函数的极限及函数的连续性复习指导

数学公式知识：微积分中的极限与连续性微积分是数学中的一个重要分支，通过其理论和方法可以对各种实际问题进行分析和解决。

其中，极限和连续性作为微积分的基本概念，是理解微积分的基础。

本文将介绍极限与连续性的概念、性质及其在微积分中的应用。

一、极限的概念极限是指当自变量趋于某个值时，函数取值的趋势或趋近程度。

在微积分中，极限可以看作自变量的增量为0时，函数取值的变化量趋于某个值的情况。

数学上可以用“∞”、“-∞”、“+∞”、“无穷大”等符号表示。

例如，当自变量x趋近于0时，函数y=1/x的取值趋近于无穷大，可表示为y→∞。

当自变量x趋近于1时，函数y=(x-1)/(x+1)的取值趋近于0，可表示为y→0。

当自变量x趋近于2时，函数y=x^2的取值趋近于4，可表示为y→4。

二、极限的性质1.唯一性：如果函数f(x)的极限存在，则该极限唯一。

2.局部有界性：如果函数f(x)的极限存在，则该函数在极限的邻域内是有界的。

3.保号性：如果函数f(x)在极限的邻域内恒大于（小于）0，则该函数的极限也大于（小于）0。

4.夹逼定理：如果函数f(x)、g(x)、h(x)满足在极限的邻域内，f(x)≤g(x)≤h(x)，并且f(x)和h(x)的极限都为L，则g(x)的极限也为L。

三、连续性的概念连续性是指函数在其定义域内，每个点x以及其邻域内的任意点x'，只要x'趋近于x，则函数值f(x')也趋近于f(x)。

也就是说，一个函数在某一点可导，其充分条件是在该点处连续。

例如，函数y=x^2在定义域[-∞,+∞]上连续。

在某一点x处，如果f(x)=L，则f(x+h)和f(x-h)的极限都为L，也就是说，函数在该点处连续。

四、连续性的性质1.初等函数的和、差、积仍是连续函数。

2.初等函数的商在分母不为零时仍是连续函数。

3.反函数在原函数在定义域内连续的点处也连续。

四、极限和连续性在微积分中的应用1.函数的导数：若函数在某一点处连续，且极限存在，则在该点处可求导。

第一章函数、极限和连续【考试要求】一、函数1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数．2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性．3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像．4．掌握函数的四则运算与复合运算．5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数．6．了解初等函数的概念．二、极限1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限．4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理．5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较．6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法．7．熟练掌握分段函数求极限的方法．三、连续1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类．2．掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型．3．掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题．4．理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限． 5．熟练掌握分段函数连续性的判定方法．【考试内容】一、函数（一）函数的概念1．函数的定义：设数集D R ⊂，则称映射:f D R →为定义在D 上的函数，通常简记为()yf x =，x D ∈，其中x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域．说明：表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f外，还可以用其他的英文字母或希腊字母，如“g ”、“F ”、“ϕ”等，相应的，函数可记作()y g x =，()y F x =，()y x ϕ=等．有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作()y y x =，这一点应特别注意．2．函数的解析（公式）表示法 （1）函数的显式表示法（显函数）：()yf x =形式的函数，即等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，如2cos xy xe x =-，13sin ln x x e y x e x-=++等．（2）函数的隐式表示法（隐函数）：函数的对应法则由方程(,)0F x y =所确定，即如果方程(,)0F x y =确定了一个函数关系()y f x =，则称()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的隐函数形式．说明：把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程310x y +-=解出31y x =-，就把隐函数化成了显函数．但并非所有的隐函数都能显化，隐函数的显化有时是非常困难的，甚至是不可能的．（3）分段函数：如果函数的对应法则是由几个解析式表示的，则称之为分段函数，如1,0()1,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩ 是由两个解析式表示的定义域为(,)-∞+∞的一个函数．（4）由参数方程确定的函数：如果自变量x 与因变量y 的关系是通过第三个变量t 联系起来 ()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩ （t 为参变量），则称这种函数关系为参数方程所确定的函数．例如：参数方程 2cos 2sin x t y t=⎧⎨=⎩ 表示的图形即为圆心在原点，半径为4的圆．（二）函数的几种特性1．有界性设函数()f x 的定义域为D ，数集X D ⊂，如果存在正数M，使得()f x M≤对任一x X ∈都成立，则称函数()f x 在X 上有界．如果这样的M不存在，就称函数()f x 在X 上无界．说明：我们这里只讨论有界无界的问题而不区分上界和下界，并且，由上述定义不难看出，如果正数M 是函数()f x 的一个界，则比M大的数都是函数()f x 的界．2．单调性 设函数()f x 的定义域为D ，区间I D ∈．如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，则称函数()f x 在区间I 上是单调增加的；如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当12x x <时，恒有12()()f x f x >，则称函数()f x 在区间I 上是单调减少的．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数． 3．奇偶性 设函数()f x 的定义域D 关于原点对称．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=恒成立，则称()f x 为偶函数．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=-恒成立，则称()f x 为奇函数．例如：()cos f x x =、2()f x x =都是偶函数，()s i n f x x =、()arctan f x x =是奇函数，而()sin cos f x x x =+则为非奇非偶函数．偶函数的图形关于y 轴对称，而奇函数的图形关于原点对称．说明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．其余结论读者可自行论证． 4．周期性设函数()f x 的定义域为D ．如果存在一个正数l ，使得对于任一x D ∈有()x l D ±∈，且()()f x l f x +=恒成立，则称()f x 为周期函数，l 称为()f x 的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期．例如：函数sin x 、cos x 都是以2π为周期的周期函数，函数tan x 是以π为周期的周期函数．（三）函数的运算1．和差积商运算 设函数()f x ，()g x 的定义域依次为1D ，2D ，12D D D φ=≠，则我们可以定义这两个函数的下列运算： （1）和（差）f g ±：()()()()f g x f x g x ±=±，x D ∈；（2）积f g ⋅：()()()()f g x f x g x ⋅=⋅，x D ∈；（3）商f g ：()()()f f x x g g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，\{()0,}x D x g x x D ∈=∈． 2．反函数（函数的逆运算）对于给定的y 是x 的函数()y f x =，若将y 当作自变量而x 当作因变量，则由关系式()y f x =所确定的函数()x y ϕ=称为函数()f x 的反函数，记为1()y f x -=，()f x 叫做直接函数．若直接函数()yf x =的定义域为D ，值域为M ，则反函数1()y f x -=的定义域为M ，值域为D ．且直接函数的图像与反函数的图像关于直线y x =对称．3．复合函数（函数的复合运算）设函数()y f u =的定义域为fD ，函数()ug x =的定义域为g D ，且其值域g f R D ⊂，则由下式确定的函数[()]y f g x =，g x D ∈称为由函数()u g x =与函数()y f u =构成的复合函数，它的定义域为g D ，变量u 称为中间变量．说明：g 与f能构成复合函数的条件是函数g 的值域g R 必须含在函数f的定义域fD 内，即gf R D ⊂，否则不能构成复合函数．此外，复合函数可以由多个函数复合而成．（四）基本初等函数与初等函数1．基本初等函数 幂函数：yx μ=（R μ∈是常数）； 指数函数：x y a =（0a >且1a ≠）；对数函数：log a y x =（0a >且1a ≠，特别当a e =时记为ln y x =）；三角函数：sin yx =，cos y x =，tan y x =，cot y x =，sec y x =，csc y x =；反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，cot y arc x =．以上五类函数统称为基本初等函数．说明：反三角函数是学习和复习的难点，因此这里重点给出三角函数和反三角函数的关系，这对于后边学习极限、渐近线及导数等知识是非常有帮助的，请大家牢记． （1）反正弦函数arcsin yx =：是由正弦函数sin y x =在区间[,]22ππ-上的一段定义的反函数，故其定义域为[1,1]-，值域为[,]22ππ-． （2）反余弦函数arccos y x =：是由余弦函数cos y x =在区间[0,]π上的一段定义的反函数，故其定义域为[1,1]-，值域为[0,]π． （3）反正切函数arctan yx =：是由正切函数tan y x =在区间(,)22ππ-上的一段定义的反函数，故其定义域为(,)-∞+∞，值域为(,)22ππ-． （4）反余切函数cot yarc x =：是由余切函数cot y x =在区间(0,)π上的一段定义的反函数，故其定义域为(,)-∞+∞，值域为(0,)π． 2．初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：22sin cos y x x =，22y x =-，2ln(1)y x x =++，2arccos(1)y x =-等都是初等函数．在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数．二、极限（一）数列的极限1．数列极限的定义：设{}n x 为一数列，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当n N >时，不等式n x A ε-<都成立，那么就称常数A 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于A ，记为lim n n x A →∞=或n x A →（n →∞）．如果不存在这样的常数A ，就说数列{}n x 没有极限，或者说数列{}n x 是发散的，习惯上也说lim n n x →∞不存在．说明：数列极限中自变量n 的趋向只有一种，即n →∞，虽然含义表示正无穷，但不要写做n→+∞，注意与函数极限的区别．2．收敛数列的性质性质（1）：（极限的唯一性）如果数列{}n x 收敛，那么它的极限唯一．性质（2）：（收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界． 说明：对于数列{}n x ，如果存在正数M ，使得对一切n ，都有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的，否则称数列{}n x 是无界的． 性质（3）：（收敛数列的保号性）如果lim nn x A →∞=，且0A >（或者0A <），那么存在正整数N ，当n N >时，都有0n x >（或0n x <）． （二）函数的极限1．函数极限的定义 （1）0xx →时函数的极限：设函数()f x 在点0x 的某个去心邻域内有定义．如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式00x x δ<-<时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A就叫做函数()f x 当0x x →时的极限，记作0lim ()x x f x A →=或()f x A →（当0x x →）．说明：函数的左极限lim ()x x f x A -→=或0()f x A -=；右极限0lim ()x x f x A +→=或0()f x A +=；左极限与右极限统称单侧极限．函数()f x 当0x x →时极限存在的充要条件是左右极限都存在并且相等，即00()()f x f x -+=．（2）x →∞时函数的极限：设函数()f x 当x大于某一正数时有定义．如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X ，使得当x 满足不等式x X >时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A 就叫做函数()f x 当x →∞时的极限，记作lim ()x f x A →∞=或()f x A →（当x →∞）．说明：此定义包含lim ()x f x A →+∞=和lim ()x f x A →-∞=两种情况．2．函数极限的性质（以0xx →为例）性质（1）：（函数极限的唯一性）如果0lim ()x x f x →存在，那么这极限唯一．性质（2）：（函数极限的局部有界性）如果0lim ()x x f x A →=，那么存在常数0M >和0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()f x M ≤．性质（3）：（函数极限的局部保号性）如果0lim()x x f x A →=，且0A >（或0A <），那么存在常数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0f x >（或()0f x <）． （三）极限运算法则1．