河南省名校2015届高三上学期期中数学试卷(文科)

河南省焦作市2015届高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1＜y＜3}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[0，3）C．（1，2]D．[0，3]分析：根据题意画出数轴，再由交集的运算求出A∩B．解答：解：由题意得，集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1＜y＜3}，如图所示：则A∩B=（1，2]，故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，以及数形结合思想，属于基础题．2．设i是虚数单位，（1+i）=3﹣i，则复数z=（）A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算求解，则答案可求．解答：解：∵（1+i）=3﹣i，∴，∴．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s值是（）A．30 B．31 C．62 D．63分析：由判断框可知：n＜6时执行循环结构，否则输出s即结束程序．解答：解：由框图知，第一次循环得S=2，n=2，第二次循环得S=2+4=6，n=3，第三次循环得S=6+8=14，n=4，第四次循环得S=14+16=30，n=5，第五次循环得S=30+32=62，n=6，此时不满足条件，结束循环；故选C点评：熟练掌握循环结构的功能和正确判断流程走向是解题的关键．4．下列函数中是偶函数，且在（0，2）内单调递增的是（）A．y=x2﹣2x B．y=cosx+1 C．y=lg|x|+2 D．y=2x分析：根据偶函数的定义，偶函数图象关于y轴对称的特点，以及对数函数，余弦函数的单调性即可找出正确选项．解答：解：y=x2﹣2x不是偶函数，所以不符合条件；y=cosx+1，在（0，π）内是减函数，所以不符合条件；y=lg|x|+2=，所以该函数是偶函数，在（0，2）内单调递增，所以该选项正确；y=2x的图象不关于y轴对称，所以不是偶函数，所以不符合条件．故选C．点评：考查偶函数的定义，偶函数的图象关于y轴对称的特点，以及余弦函数、对数函数的单调性，指数函数的图象．5．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．分析：首先根据实轴长为2，解得双曲线的方程为：x2﹣y2=1，进一步求出离心率．解答：解：已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长2，即2m=2解得：m=1即a=1所以双曲线方程为：x2﹣y2=1离心率为故选：B点评：本题考查的知识要点：双曲线的方程，及离心率的求法6．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则l∥m．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2C．3D．4分析：由直线与平面垂直的判定定理知命题①正确；在命题②的条件下，直线l可能在平面α内，故命题为假；在命题③的条件下，三条直线可以相交于一点，故命题为假；在命题④中，由α∩γ=n知，n？α且n？γ，由n？α及∥βα∩β=m，得n∥m，同理n∥l，故m∥l，命题④正确．解答：解：∵①若m∥l，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理，得l⊥α，故①正确；②若m∥l，m∥α，则l∥α或l⊂α，故②错误；③如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，由AB、BC、BB1两两相交，得：若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n不成立，故③是假命题；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则由α∩γ=n知，n⊂α且n⊂γ，由n⊂α及n∥β，α∩β=m，得n∥m，同理n∥l，故m∥l，故命题④正确．故选：B．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由周期求得ω=2，根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变化规律，求得函数的解析式为y=sin（2x﹣+ϕ），再由函数的奇偶性求得ϕ=，可得函数f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈z，求得x的值，可得对称中心为（，0），k∈z，从而得出结论．解答：解：由于函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，|ϕ|＜）的最小正周期为π，故=π，ω=2．把其图象向右平移个单位后得到的函数的解析式为y=sin[2（x﹣）+ϕ]=sin（2x﹣+ϕ），为奇函数，∴﹣+ϕ=kπ，∴ϕ=kπ+，k∈z∴ϕ=，∴函数f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈z，可得x=，k∈z，故函数的对称中心为（，0），k∈z，故点（，0）是函数的一个对称中心，故选C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变化规律，复合三角函数的对称性，属于中档题．8．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）．，故体积为：，，故体积为：，V=+=，9．在△ABC中，AB=3，∠A=60°，∠A的平分线AD交BC于点D，=+λ（γ∈R），则||=（）．分析：取AC的一个三等分点E，满足AE=AC，作DF平行于AE，则由条件可得四边形AEDF 为平行四边形，求得∠AFD=120°，∠FAD=30°，∠FDA=30°，可得△AFD为等腰三角形，AF=DF=AC，故平行四边形AEDF为菱形．利用余弦定理求得AD、BD、CD的值，再由三角形的内角平分线性质可得，由此求得λ的值，从而得到AD的值．解答：解：△ABC中，∵AB=3，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于点D，且=+λ，取AC的一个三等分点E，满足AE=AC，作DF平行于AE，则由条件可得四边形AEDF为平行四边形，∴∠AFD=120°，∠FAD=30°，∠FDA=30°，故△AFD为等腰三角形，∴AF=DF=AC，故四边形AEDF为菱形．再由AF=λAB=3λ=DF=AC，可得AC=9λ，菱形AEDF的边长为3λ．△AFD中，由余弦定理可得AD2=（3λ）2+（3λ）2﹣2•3λ•3λ•cos120°=27λ2，∴AD=3λ．△ABD中，由余弦定理可得BD2=32+27λ2﹣2×3×3λ×cos30°=27λ2﹣27λ+9，∴BD=3．△ACD中，由余弦定理可得CD2=81λ2+27λ2﹣2×9λ×3λ×cos30°=27λ2=3λ．再由三角形的内角平分线性质可得，即=，解得λ=，或λ=（舍去）．故AD=3λ=3×=2，故选D．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理以及三角形的内角平分线性质应用，求得λ的值，是解题的关键和难点，属于中档题．10．已知正项等比数列{a n}满足a3•a2n﹣3=4n（n＞1），则log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n﹣1==11．已知点P在抛物线y2=4x上，点M在圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上，点N坐标为（1，0），+112．已知函数f（x）满足f（x）=2f（），当x∈[1，+∞）时，f（x）=lnx，若在区间（0，e2），），）），））﹣，＞＜∴，解得，＜＜＜＜）=2ln，此时，＜﹣＞﹣可得＜综上：＜，二、填空题：每小题5分，共20分．13．（2012•德阳二模）某学校为了解学生数学课程的学习情况，在1000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）．根据频率分布直方图可估记名学生在该次数学考试中成绩不低于60分的学生数是800．，得=0.814．已知点O为坐标原点，点M（2，﹣1），点N（x，y）满足不等式组，则•的最大值为10．由题意作出其平面区域，==•=2x==•=2x故•15．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n+1，若数列{b n}满足b n=，则其前n项和T n=．=+==故答案为：16．定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（lgx）＞的解集为（0，10）．考点：指、对数不等式的解法；函数单调性的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：设g（x）=f（x）﹣x，由f′（x）＜，得到g′（x）小于0，得到g（x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集．解答：解：设g（x）=f（x）﹣x，由f′（x）＜，得到g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）为减函数．又f（1）=1，∵f（lgx）＞=lgx+，∴g（lgx）=f（lgx）﹣lgx＞=g（1）=f（1）﹣=g（lg10），∴lgx＜lg10，0＜x＜10，故不等式f（lgx）＞的解集为（0，10），故答案为：（0，10）．点评：此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：利用导数研究函数的增减性，对数函数的单调性及特殊点，以及对数的运算性质，是一道综合性较强的试题，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC，bcosB，cosA成等差数列．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求△ABC周长的最大值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由acosC，bcosB，ccosA为等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦的化简求出cosB的值，即可确定出B的度数；（2）由b，sinB的值，利用正弦定理表示出a与c，进而表示出三角形ABC周长，利用余弦函数的值域即可确定出周长的最大值．解答：解：（1）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴2bcosB=acosC+ccosA，利用正弦定理化简得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=，则B=60°；（2）∵b=2，sinB=，∴由正弦定理得：====，即a=sinA，c=sinC，∵A+C=120°，即C=120°﹣A，∴△ABC周长为a+b+c=（sinA+sinC）+2=[sinA+sin（120°﹣A）]+2=×2sin60°cos（A﹣60°）+2=4cos（A﹣60°）+2，∵0＜A＜120°，∴﹣60°＜A﹣60°＜60°，∴＜cos（A﹣60°）≤1，即4＜4cos（A﹣60°）+2≤6，则△ABC周长的最大值为6．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题关键．18．（12分）2014年9月，河南省第十二届运动会在焦作举行，我市男子篮球队获得冠军，赛前集训期间，甲、乙两球员进行定点投篮训练，每人每组投篮100次，各5组，如图所示茎叶图表示甲、乙两位球员的投篮命中次数，其中一个数字模糊，无法确认，在图中以X表示．（1）若X=8，如果你是教练，你会首先选择甲、乙中的哪位球员上场？并说明理由；（2）若乙的平均投篮命中次数高于甲的平均投篮命中次数，从甲、乙两人投篮中次数不低于90次的5组中任选2组，求所选2组投篮命中次数差的绝对值不超过2次的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（1）X=8时，求出甲乙运动员得分的平均数与方差，由此得出正确的结论；（2）求出乙的平均投篮命中次数高于甲的平均投篮命中次数时X的值，再列出基本事件，求出对应的概率．解答：解：（1）X=8时，甲运动员得分的平均数=（88+89+90+91+92）=90，乙运动员得分的平均数是=（83+83+87+98+99）=90；甲的方差是=[（88﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2]=2，乙的方差是=[（83﹣90）2+（83﹣90）2+（87﹣90）2+（98﹣90）2+（99﹣90）2]=54.4；二人的得分水平相当，甲更稳定些，应选择甲上场；（2）当乙的平均投篮命中次数高于甲的平均投篮命中次数时，X＞8，∴X=9；从甲、乙两人投篮中次数不低于90次的5组中任选2组，基本事件为（90，91）、（90，92）、（90，99）、（90，99）、（91，92）、（91，99）、（91，99）、（92，99）、（92，99）、（99，99）共10组；所选2组投篮命中次数差的绝对值不超过2次的基本事件是（90，91）、（90，92）、（91，92）、（99，99）共4组，∴它的概率为P==0.4．点评：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据图中数据进行计算、分析，从而得出正确的结论，是基础题．19．（12分）如图，四边形BCDE为矩形，平面ABC⊥平面BCDE，AC⊥BC，AC=CD=BC=2，点F是线段AD的中点．（1）求证：AB∥平面CEF；（2）求几何体ABCDE被平面CEF分成的上下两部分的体积之比．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）连结BD，交CE于点H，连结FH，从而FH是△ABD的中位线，从而证明AB∥平面CEF；（2）由题意知，点F到平面BCDE的距离是点A到平面BCDE的距离的一半，S△CDE=S矩，从而得V F﹣CDE：V A﹣BCDE=1：4，从而得到几何体ABCDE被平面CEF分成的上下两形BCDE部分的体积之比为1：3．解答：解：（1）证明：如图，连结BD，交CE于点H，连结FH，∵四边形BCDE为矩形，∴H是线段BD的中点，又∵点F是线段AD的中点，∴FH是△ABD的中位线，∴FH∥AB，又∵FH⊂平面CEF，AB⊄平面CEF；∴AB∥平面CEF；（2）∵点F是线段AD的中点．∴点F到平面BCDE的距离是点A到平面BCDE的距离的一半，又∵S△CDE=S矩形BCDE，∴V F﹣CDE：V A﹣BCDE=1：4，∴几何体ABCDE被平面CEF分成的上下两部分的体积之比为1：3．点评：本题考查了学生的空间想象力，同时考查了作图能力及线面平行的判断、几何体的体积求法等，属于中档题．20．（12分）已知椭圆的短轴为2，左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，且满足△PF1F2的周长为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l与椭圆交于A、B两点，△ABO面积为，判断|OA|2+|OB|2是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用待定系数法，设出椭圆方程，由题意得，2b=2，2a+2c=6，又a2=b2+c2，解出a，b即可；（2）设直线l：y=kx+m，联立椭圆方程和直线方程，消去y，运用韦达定理，弦长公式和三角形的面积公式，化简整理，得到3+4k2=2m2，再由|OA|2+|OB|2=x12+x22+y12+y22代入化简整理，即可得到为定值．解答：解：（1）设椭圆的标准方程为：+=1．由椭圆的短轴为2，即有2b=2，由于△PF1F2的周长为6，则2a+2c=6，又a2=b2+c2，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆C方程为：+=1；（2）设直线l：y=kx+m，联立椭圆方程，消去y，得到：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，判别式△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即3+4k2＞m2，点O到直线的距离d=，弦长AB=|x1﹣x2|，则△ABC面积为S=d•|AB|=|x1﹣x2|•=，即有m2（﹣）=12，化简得，（3+4k2）2﹣4（3+4k2）m2+4m4=0，即为（3+4k2﹣2m2）2=0，即3+4k2=2m2，检验判别式大于0，则k2=，x1+x2=，x1x2=2﹣，则|OA|2+|OB|2=x12+x22+y12+y22=（1+k2）[（x1+x2）2﹣2x1x2]+2km（x1+x2）+2m2=（1+）[﹣2（2﹣）]﹣+2m2=2m2+1﹣4m2+6+2m2=7．故|OA|2+|OB|2为定值，且为7．点评：本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，弦长公式，和面积公式，考查化简和整理的运算求解能力，具有一定的运算量，属于综合题．21．（12分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）求导函数，利用函数在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2，建立方程组，即可求a，b的值；（II）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，恒成立，等价于恒成立，求出函数的最值，即可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵，∴∵点（1，f（1））在直线x+y=2上，∴f（1）=1，∵直线x+y=2的斜率为﹣1，∴f′（1）=﹣1∴有，∴（Ⅱ）由（Ⅰ）得由及x＞0，可得令，∴，令h（x）=1﹣x﹣lnx，∴，故h（x）在区间（0，+∞）上是减函数，故当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0从而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0∴g（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，故g（x）max=g（1）=1要使成立，只需m＞1故m的取值范围是（1，+∞）．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．一、选修22．（10分）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．考点：圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．解答：（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，（2分）因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，（6分）连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，（8分）所以，所以BC=2．（10分）点评：本题考查圆的切线，考查圆内接四边形，解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质．一、选修23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程，利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得到t2﹣t﹣1=0，由根与系数的关系，求出+=的值．解答：解：（1）消去参数t，把直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是x﹣y+1=0，利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）化为ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴普通方程是x2+y2=2y+2x，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（2）∵直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，∴；∴+=+====．点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方程的互化问题，是中档题．一、选修24．若a＞0，b＞0，+=2．（1）求a3+b3的最小值；（2）是否存在a，b，使得2a+3b=4？并说明理由．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由于a＞0，b＞0，+=2．利用基本不等式的性质可得，即ab≥1．利用基本不等式的性质可得a3+b3≥即可得出．（2）由于a，b＞0，利用（1）及基本不等式的性质可得2a+3b≥2≥，即可得出．解答：解：（1）∵a＞0，b＞0，+=2．∴，化为ab≥1，当且仅当a=b=1时取等号．∴a3+b3≥≥2，∴a3+b3的最小值为2；2）∵a，b＞0，∴2a+3b≥2≥＞4，故不存在a，b＞0，使得2a+3b=4．点评：本题综合考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。

