高一希望杯hope1-1-16

“希望杯”中的创新题8则（高一）
俞新龙
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2004(000)006
【总页数】1页(P21)
【作者】俞新龙
【作者单位】浙江省绍兴县越崎中学312050
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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第九届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试班级 姓名一、选择题1、如图是函数c bx ax x f ++=2)(的图象，那么--（ ）（A ）0,0,0><<c b a （B ）0,0,0<>>c b a （C ）0,0,0>><c b a （D ）0,0,0>>>c b a2、某种菌类生长很快，长度每天增长1倍，在20天中长成4米，那么长成41米要--------------------------------（ ）（A ）411天 （B ）5天 （C ）16天 （D ）12天3、函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若1)()(21=-x f x f ，则)()(21x f x f -的值等于----------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）2 （B ）21（C ）1 （D ）2log a4、平面外一直线和这个平面所成的角为θ，则θ的范围是-------------------------（ ）（A ）0︒<θ<180︒ （B ）0︒<θ<90︒ （C ）0︒<θ≤90︒ （D ）0︒≤θ≤90︒5、P 、Q 、R 、S 分别表示长方体集合、直平行六面体集合、直四棱柱集合、正四棱柱集合，它们之间的关系为-----------------------------------------------------------（ ）（A ）R ⊃Q ⊃P ⊃S （B ）R ⊃Q ⊃S ⊃P （C ）S ⊂P=Q ⊂R （D ）S ⊂R,P ⊂Q,R ⊆Q,Q ⊆R6、︒=70log 21tg a ，︒=25sin log 21b ，︒=25cos )21(c ，则------------------------（ ）（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）b c a << （D ）a b c <<7、)(x f 是定义域为R 的奇函数，方程0)(=x f 的解集为M ，且M 中有有限个元素，则----------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）M 可能是∅（B ）M 中元素的个数是偶数 （C ）M 中元素的个数是奇数（D ）M 中元素的个数可以是偶数，也可以是奇数。

橙子奥数工作室 教学档案 非卖品第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一 第2试（全国卷）一、选择题1．已知等差数列{}n a 中（n a Z ∈，n N +∈），15a =，2a b =，则0n a ≠的充要条件为A 、0b ≠B 、4b ≠C 、0b ≠或4b ≠D 、0b ≠且4b ≠2．对1949°，1966°，2005°，2008°依次求余弦，则余弦值最大的和最小的角依次是A 、1949°、1966°B 、1966°、1949°C 、2008°、1966°D 、2005°、2008°3．下列函数中，值域为R +的是A 、|1|2x y −−=B 、31y x =+（0x >）C 、22y x x =++D 、21y x = 4．设集合111|,,|,,|,244884k k k M x x k Z N x x k Z P x x k Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，则 A 、M N P =∪ B 、M N P =∩ C 、M P N =∩ D 、M N M =∩ 5．偶函数()f x （x R ∈）满足(4)(1)0f f −==，且在区间[0，3]与[3，+∞]上分别递减和递增，则不等式，橙子奥数工作室录入暗记，3()0x f x <的解集为A 、(,4)(4,)−∞−+∞∪B 、(,1)(1,4)−∞−∪C 、(,4)(1,0)−∞−−∪D 、(,4)(1,0)(1,4)−∞−−∪∪6．如果()max{sin ,cos }f x αα=（x R ∈），则下列命题正确的是A 、函数()f x 的值域是[−1，1]B 、当且仅当22x k ππ=+（k Z ∈）时，()f x 取得最大值C 、函数()f x 的最小正周期是πD 、当且仅当3222k x k ππππ+<<+（k Z ∈）时，()0f x < 7．Four people: A,B,C and D are accused in a trial. It is known that ⑴ if A is guilty ,then B is guilty ⑵ if B is guilty ,then C is guilty or A is not guilty ⑶ if D is not guilty ,then A is guilty and C is not guilty ⑷ if D is guilty ,then B is not guiltyhow many of the accused are guilty ? Answer:A 、2B 、3C 、4D 、Insufficient information to determine8．已知123123()1,()2,()35,()min{(),(2),()}x f x x f x f x x F x f x f f x =+==−+=，则()F x 的最大值是A 、1B 、2C 、4D 、39．满足2390a b −−=（,a b Z ∈）且||1000b <的数组（a ，b ）的个数是A 、57B 、54C 、37D 、10910．有“黄河源头第一县”之称的青海省洛藏自治州玛多县，被称为“千湖之县”．受连续干旱影响，该县有数百个湖泊相继干涸，且鼠害十分猖獗，草原加速退化，每年因鼠害造成的退化面积达20%．按照这样的退化速度，自2005年起，经过多少年，草原退化面积将开始超过2005年草原面积的一半A 、3年B 、4年C 、5年D 、6年二、填空题11．设集合A={1，2，3，4，5，6}，则从A 到A 的映射f 有___个，其中满足()f a a ≥的映射有___个．12．当0x ≥时，()1f x x =+，当0x <时，()1f x =，则(cos 2)f =_____；当[0,2)x π∈且满足cos (sin )1x f x +>的x 的集合为_____．13．一个三位数与它的各位数字和的比值为p （例如对于三位数462，462462p =++），若三位数字的各位数字都不为0，则当p 的值取得最小值时，此三位数是_____；当p 的值取得最大值时，此三位数是_____．14．函数，橙子奥数工作室录入暗记，2364y x x =−+的最大值为_____，最小值为_____．15．如果△ABC 边上的点的坐标(,)x y 在映射:(,)(22,25)f x y x y →+−的作用下的象的集合所对应的图形是△'''A B C ，已知△ABC 的面积为6，则△'''A B C 的面积等于_____．16．Let a and b be the two real roots of the quadratic equation 22(1)340x k x k k −−+++=, where k issome real number. The largest possible value of 22a b + is_____． 17．某校高一新生784人，每班分配56人，方法是：将每人的入学成绩从高分到低分依次编号（成绩相同的学生按姓氏笔画顺序），然后按S 形顺序编班．例如：若有8个班，将编号1至8号分别编在1至8班，9至16号分别编在8至1班，17至24号编在1至8班，…，该校高一新生编号为300（每号只对1人）的同学编在 _____ 班．18．函数2y x =（22x −≤≤）与函数y x m =+的图象恰有1个公共点在y 轴的右侧，则m 的取值范围是 _____．19．{}n a 的前3项依次为5，55，555，但第4项不是5555，请写出一个适合题意的通项公式：n a =_____． 20．{|9,1,2,3,,2005}n M x n == ，已知20059是1914位数，则在M 中，最高位是9的数共有_____个．三、解答题21．在凸四边形ABCD 中，5AB =，2BC CD DA ===，A θ∠=⑴ 求BD 的长（用θ表示）；⑵ 设BCD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，2212()f S S θ=+， 求函数()f θ的值域．22．密码员王超设计了一种给自然数编码的方法⑴ 先将自然数表示成五进制（逢5进1）⑵ 再将五进制中的数码与集合{V ，W ，X ，Y ，Z}中的元素建立一个一一对应后来，他发现三个递增的相邻的十进制自然数编成VYZ ，VYX ，VVW ，求被编成VWXYZ 的数所对应的十进制数．23．已知函数221()1x kx f x x x ++=++ ⑴ 当2k =时，求()f x 的值域；⑵ 若存在实数,,a b c 使()()()f a f b f c +<，试求实数k 的取值范围．（广西、山东、宁夏、海南卷）一、选择题1．命题:{}p ∅∈∅；命题:q 若{1,2}A =，{|}B x x A =⊆，则A B ∈，那么A 、p 真，q 假B 、p 真，q 假C 、p 假，q 真D 、p 真、q 假2．设集合111|,,|,,|,244884k k k M x x k Z N x x k Z P x x k Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，则 A 、M N P =∪ B 、M N P =∩ C 、M P N =∩ D 、M N M =∩ 3．已知关于x 的不等式601ax b x ++>−（,a b R ∈）的解集为（−2，−1）∪（1，+∞），则a b += A 、3 B 、4 C 、5 D 、64．下列函数中，值域为R +的是A 、|1|2x y −−=B 、31y x =+（0x >）C 、22y x x =++D 、21y x = 5．偶函数()f x （x R ∈）满足(4)(1)0f f −==，且在区间[0，3]与[3，+∞]上分别递减和递增，则不等式，橙子奥数工作室录入暗记，3()0x f x <的解集为A 、(,4)(4,)−∞−+∞∪B 、(,1)(1,4)−∞−∪C 、(,4)(1,0)−∞−−∪D 、(,4)(1,0)(1,4)−∞−−∪∪6．已知直线,l m 与平面α，则l //m 的一个充要条件是A 、,l m 与α等角B 、,l m αα⊥⊥C 、//,//l m ααD 、,//l m αα⊥7．Four people: A,B,C and D are accused in a trial. It is known that⑴ if A is guilty ,then B is guilty ⑵ if B is guilty ,then C is guilty or A is not guilty ⑶ if D is not guilty ,then A is guilty and C is not guilty ⑷ if D is guilty ,then B is not guiltyhow many of the accused are guilty ? Answer:A 、2B 、3C 、4D 、Insufficient information to determine8．已知123123()1,()2,()35,()min{(),(2),()}x f x x f x f x x F x f x f f x =+==−+=，则()F x 的最大值是A 、1B 、2C 、4D 、39．P 是四边形ABCD 所在平面外一点，若点P 到四边形各边的距离相等，则四边形ABCD 是A 、正方形B 、菱形C 、梯形D 、两组对边之和相等的四边形10．可将空间分成15个部分的平面的个数至少是A 、3B 、4C 、5D 、6二、填空题11．设集合A={1，2，3，4，5，6}，则从A 到A 的映射f 有___个，其中满足()f a a ≥的映射有___个．12．正四棱锥P −ABCD 的侧棱长及底面边长均为a ，点M 是侧棱PA 的中点，点N 是侧棱PB 上的一个动点，点T 是底面ABCD 内的一个动点，则MN+NT 的最小值是_____．13．已知正四棱锥的底面积为m ，侧面积为n ，则它的体积等于_____．14．函数，橙子奥数工作室录入暗记，2364y x x =−+的最大值为_____，最小值为_____．15．如果△ABC 边上的点的坐标(,)x y 在映射:(,)(22,25)f x y x y →+−的作用下的象的集合所对应的图形是△'''A B C ，已知△ABC 的面积为6，则△'''A B C 的面积等于_____．16．Let a and b be the two real roots of the quadratic equation 22(1)340x k x k k −−+++=, where k issome real number. The largest possible value of 22a b + is_____． 17．已知半径为5的球的两个平行截面的面积分别为9π和16π，则这两个截面之间的距离为 _____．18．函数2y x =（22x −≤≤）与函数y x m =+的图象恰有1个公共点在y 轴的右侧，则m 的取值范围是 _____．19．直四棱柱1111ABCD A B C D −的底面ABCD 是等腰梯形，若1AD AB AA ==，12DC AB =，则异面直线1AD 与1CB 所成角的余弦值为 _____．20．某校高一新生784人，每班分配56人，方法是：将每人的入学成绩从高分到低分依次编号（成绩相同的学生按姓氏笔画顺序），然后按S 形顺序编班．例如：若有8个班，将编号1至8号分别编在1至8班，9至16号分别编在8至1班，17至24号编在1至8班，…，该校高一新生编号为300（每号只对1人）的同学编在 _____ 班．三、解答题（每题10分，共33分）21、已知正四棱锥S ABCD −中，2ASB θ∠=，AB a =⑴ 求侧棱与底面ABCD 所成角的余弦值⑵ 求此四棱锥的内切球的半径22．密码员王超设计了一种给自然数编码的方法⑴ 先将自然数表示成五进制（逢5进1）⑵ 再将五进制中的数码与集合{V ，W ，X ，Y ，Z}中的元素建立一个一一对应后来，他发现三个递增的相邻的十进制自然数编成VYZ ，VYX ，VVW ，求被编成VWXYZ 的数所对应的十进制数．23．已知函数221()1x kx f x x x ++=++ ⑴ 当2k =时，求()f x 的值域；⑵ 若存在实数,,a b c 使()()()f a f b f c +<，试求实数k 的取值范围．。