如果0lim()x x f x A →=，0lim ()x x g x B →=，则有（1）0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±； （2）0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x fx g x f x g x A B →→→⋅=⋅=⋅；（3）000lim ()()lim()lim ()x x x x x x f x f x A g x g x B→→→==，其中0B ≠； （4）0lim[()]lim ()x x x x cfx c f x →→=，其中c 为常数；（5）0lim[()][lim ()]n n x x x x fx f x →→=，其中n 为正整数．2．设有数列{}n x 和{}n y ，如果lim nn x A →∞=，lim n n y B →∞=，则有（1）lim()nn n x y A B →∞±=±； （2）lim()nn n x y A B →∞⋅=⋅；（3）lim n n nx Ay B →∞=，其中0n y ≠（1,2,n =）且0B ≠．3．如果()()x x ϕψ≥，而0lim ()x x x A ϕ→=，0lim ()x x x B ψ→=，则A B ≥．4．复合函数的极限运算法则：设函数[()]y f g x =是由函数()u g x =与函数()y f u =复合而成，[()]f g x 在点0x 的某去心邻域内有定义，若00lim ()x x g x u →=，0lim ()u u f u A→=，且存在00δ>，当00(,)x U x δ∈时，有()g x u ≠，则lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→==．说明：本法则以0xx →为例，其他趋向下亦成立．（四）极限存在准则1．准则I 如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件： （1）从某项起，即0n N ∃∈，当0n n >时，有n n n y x z ≤≤，（2）lim nn y A →∞=，lim n n z A →∞=，那么数列{}n x 的极限存在，且lim nn x A →∞=．准则I ' 如果函数()f x 、()g x 及()h x 满足下列条件：（1）当0(,)x U x r ∈（或x M >）时，()()()g x f x h x ≤≤，（2）0()lim ()x x x g x A →→∞=，0()lim ()x x x h x A →→∞=，那么0()lim ()x x x f x →→∞存在，且等于A ．说明：准则I 及准则I '称为夹逼准则．2．准则II 单调有界数列必有极限．准则II ' 单调有界函数必有极限．（函数有界一般是指在某个邻域内有界）（五）两个重要极限1．0sin lim1x xx→=，可引申为()0sin ()lim1()x x x ϕϕϕ→=，式中不管自变量x 是哪种趋向，只要在此趋向下()0x ϕ→即可（()0x ϕ+→或()0x ϕ-→时亦成立）．2．10lim(1)xx x e →+= 或 1lim(1)x x e x→∞+=，可引申为1()()0lim (1())x x x e ϕϕϕ→+=（()0x ϕ+→或()0x ϕ-→时亦成立）或()()1lim (1)()x x ex ϕϕϕ→∞+=（()x ϕ→+∞或()x ϕ→-∞时亦成立）． 说明：数列亦有第二种极限形式，即1lim(1)nn e n→∞+=．两个重要极限是考试的必考内容，请大家务必好好掌握．（六）无穷小和无穷大1．定义（1）无穷小的定义：如果函数()f x 当0x x →（或x →∞）时的极限为零，那么称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷小量（简称无穷小）．特别地，以零为极限的数列{}n x 称为n→∞时的无穷小．说明：以后我们再提到无穷小时，把数列{}n x 当作特殊的函数来看待，故所谓的无穷小本质上就是函数，并且一定是在自变量x 的某一趋向下才有意义． （2）无穷大的定义：如果在自变量的某一变化过程中，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为自变量在此变化过程中的无穷大量（简称无穷大）．说明：在自变量的同一变化过程中，如果()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小；反之，如果()f x 为无穷小且()0f x ≠，则1()f x 为无穷大． 2．无穷小的比较设α，β均为自变量同一趋向下的无穷小，且0α≠，（1）如果lim0βα=，则称β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=； （2）如果lim βα=∞，则称β是比α低阶的无穷小；（3）如果lim0c βα=≠，则称β与α是同阶无穷小； （4）如果lim 1βα=，则称β与α是等价无穷小，记作~αβ；（5）如果lim0k c βα=≠，0k >，则称β是关于α的k 阶无穷小． 3．无穷小的性质（1）有限个无穷小的和是无穷小． （2）常数与无穷小的乘积是无穷小． （3）有限个无穷小的乘积是无穷小． （4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小．（5）求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，即设α，β，α'，β'均为自变量同一趋向下的无穷小，且~αα'，~ββ'，limβα''存在，则lim lim ββαα'='（lim 表示自变量的任一趋向下的极限，以后文中出现此符号时均为此意，不再解释）．说明：等价无穷小非常重要，故将常用的等价无穷小列举如下，请大家务必牢记．0x →时sin ~x x ，可引申为()0x ϕ→时，sin ()~()x x ϕϕ； 0x →时tan ~x x ，可引申为()0x ϕ→时，tan ()~()x x ϕϕ；0x →时sin ~arc x x ，可引申为()0x ϕ→时，sin ()~()arc x x ϕϕ； 0x →时211cos ~2x x -，可引申为()0x ϕ→时，211cos ()~()2x x ϕϕ-；0x →时111~n x x n +-，可引申为()0x ϕ→时，11()1~()n x x nϕϕ+-；0x →时1~x e x -，可引申为()0x ϕ→时，()1~()x e x ϕϕ-；0x →时ln(1)~x x +，可引申为()0x ϕ→时，ln(1())~()x x ϕϕ+．三、连续（一）连续的概念1．连续的定义连续性定义（1）：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果000lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=，则称函数()yf x =在点0x 连续（即自变量的变化量趋于零时函数值的变化量也趋于零）． 连续性定义（2）：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果00lim ()()x x f x f x →=，则称函数()yf x =在点0x 连续．2．左连续、右连续及区间连续 （1）左连续：lim ()x x f x -→存在且等于0()f x ，即00()()f x f x -=；（2）右连续：：lim ()x x f x +→存在且等于0()f x ，即00()()f x f x +=；（3）区间连续：若函数()f x 在区间每一点都连续，则称()f x 为该区间上的连续函数，或者说函数()f x 在该区间上连续．如果区间包括端点，则函数()f x 在右端点连续是指左连续，()f x 在左端点连续是指右连续．说明：一切初等函数在其定义区间内都是连续的．（二）函数的间断点1．定义：设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一：（1）在0xx =处没有定义；（2）虽在0x x =处有定义，但0lim ()x x f x →不存在；（3）虽在0x x =处有定义，且0lim ()x x f x →存在，但00lim ()()x x f x f x →≠，则函数()f x 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()f x 的不连续点或间断点．2．分类：（1）第一类间断点：如果0x 是函数()f x 的间断点，但左极限0()f x -和右极限0()f x +都存在，那么0x 称为函数()f x 的第一类间断点．00()()f x f x -+=时称0x 为可去间断点，00()()f x f x -+≠时称0x 为跳跃间断点．（2）第二类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点．（三）闭区间上连续函数的性质1．有界性与最值定理：在闭区间[,]a b 上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值． 2．零点定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ⋅<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使得()0f ξ=． 3．介值定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值()f a A =及()f b B =，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f C ξ=（a b ξ<<）．【典型例题】【例1-1】求复合函数． 1．设()12xf x x =-，求[()]f f x ． 解：求[()]f f x 就是用()f x 代替x 然后化简，得12[()]122141212xx xx f f x x x x x x -===----⋅-． 2．设2,01()3,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨<≤⎩ ，()xg x e =，求[()]f g x ．解：当01xe ≤≤即0x ≤时，22[()]()x xfg x e e ==， 当12xe <≤即0ln 2x <≤时，[()]3xfg x e =，故2,0[()]3,0ln 2x x e x f g x e x ⎧≤=⎨<≤⎩ ．【例1-2】求函数的定义域． 1．()arcsin(21)ln(1)f x x x =-+-．解：由arcsin(21)x -可得1211x -≤-≤，即01x ≤≤；由arcsin(21)x -可得arcsin(21)0x -≥，即0211x ≤-≤，112x ≤≤；由l n (1)x -可得10x->，即1x <，故原函数的定义域为三部分的交集，即1[,1)2． 2．21()arccos(2)2x f x x x x -=+---． 解：由1x -可得10x -≥，即1x ≥；由220x x --≠即(1)(2)0x x +-≠可得1x ≠-且2x ≠；由arccos(2)x -可得121x -≤-≤，13x ≤≤，故原函数的定义域为三部分的交集，即为[1,2)(2,3]．【例1-3】判断函数的奇偶性． 1．设()f x 和()g x 为任意函数，定义域均为(,)-∞+∞，试判定下列函数的奇偶性． （1）()()()()f x f x g x g x +-++-解：由奇偶性的判定可知，()()f x f x +-与()()g x g x +-均为偶函数，故其和亦为偶函数． （2）()()()()f x f x g x g x --++-解：由奇偶性的判定可知，()()f x f x --为奇函数，()()g x g x +-为偶函数，故其和为非奇非偶函数． 2．判定函数2()ln(1)f x x x =++的奇偶性．解：因2()ln(()1)f x x x -=-+-+2ln(1)x x =-++21ln 1x x=++2ln(1)()x x f x =-++=-，故原函数为奇函数．【例1-4】计算下列极限．1．22212lim()n nn n n→∞+++．解：当n →∞时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求极限，先变形化简再计算：222221(1)121212lim()lim lim 2n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞+++++++===． 2．222111lim()12n n n n n→∞++++++． 解：因22222111121nn n n n n n nn <+++<+++++，并且2l i m1n nn n→∞=+，2lim 11n nn →∞=+，故原极限值为1．（夹逼准则）3．222lim(1)nn n n→∞++．解：22(22)222222222222lim(1)lim(1)lim(1)n n n n n n n n n n n n e n n n n+⋅+→∞→∞→∞++++=+=+=．4．23lim()21nn n n →∞-+．解：21424212344lim()lim(1)lim(1)212121n nn n n n n n n e n n n +-⋅--+→∞→∞→∞---=+=+=+++． 【例1-5】计算下列极限． 1．sin limx xx→∞．解：当x →∞时，1x为无穷小，sin x 虽没有极限但却是有界函数，故根据无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，可得sin lim0x xx→∞=．说明：本极限与01lim sin x x x →意义是一样的．2．21lim 1n x x x x nx →+++--．解：2211111lim lim 11n n x x x x x n x x x x x →→+++--+-++-=--2121lim[1(1)(1)(1)]n n x x x x x x x --→=+++++++++++(1)1232n n n +=++++=． 说明：此题也可用洛必达法则（见第三章）求解，过程如下：2111(1)lim lim(12)12n n x x x x x n n n x nx x -→→+++-+=+++=-．3．0sin(1)lim 3x x e x→-．解：因当0x →时，sin(1)~1xx ee --，1~x e x -，故 00sin(1)11limlim 333x x x x e e x x →→--==． 说明：本题可以使用洛必达法则求解如下：00sin(1)cos(1)1lim lim 333x x x x x e e e x →→--⋅==． 4．sin 0limsin x x x e e x x→--．解：sin sin sin 00(1)lim lim 1sin sin x x x x x x x e e e e x x x x-→→--==--（0x →时，sin ~sin x x e x x --）．5．23lim()2xx x x→∞++． 解：2(2)2222311lim()lim(1)lim(1)222x x x x xx x x x e x x x+⋅+→∞→∞→∞+=+=+=+++． 6．11lim(sincos )x x x x→∞+． 解：111(sin cos 1)11sin cos 11111lim(sin cos )lim[1(sin cos 1)]x x x x x xx x x x x x⋅+-+-→∞→∞+=++-211111sin cos 1sincos 12limlim lim 1lim 111110x x x x x x x x x xx xxe e e e e →∞→∞→∞→∞-+--+++=====．【例1-6】已知()f x 是多项式，且32()2lim 2x f x x x →∞-=，0()lim 3x f x x→=，求()f x ． 解：利用前一极限式可令32()22f x x x ax b =+++，再利用后一极限式，得 00()3lim lim()x x f x ba x x→→==+，则 3a =，0b =，故32()223f x x x x =++．【例1-7】当0x →时，比较下列无穷小的阶． 1．2x 比1cos x -．解：因 22002limlim 211cos 2x x x x x x →→==-，故2x 与1cos x -是同阶无穷小． 