本节之后还要接着研究三角函数的图像和性质，并应用性质解决一些简单的具有周期现象的实际问题。

而本节内容是研究三角函数图像和性质的基础。

因此本节内容具有承上启下的作用。

任意角三角函数概念的重点是借助单位圆上点的圆周运动理解任意角的正弦、余弦的定义，它们是本节，乃至本章的基本概念，解决这一重点的关键是在直角坐标系中，借助单位圆、象限角等知识，抽象概括出三角函数，在这一过程中，学生可以感受到数形结合、运动变化、对应等数学思想方法．学生学情分析初中学习了函数的初步概念，研究了一次函数、二次函数、反比例函数的图像和性质，进入高中后从集合与对应的观点重新刻画了函数的概念，研究了指数函数、对数函数和幂函数的定义、图像和性质。

学生已具备了学习和研究一个新函数的知识基础和初步能力。

本节课之前的任意角和弧度制，学生已经知道了角的弧度数与实数一一对应，这为学生学习任意角的三角函数奠定了基础。

三角函数是 “从角的集合到坐标分量的集合”的对应关系，所以学生对任意角三角函数对应关系的理解要比从前学过的特殊函数困难些，这是教学的一个难点，所以需要借助单位圆上的圆周运动以直观的几何方式给出定义，通过合理的设计问题串突破该难点。

教学的另一个难点是，任意角三角函数的定义域是角的集合（或它的子集），需要 “把角的集合转化为实数集”．回顾前一节的弧度制学生可以自行解决该难点，并也体现了引入弧度制的必要性。

一、教学目标知识点：有向线段，正弦线、余弦线、正切线的概念，作三角函数线.能力点：逐步发现三角函数值与单位圆中的“有向线段”的对应，分类讨论及数形结合的数学思想的运用.教育点：让学生通过经历由不确定的对应建立确定的对应的过程，体会发现的艰辛，享受发现的乐趣.自主探究点：角的终边在坐标轴上时三角函数线的情况.考试点：利用三角函数线判断三角函数值或角的范围.易错易混点：三角函数线作为有向线段与一般线段的联系与区别.拓展点：利用三角函数线证明有关不等式.重点: 三角函数线的概念及应用.难点：理解三角函数线作为有向线段其方向规定的合理性，三角函数线的应用．二 教学过程引入新课前面我们学习了角的弧度制，角α弧度数的绝对值rl =α，其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径.特别地, 当1=r时，l =α,此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.【探究新知】探究1：有向线段的概念问题1：如果角α是第一象限角，它的三个三角函数值用定义如何来求？问题2：在求解中，αsin ，αcos 的值都是正数，你能分别用一条线段表示正、余弦值吗？问题3：如果角α的终边在其他象限内，αsin ，αcos 的值也与这两条线段的长度相等吗？若不相等，有什么关系？自己画出第四象限角并研究结论：1.规定了始点和终点，带有方向的线段叫做有向线段.2.规定：在直角坐标系内，线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向. 探究2：正弦线、余弦线问题4：探究1中，哪条有向线段可以表示正弦值和余弦值？问题5：若角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦线的含义如何？探究3：正切线问题6：如果角α是第一象限角，其终边与单位圆的交点为),y x P （，则x y =αtan ，能否比照正弦线、余弦线的得到，怎样用一个实数表示正切值？ 提示：利用已知，探究未知,加深学生对正切线的理解. 令xy =αtan 中的1=x .那么1y tan '==x y α中的'y 的值怎么用图象表示？在角α的终边上的点),1'y P （怎么找到？问题7：如果角α为第二、三象限角时，其终边与直线1=x 没有交点，若记终边的反向延长线与直线1=x 的交点为T ，)01(，A ，那么AT =αtan 还成立吗？问题8：若角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如何？探究4：从三角函数线得出的结论（由学生自由发挥）教师给出几何画板的动态图四、【运用新知】例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线（1）65π ； （2）π45 ； （3）3π-. 例2. 利用三角函数线，求角α的取值集合 （1）1sin 2α=（2）1cos 2α= （3）tan 1α=- 【设计意图】利用三角函数线的逆向应用，让学生在理解的基础上灵活应用三角函数线.变式练习：求适合下列条件的角的集合(1)1sin2α≥(2)tan1α<-五回顾总结：如何画一个角的三角函数线？【设计意图】总结知识点，加深对三角函数线的理解，突破重难点.第一步：作出角α的终边，与单位圆交于点P；第二步：过点P作x轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM；第三步：过点)01(，A作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线的交点设为T，得角α的正切线AT.要注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点)01(，.教学反思本节课通过研究三角函数线的变化过程，让学生充分理解了三角函数的变化规律，为以后三角函数的性质学习打下了基础。

