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乘法是数学中的一种基本运算方法，用于计算两个或多个数的乘积。
在七年级的数学课程中，学生将学习乘法的基本公式和其在实际中的应用。
本文将介绍七年级数学中的乘法公式及其应用。
一、乘法的基本概念在数学中，乘法是将两个数相乘得到一个新数的运算。
乘法可以表示为"×"或者使用小括号表示两数相乘的关系。
例如，3×4=12，表示3乘以4得到12乘法遵循以下基本性质：1.交换性：两个数相乘的结果与它们的顺序无关。
即a×b=b×a。
2.结合性：多个数相乘的结果与它们的相乘顺序无关。
即(a×b)×c=a×(b×c)。
3.分配性：两个数相乘后再相加的结果等于它们分别相加后再相乘的结果。
即a×(b+c)=a×b+a×c。
二、乘法的应用1.乘法表：乘法表是显示一个数的乘法表达式及其结果的表格。
通过乘法表，学生可以了解并记住一些常用的乘法结果。
乘法表可以通过竖式计算或者更简单的方法来完成。
2. 计算长方形的面积：利用乘法可以计算长方形的面积。
长方形的面积等于底边长乘以高。
例如，一个长方形的底边长为5cm，高为3cm，则它的面积为5cm × 3cm = 15cm²。
3. 计算正方形的面积：正方形是四边相等的图形，可以通过乘法计算其面积。
正方形的面积等于边长的平方。
例如，一个正方形的边长为4cm，则它的面积为4cm × 4cm = 16cm²。
4.计算单位换算：乘法可以用于不同单位之间的换算。
例如，1小时有60分钟，可以用乘法计算出2小时有多少分钟，即2小时×60分钟/小时=120分钟。
5.计算百分比：百分比可以通过乘法来计算。
例如，将一个数乘以0.5，即可得到该数的50%。
同样，将一个数乘以0.25，可以得到该数的25%。
6.解决实际问题：乘法可以应用于解决实际生活中的问题。
七年级数学乘法公式知识点在七年级的数学学习中，乘法公式是数学中十分重要和基础的知识点。
本文将就七年级数学乘法公式的内容进行详细的论述，力图使读者能够深入理解乘法公式的相关知识。
1. 基础概念首先，我们需要明确乘法公式的基础概念。
在数学中，乘法公式是指用于计算两个或多个数的乘积。
乘法公式中包含多个要素，如乘数、被乘数和积，它们三者之间的关系为：乘数×被乘数=积。
在七年级数学学习中，乘法公式中乘数和被乘数都是整数或分数，而积可以是一个整数或分数，也可以是一个代数式。
2. 乘法的交换律其次，七年级数学中学习的第一个乘法公式是乘法的交换律。
乘法的交换律指的是：两个数相乘，交换两个数的顺序，乘积不变。
具体来说，对于任意的两个数a和b，都有a×b=b×a。
比如说，对于两个数7和3，7×3=21，同时3×7也等于21。
这说明乘法具有交换律，即乘积的大小不受乘数顺序影响。
3. 乘法的结合律接着，第二个乘法公式是乘法的结合律。
乘法的结合律指的是：三个或多个数相乘，可以任意改变它们的相对位置，乘积不变。
具体来说，对于任意的三个数a、b和c，都有(a×b)×c=a×(b×c)。
比如说，对于三个数2、3和4，(2×3)×4=24，同时2×(3×4)也等于24。
这说明乘法具有结合律，即乘积的大小不受因子的相对位置影响。
4. 乘法的分配律然后，第三个乘法公式是乘法的分配律。
乘法的分配律指的是：一个数与两个或两个以上的数相加或相减的和或差，可先将这个数与每一个加数或减数分别相乘，再把它们的积相加或相减。
具体来说，对于任意的三个数a、b和c，都有a×(b+c)=a×b+a×c和a×(b-c)=a×b-a×c。
比如说，对于三个数2、3和4，2×(3+4)=14，而2×3+2×4也等于14。
初中数学乘法公式乘法公式是数学中非常重要的概念，是学习乘法的基础。
乘法公式可以帮助我们更加快速和准确地计算乘法运算。
在初中数学中，有很多乘法公式需要我们掌握和应用。
本文将详细介绍乘法公式(二)的概念和应用。
乘法公式(二)是乘法公式的一个重要组成部分。
它是指两个大数相乘时，我们可以通过将其中一个数进行分解，分别与另一个数相乘，然后再把结果相加得到最终的乘积。
具体来说，乘法公式(二)可以表示为：(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c其中，a、b、c是任意实数。
这个公式意味着，当我们需要计算一个数与两个数的和的乘积时，可以先计算这个数与每个加数的乘积，然后再将结果相加得到最终的乘积。
乘法公式(二)的应用非常广泛，可以用于解决各种实际问题。
下面我们通过几个例题来具体说明乘法公式(二)的应用。
例题1：计算(3+4)⋅2根据乘法公式(二)，我们可以先计算3⋅2和4⋅2，然后再将结果相加。
所以：(3+4)⋅2=3⋅2+4⋅2=6+8=14所以，(3+4)⋅2的结果是14例题2：班级里有36个男生和42个女生，每个男生需要发放3个铅笔盒，每个女生需要发放2个铅笔盒，那么一共需要发放多少个铅笔盒？首先，我们可以根据乘法公式(二)分别计算男生需要的铅笔盒和女生需要的铅笔盒，然后再将结果相加。
所以：男生需要的铅笔盒数量=36⋅3=108女生需要的铅笔盒数量=42⋅2=84一共需要发放的铅笔盒数量=男生需要的铅笔盒数量+女生需要的铅笔盒数量=108+84=192所以，一共需要发放的铅笔盒数量是192个。
通过以上两个例题，我们可以看到乘法公式(二)的应用非常灵活。
无论是计算简单的数学题，还是解决实际生活中的问题，都可以通过乘法公式(二)来简化计算过程。
除了乘法公式(二)，还有其他一些乘法公式也非常重要，比如乘法公式(一)和乘法公式(三)。
乘法公式(一)指的是两个负数相乘，结果为正数。
乘法公式(三)指的是一个数与一个带有括号的加法式相乘，可以先将该加法式中的每一项都与这个数相乘，然后再将结果相加。
乘法是数学中非常重要的运算之一、在初中数学7年级的课程中，学生会学习到乘法公式，以及如何正确应用乘法公式解决问题。
一、乘法的定义及性质乘法是一种加快计算速度的运算方法。
在数学中，乘法是指把两个数的乘法操作称为乘积。
例如，将3和4相乘，结果为12，我们可以写成3×4=12、乘法操作符号“×”表示乘法。
乘法具有一些特殊的性质。
其中，乘法结合律是指三个数相乘的结果不受先后顺序的影响。
例如，(3×4)×5=3×(4×5)=60。
乘法交换律是指两个数相乘的结果也不受先后顺序的影响。
例如，3×4=4×3=12乘法还有一个特别重要的性质是乘法公式。
二、乘法公式乘法公式是用于展开乘法式子的一个重要工具。
在初中数学7年级的课程中，学生将学习到以下几个常见的乘法公式：1.两个一位数相乘的乘法公式：当两个个位数相乘时，可应用如下乘法公式：ab × cd = ad × 10 + ad × b + bc × 10 + bc × d例如：27×36=20×30+20×6+7×30+7×6=9722.一个两位数与一个一位数相乘的乘法公式：当一个两位数与一个个位数相乘时，可应用如下乘法公式：ab × c = c × 10a + c × b3.两个两位数相乘的乘法公式：当两个两位数相乘时，可应用如下乘法公式：ab × cd = ac × 100 + ad × 10 + bc × 10 + bd例如：27×38=20×100+20×8+7×100+7×8=1026三、应用乘法公式解决问题乘法公式在解决实际问题时非常有用。
