高思导引-四年级第十五讲-加法原理与乘法原理教师版

学习-----好资料第5讲竖式问题内容概述以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式，便于直观地解决问题。

典型问题兴趣篇1.如图5-1所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中“G”代表“5”，“A”代表“9”，“D”代表“0”，“H”代表“6”.问：“I”代表的数字是多少？分析：也一定有A+E=HC=4，A+D=D，所以,它们的和一定有进位，所以，、2、F分别是1没有用，所以1、2、3、8B，现在还剩进位，所以E=7I=3.的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代）在图5-22. （1 表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相在图5-3(2)同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？分析：，卒=1（1）观察可得：车，马=卒，所以兵=5=0，兵+兵马，所炮=，+1=5，所以马=4炮+=2以炮5240+5210=10450=2=马，所以：兵，=12）观察可得：炮，兵—兵=马，一定有借位，所以马=9，炮—兵（292=929—1221的竖式中，相同的汉字代表相同的3. 在图5-4+如果23+解数字，不同的汉字代表不同的数字，”所代表的三，那么“字++谜=30 数数字谜位数是多少？更多精品文档．学习-----好资料不同的汉字代表不同的数字，每个汉字代表一个数字，图5-5所示的竖式中，4. ”代表的四位数是多少？那么“北京奥运分析：奥++京，北+奥=0，所以可得要进位，所以；京=8 观察可得：北=1，北+京=9 ，运位，所以：奥=0+运=8，所以要进2=1809 北京奥运ABCDE所示的乘法竖式成立，那么5. 已知图5-6是多少？相同的符号代5-7的竖式中，6. (1) 在图表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？的竖式中，相同的符号代表5-8(2) 在图不同的符号代表不同的数字，相同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？分析：三种可能，因为是三位数5、9,×△=△，所以△=1、）（1△，○=1，☆乘一位数等于四位数，所以1排除，经分析：△=5=2=2 ，○，当△=5时，☆=4、）△=15、6三种可能，排除12 （=3○=5时，△当=6☆，更多精品文档．学习-----好资料7. 如图5-9，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么十个方框中数字之和是多少？分析：B×B=B，所以B=1、5、6，三种可能，经分析1排除，A×B=B，所以B=5，A为奇数，三位数乘B得三位数，所以第一个方格中添1，一百多乘一位数得四位数，所以A只能是7、9，当A=7时，C=7，矛盾不成立；当A=9时，C=7，成立；所以：195×95=18525 1+9+1+7+5+1+8+5+2+5=448. 在图5-10和图5-11中的方格内填入适当的数字，使下列除法竖式成立.分析：，所以除数9=783（1）除数×=6003 ，所以被除数×6=522=87,8787=69÷6003=2465 5=145，所以被除数8=232，所以除数=29,29×（2）除数×29=85÷2465所示的除法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么其中的商5-129.在图是多少？分析：三= 除数×7=两位数，除数×另一个一位数，所以除数只能是位数，且三位数的十位上是2 ，9=12614,14×7=98,14×=79所以除数更多精品文档．好资料学习-----后所得乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺序910. 有一个四位数，它乘以.颠倒而得的新四位数，求原来的四位数拓展篇不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，和5-14中，1. 在图5-13. 求出它们使竖式成立的值分析：，四个语、语=5 （1）观察得：巧=1，所以三个英相加得数，进2相加得20，所，向前进2的个位是8，所以英得6 以学=4 以学+学得数个位也是8，所1465+林=7，奥++=6，奥林+匹进2，所以林2 （）观察的奥+林有进1，所以奥6789=83，所以匹，克=9 匹+克进，在这个算式中，相2. 如图5-15不同的同的字母代表相同的数字，、A字母代表不同的数字，那么数字分别是多少？B、C分析：有借位，没有借位，C—BCA=A，—B=B,所以C—AC观察—A=4A=A，所以B=9，所以有借位且，C=8，已知C—B—B=B8、4、9不同的字母表示不同的数在图5-16的竖式中，相同的字母表示相同的数字，3. 字，并且A<B<C<D. 问：竖式中的和是多少？分析：D=5 C=4，，，观察得A=2B=3 2233+3344+4455=10032更多精品文档．学习-----好资料4. 在图5-17的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，那么“”所代表的七位数是多少？携手上海世博会分析：，个=9，手=0，上观察得，黄金三角：携=1，所=7位数的和肯定要进位，要使进1为，则博，=6位，办海=4，假设百位向前进2以会只能是2，，位，办=5，成立，1094382 ；假设百位向前进3=8当世=3时，在；，成立，1094872=8时，在=3当世小悦写了一个四位数，冬冬把这个四位数的个位抹掉，变成了一个三位数，5. 阿奇又把这个三位数的个位抹掉，变成了一个两位数，最后把这三个数加起来，小悦原来写的四位数是多少？结果刚好是7826.分析：利用位值原理ABCD+ABC+AB=78261000A+100B+10C+D+100A+10B+C+10A+B=1110A+111B+11C+D=7826D=1 56-55=1 则当则B=0 C=5时－时当A=778267770=56 7051即一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，6. 再用这三个数字组成一个最小的三位数，组成的这两个三位数之差正好是原来. 求原来的三位数的三位数.更多精品文档．学习-----好资料移到左边首位数字前面，所构成44，将这个7. (1) 一个自然数的个位数字是 4倍，那么原数最小是多少？的新数恰好是原数的一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且(2)/4倍，那么原来的五位数是多少这个新的五位数恰好是原数的）（1219782）（中的一个数字，不同的字母2，……908. 如图5-18，每一个英文字母代表，1 、RF分别代表什么数字？、、、代表不同的数字，则字母AQT更多精品文档．学习-----好资料分析：不QAQ×T=1符合题意，当Q=6时为5或6 当Q=5时A=2 .........QTAQ等于T=1 则........AQ×T=AQF=3R=7，Q=5，T=1，A=2，所以“美”三个汉字分别代表三个各不相同的“峡”、中的竖式里，“江”、9. 图5-19. 数字，请把这个竖式写出来分析：=6 ，所以美0,1,5,6中的一个，通过实验排除0,1,5先确定美是□□江，则=×江4或8之一，又因为江峡美或美通过确定江是2 排除，所以江=24或8=8=□□□峡，则峡由于江峡美×峡所示的除法5-2010. 请把如图竖式中空缺的数字补上，其中的商是多少？分析：1 7 则除数个位是7，商的十位数字是=6.........6□□×□□除数的十位数3=×□□□61 则商的个位数字是，7.........6□8 字是更多精品文档．学习-----好资料11. 请把图5-21中的除法竖式补充完整。