高中数学 1.2.1 任意角的三角函数（第2课时）教案新人教版必修4教学目标：1．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．2．正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．教学重点：终边相同的角的同一三角函数值相等．教学难点：利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．教学方法：启发式教学．教学过程：一、问题情境1. 三角函数（正弦，余弦，正切函数）的概念．（两个定义）2. 三角函数（正弦，余弦，正切函数）的定义域．3. 三角函数（正弦，余弦，正切函数）值在各象限的符号．二、学生活动议一议：是否可以在角α的终边上取一个特殊点，使得三角函数值的表达式更为简单？三、建构数学1．问题引导学习单位圆，有向线段．2．三角函数线的定义：（1） （2） （3） （4）设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交点P (x ，y )．过P 作x 轴的垂线，垂足为M；过点A (1，0)作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T ．由四个图看出：当角 的终边不在坐标轴上时，有向线段OM =x ，MP =y ，于是sin α=y r =y 1 =y =MP ，cos α=x r =x 1 =x =OM ，tan α=y x =MP OM =AT OA=AT ．我们就分 别称有向线段MP ，OM ，AT 为正弦线、余弦线、正切线．3．几点说明．①三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有 向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外．②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点．③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x轴或y 轴反向的为负值．④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面．四、数学应用1．例题．例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．（1）π3 ； （2）5π6 ； （3）－2π3 ； （4）－13π6． 例2 若0＜α＜π2，证明sin α＋cos α﹥1． 例3 比较大小．ππππππ54tan 32tan )(354cos 32cos )(254sin 32sin )(1与与与例4 利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围．;21sin )1(-<x .21cos )2(>x2．练习（1）利用三角函数线比较下列各组数的大小： ①54sin 32sin ππ与 ②54tan 32tan ππ与（2）若α∈（0，2π），sin α＜cos α，求α的范围五、要点归纳与方法小结：本节课学习了以下内容：1. 三角函数线的定义；2. 会画任意角的三角函数线；3. 利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围.仅此学习交流之用谢谢。

4.3 任意角的三角函数（二）教学目的：1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等 教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数 授课类型：新授课 教学过程：一、复习引入：1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r2.比值r y叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x叫做α的余弦 记作： r x =αcos 比值xy叫做α的正切 记作： xy =αtan 比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot以上四种函数，统称为三角函数. 3.突出探究的几个问题：①角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用 ③三角函数是以“比值”为函数值的函数④0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.⑤定义域：r y =αsin R r x=αcos R x y =αtan ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα 二、讲解新课：1. 三角函数在各象限内的符号规律：2. 终边相同的角的同一三角函数值相等例如390°和-330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390°=sin30° cos390°=cos30° sin(-330°)=sin30° cos(-330°)=cos30°诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．三、讲解范例：例1(1)cos250° （2）)4sin(π-（3）tan （－672°） (4))311tan(π例2 求证角θ为第三象限角的充分必要条件是⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ例3 求下列三角函数的值 (1)sin1480°10′ (2)49cosπ （3）)611tan(π-. 例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tg4950°．四、课堂练习：1.确定下列各式的符号(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5 2. .x 取什么值时,xxx tan cos sin +有意义?3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为……（B ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 以上三种情况都可能 4．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（B ） A ：sin α+cos α<0 B ：tan α-sin α<0 C ：cos α-cot α<0 D ：cot αcsc α<0 5．已知θ是第三象限角且02cos<ϑ，问2ϑ是第几象限角？ 6．已知1212sin <⎪⎭⎫⎝⎛ϑ，则θ为第几象限角？五、小结 本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式，两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础. 六、课后作业：1. 确定下列三角函数值符号： (1)tan(125560-) (2)cos516π2.化简ααααα222222sin 1cos 1cos sin cot tan -+--a .。