下面举几个例子，看看如何应用乘法公式解决问题。
初中数学乘法公式初中数学里的乘法公式，那可是相当重要和有趣的家伙！就像我们生活中的万能钥匙，能帮我们轻松打开好多数学难题的大门。
先来说说完全平方公式吧，（a+b）² = a² + 2ab + b²，（a - b）² = a²- 2ab + b²。
这两个公式看起来有点复杂，但其实理解起来并不难。
记得有一次，我在课堂上讲这个知识点，有个同学就一脸懵地看着我，好像在说：“老师，这都是啥呀？”我就笑着跟他说：“来，咱们想象一下，你有一块正方形的土地，边长是 a 米，现在你要在它相邻的两条边上分别增加 b 米，那新的土地面积不就是（a+b）²嘛。
”这么一说，他好像有点开窍了。
咱们再看平方差公式，a² - b² = (a + b)(a - b) 。
这个公式在解题的时候可好用啦。
比如说，计算 101×99，我们就可以把它变成 (100 +1)×(100 - 1) ，然后套用平方差公式，一下子就能得出答案 9999。
在实际生活中，乘法公式也有大用处呢。
有一次我去买布料，店家说每米布料的价格是根据面积计算的。
一块长方形布料，长是 (x + 3) 米，宽是 (x - 3) 米，单价是每平方米 y 元。
那这块布料的总价不就是 y × [(x + 3)(x - 3)] 嘛，这不就是平方差公式的应用嘛。
乘法公式还经常和其他的数学知识结合在一起，给我们出难题。
但只要我们掌握了它们的本质，就不怕这些小怪兽。
比如说在代数方程里，有时候需要通过乘法公式来变形、化简，找到方程的解。
而且啊，乘法公式也是数学思维训练的好帮手。
通过对这些公式的推导和应用，能锻炼我们的逻辑思维和空间想象能力。
就像搭积木一样，一块一块地搭建起我们的数学大厦。
总之，初中数学的乘法公式虽然只是数学海洋里的一小部分，但它们的作用可不容小觑。
只要我们认真学习，多多练习，就能让它们成为我们解题的得力工具，在数学的世界里畅游无阻！。
七年级乘法公式七年级的同学们，咱们今天来好好聊聊乘法公式！乘法公式可是咱们数学学习中的重要“武器”，掌握好了，那做题就像开了“外挂”一样顺溜。
先来说说完全平方公式，（a+b）² = a² + 2ab + b²，（a - b）² = a² - 2ab + b²。
这两个公式看起来有点复杂，但其实就像是搭积木一样，只要把各项按照规则拼凑起来，就能得到正确的结果。
给大家举个例子啊，咱们班小明同学的妈妈开了一家水果店。
有一天，妈妈进了一批苹果，准备做一个促销活动。
假设每个苹果的进价是 a 元，小明妈妈打算每个苹果在进价的基础上增加 b 元出售。
如果卖出的苹果数量为（a + b）个，那么总销售额是多少呢？咱们就可以用完全平方公式来计算啦！总销售额 = （a + b）²元。
展开这个式子，就是 a² + 2ab + b²元。
这就意味着总销售额由进价的平方 a²元，加上两倍进价和增加价格的乘积 2ab 元，再加上增加价格的平方 b²元组成。
通过这个例子，是不是觉得完全平方公式一下子就生动起来啦？再说说平方差公式，（a + b）（a - b） = a² - b²。
这个公式就像是一个神奇的“魔法咒语”，能让一些复杂的计算变得简单。
比如说，学校组织大家去农场劳动，农场有一块长方形的土地，长为（a + b）米，宽为（a - b）米，那这块土地的面积是多少呢？这时候就可以用平方差公式来计算啦，面积 = （a + b）（a - b） = a² - b²平方米。
在实际运用中，乘法公式能帮咱们快速解决很多问题。
比如说化简式子、计算数值等等。
但要注意哦，使用乘法公式的时候可别马虎大意，要认真看清各项的符号和系数。
同学们，乘法公式虽然重要，但也别被它们吓到。
只要咱们多做练习，多思考，多联系实际生活中的例子，就一定能把它们掌握得牢牢的！相信大家在今后的学习中，都能熟练运用乘法公式，让数学学习变得更加轻松有趣！。
七年级乘法公式知识点乘法是数学中的基本运算之一，乘法公式是乘法中的基本规则。
在学习乘法过程中，学生需要了解一些基本的乘法公式知识点。
那么，我们应该学习什么样的乘法公式知识点呢？本文将为您详细介绍七年级乘法公式知识点。
1. 两数相乘两个数相乘的结果是这两个数的积。
比如，2和3相乘的结果是6，用数学公式来表示为2×3=6。
对于任意两个整数a和b，它们的积为ab。
2. 乘法交换律乘法交换律是指，两个数相乘的结果不受它们的顺序影响。
比如，2×3=6和3×2=6是等价的。
因此，乘法满足交换律。
即a×b=b×a。
3. 乘法结合律乘法结合律是指，多个数相乘的结果不受它们相乘的顺序影响。
比如，2×3×4=24和3×2×4=24是等价的。
因此，乘法满足结合律。
即(a×b)×c=a×(b×c)。
4. 幂的乘法如果要求一个数的n次方乘以它的m次方，可以通过将它们的底数相乘，指数相加来求得它的乘积。
比如2的3次方乘以2的4次方等于2的7次方，即2³×2⁴=2⁷。
5. 指数的分配律如果要求一个数的n次方乘以另一个数的n次方，可以通过将它们的底数相乘，同时将它们的指数分别相加来求得它们的乘积。
比如2的3次方乘以3的3次方等于2×3的3次方，即2³×3³=(2×3)³。
6. 指数的乘法如果要求一个数的n次方乘以它的m次方，可以通过将它们的底数相乘，指数相加来求得它们的积。
比如2的3次方乘以2的4次方等于2的7次方，即2³×2⁴=2⁷。
7. 乘法的分配律乘法的分配律说明，一个数乘以另一个数的和，等于这个数分别乘以这两个数的和的积。
比如a乘以(b+c)等于a乘以b加上a 乘以c，即a×(b+c)=a×b+a×c。
考试内容A （基本要求）B （略高要求）C （较高要求）平方差公式、完全平方公式 理解平方差公式、完全平方公式，了解其几何背景 能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算 能根据需要，运用公式进行相应的代数式的变形模块一 平方差公式22()()a b a b a b +-=-平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。
（1） 左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数。
（2） 右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）。
注意：（1）公式中的a 和b 可以是具体的数也可以是单项式或多项式。
如：2(2)(2)4a a a +-=-；22(3)(3=9x y x y x y +--）；22()()()a b c a b c a b c +++-=+-；3535610()()a b a b a b +-=-。
（2）不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形，也可能运用公式。