2．2x 比11x +-．解：因 220limlim 01112x x x x x x→→==+-，故2x 是比11x +-高阶的无穷小． 3．11x x +--比x ．解：因 0011(11)(11)lim lim (11)x x x x x x x x x x x x →→+--+--++-=++-2lim 1(11)x x x x x →==++-，故11x x +--与x 是等价无穷小． 4．2x 比tan sin x x -．解：因 2220002cos limlim lim 1tan sin sin (1cos )2x x x x x x x x x x x x x →→→===∞--⋅， 故2x 是比tan sin x x -低阶的无穷小． 说明：本题中的四个题目均可用洛必达法则求解． 【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处的连续性．1．2,01()1,11,1x x f x x x x ⎧≤<⎪==⎨⎪+>⎩在1x =处的连续性． 解：因(1)1f =，11(1)lim ()lim 22x x f f x x ---→→===， 11(1)lim ()lim(1)2x x f f x x +++→→==+=，从而1lim ()2(1)x f x f →=≠，故函数在1x =处不连续．2．1,0()ln(1),0x e x f x x x ⎧⎪<=⎨⎪+≥⎩ 在0x =处的连续性．解：因(0)0f =，1(0)lim ()lim 0xx x f f x e ---→→===，(0)lim ()lim ln(1)0x x f f x x +++→→==+=，从而0lim ()0(0)x f x f →==，故函数在0x =处连续．【例1-9】当常数a 为何值时，函数2,0()ln(1),0x a x f x x x x-≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩ 在0x =处连续？解：因(0)f a =-，0(0)lim ()lim(2)x x f f x x a a ---→→==-=-，10000ln(1)1(0)lim ()lim lim ln(1)lim ln(1)1xx x x x x f f x x x xx +++++→→→→+===+=+=，故由连续性可得，(0)(0)(0)f f f -+==，即1a -=，故1a =-．【例1-10】求下列函数的间断点并判断其类型． 1．1()xf x e= ．解：所给函数在0x =处无定义，故0x =是间断点．又1lim x x e +→=+∞，10lim 0xx e -→=，故0x=是()f x 的第二类间断点．2．()sin xf x x= ．解：所给函数在x k π=（0,1,2,k =±±）处无定义，故0x =、x k π=（1,2,k=±±）是间断点．又0lim1sin x xx→=，故0x =是第一类间断点，且是可去间断点；lim sin x k xxπ→=∞，故x k π=是第二类间断点，且是无穷间断点．3．111()1xxe f x e -=+ ．解：所给函数在0x=处无定义，故0x =是间断点．又111(0)lim 11xx xe f e ++→-==+，111(0)lim 11xx xe f e --→-==-+，故0x =是()f x 的第一类间断点且是跳跃间断点．4．1arctan ,0()0,0x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ． 解：该题是分段函数的连续性问题，因0x ≠时1arctanx 是初等函数，故1arctan x在0x ≠时是连续的，所以该题主要考虑分界点0x =处的连续性．由1(0)lim arctan 2x f x π++→==，01(0)lim arctan 2x f x π--→==-，可知0x =是()f x 的第一类间断点且是跳跃间断点．【例1-11】证明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根．证：函数32()41f x x x =-+在闭区间[0,1]上连续，又(0)10f =>，(1)20f =-<，根据零点定理，在(0,1)内至少有一点ξ，使得()0f ξ=，即32410ξξ-+= （01ξ<<），该等式说明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根是ξ．【例1-12】证明方程21xx ⋅=至少有一个小于1的正根．证：由题意，函数()21x f x x =⋅-在区间[0,1]上连续，又(0)10f =-<，(1)10f =>，根据零点定理，在(0,1)内至少有一点ξ，使得()0f ξ=，即210ξξ⋅-= （01ξ<<），该等式说明方程21x x ⋅=在区间(0,1)内至少有一个小于1的正根ξ．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）函数211arccos 2x y x +=--的定义域是（ ）（A ）[3,1]- （B ）[3,1]-- （C ）[3,1)-- （D ）[1,1]-解：因 2101112x x ⎧-≥⎪⎨+-≤≤⎪⎩，故 11212x x -≤≤⎧⎨-≤+≤⎩ ， 1131x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ，所以 11x -≤≤，故选（D ）． 2．（2010年，1分）极限0sin3lim x xx→等于（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）13（D ）3 解：00sin33limlim 3x x x xx x→→==，故选（D ）． 3．（2009年，1分）极限(1)limnn n n→∞+-=（ ） （A ）1 （B ）0 （C ）∞ （D ）不存在解：(1)(1)(1)lim lim[1]1lim 101n n n n n n n n n n→∞→∞→∞+---=+=+=+=，故选（A ）．4．（2009年，1分）若1,0()0,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则0lim ()x f x →=（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）不存在解：因00lim ()lim(1)1x x f x x --→→=-=-，0lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=+=，lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，故0lim ()x f x →不存在，选（D ）． 5．（2009年，1分）2x π=是函数tan xy x=的（ ） （A ）连续点 （B ）可去间断点 （C ）跳跃间断点 （D ）第二类间断点解：因 2lim 0tan x x x π→=，故2x π=是函数tan xy x =的可去间断点，选（B ）． 6．（2008年，3分）设1()sinf x x x= ，则lim ()x f x →∞等于（ ）（A ）0 （B ）不存在 （C ）∞ （D ）1解：1sin1lim ()lim sin lim11x x x x f x x x x→∞→∞→∞===，故选（D ）．7．（2008年，3分）当0x →时，23x 是2sinx 的（ ）（A ）高阶无穷小 （B ）同阶无穷小，但不等价 （C ）低阶无穷小 （D ）等价无穷小解：因 22220033lim lim 3sin x x x x x x→→==，故选（B ）．8．（2007年，3分）当0x →时，tan 2x 是（ ）（A ）比sin3x 高阶的无穷小 （B ）比sin3x 低阶的无穷小 （C ）与sin3x 同阶的无穷小 （D ）与sin3x 等价的无穷小解：因0tan 222limlim sin333x x x x x x →→==，故选（C ）． 9．（2006年，2分）设()sin f x x = ，,0(),0x x g x x x ππ-≤⎧=⎨+>⎩ ，则[()]f g x =（ ）（A ）sin x （B ）cos x （C ）sin x - （D ）cos x - 解：当0x ≤时，[()]()sin()sin()sin f g x f x x x x πππ=-=-=--=-；当0x>时，[()]()sin()sin f g x f x x x ππ=+=+=-，故选（C ）． 10．（2005年，3分）设120lim(1)xx mx e →-=，则m =（ ）（A ）12- （B ）2 （C ）2- （D ）12解：由11()20lim(1)lim[1()]m m xmxx x mx mx e e ⋅---→→-=+-==，得2m =-，选（C ）．11．（2005年，3分）设1xy e-=是无穷大，则x 的变化过程是（ ）（A ）0x+→ （B ）0x -→ （C ）x →+∞ （D ）x →-∞解：0x +→时，1x →+∞，1x-→-∞，10x e -→；0x -→时，1x →-∞，1x-→+∞，1x e -→+∞；故选（B ）． 二、填空题1．（2010年，2分）若函数21,1(),1x x f x x a x -+≤⎧=⎨->⎩ 在1x =处连续，则a = ．解：11lim()lim(21)1x x f x x --→→=-+=-，11lim ()lim()1x x f x x a a ++→→=-=-，因()f x 在点1x =处连续，故11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即11a -=-，2a =． 2．（2010年，2分）0x =是函数1()cos f x x x=的第 类间断点．解：因1lim ()lim cos0x x f x x x→→==，故0x =是函数()f x 的第一类间断点．3．（2009年，2分）设1,1()0,11,1x f x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，()x g x e =，则[(l n 2)]g f = ．解：因0ln 21<<，故 (ln 2)1f =，所以 1[(ln 2)](1)g f g e e ===．4．（2009年，2分）1sin y x=在0x =处是第 类间断点．解：因0x →时，1x→∞，1sin x 没有极限，故 0x = 是第二类间断点．5．（2008年，4分）函数ln arcsin yx x =+的定义域为 ．解：由题意，011x x >⎧⎨-≤≤⎩ ，故原函数的定义域为 (0,1]．6．（2008年，4分）设数列n x 有界，且lim 0n n y →∞=，则lim n n n x y →∞= ．解：数列可看作特殊的函数，因数列n x 有界，数列n y 为无穷小，所以根据无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小可得，lim 0n nn x y →∞=．7．（2008年，4分）函数31y x =+的反函数为 ．解：由31yx =+可得，31y x =+，31x y =-，故反函数为 31y x =-．8．（2007年，4分）函数21arcsin 3x y -=的定义域为 ．解：由21113x --≤≤得，3213x -≤-≤，即12x -≤≤，所以定义域为[1,2]-． 9．（2007年，4分）21lim()xx x x→∞-= ．解：22(2)2111lim()lim(1)lim(1)x x x x x x x e x x x-⋅--→∞→∞→∞---=+=+=．10．（2006年，2分）若函数2121212(),0()12,0x x x f x xx a x +⎧->⎪=⎨+⎪-≤⎩在0x =处连续，则a = ．解：0lim()lim(2)x x f x x a a --→→=-=-，22211221(3)3322000123lim ()lim()lim(1)11x x x x x x xx f x e xx+++++⋅---→→→--==+=++， 因()f x 在0x =处连续，故0lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即3a e --=，故3a e -=-． 三、计算题1．（2010年，5分）求极限lim xx x c x c →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭，其中c 为常数．解：22222lim lim 1lim 1x c cxxxc x cc x x x x c c c e x c x c x c -⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．2．（2010年，5分）求极限3tan limx x xx→-． 解：22322000tan sec 1tan 1lim lim lim 333x x x x x x x x x x →→→--===． 说明：此题也可多次使用洛必达法则，解法如下：232000tan sec 12sec sec tan 1lim lim lim 363x x x x x x x x x x x x →→→--⋅===． 3．（2009年，5分）求极限 3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭ ． 解：此题为“∞-∞”型的极限，解法如下：23321111313(1)(2)lim lim lim 1111(1)(1)x x x x x x x x x x x x x →→→++--+⎛⎫-===- ⎪----++⎝⎭． 4．（2009年，5分）求极限 0limsin x x x e e x-→- ．解：002limlim 2sin cos 1x x x x x x e e e e x x --→→-+===．5．（2008年，5分）求极限 2sin 2lim cos()x xx ππ→- ．解：22sin 22cos2limlim 2cos()sin()(1)x x x x x x ππππ→→==----⋅-．6．（2007年，5分）求极限011lim()1x x x e →-- ． 解：20000111111lim()lim lim lim 1(1)22x x x x x x x x x e x e x e x e x e x x →→→→------====--． 说明：0x →时，1~xex -．7．（2006年，4分）求极限 011limcot ()sin x x x x→- ．解：2300011cos (sin )sin limcot ()lim lim sin sin x x x x x x x xx x x x x x→→→---== 2220011cos 12lim lim 336x x xx x x →→-===．8．（2006年，4分）设1cos 20()sin xf x t dt -=⎰，56()56x xg x =+，求0()lim()x f x g x →． 解：因0x →时，1cos 20()sin 0xf x t dt -=→⎰，56()056x xg x =+→，且1cos 220()(sin )sin sin(1cos )xf x t dt x x -''==-⎰，45()g x x x '=+，故 2245450000()()sin sin(1cos )(1cos )lim lim lim lim ()()x x x x f x f x x x x x g x g x x x x x →→→→'--==='++224454500011()124lim lim lim 041x x x x x x x x x x x x x→→→⋅====+++．9．（2005年，5分）求极限111lim()1ln x x x→-- ．解： 1111111ln 1lim()lim lim 11ln (1)ln ln x x x x x xx x x x x x x→→→--+-==---+11111limlim ln 1ln 112x x x x x x x →→--===-+-++．。