2014-2015学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的）1．设集合A={0，1}，B={﹣1，0，m﹣2}，若A⊆B，则实数m=（）A．0 B．1C．2D．3考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：本题利用集合的包含关系得到元素与元素的关系，从而求出参数的值．解答：解：∵集合A={0，1}，∴1∈A．∵A⊆B，∴1∈B．∵B={﹣1，0，m﹣2}，∴1=m﹣2．∴m=3．故选：D．点评：本题考查的知识点是集合与元素的关系，本题思维量小，过程简单，是容易题．2．设复数z1=1+i，z2=2+bi，其中i为虚数单位，若z1•z2为实数，则实数b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意可得z1•z2=2﹣b+（2+b）i，由实数的定义可得2+b=0，解方程可得．解答：解：∵z1=1+i，z2=2+bi，∴z1•z2=（1+i）（2+bi）=2﹣b+（2+b）i，∵z1•z2为实数，∴2+b=0，解得b=﹣2故选：A点评：本题考查复数的基本概念，属基础题．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=32，则a2+a7=（）A．1 B．4C．8D．9考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S8=32，∴，∴a2+a7=8．故选：C．点评：本题考查等差数列的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=，AA1=h，则异面直线BD与B1C1所成的角为（）A．30°B．60°C．90°D．不能确定，与h有关考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由B1C1∥BC，知∠DBC是异面直线BD与B1C1所成的角（或所成的角的平面角），由此能求出异面直线BD与B1C1所成的角为60°．解答：解：∵B1C1∥BC，∴∠DBC是异面直线BD与B1C1所成的角（或所成的角的平面角），∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=，AA1=h，∴tan∠DBC===，∴异面直线BD与B1C1所成的角为60°．故选：B．点评：本题考查异面直线所成的角的大小的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．5．某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y值是（）A．﹣1 B．0.5 C．2D．10考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：按照程序框图的流程，判断输入的值是否满足判断框中的条件，“是”按y=lgx求出y．解答：解：当x=0.1时，满足第一个判断框中的条件，执行“是”，也满足第二个判断框中的条件，执行“是”，将x=0.1代入y=lgx得y=﹣1故选A．点评：本题考查解决程序框图的选择结构时，关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件．6．抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==故选：B点评：本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（）A．2 B．﹣2 C．8D．﹣8考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意知函数的周期为4，故f（2015）=f（﹣1），又由奇函数可求f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．解答：解：∵f（x+4）=f（x），∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），又∵f（x）在R上是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选B．点评：本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．8．已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈（，π），=（0，﹣1），则与的夹角等于（）A．θ﹣B．+θC．﹣θD．θ考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量夹角公式可得cos＜，＞==﹣sinθ=cos（），再由∈（，π），＜，＞∈[0，π]，y=cox在[0，π]上单调递减，可得结论．解答：解：•=cosθ×0+sinθ×（﹣1）=﹣sinθ，||=1，||=1，∴cos＜，＞==﹣sinθ=cos（），∵θ∈（，π），∴∈（，π），又＜，＞∈[0，π]，y=cox在[0，π]上单调递减，∴＜，＞=，故选C．点评：本题考查向量的数量积运算、夹角公式及诱导公式等知识，属基础题．9．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．10．x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A．14 B．7C．18 D．13考点：基本不等式；简单线性规划．专题：计算题．分析：作出可行域，得到目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最优解，从而得到3a+4b=7，利用基本不等式即可．解答：解：∵x、y满足约束条件，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0），作出可行域：由图可得，可行域为△ABC区域，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过可行域内的点C时，取得最大值（最优解）．由解得x=3，y=4，即C（3，4），∵目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，∴3a+4b=7（a＞0，b＞0），∴=（3a+4b）•（）=（9++16+）≥（25+2）=×49=7（当且仅当a=b=1时取“=”）．故选B．点评：本题考查线性规划，作出线性约束条件下的可行域，求得其最优解是关键，也是难点，属于中档题．11．若函数f（x）=x2﹣ax+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[2，+∞） D ．（2，+∞）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，由导函数等于0得到a=x+，利用基本不等式求得x+的范围得答案．解答：解：∵f（x）=x2﹣ax+lnx，∴f'（x）=x﹣a+，由题意可知存在实数x＞0，使得f'（x）=x﹣a+=0，即a=x+成立，∴a=x+≥2（当且仅当x=，即x=1时等号取到），∴实数a的取值范围是[2，+∞）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．12．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f′（x）在R上专题：计算题．分析：构造函数g（x）=f（x）﹣x﹣1，g'（x）=f′（x）﹣1＜0，从而可得g（x）的单调性，结合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．解答：解：令g（x）=f（x）﹣x﹣1，∵f′（x）＜1（x∈R），∴g′（x）=f′（x）﹣1＜0，∴g（x）=f（x）﹣x﹣1为减函数，又f（1）=2，∴g（1）=f（1）﹣1﹣1=0，∴不等式f（x）＜x+1的解集⇔g（x）=f（x）﹣x﹣1＜0=g（1）的解集，即g（x）＜g（1），又g（x）=f（x）﹣x﹣1为减函数，∴x＞1，即x∈（1，+∞）．故选A．点评：本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．等比数列{a n}的各项都是正数，若a3a15=64，则log2a9等于3．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等比数列的性质可得a9=8，代入要求的式子化简即可．解答：解：∵等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a15=64，∴a 9===8，∴log2a9=log28=3故答案为：3点评：本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，属基础题．14．在面积为S的△ABC内任取一点P，则△PAB的面积大于的概率为．考点：几何概型；诱导公式的作用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：概率与统计．分析：设DE是△ABC平行于BC的中位线，可得当P点位于△ABC内部的线段DE上方时，能使△PAB的面积大于，因此所求的概率等于△ADE的面积与△ABC的面积比值，根据相似三角形的性质求出这个面积比即可．解答：解：分别取AB、AC中点D、E，连接DE∵DE是△ABC的中位线，∴DE上一点到BC的距离等于A到BC距离的一半设A到BC的距离为h，则当动点P位于线段DE上时，△PAB的面积S=BC•h=S△ABC=S因此，当点P位于△ABC内部，且位于线段DE上方时，△PAB的面积大于．∵△ADE∽△ABC，且相似比=∴S△ADE：S△ABC=由此可得△PAB的面积大于的概率为P==．故答案为：．点评：本题给出三角形ABC内部一点P，求三角形PBC面积大于或等于三角形ABC面积的一半的概率，着重考查了相似三角形的性质和几何概型的计算等知识，属于基础题．15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是四棱锥，利用几何体的数据求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为2，所以几何体的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，考查空间想象能力与计算能力．16．已知函数f（x）=1﹣ax﹣x2，若对于∀x∈[a，a+1]，都有f（x）＞0成立，则实数a的取值范围是（﹣，﹣）．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次函数的性质结合函数的图象得到不等式组，解出即可．解答：解：令f（x）=1﹣ax﹣x2=0，∴x1=，x2=，若f（x）＞0成立，∴，解得：﹣＜a＜﹣．故答案为：（﹣，﹣）．点评：本题考查了二次函数的性质，函数的最值问题，是一道中档题．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若cosA=，求b．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinC的值代入求出ab的值，再由余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将ab的值代入即可求出a+b的值，由此求得a、b的值．（2）由cosA=，求得sinA=，由正弦定理求得a的值．再求得sinB=sin（A+C）的值，由=，求得b的值．解答：解：（1）∵S△ABC=absinC==，∴ab=4①．由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，即4=（a+b）2﹣12，则a+b=4 ②．由①②求得a=b=2．（2）∵cosA=，∴sinA=，由正弦定理可得=，即=，求得a=．又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=+=，故由=，即=，求得b=．点评：此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，属于基础题．18．（12分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据80岁以下老龄人的人数，即可估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率．（Ⅱ）由分层抽样方法可得被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0，设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B；列举从这五人中抽取3人的结果，由古典概型公式计算可得答案．解答：解：（Ⅰ）该小区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为，所以该小区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为．（Ⅱ）该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，健康指数不大于0的老龄人共有70人，由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B．从这五人中抽取3人，结果有10种：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，B），（1，3，4），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，4），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种：（1，2，B），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），∴被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为．点评：本题考查概率的计算，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；（3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE，由直三棱柱的几何特征及三角形中位线定理，可得DE∥BC1，进而由线面平行的判定定理得到结论；（2）先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA1B1B，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可（3）三棱锥B 1﹣A1DC的体积=，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：证明：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE∵四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点又∵D是AB的中点，DE∥BC1，又DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，∴BC1∥平面CA1D；（2）AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD，又∵AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AB=A，∴CD⊥面AA1B1B，又∵CD⊂面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B（3）则由（2）知CD⊥面ABB1B，∴三棱锥B1﹣A1DC底面B1A1D上的高就是CD=，又∵BD=1，BB 1=，∴A1D=B1D=A1B1=2，=，∴三棱锥B 1﹣A1DC的体积===1点评：本题主要考查了直棱柱中的线面、面面关系，线面及面面平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，棱锥的体积，推理论证的能力和表达能力，注意证明过程的严密性20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；证明题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想．分析：（1）由题设写出点M，N的坐标，求出线段MN中点坐标，根据线PA过原点和斜率公式，即可求出k的值；（2）写出直线PA的方程，代入椭圆，求出点P，A的坐标，求出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点P到直线AB的距离d；（3）要证PA⊥PB，只需证直线PB与直线PA的斜率之积为﹣1，根据题意求出它们的斜率，即证的结果．解答：解：（1）由题设知，a=2，b=，故M（﹣2，0），N（0，﹣），所以线段MN中点坐标为（﹣1，﹣）．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，所以k=．（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得，解得x=±，因此P（，），A（﹣，﹣）于是C（，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x﹣y﹣=0．因此，d=．（3）设P（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2．因为C在直线AB上，所以k2=，从而kk1+1=2k1k2+1=2•===．因此kk1=﹣1，所以PA⊥PB．点评：此题是个难题．考查椭圆的标准方程和简单的几何性质，以及直线斜率的求法，以及直线与椭圆的位置关系，体现了方程的思想和数形结合思想，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．21．（12分）已知函数f（x）=x+alnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）由已知得x＞0，，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（II）由（I）导数性质能求出当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．解答：解：（I）∵f（x）=x+alnx，∴x＞0，，∴当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞），没的减区间；当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：x （0，﹣a）﹣a （﹣a，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗函数的增区间是（﹣a，+∞），减区间是（0，a）．（II）由（I）可知当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，且有f（e）=﹣1＜1﹣1=0，f（1）=1＞0，所以，此时函数有零点，不符合题意；当a=0时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上没零点；当a＜0时，f（﹣a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，所以，当f（﹣a）=a[ln（﹣a）﹣1]＞0，即a＞﹣e时，函数f（x）没有零点，综上所述，当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．请在下面的三个题中任选一题做答【选修4—1】集合证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．考点：与圆有关的比例线段．专题：几何证明．分析：（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果解答：（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2 ∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2 故答案为：（1）略（2）CD=2点评：本题考查的知识点：证明切线的方法：连半径，证垂直．三角形相似的判定，勾股定理的应用．【选修4—4】坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数，可得直线l的普通方程，圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ，可得曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|．解答：解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为y=x+2﹣2；圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（2）x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．圆心到直线的距离为=1，∴|PQ|=2=2．点评：本题考查参数方程化成普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线与圆的位置关系，比较基础．【选修4—5】不等式选讲24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=+=•+≤•=3，求得实数M的值．（Ⅱ）关于x的不等式即|x﹣1|+|x+2|≤3，由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥3，可得|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得x的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=+=•+≤•=3，当且仅当=，即x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为[﹣2，1]．点评：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值的意义，绝对值三角不等式，属于基础题．。