橙子奥数工作室 教学档案 非卖品第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试一、选择题1、已知1)1(+=−x x f ，则)12(+x f 等于----------------------------------------（ ）（A ）x 2 （B ）12+x （C ）22+x （D ）32+x2、若}2log |{2x x x x −=∈，则有----------------------------------------------------（ ）（A ）12>>x x （B ）x x >>12 （C ）x x >>21 （D ）21x x >>3、已知222)(−−=−x x x f ，0)(=a f ，则)(a f −等于--------------------------（ ）（A ）4−−a （B ）―2 （C ）―4 （D ）a 2−4、线段OA 、OB 、OC 不共面，∠AOB=∠BOC=∠COA=60º，OA=1，OB=2，OC=3，则ΔABC 是---------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）等边三角形 （B ）不等边的等腰三角形（C ）直角三角形 （D ）钝角三角形5、已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<−≥=23 , )3lg(23 , lg )(x x x x x f ，若方程k x f =)(无实数解，则k 的取值范围是-------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）)0,(−∞ （B ）)1,(−∞ （C ）)23lg ,(−∞ （D ）),23(lg +∞ 6、若°<<°<<1809020βα，βαcos )(sin =a ，βαsin )(cos =b ，βαcos )(cos =c ，则c b a ,,的大小顺序是--------------------------------------------------------------------（ ）（A ）b c a >> （B ）c b a >> （C ）c a b >> （D ）b a c >>7、函数)2(log )(2x x x f x −+=的定义域是-----------------------------------------（ ）（A ）21<<−x（B ）20<<x （C ）10<<x 或21<<x （D ）0>x 且1≠x8、函数αx x f =)(，)1,0()0,1(∪−∈x ，若不等式||)(x x f >成立，则在}2,1,32,31,0,32,1,2{−−−∈α的条件下，α可以取的值的个数是-------------------（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49、在矩形ABCD 中，AB=a ，AD=b 2，b a <，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，当∠CEB=90º时，二面角C-EF-B 的平面角的余弦值等于---------------------------------------------------------------------------------（ ） （A ）0 （B ）22b a （C ）22b a − （D ）ba − 10、lb a ,,是两两异面的直线，a 与b 所成的角是3π，l 与a 、l 与b 所成的角都是α，则α的取值范围是------------------------------------------------------------------（ ） （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ （D ）⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ 二、填空题11、函数)(a x f y −=与函数)(a x f y +−=的图象关于 对称。

橙子奥数工作室 教学档案 非卖品第十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一 第1试一、选择题（每小题5分，共50分） 1．设11log 111log 111log 111log 15432+++=P ，则A ．10<<PB ．21<<PC ．32<<PD ．43<<P2．方程2)72(log 2=−x x 的解的个数是 A ．4 B ．3 C ．1 D ．03．已知四边形ABCD 在映射f ：),(y x →)2,1(+−y x 作用下的象集为四边形D C B A ′′′′。

四边形ABCD 的面积等于6，则四边形D C B A ′′′′的面积等于A ．9B ．26C ．34D ．64．已知R y x ∈,，则“1≤xy ”是“122≤+y x ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．图2是函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象，由图象可以看出A ．0>a ，0>dB ．0<a ，0<dC ．0<a ，0>dD ．0>a ，0<d6．设5log 21=a ，5log 31=b ，5log 2=c ，5log 3=d ，则a,b,c,d 的大小关系是A ．b a c d >>>B ．a b c d >>>C ．a b d c >>>D ．b a d c >>> 7． An equilateral triangle （等边三角形）and a circle have the same center. The area of the triangle not in the circle equals the area of the circle not in the triangle. If the radius of the circle is 2, then the length of a side of the triangle isA ．43πB ．432πC ．433πD ．434π8．已知数列{}n a 中，31=a ，52=a ，且对大于2的正整数n ，总有21−−−=n n n a a a ，则2003a 等于A ．5−B ．2−C ．2D ．39．等比数列{}n a 中，15361=a ，公比21−=q ，用n P 表示数列的前n 项之积，则n P 中最大的是 A ．9P B ．10P C ．11P D ．12P 10．2002年9月28日，“希望杯”组委会第二次赴俄考查团启程，途径哈巴罗夫斯克和莫斯科，两地航程约9000千米，往返飞行所用的时间并不相同，这是因为在北半球的高纬度地区，有股终年方向恒定的西风，人们称它为“高空西风带”，已知往返飞行的时间相差1.5小时，飞机在无风天气的平均时速为每小时1000千米，那么西风速度最接近A ．60千米/小时B ．70千米/小时C ．80千米/小时D ．90千米/小时 二、A 组填空题（每小题5分，共50分）11．函数)0(log )(>=a x x f a ，其中0>a 1≠a ，则方程3)(=x a f 的解集是_______。

第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试班级 姓名一、选择题1、集合}2,1,0{的子集个数为------------------------------------------------------------（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）82、函数b x a x f +=sin )(的最大值是-------------------------------------------------（ ）（A ）||b a + （B ）b a +|| （C ）b a + （D ）||b a +3、函数)1(2sin 2x y -=的最小正周期是---------------------------------------------（ ）（A ）π2 （B ）π （C ）π4 （D ）π34、在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 与B 1D 间的距离是------------（ ）（A ）22 （B ）1 （C ）45 （D ）23 5、以下命题中，正确的是----------------------------------------------------------------（ ）（A ）两个平面斜交，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面都不垂直。

（B ）过平面α的一条斜线的平面与α一定不垂直。

（C ）a ，b 是异面直线，过a 必能作一个平面与b 垂直。

（D ）同垂直于一个平面的两个平面平行。

6、在一个正方体中取四个顶点作为一个四面体的顶点，在这样的一个四面体中，直角三角形最多有----------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个7、若关于x 的方程12)1(2+=+a x 和ax x 2)2(2=+中至少有一个方程具有两个不等实根，则实数a 的集合为--------------------------------------------------------------（ ）（A ）),21(+∞-（B ）),4()0,1(+∞- （C ）)4,0( （D ）R 8、若)4,2(∈x ，22x a =，2)2(x b =，x c 22=，则c b a ,,的大小关系是-----（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）b a c >> （D ）c a b >>9、方程1)1(22=--+x x x 的整数解的个数是---------------------------------------（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）510、有三个命题：①函数))((x g f y =，其中)(x g u =在区间D 上是增函数，)(u f y =在区间D 上是减函数，则函数))((x g f y =在区间D 上是减函数。