四年级奥数专题加法原理和乘法原理TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】二讲加法与乘法原理知识导航加法原理：做一件事情，完成．．它有n类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有m1+m2+……+m n种不同的方法。

运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。

要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。

合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。

乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有m n种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×m n种方法。

运用乘法原理计数，关键在于合理分步。

完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。

精典例题例1：一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同。

问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？思路点拨①：从两个口袋中只需取一个小球,则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法。

所以是加法原理的问题。

②：要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题。

模仿练习孙老师的一个口袋内装有60个小球，另一个口袋内装有80个小球，所有这些小球颜色各不相同。

第11讲几何图形剪拼教师版内容概述与图形的剪切、拼接有关的问题，学会利用对称性和面积计算对剪拼问题进行分析；了解某些特殊的剪拼办法.典型问题兴趣篇1. 如图11-1，将一个正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，可以怎么剪？请大家画出尽量多的方法. （如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 观察图11-2，ABCDEF是正六边形，O是它的中心，画出线段PQ后，就把正六边形ABCDEF分成了两个形状、大小都相同的五边形. 能否画出3条线段，把正六边形分成6个形状、大小都相同的图形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的五边形？3. 如图11-3，在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞. 现在要求用一条经过大正方形中心点的线段，把纸片分成面积相等的两部分，应该怎么办？4. 请把图11-4中的两个图形分别沿格线剪成四个形状、大小都相同的图形.5. 请把图11-5沿格线分成形状、大小都相同的三部分，使得每部分都恰好含有一个“○”.6. 如图11-6，三角形和六角星的每条边长都相等，那么用多少个三角形可以拼成六角星？请在图中表示出来.7. 如图11-7，左图是由五个相同大小的小正方形拼成的，右图是一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的. 请把这两个图形分别剪成四个形状、大小都相同的图形.8. 如图11-8，请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形.（1）如果要求两种小正方形一共有6个，应该怎么分？（2）如果要求两种小正方形一共有7个，应该怎么分？9. 如图11-9，有两个面积相等的正方形纸片，现在想把它们剪拼成一个更大的正方形，要求如下：（1）如果分别剪开这两个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？（2）如果只允许剪开一个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？10. 图11-10是由若干个小正方形组成的图形，你能将其剪成两块，然后拼成一个正方形吗？拓展篇1. 请在图11-11中标出分割线，把下图沿格线分成形状、大小都相同的四个部分，（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 把图11-12沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分，请在图中画出具体的分割办法.3. 将图11-13分割成形状、大小完全相同的四块，请至少画出4种不同的分法.4.如图11-14，从一张边长为7厘米的正方形纸片中，最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的长方形纸条？请画图说明剪裁方法.5. 将图11-15分成大小、形状都相同的四块，使得每一块中都有A、B、C、D.6. 将边长分别为3厘米和4厘米的两个正方形切割成四块，然后将它们拼成一个边长是5厘米的大正方形，请在图11-16中画出切割线和拼接线.7. 请将图11-17剪成三块，再拼成一个正方形.8. 将图11-18分割成四个形状和大小都相同的部分，然后将它们拼接成一个正方形，请在原图上标明分割线，并画出正方形的拼接图.9. 图11-19中长方形的长和宽分别是9厘米和4厘米，请把这个长方形剪成两块再拼成一个正方形.10. 有一张长方形纸片，按图11-20所示剪成了三块，已知这三块纸片可拼成一个正方形，那么正方形的边长为多少？请画出具体的拼法.11.把七个长为4厘米、宽为3厘米的长方形既互不重叠又不留空隙地拼成一个大长方形，那么这个大长方形的周长最小是多少厘米？请画出具体的拼法.12. 用若干个边长为1、2、3、4的正方形纸片互不重叠地拼成一个边长为5的大正方形，那么最少需要纸片多少张？请画出具体的拼法.。

四年级奥数加法原理和乘法原理(★★)现在餐桌上有不同的食谱，中餐类的有150本，西餐类的有200本，那么，从中拿一本食谱可以有多少种不同的选法？(★★★) (迎春杯试题改编)桌上有3本红色封皮的，4本黄色封皮的和5本白色封皮的食谱，现闭上眼睛从中任意拿出6本，有多少种可能？(只考虑颜色，相同颜色封皮的书没有区别)(★★★)食谱中有三种类型的菜系，每类菜系中都有不同数量的菜肴，数量分别为5道、8道和13道，现要从三种类型的菜系中各取一道组成一桌宴席，可组成多少种不同的宴席？(★★★)有6种不同颜色的酱料，来写“厨神大海很帅”这六个字，⑴要求每个字的颜色都不相同，有多少种不同的方法？⑵要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不同的方法？(★★★★)5本不同的食谱放在桌子上排成一排⑴有多少种不同的排列方式？⑵如果一本食谱必须在中间，有多少不同的排列方式？⑶如果这本食谱不在中间，有多少不同的排列方式？(★★★★)(走美杯试题)一种电子表在8时31分25秒时显示为8：3125，那么从7时到8时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有______个。

(★★★★★)1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位？(★★★★★)有______个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。

