浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试数学理科试卷注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟 2．整场考试不准使用计算器一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集R U=,集合{}2|lg(1)M x y x ==-,{}|02N x x =<<,则()U NM =ð（ ）A ．{}|21x x -≤<B ．{}|01x x <≤C ．{}|11x x -≤≤D ．{}|1x x <2. 函数的图像为 ( )3. 设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ）A ．,//,a b αβαβ⊥⊥B ．,,//a b αβαβ⊥⊥C ．,,//a b αβαβ⊂⊥D ．,//,a b αβαβ⊂⊥4. 阅读如图所示的程序框图,若输入919a =,则输出的k 值是（） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 5. 已知命题:(,0),34xxp x ∃∈-∞<； 命题:(0,tan 2q x x x π∀∈> 则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧6．设不等式组4,010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ．若圆C:222(1)(1)(0)x y r r +++=>不经过区域D上的点,则r 的取值范围是（ ）A B C2|log |1()2||x f x x x =--A． B．(32,)+∞C．(25,)+∞ D．(25,)+∞7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ） A ．1 B ．13 C ．12 D ．328. 现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ的数学期望E ξ为（ ）A ．199 C ．2 D ．739. 已知函数321,,112()111,0,362x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，函数()()sin 2206x g x a a a π=-+>，若存 在[]12,0,1x x ∈，使得()12()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]43,21[ B ．]23,43[ C ．]34,32[ D ．]34,21[ 10.已知函数()f x =⎩⎨⎧>+-≤-)0(,1)1()0(,12x x f x x ,把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ） A ．2)1(-=n n a nB ．1-=n a nC ．)1(-=n n a nD ．22-=n n a二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分．11．设0a >，在二项式10(a 的展开式中，含x 的项的系数与含4x 的项的系数相等，则a 的值为 ．12.在平面直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-，且O A 与OB 在直线l 上的射影长度 相等，直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率为 ．13. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为___14.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位， 则这样的六位数共有 ___ 个．15.平面向量a ，b ，e 满足||1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ，||2-=a b ，则⋅a b 的最小值为．倾斜角为__________17.已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①()1,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭； ②(){},sin 1M x y y x ==+； ③(){}2,log M x y y x ==； ④(){},2xM x y y e==-.其中是“垂直对点集”的序号是三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18. （本题满分14分）已知函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间[0,]3π上单调递增,在区间2[,]33ππ上单调递减; 如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边,且满足ACB AC B cos cos cos 34sin sin sin --=+ω. (1)证明:a c b 2=+(2)若c b =,θ=∠AOB ,(0)θπ<<,22OA OB ==, 求四边形OACB 面积的最大值.19. （本题满分14分）某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25% (1)设第n 年该生产线的维护费用为n a ,求n a 的表达式;(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前n 年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?20. （本题满分14分）在如图所示的几何体中,ABC ∆是边长为2的正三角形,1,AE AE >⊥平面ABC , 平面BCD ⊥平面ABC , BD CD =,且.BD CD ⊥ (1)若2AE =,求证://AC 平面BDE(2)若二面角A DE B --为60°,求AE 的长.21. (本题满分15分)已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>,⊙222:O x y b +=, 点A,F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点, 点F 不是O 上的点，点P 是O 上的动点. (1)若(P -,PA 是O 的切线,求椭圆C 的方程; (2)是否存在这样的椭圆C,使得||||PA PF 恒为常数?如果存在,求出这个数及C 的离心率e;如果不存在,说明理由.22. (本题满分15分) 设x x f ln )(=．（1）若)1,0(∈α，求)1ln()1(ln )(x x x g --+=αα最大值; （2）已知正数α，β满足1=+βα．求证：)()()(2121x x f x f x f βαβα+≤+；（3）已知0>ix ，正数iα满足11=∑=ni i α．