橙子奥数工作室 教学档案 非卖品第十五届“希望杯”全国数学邀请赛高一 第1试一、选择题（每题4分，共40分）1．函数()tan 2f x x =的最小正周期是（ ）A. 2πB. πC. 2πD. 4π2．函数12()log cos f x x =在()0,2x π∈时的单调递增区间是（ ）A ． 0,2π⎛⎞⎜⎟⎝⎠B ． ()0,πC ． (),2ππD ． 3,22ππ⎛⎞⎜⎟⎝⎠3．对于任意实数x ，若不等式34(0)x x a a −+−>>恒成立，则实数a 应满足（ ）A ． 01a <<B ． 01a <≤C ． 1a >D ． 1a ≥4．等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项的和分别为n S 、n T ，且3323n n S n T n −=+，则66a b =（ ） A ．32 B ．1 C ．65 D ．2723 5．如图，EF 是梯形ABCD 的中位线，则在向量1()2AD BC +JJJ G JJJ G 、1()2AC BD +JJJ G JJJ G 、1(2)2AD AB CD −−JJJ G JJJ G JJJ G 中，与EF JJJ G 相等的向量的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 6．在△ABC 中，若sin 2cos sin C A B =，则该三角形一定是（ ）A ． 等腰三角形B ． 等边三角形C ． 直角三角形D ． 钝角三角形7．函数()f x =（ ）A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数8．集合M 由正整数的平方组成，即{}1,4,9,16,25,...M =，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的. M 对下列运算封闭的是（ ）A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法9．等比数列{}n a 中，“13a a <”是“79a a <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．已知函数()f x 的图象与函数()3xg x =的图象关于点()0,1对称，则()f x =（ ） A.3log 1x − B. 23x −− C.23x −+ D. 32log x −二、A 组填空题（每题4分，共40分） 11．已知函数1,()0x f x x ⎧=⎨⎩为有理数，，为无理数.0,()x g x x ⎧=⎨⎩为有理数，1，为无理数.当x R ∈时，()()_______,f g x =()()_______.g f x =12．已知不等式0ax b +>的解集是{}2x x >，则不等式0bx a +>的解集是______________; 不等式0bx a +>的解集是________________.13．一个等差数列共有12项，前4项的和是10，后4项的和是4，则中间4项的和是_______,10项的和是_______.14．某广告公司准备用200只彩色灯泡，设计成一个梯形图案，且每层比上面相邻的一层多1只灯泡，那么，最多的一层至多可安装_____________只灯泡, 最少的一层至少可安装_____________只灯泡.15．数列{}n a 的前n 项的乘积210212n n n P +−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠，则2_____,a ={}n a 的前5项的和是__________.16．已知函数()f x =，则函数()f x 的最大值与最小值之差是________________.17．定义在R 上的奇函数()f x ，在[)0,+∞上是增函数，若(1)(1)f f x <−，则x 的取值范围是______________.18．已知函数2()f x x bx c =++在[]0,2上的最大值是t ，且(1)0,0,f b =>将t 表示成b 的函数()g b ，则()___________.g b =19．函数cos(sin )y x =的值域是__________.20．A creeper grows to length of 4m in 20 days by doubling its length everyday. How many days does it take to grow to a length of 14m? Answer:______________.(英汉小词典：creeper: 攀缘植物)三、B 组填空（每小题8分）21．Find the missing number in the sequence 3,6,13,28,________,122, 249,_______.Answer:______________________.( 英汉小词典：sequence 数列 )22． 当7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数23sin 2cos y x x =−−的最小值是______________，最大值是_________.23．函数2()log (23)a f x x x =+−，若(2)0f >，可知()f x 的单调递增区间是________; 单调递减区间是_________________.24． 3支代表队共10名棋手参加围棋比赛，不同代表队的棋手之间都进行一场比赛，同一代表队的棋手之间都不进行比赛. 那么比赛最少可能进行__________场，最多可能进行__________场.25．设{}n a 是集合{}220,,s t s t s t Z +≤<∈且中所有的数从小到大排成的数列，则550________,_____.a a ==。