在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。

例1测(★★)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

一天中火车有12班，汽车有40班，轮船有2班。

问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？A．120 B．54 C．42 D．80例2测(★★★)袋子里面三种颜色的球分别为红、白、黑，其中红色球有6个，白色球有2个，黑色球有4个，现在闭上眼睛从中任意拿出4个，有多少种可能？A．8 B．16 C．48 D．12例3测(★★★)题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷，问：由该题库共可以组成( )种不同的试卷？A．1200 B．54000 C．1800 D．12000例4测(★★★★)有5种不同的书，发给5名站成一排的同学，要求每个人的书种类都不相同，有( )种不同的方法? 要求相邻的两个同学不能得到同种类型的书，有( )种不同的方法？A．48，48 B．120，96 C．120，1280 D．120，960例5测(★★★)张华、李明等七个同学照像，七个人排成一排；有( )种不同的排列方式；七个人排成一排，张华必须站在中间，有( )种不同的排列方式；如果张华不在中间，有( )种不同的排列方式？A．5040；720；4320；B．1360；720；2520；C．2520；1440；4340；D．5040；720；2660；例6测(★★★★)在方框中填数字：8.□□□□□，其中要求□中为不能重复的且小于8的数字，共有( )种不同的填法？A．5000 B．3660 C．13440 D．6720例7测(★★★★★)一本书共有99页，在这99个页码中不含有数字2的数字有( )个？A．80 B．70 C．78 D．89例8测3是3的倍数，这样的六位数共有( )个？(★★★★★)六位数是ABABAA．40 B．16 C．48 D．12。