任意角的三角函数教学目标1.使学生切实掌握任意角三角函数的定义.2.使学生掌握三角函数的定义域及其确定方法.3.使学生掌握三角函数值在各个象限内的符号.4.使学生掌握诱导公式一.教学重点与难点教学难点为：任意角三角函数的定义.教学重点为：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一.教学过程设计师：我们学过锐角的正弦、余弦、正切、余切中，∠A 是锐角，∠C 是直角，那么(板书)师：经过最近几节课的学习，我们知道角的概念已经被推广了，我们现在所说的角可以任意大小的正角、负角和零角，那么任意的三角函数是怎么定义的呢?直角三角形显然不能包含所有的角.生：借助平面直角坐标系来定义.师：好的.这位同学可能预习了.任意角三角函数就是在平面直角坐标系内定义的.设角α是一个任意大小的角，我们以它的顶点为原点，以它的始边为x 轴的正半轴Ox ，建立直角坐标系(图2)，在角α的终边任取一点P ，它的横坐标是x,纵坐标是y,点P 和原点O(0，0)的距离r=22y x (r 总是正的)，然后把角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别规定为(板书)师：以前我们就知道，图1中的四个比值的大小仅与角A 的大小有关，而与直角三角形的大小无关；同样，在图2中，六个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P 在角αα的终边上的位置无关.师：下面咱们一起来看这六个三角函数，自变量是什么?是x?是y ？是r?还是角a?大家讨论一下.生：……师：通过大家的讨论，咱们可以看出，只要角α确定了，就能在它的终边上取点，从而可确定x ，y ，计算出r 的值，所以自变量应是角α.这些函数的函数值是什么呢?生：两个量的比值.师：也就是说是个实数.由于角的集合与实数之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，即实数→ 角(其弧度数等于这个实数) → 三角函数值(实数)也就是说，三角函数是以角(实数)为自变量，以比值为函数值的函数.既然是研究函数，那么就要从函数最主要的内容——三要素入手，而其中又以定义域和对应法则更重要，三角函数的对应法则我们可以由解析式中直接看出.下面我们研究各个函数的定义域.(这几函数的定义域并不难求，只是务必使学生明确，函数的自变量是角.定义域由学生一一做答，教师最后在黑板上列表总结.)师：我们已经知道了三角函数的定义，下面我们就该应用定义解题了.请看例1.(板书)例1 已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的六个三角函数值.师：要求六个三角函数值，我们需要知道哪些量?生：x,y,r.师：我们是必须知道这三个量，还是知道其中两个量就行了?生：只需知道其中的两个量.师：例1中是否有咱们所需要的两个量?生：有.x=2,y=－3.师：好的.这道题就由你来解，你说我往黑板上写.(板书)解师：由三角函数的定义，我们知道，已知角α终边上一点的坐标就可以求六个三角函数值，若已知条件是某角的度数或弧度数，那么这个角的终边位置也是唯一确定的，其三角函数值也应是唯一的.这类题目应怎样求它的各个三角函数值呢?下面看例2.(板书) 例2 求下例各角的六个三角函数值.师：咱们先看角0的六个三角函数值怎么求.生：没想好.师：你觉得为什么不好求呢?生：题目里没给出x,y的值.师：x,y的值与所给出的角有什么关系?生：x,y是角的终边上一点的坐标.师：角的终边上的哪点?生：可以任意选取.师：那当然要使所取点的坐越简单越好了，你打算取哪点?生：取(1，0)点.师：现在这道题目你会做了吗?生：会了.师：你说我来写在黑板上.(板书)解 在角0的终边上取一点(1，0)，所以x=1,y=0,r=x2+y2=1因此师：这道从题会做了，下面的两道小题也就不成问题了.大家都在笔记本上准备一下，一会儿，我叫几个同学说一下你们的答案.(2)在角π的终边上任取一点(－1，0)，x=－1,y=0,r=1,sin π=0,cos π=-1,tan π=0 cot πα不存在，sce π=－1 ,csc πα不存在；(3)在角23π的终边上任取一点(0，－1)，x=0,y=－1,r=1,sin 23π=－1,cos 23π=0,tan 23π不存在，cot 23π=0,sec 23π不存在，csc 23π=－1. 师：下一个问题是确定一下各三角函数值在每个象限的符号.我们知道，当角的概念被推广后，我们常常把角放到平面直角坐标系中讨论，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x 轴的正半轴上时，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.现在，我们又学习了三角函数，若一类三角函数值在同一个象限的符号是一致的，那我们既可以根据角所在象限确定出相应的三角函数的符号，又可以利用三角函数的符号确定出角所在的象限了.下面咱们先看正弦函数的函数值在各个限内的符号.(请好学生回答)生：对于sin α，当角α在第一象限内时，它的符号是正的，当角α在第二象限时，…… 师：等等，你所说的第一条结论正确，你能不能把你的解题方法具体地告诉我们?(尽量突出这节课的主要内容.)