希望杯题1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .（第十一届高二第一试第11题）解法1 b b a a b b a x ++=-+=，ab b aa b b y -+=--=.y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 .解法2bb a ab b a b b b b a y x ++-+=---+=，y x y x a b b a <∴<∴->+,1, . 解法3a ab b a b b a ab b b b a y x -+-++=----+=-1111 =y x yx a a b b a <∴>-∴>--+,011,0.解法4 原问题等价于比较a b b a -++与b 2的大小.由,2)(222y x y x +≥+得b a b b a a b b a 4)(2)2=-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴. y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠+,2, .解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个不同的点A （a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）由图象，显然有AB BCk k <，即)()(a b b ab b b b a b b a ----<-+-+， 即a b b b b a --<-+，亦即y x <.解法6 令()f t =，tt a at f ++=)( 单图1调递减，而a b b ->，)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<-+，y x <∴.解法7 考虑等轴双曲线)0(22>=-x a y x . 如图2，其渐近线为x y =.在双曲线上取两点 A （b ，a b -）、B （a b +，b ）. 由图形，显然有1>ABk ，即1>-+--bb a ab b ，从而y x <.解法8 如图3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，BC=a ，AC=b ，BD=b ，则AB=b a +，DC=a b -. 在△ABD 中，AB-AD<BD ，即-+b a AD b <，从而-+b a AD-DC<-b DC ，即a b b b b a --<-+，故y x <.评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是：0,>b a 时，1a a b b >⇔>；0,<b a 时，1aa b b>⇔<.此题直接作差难以确定差与0的大小，解法3对y x ,的倒数作差再与0比较大小，使得问题顺利获解，反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题，构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得y x ,恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的（最起码在包含y x ,对应的自变量值的某区间上是单调的）.解法5与解法7分别构造函数与解几模型，将y x ,的大小关系问题转化成斜率问题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形，直观地使问题得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法.有人对此题作出如下解答：取,2,1==b a 则12112,23123+=-=+=-=y x，32+>10+>，.,121231y x <∴+<+可再取两组特殊值验证，都有y x <.故答案为y x <.图2图3从逻辑上讲，取2,1==b a ，得y x <.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证，都得y x <，也只能说明y x >或y x ≥作为答案是错误的，而不能说明y x <一定是正确的,因为这不能排除x y =的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改为选择题：已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 （ ）A 、y x >B 、y x ≥C 、y x =D 、y x <此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D ，并且方法简单，答案一定正确.总而言之，特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯一的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论，而不能直接肯定正确答案，因此，用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.当然，利用特殊值指明解题方向还是十分可取的.题2 设c b a >>N n ∈,，且11na b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为 （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5（第十一届高二第一试第7题） 解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+--⇔．mina c a c n ab bc --⎡⎤∴≤+⎢⎥--⎣⎦．而b a c a --+c b c a -- =b ac b b a --+-+b c a b b c -+--=2+b a c b --+c b b a --≥4，且当b ac b --=cb ba --，即bc a 2=+时取等号．mina c a c ab bc --⎡⎤∴+⎢⎥--⎣⎦4=．4n ∴≤．故选C ． 解法2 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，已知不等式化为()()()2a c n a b b c -≤--．由()()()()22242a c a c ab bc a b b c --≥=---+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()()4min2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---c b b a c a ，故由已知得4≤n ，选C ．解法3 由c b a >>，知0,0,0>->->-c a c b b a ，有()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11．又()()()[]()41111112=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c b b a c b b a c a ，即()411min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a ，由题意，4≤n ．故选C ．解法4 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ．∴已知不等式可变形为()()()2a c n a b b c -≤--．记()()()2a c k ab bc -=--，则()()[]()()()()[]()()4222=----≥---+-=c b b a c b b a c b b a c b b a k ．由题意，4≤n ．故选C ．解法5 c b a >>110,0.a b b c∴>>--于是 ()()ca cb b ac b b a -=-+-≥-+-4411．比较得4≤n ．故选C ． 评析 由已知，可得()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11恒成立．根据常识“若()a f x ≤恒成立，则()min x f a ≤；若()x f a ≥恒成立，则()max a f x ≥,”()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值就是所求n 的最大值，故问题转化为求()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值，上述各种解法都是围绕这一中心的，不过采用了不同的变形技巧，使用了不同的基本不等式而已．解法1运用了2,,b a a b R a b ++≥∈“”；解法2运用了”“22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab ；解法3运用了()”“411≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a b a ；解法4运用了()”“+∈≥+R b a ab b a ,2；解法5运用了()”“+∈+≥+R b a ba b a ,411．虽解法异彩纷呈，但却殊途同归．此题使我们联想到最新高中数学第二册（上）P 30第8题： 已知c b a >>，求证：0111>-+-+-ac c b b a ． 证：令()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．()22111111x y xya b b c c a x y x y xy x y ++∴++=+-=---++．0,0x y >>， 0111>-+-+-∴ac c b b a ． 此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了．运用这一思路，又可得本赛题如下解法：设()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．ca nc b b a -≥-+-11恒成立，就是y x ny x +≥+11恒成立．也就是()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤y x y x n 11恒成立．()411≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x 恒成立， ∴由题意得4≤n ．故选C ．再看一个运用这一思想解题的例子．例 设+∈R c b a ,,，求证：2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++． （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）证明 设,,,z b a y a c x c b =+=+=+则()()0,,21>++=++z y x z y x c b a ． ()()()02222≥+-=++-+y x xy bx ay y x b a y b x a，()222a b a b x y x y+∴+≥+ ①，()()()()222222222a b a b c a b c a b c c a b c x y z x y z x y z a b c +++++++∴++≥+≥==+++++,即 2222c b a z c y b x a ++≥++，2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++∴． 本赛题还可直接由下面的命题得解．命题 若021>>>>n a a a ，则()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+--12132211111 ． 证明 021>>>>n a a a ，n n a a a a a a ---∴-13221,,, 都大于0．反复运用①式，可得: “若,(1,2,,)i i x y R i n +∈=,则22111n i ni i ni iii x x y y ===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑,当且仅当1212nnx x x y y y ===时取等号”.故有()()22122311223111111111n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a --+++-+++≥=----+-++--． 也可以这样证明：021>>>>n a a a ，12231,,,0n n a a a a a a -∴--->．故由柯西不等式，得()()()1223112231111()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++-+-++-⎡⎤⎣⎦---()()211111n -≥+++个()21n =-，即()()21132211)111(-≥--++-+--n a a a a a a a a n nn ．01>-n a a ，()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+-∴-12132211111 ． 由此可得本赛题的如下解法：c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，()ca cb b ac b b a -=-+-+≥-+-∴411112．由 题意，4≤n ．故选C ．由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设12320002001a a a a a >>>>>，并且122320002001111m a a a a a a =+++---，200116104a a n -⨯=，则m 与n 的大小关系是 ( ) A 、n m < B 、n m > C 、n m ≥ D 、n m ≤ 解12320002001a a a a a >>>>>，2001162001121042000a a a a m -⨯=-≥∴．故选C ． 题3 设实数y x n m ,,,满足a n m =+22，b y x =+22，则ny mx +的最大值为 ( )A 、21()b a +B 、2122b a + C 、222b a + D 、ab（第十一届高二培训题第5题）解法1 设,sin ,cos ααa n a m ==,sin ,cos ββb y b x ==则,)cos(sin sin cos cos ab ab ab ab ny mx ≤-=+=+βαβαβα即)(ny mx +max =ab .故选D ．解法2 b n a b m a b a n m =+⇒=+2222,又b y x =+22,+=+∴mx abny mx a b )( ≤ny ab 2222()()2b m n x y a +++==.2b b a a b =+⋅nymx +∴,ab ab b =≤x =,y =即my nx =时取等号，max )ny mx +∴（.ab = 解法3 2222222222222()2mx ny m x mxny n y m x m y n x n y +=++≤+++()()2222,m n x y ab =++=mx ny ∴+≤当且仅当my nx =时取等号，故()max mx ny +=.解法4 设()(),,,,p m n q x y →→==则cos ,p q p q p q θ→→→→→→⋅=⋅⋅≤⋅222,p q p q →→→→∴⋅≤⋅()()222mx ny m n+≤+即()22,xyab +=当且仅当,p q →→共线，即my nx =时取等号，故()max mx ny +=.解法5 若设mx ny k +=，则直线mx ny k +=与圆22x y b +=有公共点，于是≤()max k mx ny mx ny =+≤∴+=解法6 设12,z m ni z x yi =+=-,则()()()()12,z z m ni x yi mx ny nx my i =+⋅-=++-∴1212,z z mx ny mx ny mx ny z z ⋅=≥=+≥+∴+≤12z z =⋅==当且仅当my nx=时取等号，故()max mx ny +=．解法7 构造函数()()()222222f X m nXmx ny X x y =+++++，则()()()220.f X mX x nX y =+++≥故()()()2222244mx ny m nxy ∆=+-++()2440,mx ny ab =+-≤即()max mx ny mx ny +≤∴+.ab =解法8 由2222,m n a x y b +=+=还可构造图形（如图），其中90,ACB ADB ︒∠=∠=,AC=,BC =,,BD x AD y AB ===为圆的直径，由托勒密定理,AD BC BD AC ⋅+⋅2,AB CD AB =⋅≤得,x y b ⋅⋅≤，从而得mx ny +≤，当且仅当my nx =且0mx >时取等号．()max mx ny ∴+=评析 解法1抓住已知条件式的结构特征，运用三角代换法，合情合理，自然流畅，也是解决此类型问题的通法之一．解法2运用基本不等式222b a ab +≤将ny mx +放大为关于22n m +与22y x +的式子，再利用条件求出最大值．值得注意的是，稍不注意，就会得出下面的错误解法：()()()22222222max ,22222m n x y m x n y a b a bmx ny mx ny ++++++++≤+==∴+=．故选A ．错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到．上述不等式取等号的条件是x a =①且y b =②，而若①，②式同时取得，则2222m n x y +=+，即,a b =这与题设矛盾！即当a b ≠时，mx ny +取不到2a b+．解法2是避免这种错误的有效方法． 由于向量与复数的模的平方是平方和形式，与已知形式一致，故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法，新颖而简洁．解法5设k ny mx =+后，将其看作动直线，利用该直线与定圆b y x =+22有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，得ab ny mx k ≤+=，充分体现了等价转化的解题功能．解法7运用的是构造函数法．为什么构造函数()()()2222f X m n X mx ny X =+++2x +2y +呢？主要基于两点：①()f X 为非负式（值大于等于0），②由于()0≥X f ，故有0≤∆，而∆沟通了已知与未知的关系，故使问题得到解决．解法8抓住已知两条件式的特征，构造了两个有公共边的直角三角形，利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解，充分揭示了这一代数问题的几何背景．拓展 此题可作如下推广 若2222221212,,n n a a a p b b b q +++=+++=则()1122max n n a b a b a b +++=()1,2,,i i b i n ==时取得最大值）.证明 2222221212n n q q q a a a p a a a p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⇒+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.q =1122a b a b ∴+++1122n n n n qa bb b a b p⎫=⋅⋅++⋅⎪⎪⎭≤a p ⎝+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=(),22222222122221pq q p p q q p b b b a a a pq q p n n=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++ 当且仅当()().,,2,1max 2211pq b a b a b a n i b a pqn n i i =+++∴== 时取等号，本推广实际就是由著名的Cauchy （柯西）不等式()()()222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++⋅+++≤+++ （当且仅当nn b a b a b a === 2211时取等号）直接得到的一个结论． 推广有十分广泛的应用，现举一例： 例已知123,,,,,,234,8.a b c x y z Ra b c x y z+∈++=++=且最大值． 解2221232344,8a b c x yz ++=⇒++=++=22⇒+2+＝8=≤====即12ax by cz ===时取等号．max∴=.24题4 对于1≤m 的一切实数m ，使不等式221(1)x m x ->-都成立的实数x 的取值范围是＿＿＿＿（第十三届高二培训题第63题）解法1 题设等价于⎪⎩⎪⎨⎧--<>-1120122x x m x 或⎪⎩⎪⎨⎧--><-1120122x x m x 或⎩⎨⎧>-=-012012x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧--<>-11210122x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-->-<-11210122x x x 或⎩⎨⎧>-=-012012x x ,所以21<<x 或113<<-x 或1=x ，即)2,13(-∈x . 解法2 已知不等式即()()01212<---x m x ，令()()121)(2---=x m x m f ，则当012≠-x ，即1±≠x 时，)(m f 是m 的一次函数，因为1≤m ，即11≤≤-m 时不等式恒成立，所以)(m f 在[]1,1-上的图象恒在m 轴的下方，故有⎩⎨⎧<+--=<+-+-=-0121)1(0121)1(22x x f x x f ，即⎩⎨⎧<->-+0202222x x x x ，解得213<<-x )1(≠x . 又当1=x 时，1)(-=m f ，适合题意，当1-=x 时，()3f m =不合题意. 故x 的取值范围是213<<-x .评析 解决本题的关键是如何根据条件构建关于x 的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法，为了达到分离参数的目的，又对12-x 分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于x 的不等式组，从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度，把已知不等式看成关于m 的不等式，从而将原问题转化为函数()()121)(2---=x m x m f 在[]1,1-上的图象恒在m 轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法，使得此题的解决显得既简捷，又直观易懂.题5 当0x a <<时,不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立,则a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题)解法 1 当0x a <<时, 2≥-+-x a x x x a ①,又有2)()(2222≥-+-x a x x x a ②, ②+①×2,得6)(222222≥--+-x a x ax x x a ,6)()(122222≥---+-x a x a a x a ,8)(2222≥-+x a a x a ,即2228)(11a x a x ≥-+.由282≥a ,得02a <≤,2max =∴a . 解法2 2222)11()11()(112x a x x a x x a x--+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ , 又 =-+x a x 11 +a 4 (1a 2)x a x x x a ---, 222)4()(112a x a x≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∴, 即2228)(11a x a x ≥-+, 当且仅当x a x x x a -=- 且 x a x -=11, 即 2ax = 时取等号. 2)(1122≥-+x a x 恒成立, ∴282,02a a ≥<≤. 