高中数学函数的极限与连续性函数的极限与连续性是高中数学中重要的概念和考点。

极限可以帮助我们研究函数的发展趋势，而连续性则是用来描述函数图像的断点情况。

本文将重点讨论高中数学中函数的极限和连续性的概念及其相关性质。

一、函数的极限在高中数学中，函数的极限可以用来描述自变量趋近于某一个值时，函数值的趋近情况。

具体来说，对于函数 f(x)，当自变量 x 趋近于 a 时，函数值 f(x) 是否趋近于某一个常数 L，即 f(x) 的极限是否存在，可以用下式来表示：lim(x->a) f(x) = L要判断一个函数是否存在极限，我们一般通过计算极限的定义式来进行求解。

也可以利用一些常见的极限公式来简化计算。

例如，对于多项式函数，当 x 趋近于无穷大时，其极限值为无穷大或负无穷大。

而对于指数函数或对数函数，其极限值也有特定的性质。

二、极限的性质函数的极限具有一些重要的性质，我们可以通过这些性质来简化函数极限的计算。

下面是一些常见的极限性质：1. 唯一性：函数的极限只有一个极限值，即不管自变量趋近于某个值的方向如何，函数值都会趋近于同一个常数。

2. 局部有界性：如果函数 f(x) 在某一点 a 的附近有极限存在，则函数在 a 的某个邻域内有界。

3. 保号性：如果函数 f(x) 在某一点 a 的附近有极限存在，而且极限值不为零，那么函数在a 的邻域内要么始终大于零，要么始终小于零。

4. 四则运算：如果 f(x) 和 g(x) 在某一点 a 的附近有极限存在，则f(x) ± g(x)、f(x) × g(x)、f(x)/g(x) 也在 a 的附近有极限存在，并且这些运算的结果等于各自的极限值进行相应的运算。