如：97103(1003)(1003)9991⨯=-+=；22()()()()a b b a a b a b a b +-+=+-=-。
模块二 完全平方公式222()2a b a ab b +=++；222()2a b a ab b -=-+，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。
完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中二项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，首尾之积2倍加减在中央”。
注意：（1）公式中的a 和b 可以是单项式，也可以是多项式。
（2）一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，如：22()[()]a b c a b c ++=++22()2()a b a b c c =+++⨯+222222a ab b ac bc c =+++++222222a b c ab ac bc =+++++板块一：公式的几何意义【例1】 如图，从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是__________.例题精讲乘法公式【解析】 如图，左图中阴影部分的面积为22a b -，右图中阴影部分的面积为()()a b a b +-，而两图中阴影部分的面积应该是相等的，故验证的公式为22()()a b a b a b +-=-(反过来写也可)【答案】见解析【巩固】 如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a 、b 的恒等式___________.a bb a【解析】 略【答案】22()()4a b a b ab -=+-或224()()ab a b a b =+--【巩固】 如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a b >)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式_________________.【解析】 左图中阴影部分的面积为22a b -，右图中阴影部分的面积为1(22)()()()2b a a b a b a b +-=+-，故验证了公式22()()a b a b a b +-=-(反过来写也可)【答案】见解析【巩固】 请设计一个几何图形，验证222()2a b a ab b -=-+.ba-bb 2a-bb 【解析】 换汤不换药，图形同上，将其中的字母修改即可，如图整个大正方形的面积为2a ，两个小正方形的面积分别为2()a b -、2b ，另外两个长方形的面积均为()b a b -，故22222()2()2a b a b a b b a ab b -=---=-+，这就是差的完全平方公式的几何意义.【答案】见解析板块二：平方差公式【例2】 运用平方差公式计算：⑴ 2211()()22x y x y -+⑵(41)(41)a a ---+⑶()()m n m n a b a b +-【解析】 ⑴22222421111()()()()2224x y x y x y x y -+=-=-⑵222(41)(41)(4)1161a a a a ---+=--=-⑶2222()()()()m n m n m n m n a b a b a b a b +-=-=-【答案】见解析【巩固】 利用平方差公式简化计算：⑴59.860.2⨯ ⑵10298⨯⑶2123461234512347-⨯ 2(4)2008⑷11411515⨯【解析】 ⑴2259.860.2(600.2)(600.2)600.23599.96⨯=-+=-=⑵2210298(1002)(1002)10029996⨯=+-=-=⑶2222212346123451234712346(123461)(123461)12346(123461)1-⨯=--+=--=⑷1141111241(1)(1)115151515125125⨯=+-=-=【答案】见解析【例3】 如果(221)(221)63a b a b +++-=，那么a b +的值是 【解析】 ∵(221)(221)63a b a b +++-=，∴[]222()163a b +-=，∴4a b +=± 【答案】见解析【例4】 9621-有可能被60到70之间的两个整数整除，试求出这两个数． 【解析】 ()()964848212121-=-+()()()()()661224482121212121=-++++()()()1224486365212121=⨯⨯+++，这两个数是63和65．【答案】见解析【巩固】 已知2431-可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数．【解析】 ()()241212313131-=+-()()()()1263331313131=+++-()()12631312826=++⨯⨯所求二整数为28、26．【答案】见解析板块三：完全平方公式【例5】 计算：⑴2(811)a b -+⑵2(23)x y --【解析】 ⑴原式222(118)12117664b a b ab a =-=-+；⑵原式222(23)4129x y x xy y =+=++. 【答案】见解析【巩固】 计算：⑴2(4)m n + ⑵21()2x - ⑶2(32)x y - ⑷21(4)4y --【解析】 ⑴22222(4)(4)24168m n m mn n m mn n +=+⨯+=++⑵22221111()2()2224x x x x x -=-+=-+⑶22222(32)(3)232(2)9124x y x x y y x xy y -=-⨯⨯+=-+⑷222222111111(4)(4)(4)(4)24()1624444416y y y y y y y ⎡⎤--=-+=+=+⨯⨯+=++⎢⎥⎣⎦【答案】见解析【巩固】 计算：⑴222(30.5)a b ab + ⑵2(1113)m n a b - ⑶2(25)(52)(25)x x x ---- 【解析】 ⑴222423324(30.5)930.25a b ab a b a b a b +=++；⑵222(1113)121286169m n m m n n a b a a n b -=-+；⑶22222(25)(52)(25)(25)(25)2(25)84050x x x x x x x x ----=----=--=-+-. 