河南省顶级名校2015届高三年级入学定位考试文科数学试卷（时间：120分钟 满分：150分） 【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，考查了高中全部内容.以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式性质、基本不等式、导数的综合应用、函数的性质及图象、圆锥曲线、立体几何综合、解三角形、概率、程序框图、二项式定理、绝对值不等式、参数方程极坐标、几何证明选讲、数列、命题及命题之间的关系、复数等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 【题文】1、已知集合{}{}Rx y y N x x x M x ∈==≥=,2,2，则MN =（ ）A ．(]0,1 B ． ()0,1 C ． [)0,1 D ．[]0,1【知识点】集合的表示及集合的交集A1 【答案解析】A 解析：因为{}{}{}{}201,20x M x x x x x N y y y y =≥=≤≤===>，所以(]0,1MN =，则选A .【思路点拨】在进行集合的运算时，能结合集合的元素特征进行转化的应先对集合进行转化再进行运算.【题文】2、 已知复数123+=i i z ，则z 的虚部是（ ） A ． 51 B ． 51- C ． i 51- D ． 52-【知识点】复数的运算及复数的概念L4【答案解析】B 解析：因为()312212121555i i i i z i i i ---====--++，所以z 的虚部是15-，则选B.【思路点拨】复数的代数运算是常考的知识点，应熟练掌握，注意复数的虚部是i 的系数，而不是i 51-.【题文】3、某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（ ） A ．117 B ．118 C ．118．5 D ．119．5 【知识点】茎叶图、极差、中位数I2【答案解析】B 解析：由所给的茎叶图可知：最小的数为56，最大的数为98，所以极差为98﹣56=42，又中位数为76，所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42+76=118，则选B .【思路点拨】正确认识茎叶图，理解极差与中位数的概念是解题的关键.【题文】4、已知双曲线221()my x m R -=∈与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A．y =B．y x = C ．13y x =± D ．3y x =±【知识点】双曲线与椭圆的几何性质H5 H6【答案解析】A 解析：因为椭圆的焦点坐标为(0，±2)，由双曲线方程221()my x m R -=∈得2211y x m -=，则114m +=得m=13，所以其渐近线方程为y =则选A.【思路点拨】在由椭圆和双曲线方程求其焦点和渐近线方程时，若方程不是标准形式，应把方程先化成标准形式，再进行解答.【题文】5、平面向量a 与b 的夹角为23π，(3,0)a =，2||=b ，则|2|a b +＝（ ）A ． 13B ． 37C ． 7D ． 3【知识点】向量的数量积及向量的模F3【答案解析】A 解析：因为3a =232cos33a b π•=⨯⨯=-，所以2222244916a b a b a b a b +=+=++•=+=，则选A.【思路点拨】求向量的模经常利用模的性质22a a= 进行转化求解.【题文】6．下列有关命题的叙述， ①若q p ∨为真命题，则q p ∧为真命题；②“5>x ”是“0542>--x x ”的充分不必要条件；③命题R x p ∈∃:，使得012<-+x x ，则R x p ∈∀⌝:，使得012≥-+x x ；④命题“若0232=+-x x ，则1=x 或2=x ”的逆否命题为“若1≠x 或2≠x ，则0232≠+-x x ”。

河南省洛阳市2015届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的）1．设集合A={0，1}，B={﹣1，0，m﹣2}，若A⊆B，则实数m=（）A．0 B．1C．2D．32．设复数z1=1+i，z2=2+bi，其中i为虚数单位，若z1•z2为实数，则实数b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．23．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=32，则a2+a7=（）A．1 B．4C．8D．94．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=，AA1=h，则异面直线BD与B1C1所成的角为（）A．30°B．60°C．90°D．不能确定，与h有关5．某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y值是（）A．﹣1 B．0.5 C．2D．106．抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．7．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（）A．2 B．﹣2 C．8D．﹣88．已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈（，π），=（0，﹣1），则与的夹角等于（）A．θ﹣B．+θC．﹣θD．θ9．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件10．x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A．14 B．7C．18 D．1311．若函数f（x）=x2﹣ax+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[2，+∞）D．（2，+∞）12．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＜x+1的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．等比数列{a n}的各项都是正数，若a3a15=64，则log2a9等于_________．14．在面积为S的△ABC内任取一点P，则△PAB的面积大于的概率为_________．15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为_________．16．已知函数f（x）=1﹣ax﹣x2，若对于∀x∈[a，a+1]，都有f（x）＞0成立，则实数a的取值范围是_________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若cosA=，求b．18．（12分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．19．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；（3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．21．（12分）已知函数f（x）=x+alnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．请在下面的三个题中任选一题做答【选修4—1】集合证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．【选修4—4】坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．【选修4—5】不等式选讲24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．19．证明：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE∵四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点又∵D是AB的中点，DE∥BC1，又DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，∴BC1∥平面CA1D；（2）AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD，又∵AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AB=A，∴CD⊥面AA1B1B，又∵CD⊂面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B（3）则由（2）知CD⊥面ABB1B，∴三棱锥B1﹣A1DC底面B1A1D上的高就是CD=，又∵BD=1，BB1=，∴A1D=B1D=A1B1=2，=，∴三棱锥B1﹣A1DC的体积===120．解：（1）由题设知，a=2，b=，故M（﹣2，0），N（0，﹣），所以线段MN中点坐标为（﹣1，﹣）．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，所以k=．（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得，解得x=±，因此P（，），A（﹣，﹣）于是C（，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x﹣y﹣=0．因此，d=．（3）设P（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2．因为C在直线AB上，所以k2=，从而kk1+1=2k1k2+1=2•===．因此kk1=﹣1，所以PA⊥PB．21．解：（I）∵f（x）=x+alnx，∴x＞0，，∴当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞），没的减区间；当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：x （0，﹣a）﹣a （﹣a，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗函数的增区间是（﹣a，+∞），减区间是（0，a）．（II）由（I）可知当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，且有f（e）=﹣1＜1﹣1=0，f（1）=1＞0，所以，此时函数有零点，不符合题意；当a=0时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上没零点；当a＜0时，f（﹣a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，所以，当f（﹣a）=a[ln（﹣a）﹣1]＞0，即a＞﹣e时，函数f（x）没有零点，综上所述，当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．22．（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=223．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为y=x+2﹣2；圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（2）x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．圆心到直线的距离为=1，∴|PQ|=2=2．24．解：（Ⅰ）函数f（x）=+=•+≤•=3，当且仅当=，即x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为[﹣2，1]．。

2015-2016学年上学期高三期中考试数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第 Ⅰ 卷 （选择题，共60分）注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题纸上.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数()()2lg 6f x x x =-- 的定义域为 （ ）A ．(),2-∞-B ．()3,+∞C ．()(),23,-∞-+∞D ．()2,3-2．已知a =（3，0），b =（-5，5）则a 与b 的夹角为 （ ）A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π3. 已知集合21|log ,,2A y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭1|,12xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （ ）A ．1|02y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{}|01y y <<C ．1|12y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1|12y y ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭4. “1x =”是“210x -=”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()22xf x x b =++，则()1f -= （ ）A ．3B ．1C ．1-D ．3-6．在ABC ∆中，若sin()12cos()sin()A B B C A C -=+++，则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 7.已知函数()sin 2f x x =，为了得到()cos2g x x =的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A. 向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度8.已知()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其零点所在区域为： （ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()2,39.下列函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是 ( )A ．1y x x =+B ．sin cos y x x x =+C ．1xx y e e =- D ．1ln 1x y x-=+ 10. 函数y=|tan x |·cosx (0≤x ＜23π，且x ≠2π)的图象是 （ ）11．若曲线C 满足下列两个条件：(i)存在直线m 在点P(0x ，0y )处与曲线C 相切；(ii)曲线C 在点P 附近位于直线m 的两侧．则称点P 为曲线C 的“相似拐点”. 下列命题不正确．．．的是： （ ） A.点P(0，0)为曲线C ：3y x =的“相似拐点”； B.点P(0，0) 为曲线C ：sin y x =的“相似拐点”； C.点P(0，0) 为曲线C ：tan y x =的“相似拐点”； D.点P(1，0) 为曲线C ：y lnx =的“相似拐点”.12. 若1201x x <<<，则 （ ）A.21sin sin x x -21ln ln x x >-B.2112ln ln x xe x e x <C.1212xxx x e e -<-D.1221xx x e x e <第II 卷二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 若()2sin 12sin f x x =-,则f ⎝⎭的值是 ． 14.已知1tan ,22πααπ=-<<，则sin α= ． 15.已知函数()ln 1f x x ax =-+在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有零点，则a 的取值范围为 ．16.已知函数()()33(1)log (1)a a x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围为 ．三：解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出过程或演算步骤.） 17. (本小题满分10分)已知p ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”；q ：命题“∀x ∈[1,2]，x 2－m ≤0”，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()3,7.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求()()()()4334f f f f -+-+++ 的值．19．(本小题满分12分)ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin a c Bb c A C-=-+ （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积为S ,求S AB AC⋅的值．20．(本小题满分12分)已知函数2()cos()2cos 336f x x x πππ=+- （1）求函数()f x 的周期T ； （2）求()f x 的单调递增区间．21．(本小题满分12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式()2863m y x x =+--，其中36x <<，m 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (Ⅰ) 求m 的值；(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．22. （本小题满分12分）已知函数),()(2R n m nx mxx f ∈+=在1=x 处取得极值2. （1）求)(x f 的解析式；（2）当0x >时，求)(x f 的最大值？（3）设函数a ax x x g +-=2)(2，若对于任意R x ∈1，总存在2[1,0]x ∈-，使得)()(12x f x g ≤，求实数a 的取值范围.2015-2016学年上学期高三期中考试曾都一中 枣阳一中 襄州一中 宜城一中数学（文科）参考答案CCAAD DCBCC DB 13. 12-14.515.01a ≤≤ 16.36a <≤17.解： ∵命题p 为真命题的充要条件是0∆>，即()24230m m -->，∴6m >或2m <.………………………………3分命题q 为真命题的充要条件是m ≥4 ………………………………6分 若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则p ，q 一真一假若p 真q 假得2m < 若q 真p 假得46m ≤≤∴实数m 的取值范围为2m <或46m ≤≤ ……………………………10分18、解：（Ⅰ）()231f x ax '=+ ，()131f a '∴=+ 又 ()()7251312a af -+-'==-37a ∴= 得()2317f x x x =++ ...................6分（Ⅱ） ()()2f x f x -+=()()()()43349f f f f -+-+++= ...................12分19.解：（1）2()cos()2cos 336f x x x πππ=+-1=cos cos 12333x x x πππ--1cos 1=sin +123336x x x ππππ=---－（），………………4分故T=6. ………………………………6分（2）令36t x ππ=+，则sin t 递减时，()f x 递增322,22k t k k Z ππππ∴+≤≤+∈ 6164,k x k k Z ∴+≤≤+∈得()f x 的单调递增区间为[]61,64,k k k Z ++∈ (开区间也可) ………………………………12分20．解: （1）由C A B c b c a sin sin sin +=--,得ca bc b c a +=--, 即222a b c bc =+-,由余弦定理,得:3,21cos π==A A ． ………6分 （2）1sin 2S AB AC A =⋅且cos AB AC AB AC A ⋅=⋅tan 2S A AB AC==⋅ ………12分 21．解：(Ⅰ)因为5x =时11y =，所以81162mm +=⇒=；…………………….(4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量()26863y x x =+--， 所以商场每日销售该商品所获得的利润：()()()()23263866815721083f x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+-+-⎢⎥-⎣⎦………….(8分)()()()()22410242446f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=得4x =或6x =（舍去） 函数()f x 在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当4x =时函数()f x 取得最大值()438f =…………(12分)22.【解析】（1）因为()2mx f x x n =+，所以222222)()(2)()(n x mx mn n x x mx n x m x f +-=+⋅-+='. 又()f x 在1x =处取得极值2，所以()()f 10f 12'=⎧⎪⎨=⎪⎩，即()2(1)0121m n n m n-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩解得14n m ==，，经检验满足题意，所以()241xf x x =+ ……………………………………………4分 （2）()24411x f x x x x==++，0x > 时，12x x +≥ 当且仅当1x =时取等号 ()f x ∴的最大值为()12f =. ……8分（3）()()()22411(1)x x f x x -+-'=+，令'0f x =（），得11x x =-=或. 当x 变化时，'f x f x （），（）的变化情况如下表：所以f x （）在1x =-处取得极小值12f -=-（），在1x =处取得极大值12f =（），又0x >时，0f x >（），所以f x （）的最小值为12f -=-（）， 因为对任意的1x R ∈，总存在2[1,0]x ∈-，使得()()21g x f x ≤， 所以当[1,0]x ∈-时，()222g x x ax a =-+≤-有解，即()2212x a x -≥+在[1,0]-上有解.令21x t -=，则22214t t x ++=，所以[]229,3,14t t at t ++≥∈--. 所以当[]3,1t ∈--时，()1911921424a t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤++=--+-≤- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦； a ∴的取值范围为1a ≤- ……12分。

河南省顶级名校2015—2016学年上期期中考试高三数学（文科）试题说明： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分150分，考试时间120分钟.2.将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中.第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ． 2C ．2i -D ．2i 2．命题“000(0,), lnx 1x x ∃∈∞=- ”的否定是（ ）A ．000(0,),lnx 1x x ∃∈∞≠-B ．000(0,),lnx 1x x ∃∉∞=-C ． (0,),lnx x 1x ∀∈∞≠-D ．(0,),lnx x 1x ∀∉∞=- 3．已知3.02.0=a ，3log 2.0=b ，4log 2.0=c ，则,,a b c 的大小是（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ． a b c >> 4．执行如图所示的程序框图，若输出结果为63，则M 处的条件 为（ ） A ．64?k < B ． 64?k ≥ C ．32?k < D ． 32?k ≥5．将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，所得到 的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ）A ．43π B ．4πC ．0D ．4π- 6．设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）A ．6B ．7C ．10D ．97．已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m.n ，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则；②若,,//m m αβαβ⊥⊥则；③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．设,x y 满足约束条件4300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ）A ．8B ．4C ． 2D ．1-9．设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面12,90,AB AC BAC AA ==∠=︒= 且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π10．在ABC ∆ 中错误！未找到引用源。