三、函数的连续性函数的连续性描述了函数图像的断点情况。

如果函数在某一点 a 处连续，则在 a 处的函数值等于函数的极限值。

具体来说，函数 f(x) 在点 a 处连续的条件为：1. 函数 f(x) 在点 a 处存在。

函数的极限及连续性函数的极限与连续性是微积分学中重要的概念，它们在求解导数、积分以及研究函数性质等方面具有重要的应用。

本文将针对函数的极限与连续性展开讨论，并介绍相关的定义、性质和计算方法。

一、函数的极限1.1 定义对于给定函数f(x)，当自变量x无限接近某一特定值a时，函数值f(x)的极限被定义为函数f(x)在x趋近于a时的极限值，记作：lim(x→a)f(x) = L其中，L可以是一个实数或无穷大。

当不同方向的极限存在且相等时，函数的极限存在。

若函数在该点的左、右极限均存在且相等，则称函数在该点处连续。

1.2 性质（1）极限值唯一性：函数的极限值是唯一的，即对于给定函数f(x)和特定值a，极限lim(x→a)f(x)存在时，其极限值L是唯一确定的。

（2）局部性质：函数的极限是局部性质，即仅仅与函数在某一点附近的取值有关。

（3）极限与函数值的关系：函数在某一点处连续，意味着函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。

1.3 计算方法计算函数的极限可以通过直接代入、无穷小量无穷大代换法、夹逼定理等方法进行。

（1）直接代入法：对于一些简单的函数，可以直接将自变量代入函数，求解得到极限值。

（2）无穷小量无穷大代换法：对于一些复杂的极限问题，可利用一些常用极限的性质和等价无穷小量、等价无穷大量的代换方法，简化极限的计算。

（3）夹逼定理：对于一些无法直接求解的函数极限问题，可通过夹逼定理来间接求解，即通过构造两个函数，使得它们的极限分别等于给定函数的极限。

二、函数的连续性2.1 定义对于给定函数f(x)，若函数在某一区间上的每一点都满足极限lim(x→a)f(x)存在且等于函数在该点的函数值f(a)，则称函数在该区间上连续。

2.2 性质（1）连续函数与极限：连续函数的极限与函数值相等，即lim(x→a)f(x) = f(a)。

（2）连续函数的运算：连续函数的加减、乘法运算结果仍为连续函数，但除法运算需要排除除数为零的情况。

数学高考复习名师精品教案第94课时：第十二章 极限——函数的极限与连续性课题：函数的极限与连续性教学目标：1.使学生掌握当0x x →时函数的极限； 2.了解：0lim ()x x f x A →=的充分必要条件是0lim()lim ()x x x x f x f x A +-→→==掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：掌握当0x x →时函数的极限。

运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用。

对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解。

教学过程：一．函数的极限有概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0。

特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x xx =→二．对于函数极限有如下的运算法则：)0()()(lim≠=→B BAx g x f ox x也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf ooxx x x →→=n x x n x x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.三 典例剖析例1．求下列函数在X ＝0处的极限（1）121lim 220---→x x x x （2）x x x 0lim → （3）22,0()0,01,0xx f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪+<⎩例2 求)3(lim 22x x x +→例3 求112lim 231++-→x x x x例4 求416lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限.例5 求133lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。

考研数学⼀复习计划 数学的复习过程是⼀个⽇积⽉累,由浅⼊深,⽔到渠成的过程，下⾯店铺为你整理了⼏篇考研数学⼀复习计划，希望对你有帮助。

考研数学⼀复习计划篇⼀ ⼀、函数、极限、连续(《⾼等数学》第⼀章)考试内容 函数的概念及表⽰法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建⽴数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限⽆穷⼩量和⽆穷⼤量的概念及其关系⽆穷⼩量的性质及⽆穷⼩量的⽐较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1。

理解函数的概念，掌握函数的表⽰法，会建⽴应⽤问题的函数关系。

2。

了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3。

理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4。

掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5。

理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。

6。

掌握极限的性质及四则运算法则。

7。

掌握极限存在的两个准则，并会利⽤它们求极限，掌握利⽤两个重要极限求极限的⽅法。

8。

理解⽆穷⼩量、⽆穷⼤量的概念，掌握⽆穷⼩量的⽐较⽅法，会⽤等价⽆穷⼩量求极限。

9。

理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。

10。

了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最⼤值和最⼩值定理、介值定理)，并会应⽤这些性质。

本章考查焦点 1。

极限的计算及数列收敛性的判断 2。

⽆穷⼩的性质 ⼆、⼀元函数微分学(《⾼等数学》第⼆、三章) 考试内容 导数和微分的概念导数的⼏何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平⾯曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数⽅程所确定的函数的微分法⾼阶导数⼀阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L’Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最⼤值和最⼩值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径 考试要求 1。

函数的极限与连续性知识点总结在微积分学里，极限和连续性是两个非常重要的概念。

它们为我们理解函数的性质和行为提供了基础。

本文将对函数的极限与连续性知识点进行总结，旨在帮助读者更好地掌握这些概念和相关的数学技巧。

一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的变化趋势。

它可以帮助我们研究函数在某点附近的性质和趋势。

下面是一些关于函数极限的重要知识点：1. 数列的极限：在介绍函数的极限之前，我们首先需要了解数列的极限。

数列的极限是指当数列中的元素趋近于无穷大或无穷小时，数列的极限趋于某个特定值。

这个概念为后续对函数极限的理解奠定了基础。

2. 函数的左极限和右极限：对于函数在某点x=a的极限，我们可以用左极限和右极限来描述。

左极限表示当x趋近于a时，函数的取值趋近于a的左侧值；右极限表示当x趋近于a时，函数的取值趋近于a的右侧值。

3. 函数的极限存在性：函数的极限存在性是指函数在某一点存在极限。

对于一些简单的函数，极限存在性可以通过直接代入法或观察法来确定；而对于一些复杂的函数，我们需要借助极限的定义和性质来判断极限是否存在。

4. 函数的无穷极限：函数的无穷极限是指当自变量趋近于无穷大或无穷小时，函数的极限趋于某个特定值。

无穷极限的研究可以帮助我们了解函数在无穷远处的行为。

二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点以及其附近的取值的稳定性。

连续性可以通过函数的图像来直观地判断，也可以通过数学定义来推导和证明。

下面是一些关于函数连续性的重要知识点：1. 函数的连续性定义：函数在某一点x=a处连续，意味着函数在x=a的极限存在，且函数在x=a的函数值等于极限值。

这个定义确保了函数在这一点的连续性。

2. 连续函数的性质：连续函数在函数值和自变量之间保持了一定的关系。

例如，两个连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数。

3. 函数的间断点：函数的间断点指的是函数在某一点不连续的情况。

这种不连续可以是可去间断、跳跃间断或无穷间断。

高三数学数列、函数的极限及函数的连续性【本讲主要内容】数列、函数的极限及函数的连续性数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性【知识掌握】【知识点精析】 （一）数列极限 1. 概念考察以下三个数列当n 无限增大时，项a n 的变化趋势：.,101,,101,101,10132 n ① .,1,,43,32,21 +n n ② .,)1(,,31,21,1 nn --- ③（1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的,② 是递增的，③是正负交替地无限趋近于a.（2）随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:① 是从点a 右侧，②是从点a 左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ．（3）随着n 的增大，从差式∣a n －a ∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n 无限趋近于a ．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列项a n 无限地趋近于常数a （即∣a n －a ∣无限地接近于0）”．定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a 时，（即a a n -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以a 为极限，或者说a 是数列{}n a 的极限。