【答案】见解析【例6】 计算：⑴2()a b c ++ ⑵2()a b c -- ⑶2(23)a b c -+ 【解析】 ⑴原式222222a b c ab ac bc =+++++⑵原式222222a b c ab ac bc =++--+ ⑶原式232234618a b c ab ac bc =++-+-【答案】见解析【例7】 计算：⑴ 22(2)(2)x x +-； ⑵(59)(59)x y x y +--+；⑶()()a b c a b c ++--；⑷先化简，再求值：2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-【解析】 ⑴[]2222242(2)(2)(2)(2)(4)816x x x x x x x +-=+-=-=-+；⑵ 22(59)(59)(59)x y x y x y +--+=--2222(259081)259081x y y x y y =--+=-+-.⑶原式[][]22222()()()2a b c a b c a b c a b c bc =++-+=-+=---⑷2222(32)(32)5(1)(21)9455(441)95x x x x x x x x x x x +-----=--+--+=-又13x =-，故原式=1959()583x -=⨯--=-【答案】见解析【巩固】 ⑴先化简后求值：2()()()2x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中3x =， 1.5y =.⑵计算：(22)(22)x y y x -+-+.【解析】 ⑴222222()()()2(2)2(22)2x y x y x y x x xy y x y x x xy x x y ⎡⎤-++-÷=-++-÷=-÷=-⎣⎦又3x =，1.5y =，故原式3 1.5 1.5x y =-=-=.法2：2()()()2()22 1.5x y x y x y x x y x x x y ⎡⎤-++-÷=-⋅÷=-=⎣⎦⑵原式222[2(2)][2(2)]4(2)444x y x y x y x xy y =+---=--=-+-【答案】见解析【例8】 填空：⑴222()______a b a b +=+-； ⑵222()______a b a b +=-+； ⑶[]221______________2a b +=+ ⑷22()()_______a b a b -=+-； ⑸_________________________ab ===.【解析】 ⑴2ab ；⑵2ab ；⑶22221()()2a b a b a b ⎡⎤+=++-⎣⎦； ⑷4ab ；⑸2221()2a b a b ⎡⎤+--⎣⎦，2221()2a b a b ⎡⎤+--⎣⎦， 221()()4a b a b ⎡⎤+--⎣⎦ 【答案】见解析【例9】 已知3a b +=，2230a b ab +=-，则2211a ab b -++= ．【解析】22()330a b ab ab a b ab +=+==- 所以10ab =-，22211()31150a ab b a b ab -++=+-+=．【答案】见解析【巩固】 如果()()22122163a b a b +++-=，那么a b +的值是【解析】 ∵()()22122163a b a b +++-=，∴()222163a b +-=⎡⎤⎣⎦，∴4a b +=±【答案】见解析【巩固】 如果22()()4a b a b +--=，则一定成立的是( )A ．a 是b 的相反数B ．a 是b -的相反数C ．a 是b 的倒数D ．a 是b -的倒数【解析】 将原式展开，合并后得到1ab =，选择C ． 【答案】见解析【例10】 已知实数a 、b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值．【解析】 2222()()132a b a b a b ++-+==，22()()64a b a b ab +--==-，227a b ab ++=．【答案】见解析【巩固】 已知2(1)()5a a a b ---=-，求222a b ab +-的值． 【解析】 由条件得5a b -=，222()25222a b a b ab +--==【答案】见解析【巩固】 设a ，b 为有理数，且20a b +=，设22a b +的最小值为m ，ab 的最大值为n ，则m n += ．【解析】 222222()()120()22a b a b a b a b ++-⎡⎤+==+-⎣⎦， 因为2()0a b -≥，所以22a b +最小值200m =；222()()1400()44a b a b ab a b +--⎡⎤==--⎣⎦，所以ab 的最大值100n =，故300m n +=． 【答案】见解析【巩固】 若22(2)(3)13x x ++-=，则(2)(3)x x +-= .【解析】 22(2)(3)x x ++-22(2)(3)x x =++-[]2(2)(3)2(2)(3)x x x x =++--+-252(2)(3)13x x =-+-=， 所以2(2)(3)12x x +-=，(2)(3)6x x +-=. 【答案】见解析板块三：配方思想【例11】 填空：⑴222_____4(2)x y x y ++=+；⑵2229_____121(3___)a b a -+=-；⑶2244____(2___)m mn m ++=+；⑷2_____6______(3)xy x y ++=+.【解析】 ⑴4xy ；⑵66ab ，11b ；⑶2n ，n ；⑷29x ，2y . 【答案】见解析【例12】 ⑴如果多项式219x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值为⑵如果多项式24x kx -+是一个完全平方式，那么k 的值为【解析】 完全平方：2222()a ab b a b ±+=±，⑴参看公式我们可以发现23k =±，学生在此极易少答案；⑵4k =±．【答案】见解析【巩固】 如果2249x axy y ++是完全平方式，试求a 的值.【解析】2222249(2)(3)(23)x axy y x axy y x y ++=±++±=±±，故12a =±. 【答案】见解析【例13】 若整式241x Q ++是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q 是 【解析】 若把Q 视为2ab 这一项，22241(2)1x Q x Q ++=++，那么单项式Q 可以是2214x x ±⨯⨯=±；若把24x +视为2ab 这一项，222412211x Q x Q ++=⨯⨯++，那么单项式Q 可以是44x ；若把1+视为2ab 这一项，22141(2)224x Q x x Q x++=+⨯⨯+，那么Q 可以是2116x，但它不是单项式，所以此答案不符合题意．Q 还可以是24x -、1-． 【答案】见解析【例14】 甲、乙两个公司用相同的价格购粮，他们各购两次，已知两次的价格不同，甲公司每次购粮1万千克，乙公司每次用1万元购粮，则两次平均价格较低的是 公司．【解析】 设两次购粮的价格分别为x 元／千克和y 元／千克(x y =/)，则甲公司两次购粮的平均价格为1000010000200002x y x y++=(元／千克) 乙公司两次购粮的平均价格为2000022100001000011xyx yx y x y==+++(元／千克) 因为222()4()02()22()x y xy x y xy x y x y x y x y ++---=>+++所以两次平均价格较低的是乙公司．