2014年秋期高三年级文科期中考试答案一.选择题: 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ADBADCDAACAB二.填空题:13.1 14.重心 15.4116.①②③④ 三.解答题:17.解：（I ）∵f x ()为偶函数()()∴s i n s i n -+=+ωϕωϕx x 即20s i n c o s ωϕx =恒成立∴cos ϕ=0 ∵，∴02≤≤=ϕπϕπ……………………………………………………………3分 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π ∴T =2π ∴ω=1∴f x x ()c o s = ……………………………………………………………………5分 （II ）∵原式=-++=s i n c o s t a n s i n c o s22112αααα ……………………………7分 又∵，∴s i n c o s s i n c o s αααα+=+=231249 …… ………………………9分 即259s i n c o s αα=-， 故原式=-59………………………………………10分18.解：由⎩⎨⎧+=+=xx y x y 321，得0123=-+-x x x ， 即0)1)(1(2=+-x x ，1=∴x ，∴交点为)2,1(．…………………………………2分 又x x f 2)('=，2)1('=∴f ,∴曲线)(x f y =在交点处的切线1l 的方程为)1(22-=-x y ， 即x y 2=， ……………………5分又13)('2+=x x g . ∴4)1('=g .∴曲线)(x g y =在交点处的切线2l 的方程为)1(42-=-x y ，即24-=x y . ………………………………………………………………8分 取切线1l 的方向向量为)2,1(=a ，切线2l 的方向向量为)4,1(=b ，…………10分 则858591759||||cos =⨯=⋅=b a b a θ. ……………………………………12分19.解：（Ⅰ）由,47)43(1sin ,43cos 2=-==B B 得由ac b =2及正弦定理得 .s i n s i ns i n 2C A B = 则CA AC A C C C A A C A sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1+=+=+22sin()sin 147.sin sin sin 7A CB B B B +==== …………………………6分（Ⅱ）由32BA BC ⋅=，得23cos =B ac ，由43cos =B ，可得ac ＝2，即b 2＝2．…………………………………………………………8分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得5cos 2222=+=+B ac b c a ， 3,9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a ……………………12分20.解：（Ⅰ）∵*n N ∈时，n n n a S a -=22，当2≥n 时，21112n n n a S a ---=-，…………………………………………………2分由①－②得，22111(2)(2)n n n n n n a a S a S a ----=---即2211n n n n a a a a ---=+，∵01>+-n n a a ∴)2(11≥=--n a a n n ，………………4分 由已知得，当1=n 时，21112a S a =-，∴11=a .………………………………５分故数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列.∴*()N n a n n =∈. …………６分 （Ⅱ）∵*()N n a n n =∈，∴n n n n b 2)1(31⋅-+=-λ,…………7分∴111133(1)2(1)2n n n n n n n n b b λλ++-+-=-+-⋅--⋅1233(1)2n n n λ-=⨯-⋅-⋅.要使得1n n b b +>恒成立,只须113(1)()2n n λ---⋅<. …………８分(1)当n 为奇数时,即13()2n λ-<恒成立.又13()2n -的最小值为1,∴1λ<. ……9分(2)当n 为偶数时,即13()2n λ->-恒成立.又13()2n --的最大值为32-,∴32λ>- ……………………………………１０分∴由(1),(2)得312λ-<<,又0λ≠且λ为整数,……………………１１分∴1λ=-对所有的*N n ∈,都有1n n b b +>成立. ………………１２分21.解：[)(] 1.-2f(-x),0,1x -,1,0-x )1(-x =∴∈∈则令又,)(是奇函数x f ∴f(-x)=-f(x),∴,12)()(-=-=--x x f x f ∴[).0,1,1)21()(-∈+-=x x f x.................................6分（2） f(x+4)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数， ),4,5(24log 24log 221--∈-=∴),0,1(424log 21-∈+∴211161241)21()424(log )24(log 424log 212121-=+⨯-=+-=+=∴+f f .......12分22.解：（I ）ax x x x f 22131)(23++-= ，a x x x f 2)('2++-=∴ …………………2分 函数)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，即导函数在),32(+∞上存在函数值大于零的部分， 0232)32()32('2>++-=∴a f 91->∴a ……………………………………6分(II))(x f 取到最小值316-，而a x x x f 2)('2++-=的图像开口向下，且对称轴方程为21=x ，02)1('>=a f ，0122)4('<-=a f则必有一点使得0'()0=f x……………………………………8分此时函数)(x f 在0[1,]x 上单调递增，在0[,4]x 单调递减.612)1(+=a f ,a f 8340)4(+-=,)1()4(f f <∴3168340)4()(min -=+-==∴a f x f , 1=∴a , …………………10分 此时，由200000'()202,1()=-++=∴==-舍去f x x x x x ，所以函数max 10()(2)3==f x f ………………………………………………………12分[],4,10∈x。

河南省实验中学2014——2015学年上期期中试卷高三 文科数学（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围是 ( ) A ．}{2a a ≤ B ．}{1a a ≤ C ．}{1a a ≥ D ．}{2a a ≥ 2．函数2(44)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值是 （ ）A ． 4B ．13或C ．3D ．13．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥ B ．若m αγ=，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥ 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若59355,9a Sa S ==则 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知变量x 、y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是 ( )A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[)9,6,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．(][),36,-∞+∞D ．[]3,66．1e →、2e →是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke →→→=-，122CB e e →→→=+，123CD e e →→→=-，若D B A ,,三点共线，则k 的值是 （ ） A ．1 B ．2 C ． 1-D ．2-7．已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f ，)(x f y =的图像与直线2=y 的两个相邻交点的距离等于π，则)(x f 的一条对称轴是 （ ）A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=8. 已知体积为3的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为( ) A .31 B .32 C ．1 D . 349. 下列说法错误．．的是 ( ) A ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”B ．如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题.C ．若命题p ：2,10x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥；D ．“1sin 2θ=”是“30θ=︒”的充分不必要条件； 10．已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象 ( )A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度11．函数()f x 在定义域R 上的导函数是()f x '，若()()2f x f x=-，且当(),1x ∈-∞时，()()10x f x '-<，设()0a f =、b f =、()2log 8c f =，则 ( )A ．a b c <<B ．a b c >>C ．c a b <<D ．a c b <<12．若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，则函数3()log y f x x =-的零点个数是 ( )A ．0B ．2C ．4D ．8 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．如果函数()f x 的图象与函数1()()2xg x =的图象关于直线y x =对称，则2(3)f x x -的单调递减区间是14．已知tan()3,tan()2,tan 4παβαβ+=+==那么15．,0cos 420,()log ,0x a a x a f x x x ⎧<==⎨≥⎩函数，则211((log 46f f +的值等于16. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时写出证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数→-→-⋅=b a x f )(． （Ⅰ）求函数()f x 的对称中心；（Ⅱ）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值． 18．（本小题满分12分）为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C 万元与隔热层厚度x cm 满足关系：()35kC x x =+(010x ≤≤，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（I ）求k 的值及()f x 的表达式；（II ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值． 19．（本小题满分12分）直三棱柱11154ABC A BC AB AC -==中，，， 134BC AA ==，，D 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：1AC BC ⊥； （Ⅱ）求证：11AC B CD 平面． 20．（本小题满分12分）数列}{n b 满足：.221+=+n n b b ，,1n n n a a b -=+且122,4a a ==（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列}{n a 的前n 项和n S . 21．（本小题满分12分） 已知函数)(ln )(R a xxa x f ∈+=（Ⅰ）若4=a ，求曲线)(x f 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数)(x f 的图象与函数1)(=x g 的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲如图,已知四边形ABCD 内接于O ,且AB 是O 的直径, 过点D 的O 的切线与BA 的延长线交于点M .（I ）若MD 6=，MB 12=，求AB 的长； （II ）若AM AD =，求DCB ∠的大小. 23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 已知椭圆C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 312+=， 点12F F 、为其左，右焦点，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22222( t t R ∈为参数，)． （I ）求直线l 和曲线C 的普通方程；（II ）求点12F F 、到直线l 的距离之和. 24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数a x a x x f -+-=2)(,a ∈R ,0a ≠．（I ）当1=a 时,解不等式: ()2f x >；（II ）若b ∈R 且0≠b ,证明：()()f b f a ≥，并说明等号成立时满足的条件。

2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M={x|x2≤4}，N={﹣1，0，4}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，4}B．{﹣1，0}C．{0，4}D．{﹣2，﹣1，0}2．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＜1，则﹣l≤x＜l”的逆否命题是“若x2≥1，则x＜﹣1或x≥l”B．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∀x∈R，e x≤0”C．“a＞0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件D．若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题3．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（1））=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．44．（5分）在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB=b，则角A=（）A．B．C．D．5．（5分）已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（）A．m+n=1 B．m+n=﹣1 C．mn=1 D．mn=﹣16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N*），则S6=（）A．44B．45C．（46﹣1） D．（45﹣1）7．（5分）已知非零向量，满足•=0，且|﹣|=2||，则向量﹣与的夹角为（）A．B．C． D．8．（5分）为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向左平移移动个单位长度9．（5分）使f（x）=sin（2x+θ）﹣cos（2x+θ）为偶函数，且在[，]上是减函数的θ的一个值是（）A． B． C．D．﹣10．（5分）在正项等比数列{a n}中，10a1，成等差数列，则=（）A．5 B．4 C．25 D．4或2511．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集（）A．（﹣2018，﹣2015）B．（﹣∞，﹣2016）C．（﹣2016，﹣2015）D．（﹣∞，﹣2012）12．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量=（2，1），=（0，1），=（2，3），若λ∈R且（+λ）∥，则λ=．14．（5分）观察下面数表：设1027是该表第m行的第n个数，则m+n等于．15．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=x 垂直的切线，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=4sinωx•sin（ωx+）+1（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在[，]上的值域．18．（12分）设数列{a n}是等差数列，a3=5，a5=9，数列{b n}的前n项和为S n，S n=2n+1﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若c n=a n•b n（n∈N*），T n为数列{c n}的前n项和，求T n．19．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b），曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=4x+1．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．20．（12分）已知锐角三角形ABC中，向量=（2﹣2sinB，cosB﹣sinB），=（1+sinB，cosB+sinB），且⊥．（1）求角B的大小；（2）当函数y=2sin2A+cos（）取最大值时，判断三角形ABC的形状．21．（12分）已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2（1）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．四、选做题请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-l：几何证明选讲】22．（10分）如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M={x|x2≤4}，N={﹣1，0，4}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，4}B．{﹣1，0}C．{0，4}D．{﹣2，﹣1，0}【解答】解：由x2≤4得﹣2≤x≤2，则集合M={x|﹣2≤x≤2}，又N={﹣1，0，4}，所以M∩N={﹣1，0}，故选：B．2．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＜1，则﹣l≤x＜l”的逆否命题是“若x2≥1，则x＜﹣1或x≥l”B．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∀x∈R，e x≤0”C．“a＞0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件D．若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题【解答】解：命题“若x2＜1，则﹣l≤x＜l”的逆否命题是“若x＜﹣1或≥1，则x2≥1”，A错误；命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x≤0”，B错误；当a=0时，g（x）=（ax﹣1）x=﹣x，“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”；∴“a＞0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件错误；若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，正确．3．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（1））=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．4【解答】解：由分段函数可知f（1）=1+1=2，∴f（f（1））=f（2）=4+2a，即4a=4+2a，∴2a=4，解得a=2．故选：C．4．（5分）在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB=b，则角A=（）A．B．C．D．【解答】解：利用正弦定理化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=．故选：A．5．（5分）已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（）A．m+n=1 B．m+n=﹣1 C．mn=1 D．mn=﹣1【解答】解：由题意可得，∴，故有，∴mn=1，6．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N*），则S6=（）A．44B．45C．（46﹣1） D．（45﹣1）=3S n（n∈N*），【解答】解：∵a n+1﹣S n=3S n，∴S n+1∴S n=4S n，+1S1=1，S2=3+1=4．∴数列{S n}是等比数列，首项为1，公比为4．∴S n=4n﹣1．∴S6=45．故选：B．7．（5分）已知非零向量，满足•=0，且|﹣|=2||，则向量﹣与的夹角为（）A．B．C． D．【解答】解：∵非零向量，满足•=0，且|﹣|=2||，∴，解得=，不妨令=（1，0），则=（0，）．∴=（1，﹣），设向量﹣与的夹角为θ．∴cosθ===﹣，∴．故选：D．8．（5分）为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向左平移移动个单位长度【解答】解：∵y=3cos2x=3sin（2x+）=3sin[2（x+）+]，∴把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的向左平移个单位，可得函数y=3cos2x 的图象，故选：C．9．（5分）使f（x）=sin（2x+θ）﹣cos（2x+θ）为偶函数，且在[，]上是减函数的θ的一个值是（）A． B． C．D．﹣【解答】解：∵f（x）=sin（2x+θ）﹣cos（2x+θ）=2sin（2x+θ﹣）为偶函数，∴θ﹣=kπ+，k∈Z，即θ=kπ+，故θ应从A、D中选取．若θ=，f（x）=2sin（2x+）=2cos2x，在[，]上，2x∈[，]，f（x）是减函数，满足条件．若θ=﹣，f（x）=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x，在[，]上，2x∈[，]，f（x）是增函数，不满足条件．故选：A．10．（5分）在正项等比数列{a n}中，10a1，成等差数列，则=（）A．5 B．4 C．25 D．4或25【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由10a1，成等差数列可得2×a3=10a1+3a2，∴a1q2=10a1+3a1q，∴q2﹣3q﹣10=0，解得q=5，或q=﹣2（舍去），∴==q2=25．故选：C．11．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集（）A．（﹣2018，﹣2015）B．（﹣∞，﹣2016）C．（﹣2016，﹣2015）D．（﹣∞，﹣2012）【解答】解：构造函数g（x）=x3f（x），g′（x）=x2（3f（x）+xf′（x））；∵3f（x）+xf′（x）＞0，x2＞0；∴g′（x）＞0；∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增；g（x+2015）=（x+2015）3f（x+2015），g（﹣3）=﹣27f（﹣3）；∴由不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0得：（x+2015）3f（x+2015）＞﹣27f（﹣3）；∴g（x+2015）＞g（﹣3）；∴x+2015＞﹣3，且x+2015＜0；∴﹣2018＜x＜﹣2015；∴原不等式的解集为（﹣2018，﹣2015）．故选：A．12．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．8【解答】解解：∵实数a、b、c、d满足：（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，∴b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx﹣x2，且c﹣d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线y=3lnx﹣x2求导：y′（x）=﹣2x，与y=x+2平行的切线斜率k=1=﹣2x，解得：x=1或x=﹣（舍），把x=1代入y=3lnx﹣x2，得：y=﹣1，即切点为（1，﹣1），切点到直线y=x+2的距离：=2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是8．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量=（2，1），=（0，1），=（2，3），若λ∈R且（+λ）∥，则λ=2．【解答】解：+λ=（2，1+λ），∵（+λ）∥，∴3×2﹣2（1+λ）=0，解得λ=2．故答案为：2．14．（5分）观察下面数表：设1027是该表第m行的第n个数，则m+n等于13．【解答】解：根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2=21个数，且第1个数是3=22﹣1第三行4=22个数，且第1个数是7=23﹣1第四行8=23个数，且第1个数是15=24﹣1…第10行有29个数，且第1个数是210﹣1=1023，第2个数为1025，第三个数为1027；所以1027是第10行的第3个数，所以m=10，n=3，所以m+n=13；故答案为：13．15．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：设β=α+，∴si nβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=x 垂直的切线，则实数m的取值范围是m＞2．【解答】解：∵f（x）=e x﹣mx+1，∴f′（x）=e x﹣m，∵曲线C存在与直线y=x垂直的切线，∴f′（x）=e x﹣m=﹣2成立，∴m=2+e x＞2，故答案为：m＞2．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=4sinωx•sin（ωx+）+1（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在[，]上的值域．【解答】解：（1）f（x）=4sinωxsin（ωx+）+1=4sinωx（sinωx+cosωx）+1=2sinωxcosωx+2sin2ωx+1=sin2ωx+﹣cos2ωx+1=2sin（2ωx﹣）++1，∵T==π，∴ω=1∴f（x）=2sin（2x﹣）+，∴由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[k，k]，k∈Z．（2）∵x∈[，]，2x﹣∈[0，]，∴sin（2x﹣）∈[0，1]，∴f（x）=2sin（2x﹣）++1∈[1+，3+]．18．（12分）设数列{a n}是等差数列，a3=5，a5=9，数列{b n}的前n项和为S n，S n=2n+1﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若c n=a n•b n（n∈N*），T n为数列{c n}的前n项和，求T n．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由a3=5，a5=9，得，∴a n=a3+（n﹣3）d=5+2（n﹣3）=2n﹣1；在等比数列{b n}中，由S n=2n+1﹣2，得b1=S1=2，当n≥2时，=2n，验证n=1时成立，∴．（2）∵c n=a n•b n=（2n﹣1）•2n，∴，，两式作差可得：=．∴．19．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b），曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=4x+1．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【解答】解：（1）∵f（x）=e x（ax+b），∴f′（x）=e x（ax+b+a），又∵曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=4x+1，∴f（0）=e0b=1，f′（0）=e0（b+a）=4，故a=3，b=1；（2）f（x）=e x（3x+1），f′（x）=e x（3x+4），故当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0；故函数f（x）在（﹣∞，﹣）上是减函数，在（﹣，+∞）上是增函数；故当x=﹣时，f（x）有极小值为f（﹣）=•（3×（﹣）+1）=﹣3．20．（12分）已知锐角三角形ABC中，向量=（2﹣2sinB，cosB﹣sinB），=（1+sinB，cosB+sinB），且⊥．（1）求角B的大小；（2）当函数y=2sin2A+cos（）取最大值时，判断三角形ABC的形状．【解答】解：（1）∵⊥，∴•=0，即：（2﹣2sinB）（1+sinB）+（cosB﹣sinB）（cosB+sinB）=0，化简可得3﹣4sin2B=0，∴sinB=，∵三角形ABC是锐角三角形，∴B=．（2）由（1）可知，B=，函数y=2sin2A+cos（）=2sin2A+cos（）=2sin2A+cos（）=﹣cos2A+cos2A++1=sin（2A﹣）+1．当2A﹣=时，即A=时，y有最大值，此时A=B=C，∴△ABC是正三角形．21．（12分）已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2（1）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2ax﹣a2=（x+a）（3x﹣a）由f'（x）=0得x=﹣a或，（1）当a＞0时，由f'（x）＜0，得﹣a＜x＜．由f'（x）＞0，得x＜﹣a或x＞，此时f（x）的单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞）．（2）当a＜0时，由f'（x）＜0，得，由f'（x）＞0，得x或x＞﹣a，此时f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞），综上：当a＞0时，f单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞），当a＜0时，（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞），（2）依题意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，等价于2xlnx≤3x2+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得a≥lnx﹣﹣，在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣+=﹣，令h′（x）=0，得x=1，x=﹣（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，当x变化时，h′（x），h（x）变化情况如下表：∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2，∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．四、选做题请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-l：几何证明选讲】22．（10分）如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【解答】证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴，得．∵G是AD的中点，即DG=AG．∴BF=EF．（2）连接AO，AB．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l过定点P（4，2），且倾斜角为α，∴l的参数方程为（t为参数）．由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，将代入上式中，整理得曲线C的普通方程为x2+y2﹣4x=0．（Ⅱ）将l的参数方程代入x2+y2=4x中，得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，由题意有△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，得sinα•cosα＞0，∵0≤α＜π，∴sinα＞0，且cosα＞0，从而0＜α＜．设点M，N对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得t1+t2=﹣4（sinα+cosα）＜0，t1•t2=4＞0，∴t1＜0，且t2＜0，∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=﹣t1﹣t2=4（sinα+cosα）=．由0＜α＜，得，∴≤1，故|PM|+|PN|的取值范围是．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由m＞0，有f（x）=|x﹣|+|x+m|≥|﹣（x﹣）+x+m|=+m ≥4，当且仅当=m，即m=2时取“=”，所以f（x）≥4成立．（Ⅱ）f（2）=|2﹣|+|2+m|．当＜2，即m＞2时，f（2）=m﹣+4，由f（2）＞5，求得m＞．当≥2，即0＜m≤2时，f（2）=+m，由f（2）＞5，求得0＜m＜1．综上，m的取值范围是（0，1）∪（，+∞）．。