93“加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算！我们以前学习过枚举计数的方法，但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦了，今天我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法．先举一个例子：餐厅供应4种炒菜和2种炖菜，4种炒菜分别是：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐，2种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨．点菜时如果只点一个菜，有点炒菜和点炖菜这两类方式．也就是说，可以点：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐之一，或是土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有426+=（种）点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜．这就是加法原理．加法原理：如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数．如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一个点菜组合，点炒菜是第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可．炒菜选红烧鱼块的点菜方法有2种：（红烧鱼块，土豆炖牛肉）、（红烧鱼块，萝卜炖排骨）；类似地，选滑溜里脊的也有2种：（滑溜里脊，土豆炖牛肉）、（滑溜里脊，萝卜炖排骨）；选清炒虾仁的也有2种：94（清炒虾仁，土豆炖牛肉）、（清炒虾仁，萝卜炖排骨）；选三鲜豆腐的也有2种：（三鲜豆腐，土豆炖牛肉）、（三鲜豆腐，萝卜炖排骨）．合在一起就有428×=（种）点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜．这就是乘法原理．乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数．分析 选择不同的交通工具是分类还是分步？是用加法原理还是乘法原理呢？练习1.书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画，大头要从书架上任意取一本书，有多少种不同的取法？分析 要给三个字母涂色，我们很容易想到要依次涂每个字母，这是分类还是分步呢？只涂一个字母能完成这件事情吗？练习2.把“CHINA ”这五个字母涂上五种不同的颜色，每个字母只能涂一种颜色．共有多少种涂色方法？以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有有2字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同的涂色方法？例题295 IMO 国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad ）的简称1956年罗马尼亚数学家罗曼教授提出倡议，并于1959年7月在罗马尼亚举行了第一届国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad ，简称IMO ），当时只有保加利亚、捷克斯洛伐克、匈牙利、波兰、罗马利亚和前苏联参加．以后每年举行（只在1980年中断过一次），参加的国家和地区逐渐增多，目前参加这项赛事的代表队有80余支．我国第一次派队参加IMO 是在1985年，当时只去了两位同学，除了1998年因故未能参加外，截止2009年的25年中，我国中学生代表队共参加了24届IMO ，140人次参赛，取得107块金牌、26块银牌、5块铜牌，15次取得团体总分第一．2009年第50届IMO ，我国6名参赛队员全部获得金牌，并以总分221分蝉联团体第一，来自山师附中的韦东奕取得满分（满分共2人）．即时通讯软件（instant messaging office ）的简称Instant messaging office ，是中国领先的企业级即时通讯运营平台，致力于为政府、企业、组织用户提供文字/语音、文件传输、文档协作、电子白板、公告传达、短信群发、电子传真、网络文件柜、电子考勤、日程安排等网络化实时沟通、网络化协同办公、网络化运营管理服务，构建组织的“互联网办公室”．国际海事组织（International Maritime Organization ）的简称国际海事组织是联合国负责海上航行安全和防止船舶造成海洋污染的一个专门机构，总部设在伦敦．该组织最早成立于1959年1月6日，原名“政府间海事协商组织”，1982年5月改为现名．分类是指完成一件事情有几类不同方法，从中任意选取一类即可，它们之间可以相互替代，任意选取一类都可以完成这件事．这种情况下一般要用到加法原理．分步是指完成一件事情有几步不同步骤，每一步都必须执行，它们之间不可以相互替代，少一步都不能完成这件事．这种情况下一般要用到乘法原理．分析 被减数与减数都有很多种写法，只写其中一个能完成这个减法算式吗？写被减数和写减数是写出减法算式的两类还是两步？须是三位数，减数必须是两位数．请问墨莫共有多少种不同的写法？96练习3.有6个不同的文具盒，5支不同的铅笔，3支不同的钢笔，2把不同的尺子．若从中各取一个，配成一套学习用具，最多可以配成多少套不同的学习用具？分析 从第一层取1本书、从第二层取1本书、从第三层取1本书，这三件事对于前两问来说是分类还是分步？