于是2max =a . 解法 3 原不等式等价于12)(1122≥-+x a x ,由 0x a <<,可知10,x >10a x >-. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需1)(2≥-+x a x , 即2≤a 即可,故02a <≤, 于是2max =a .解法 422)(11x a x -+2≥ 即 2)(112222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++x x a x x ①成立，又2122≥+x x恒成立， ∴a 只要满足22)(1x x a --0≥②就能使①恒成立.由②式，得2x 2)(x a -1≤，1)(≤-x a x ，012≤-+-ax x ③.由于对称轴),0(2a ax ∈=，由二次函数的性质，当),0(a x ∈时，要③式恒成立，则24002a a ∆=-≤∴<≤ 2max =∴a .解法5 设αα22sin ,cos =-=ax a a x （0x a <<），则22)(11x a x -+=α42cos 1a +α42sin 1a ==+⋅αααα44442cos sin cos sin 1a =-⋅αα2sin 1612sin 2111422aαα2sin 2sin 28422-⋅a . )22(sin 2+αα2(sin 2－1）0≤，即2－αα2sin 2sin 42≥，则αα2sin 2sin 242-1≥)12sin (2时取等号当=α，于是2228)(11a x a x ≥-+，由已知，得282,02,a a≥∴<≤2max =∴a . 解法6 设11,(0,0),X Y X Y x a x==>>-则 222X Y +≥表示在XOY 坐标系第一象限内以原点为圆心，2为半径的圆及其外部.由11,,X Y x a x==-得,aXY X Y =+又aXY X Y =+,4,22aXY XY ≥∴≥它表示双曲线24aXY =位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意，双曲线2224(0)200XY X X Y X Y a =>+=>>与圆弧（，）相切或相离，从而282≥a ，即02a <≤2max =∴a .解法7 运用结论“如果),,2,1(,n i R y x i i =∈+，则≥+++nn y x y x y x 2222121),()(21221*++++++n n y y y x x x 当且仅当k y x y x y x n n ==== 2211（常数）时取等号.” 0x a <<，∴0.a x ->由柯西不等式，有22222)11())(11)(11(x a x x a x -+≥-++①，由)(*得x a x -+11a 4≥②.故,)4())(11(2222a x a x ≥-+得2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当2ax =时取等号，由282≥a，得02a <≤ 2max =∴a . O2 xO解法8 运用结论“212122311111(1),,n n n nn a a a a a a a a a a a -->>>+++≥----若则当且仅当n a a a ,,,21 成等差数列时取等号.”2222111122()(0)()x a x x a x ⎡⎤⎡⎤+=+≥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦2110x a x ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭222160)13(a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≥.∴2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当x a x -=，即2a x =时取等号.令282≥a，得02a <≤ 2max =∴a . 评析2)(1122≥-+x a x 恒成立，∴2)(11min 22≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x a x.故问题的实质就是求22)(11x a x -+的最小值（关于a 的式子）大于等于2的解.因而在0x a <<的条件下，如何求22)(11x a x -+的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换，解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参（a ）一元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论（读者可自己证明），各种解法异彩纷呈，都值得细细品味.拓展 此题可作如下推广：推广1 若1210n x x x a -<<<<<，则≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n ，当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.证明 由已知，1210n x x x a -<<<<<，则12x x -0>，23x x -0>，, 1--n x a 0>.根据柯西不等式及解法7运用的不等式（*）,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x n ≥21211111n x x x a x -⎛⎫+++≥ ⎪--⎝⎭2242,n n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭故≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n . 当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.推广2 若1210n x x x a -<<<<<，,),,,2,1(++∈=∈N k n i R b i 则++kk x b 111kk n k n k n k k a b b b x a b x x b 121111212)()()(+-+++++≥-++- ，当且仅当∑==ni ii i b ab a 1时取等号. 证明 不妨设112211,,,--=-==n n x a a x x a x a ，=M ,)(11+=∑k ni i b 由已知得i a 0>且),,2,1(n i =,1a a ni i =∑=令a a c i i =，则∑=ni i c 1=111=∑=ni i a a .由均值不等式，++k i k i c b 1≥+++个k i i i Mc Mc Mc ,)1(11+++k k ik b M k 即k ik i c b1+k n i b b b k kMc ))(1(21++++≥+ i b ⋅，则11111(1)()k nn n k i i i k i i i i b kM c k b c ++===+≥+∴∑∑∑1111()k n n k i i k i i i b b c ++==≥∑∑，即11k nki k i ib a a +=≥∑11()n k i i b +=∑，11111()nk k i ni i k k ni ii i b b a a ++===≥⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑，当且仅当=i a ∑∑∑====⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n i i i i n i i n i i b ab b b a 111时取等号. ∴++kk x b 111++kk x b 212kn kn x a b )(1--+ k k n a b b b 121)(++++≥ . 题6 已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0,log sin πθθx x f ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos sin θθf a ， ()θθcos sin ⋅=fb ，⎪⎭⎫⎝⎛+=θθθcos sin 2sin f c ，那么c b a 、、的大小关系是 （ ）A 、b c a ≤≤B 、a c b ≤≤C 、a b c ≤≤D 、c b a ≤≤（第八届高二第一试第10题） 解法1 设p =θsin ，q =θcos .pq qp ≥+2，而()x f 是减函数，()pq fq p f ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴2，即b a ≤.2qp pq +≤ ，()2pq q p pq +≤∴，pq qp pq≤+2.()pq fq p pq f ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∴2，即b c ≥.故c b a ≤≤.选D.解法2 由题意，令6πθ=，则21sin =θ，cos 2θ=，4312cos sin +=+θθ ，23cos sin 4=θθ，233cos sin cos sin 2cos sin 2sin -=+=+θθθθθθθ，()1,021sin ∈=θ ，()x f ∴是减函数，又233234314->>+，()⎪⎭⎫⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴θθθθθθθcos sin 2sin cos sin 2cos sin f f f ，即c b a <<.故选D.评析 这是一个比较函数值大小的问题，通常利用函数的单调性.若函数()x f 单调递增（减），则当21x x <时，()()()()()2121x f x f x f x f ><，当21x x >时，()()21x f x f >()()()21x f x f <.因此解决问题的关键有两个：一是确定函数的单调性，二是确定自变量的大小关系.解法1就是这样解决问题的.因为正确答案应对一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ都正确，故又可以运用特殊值法.对⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内的某个角不正确的选择支都是错误的，由正确选择支的唯一性，也可选出正确答案.解法2便是取特殊值6πθ=，排除了A 、B 、C 、而选D 的.当然，此题也可用作差比较法来解：⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ ，()1,0sin ∈∴θ，()x f ∴是单调减函数，0sin >θ，0cos >θ.=⋅-+=-∴θθθθθθcos sin log 2cos sin log sin sin b a01log cos sin 2cos sin log sin sin =≤⋅+θθθθθθ，b a ≤∴.又-⋅=-θθθcos sin log sin c b 01log cos sin 2cos sin log cos sin cos sin 2cos sin log cos sin 2sin log sin sin sin sin =≤+=+⋅=+θθθθθθθθθθθθθθθθθ，即c b ≤，c b a ≤≤∴.选D.题7 已知21=a ，不等式49321log <⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a的解是 . （第三届高二第二试第13题）解 原不等式即2log 32321-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛-x a. 指数函数x⎪⎭⎫⎝⎛32是减函数，21=a ，∴原不等式化为2log121->-x ，即22121121loglog-⎪⎪⎭⎫⎝⎛->x .又 对数函数logx 是减函数，2211-⎪⎭⎫⎝⎛<-∴x ，即21<-x ，解得31<<-x . 对数函数121log-x 的定义域是1≠x 的实数，∴原不等式的解是11<<-x 或31<<x .评析 此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本方法是同底法，即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式，然后根据底数所属区间是()1,0或()+∞,1，确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性，再去掉底数或对数符号，转化成别的不等式.主要依据如下：⑴若01a <<,则()()()()f x g x a af xg x <⇔>；⑵若1a >,则()()()()f x g x aaf xg x <⇔<； ⑶若01a <<,则()()()()log log 0f x g x a af xg x <⇔>>；⑷若1a >,则()()()()log log 0f x g x aaf xg x <⇔<<.有时需要将常数化为指数式或对数式，其化法如下： ⑴ac ca log =（,0,0>>c a 且1≠c ）；（化为指数式）⑵log ac a c =（,0>c 且1≠c ）.（化为对数式） 例如，23log 32=将常数2化为3为底的指数式，233log 2=将常数2化为3为底的对数式.解指数不等式不需检验，但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义，这点常被忽略.若一个指数不等式的指数部分是对数式，常常采用取对数法求解. 例 不等式()x x x>lg的解集是 .（第十一届高二培训题第40题）解 两边取常用对数，得()x xlg lg2>，即0lg ,0lg 4lg ,0lg lg 4122<>->-x x x x x 或10,4lg <<∴>x x 或410>x .故所求解集是()()+∞,101,04 .应当指出，两边取对数后，不等号的方向变不变，关键看取的是什么底数.如果底数大于1，则不等号方向不变，如果底数大于0且小于1，则不等号方向改变.关于绝对值不等式，主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记（a 为常数）.⑴()0≤<a a x 的解集是φ； ⑵()0><a a x 的解集是()a a ,-； ⑶()0<>a a x 的解集是R ；⑷()0x a a >>的解集是()()+∞-∞-,,a a . 下列题目供练习： ⑴已知常数⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，则不等式()()8103cot tan 2--->x x x θθ的解集是 .（第八届高二第一试第16题）⑵若函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222log log x x x f 的定义域是不等式211222log 7log 30x x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭的解集，则()x f 的最小值= ；最大值= .（第十届高二第一试第23题）⑶不等式22222log 2log x x x x x x ++>的解集是 .（第九届高二培训题第23题）⑷不等式1323>--x 的解是 （ ）（A ）6>x 或232<≤x （B ）6>x 或2<x （C ）6>x （D ）2<x答案 ⑴(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-1374,52, ⑵43 ；2 ⑶⎪⎭⎫⎝⎛2,21 ⑷A题8 不等式t x x +≥-21 的解集是∅ ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 .(第一届高二第一试第18题)解法1 由t x x +=-21两边平方并整理得012222=-++t tx x ,此方程无实根,故()084184222<+-=--=∆t t t ,22>t .又0>t ,2>∴t .故填()+∞,2.解法2 作出函数21x y -=的图象(即图中的半圆)及函数t x y +=的图象(即图中斜率为1的直线系).由题意,直线应在半圆的上方,由图象可知直线t x y +=在y 轴上的截距2>t .故填()+∞,2.解法3 由012≥-x ,得11≤≤-x .故设θcos =x ,[]πθ,0∈,则已知不等式就是t +≥θθcos sin ,即θθcos sin -≤t .⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-4sin 2cos sin πθθθ ,又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,44πππθ,()sin cos [1θθ∴-∈-.由题意得2>t . 故填()+∞,2.评析 这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.解法1﹑2﹑3分别运用方程思想﹑数形结合思想﹑化归转换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.解法2揭示了本题的几何背景.解法3的依据是:不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21恒成立.有人认为不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21有解,这种观点是错误的.事实上,21=t 时,不等式x x t -->21就有解(比如53=x 就是其一个解),而21=t 时,不等式t x x +≥-21即2112+≥-x x 的解集却不是∅ (比如0就是它的一个解).拓展 通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的 结论 已知t 为参数, ()f x 的值域是[],a b . (1) 若()t f x ≤恒成立,则t a ≤. (2) 若()t f x ≥恒成立,则t b ≥. (3) 若()t f x ≤的解集是∅,则t b >. (4) 若()t f x ≥的解集是∅,则t a <.(5) 若()t f x ≤有解,则t b ≤. (6) 若()t f x ≥有解,则t a ≥.若将()f x 的值域改为[),a b 、(],a b 、(),a b 等，也会有相应的结论，限于篇幅，不再一一列出．根据这一结论，请回答下列问题：1.t +的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ． 2.t +的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ． 3.t +有解，则实数t 的取值范围是 ． 4.t +有解，则实数t 的取值范围是 ． 5.t >+恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 6.t +恒成立，则实数t 的取值范围是 ．答案 1. ()2,+∞2.(,-∞3.)⎡+∞⎣4.(],2-∞5.(,-∞6.()2,+∞题9 不等式03422≥+---x x x 的解集是 （ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-255,253 C 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-,255253,D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-253,255 （第十三届高二第二试第8题）解法 1 当0342≥+-x x ，即1≤x 或3≥x 时，原不等式就是,03422≥-+--x x x 即0552≤+-x x ，解得2553.255255+≤≤∴+≤≤-x x . 当2430,13x x x -+<即<<时，原不等式就是，03422≥+-+-x x x 即，0132≥+-x x 解得253-≤x 或35353x x ++≥∴≤<，. 综上，所求解集为3555,33,,22⎡⎫⎡⎤++⎪⎢⎢⎥⎪⎣⎭⎣⎦即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253.故选A. 解法2 如图，作函数2-=x y 和342+-=x x y 的图象.要求的解集就是21y y ≥，即1y 在2y 上方时x 的区间，即图中线段AB 上的点所对应的横坐标所组成的区间[]B A x x ,.又(),1234222--=+-=x x x y 当32<<x 时，().2122--=x y 由()2212-=--x x 可解得253+=A x .当3>x 时，(),1222--=x y 由()2122-=--x x 可解得255+=Bx ，∴所求不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253，故选A. 解法 3 同解法2画出图形后，可知解集为一个闭区间[]b a ,，且()3,2∈a ，对照 选择支.可知选A.解法4 当5.1=x 时，03422<+---x x x 时，故1.5不是原不等式的解，从而排除含1.5的B 、C 、D ，故选A.评析 解含绝对值的不等式，一般是先去掉绝对值符号，然后再求解.解法1正是运用分类讨论思想这样解决问题的，也是一种通法.我们知道，方程()()x g x f =的解就是函数()x f y =与()x g y =的图象交点的横坐标；若图象无交点，则方程无解.而不等式()()x g x f >的解集则是函数()x f y =的图象在()x g y =的图象上方部分的点的横坐标的集合；若()x f y =的图象都不在()x g y =的图象的上方，则不等式无解.解法2正是运用这种数形结合思想解决问题的.许多超越不等式的近似解或解的所属范围也都运用此法解决.选择题的正确答案就在选择支中，只是要求我们把它选出来而已.因此,不是非要求出答案再对照选择支选择答案不可的.基于此，解法3运用估算的方法选出了正确答案(注意：估算能力是1 3A B高考明确要求要考查的能力之一).而解法4则运用特殊值排除了干扰支，进而选出了正确答案.类似这种不等式（方程）的解集是什么的选择题几乎都可用这种方法解，而且十分方便.值得注意的是，特殊值只能否定错误结论，根据正确选择支的唯一性才能肯定正确答案.另外，如何选取特殊值也是很有讲究的，读者可在解题实践中体会并加以总结.题10 不等式199920003224>-+-x x 的解集是 . （第十一届高二培训题第41题）解 设y=x x -+-3224 ，由⎩⎨⎧≥-≥-03024x x ，得定义域为[21，3]. 1999200010,106144410)3)(24(4)3(42422>≥∴≥-+-+=--+-+-=y x x x x x x y 即原不等式在定义域内恒成立，故所求解集为[21，3]. 评析 解无理不等式，通常是通过乘方去掉根号，化为有理不等式后再解.但从此题中不等式右边的数可以想象该有多么复杂，若将题目改为“276.571623.93224+>-+-πx x 的解集是 ”，还会有谁想通过平方化为有理不等式去解呢？显然，常规方法已难以解决问题，怎么办呢？考虑到不等式中的x ∈[21，3]，从而左边1999200010>≥，故解集就是定义域，这就启示我们，当常规思维受阻或难以奏效时，就应积极开展非常规思维，另辟蹊径，寻求解决问题的新方法.拓展 根据上面的分析，并加以拓广，我们可得结论 设a,b,c 是常数，若[,],()[,],()[,]x a b f x m n g x p q ∈∈∈,则当m c >时,不等式()f x c >的解集是[,],()a b f x c ≤的解集是φ；当n c <时, 不等式()f x c ≥的解集是φ,()f x c <的解集是[,]a b ;当n p >时, 不等式()()f x g x ≥的解集是φ, ()()f x g x <的解集是[,]a b ;当m q >时，不等式()()f x g x >的解集是[,]a b ，()()f x g x ≤的解集是φ.根据这一结论，不难求得下列不等式的解集：1、 2sinx+3cosx>4;2、 322163-->-x x ;3、 x x x -<-+-433)1(log 4;4、 sinx-cosx<32+x .答案：1、φ 2、[2，+∞) 3、φ 4、R。