2015高三上学期数学期中联考文科试卷（附答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。

1．已知全集 =（）. A．{3} B．{5} C．{ 1，2，4，5} D．{1，2，3，4} 2．命题“ ”的否定是( ) A． B． C． D． 3．设，则是的（） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，，，则（） A. B. C. D. 5. 如右图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( ) 6．已知单位向量、，满足，则函数（）( ) A. 既是奇函数又是偶函数 B. 既不是奇函数也不是偶函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 7．已知等比数列{ }的前项和为 ,且，则数列的公比的值为（） A．2 B．3 C．2或-3 D．2或3 8．正三角形中， , 是边上的点，且满足，则 =（） A. B． C． D． 9.函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)，(其中|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sinωx的图象，则只要将f(x)的图象( ) A．向右平移π6个单位 B．向右平移π12个单位 C．向左平移π6个单位 D．向左平移π12个单位10.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x ,则关于x的方程 f(x)= 在x∈[0,4]上解的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知函数的导函数图象如图所示，若是以角为钝角的钝角三角形，则一定成立的是（） A． B． C. D． 12．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－4.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( ) A．[2－2，2＋2] B．(2－2，2＋2) C．[1,3] D．(1,3) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题卡的横线上。

绝密★启用前2015届河南省顶级名校高三入学定位考试文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：160分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、己知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，则的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．2、抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在其准线上的射影为，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．3、如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A ．54 B ．27 C ．18 D ．94、执行如图中的程序框图，若输出的结果为21,则判断框中应填（ ） A ．B ．C ．D ．5、在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76、平面向量与的夹角为，，，则（ ）A ．B ．C ．7D ．37、已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8、某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（ ）A ．117B ．118C ．118．5D ．119．59、已知复数，则的虚部是 （ ）A ．B ．C ．D ．10、已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．11、下列有关命题的叙述，①若为真命题，则为真命题；②“”是“”的充分不必要条件；③命题，使得，则，使得；④命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”.其中错误的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412、设偶函数的部分图象如图所示，为等腰直角三角形，，，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、若点满足线性约束条件，则的取值范围是 ．14、已知直线（其中为非零实数）与圆相交于两点，O 为坐标原点，且为直角三角形，则的最小值为 .15、设O 是的三边中垂线的交点，分别为角对应的边，已知，则的范围是___________．16、已知有限集.如果A 中元素满足，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合是“复活集”；②若，且是“复活集”，则；③若，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且.其中正确的结论是___________________．（填上你认为所有正确的结论序号）三、解答题（题型注释）17、已知函数.（1）解不等式: ；（2）当时, 不等式恒成立,求实数a 的取值范围.18、在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为：（t 为参数），直线与曲线C 分别交于M ，N ．（1）写出曲线C 和直线的普通方程； （2）若成等比数列，求a 的值．19、已知在中，D 是AB 上一点，的外接圆交BC 于E ，．（1）求证：； （2）若CD 平分，且，求BD 的长.20、已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．21、椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程.22、如图, 四棱柱的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心,⊥平面ABCD, ．（1）证明: // 平面; （2）求三棱柱的体积．23、在中，角对的边分别为，已知.（1）若，求的取值范围；（2）若，求面积的最大值.24、某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，后得到如图的频率分布直方图． （1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数．（3）若从样本中数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。

2014年秋期高三年级文科期中考试试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求． 1.已知集合{}2230A x x x =--≥，{}22B x x =-≤<，则A B =（ ）A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ． []1,1-D ．[)1,22.复数i z +=31，2z 满足i z z 2421-=⋅（i 为虚数单位），则2z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a的等比中项为=+11272log log a a （ ）A ．4B ．3C ．2D ．14.已知向量的模为52,)2,1(-=，条件p ：向量的坐标为（4，2），条件q ：⊥，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ．充要条件D ． 既不充分又不必要条件5.设函数x b x f sin )(=的图象在点))6(,6(ππf A 处的切线与直线0323=+-y x 平行，若bn n a n +=2，则数列}1{na 的前2014项和2014S 的值为（ ） A ．20122011B ．20132012C ．20142013D ．201520146.已知(),x y 满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则1y k x =+的最大值等于 （ ）A ．12B ．32C ．1D ．147.已知函数()()()210cos 0x x f x x x ⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩ ，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在(),-∞+∞上是增函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 的值域为),1[+∞-8.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图像，则只要将)(x f 的图像（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度9.定义在R 上的可导函数)(x f ，当),1(+∞∈x 时，)()()(''x xf x f x f <+恒成立，),2()12(),3(21),2(f c f b f a +===则c b a ,,的大小关系为（ ） A.b a c << B.a c b << C.b c a << D.a b c <<10.若正数y x ,满足531=+xy ，则y x 43+的最小值是( )． A .524 B .528C ．5D ．611.已知,ABC ∆若对任意R k ∈有||||k ≥-，则ABC ∆一定是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定12.已知曲线方程ax x x f 2sin )(2+=)(R a ∈，若对任意实数m ，直线l ：0=++m y x 都不是曲线)(x f y =的切线，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(－1, 0)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．a ∈R 且a ≠0，a ≠－1 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13、若14log -=b a ，则b a +的最小值为 .14、O 为ABC ∆所在平面内的一点，若=++，则O 必是ABC ∆的_________.(填写“内心”、“重心”、“垂心”、“外心”之一) 15、已知正项数列}{n a 中，11=a ，212=a ，21212112-++=n n n a a a )2(≥n ，则=6a ______. 16、给出下列四个命题：①,x x R e ex ∀∈≥；②0(1,2)x ∃∈，使得0200(32)340x x x e x -++-=成立；③在ABC ∆中，若tan tan tan 0A B C ++>,则ABC ∆是锐角三角形.④已知长方体的长、宽、高分别为,,,a b c 对角线长为l ，则3333l a b c >++； 其中正确命题的序号是_______.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分10分）已知函数()()f x x ()sin =+>≤≤ωϕωϕπ00，为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π.（Ⅰ）求函数f x ()的表达式；（Ⅱ）若s i n ()αα+=f 23，求22411s i n t a n απα-⎛⎝ ⎫⎭⎪++的值.18、（本小题满分12分）设曲线1)(2+=x x f 和x x x g +=3)(在其交点处两切线的夹角为θ，求θcos . 19、（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.43cos =B （Ⅰ）求CA tan 1tan 1+的值； （Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a ＋c 的值.20.（本小题满分12分）设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*n N ∈，都有22n n n a S a =-，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设n an n n b 2)1(31λ--+=（λ为非零整数，*n N ∈），试确定λ的值，使得对任意*n N ∈；都有1n n b b +>成立.21.（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数)(x f 为奇函数，且满足)()4(x f x f =+,当[]1,0∈x 时，.12)(-=x x f（1）求)(x f 在[-1，0）上的解析式； （2）求)24(log 21f 的值.22、（本小题满分12分）设ax x x x f 22131)(23++-=， （Ⅰ）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 取值范围；（Ⅱ）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区间上的最大值.2014年秋期高三年级文科期中考试答案一.选择题:二.填空题:13.1 14.重心 15.4116.①②③④ 三.解答题:17.解：（I ）∵f x ()为偶函数()()∴s i n s i n -+=+ωϕωϕx x 即20s i n c o s ωϕx =恒成立∴cos ϕ=0 ∵，∴02≤≤=ϕπϕπ……………………………………………………………3分 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π ∴T =2π ∴ω=1 ∴f x x ()c o s = ……………………………………………………………………5分（II ）∵原式=-++=s i n c o s t a n s i n c o s22112αααα ……………………………7分 又∵，∴s i n c o s s i n c o s αααα+=+=231249 …… ………………………9分 即259s i n c o s αα=-， 故原式=-59 ………………………………………10分18.解：由⎩⎨⎧+=+=xx y x y 321，得0123=-+-x x x ， 即0)1)(1(2=+-x x ，1=∴x ，∴交点为)2,1(．…………………………………2分 又x x f 2)('=，2)1('=∴f ,∴曲线)(x f y =在交点处的切线1l 的方程为)1(22-=-x y ， 即x y 2=， ……………………5分又13)('2+=x x g . ∴4)1('=g .∴曲线)(x g y =在交点处的切线2l 的方程为)1(42-=-x y ，即24-=x y . ………………………………………………………………8分取切线1l 的方向向量为)2,1(=，切线2l 的方向向量为)4,1(=，…………10分 则858591759cos =⨯==θ. ……………………………………12分19.解：（Ⅰ）由,47)43(1sin ,43cos 2=-==B B 得由ac b =2及正弦定理得 .sin sin sin 2C A B = 则CA AC A C C C A A C A sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1+=+=+22sin()sin 1sin sin sin A C B B B B +==== …………………………6分（Ⅱ）由32BA BC ⋅=，得23cos =B ac ，由43cos =B ，可得ac ＝2，即b 2＝2．…………………………………………………………8分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得5cos 2222=+=+B ac b c a ， 3,9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a ……………………12分20.解：（Ⅰ）∵*n N ∈时，n n n a S a -=22，当2≥n 时，21112n n n a S a ---=-，…………………………………………………2分 由①－②得，22111(2)(2)n n n n n n a a S a S a ----=---即2211n n n n a a a a ---=+，∵01>+-n n a a ∴)2(11≥=--n a a n n ，………………4分由已知得，当1=n 时，21112a S a =-，∴11=a .………………………………５分 故数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列.∴*()N n a n n =∈. …………６分 （Ⅱ）∵*()N n a n n =∈，∴n n n n b 2)1(31⋅-+=-λ,…………7分∴111133(1)2(1)2n n n n n n n n b b λλ++-+-=-+-⋅--⋅1233(1)2n n n λ-=⨯-⋅-⋅.要使得1n n b b +>恒成立,只须113(1)()2n n λ---⋅<. …………８分(1)当n 为奇数时,即13()2n λ-<恒成立.又13()2n -的最小值为1,∴1λ<. ……9分(2)当n 为偶数时,即13()2n λ->-恒成立.又13()2n --的最大值为32-,∴32λ>- ……………………………………１０分∴由(1),(2)得312λ-<<,又0λ≠且λ为整数,……………………１１分∴1λ=-对所有的*N n ∈,都有1n n b b +>成立. ………………１２分21.解：[)(] 1.-2f(-x),0,1x -,1,0-x )1(-x=∴∈∈则令又,)(是奇函数x f ∴f(-x)=-f(x),∴,12)()(-=-=--xx f x f∴[).0,1,1)21()(-∈+-=x x f x .................................6分 （2） f(x+4)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数， ),4,5(24log 24log 221--∈-=∴),0,1(424log 21-∈+∴211161241)21()424(log )24(log 424log 212121-=+⨯-=+-=+=∴+f f .......12分22.解：（I ）ax x x x f 22131)(23++-= ，a x x x f 2)('2++-=∴ …………………2分 函数)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，即导函数在),32(+∞上存在函数值大于零的部分， 0232)32()32('2>++-=∴a f 91->∴a ……………………………………6分(II))(x f 取到最小值a x x x f 2)('2++-=的图像开口向下，且对称轴方程为21=x ，02)1('>=a f ，0122)4('<-=a f则必有一点使得0'()0=f x……………………………………8分此时函数)(x f 在0[1,]x 上单调递增，在0[,4]x 单调递减.612)1(+=a f ,a f 8340)4(+-=,)1()4(f f <∴3168340)4()(min -=+-==∴a f x f , 1=∴a , …………………10分 此时，由200000'()202,1()=-++=∴==-舍去f x x x x x ，12分[],4,10∈x。