【答案】见解析【例15】 若a ，b 为有理数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab += ． 【解析】 222244a ab b a -+++22222244()(2)0a ab b a a a b a =-++++=-++=， 所以2a b ==-，则2216a b ab +=-． 【答案】见解析【巩固】 若a ，b 为有理数，且2222480a ab b a -+++=，则ab = ． 【解析】 ()()()222222248240a ab b a a b a -+++=-++=， 所以4a =-，122b a ==-，(4)(2)8ab =-⨯-=．【答案】见解析【例16】 求224243a b a b +--+的最值．【解析】22224243(1)(21)11a b a b a b +--+=-+-+≥，所以有最小值1． 【答案】见解析【巩固】 求下列式子的最值：⑴当x 为何值时，249x x -+有最小值；⑵当x 为何值时，2615x x -+-有最大值.【解析】 ⑴2249(2)55x x x -+=-+≥，故最小值为5；⑵222615(69)6(3)66x x x x x -+-=--+-=----≤，故最小值为6-. 【答案】见解析【巩固】 设225P a b =+，224Q ab a a =--，若P Q >，则实数a ，b 满足的条件是 ． 【解析】 由于22(1)(2)0P Q ab a -=-++>，所以实数a ，b 满足的条件是1ab ≠或2a ≠-． 【答案】见解析【习题1】如图所示的几何图形可以表示的公式是_____________.b 2a 2ab ab a b ba【解析】 如图，整个大正方形的面积为2()a b +，而四个小图形的面积之和为222a ab b ++，因此验证的公式为：222()2a b a ab b +=++ 【答案】见解析【习题2】计算：⑴7373()()2424x y x y -+ ⑵(35)(35)x y x y ---+【解析】 ⑴原式222273499()()24416x y x y =-=-； ⑵原式2222(3)(5)925x y x y =--=-；【答案】见解析【习题3】（1）2(23)x y -+ （2）(2)(2)a b b a --（3）2222()()a ab b a ab b ++-+ （4）(22)(22)x y y x -+-+【解析】 （1）原式222(23)4129x y x xy y =-=-+（2）原式22222(2)(44)44a b a ab b a ab b =--=--+=-+-（3）原始22224224()()a b ab a b ab a a b b ⎡⎤⎡⎤=+++-=++⎣⎦⎣⎦（4）原式222[2(2)][2(2)]4(2)444x y x y x y x xy y =+---=--=-+-【答案】见解析【习题4】⑴计算：2()()()x y x y x y --+-；⑵计算：3131(2)(2)5353x y z y z x ---+；⑶计算：2222()()a ab b a ab b ++-+；课后作业【解析】 ⑴222222()()()2()22x y x y x y x xy y x y y xy --+-=-+--=-；⑵22222313113419(2)(2)(2)()45353353925x y z y z x x z y x xz z y ---+=--=-+-⑶原始22224224()()a b ab a b ab a a b b ⎡⎤⎡⎤=+++-=++⎣⎦⎣⎦ 【答案】见解析【习题5】已知3a b +=，12ab =，求下列各式的值：⑴22a b +；⑵22a ab b -+；⑶2()a b - 【解析】 ⑴22222222()232(12)33a b a ab b ab a b ab +=++-=+-=-⨯-=⑵2222223()345a ab b a ab b ab a b ab -+=++-=+-=⑶222222()224()457a b a ab b a ab b ab a b ab -=-+=++-=+-=【答案】见解析【习题6】⑴若2414039x x -+=，则x =____ ____⑵若228x xy k ++是一个完全平方式，则k =______ __⑶若224m kmn n ++是一个完全平方式，则k =_____ ___【解析】 略 【答案】（1）16（2）4y ±（3）4±【习题7】求多项式222451213x xy y y -+-+的最值． 【解析】 原式22224231213x xy y y y =-++-+()()222223441x xy y y y =-++-++()()222321x y y =-+-+由2()x y -，2(2)y -的非负性知原式的最小值为1． 【答案】见解析【习题8】计算：⑴2(35)x y z -+； ⑵2(59)x y --；填空：⑶2222111111(__________________)9164643a b c ab bc ca +++++=++；⑷22224164816(____________4)m n p mn np pm p ++--+=-+ 【解析】 ⑴2222(35)92561030x y z x y z xy yz zx -+=++--+；⑵222(59)2581109018x y x y xy y x --=++-+-.⑶13a ，14b ，12c ；⑷2m ，n . 【答案】见解析【习题9】填空：⑴6()______________________________________________a b +=；⑵6()______________________________________________a b -=.【解析】 ⑴654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++；⑵ 654233245661520156a a b a b a b a b ab b -+-+-+.【答案】见解析【习题10】若1990a =，1991b =，1992c =，则222a b c ab bc ac ++---= ．【解析】 222a b c ab bc ac ++---2221()()()2a b a c b c ⎡⎤=-+-+-⎣⎦2221(1)(2)(1)32⎡⎤=-+-+-=⎣⎦ 【答案】见解析。