生：根据三角函数的定义，sin α=ry ，当角a 是第一象限角时，也就是说，角α的终边落在第一象限内，而第一象限内的点的坐标都是正的，所以sin α＞0.师：解题思路非常清楚，就是下结论前的叙述显得有点匆忙，不够确切.咱们看这样说是不是更好些?前边的就用他的说法，接着说，第一象限内的点的纵坐标都为正数，也就是y ＞0,而r=22y x +，也一定大于零，所以得出结论，sin α＞0，符号为“+”.师：这个结论一经推出，其余问题我们也就都会解决了.下面我们再把角落在第二、第三、四象限内，将正弦函数的函数值的符号确定一下.生：正弦函数sin α=yr ，当角a 在第二象限时，sin α的符号为“+”；当角α在第三象限时，sin α的符号为“－”；当角α在第四象时，sin α的符号也为“－”.师：完全正确.由于r=22y x +＞0，所以我们可以看出，sin π的符号与谁的符号一致?生：与y 的符号一致.师：好的.现在正弦函数的问题咱们已经解决了，下面该确定余弦函数的函数值在各个象限内的符号了.我想，得出正确结论已经不是什么难事了.只是如果请你说，你能叙述得完整吗?另外，你还有没有别的办法解决这个问题?生：余弦函数cos α=xr,我们知道r=22y x +>0，它的值永远是正的，所以cos a 的符号是由x 确定的，而且与x 的符号相同.x 是角α所在象限内的点的横坐标，所以当角a 在第一象限内时，cos α的符号为“+”，当角α在第二或第三象限时，cos a 的符号为“－”，而当角α在第四象限时，cos α的符号为“+”.师：回答得很好.各个量之间的关系都说得非常清楚、准确.生：还可以简单地记为：余弦函数值的符号与x 的符号一致.师：也对.只是这个结论前的一些推理咱们必须清楚.正切函数tan α=x y 在各个象限内的符号又是怎样的? 生：对于第一、三象限内的角，正切值为正的，因为此时x,y 同号；对于第二、四象限内的角，正切值为负的，因为此时x,y 异号.师：完全正确.我们研究清楚了正弦、余弦、正切函数的函数值在各个象限内的符号，剩下的三个三角函数的函数值在各个象限内的符号就好确定了.为什么?生：因为余切值(y x )与正切值(xy )互为倒数，所以它们的符号一致，同理，正割值(x r )与余弦值(r x )的符号一致，而余割值(y r )与正弦值(ry )的符号一致. 师：很好.为了便于记忆，我们不妨把刚才的结论总结于坐标系中，看看这种直观、形象的方式是否适合于你?(板书)师：现在我们知道了三角函数的数值是由角的终边的位置决定的.显然，当两个角相差360°的整数倍时，它们俩的终边相同，所以它们的同一个三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一).(板书)师：这组公式使我们可以把任意角的三角函数值的问题，转化为0°～360°(或0～2π)间的角的三角函数值的问题.(板书)例3 确定下列各三角函数值的符号.(1)cos 250°； (2)sin(－4π)； (3)tan(－672°10′) (教师边分析边板书)解 (1)因为250°是第三象限的角，所以cos 250°＜0.(2)(由学生口述完成)因为－4π是第四象限角，所以sin （-4π）＜0. (3)(由学生解)因为tan(－672°10′)=tan(－2×360°+47°50′)=tan 47°50′，又因为47°50′是第一象限角，所以tan (－672°10′)＞0.师：下面咱们接着做例4.(板书)例4 根据条件sinθ＜0且tanθ＞0，确定θ是第几象限角.(教师边讲边写)解为sinθ＜0，所以θ在第三象限或第四象限，或的终边落在y轴的负半轴上.因为tanθ＞0.所以θ在第一象限或第三象限.由于sin θ＜0与tanθ＞0同时成立，所以θ在第三象限.师：下面咱们小结一下这节课，这节课的主要内容是任意角三角函数的定义，通过对这一定义的学习，我们掌握六个三角函数的定义域，要会利用定义，求出各三角函数在每个象限的符号并且记住各结论.要知道公式一的理论依据就是任意角三角函数的定义，当然还要掌握公式一.作业：课本P138练习一第1，2，3，4，5，6题.其中第2，3题写在书上，其余的写在本上.课堂教学设计说明1.复习锐角三角函数.2.讲解任意角三角函数的定义.3.用列表的形式总结出各个三角函数的定义域.4.例1是三角函数定义的最简单、直接的应用.例2是应用任意角三角函数的定义解题.5.利用三角函数的定义和各象限内点的坐标的符号，确定各三角函数值在每个象限的符号.6.诱导公式一7.例3和例4.8.小结、作业.为什么要采取以上步骤呢?因为本节课的重点和难点就是任意角三角函数的定义，而其余内容均是关于任意角的函数的定义的应用，所以对于这一定义，不仅安排了复习锐角的三角函数，而且还安排了两道应用定义的例题，即例1和例2.此外，三角函数与学生们以往所学过的函数从形式上看区别很大，有的学生可能一时找不对自变量，所以，在讲课时注意强调了三角函数的自变量是角，并在此基础上，应用新学的任意角三角函数的定义，求出各个三角函数的定义域.应用三角函数的定义，可判断出三角函数在各个象限的符号.对于这点，教师觉得学生完全有能力自己完成，所以，这块知识是以教师提问学生回答，最后一起做总结的形式完成的.诱导公式一，也是任意角三角函数定义的再次应用，有了它，我们就可以把求任意角的三角函数值问题，转化为求0°～360°(或0～2π)间角的三角函数值的问题了.板书设计。