河南省名校2015届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1．在复平面内，复数201523Z i i=+-对应的点位于 （ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 2．已知集合1|lg x M x y x -⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{}2|23N y y x x ==++，则()M N =R ð（ ）A ．{x |10＜x ＜1}B ．{x |x ＞1}C ．{x |x ≥2}D ．{x |1＜x ＜2} 3．已知sin2α＝－2425，α∈（－4π，0），则sin α＋cos α＝（ ） A ．－15 B ．15 C ．－75 D ．754．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，f （x ）＝x －x e －（e 为自然对数的底数），则)6(ln f 的值为（ ）A ．ln6＋6B ． ln6－6C ． －ln6＋6D ．－ln6－65．已知向量()82-+=，a b ，()816-=-，a b ，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．6365 B ．6365- C ．6365± D ．5136．执行下图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是 ( ) A ．870 B ．30C ．6D ．37．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π 个单位后关于原点对称，则函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ） A． B ．12- C ．12D8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．92C ．32D ．39. 已知数列{}n a 为等差数列，{}n b为等比数列，且满足：正视图 侧视图xπ=+10131003a a ，296=⋅b b ，则1201578tan1a a b b +=+（ ）A .1B .1- CD10．若点M （y x ,）为平面区域210100x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩上的一个动点，则y x 2+的最大值是( )A ．-1B ．12- C ．0D ．111．已知函数()2014sin (01)(),log 1x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若c b a 、、互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是( )A ．（1，2014）B ．（1，2015）C ．（2，2015）D ．[2， 2015] 12. 已知定义的R 上的偶函数()f x 在),0[+∞上是增函数，不等式(1)(2)f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( )A .[]3,1--B . []2,0-C . []5,1--D . []2,1-第II 卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13．已知tan()2θπ-=，则22sin sin cos 2cos 3θθθθ+-+的值为14. 设a 为324()2313g x x x x =+--的极值点，且函数,0,()log ,0,x aa x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则211log 46f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值等于 ．15．设正实数x 、y 、z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为16．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于x ∀∈R 恒有()(2)f x f x =-，已知当[]0,1x ∈时，()112xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭则（1）()f x 的周期是2； （2）()f x 在（1，2）上递减，在（2，3）上递增； （3）()f x 的最大值是1，最小值是0；（4）当()3,4x ∈时，()312x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭其中正确的命题的序号是 .三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）DCBAFE设函数24()cos(2)2cos .3f x x x π=-+ （1）求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值时x 的集合；（2）已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3(),22f A b c π-=+=，求a 的最小值.18．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，22n n S a =- . （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设2log n n b a =，11n n n c b b +=，记数列{c n }的前n 项和T n .若对n ∈N *，()4n T k n ≤+恒成立，求实数k 的取值范围．19．（本小题满分12分）如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形， ED ⊥面ABCD ，3BAD π∠=．(1)求证://BCF AED 平面平面；(2)若BF BD a A BDEF ==-，求四棱锥的体积．20. （本小题满分12分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．21. （本小题满分12分）已知函数)ln ()(2x x a x x f ++=，0>x ，R a ∈是常数．（1）求函数)(x f y =的图象在点()()1 , 1f 处的切线方程；（2）若函数)(x f y =图象上的点都在第一象限，试求常数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知圆上的BDAC=，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．（Ⅰ）求证：∠ACE＝∠BCD；（Ⅱ）若BE＝9，CD＝1，求BC的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l：cossinx ty tαα⎧⎨⎩＝＋m＝(t为参数)恒经过椭圆C：5cos3sinxyϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|F A|·|FB|的最大值与最小值．24. （本小题满分10分）已知函数()|21||23|.f x x x=++-（1）求不等式()6f x≤的解集；（2）若关于x的不等式()|1|f x a<-的解集非空，求实数a的取值范围.1)32cos(12sin 232cos 21++=+-=πx x x ……………3分 )(x f 的最大值为2 ………………………………………4分要使)(x f 取最大值，)(232,1)32cos(Z k k x x ∈=+=+πππ故x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ………6分 （2）由题意；23)(=-A f π，即.21)322cos(=+-ππA化简得21)32cos(=-πA ……………………………………………………8分()0A π∈Q ，，)35,3(32πππ-∈-∴A ，只有332ππ=-A ，.3π=A ………9分在ABC ∆中，由余弦定理，bc c b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π………10分由2=+c b 知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a ，………………………………11分 当1==c b 时，a 取最小值.1…………………………………12分18.解： （1）当1=n 时，21=a ，当2≥n 时，)22(2211---=-=--n n n n n a a S S a即：21=-n na a ，∴数列{}n a 为以2为公比的等比数列 n n a 2=∴ （2）由b n ＝log 2a n 得b n ＝log 22n＝n ，则c n ＝11n n b b +＝()11n n +＝1n －11n +， T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －11n +＝1－11n +＝1n n +. ∵1n n +≤k(n＋4)，∴k≥21454n n n n n n ＝(＋)(＋)＋＋＝145n n＋＋.∵n ＋4n＋5＝9，当且仅当n ＝4n，即n ＝2时等号成立，∴145n n ＋＋≤19，因此k≥19，故实数k 的取值范围为1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 19．证明：（1）由ABCD 是菱形//BC AD ∴,BC ADE AD ADE ⊄⊂面面//BC ADE ∴面………………3分由BDEF 是矩形//BF DE∴,BF ADE DE ADE ⊄⊂面面//BF ADE∴面,,BC BCF BF BCF BC BF B ⊂⊂=面面……………6分（2）连接AC ，ACBD O =由ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥由ED ⊥面ABCD ,AC ABCD ⊂面 ED AC ∴⊥ ,,ED BD BDEF ED BD D ⊂=面AO BDEF ∴⊥面，………………8分则AO 为四棱锥A BDEF -的高 由ABCD 是菱形，3BAD π∠=，则ABD ∆为等边三角形，由BF BD a ==；则,AD a AO ==，2BDEF S a =，2313A BDEF V a -=⋅=………………………………………12分 20. 解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. …………………………………4分 (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )， 有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①又因为点P 在椭圆上，所以x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c .代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x 1－0）2＋（y 1－c ）2＝53c . ………………10分 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15， 所以直线l 的斜率为4＋15或4－15.………………12分 21解：（1）函数的定义域为{}0|>x x ,)11(2)(/xa x x f ++= a f +=1)1(，a f 22)1(/+=函数)(x f y =的图象在点))1( , 1(f 处的切线为)1)(22()1(-+=+-x a a y ，即)12)(1(-+=x a y …………………………4分（2）①0=a 时，2)(x x f =，因为0>x ，所以点) , (2x x 在第一象限，依题意，0)ln ()(2>++=x x a x x f②0>a 时，由对数函数性质知，)1 , 0(∈x 时，)0 , (ln -∞∈x ，)0 , (ln -∞∈x a ，从而“0>∀x ，0)ln ()(2>++=x x a x x f ”不成立 ③0<a 时，由0)ln ()(2>++=x x a x x f 得)ln 11(12x xx a +-<，设)ln 11()(2x x x x g +-=，x xx x x g ln 21)(33/+-=1)1()(-=≥g x g ，从而1)ln 11(12-<+-<x xx a ，01<<-a 综上所述，常数a 的取值范围01≤<-a …………………………8分（3）计算知111)1()(-+++=--e aa e e f e f 设函数1)1(21)1()()()(/--++-=---=e ax a e x e f e f x f x g 1)1()2(11)1(2----=--+-=e e e a e a a e g ，)1()1(11)(2---=--+-=e e a e e e a e a e e g 当2)1(->e e a 或2)1(2--<e e a 时，222)1(])1(][)1()2([)()1(-------=e e e e a e e a e g g 0<， 因为)(x g y =的图象是一条连续不断的曲线，所以存在) , 1(e ∈ξ，使0)(=ξg ，即) , 1(e ∈ξ，使1)1()()(/--=e f e f f ξ；当22)1(2)1(-≤≤--e e a e e 时，)1(g 、0)(≥e g ，而且)1(g 、)(e g 之中至少一个为正，由均值不等式知，1122)(2--+-≥e e a a x g ，等号当且仅当) , 1(2e ax ∈=时成立，所以)(x g 有最小值1)1(2)1(2112222----+-=--+-=e e a e a e e a a m ，且 01)3)(1()]1(2[1)1(2)1(222<---+---=----+-=e e e e a e e a e a m ，此时存在) , 1(e ∈ξ（)2, 1(a ∈ξ或) , 2(e a∈ξ），使0)(=ξg 综上所述，R a ∈∀，存在) , 1(e ∈ξ，使1)1()()(/--=e f e f f ξ………………12分（22）解：（Ⅰ）,AC BD ABC BCD =∴∠=∠．………………（2分）又EC 为圆的切线，,ACE ABC ∴∠=∠∴ACE BCD ∠=∠．……………（5分）（Ⅱ）EC 为圆的切线，∴CDB BCE ∠=∠，由（Ⅰ）可得BCD ABC ∠=∠，……………………………………（7分）∴△BEC ∽△CBD ，∴CD BCBC EB=，∴BC =3．……………………（10分） （23）解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得221259x y +=，5,3,4,a b c ∴===则点F 的坐标为(4,0).直线l 经过点(,0),4m m ∴=.…………………………………（4分） （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理得：222(9cos 25sin )72cos 810t t ααα++-=.设点,A B 在直线参数方程中对应的参数分别为12,t t ，则12||||||FA FB t t ⋅==2228181.9cos 25sin 916sin ααα=++………………（8分） 当sin 0α=时，||||FA FB ⋅取最大值9；当sin 1α=±时，||||FA FB ⋅取最小值81.25………………………（10分） 24. （Ⅰ）原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩----3分 解，得3131212222x x x <≤-≤≤-≤<-或或即不等式的解集为}21|{≤≤-x x -------------------------------5分（Ⅱ）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x ------------------8分4|1|>-∴a 5,3>-<∴a a 或------10分。

河南省实验中学2014——2015学年上期期中试卷数学文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围是 ( ) A ．}{2a a ≤ B ．}{1a a ≤ C ．}{1a a ≥ D ．}{2a a ≥【知识点】集合及其运算A1【答案解析】D 由}{12A x x =<<}{B x x a =<A B ⊆则}{2a a ≥故答案为D 。

【思路点拨】根据子集的定义求出a 的范围。

2．函数2(44)xy a a a =-+是指数函数，则a 的值是 （ ）A ． 4B ．13或C ．3D ．1 【知识点】指数函数B6【答案解析】C 由题意得201441a a a a >⎧⎪≠⎨⎪-+=⎩得a=3,故选C 。

【思路点拨】根据指数函数的定义求出a 。

3．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥ B ．若m αγ=，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥ 【知识点】空间中的平行关系垂直关系G4 G5【答案解析】C 对于A ,m ββ⊂∂⊥，则m 与∂的关系有三种m 平行∂，m ⊂∂或m ∂与相交A 错，对于B, m αγ=，m n ∥，则αβ∥还有相交的情况，B 错误，对于D αγ⊥，αβ⊥，还有可能平行，故选C.【思路点拨】根据线面关系面面关系排除法求结果。