练习4.商店里有三类笔：铅笔、钢笔和圆珠笔．铅笔有4种颜色，钢笔有3种颜色，圆珠笔有2种颜色．（1）要买任意一支笔，有多少种买法？（2）要从三类笔中各买一支，有多少种买法？（3）要买两支不同类的笔，有多少种买法？本漫画，第三层放了例题497分析 要从甲地到丙地，就必须途径乙、丁两地之一．“甲→乙→丙”与“甲→丁→丙”这两类路线各有多少条呢？练习5.有两个不同的骰子，每个骰子的6个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．任意摆放这两个骰子，如果要求朝上的面所标数字之和为偶数，共有多少种放法？通过上面这几个例题，我们总结一下加法原理与乘法原理之间的区别．加法原理类与类之间会满足下列要求：1.只能选择其中的某一类，而不能几类同时选；2.类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求．比如例题1中，飞机、火车或汽车是可以随意选择的，小高一家人只选择其中一种交通工具，就能到达目的地了．乘法原理步与步之间满足下列要求：1.每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论；2.步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步，直到最后．比如例题2中，“I ”、“M ”、“O ”都要涂上颜色，只是可以有先后的步骤关系．在这里，“I ”、“M ”、“O ”的书写顺序可以随意安排，先写哪个字母都是可以的．但有的时候却不能随意安排顺序，这种问题稍微难一些，我们在下一讲会遇到．地到丙地有丁地到丙地有复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？98加法原理与乘法原理的混合有些问题中，既有分类的关系，又有分步的关系，这时应该分清主次关系，弄清楚到底是“分类中含有分步”，还是“分步中含有分类”．如果是某一大类里面又可以再分为几小步，那么这一类里应该用乘法原理进行计算，最后再用加法原理把各类中的情况加在一起，比如例题4的题（3）和例题5．当然我们以后也会碰到某一大步里面又可以再分为几小类的情况，这就要先用加法原理算出这一大步中有多少种情况，再用乘法原理把总数算出来．在本讲的最后，我们来介绍标数法，标数法是解决路径条数问题的重要方法．如下图所示，我们要计算蚂蚁从A 点沿箭头的方向爬到B 点的不同路线有多少条．由于蚂蚁只能向上走或者向右走，因此对于最下面一行中的每个点，蚂蚁只有一种方法可以到达，对于最左边一列中的点也是同样的结论（特别地，我们把A 点处标上1，表示蚂蚁从A 点出发到达A 点，只有原地不动这一种方式）．我们用标数法标出蚂蚁到达点A 、C 、D 、F 、H 的路线数，如下图所示．容易看出，蚂蚁可以从C 点或者D 点到达E 点，而且只有这两类不同的方式，那么我们可以在E 点处标上数字112+=（把C 点与D 点的数字相加），表示蚂蚁到达E 点有两条路线．同样道理，蚂蚁可以从E 点或者F 点到达G 点，那么蚂蚁到达G 点就有213+=（条）路线（把E 点与F 点的数字相加）．最后可以得到蚂蚁到达B 点有4条路线，如下图所示．99分析 本题中蚂蚁可以斜线爬行，虽然蚂蚁的运动方式有了变化，但是问题的实质没有改变，我们仍用标数法来计算．练习6.在下图中，从A 点沿线段走到B 点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？本 一、加法原理：如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数．乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走．请问：B 点的不同路线有多少条？爸爸妈妈带萱萱去吃西餐．餐厅里一共有米饭和面条羊排和烤鸡排萱想要点萱萱一共有多少种点菜方法？题100把每步的方法数相乘就得到所有的方法数．二、加法原理与乘法原理的辨析：1.加法原理的类与类之间会满足下列要求：（1）只能选择其中的某一类，而不能几类同时选；（2）类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求． 2.乘法原理的步与步之间满足下列要求：（1）每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论； （2）步骤之间有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步，直到最后．三、标数法是解决路径条数问题的重要方法．作业1.题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷．问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？2.小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳、跳高和短跑这三个项目的比赛，每人只能参加一项比赛，不一定三项比赛都要有人参加．请问：报名的情况有多少种？3.图书馆有30本不同的数学书、20本不同的英语书和10本不同的语文书．（1）墨莫要去图书馆借1本书，有多少种不同的选择？（2）墨莫三种书都要各借1本，有多少种不同的选择？4.萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅，有几种选法？5.在右图中，从A点沿线段走到B 点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？AB。