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1。

2.1任意角的三角函数一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生确立任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；能判断各象限角的正弦、余弦、正切函数的符号;讨论终边相同的角的同一三角函数值的关系.教学目的：引导学生认识任意角的三角函数与初中所学三角函数的联系与区别。

教学意义：培养学生从特殊到一般情况的思考习惯。

二、教学过程 １．引入：当角α是锐角时，在直角坐标系下,它是第一象限角,在它的终边上任取一点),(b a P ,它与原点的距离220r a b =+>，过点Ｐ作x 轴垂线，垂中为Ｍ,则线段ＯＭ的长度为a ,线段ＭＰ的长度为b ，因此有：r b OP MP ==αsin ，r a OP OM ==αcos ，ab =αtan 。

２．任意角的三角函数定义：一般地，设角α终边上任一点的坐标为),(y x ，它与原点的距离为r ,则sin y r α=，cos x r α=，tan (0)y x xα=≠. ３．单位圆定义：在直角坐标系中，称以原点Ｏ为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(y x P ，那么y 就叫做α的正弦；x 叫做α的余弦;xy 叫做α的正切。

1.2.2同角三角函数的基本关系
1.知识与技能
(1)能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系.
(2)熟练掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法.
2.过程与方法
通过由三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式过程,使学生学会用联系的观点提出问题,获得研究思路,这是数学研究中的常用思想方法.
3.情感、态度与价值观
通过对同角三角函数的基本关系式的探究学习,经历数学探究活动的过程,学会用联系的观点,化归与转化的思想,数形结合的思想分析解决问题,培养探究精神和创新意识.
重点:同角三角函数的基本关系式.
难点:三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用.
同角三角函数基本关系式的进一步探究
由三角函数的定义知:sin α=,cos α=,tan α=,cot α=,sec α=,csc α=.
∴sin α·csc α==1;
cos α·sec α==1;
cot α=.
将sin2α+cos2α=1两边同除以cos2α,得1+tan2α=sec2α;
将sin2α+cos2α=1两边同除以sin2α,得1+cot2α=csc2α.
由此归纳为三类八式,即:
平方关系:sin2α+cos2α=1,1+tan2α=sec2α,1+cot2α=csc2α.
商数关系:tan α=,cot α=.
倒数关系:tan α·cot α=1,sin α·csc α=1,cos α·sec α=1.。