电磁学4电势梯度电势能

二、电荷系的静电能 当系统由多个静止的电荷组成时,这些电荷之间 的静电相互作用能的总和称为该电荷系的静电能。
设两电荷相距无限远时的电势能为零。 定义: 电荷系统的静电能等于将系统中各电荷从现有 的位置到彼此分散到无限远的过程中, 它们之间的 静电力所作的功。 或等于将各电荷从无限远移动到现有位置过程 中，外力克服静电力作的功。
.
两个点电荷系统的静电能
q1q2 W A21 A12 q2V2 qV 1 1 4π r o
结论： 两个点电荷系统的静电能就是一个电荷在 另一个电荷的电场中的电势能！ 注意：(1)以上所设电荷系的两种形成过程所得的 结论一致。 即:系统的静电能与其形成过程无关。 (2) 相互作用能属于两点电荷构成的系统， 而不是仅属于某一个电荷，因此可将其 写成下列对称形式： W 1 (q1V1 q2V2) 2 这一结论可推广到多个点电荷构成的带电系统。
得证。
二、电势梯度矢量（ grad V ） 1.电势梯度 dn 设两等势面电势之差：dV E n P2 P1 两等势面间在P1点处 P2 的最短距离： dn V P1点处法线方向上的 V dV 单位矢量： n 指向电势升高的方向
定义： 电场中某点的电势沿法线方向的空间 变化率叫该点的电势梯度。（是一个矢量）
W 1 qVdq 2
球体内离球心为r处的电势为
V

R qr q e d r e d r E d r r r 3 2 r 4π R R 4π r r 0 0 Q 2 r 2) (3 R 8π 0R3
1.两个点电荷组成的系统的静电能。 设两点电荷q1、q2相距为r， 令q1静止,将q2从它现在的位置移到无限远。 q2 在此过程中q1的电场力对q2作功： q1 r A12 r F dr q2r E1 dr . q1 q1q2 q2r er dr 2 4π or 4π or q1 则 A12 q2V2 q1在q2点所产生的电势 V2 4π or 由定义可得两点电荷系统的静电能为 W12 A12 q2V2 如果令q2静止,将q1从它现在的位置移到无限远？ q q 1 2 同理可得 W21 A21 q1V1 4π or
O R

Q 1 1 dq W QVdq Q 2 4π 0R 2
2 Q Q dq Q 8π 0R 8π 0R
例28. 求一均匀带电球体的静电能。 已知球面半径为R，总电量为Q。 解: 均匀带电球体的场强分布为 qr E er （r R） 3 4π 0R q E er （r R） 2 4π 0r
VP
例24. 求均匀带电Q，半径为R的圆环轴线上任意 一点的场强。 解：根据点电荷电势叠加， r R P点的电势 . dq o P x x VP 4 o r Q Q 4 o R2 x 2
V 0 V 0 P点的电场： y z Qx E P E x V x 4 ( R2 x2 )3 2 o
2
r r r r l r r l cos p cos ql cos VP 2 4 o r 4 o r 2
p cos VP E V 2 4 o r
(2) 场强分布
y
P
r
r
q
r
x
r 2 x2 y2 x cos x2 y2
px
3 2 2
q 0 p ql
讨论
1o 若P点在 x 轴上, y = 0 4 o ( x 2 y ) 2p E Ex 3 4π o x p(2 x2 y2 ) VP 沿 x 正向 Ex 5 x 4 ( x2 y2 )2 o o 2 若P点在 y 轴上, x = 0 p 3 pxy VP E Ex Ey 3 5 y 4 ( x2 y2 )2 4π o y o 沿 x 负向
M p E
1o 0 cos 1 2o cos 0 2 3o cos 1 4o 3 cos 0 2
p
E
p
W pE 能量最低 稳定平衡态 W 0 F 0 M 0 非平衡态
W pE 能量最高 非稳定平衡态 W 0 F 0 M 0 非平衡态