101在上一讲中，我们学习了加法原理及较简单的乘法原理．要想把过程分成几个步骤从而应用乘法原理，必须保证各步骤之间满足下面三个要求：1.每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能做完这件事；2.步骤之间要有先后顺序，先确定好一步，再做下一步，直到最后．3.做完一步时，这一步的结果很可能会影响后面步骤的结果，但一定不能影响后面步骤的方法数．如果这一步的不同结果会导致后面某一步的方法数不同，就不能直接用乘法原理计算．102分析以染绿、蓝两种颜色；而当它染绿色（蓝色）时，回收废纸的垃圾桶只能染蓝色（绿色）．因此先染回收塑料的垃圾桶时，会影响染回收废纸的垃圾桶的染色方法数，就不能直接用乘法原理计算了．那么我们应该先给哪个垃圾桶染色呢？练习1.把1分、2分、5分、1角的硬币各一枚排成一排，其中1分硬币不在两边，共有多少种排硬币的方法？分析 我们应该把这五部分按照什么顺序染色呢？如果我们按照A 、E 、C 、B 、D 的顺序染色，能直接用乘法原理计算染色的方法吗？练习2.把A 、B 、C 、D 这四部分用四种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，向右依次标明：染成红、绿、蓝这纸的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．请问：例题2不相邻的部分可以使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？在上面的染色问题中，我们只要能保证前面步骤的染色结果不会影响到后面步骤染色的方法数，就是合理的分步方法．大家试着多找出几种合理的分步方法，看看有没有什么规律可循． 四色定理 四色定理的内容是：“对于任何一张地图，只用四种颜色，就可以把有相邻边界的国家染上不同的颜色．”四色问题的提出来自英国．1852年，在大学读书的格斯里向他的老师、著名数学家摩根提出了这个问题，摩根没有能找到解决这个问题的途径．“四色问题”提出以后，最初并没有引起广泛的重视，许多数学家低估了它的难度．就连素以谦虚著称的德国数论专家闵可夫斯基在大学上拓扑课时也说：四色问题之所以一直没有获得解决，那仅仅是由于没有一流的数学家来解决它．说罢，他拿起粉笔，竟要当堂给学生推导出来，结果没有成功．下一节课他又去试，还是没有成功．过了几个星期，仍无进展．有一天，他刚跨进教室，适逢天上雷声大作，震耳欲聋．他马上对学生说：“上天在责备我自大，我也无法解决四色问题．”这样，四色问题就成了世界最著名的问题之一．100多年中，“四色问题”使数学家们深为困扰．没有人能证明它，也没有人推翻它．电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了四色猜想的证明进程．就在1976年6月，哈肯与阿佩尔在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿次判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界．AD CB 的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色．请问：种不同的染法？称，一共有多少种不同的染法？104分析 染色过程应该分成几步？练习3.如图，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色．请问：如果要求染色结果关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法？分析 本题中汽车A 和汽车E 有特殊要求，我们应该优先考虑有特殊要求的位置．应该按照什么顺序给这五辆车分配司机呢？练习4.甲、乙、丙、丁四个人要住进A 、B 、C 、D 四间房间，每个房间住一个人，其中甲不住A 房间，丙只住D 房间．请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？分析 容易看出，每行只能有一枚棋子，每列也只能有一枚棋子．我们可以把不同型号的汽车．会驾驶汽车三人中的某一人驾驶，一共有多少种不同的安排方案？例题4内，每个方格只能放一枚，任何两枚棋子都不能在同一行或同一列．一共有多少种不同的放法？例题5105放四枚棋子的过程分成四步，每一步放一枚棋子．你知道每一步分别有多少种放棋子的方法吗？练习5.将一枚白子和一枚黑子放在棋盘线的交叉点上，但不能在同一条横线或竖线上（下图是一个可能的方法）．问：共有多少种不同的放法？在做数字谜问题时，我们总是希望寻找合适的突破口，这样能尽可能多地填出确定的数字．即使在没有更多突破口时，也要从可能情况较少的地方入手分析．对于较复杂的乘法原理问题，我们在分步时也要优先考虑可选择情况较少的步骤，尽可能地让前面步骤的结果不影响后面步骤选择的方法数．本讲知识点汇总一、应用乘法原理时，某一步的结果可以影响后面步骤的结果，但一定不能影响后面步骤的方法数．二、对于染色问题等较复杂的乘法原理问题，在分步时要优先考虑可选择情况较少的步骤，必须让前面步骤的结果不影响后面步骤选择的方法数．中都只有一枚棋子，这样的放法共有多少种？106作业1.五个座位排成一排，小高、墨莫、萱萱、阿呆、阿瓜每人选一个座位坐下，其中每个座位只能坐一个人，且萱萱不坐在中间的位置．请问：这五个人有多少种坐法？2.把A 、B 、C 、D 、E 这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？3.如图，用红、黄、蓝三种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色，而且要求角上的四个圆圈必须染相同的颜色．请问：一共有多少种不同的染法？4.甲、乙、丙、丁四个人排成一队，甲不能当排头，乙不当排头也不当排尾，共有多少种不同的排法？5.在44×的方格中放黑棋子和白棋子各一枚，要求两枚棋子既不在同一行也不在同一列，问：共有多少种放法？A B C DE。