乘法公式一、知二推二知二推二是完全平方公式的经典应用，其中蕴含了方程的思想．①()()()()a b a b a b a b ab a b ab 222222++-+==+-2=-+22②()()()()()a b a b ab a b ab a b a b 2222222-=+-2=+-4=2+-+ ③()()()()()()a b a b a b a b a b a b ab 22222222+-++--+--===224 ④()()()()()a b a b ab a b ab a b a b 2222222+=++2=-+4=2+-- 二、高次型的知二推二①222222442222222222()+()()2()22a b a b a b a b a b a b a b +-+==+-=-+②222442224422222222()()(()()()224）a b a b a b a b a b a b a b +-+--++--===- ③2244222222244222()()2()42()()a b a b a b a b a b a b a b +=++=-+=+--④2244222222244222()()2()42()()a b a b a b a b a b a b a b -=+-=+-=+-+ 三、倒数型的知二推二（知一推二） ①②③【注】关于1a a +的变形中有一个隐含条件11a a ⋅=，因此已知221a a +、1a a+和1a a -中的任意一个，就可以得出其他两个，故也称之为“知一推二”．222211142a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222211122a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222211142a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭模块一知二推二例题1aba b a b22a b11aa1aa221a a22a b 22a b 22a b 44a b笔记区填空：（1）()a b a b222+=+-________；（2）()a b a b222+=-+________；（3）[]______________a b221+=+2；（4）()()_______a b a b22-=+-；（5）_________________________ab===．【解析】（1）2ab；（2）2ab；（3）[()()]a b a b a b22221+=++-2；（4）4ab；（5）[()]a b a b2221+--2，[()]a b a b2221+--2，[()()]a b a b221+--4．【提示】回归完全平方公式，从中总结出的以下四个量：a b+、a b-、a b22+、ab．（1）已知x y22+=25，x y+=7，且x y>，则x y-=____________．（2）已知a b-=3，ab=-1，则a b22+=_______．【解析】（1）1；（2）7．（1）已知x y xy22++=19，x y+=5，求x y-．（2）已知()x y2+=17，()x y2-=3，求y xx y+．【解析】（1）x y xy22++=19，()x y xy2∴+-=19x y+=5，xy∴=6()()x y x y xy22∴-=+-4=1，x y∴-=±1；（2）()x y2+=17，()x y2-=3()()x y x yxy22+--7∴==42()x y x y xy222+=+-2=10y x y xx y xy22+20∴+==7【提示】知二推二的基本应用，结合公式求解．例题2例题3（1）已知x y 44+=17，x y 22+=5，则x y 22-=____________．（2）已知a b 22-=3，ab =-2，则a b 44+=_______，a b 22+=______．【解析】（1）±3；（2）17，5．【提示】注意和基本的知二推二的区别在于正负的取值．（1）已知：x y -=5，xy =3，求：①()()x y -3+3；②x y 22+；③x y 44+．（2）已知x y +=4，xy =2，求x y 44+．【解析】（1）①()()()x y xy x y -3+3=+3--9=9；②()x y x y xy 222+=-+2=31； ③()x y x y x y 4422222+=+-2=943． （2）x y +=4，()x y x y xy 222∴+=+-2=12， xy =2，()x y x y x y 4422222∴+=+-2=136．【提示】从一次到二次再到高次．（1）已知24x y +=，1xy =，求338x y +的值．（2）已知10x y +=，33100x y +=，求22x y +的值．（3）已知1x y -=，332x y -=，求44x y +和55x y -的值．（4）已知1x y +=，222x y +=，求66x y +的值．【解析】（1）()()x y x y x y x y 3333+8=+2-3⋅2+2=4-6⨯1⨯4=40．（2）由()()x y x y xy x y xy 333+=+=3+=1000-30=100，解得xy =30，()x y x y xy 222∴+=+-2=100-2⨯30=40．模块二 高次型的知二推二例题4例题5例题6笔记区（3）由()()x y x y xy x y xy333-=-+3-=1+3=2，解得xy1=3，()[()]()x y x y x y x y xy xy442222222223∴+=+-2=-+2-2=9，()()()x y x y x y x y xy55443323129-=+-+-=⨯1+2⨯=939．（4）由题意知，[()()]xy x y x y22211=+-+=-22，()()x y x y x y x y662232222113∴+=+-3+=8-3⨯⨯2=42．【提示】公式：1122()()()n n n n n nx y x y x y x y xy-----=+-+-．（1）已知aa221+=7，则aa1+=________．（2）已知aa1+=2，则______aa221+=，aa1-=_________．【解析】（1）∵aa221+=7，∴aa221++2=9，即aa21⎛⎫+=9⎪⎝⎭，aa1+=±3；（2）2，0．【提示】常考的基本题型．已知：x x2-7+1=0，求：（1）xx1+；（2）xx221+；（3）xx x242++1；（4）xx441+的值．【解析】（1）∵x x2-7+1=0，∴x≠0，∴x xx2-7+1=0，即xx1+=7；（2）∵xx1+=7，∴xx221++2=49，∴xx221+=47；（3）xx x xx2422211==1++148+1+；（4）∵xx221+=47，∴xx441++2=2209，∴xx441+=2207．【提示】倒数型的知二推二变形：由低次到高次的推导．模块三倒数型的知二推二例题7例题8（1）已知=3||x x 1+，则x x x 242=++1________．（2）已知||a a 1+-5=，则a a a 242=2+3+2________．【解析】（1）由题意得，x ≠0．①当x >0，则由题意，x x 1+=3，x x 221++2=9， ∴x x221+=7．∴x x x x x 2422211==1++18+1+．②当x <0时，则由题意，x x 1-=3，x x221+-2=9，∴x x 221+=11．∴x x x x x2422211==1++112+1+．