【题文】4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若59355,9a Sa S ==则 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【知识点】等差数列及等差数列前n 项和D2【答案解析】A 根据等差数列的性质59355,9a S a S ==则5395aa =1，故选A 。

2014-2015学年河南省信阳市高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设全集U={x∈N|x≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁U A）∩B 等于（）A．{4，6}B．{5}C．{1，3}D．{0，2}2．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∀x∈R，x2≥xB．命题“若x=1，则x2=1”的逆命题C．∃x∈R，x2≥xD．命题“若x≠y，则sinx≠siny”的逆否命题4．（5分）“a=3”是“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）A．B．C．y=x3 D．y=tanx6．（5分）已知函数f（x）=（）x﹣x，那么在下列区间中含有函数f（x）零点的是（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（0，）7．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ等于（）A．﹣ B．C．D．8．（5分）为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，只需把函数y=sin2x﹣cos2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|≤，x∈R）的部分图象如图所示，则该函数表达式为（）A．y=2sin（x﹣）+1 B．y=2sin（x﹣）C．y=2sin（x+）+1 D．y=2sin（x+）+110．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则不等式f（x﹣2）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x ＜﹣2或x＞2}11．（5分）已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣]12．（5分）已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）二.填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是．14．（5分）若cosα=﹣，且角α的终边经过点（x，2），则P点的横坐标x 是．15．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）=的x值为．16．（5分）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是小时．三.解答题（本大题6小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=2x2﹣2ax+b，当时x=﹣1时，f（x）取最小值﹣8，记集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x﹣t|≤1}（Ⅰ）当t=1时，求（∁R A）∪B；（Ⅱ）设命题P：A∩B≠∅，若￢P为真命题，求实数t的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=log2（2x+1）（Ⅰ）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（Ⅱ）若g（x）=log2（2x﹣1）（x＞0），且关于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx+2cos2x，x∈R（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[，π]，求函数f（x）的值域．20．（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．（1）求A；（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．21．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=3米，AD=2米．（I）设AN=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；（Ⅱ）若x∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积．22．（12分）已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．2014-2015学年河南省信阳市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设全集U={x∈N|x≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁U A）∩B 等于（）A．{4，6}B．{5}C．{1，3}D．{0，2}【解答】解：∵全集U={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6 }，A={1，3，5}，B={4，5，6}，∴C U A={0，2，4，6}，∴（C U A）∩B═{0，2，4，6}∩{4，5，6}={4，6}．故选：A．2．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设幂函数为：y=xα∵幂函数的图象经过点（4，），∴=4α∴α=﹣∴y=则f（）的值为：．故选：B．3．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∀x∈R，x2≥xB．命题“若x=1，则x2=1”的逆命题C．∃x∈R，x2≥xD．命题“若x≠y，则sinx≠siny”的逆否命题【解答】解：对于A，当x∈（0，1）时，不等式不成立，故A为假；对于B，命题“若x=1，则x2=1”的逆命题是“若x2=1，则x=1”不正确，因为x2=1，则x=±1，故逆命题不正确；对于C，当x∈（﹣∞，0]∪[1，+∞）时，不等式，x2≥x成立，故此命题正确，对于D，题“若x≠y，则sinx≠siny”不对，如y=x+2π时，由于原命题不正确，故其逆否命题也不正确．故选：C．4．（5分）“a=3”是“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增，可得f（x）的对称轴为x=﹣=a，开口向上，可得a≤3，∴“a=3”⇒“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”，∴“a=3”是“函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的充分而不必要条件，故选：A．5．（5分）下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）A．B．C．y=x3 D．y=tanx【解答】解：A选项的定义域不关于原点对称，故不正确；B选项正确，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减；C选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增；D选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增．故选：B．6．（5分）已知函数f（x）=（）x﹣x，那么在下列区间中含有函数f（x）零点的是（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（0，）【解答】解：因为f（x）=（）x﹣x，所以f（）=（）﹣（）=＜0，f（1）=﹣1=＜0，f（）=（）﹣（）＜0，f（）=（）﹣（）＞0，f（0）=1＞0，所以函数的零点在（）上；故选：C．7．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ等于（）A．﹣ B．C．D．【解答】解：由sin（+θ）=，即sinθ+cosθ=，平方可得+sin2θ=，解得sin2θ=﹣，故选：A．8．（5分）为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，只需把函数y=sin2x﹣cos2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【解答】解：分别把两个函数解析式简化为y=sin2x+cos2x=．函数y=sin2x﹣cos2x═，又，可知只需把函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移个长度单位，得到函数y=sin2x+cos2x的图象．故选：A．9．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|≤，x∈R）的部分图象如图所示，则该函数表达式为（）A．y=2sin（x﹣）+1 B．y=2sin（x﹣）C．y=2sin（x+）+1 D．y=2sin（x+）+1【解答】解：由函数的图象可得k=1，A=3﹣1=2，T=•=﹣2，求得ω=．再把点（2，3）代入函数的解析式可得2sin（×2+φ）+1=3，∴sin（×2+φ）=1．故×2+φ=2kπ+，k∈z，即φ=2kπ﹣．再结合|φ|＜，可得φ=﹣，故有y=2sin（x+）+1，故选：A．10．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则不等式f（x﹣2）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x ＜﹣2或x＞2}【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）=﹣2x﹣4，又函数为偶函数，所以f（x）=﹣2x﹣4，当x≥0时，由f（x）=2x﹣4＞0，得x＞2，当x＜0时，由f（x）=﹣2x﹣4＞0，得x＜﹣2，所以不等式f（x﹣2）＞0的解集为{x|x＜0，或x＞4}．故选：B．11．（5分）已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣]【解答】解：因为x1∈[0，3]时，f（x1）∈[0，ln10]；x2∈[1，2]时，g（x2）∈[﹣m，﹣m]．故只需0≥﹣m⇒m≥．故选：A．12．（5分）已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选：D．二.填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是[0，+∞）．【解答】解：由函数可得，1﹣≥0，即≤，解得x≥0，故函数的定义域是[0，+∞），故答案为[0，+∞）．14．（5分）若cosα=﹣，且角α的终边经过点（x，2），则P点的横坐标x是﹣2．【解答】解：∵cosα=﹣＜0∴α为第II象限或第III象限的角又由角α的终边经过点P（x，2），故α为第II象限角，即x＜0，则cosα=﹣=解得x=﹣2，或x=2（舍去）故答案为：﹣2．15．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）=的x值为．【解答】解：∵函数f（x）=，满足f（x）=，∴当x≤1时，，解得x=2，不成立；当x＞1时，log41x=，解得x=．故答案为：．16．（5分）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是小时．【解答】解：设两船在B点碰头，由题设作出图形，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，则AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，由余弦定理，知（21x）2=100+（9x）2﹣2×10×9x×cos120°，整理，得36x2﹣9x﹣10=0，解得x=，或x=﹣（舍）．答：舰艇到达渔船的最短时间是小时．故答案为：．三.解答题（本大题6小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=2x2﹣2ax+b，当时x=﹣1时，f（x）取最小值﹣8，记集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x﹣t|≤1}（Ⅰ）当t=1时，求（∁R A）∪B；（Ⅱ）设命题P：A∩B≠∅，若￢P为真命题，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2x2﹣2ax+b，在x=﹣1时，f（x）取最小值﹣8，∴；解得a=﹣2，b=﹣6，∴f（x）=2x2+4x﹣6；∴集合A={x|f（x）＞0}={x|2x2+4x﹣6＞0}={x|x＜﹣3，或x＞1}，∴C R A={x|﹣3≤x≤1}；当t=1时，B={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}，∴（∁R A）∪B={x|﹣3≤x≤2}；（Ⅱ）∵B={x||x﹣t|≤1}={x|t﹣1≤x≤t+1}，由题意知命题P：A∩B≠∅为假命题，∴，解得﹣2≤t≤0；∴实数t的取值范围是[﹣2，0]．18．（12分）已知函数f（x）=log2（2x+1）（Ⅰ）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（Ⅱ）若g（x）=log2（2x﹣1）（x＞0），且关于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log2（2x+1），任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=log2（2x+1+1）﹣log2（+1）=log2，∵x1＜x2，∴0＜＜1，∴log2＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（2）∵g（x）=m+f（x），∴m=g（x）﹣f（x）=log2（2x﹣1）﹣log2（2x+1）=log2=log2（1﹣），∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4，∴log2≤log2（1﹣）≤log2，故m的取值范围．[log2，log2]．19．（12分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx+2cos2x，x∈R（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[，π]，求函数f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+=+sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；因为y=sinx的单调递增区间为[2kπ﹣.2kπ+]，所以令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，解得kπ﹣≤x≤kπ+，所以f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]；（II）因为x∈[，π]，所以2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣1，]，所以函数f（x）的值域为：[，2]．20．（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．（1）求A；（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=，∴B+C=，则A=；（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc，解得：bc=4，则S=bcsinA=×4×=．△ABC21．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=3米，AD=2米．（I）设AN=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；（Ⅱ）若x∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：由于，则AM=故S AMPN=AN•AM=（4分）（1）由S AMPN＞32得＞32，因为x＞2，所以3x2﹣32x+64＞0，即（3x﹣8）（x﹣8）＞0从而即AN长的取值范围是（8分）（2）令y=，则y′=（10分）因为当x∈[3，4）时，y′＜0，所以函数y=在[3，4）上为单调递减函数，从而当x=3时y=取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，此时AN=3米，AM=9米22．（12分）已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=x+lnx，，∴f（1）=1，f'（1）=2，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣1=0；（II）函数f（x）=x+alnx，．当a≥0时，在x∈（0，+∞）时f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）与f'（x）在定义域上的情况如下：∴f（x）的单调减区间为（0，﹣a），单调增区间为（﹣a，+∞）．∴当a≥0时f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调减区间为（0，﹣a），单调增区间为（﹣a，+∞）．（III）由（II）可知，①当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，且有，f（1）=1＞0，此时函数有零点，不符合题意；②当a=0时，函数f（x）=x，在定义域（0，+∞）上没零点；③当a＜0时，f（﹣a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，∴当f（﹣a）=a（ln（﹣a）﹣1）＞0，即a＞﹣e时，函数f（x）没有零点．综上所述，当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x=，令()u g x=，若()y f u=为增，()u g x=为增，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为减，()u g x=为减，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为增，()u g x=为减，则[()]y f g x=为减；若()y f u=为减，()u g x=为增，则[()]y f g x=为减．（2）打“√”函数()(0)af x x ax=+>的图象与性质()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x=的定义域为I，如果存在实数yxoM 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