表示为a a lin n n =∞→2. 数列极限的表示方法：① a a n n =∞→lim ②当∞→n 时，a a n →.3. 几个常用极限：①C C n =∞→lim （C 为常数）②),(01lim是常数k N k n kn ∈=∞→③对于任意实常数， 当1||<a 时，0lim =∞→nn a当1=a 时，若a ＝1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则nn n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在当1>a 时，nn a ∞→lim 不存在（二）函数极限研究函数的极限，首先考虑自变量x 的变化方式有哪些． 1. x →∞时，函数)(x f 的极限 考察函数f(x)＝1，当x →＋∞和x →－∞时，函数的变化趋势 （1）当x →＋∞时，从图象和表格上看，函数y ＝x的值无限趋近于0．就是说 函数y ＝x1上的极限为0，记作01lim =+∞→x x（2）当-∞→x 时，类似地可得函数xy 1=的值无限趋近于0，就是说，当-∞→x 时，函数xy 1=的极限为0，记作01lim =-∞→x x（3）还可以从差式│y －0│上看，随着x →＋∞ (或x →－∞),差式无限趋近于0，即函数y ＝x1无限趋近于0，这说明01lim =+∞→x x (或01lim =-∞→x x )函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表：几种特殊函数的极限：（1）常数函数f(x)＝C (C 为常数,x ∈R),有C x f x =∞→)(lim（2）函数xx f 1)(=（x ≠0）,有01lim =∞→x x .2. x →x 0时，函数)(x f 的极限例1. 考察函数y ＝x 2，当χ无限趋近于2时，函数的变化趋势．①从表一上看：自变量x<2趋近于2(x →2-)时，y →4． 从表二上看：自变量x>2趋近于2(x →2+)时，y →4．②从图象上看：图象见教科书第79页，自变量x 从左侧趋近于2(即x →2-)和从右侧趋近于2(即x →2+)时，y 都趋近于4．③从差式|y －4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)．从任何一方面看，当x 无限趋近于2时，函数y ＝x 2的极限是4．记作： 2lim →x x 2＝4注意：x →2，包括分别从左、右两侧趋近于2．例2. 考察函数112--=x x y (x ≠1),当x →1时的变化趋势.分析：此例虽然在x ＝1处没有定义，但仍有极限．即：2)1(lim 11lim121=+=--→→x x x x x 定义：一般地，当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a ．记作a x f x x =→)(lim 0或当0x x →时，a x f →)(.注：当0x x →时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否有定义无关，因为0x x →并不要求0x x =．（当然，)(x f 在0x 处是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关．故函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x →存在的既不充分又不必要条件．）如⎩⎨⎧<+->-=1111)(x x x x x P 在1=x 处无定义，但)(lim 1x P x →存在，因为在1=x 处左右极限均等于零．3. 函数)(x f 的左、右极限例3 考察函数f(x)＝ ⎪⎩⎪⎨⎧+x x 01).0(),0(),0(时当时当时当<=>x x x 当x →0-时，或x →0+时函数的变化趋势．分析： 此例与上两例不同，x 从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x 0处无极限．定义：如果x 从x ＝x 0的单侧无限趋近于x 0时，f(x)无限趋近于一个常数a ，那么a 叫做f(x)单侧的极限．当x →x -0时，f(x)的极限a 1叫做左极限，记作1x x a )x (f lim 0=-→；当x →x +0时，f(x)的极限a 2叫右极限，记作2x x a )x (f lim 0=+→． 只有a 1＝a 2时，a x f x x =→)(lim 0才存在。

第一章函数的极限与函数的连续性一、学习目的与要求1、了解函数极限的£ —S定义，会用它证明一些简单函数的极限。

2、了解无穷小，无穷大的概念。

掌握无穷小的比较。

3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。

4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。

5、了解在闭区间上连续函数的性质。

二、学习重点函数极限的概念及计算三、内容提要1、数列极限与函数极限（I）概念综述设u,v表示数列变量X n或函数变量，在同一个极限过程中lim u二A,lim v = B,该极限过程可12商规则：lim _ =lim u / lim v(lim 0)v比较性质(1) 若 u > v ，贝U lim u > lim v(2) 若lim u > lim v ,则在某个范围 X 上有u >v有界性质 (1) 若 {X n }收敛，则{X n }有界(2) 若limu(x)=A ，则u(x)在某个范围X 上有界。

存在性质(1) 单调有界准则：单调有界数列必是收敛数列。

(2) 夹逼准则：若uv ,且u 、v 趋于A ，则⑷亦趋于A (三个变量u 、v 、国极限过程相同)。

注 的形式与极限过程相关，当 U 、v 是数列时，X ={n|n > N} , 是某个自然数;1lxm oxsin ;=,1lim e x 不存在,x(IV )极限之间的联系(1) lim f(x)=A ：= lim f(x)=A = lim f(x)i x o 十x T x o —(2) lim f (x) = A lim f (x) lim f(x)二 A.X -X ) - .X(3) lim f (x) = —对任意趋于 X o 的数列 X n ，有 ”m_f(X n )二 Av 是函数变量， 极限过程是X — xj 时,X =(Xo - ：-,Xo),极限过程是x > X o 时,X 二U(X o ,、J ，其余类推。

专升本数学复习指导总结专升本数学复习整理(一)函数1、知识范围(1)函数的概念函数的定义、函数的表示法、分段函数、隐函数(2)函数的性质单调性、奇偶性、有界性、周期性(3)反函数反函数的定义、反函数的图像(4)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(5)函数的四则运算与复合运算(6)初等函数2、要求(1)理解函数的概念，会求函数的表达式、定义域及函数值，会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。

(2)理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。

(3)了解函数与其反函数之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。

(4)熟练掌握函数的四则运算与复合运算。

(5)掌握基本初等函数的性质及其图像。

(6)了解初等函数的概念。

(7)会建立简单实际问题的函数关系式。

(二)极限1、知识范围(1)数列极限的概念数列、数列极限的定义(2)数列极限的性质唯一性、有界性、四则运算法则、夹通定理、单调有界数列极限存在定理(3)函数极限的概念函数在一点处极限的定义、左、右极限及其与极限的关系趋于无穷时函数的极限、函数极限的几何意义(4)函数极限的性质唯一性、四则运算法则、夹通定理(5)无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量的性质、无穷小量的阶(6)两个重要极限2、要求(1)理解极限的概念，会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。

会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。

会运用等价无穷小量代换求极限。

(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

专升本数学复习重点介绍导数重点部分①会求多项式函数几种常见函数的导数。

②利用导数的几何意义求曲线的切线方程，并能以导数为工具求函数的单调区间、极值与最大值或最小值。

数学知识点在教学函数的极限与连续性函数的极限与连续性是高中数学中重要的知识点，也是数学教学中的重点内容之一。

通过教学这一部分的知识，可以帮助学生深入理解函数的性质，提高解题能力和思维逻辑。

本文将从函数的极限以及连续性两个方面，探讨数学知识点在教学中的应用。

一、函数的极限函数的极限是函数概念的重要组成部分，也是数学中的重点内容之一。

函数的极限描述了函数值随自变量无限接近某一特定值时的性质。

在教学函数的极限时，可以采用以下方式进行：1. 引入函数的极限的概念：首先，引导学生思考函数$f(x)$在$x$趋近于某个值$a$时的变化规律。

让学生通过探究实例，感受函数极限的概念，并理解极限的含义。

2. 极限的定义和性质：接下来，介绍极限的定义和性质。

通过具体的例子和练习题，让学生掌握函数极限的基本概念和计算方法，理解函数极限的性质。

3. 极限的运算法则：教授极限的运算法则，如极限的四则运算法则、极限的复合法则等。

通过引入具体的例子和案例分析，帮助学生灵活运用极限的运算法则，解决实际问题。

二、函数的连续性函数的连续性是函数性质的重要描述方式，也是数学中的重点内容之一。

函数的连续性描述了函数图像的连续性和无间断性。

在教学函数的连续性时，可以采用以下方式进行：1. 引入函数的连续性概念：首先，通过图像描述和实例引导学生思考连续函数的性质和特点。

让学生通过观察实例，感受连续函数的连续性，并理解连续性的定义。

2. 连续性的定义和性质：接下来，介绍连续性的定义和性质。

通过具体的例子和练习题，让学生掌握函数连续性的基本概念和判定方法，理解连续函数的性质。

3. 函数连续性的研究：教授函数连续性的研究方法，如函数的间断点和可导性。

通过引入具体的例子和案例分析，帮助学生深入理解函数的连续性，解决实际问题。

三、数学知识点在教学中的应用函数的极限与连续性在数学教学中是重要的知识点，同时也是其他数学概念的基础。

通过教学函数的极限与连续性，可以帮助学生将抽象概念与实际问题相结合，提高解题能力和数学思维逻辑。

函数的极限及函数的连续性撰稿：李晋渊编审：安东明责编：辛文升一、重点难点分析：①此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。

②要掌握常见的几种函数式变形求极限。

③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。

④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。

⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。

二、典型例题例1．求下列极限①②③④解析：①。

②。

③。

④。

例2．已知，求m,n。

解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，∴x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴m=3代入求得n=-1。

例3．讨论函数的连续性。

解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又，∴，∴f(x)在x=1处连续。

由，从而f(x)在点x=-1处不连续。

∴f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。

例4．已知函数, (a,b为常数)。

试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。

解析：∵且，∴，∴a=1, b=0。

例5．求下列函数极限①②解析：①。

②。

例6．设，问常数k为何值时，有存在？解析：∵，。

要使存在，只需，∴2k=1，故时，存在。

例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？解析：由，，∵，∴f(x)在x=-1处极限不存在。

训练题：1．已知，则2．的值是_______。

3. 已知，则=______。

4．已知，2a+b=0，求a与b的值。

5．已知，求a的值。

参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0。

初中数学复习极限与函数连续性的关系初中数学复习极限与函数连续性的关系极限与函数连续性是初中数学中的重要概念和内容，它们相互联系、相互依存，对于学生的数学素养和理解能力培养具有重要意义。