第11讲加法原理与乘法原理内容概述理解加法原理和乘法原理，体会分类计数与分布计数的区别；能够根据题目条件，对问题进行合理的分类与分步；学习用标数法解决各类路径问题。

典型例题兴趣篇1．墨莫去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个，他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择？答案：l4种解析:中餐厅、西餐厅、日餐厅是三种不同口味的餐厅，墨莫只是选择其中的某一种口味，而不是逐一品尝各种口味，所以不同口味的餐厅之间是分类关系．如图所示：由加法原理，共有9+3+2=14种不同的选择．2．墨莫进入一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种．他打算主食和热菜各买1种，一共有多少种不同的买法？答案：60种解析:主食和热菜都要买，缺一不可，只是可以有先后顺序，逐步完成．假设墨莫先买主食，再买热菜，这样就把这件事情分为两步完成．如图所示：由乘法原理，共有3×20=60种不同的买法．3．传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现．邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序，请问：运气不好的沙鲁最多要试几次才能遇见神龙？答案：5040次解析:7颗不同的龙珠分别是一星珠到七星珠，当把7颗龙珠排成一行的时候，从左到右，分别称为“位置1”到“位置7”，如图所示：逐步在这7个位置放上龙珠，一共需要7步，即从位置1到位置7依次放入龙珠．“位置1”可以放7颗龙珠当中的任意一颗，有7种可能．“位置2”需要从剩下的6颗中任意选出一颗来，有6种可能．类似地，“位置3”有5种可能，“位置4”有4种可能，剩下的三个位置分别有3、2、1种可能．根据乘法原理，得不同的排列方法总共有7×6×5×4×3×2×1=5040种可能．所以沙鲁最多要试5040次才能遇见神龙。

