第七章

第七章 机械的运转及其速度波动的调节本章重点：等效转动惯量和等效质量，等效力矩和等效力等的概念及其计算方法；单自由度机械系统的等效力学模型及其运动方程式的建立；机械速度波动的原因及其调节方法；飞轮转动惯量的确定。

本章难点：4个等效量的计算和最大盈亏的确定。

第21讲 机械特性§7—1 概 述一、本章的研究内容 1）已知力，求运动；2）机械运转时的速度波动及其调节方法。

二、机械特性力（或力矩）和运动学参数（时间、位移、速度等）之间的函数关系称为力（或力矩）的机械特性。

常见的机械特性有：1）const F =， 常量；2）)(s F F =， 位移的函数； 3）)(t F F =， 时间的函数； 4）)(v F F =， 速度的函数；5）F F = (t , s , v )， 时间、位移和速度的函数。

如图7—1所示,交流异步电机的驱动力矩的机械特性可简化为角速度ω的线性函数。

图7-1)/()(n o o n d M M ωωωω--= （1） 式中、o ω为同步角速度，n ω为额定角速度，n M 为额定转矩。

这些常数均可从电机产品目录中查得。

第22讲 等效力学模型§7—2 单自由度机械系统的等效力学模型一、等效转动惯量和等效质量1.等效构件由机构具有确定运动的条件知，对于单自由度的机械系统，只要确定其中一个构件的运动，则其他构件的运动也随之确定。

首先确定其运动的构件称为等效构件。

等效构件常取与机架相联的构件，如作定轴转动的构件，或作直线平动的移动构件。

2.等效质量和等效转动惯量的概念为描述机械系统的动能，我们引入等效质量和等效转动惯量的概念。

对图7—2（a ）所示的作定轴转动的等效构件，假想地在等效构件上集中一些质量，使这些假想质量对转轴O 的转动惯量e J 满足等效条件，则称e J 为等效转动惯量。

同样地，对图7—2（b ）所示的作直线移动的等效构件，假想地在等效构上集中一些质量e m ，使其满足等效条件，则称e m 为等效质量。

图7-23.等效转动惯量和等效质量的等效条件——动能等效等效转动惯量e J 或等效质量e m 随同等效构件一起运动时的动能等于机械系统中所有运动构件的动能之和。

4．单自度平面机构等效转动惯量和等效质量的计算公式 对等效转动惯量J e ：222212121isiisiiiiie Jvm EJ ωω∑∑∑+==22)()(ωωωi isi siii e J v m J ∑∑+=（2）式中，ω为等效构件的角速度，i ω为构件i 的角速度，si v 为构件i 质心i S 的速度，i m 为构件i 的质量，si J 为构件对其质心轴i S 的转动惯量。

对等效质量e m ：∑=i ie Ev m 22122)()(vJ vv m m i isi si ii e ω∑∑+=（3）式中，v 为等效构件的移动速度。

注意点：1） )(ϕe e J J =，m e =m e (s );2)在等效构件运动未知的情况下，可求出e J 或e m ，因为速比可求。

二、等效力矩和等效力1.等效力矩和等效力的概念如图7—2所示，在作定轴转动的等效构件上，假想地作用一个力矩M e ，使其满足等效条件，则称M e 为等效力矩。

同样地，在作直线移动的等效构件上，假想地作用一个力F e ，使其满足等效条件，则称e F 为等效力。

2.等效力矩和等效力的等效条件—功率等效等效力矩e M 或等效力e F 的功率等于作用于机械系统上所有外力和外力矩在同一瞬时的功率之和。

由功率等效易知，元功和功都等效。

3.单自由度平面机构等效力矩和等效力的计算公式 对等效力矩e M ：)(c o s i iii iii i i e MvF p M ωαω∑∑∑±+==)]([cos )(1ωωαωi i iiii e M v F M ∑∑±+= （4）式中，i F 为给定外力，i v 为i F 作用点的速度，i α为i F 和i v 间的夹角；M i 为作用于构件i 上的给定外力矩，i ω为构件i 的角速度。

对等效力F e :∑=ii e p v F ∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡±+=ii i i i ii e v M vv F F )(c o s )(ωα （5）注意点：1）在等效构件运动未知的情况下，可确定e M 和e F ，因为速比可求；2）等效力矩e M 或等效力e F 是等效构件位置、外力和外力矩的函数，即：),,(),,(ωϕϕMt M M F Me i i e e== (6)),,(),,(v s t F M F s F F e i i e e ==3)与驱动力和驱动力矩相对应的等效力矩（或等效力）称为等效驱动力矩ed M （或等效驱动力ed F ），而与阻力和阻力矩相对应的等效力矩（或等效力）称为等效阻力矩erM（或等效阻力er F ）；即⎩⎨⎧-=-=ered e re ed e F F F MMM（7）例1对图7—3所示的机构，已知机构的尺寸和位置，重力G 2和G 3，齿轮5、6、7和8的齿数为z 5、z 6、z 7、和z 8，以及气体加于活塞上的压力3F 和发电机的阻力矩M 8；不计其余构件的重量。