高一希望杯试题及答案一、填空题1. 在中国古代，科举制度是选拔官员的主要方式之一。

科举制度的产生和发展始于______，终于______。

2. 《论语》是______的一部重要著作，记录了他的思想和言行。

3. 在《红楼梦》中，被封建家庭束缚的主要是______、______和______。

4. “中国梦”是习近平总书记提出的，其核心内容是要实现中华民族伟大复兴，使人民______、国家______、中华民族______。

5. 新中国成立后，我国政府开展了“反右倾”斗争，导致了一系列右派知识分子的______。

二、选择题1. 下列关于唐代的描述，不正确的是（）。

A. 唐代是我国古代诗歌发展的鼎盛时期B. 唐代是我国最辉煌的诗词创作时期C. 唐皇开元之治使得国力繁荣昌盛D. 唐代末期发生了安史之乱，给国家带来巨大破坏2. 下列关于李白的评价，不准确的是（）。

A. 李白是唐代伟大的浪漫主义诗人B. 李白的诗歌构思奇特，豪放激烈C. 李白的诗歌选材广泛，内容丰富多样D. 李白的诗歌语言简洁，意境深远3. 下列关于道教的说法，不正确的是（）。

A. 道教始于春秋战国时期B. 道教主张追求长生和超脱凡尘的境界C. 道经《道德经》是道教的重要经典之一D. 道教信奉多神，崇拜自然4. 下列关于《红楼梦》的描述，不正确的是（）。

A. 《红楼梦》是清代作家曹雪芹创作的长篇小说B. 《红楼梦》反映了封建家庭的衰落和封建道德的沦丧C. 《红楼梦》通过对贾、史、王、薛四个家族的描写，反映了当时社会的方方面面D. 《红楼梦》中的角色形象栩栩如生，人物性格各异，深入人心5. 下列哪位不是新文化运动的代表人物（）。