4．电影院里有10个空座位，萱萱和卡莉娅去看电影，每个人坐一个座位，共有多少种不同的坐法？答案：90种解析:如图所示：由乘法原理，共有10×9=90种不同的坐法．5．用红、黄、蓝三种颜色给图11-1的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色．一共有多少种不同的染色方法？答案：6种解析:三个圆圈都要染色，可以先染圆圈A的颜色，再染圆圈B的颜色，最后染圆圈C的颜色，这显然是；一个分步的关系．第一步是对圆圈A的染色，可以染成红、黄、蓝中的任意1种颜色，有3种选择；第二步是对圆圈B的染色，由于圆圈B与圆圈A之间有线段相连，不能同色，只有2种选择；第三步是对圆圈C的染色，由于圆圈C与圆圈A和圆圈B都有线段相连，那么除去圆圈A和圆圈B 的2种颜色，只有1种选择．如图所示：根据乘法原理，对A、B、C这三个圆圈的染色有；3×2×1=6种不同的方法，6．用红、黄两种颜色给图II -2中小丑的眼睛、鼻子、嘴巴染色，如果每种器官必须染相同的颜色，一共有多少种不同的染色方法？答案：8种解析:如图所示：根据乘法原理，对小丑的眼睛、鼻子、嘴巴的染色有2×2×2=8种不同的方法。

华数导引四年级计数问题加法原理与乘法原理第08讲计数问题第02讲加法原理与乘法原理1、如果两个四位数的差等于8921，那么就说这两个四位数组成一个数对，问这样的数对共有多少个？分析：从两个极端来考虑这个问题：最大为9999-1078=8921，最小为9921-1000=8921，所以共有9999-9921+1=79个，或1078-1000+1=79个2、一本书从第1页开始编排页码，共用数字2355个，那么这本书共有多少页？分析：按数位分类：一位数：1～9共用数字1*9=9个；二位数：10～99共用数字2*90=180个；三位数：100～999共用数字3*900=2700个，所以所求页数不超过999页，三位数共有：2355-9-180=2166，2166÷3=722个，所以本书有722+99=821页。

3、上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，问上册有多少页？分析：一位数有9个数位，二位数有180个数位，所以上、下均过三位数，利用和差问题解决：和为687，差为3*5=15，大数为：（687+15）÷2=351个（351- 189）÷3=54，54+99=153页。

4、从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中，任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。

分析：从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 从极端考虑分成最小和最大的两组为（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）=15+40=55 最接近的两组为27+28 所以共有27-15+1=13个不同的积。

另从15到27的任意一数是可以组合的。

5、将所有自然数，自1开始依次写下去得到：12345678910111213……，试确定第206788个位置上出现的数字。

分析：与前面的题目相似，同一个知识点：一位数9个位置，二位数180个位置，三位数2700个位置，四位数36000个位置，还剩：206788-9-180-2700-36000=167899，167899÷5=33579……4 所以答案为33579+100=33679的第4个数字7.6、用1分、2分、5分的硬币凑成1元，共有多少种不同的凑法？分析：分类再相加：只有一种硬币的组合有3种方法；1分和2分的组合：其中2分的从1枚到49枚均可，有49种方法；1分和5分的组合：其中5分的从1枚到19枚均可，有19种方法；2分和5分的组合：其中5分的有2、4、6、……、18共9种方法；1、2、5分的组合：因为5=1+2*2，10=2*5，15=1+2*7，20=2*10，……，95=1+2*47，共有2+4+7+9+12+14+17+19+22+24+27+29+32+34+37+39+42+44+47=461种方法，共有3+49+19+9+461=541种方法。