（1）电场线与等势面处处正交; 证明：在某一等势面上任取a、b两点 一试探电荷 q0 在电场力的作用下
沿着该等势面上某一条曲线做功为
必有：E dl
b
a
c
d
A
b
a
q0 E dl q0 Va Vb 0
得证。
（2）电场线方向指向电势降低方向; 证明：沿着某一电场线方向取c、d两点 一点电荷 q0 在电场力的作用下沿着 电场线方向做功为
d V grad V n 定义式： dn
方向：与 n 同向
dV 大小： dn
（实际是该点电势在两等势面间的最大空间变化率）
2. 电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为：
E
P1
dn
n
P2
dA E dn V (V dV ) Edn dV
d V E n dn
E dV dn
V
V dV
grad V
即: E grad V 电场中某点的场强 E 等于该点电势梯度的负值
归纳
电场强度与电势的关系
d V 具体的做法是： E n dn E x V E y V E z V x z y 直角坐标系中：
两个点电荷系统的静电能 W 1 (q1V1 q2V2)
2
2.电荷系的静电能
设n个点电荷组成的电荷系,第i个电荷的电量为qi , qi所在处的电势为Vi, 则此电荷系的静电能为 n W 1 qV 2 i 1 i i
如果系统是一个电荷连续分布的带电体,可将其 看成由无限多个电荷元组成, 则系统的静电能
p
E
F 0 M 0
动画
E
F 0 M 0
动画
p
E
p
E
p
E
当电偶极子从 ，转动到 0方位时， 电场力矩作功 A>0, 电势能的改变量为：
W W末 W初 pE pE 2 pE < 0
即：电场力作正功，以电势能的减少为代价
例23. 求电偶极子在远场的: (1)电势分布; (2)场强分布。 解：(1) 电势分布
P
VP V V r q q r r 4 o r 4 o r q( r r ) q q 4 o r r p ql
在离电偶极子较远的点:
Q dx dW Vdq 4 π o x
棒上所有电荷的电势能:
W
al a
Q a l Q ln dx 4π o a 4π o x
例26. 求一电偶极子 p ql 在均匀电场E中的
电势能。 解：两电荷的电势能分别是：
W qV
W qV
pdq的所有电荷在dq处电势 的总和，而积分是对该带电体上所有电荷积分。
例27. 求一均匀带电球面的静电能。 已知球面半径为R，总电量为Q。 解： 已知带电球面是一等势面，其电势为
Q V 4π 0R

W 1 qVdq 2
Q



该带电球面的静电能为
微分关系： E grad V 注： 已知 E 可以求V , 已知V 可以求E 。 求 E 的方法又增加一个！
积分关系： Vp
p
V 0
E dl
V V V E ( i j k ) V x y z 与保守力与势能的关系类似： F E p
2
1 ab

3

c
Aab
a b
q0 Eabdl q0 V1 V2
如图有弧长 lbc lab
V1 V2 V2 V3 a b Eabdl bc Ebc dl
Abc
bc
q0 Ebc dl q0 V2 V3
Eab Ebc
点电荷电场叠加：E
第7节 静电势能 Electric Potential Energy
一、电荷在外电场的静电势能 任何电荷在静电场中都具有势能——静电势能 并且：电场力作功(A) = 电荷电势能的减少(–W) 设q 在电场中a、b 两点的电势能分别为Wa、Wb， 将q 由 a b 电场力所作的功为：
A q0 Edl q0 Vc Vd
d c
E 0 , dl 0 Vc Vd 得证。
沿电场线方向电势下降
（3）若相邻等势面电势差相等, 等势面密处场强大； 等势面疏处场强小。 选取相邻的等势面1、2、3， 在同一根经过三个等势面的
电场线上取三个点a、b、c， 试探电荷 q0 在电场力的作用下 沿着电场线运动 电场力做功为：
Aab (Wb Wa ) Wa Wb
又： Aab
qVa qVb 两式比较： Wa qVa
b qE d l a
.a
Wb qVb
.b
E
q(Va Vb )
一点电荷q在电场中具有电势能：
W qV
电荷与场源电荷 的相互作用能 点电荷系在电场中具有电势能：
第6节 电势梯度 Electric Potential Gradient
V
4 o r
q

在同一等势面上移动电荷, 电场力作功恒为零。 2. 等势面与场强的关系： （1）电场线与等势面处处正交; （2）电场线方向指向电势降低方向; （3）若相邻等势面电势差相等, 等势面密处场强大； 如何证明？ 等势面疏处场强小。