A. 鲁迅B. 胡适C. 王国维D. 郭沫若三、简答题1. 请简述中国古代科举制度的由来和发展。

2. 简述孔子的主要思想和他倡导的道德规范。

3. 简述《红楼梦》中的贾宝玉、林黛玉和薛宝钗的命运和性格特点。

4. 简述“中国梦”的核心内容和目标。

第十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一 第1试一．选择题1． 已知}3|{},4|{2<=>=x x N x x M ，则下列等式中正确的是---------------------------（ ） (A))}2|{-≥=x x N M (B)R N M = (C)}3|{<=x x N M (D)R N M =2．设x x g -=1)(，且当1≠x 时，x x x g f -=1)]([，则)21(f 等于-------------------------（ ） (A)2 (B)1 (C)31 (D)0 3．设)()(),()(,3)()(),5()(4321x f x f x f x f x f x f x f x f --=-=-=+=，则下列表述中正确的是---------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）(A))(1x f 的图象是由)(x f 的图象往右平移5个单位得到(B))(2x f 的图象是由)(x f 的图象往上平移3个单位得到(C))(3x f 是偶函数(D))(4x f 的图象是将)(x f 的图象绕原点旋转180得到4．已知x x x f 2001)(2-=，若n m n f m f ≠=),()(，则)(n m f +等于-------------------（ ） (A)2001 (B)2001- (C)0 (D)1000.55．已知数列}{n a 满足11,211+-==+n n a a a ，则2001a 等于-------------------------------------（ ） (A)23- (B)31- (C)1 (D)2 6．命题:P 有些三角形是直角三角形，则命题P 为-------------------------------------------------（ ）(A)有些三角形不是直角三角形 (B)有些三角形是锐角或钝角三角形(C)所有三角形都不是直角三角形 (D)不是三角形就不是直角三角形7．Let f be a function such that )()()(y f x f y x f ⋅=+ for any real numbers x and y. If161)1(=f ,then the value of )1(-f is--------------------------------------------------------------------（ ） (A)16 (B)161 (C)161- (D)16- 8．设)sin(cos )(),cos(sin )(x xg x x f ==，则（ ）(A))(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数 (B) )(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数(C) )(x f 为偶函数，)(x g 为偶函数 (D) )(x f 为奇函数，)(x g 为奇函数9．已知集合}032|{},0)152(log |{2223≤--=>--=a ax x x B x x x A ，若∅≠B A ，则实数a 的取值范围是（ ） (A))0,34(- (B)),34()4,(+∞--∞ (C)),2()34,(+∞--∞ (D)),2()0,34(+∞- 10．在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）(A)若向量),(y x =，向量),(x y -=，则⊥(B)四边形ABCD 是菱形的充要条件是=且||||=(C)点G 是ABC ∆的重心，则0=++(D) ABC ∆中，和的夹角等于A - 180二、A 组填空题11．公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+成立的条件是_________________________. 12．若2523παπ<<，且32sin =α，则α2在第_____________象限. 13．函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+-≥+=1,111,1x x x x y 的反函数是_______________________________. 14．已知数列}{n a 中，131+=+n n n a a a ，且719=a ，则=2002a _____________. 15．不等式x x x 13512≤+的解集为________________________________.16．已知函数5)3(42)(2+-+=x a ax x f 是在区间)3,(-∞上的减函数，则a 的取值范围是________________________.17．在ABC ∆中，AB CH S AB ABC ⊥==∆,22,3于H ，HB AH 2=，则与B ∠的两边相切且圆心在CH 上的圆的半径等于___________________.18．使不等式22115+>-+x x x 成立的x 的正整数值是__________________. 19．Let a and b the two real roots of the quadratic equation 0)43()1(22=+++--k k x k x ,where k is some real number. The largest possible value of 22b a + is ________________________.20．用)(n S 表示自然数n 的数字和，例如18909)909(,101)10(=++==+=S S ，若对任何N n ∈，都有x n S n ≠+)(，满足这个条件的最大的两位数x 的值是_______________.三、B 组填空题21．若等比数列}{n a 是递增数列，则首项1a 及公比q 应满足的条件是_______________.22．函数)1,0()(≠>=a a a x f x 在区间]2,1[上的最大值比最小值大3a ，则=a ________. 23．已知函数R x x x x f y ∈++-==,182)(2，对于R t ∈，在区间]2,[+t t 上，将函数)(x f 的最大值表示为t 的函数)(t g ，则=)(t g ________________________.24．设函数x y 6.03-=与函数x y 6.0=的图象交于点),(111y x P ，对任意N n ∈且1>n ，将过点)3,0(和点)0,(1-n x 的直线与直线x y 6.0=的交点的坐标记为),(n n n y x P ，则点321,,P P P 的坐标依次为__________________________________，点2002P 的坐标为_______.25．若抛物线c bx ax y ++=2过点)4,0(-，且与直线x y =的交点A 、B 关于直线x y -=对称，又24||=AB ，则=a _________，=b ___________，=c _________________.。

希望杯高中组试题及答案一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列哪项是光合作用的主要产物？A. 氧气B. 二氧化碳C. 水D. 葡萄糖答案：D2. 欧姆定律描述了电压、电流和电阻之间的关系，其公式为：A. V = IRB. V = RIC. I = VRD. I = R/V答案：A3. 地球的大气层中，最外层的层是：A. 对流层B. 平流层C. 热层D. 电离层答案：C4. 在数学中，一个数的平方根是：A. 一个数的两倍B. 一个数的一半C. 一个数的倒数D. 一个数的相反数答案：C5. 以下哪个选项是描述细胞核功能的？A. 细胞核是细胞的能量工厂B. 细胞核是细胞的控制中心C. 细胞核是细胞的废物处理中心D. 细胞核是细胞的保护屏障答案：B6. 以下哪项是描述DNA的？A. 双螺旋结构B. 单螺旋结构C. 线性结构D. 三螺旋结构答案：A7. 以下哪个选项是描述元素周期表的？A. 按照原子序数排列的元素列表B. 按照原子质量排列的元素列表C. 按照元素颜色排列的元素列表D. 按照元素的化学性质排列的元素列表答案：A8. 以下哪个选项是描述牛顿第一定律的？A. 物体在没有外力作用下会保持静止或匀速直线运动B. 物体在受到外力作用下会加速C. 物体在受到外力作用下会减速D. 物体在没有外力作用下会不断加速答案：A9. 以下哪个选项是描述生态系统中能量流动的？A. 能量在生态系统中是循环的B. 能量在生态系统中是单向流动的C. 能量在生态系统中是双向流动的D. 能量在生态系统中是随机流动的答案：B10. 以下哪个选项是描述光的波粒二象性的？A. 光同时具有波动性和粒子性B. 光只具有波动性C. 光只具有粒子性D. 光既不是波也不是粒子答案：A二、填空题（每小题4分，共20分）1. 地球的自转周期是________小时。

答案：242. 牛顿的第二定律公式为________。

答案：F = ma3. 人体中最大的细胞是________。

橙子奥数工作室 教学档案 非卖品第三届“希望杯”全国数学邀请赛高一 第1试一、 选择题1、一一映射:f A B →的逆映射是A 、:fB A → B 、1:f B A −→C 、1:f f A B −→D 、1:f A B −→2 、定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时它的函数表达式为()322log 1y x x x =+++，那么，当0x <时，它的函数表达式为A 、()322log 1x x x −−+−+B 、()322log 1x x x −+−+C 、()322log 1x x x −+++D 、()322log 1x x x +++3、两条异面直线成角的取值集合为1M ，斜线与平面成角取值集合为2M ，二面角的平面角的取值集合为3M ．则有A 、123M M M =⊂B 、123M M M ⊂⊂C 、213M M M ⊂⊂D 、132M M M =⊂4、空间有四个不同的平面，则这四个平面能形成的交线条数是A 、1，2，3，4，5，6B 、0，1，2，3，4，5，6C 、0，1，3，4，5，6D 、0，1，2，3，5，65、α是第二象限的角，则3α的终边A 、不在第4 象限B 、不在第3 象限C 、不在第2 象限D 、不在第1 象限6、已知tan 0α> ，且sin cos 0αα+>， 那么角α的终边在A 、第1 象限B 、第2 象限C 、第3 象限D 、第4 象限7、(0,)2πα∈−，()lg cos sin x αα=，()lg sin cos y αα=，则有A 、x y >B 、x y <C 、 x ，y 的大小关系不定，与α值有关D 、x y =8、幂函数()n f x x =（n Z ∈）具有如下性质：()()()()22112111f f f f +−=+−−⎡⎤⎣⎦，则函数()f xA 、是奇函数B 、是偶函数C 、既是奇函数，又是偶函数D 、既不是奇函数，又不是偶函数9、正方体1111ABCD A B C D −中，体对角线1DB 所在的直线与侧面对角线11A C 所在的直线所成的角是A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°10、a 、b 是异面直线，直线c 与a 所成的角等于c 与b 所成的角，这样的直线cA 、有一条B 、不超过3 条C 、有无数多条D 、恰有1992 条二、填空题1、若0a >，0b >，且1,1a b ≠≠，已知lg lg x x a b a b x x =⋅的实根个数大于3，则()1992ab =_____．2、函数()2y f x =的定义域是（−1，1）．设函数()log 2x y f =的定义域为A ，则A ∩Z= _____．（其中Z 表示整数集合）3、A 、B 两点在平面α的同侧，在α上的射影分别为1A ，1B ．已知1||4AA =，1||1BB =， 11||3A B =，若点P α∈ ，则||||PA PB −的最大值是_____．4、菱形ABCD 中，∠A=60° ．AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别是E 、F 、G 、H ．以BD 为折痕把△ABD 折起，使EFGH 成一个正方形，这时二面角A −BD −C 的平面角的余弦值等于_____．5、若(3,2)αππ∈−−，22cos csc 1αα+=，则α的值是_____．6、(,22ππα∈−，sec tan x αα=−，sec tan y αα=+，若已知2x =，则y =_____．7、函数()10y y =≥的反函数是_____． 8、角α的终边在第2 象限或第3 象限，若tan αα=，则sin α=_____．9、正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，1AB 与1BC 的距离等于_____．10、cos 0cos1cos 2cos359cos360°+°+°++°+°="_____．。

第十届“希望杯”全国数学邀请赛高一（第一试）班级 姓名一、选择题1、已知1)1(+=-x x f ，则)12(+x f 等于------------------------（ ）（A ）x 2 （B ）12+x （C ）22+x （D ）32+x2、若}2log |{2x x x x -=∈，则有--------------------------------------（ ）（A ）12>>x x （B ）x x >>12 （C ）x x >>21 （D ）21x x >>3、已知222)(--=-x x x f ，0)(=a f ，则)(a f -等于------------------（ ）（A ）4--a （B ）―2 （C ）―4 （D ）a 2- 4、线段OA 、OB 、OC 不共面，∠AOB=∠BOC=∠COA=60º，OA=1，OB=2，OC=3，则ΔABC 是--------------------------------------------------------------------（ ）（A ）等边三角形（B ）不等边的等腰三角形 （C ）直角三角形 （D ）钝角三角形5、已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥=23 , )3lg(23 , lg )(x x x x x f ，若方程k x f =)(无实数解，则k 的取值范围是------------------------------------------------------------------（ ） （A ）)0,(-∞ （B ）)1,(-∞ （C ）)23lg ,(-∞ （D ）),23(lg +∞6、若︒<<︒<<1809020βα，βαcos )(sin =a ，βαsin )(cos =b ，βαcos )(cos =c ，则c b a ,,的大小顺序是--------------------------------------------------------（ ）（A ）b c a >> （B ）c b a >> （C ）c a b >> （D ）b a c >>7、函数)2(log )(2x x x f x -+=的定义域是------------------------------（ ）（A ）21<<-x （B ）20<<x（C ）10<<x 或21<<x（D ）0>x 且1≠x 8、函数αx x f =)(，)1,0()0,1( -∈x ，若不等式||)(x x f >成立，则在}2,1,32,31,0,32,1,2{---∈α的条件下，α可以取的值的个数是-------------------（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49、在矩形ABCD 中，AB=a ，AD=b 2，b a <，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，当∠CEB=90º时，二面角C-EF-B 的平面角的余弦值等于------------（ ）（A ）0 （B ）22b a （C ）22b a - （D ）ba - 10、lb a ,,是两两异面的直线，a 与b 所成的角是3π，l 与a 、l 与b 所成的角都是α，则α的取值范围是---------------------------------------------------------（ ） （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ 二、填空题11、函数)(a x f y -=与函数)(a x f y +-=的图象关于 对称。