本文将详细介绍极限与函数连续性的定义、性质及其关系。

一、极限的定义和性质1. 极限的定义：在初中数学中，当自变量趋于某个确定值时，函数的取值是否趋于某个确定值，即为极限。

一般用符号“lim”来表示。

设函数y=f(x)，当自变量x无限靠近某一特定值时，函数值f(x)是否无限接近某一确定值a，即lim(x→a)f(x)=a。

2. 极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则极限值唯一。

（2）加减性：若lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，则lim(x→a)[f(x)±g(x)]=A±B。

（3）乘法性：若lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，则lim(x→a)[f(x)×g(x)]=A×B。

（4）除法性：若lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B（B≠0），则lim(x→a)[f(x)/g(x)]=A/B。

二、函数连续性的定义和性质1. 函数连续的定义：在初中数学中，如果函数f(x)在某一点x=a附近的极限存在，并且等于f(a)，则称函数f(x)在x=a处连续。

即lim(x→a)f(x)=f(a)。

2. 函数连续的性质：（1）函数与常数的和、差、积、商（分母不等于0）仍然是函数。

（2）初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等）在其定义域上是连续的。

（3）连续函数的复合函数仍然是连续函数。

三、极限与函数连续性的关系1. 极限与函数不连续性的关系：函数在某一点不连续的原因可能是极限不存在、极限存在但不等于函数值，或者函数在该点附近左右极限不相等。

2. 函数连续与极限的关系：在初中数学中，函数在某一点连续等价于该点的左右极限存在且相等。

求函数的极限一．函数极限的概念1.函数极限的定义定义1： 设函数)(x f y =在0x 的某个去心邻域内有定义,若对0>∀ε,0>∃δ，当δ<-<00x x 时,恒有ε<-a x f )(，则称)(x f y =在0x x →的极限为a ，记为a x f x x =→)(lim 0.(直观地说a x f x x =→)(lim 0：当x 无限趋近0x 时,函数)(x f 无限趋近常数a .)定义2：设函数)(x f y =在0>>E x 内有定义,若对0>∀ε,0>∃M ，使得当M x >时,恒有ε<-a x f )(，则称)(x f y =在∞→x 的极限为a ，记为a x f x =∞→)(lim .2．左、右极限的定义右极限：⇔==+→+a x f x f x x )(lim )(000,0>∃>∀δε当δ<-<00x x 时,恒有ε<-a x f )(. 左极限：⇔==-→-a x f x f x x )(lim )(000>∀ε,0>∃δ当00<-<-x x δ时,恒有ε<-a x f )(.⇔=+∞→a x f x )(lim 0>∀ε,0>∃M ,当M x >时,恒有ε<-a x f )(. ⇔=-∞→a x f x )(lim 0>∀ε,0>∃M ,当M x -<时,恒有ε<-a x f )(.3．极限存在的充要条件:a x f x x =→)(lim 0⇔=+→)(lim 00x f x x a x f x x =-→)(lim 0a x f x =∞→)(lim ⇔=+∞→)(lim x f x a x f x =-∞→)(lim .例1.（1）xx e ∞→lim ； x x e 10lim →； 111lim -→x x e；（2）,ln lim 00x x +→ x x ln lim +∞→；（3）x x sin lim ∞→; x x 1sinlim 0→； ∞=→x x 1lim 0；（4）x x arctan lim ∞→；x x tan lim 2π→.二．求极限的方法1．极限的四则运算法则:设)(lim 0x f x x →和)(lim 0x g x x →都存在，则(1）=±→))()((lim 0x g x f x x ±→)(lim 0x f x x )(lim 0x g x x →；(2）=→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →；(3）)(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x x x →→→=（0)(lim 0≠→x g x x ）.例2 (1))1224(lim 22---+++∞→x x x x x =122436lim22--+++++∞→x x x x x x=312124136lim22=--+++++∞→xx x x xx .(2)x x x x x x cos sin 2cos lim 20+→ =x x x x x x x cos sin 2lim cos lim 020⋅+⋅→→=31cos sin 21lim0=+⋅→xxx x .（3）x x x x 220tan cos sin 1lim -+→ xx x x x x cos sin 11cos sin 1lim 2220++⋅-+=→ 220cos sin 1lim 21x x x x -+=→]sin cos 1[lim 212220xx x x x +-=→.43cos 1lim 212120=-+=→x x x （4）)sin 12(lim 41xxee xx x +++→. 解)sin 12(lim 4100x x e e x x x ++++→=)sin 12(lim 4100xx e e x xx ++++→=x xx e e 410012lim 1++++→=x x xx x e e ee 444100/)1(/)2(lim 1++++→=1 =+++-→)sin 12(lim 4100x x ee xx x )sin 12(lim 4100xxe e xxx -++-→=1. 所以 1)sin 12(lim 410=+++→xxee xx x .2.利用等价无穷小求极限.（1）无穷小的定义:若0)(lim 0=→x x x α，则称)(x α为0x x →时的无穷小.（2）无穷小的运算.（3）无穷小的比较:若0)(lim 0=→x x x α, 0)(lim 0=→x x x β且l x x x x =→)()(limβα 若0≠l ，则称)(x α与)(x β是同阶无穷小；若1=l ，则称)(x α与)(x β是等价无穷小，记为)(~)(x x βα； 若0=l ，则称)(x α是)(x β的高阶无穷小，记为))(()(x o x βα=.（4）常用等价无穷小(a)当0→x 时，x x ~sin ； 221~cos 1x x -;x x ~)1ln(+；x x ~arcsin ； x x ~arctan ; x e x ~1-；a x a x ln ~1-；x x αα~1)1(-+.（b ）)1)((1)(~)(ln →-x f x f x f .（5）利用等价无穷小求极限当0x x →时，)(~)(x x αα'，)(~)(x x ββ'，则=→)()()()(limx x g x x f x x βα)()()()(lim 0x x g x x f x x βα''→.例3(1)30sin tan limx xx x -→30)1cos 1(sin limxx x x -=→ x x x x x cos )cos 1(sin lim 30⋅-=→20cos 1lim x x x -=→2121lim 220==→x xx .(2))1sin 1(cot lim 0x x x x -→ xx xx x x x sin sin sin cos lim 0-⋅=→30sin lim x x x x -=→203cos 1lim xx x -=→616sin lim 0==→x x x .例4．当+→0x 时，与x 等价的无穷小量是 （A ）x e -1;（B ）xx-+11ln;（C ）11-+x ;（D ）x cos 1-.解（A ）x ex--~1 （B ）x x -+11lnxxx x x -+=--+1111~x x x ~~+ （C ）x x 21~11-+ （D ） x x 21~cos 1- 答案（B ）例5.设dt t x f x⎰-=cos 102sin )(，65)(65x x x g +=，则当0→x 时，)(x f 是)(x g 的（ ）. (A)低阶无穷小; (B)高阶无穷小; (C)等价无穷小; (D)同阶但不等价.解 )()(lim 0x g x f x →65sin lim65cos 1020x x dtt xx +=⎰-→5420sin ])cos 1[sin(lim xx xx x +-=→ 4320)cos 1(lim x x x x +-=→041lim 4340=+=→x x xx . 答案)(B 例6.设当0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而n x x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，求正整数n .解 n x x x x x sin )1ln()cos 1(lim 20⋅+-→122021lim +→=n x xx x 0lim 2130==-→n x x 303<⇒>-⇒n n . 1sin lim 2-→x nx e x x 210lim xx n x +→=0lim 10==-→n x x 101>⇒>-⇒n n ， 2=∴n .例7．())11sin 11(lim 1x x x x --+→πππx x x x x πππππsin )1(sin )1(lim 11---+=→tt t t t πππππsin sin lim10-+=→ 220sin lim 1t t t t ππππ-+=→t t t 202cos lim 1πππππ-+=→ πππππ12sin lim 1220=+=→t t .3.利用洛必达法则求未定式极限的方法 法则I():设函数)(),(x g x f 满足条件: ①()()0lim ,0lim 0==→→x g x f x x x x②)(),(x g x f 在0x 的去心邻域内可导,且0)(≠'x g ; ③()()x g x f x x ''lim→存在(或∞),则()()()()x g x f x g x f x x x x ''lim lim 00→→=.法则Ⅱ⎪⎭⎫⎝⎛∞∞：设函数()()x g x f ,满足条件 ①()()∞=∞=→→x g x f x x x x 0lim ,lim ;②()()x g x f ,在0x 的去心邻域内可导，且()0'≠x g ; ③()()x g x f x x ''lim→存在（或∞），则()()()()x g x f x g x f x x x x ''limlim 00→→=.例8.(1) )sin sin cos 1(lim 220xx x x e x x x +-+→x x e x xx 220sin cos 1lim 1-++=→201lim 1xe x x x -++=→x e xx 21lim 10-+=→x x x -+=→0lim 211=21.（2）x x x x x 40sin )]tan 1ln()[cos 1(lim +--→202)tan 1ln(lim xx x x +-=→x x xx 4tan 1sec 1lim 20+-=→ x x x x 4sec tan 1lim 20-+=→414tan lim 4120=-=→x x .（3) )1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→=23)1cos sin 3(lim 210=⋅+→x x x x x .4．其它未定式：∞⋅0，∞-∞，00，0∞，∞1)(ln )()())((x f x g x g e x f =）例9.（1）xx x e x sin 120)(lim +→)}ln(sin 1lim exp{20xx e x x +=→}1lim exp{20x e x x x -+=→ 320}1lim 1exp{e xe x x =-+=→.（2）xx xxx sin 1)321(lim ++∞→++}sin )321ln(lim exp{xx x x x +++=+∞→ }/)sin (/)321ln(lim exp{xx x xx x x +++=+∞→})321ln(limexp{x x x x ++=+∞→ 3}3213ln 32ln 2lim exp{=+++=+∞→x x x x x .（3）))}ln 1(ln(ln 1lim exp{)}1ln(ln 1lim exp{)1(lim ln 1ln 1x xx e x x x x x x xx x +∞→+∞→+∞→=-=-}1exp{}ln lim exp{}ln ln )ln(ln lim exp{-=-=-=+∞→+∞→ttt x x x t x综述:求极限的问题,主要是求未定型的极限,而它们都可以化为00型或∞∞型： )a 先化简（代数变形、等价无穷小、代换、非零极限因子）,最后化成简单函数的00或∞∞; )b 用分子（或分母）同除(或提取)无穷小或无穷大使分母极限存在且非零，再用四则运算; )c 用洛必达法则.三．极限值已知求其中的未知常数例10.(1)83lim2=-++→a x bbx x a x ,求b a ,的值. 解：0)3(lim 2=++→b bx x ax 032=++⇒b ba a .b a bx a x +=+→212lim82=+⇒b a⎩⎨⎧=+=++82032b a b ab a ⎩⎨⎧-==⇒46b a 或⎩⎨⎧=-=164b a .验证这二组数据都符合条件.(2)设当0→x 时,)1(2++-bx ax e x是比2x 高阶的无穷小,求b a ,的值.解 根据题意 0)1(lim 220=++-→xbx ax e x x =++-→220)1(lim x bx ax e x x x bax e x x 22lim 0--→有0)2(lim 0=--→b ax e xx 1=⇒b .x axe x x 221lim 0--∴→a a x e x x -=--=→21]21[lim 0. 从而有021=-a ，所以21=a .（3）当0→x 时，ax x x f sin )(-=与)1ln()(2bx x x g -=是等价无穷小，则（A ）61,1-==b a （B ）61,1==b a （C ）61,1-=-=b a （D ）61,1=-=b a解：由于ax x x f sin )(-=与)1ln()(2bx x x g -=为等价无穷小，则有)()(lim 0x g x f x →)1ln(sin lim 20bx x ax x x --=→)(sin lim 20bx x axx x --=→203cos 1lim bx ax a x --=→ 故有0cos 1lim 0=-→ax a x , 所以1=a .)()(lim 0x g x f x →bbx x bx x x x 6132/lim 3cos 1lim 22020-=-=--=→→，有161=-b 得61-=b .高等数学(同济大学第六版)线性代数(同济大学第五版)概率论与数理统计(浙江大学第四版)。