∴原式1=8或112． （2）由题意得，||=a a 1+-5，∴a <0．原式1=57． 【提示】注意挖掘隐含条件，分类讨论思想．例题9笔记区（1）已知x y22+=13，x y+=5，则x y-=____________．（2）已知x y+=5，x y-=1，则xy=__________．【解析】（1）±1；（2）6．已知实数a、b满足()a b2+=1，()a b2-=25，求a b ab22++的值．【解析】()()a b a ba b2222++-+==132，()()a b a bab22+--==-64，a b ab22++=7．（1）已知x y44+=25，x y22+=7，则x y22-=____________．（2）已知x y+=5，xy=4，求x y44+．【解析】（1）±1；（2）x y+=5，()x y x y xy222∴+=+-2=17，xy=4，()x y x y x y4422222∴+=+-2=257．（1）已知：aa1+=3，则aa221+=________．（2）已知aa221+=3，则aa1-的值为________．【解析】（1）7；（2）±1．复习巩固演练1演练2演练3演练4已知x x 2+3+1=0，求值：（1）x x 2-2+；（2）x x x 242++1．【解析】（1）x x 2+3+1=0，∴x ≠0，∴x x x 2+3+1=0，即x x1+=-3，x x x x 22-21⎛⎫∴+=+-2=7 ⎪⎝⎭；（2）x x x x x 2422211==1++18+1+．已知||=x x 1+-5，则x x x 242=++1________．【解析】由题意得，||=x x 1+-5，∴x <0，原式1=28． 演练5演练6。
乘法公式知识讲解乘法公式是数学中非常常见且重要的公式之一，它用来表示两个数相乘的结果。
在进行乘法运算时，我们可以使用不同的方法来计算，但是掌握乘法公式可以帮助我们更快速、准确地进行计算。
本文将从基础概念、性质、应用等方面进行乘法公式的详细讲解。
一、基础概念在介绍乘法公式之前，我们首先要明确乘法的基本概念。
乘法是一种运算，用于计算两个数相乘的结果。
在乘法中，我们将两个数称之为乘法的因数或者乘数，它们的乘积称为乘法的积。
我们可以用以下三种形式来表示乘法：1.用符号“×”表示，如3×4=122.用符号“·”表示，如3·4=123.直接将两个数写在一起，如3(4)=12虽然乘法有不同的表达方式，但是它们都表示同样的运算。
二、乘法的性质了解乘法的性质对于理解乘法公式非常重要。
乘法具有以下几个基本性质：1.交换律：a×b=b×a。
乘法满足交换律，即乘法的因数可以交换位置，积不变。
例如，2×3=3×2=62.结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。
乘法满足结合律，即在连续的乘法中，我们可以任意改变乘法的顺序而不影响结果。
例如，(2×3)×4=2×(3×4)=243.分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。
乘法满足分配律，即乘法对加法的分配性质成立。
例如，2×(3+4)=2×3+2×4=14以上三个性质是乘法公式的基础，我们在进行乘法计算时常常会使用到它们。
三、乘法公式的应用了解了乘法的基本概念和性质之后，我们可以更好地理解和应用乘法公式。
下面，我们将介绍一些常见的乘法公式及其应用。
1.乘法表乘法表是一个方形表格，用于列举从1到N的两个数相乘的结果，并以矩阵的形式呈现。
乘法表可以帮助我们更快速地计算两个数相乘的结果，特别是在初等数学中，乘法表的应用非常广泛。
初中数学什么是乘法公式乘法公式是指数学中用于求解乘法运算的一些基本公式。
这些公式可以帮助我们简化乘法运算，从而更快速地计算结果。
在初中数学中，有几个常见的乘法公式，包括分配律、同底数幂相乘法则、平方差公式和立方差公式等。
下面我将详细解释这些乘法公式，并给出示例来说明如何应用它们。
1. 分配律：分配律是乘法公式中的基本法则之一。
它表示两个数分别与一个数的和（或差）相乘，等于这两个数分别与这个数相乘后再相加（或相减）。
具体的表达式如下：a × (b + c) = a × b + a × ca × (b - c) = a × b - a × c示例：计算3 × (4 + 2)：3 × (4 + 2) = 3 × 4 + 3 × 2 = 12 + 6 = 18计算5 × (7 - 3)：5 × (7 - 3) = 5 × 7 - 5 × 3 = 35 - 15 = 202. 同底数幂相乘法则：同底数幂相乘法则适用于两个具有相同底数的幂相乘的情况。
在这种情况下，我们只需要将底数保持不变，指数相加即可。
具体的表达式如下：a^m × a^n = a^(m + n)示例：计算2^3 × 2^4：2^3 × 2^4 = 2^(3 + 4) = 2^7 = 1283. 平方差公式：平方差公式用于将一个算式表示为两个数的平方差的形式。
具体的表达式如下：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)示例：将9^2 - 4^2 表示为两个数的平方差的形式：9^2 - 4^2 = (9 + 4)(9 - 4) = 13 × 5 = 654. 立方差公式：立方差公式用于将一个算式表示为两个数的立方差的形式。
具体的表达式如下：a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)示例：将8^3 - 2^3 表示为两个数的立方差的形式：8^3 - 2^3 = (8 - 2)(8^2 + 8 × 2 + 2^2) = 6 × 68 = 408这些乘法公式在数学中非常常见，并且可以帮助我们简化乘法运算。
七年级下册乘法公式知识点在初中数学学习中，乘法公式是必不可少的知识点之一。
本文将介绍七年级下册乘法公式的知识点。
一、乘法基本性质乘法基本性质是指对于任意实数a、b和c，有以下三条基本性质：1. 交换律：a × b = b × a2. 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)3. 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c通过这三个基本性质，可以对乘法运算进行简化，也为后面的知识点奠定了基础。
二、平方运算平方运算是指将一个数自己乘以自己，其结果称为这个数的平方。
如数3的平方是9，记作3²=9。
平方运算有以下几个性质：1. 正数的平方仍为正数，负数的平方为正数。
2. 偶数的平方为偶数，奇数的平方为奇数。
3. 相邻两个自然数的平方差等于这两个数的和。
4. 末尾为5的数的平方末尾数字为25。
5. 末尾为0的数的平方末尾数字为0。
三、乘法公式乘法公式是指在某些具体情况下，通过一定的推导，可以得到一组乘法运算的通用公式。
七年级下册主要包括以下两种乘法公式：1. 二次方差公式：(a + b) × (a - b) = a² - b²二次方差公式可以用于化简一些带有平方项的式子。