取曲柄1为等效构件，求该机构的等效转动惯e J 和等效力矩e M 。

解1.取任意比例尺，作出机构的速度图：图7-32.求等效力矩M e . 1)等效驱动力矩ed Mc edv F M31=ωpb pcl F l v v F v F MAB AB B c c ed3313=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ω； 2)等效阻力矩M er2288881cos .22αωωωS c er v G M M M +-=++-=-v G .v G 3S 222286758212188c o s )(c o s )()(2ααωωωpbps l G z z z z M v G M M AB s er -=-=其中2α为2G 和2s v 的夹角。

等效力矩er d e e M M M -=。

求等效转动惯量J e222223288267621951212221212121)(21)(2121ωωωωωs s c A e J v m v m J J J J J J J ++++++++=212212213218821676519)()()()())((22ωωωωωωωωS S cA e J v m v m J J J J J J J ++++++++==22222223281826176519)()()()(2pbl bc l J pbps l m pbpc l m i J i J J J J J BC AB S AB AB A ++++++++V c F J J J ++=其中，9J J F =为飞轮的等效转动惯量；28182617651)(i J i J J J J J A c ++++=为与等效构件有定传动比关系的各构件的等效转动惯量；223222222)()()(pbpc l m pbl bc l J pbps l m J AB BC AB s AB v ++=为与等效构件有变传动比关系的各构件的等效转动惯量。

三、等效力学模型对于单自由度的机械系统，若等效构件取为定轴转动构件，则称具有等效转动惯量J e ，其上作用着等效力矩e M 的等效构件为原机械系统的等效力学模型，如图7—2（a ）所示。

同样地，若等效构件取为直线移动构件，则称具有等效质量e m ，其上作用着等效力e F 的等效构件为原机械系统的等效力学模型，如图7—2（b ）所示。

在等效力学模型中，等效构件的运动与其在机械系统中的真实运动相同。

第23讲 机械运动方程式及其求解§7—3 单自度机械系统的运动方程式一、力矩或力形式的运动方程式由理论力学中的动能定理知：dW dE = (8) 式中，E 一机械系统的动能；dW 一作用在机械系统上的所有外力和外力矩的元功之和。

根据等效力学模型知，对作定轴转动的等效构件 221ωe J E =， ϕd M dW e =，将上式代入式（8）可得：)21(2ωϕϕe eJ d d d dE M==注意到：)(ϕe e J J =，)(ϕωω=，dt d /ϕω=，对上式求导可得如下力矩形式的运动方程式αϕωϕωωϕωe e e e eJ d dJ d d J d dJ M+=+=2222（9）式中，dt d /ωα=为等效构件的角加速度。

同理可得图7—2（b ）所示等效构件作直线移动情况下的力形式的运动方程式。

a m dsdm vdsdv vm dsdm vF e e e e e +=+=2222（10）式中，v=ds/dt , a=dv/dt 分别为等效构件的速度和加速度。

二、能量形式的运动方程式根据理论力学中有限形式的动能定理知：W E E o =- （11）式中，E=E （ϕ）和)(o o E E ϕ=分别是机械系统的未动能和初动能，W 为作用在机械系统上的外力和外力矩在运动过程中所做的功。

根据图7—2所示的等效力学模型，若等效构件作定轴转动，则能量形式的运动方程式为：e M o eo e W J J =-222121ωω（12）式中，)(ϕe e J J =, )(o e eo J J ϕ=,eM W 为等效力矩e M 在从o ϕ到ϕ的运动过程中所做的功，(),ωωϕ=)(o o ϕωω=若等效构件作直线移动，则能量形式的运动方程为：e F eo e W v m vm =-2022121 （13）式中，)(s m m e e =,)(o e eo s m m =, eF W 是等效力e F 在从0s 到s 的运动过程中所做的功，)(),(o o s v v s v v ==。

三、运动方程式的求解。

由于力或力矩形式的运动方程式是一个微分方程，而能量形式的运动方程式是一个积分方程。

要确定运动方程式的解，必须给出相应的初始运动条件：0t t =：0000)(,)(ωωωϕϕϕ====t t只有一些简单的工程问题可求得运动方程式的解析解。

对绝大多数的工程问题，只能用数值解法求得运动方程式的数值解。

微分方程或积分方程的数值解法可参阅作者编著的《机械学的数学方法》等著作。

1．)(ϕe e J J =， )(ϕe e M M = 根据能量形式的运动方程式（12）可得⎰+==ϕϕϕϕϕϕωϕωωod M J J J eee o e )()(2)()(2（14）式中的定积分值可用数值积分法等求得。

dt d /)(ϕϕω=⎰⎰=ϕϕϕωϕood dt tt )()()(00ϕϕωϕϕϕt d t t =+=⎰ （15）从式（14）和式（15）中消去ϕ，可得()t ωω=。