河南省实验中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{A=x|1＜x＜2}，{B=x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A．{a|a≥2}B．{a|a＞2} C．{a|a≥1}D．{a|a≤2}2．（5分）函数y=（a2﹣4a+4）a x是指数函数，则a的值是（）A．4 B．1或3 C．3 D．13．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，3]∪[6，+∞）D． [3，6]6．（5分）是平面内不共线两向量，已知，若A，B，D三点共线，则k的值是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的一条对称轴是（）A．x=﹣B．x=C．x=﹣D．x=8．（5分）已知体积为的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为（）A．B．C．1 D．9．（5分）下列说法错误的是（）A．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”B．如果命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题C．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0D．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件10．（5分）已知函数的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．（5分）函数f（x）在定义域R上的导函数是f′（x），若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0、b=f（）、c=f（log28），则（）A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．c＜a＜b D．a＜c＜b12．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）=log3|x|的零点个数是（）A．多于4个B．4个C．3个D．2个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）如果函数f（x）的图象与函数g（x）=（）x的图象关于直线y=x对称，则f（3x ﹣x2）的单调递减区间是．14．（5分）已知tan（α+β）=3，tan（α+）=2，那么tanβ=．15．（5分）设α=cos420°，函数f（x）=，则f（）+f（log2）的值等于．16．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时写出证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量，函数．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，且a ＞b，求a，b的值．18．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．19．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD．20．（12分）数列{b n}满足：b n+1=2b n+2，b n=a n+1﹣a n，且a1=2，a2=4．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n的前n项和S n．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）若a=4，求曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的极值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知四边形ABCD内接于ΘO，且AB是的ΘO直径，过点D的ΘO的切线与BA的延长线交于点M．（1）若MD=6，MB=12，求AB的长；（2）若AM=AD，求∠DCB的大小．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．（坐标系与参数方程选做题）已知椭圆C的极坐标方程为，点F1、F2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为（t为参数，t∈R）．（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，a∈R，a≠0．（Ⅰ）当a=1时，解不等式：f（x）＞2；（Ⅱ）若b∈R且B≠0，证明：f（b）≥f（a），并说明等号成立时满足的条件．河南省实验中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{A=x|1＜x＜2}，{B=x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A．{a|a≥2}B．{a|a＞2} C．{a|a≥1}D．{a|a≤2}考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：在数轴上画出图形，结合图形易得a≥2．解答：解：在数轴上画出图形易得a≥2．故选A．点评：本题考查集合的包含关系，解题时要作出图形，结合数轴进行求解．2．（5分）函数y=（a2﹣4a+4）a x是指数函数，则a的值是（）A．4 B．1或3 C．3 D．1考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：指数函数是形式定义，即y=a x，（a＞0，且a≠1），从而求a．解答：解：由题意得，，解得，a=3，故选C．点评：本题考查了指数函数的定义，属于基础题．3．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：由m⊂β，α⊥β，可得m与α的关系有三种说明A错误；由α∩γ=m，β∩γ=n，且m∥n得到α与β的位置关系有两种说明B错误；利用线面平行的性质结合面面垂直的判定说明C正确；由α⊥γ，α⊥β，得到β与γ可能平行也可能相交说明D错误．解答：解：对于A，m⊂β，α⊥β，则m与α的关系有三种，即m∥α、m⊂α或m与α相交，选项A错误；对于B，α∩γ=m，β∩γ=n，若m∥n，则α∥β或α与β相交，选项B错误；对于C，m⊥β，m∥α，则α内存在与m平行的直线与β垂直，则α⊥β，选项C正确；对于D，α⊥γ，α⊥β，则β与γ可能平行，也可能相交，选项D错误．故选：C．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中的线与线、线与面、面与面的关系，是中档题．4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，3]∪[6，+∞）D． [3，6]考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．解答：解：约束条件对应的平面区域如下图示：三角形顶点坐标分别为（1，3）、（1，6）和（），表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值，故的取值范围是故选A．点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．6．（5分）是平面内不共线两向量，已知，若A，B，D三点共线，则k的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：向量的共线定理．专题：计算题．分析：由A，B，D三点共线，可构造两个向量共线，再利用两个向量共线的定理求解即可．解答：解：∵A，B，D三点共线，∴与共线，∴存在实数λ，使得=；∵=3e1﹣e2﹣（2e1+e2）=e1﹣2e2，∴e1﹣ke2=λ（e1﹣2e2），∵e1、e2是平面内不共线的两向量，∴解得k=2．故选B点评：本题考查三点共线和向量共线的转化和向量共线的条件，属基本题型的考查．7．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的一条对称轴是（）A．x=﹣B．x=C．x=﹣D．x=考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：化简函数f（x）=sinωx+cosωx为f（x）=2sin（ωx+），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，求出函数的周期，推出ω，得到函数解析式，从而可求f（x）的一条对称轴．解答：解：函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），因为y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，函数的周期T=π，所以ω=2，所以f（x）=2sin（2x+），因为2x+=+kπ k∈Z，解得x=，k∈Z，当k=0时，有x=．故选：D．点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于基础题．8．（5分）已知体积为的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为（）A．B．C．1 D．考点：由三视图还原实物图．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，几何体的体积，直接求出几何体的高即可．解答：解：由三视图可知正三棱柱的底面边长为2，设正三棱柱的高为：h，正三棱柱的体积为：=，解得h=1．故选C．点评：本题考查三视图与直观图的关系，几何体的体积的应用，考查计算能力．9．（5分）下列说法错误的是（）A．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”B．如果命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题C．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0D．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用；特称命题；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：利用四种命题的逆否关系判断A的正误；复合命题的真假判断B的正误；命题的否定判断C的正误；充要条件判断D的正误；解答：解：对于A，命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”，满足否命题的定义，所以A正确；对于B，如果命题“￢p”是真命题，命题“p或q”是真命题，则p，q至少已改是真命题，所以那么命题q一定是真命题，所以B正确．对于C，若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，满足特称命题的否定是全称命题的形式，所以C正确；对于D，“sinθ=”是“θ=30°”的必要不充分条件，不是充分不必要条件，所以D不正确．故选：D．点评：本题考查命题的否定，充要条件，四种命题的逆否关系，复合命题的真假的判断，基本知识的考查．10．（5分）已知函数的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由周期函数的周期计算公式：，算得ω=2．接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．解答：解：由题知ω=2，所以，故选择A．点评：本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题．11．（5分）函数f（x）在定义域R上的导函数是f′（x），若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0、b=f（）、c=f（log28），则（）A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．c＜a＜b D．a＜c＜b考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：先由x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，得函数f（x）在（﹣∞，1）上为增函数；又f（x）=f（2﹣x）得f（x）图象关于x=1对称，则 f（x）在（1，+∞）上为减函数，然后将f（0），f（），f（log28）化到同一单调区间内比较即可．解答：解：∵x∈（﹣∞，1）时，∴（x﹣1）f'（x）＜0，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，又∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）图象关于x=1对称，∴f（x）在（1，+∞）上为减函数，又∵a=f（0）=f（2），b=f（），c=f（log28）=f（3），∴3＞2＞，∴c＜a＜b．故选：C．点评：解题的关键为由f（x）=f（2﹣x）得函数图象关于x=1对称，以及利用导数符号确定函数的单调性，属于常用解题技巧．12．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）=log3|x|的零点个数是（）A．多于4个B．4个C．3个D．2个考点：对数函数的图像与性质；函数的周期性．专题：压轴题；数形结合．分析：根据定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，我们易画出函数f（x）的图象，然后根据函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数，即为对应方程的根的个数，即为函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象交点的个数，利用图象法得到答案．解答：解：若函数f（x）满足f（x+2）=f（x），则函数是以2为周期的周期函数，又由函数是定义在R上的偶函数，结合当x∈[0，1]时，f（x）=x，我们可以在同一坐标系中画出函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象如下图所示：由图可知函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象共有4个交点，即函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是4个，故选B点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，利用转化思想，将函数的零点个数问题，转化为函数图象交点个数问题，是解答本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）如果函数f（x）的图象与函数g（x）=（）x的图象关于直线y=x对称，则f（3x﹣x2）的单调递减区间是．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）的图象与函数g（x）=（）x的图象关于直线y=x对称，可得f（x）=，因此f（3x﹣x2）==的单调递减区间满足，解出即可．解答：解：∵函数f（x）的图象与函数g（x）=（）x的图象关于直线y=x对称，∴函数f（x）是g（x）的反函数，∴f（x）=，∴f（3x﹣x2）==的单调递减区间满足，解得．故答案为：．点评：本题考查了反函数、二次函数的单调性、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）已知tan（α+β）=3，tan（α+）=2，那么tanβ=．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正切可求得tanα的值，再利用两角差的正切即可求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]的值．解答：解：∵tan（α+）=2，∴=2，解得tanα=；又tan（α+β）=3，tan（α+）=2，∴tanβ=tan[（α+β）﹣α]===．故答案为：．点评：本题考查两角和与差的正切函数，求得tanα=是关键，属于中档题．15．（5分）设α=cos420°，函数f（x）=，则f（）+f（log2）的值等于8．考点：分段函数的应用；对数的运算性质．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：运用诱导公式求出a的值，再由对数的运算性质和对数恒等式a logaN=N，即可求出结果．解答：解：∵a=cos420°=cos60°=，∴f（x）=，∴f（）==2，f（）=（）log2=2log26=6，∴f（）+f（log2）=2+6=8．故答案为：8．点评：本题考查三角函数的求值，考查分段函数及应用，对数的运算和对数恒等式的运用，属于基础题．16．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合题．分析：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，再求底面面积，即可求解三棱锥的体积．解答：解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，a=该正三棱锥的体积：故答案为：点评：本题考查棱锥的体积，棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时写出证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量，函数．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，且a ＞b，求a，b的值．考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；解三角形．分析：（1）通过向量的数量积以及二倍角的余弦函数，两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的对称性求函数f（x）的对称中心；（2）通过，求出C的大小，以及余弦定理求出a，b的值．解答：解：（1），=．…（4分）令得，，∴函数f（x）的对称中心为．…（6分）（2），∵C是三角形内角，∴即：…（8分）∴即：a2+b2=7．将代入可得：，解之得：a2=3或4，…（10分）∵a＞b，∴．…（12分）∴或2，∴．点评：本题考查向量的数量积的应用，余弦定理以及两角和的正弦函数与二倍角公式的应用，考查计算能力．18．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．考点：函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：应用题．分析：（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．解答：解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．19．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；数形结合．分析：（Ⅰ）利用勾股定理可得AC⊥BC，由直三棱柱的性质可得CC1⊥AC，从而得到AC⊥平面BB1C1C，进而得到AC⊥B1C．（Ⅱ）取B1C中点E，得到 DE为△ABC1的中位线，得到DE∥AC1，由线面平行的判定定理证得AC1∥平面B1CD．解答：证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为AB=5，AC=4，BC=3，所以AC⊥BC．因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以，CC1⊥AC．因为BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB1C1C．所以AC⊥B1C．（Ⅱ）连接BC1，交B1C于E．因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以侧面BB1C1C为矩形，且E为B1C中点．又D是AB中点，所以DE为△ABC1的中位线，所以DE∥AC1．因为DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，所以，AC1∥平面B1CD．点评：本题考查证明线线垂直、线面平行的方法，线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，取B1C中点E，得到DE为△ABC1的中位线是解题的关键．20．（12分）数列{b n}满足：b n+1=2b n+2，b n=a n+1﹣a n，且a1=2，a2=4．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出数列{b n+2}是首项为4，公比为2的等比数列，由此能求出．（Ⅱ）由a n﹣a n﹣1=b n=2n﹣2，n≥2，得，由此累加得a n=2n+1﹣2n，由此能求出数列{a n的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）∵b n+1=2b n+2，∴b n+1+2=2（b n+2），∴，又b1+2=a2﹣a1+2=4，∴数列{b n+2}是首项为4，公比为2的等比数列．即b n+2=4•2n﹣1=2n+1，所以．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a n﹣a n﹣1=b n=2n﹣2，n≥2，∴，令n=2，3，4，…，n﹣1，赋值累加得a n﹣2=（22+23+…+2n）﹣2（n﹣1），∴==2n+1﹣2n，∴S n==2n+2﹣（n2+n+4）．…（12分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）若a=4，求曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的极值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；分类讨论；转化思想．分析：（Ⅰ）求直线方程一般用点斜式，本题中已知切点，故可以根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即得曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可（Ⅱ）求出函数的导函数，令导数大于0解出增区间，令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定出极值即可．（Ⅲ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，即在区间（0，e2]上，函数f（x）存在自变量取某个值时，函数值等于1，故问题可以转化为求出函数f（x）最值，保证函数的最大值大于等于1，最小值小于等于1即可得到关于参数a的不等式，解之即得．解答：解：（Ⅰ）∵a=4，∴且．（1分）又∵，∴．（3分）∴f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为：，即4x+e2y﹣9e=0．（4分）（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），，（5分）令f'（x）=0得x=e1﹣a．当x∈（0，e1﹣a）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（e1﹣a，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；（7分）∴f（x）在x=e1﹣a处取得极大值，即f（x）极大值=f（e1﹣a）=e a﹣1．（8分）（Ⅲ）（i）当e1﹣a＜e2，即a＞﹣1时，由（Ⅱ）知f（x）在（0，e1﹣a）上是增函数，在（e1﹣a，e2]上是减函数，∴当x=e1﹣a时，f（x）取得最大值，即f（x）max=e a﹣1．又当x=e﹣a时，f（x）=0，当x∈（0，e﹣a]时，f（x）＜0，当x∈（e﹣a，e2]时，f（x）∈（0，e a﹣1]，所以，f（x）的图象与g（x）=1的图象在（0，e2]上有公共点，等价于e a﹣1≥1，解得a≥1，又因为a＞﹣1，所以a≥1．（11分）（ii）当e1﹣a≥e2，即a≤﹣1时，f（x）在（0，e2]上是增函数，∴f（x）在（0，e2]上的最大值为，∴原问题等价于，解得a≥e2﹣2，又∵a≤﹣1∴无解综上，a的取值范围是a≥1．（14分）点评：本题考点是利用导数研究函数极值，考查了用导数研究函数的单调性以及借助单调性确定函数的极值、最值的位置，解决与极值、最值有关的一些问题，本题综合性较强，涉及到的知识与运算规则较多，题目难度较大，做题时要注意体会本题的这些特点．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知四边形ABCD内接于ΘO，且AB是的ΘO直径，过点D的ΘO的切线与BA的延长线交于点M．（1）若MD=6，MB=12，求AB的长；（2）若AM=AD，求∠DCB的大小．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题．分析：（1）利用MD为⊙O的切线，由切割线定理以及已知条件，求出AB即可．（2）推出∠AMD=∠ADM，连接DB，由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，通过AB是⊙O的直径，四边形ABCD是圆内接四边形，对角和180°，求出∠DCB即可．解答：选修4﹣1：几何证明选讲解：（1）因为MD为⊙O的切线，由切割线定理知，MD2=MA•MB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB，…（2分），所以MA=3，AB=12﹣3=9．…（5分）（2）因为AM=AD，所以∠AMD=∠ADM，连接DB，又MD为⊙O的切线，由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，（7分）又因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB为直角，即∠BAD=90°﹣∠ABD．又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD，于是90°﹣∠ABD=2∠ABD，所以∠ABD=30°，所以∠BAD=60°．…（8分）又四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BAD+∠DCB=180°，所以∠DCB=120°…（10分）点评：本题考查圆的内接多边形，切割线定理的应用，基本知识的考查．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．（坐标系与参数方程选做题）已知椭圆C的极坐标方程为，点F1、F2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为（t为参数，t∈R）．（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和．考点：椭圆的参数方程；点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程．分析：（Ⅰ）通过两个表达式的消去参数t，即可将直线l的参数方程化简为普通方程．椭圆C的极坐标方程化成：12=3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ，最后再化成普通方程即可；（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，求出求点F1、F2到直线l的距离，最后求和即可．解答：解：（Ⅰ）直线l普通方程为 y=x﹣2；…（2分）曲线C的普通方程为．…（4分）（Ⅱ）∵F1（﹣1，0），F2（1，0），∴点F1到直线l的距离，…（6分）点F2到直线l的距离，…（8分）∴．…（10分）点评：本题是基础题，考查简单曲线的极坐标方程，椭圆C的极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，考查计算能力，易考题型．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，a∈R，a≠0．（Ⅰ）当a=1时，解不等式：f（x）＞2；（Ⅱ）若b∈R且B≠0，证明：f（b）≥f（a），并说明等号成立时满足的条件．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）将a=1代入，不等式化为具体的绝对值不等式，然后讨论解之；（Ⅱ）由题知f（a）=|a|，f（b）=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|，得证．解答：解：（Ⅰ）因为a=1，所以原不等式f（x）＞2为|x﹣2|+|x﹣1|＞2．当x≤1时，原不等式化简为1﹣2x＞0，即x＜；当1＜x≤2时，原不等式化简为1＞2，即x∈∅；当x＞2时，原不等式化简为2x﹣3＞2，即x＞．综上，原不等式的解集为{x|x＜或x＞}．…（5分）（Ⅱ）由题知f（a）=|a|，f（b）=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|，所以f（b）≥f（a），（8分）又等号成立当且仅当2a﹣b与b﹣a同号或它们至少有一个为零．…（10分）点评：本题考查了绝对值不等式的解法；考查了讨论的数学思想．。