如：(3 + 4) × (3 - 4) = 3² - 4² = 9 - 16 = -72. 三次方差公式：a³ - b³ = (a - b) × (a² + ab + b²)三次方差公式同样可以用于化简一些带有立方项的式子。
如：8³ - 5³ = (8 - 5) × (8² + 8 × 5 + 5²) = 27 × 89 = 2403四、乘方运算乘方运算是指将一个数连乘多次本身，其结果称为这个数的幂。
教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 十字相乘法1．二次三项式：（1）多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项， c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于 ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就十字相乘法叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：1＝1×1；分解常数项：6=1×6=6×1=(－1)×(－6)=(－6)×(－1) =2×3=3×2=(－2)×(－3)=(－3)×(－2).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1×6+1×1=71×（-6）+1×（-1）=-71×3+1×2=5 1×(－2)+1×(－3)=－5经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－5.【答案】()()25623x x x x -+=--.【例2】因式分解2273x x -+.【分析】先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(－3)×(－1)=(－1)×(－3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1×3+2×1=51×1+2×3=7111116-1-6111123-2-3123113121122-1-3-3-1（2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式；（3）以2(8)a a +为整体，转化为关于2(8)a a +的二次三项式．【答案】（1） 4222109(1)(9)x x x x -+=--＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） 327()5()2()x y x y x y +-+-+ 2()[7()5()2]x y x y x y =++-+-＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2]＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)．（3） 222(8)22(8)120a a a a ++++ 22(812)(810)a a a a =++++2(2)(6)(810)a a a a =++++【例6】如果224x Ax +-可以分解成(3)()x x B -+，则A 、B 的值分别是（ ）A . 5-、8-B . 5、8C . 5-、8D . 5、8-【答案】B【例7】把多项式25x x m +-因式分解是()()7x x n +-，则m 、n 的值分别是 ( )A ．14,2m n =-=B ．14,2m n ==-C ．14,2m n =-=-D ．14,2m n ==【答案】B【习题1】下列各式中，可用十字相乘法分解因式的是（ ）A 、232+-x xB 、422+-x xC 、232--x xD 、12++x x【答案】A。
第十二讲 恒等变形（2）乘法公式一、 基础知识 （一）乘法公式1. 除了上一讲的几个基本公式外，乘法公式还有如下几条：①) 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++②) 222333()()3a b c a b c ab ac bc a b c abc ++++---=++- ③) 123221()().n n n n n n n a b aa b a b ab b a b ------+++++=-④) 2222221[()()()]2a b c ab ac bc a b a c b c ++±±±=±+±+±（二）配方法配方法是乘法公式应用的拓展，在恒等变形中应用十分广泛。
在配方时，还常用到拆项或补项的技巧。
在配方法中要熟悉两组关系：1. x+y 、xy ，与x 2+y 2、x 3+y 3、x 4+y 4、x 7+y 7的关系。
2. x+x -、x-x -，与x 2+x -2、x 2-x -2、x 4+x -4、x 4-x -4的关系。
二、名校真题回放例1．（2005～2006首师大附中初一期中测试）x 2+2ax+l6是一个完全平方式，则a 的值是______.例2．（2005～2006首师大附中初一期中测试）与()()2a 1a a 1-++的积等于a 6-1的多项式是______.例3．（2005～2006首师大附中初一期中测试）若()()22223a b +ca b c +=++，则a ，b ，c 三者的关系为_________.例4．（2005～2006首师大附中初一期中测试）求证： ()()()()22x x 1x 2x 3x 3x 11+++=++-三、活题巧解 （一）乘法公式例1．(2000年重庆市初中竞赛题)已知(2000-a)·(1998-a)=1999，那么，(2000-a)2+(1998-a)2=__________．例2．（2001年武汉市中考题） 观察下列各式（x －1）(x+1)=x 2－1； （x －1）(x 2+x+1)=x 3－1； （x －1）(x 3+x 2+x+1)=x 4－1. 根据前面的规律可得（x －1）(x n+xn －1+…+x+1)=._____例3．(2002年全国初中数学竞赛题) 设a 、b 、c 、x 、y 、z 满足下列等式2222,2,2,362x a b y b c z c a πππ=-+=-+=-+则z ，y ，z 中，至少有一个值( )·(A)大于0 (B)等于0 (c)不大于0 (D)小于0例4．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上二数之和都相等，如果13、9、3的对面的数分别为a 、b 、c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为_____．例5．（希望杯训练题）已知a+a 1=5，则2241aa a ++=._____例6．（2000年重庆市竞赛题） 乘积（1－221）（1－231）…（1－219991）（1－220001）等于（ ）。