橙子奥数工作室 教学档案 非卖品第十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一 第1试一．选择题1． 已知}3|{},4|{2<=>=x x N x x M ，则下列等式中正确的是---------------------------（ ） (A))}2|{−≥=x x N M ∪ (B)R N M =∩ (C)}3|{<=x x N M ∩ (D)R N M =∪2．设x x g −=1)(，且当1≠x 时，x x x g f −=1)]([，则)21(f 等于-------------------------（ ） (A)2 (B)1 (C)31 (D)0 3．设)()(),()(,3)()(),5()(4321x f x f x f x f x f x f x f x f −−=−=−=+=，则下列表述中正确的是---------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）(A))(1x f 的图象是由)(x f 的图象往右平移5个单位得到(B))(2x f 的图象是由)(x f 的图象往上平移3个单位得到(C))(3x f 是偶函数(D))(4x f 的图象是将)(x f 的图象绕原点旋转 180得到4．已知x x x f 2001)(2−=，若n m n f m f ≠=),()(，则)(n m f +等于-------------------（ ）(A)2001 (B)2001− (C)0 (D)1000.55．已知数列}{n a 满足11,211+−==+n n a a a ，则2001a 等于-------------------------------------（ ） (A)23− (B)31− (C)1 (D)2 6．命题:P 有些三角形是直角三角形，则命题P 为-------------------------------------------------（ ）(A)有些三角形不是直角三角形 (B)有些三角形是锐角或钝角三角形(C)所有三角形都不是直角三角形 (D)不是三角形就不是直角三角形7．Let f be a function such that )()()(y f x f y x f ⋅=+ for any real numbers x and y. If161)1(=f ,then the value of )1(−f is--------------------------------------------------------------------（ ） (A)16 (B)161 (C)161− (D)16− 8．设)sin(cos )(),cos(sin )(x xg x x f ==，则（ ）(A))(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数 (B) )(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数(C) )(x f 为偶函数，)(x g 为偶函数 (D) )(x f 为奇函数，)(x g 为奇函数9．已知集合}032|{},0)152(log |{2223≤−−=>−−=a ax x x B x x x A ，若∅≠B A ∩，则实数a 的取值范围是（ ） (A))0,34(− (B)),34()4,(+∞−−∞∪ (C)),2()34,(+∞−−∞∪ (D)),2()0,34(+∞−∪ 10．在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）(A)若向量),(y x =，向量),(x y −=，则⊥(B)四边形ABCD 是菱形的充要条件是DC AB =且||||AD AB =(C)点G 是ABC ∆的重心，则0=++(D) ABC ∆中，AB 和CA 的夹角等于A − 180二、A 组填空题11．公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅−+=+成立的条件是_________________________. 12．若2523παπ<<，且32sin =α，则α2在第_____________象限. 13．函数⎪⎩⎪⎨⎧−<+−≥+=1,111,1x x x x y 的反函数是_______________________________. 14．已知数列}{n a 中，131+=+n n n a a a ，且719=a ，则=2002a _____________. 15．不等式x x x 13512≤+的解集为________________________________.16．已知函数5)3(42)(2+−+=x a ax x f 是在区间)3,(−∞上的减函数，则a 的取值范围是________________________.17．在ABC ∆中，AB CH S AB ABC ⊥==∆,22,3于H ，HB AH 2=，则与B ∠的两边相切且圆心在CH 上的圆的半径等于___________________.18．使不等式22115+>−+x x x 成立的x 的正整数值是__________________. 19．Let a and b the two real roots of the quadratic equation 0)43()1(22=+++−−k k x k x ,where k is some real number. The largest possible value of22b a + is________________________. 20．用)(n S 表示自然数n 的数字和，例如18909)909(,101)10(=++==+=S S ，若对任何N n ∈，都有x n S n ≠+)(，满足这个条件的最大的两位数x 的值是_______________.三、B 组填空题21．若等比数列}{n a 是递增数列，则首项1a 及公比q 应满足的条件是_______________.22．函数)1,0()(≠>=a a a x f x 在区间]2,1[上的最大值比最小值大3a ，则=a ________. 23．已知函数R x x x x f y ∈++−==,182)(2，对于R t ∈，在区间]2,[+t t 上，将函数)(x f 的最大值表示为t 的函数)(t g ，则=)(t g ________________________.24．设函数x y 6.03−=与函数x y 6.0=的图象交于点),(111y x P ，对任意N n ∈且1>n ，将过点)3,0(和点)0,(1−n x 的直线与直线x y 6.0=的交点的坐标记为),(n n n y x P ，则点321,,P P P 的坐标依次为__________________________________，点2002P 的坐标为_______.25．若抛物线c bx ax y ++=2过点)4,0(−，且与直线x y =的交点A 、B 关于直线x y −=对称，又24||=AB ，则=a _________，=b ___________，=c _________________.。

橙子奥数工作室 教学档案 非卖品第九届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试一、选择题1、如图是函数c bx ax x f ++=2)(的图象，那么--（ ）（A ）0,0,0><<c b a （B ）0,0,0<>>c b a（C ）0,0,0>><c b a （D ）0,0,0>>>c b a2、某种菌类生长很快，长度每天增长1倍，在20天中长成4米，那么长成41米要--------------------------------（ ） （A ）411天 （B ）5天 （C ）16天 （D ）12天 3、函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若1)()(21=−x f x f ，则)()(2221x f x f −的值等于----------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）2 （B ）21 （C ）1 （D ）2log a 4、平面外一直线和这个平面所成的角为θ，则θ的范围是-------------------------（ ）（A ）0°<θ<180° （B ）0°<θ<90° （C ）0°<θ≤90° （D ）0°≤θ≤90°5、P 、Q 、R 、S 分别表示长方体集合、直平行六面体集合、直四棱柱集合、正四棱柱集合，它们之间的关系为-----------------------------------------------------------（ ）（A ）R ⊃Q ⊃P ⊃S （B ）R ⊃Q ⊃S ⊃P （C ）S ⊂P=Q ⊂R （D ）S ⊂R,P ⊂Q,R ⊆Q,Q ⊆R6、°=70log 21tg a ，°=25sin log 21b ，°=25cos )21(c ，则------------------------（ ） （A ）c b a << （B ）a c b << （C ）b c a << （D ）a b c <<7、)(x f 是定义域为R 的奇函数，方程0)(=x f 的解集为M ，且M 中有有限个元素，则----------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）M 可能是∅（B ）M 中元素的个数是偶数（C ）M 中元素的个数是奇数（D ）M 中元素的个数可以是偶数，也可以是奇数。

主题：2024年希望杯1-8年级培训题内容：1. 概述现代社会对于科学技术的发展和对于人才的需求越来越迫切，为了培养更多的科技人才，提高学生的科学素养和创新能力，世界各国都开展了相应的科技竞赛和培训活动。

而希望杯作为我国青少年科技创新大赛的重要组成部分，一直受到广大教师、学生和家长的关注和参与。

本文旨在介绍2024年希望杯1-8年级培训题的相关内容，帮助学生和教师更好地了解和参与这项活动。

2. 希望杯1-8年级培训题概况希望杯1-8年级培训题包括常规组和创新组两个部分。

常规组主要针对学科知识的考核，包括数学、物理、化学、生物和地理等学科内容；创新组则更注重学生的创新能力和实践能力，要求学生自主选择课题，并进行科学实验或工程设计等实践活动。

3. 常规组培训题内容（1）数学：要求学生掌握基本的数学运算和推理能力，考查范围包括整数、分数、小数、代数计算、几何图形等内容。

（2）物理：主要考察学生对物理基础知识的掌握程度，包括力学、热学、光学、电学等内容。

（3）化学：涉及化学元素、化合物、化学方程式、物质的性质和变化等内容。

（4）生物：主要包括生物基础知识、生物的结构和功能、生物的生长发育等内容。

（5）地理：主要考察地球的形状、地球的运动、自然环境和人文环境等相关知识。

4. 创新组培训题内容创新组的培训题内容更侧重学生的创新能力和实践能力。

学生可以根据自己的兴趣和特长选择课题，并进行科学实验或工程设计等实践活动。

培训题内容更注重学生的科学精神和创造力，鼓励学生积极探索和实践。

5. 参与培训的意义参与希望杯1-8年级培训的意义在于培养学生的综合素质和科学精神。

通过参与培训，学生可以提高自己的学科知识水平，锻炼自己的动手能力和创新能力，培养自己的团队合作精神和科学态度。

6. 结语2024年希望杯1-8年级培训题是一个重要的科技竞赛活动，对于学生和教师来说都是一个很好的机会。

希望通过本文的介绍，可以让更多的人了解和关注这项活动，积极参与其中，为培养更多的科技人才做出贡献。