证明:∑∑==≤ni iiini ixx 11ln ln αα),2,1(n i =其中．浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试数学理科试卷参考答案1-10 BCCCD CBADB 11、1 12、2/5 13、14、120 15、5/4 16、4π或2π17、②④18、【答案】解:(Ⅰ)由题意知:243ππω=,解得:32ω=,ACB AC B cos cos -cos -2sin sin sin =+ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴ A C A B A sin 2)(sin )(sin =+++∴a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴(Ⅱ)因为2b c a b c +==，,所以a b c ==,所以ABC △为等边三角形21sin 2OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+22sin -2cos )OA OB OA OB θθ=++⋅ 435cos 3-sin +=θθ2sin (-)3πθ=(0)θπ∈，,2--333πππθ∴∈(，),当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S的最大值为2+19、（1）722,7516(),84n n n n a n -+≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（2）第10年年初20、【答案】解: (Ⅰ)分别取BC BA BE ，， 的中点M N P ，，,连接DM MN NP DP ，，，,则MN ∥AC ,NP ∥AE ,且1=12NP AE = 因为BD CD =,2BC =,M 为BC 的中点, 所以DM BC ⊥,1DM =又因为平面BCD ⊥平面ABC , 所以DM ⊥平面ABC 又AE ⊥平面ABC , 所以DM ∥AE所以DM ∥NP ,且DM NP =,因此四边形DMNP 为平行四边形,所以MN ∥DP ,所以AC ∥DP ,又AC ⊄平面BDE ,DP ⊂平面BDE , 所以AC ∥平面BDE(或者建立空间直角坐标系,求出平面BDE 的法向量1n ,计算10AC ⋅=n 即证)(Ⅱ)解法一:过M 作MN ⊥ED 的延长线于N ,连接BN . 因为BC AM ⊥,BC DM ⊥,所以BC ⊥平面DMAE ,ED ⊂平面DMAE 则有BC ED ⊥.所以ED ⊥平面BMN ,BN ⊂平面BMN , 所以ED BN ⊥.所以MNB ∠为二面角A ED B --的平面角, 即=60MNB ︒∠在Rt BMN ∆中,=1BM ,则MN=BN . B EDCAMNPMB ED CAN在Rt MND ∆中,DN . 设1AE h =+,则DE =,所以NE =又BE =在Rt BNE ∆中,222BE BN NE =+,即()2212h ++=22++解得h =,所以1AE =+解法二:由(Ⅰ)知DM ⊥平面ABC ,AM MB ⊥, 建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -. 设AE h =,则()0,0,0M ,()1,0,0B ,()0,0,1D ()A ,()E h ,()1,0,1BD =-,()BE h =-.设平面BDE 的法向量1(,,)x y z =n则110,0.BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn 所以0,0.x z x zh -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩令1x =,所以1=n [来源:Z_xx_] 又平面ADE 的法向量2(1,0,0)=n 所以1212121cos ,2⋅<>===⋅n n n n n nEz解得1h =+,即1AE =+21、（1）221164x y += （2）1||,2||PA e PF -==1221()(1)1(1)xg x x x x x ααα--'=+-=--解：（）（10<<x ） ),0(α∈∴x 当时，0)(>'x g ，当)1,(α∈x 时，0)(<'x g .即)(x g 在),0(α上递增，在)1,(α递减.故α=x 当时，有)1ln()1(ln )()(max ααααα--+==g x g .(3分))ln(ln ln )()()(F )2(1111x x x x x x f x f x f x βαβαβαβα+-+=+-+=）（构造函数，则 .)()(F 111x x x x x x x x x βααββαββ+-=+-='）（易证)(x F 在在),0(1x 上递增，在),(1+∞x 上递减.∴1x x =当时，有)()()()()(11111max x x f x f x f x F x F βαβα+-+==0=. ∴)()(12x F x F ≤,即0)()()(2121≤+-+x x f x f x f βαβα， 即证)()()(2121x x f x f x f βαβα+≤+ （8分） 下：）用数学归纳法证明如（3 ① 当2,1=n 时，命题显然成立； ② 假设当),2(N k k k n ∈≥=时，命题成立，即当1121=++++-k k αααα 时， )ln(ln ln ln ln 112211112211k k k k k k k k x x x x x x x x αααααααα++++≤++++---- .则当1+=k n ，即当11121=++++++-k k k ααααα 时，111111111211=-+-++-+-++-++k k k k k k αααααααα ，又假设知≤-+-++-+-+-+-++k k k k k k k k x x x x ln 1ln 1ln 1ln 11111212111αααααααα )1111ln(1111212111k k k k k k k k x x x x +-+-++-+-++-+-αααααααα ，即 )1ln()1(ln ln ln ln 11122111112211+--+---++++-≤++++k kk k k k k k k k x x x x x x x x αααααααααα 11112211ln ln ln ln ln ++--+++++k k k k k k x x x x x ααααα1111122111ln )1ln()1(+++--++-++++-≤k k k kk k k k x x x x x ααααααα]1)1ln[(1111122111+++--++-++++-≤k k k kk k k k x x x x x ααααααα=)ln(11112211++--+++++=k k k k k k x x x x x ααααα .这说明当1+=k n 时，命题也成立.综上①②知，当0>i x ，正数i α满足11=∑=ni i α时∑∑==≤ni iiin i ixx 11ln ln αα),2,1(n i =其中 （14分）（以上答案仅供参考，其他解法请作情给分.）。