高等数学期末复习指南综述：以历年考题为导向，梳理高数复习脉络，总结各部分内容的方法技巧。

适用范围：高等数学期末考试的备考，包括文科高等数学。

基本内容极限与函数微分与导数一元函数积分学矩阵与线性方程组解析几何初步微分方程常用公式、技巧一、极限与函数基本概念：函数的定义域、值域，数列极限的概念、性质、运算法则、判定方法，无穷大量、无穷小量的比较，初等函数与其反函数，函数连续性备考重点：无穷小量与无穷大量，极限判定、运算法则，函数极限（尤其初等函数组合的极限）。

常见题型：对这章的直接考察，基本上是在试卷的头两道题。

方法与技巧1.熟练掌握初等函数的等价无穷大量、等价无穷小量2.熟练进行适当的变形i. 将sec(x) cot(x) 等化成 sin(x) cos(x) tan(x) 将三角函数的幂次利用降阶公式进行适当降阶对于二倍角、三倍角一般不必化简直接利用等价量进行代换 掌握三角函数和差化积ii. 考虑多项式的等价无穷大，一般只用看最高幂次考虑多项式的等价无穷小，只看最小幂次，有常数的看常数。

iii. 许多含1/x的函数，等价无穷小与等价无穷大是可以灵活转换的，如sin(1/x),e^(1/x)以x的幂次为自变量的函数，把幂次看做整体，如ln(1+x^2),sin(x^2)iv. 指数含有x的，利用对数函数把指数上的x拿下来，再利用指数函数连续性直接求指数的极限v. 对于根式，利用平方差公式寻找适当变形vi.熟练掌握与e指数定义有关的常见极限及其变形3.利用L’Hospital法则（洛必达法则）、求导公式：对于分式形式，0/0型常用洛必达法则上下同时求导，但注意前提是求导之后应有极限。

对于求导比较难算的根式、复合函数，建议先考虑其他方法。

使用洛必达法则之前，有时需要先适当变形，变成容易上下求导的形式。

对于分式形式，且已经化成了类似于求导的形式，可以变形之后利用导函数来求极限。

4.对于数列极限，还可以考虑夹逼法例如这个考题，解答如下大家注意如果把问题中的k换成k平方，就不一样了，需要用到积分的定义来理解。

函数专题复习计划复习计划如下：1. 复习函数的定义和性质：回顾函数的基本定义，包括定义域、值域和函数图像；复习函数的性质，比如奇偶性、单调性和周期性等。

2. 复习常见的函数类型：包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

重点理解它们的定义、性质和图像特点。

3. 复习函数的运算：包括函数的四则运算、复合函数、反函数和函数的逆运算等。

掌握运算规则和方法，并能够解决相关的题目和问题。

4. 复习函数的图像与性质的关系：理解函数图像与函数性质之间的关联，比如函数的单调性与图像的斜率变化、函数的周期性与图像的重复性等。

5. 复习函数的应用：将函数理论应用于实际问题中，例如函数的模型和函数方程的求解。

通过练习题目和实际问题，加深对函数的应用理解和运用能力。

6. 复习函数的极限与连续性：进一步学习函数的极限概念，了解函数在某一点的极限以及无穷远处的极限；学习函数的连续性概念和连续函数的性质。

7. 复习函数的导数与求导法则：回顾函数的导数定义及其求导法则，包括常见函数的导数、链式法则、乘积法则和商法则等。

掌握求导的方法和技巧。

8. 复习函数的应用题：重点练习函数的应用题，例如最值问题、曲线的切线与法线以及面积与体积问题等。

通过解决各类应用题提高应用能力。

9. 复习函数的积分与求积分法则：学习函数的不定积分与定积分，掌握求积分的方法和常用积分法则，包括换元法、分部积分法和定积分的性质等。

10. 做相关练习题和试卷：根据所学内容，做一些相关的练习题和模拟试卷，查漏补缺，加深对函数的理解和应用能力。

通过以上的复习计划，可以全面复习函数的相关知识点，加深对函数的理解和掌握程度，为应对考试做好准备。

高考数学如何应对复杂的极限和连续性问题随着高考的临近，许多学生开始为数学复习而烦恼。

尤其是在面对复杂的极限和连续性问题时，很多学生容易感到迷茫和困惑。

本文将介绍一些处理这类问题的有效方法，帮助学生在高考中高效解决极限和连续性问题。

一、理解极限的概念极限是数学中的重要概念，掌握好极限的含义和性质对于解决极限问题至关重要。

首先，学生需要理解极限的定义：当自变量趋于某个值时，函数的值的变化趋势。

其次，熟悉常见的极限性质，例如当自变量趋于无穷大时的极限、复合函数的极限等。

通过理解极限的概念和性质，学生能够更加准确地理解和解决复杂的极限问题。

二、掌握常见的极限计算方法在高考中，经常会涉及到一些常见的极限计算方法，例如利用有理化、夹逼定理、洛必达法则等。

学生应该熟悉并灵活运用这些方法，能够根据具体问题选择合适的方法来求解。

在进行极限计算时，需注意运算的顺序和细节，避免出现计算上的错误。

三、加强对连续性的理解连续性是数学中的另一个重要概念，与极限问题密切相关。

学生需要理解函数连续性的定义和条件，并能够判断给定函数在某一点的连续性。

在解决复杂的连续性问题时，可以运用辅助线、数列趋势等方法来辅助分析。

通过加强对连续性的理解，可以更好地应对相关的数学题目。

四、多进行习题训练提高解决复杂极限和连续性问题的能力需要进行大量的习题训练。

在解题过程中，学生可以尝试使用不同的方法和思路，比较不同方法的优缺点。

并且及时总结解题经验，找到解决问题的规律和技巧。

通过反复练习，不断提升解决复杂数学问题的能力。

五、思维开阔，积极思考面对复杂的极限和连续性问题，学生应该保持积极的思维态度，并且具备一定的数学思维能力。

在解决问题时，可以运用归纳法、逆向思维等方法来开阔思路。

同时，要注重培养自己的逻辑思维和分析问题的能力，善于总结并归纳规律。

通过思维的开阔和积极思考，可以更好地应对复杂的极限和连续性问题。

在高考数学中，极限和连续性是相对难度较大的内容，需要付出更多的努力和时间去理解和掌握。