2012届高考数学一轮复习教案：9.7 空间向量及其坐标运算(B)

第六节空间向量及其运算空间向量及其应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．知识点一空间向量的有关概念1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量，其大小叫作向量的长度或模．(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量，a平行于b记作a∥b.(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫作共面向量．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一x，y，z使得p＝x a＋y b＋z c.其中{a，b，c}叫作空间的一个基底．个唯一的有序实数组{}3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.易误提醒(1)共线向量与共面向量区别时注意，平行于同一平面的向量才能为共面向量．(2)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．(3)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量． (4)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．[自测练习]1．已知空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →＝( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －12cD.23a ＋23b －12c 解析：如图所示， MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝13OA →＋(OB →－OA →)＋12BC → ＝OB →－23OA →＋12(OC →－OB →)＝12OB →－23OA →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .答案：B2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2解析：∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k (λ＋1)，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.答案：A知识点二 空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示 坐标表示 数量积 a ·b a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模 |a |a 21＋a 22＋a 23夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23易误提醒 (1)空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简．(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算． 必备方法 用空间向量解决几何问题的一般步骤： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }． (2)用a ，b ，c 表示相关向量． (3)通过运算完成证明或计算问题．[自测练习]3．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________．解析：设M (0，y,0)，由|MA |＝|MB |得(1－0)2＋(0－y )2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y )2＋(1－0)2，解得y ＝－1.∴M (0，－1,0)．答案：(0，－1,0)考点一 空间向量的线性运算|1．设三棱锥O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，G 是△ABC 的重心，则OG →等于( ) A ．a ＋b －c B ．a ＋b ＋c C.12(a ＋b ＋c ) D.13(a ＋b ＋c )解析：如图所示，OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝13(a ＋b ＋c )．答案：D2.如图所示，已知空间四边形O -ABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23ON →－23OM →＝12OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23×12OA →＝16OA →＋13OB →＋13OC →，又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →， 根据空间向量的基本定理，x ＝16，y ＝z ＝13.答案：16，13，13(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．(2)空间向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的，即把空间向量转化到某一个平面上，利用三角形法则或平行四边形法则来解决．考点二 共线向量与共面向量定理的应用|已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 中边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．[证明] (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(3)任取一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG . 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形， 所以EG ，FH 被点M 平分．故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎡⎦⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎡⎦⎤12(OC →＋OD →)＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明P A →＝xPB →＋yPC →或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB→＋OC →)．(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解：(1)由已知OA →＋OB →＋OC →＝3 OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ，所以四点M ，A ，B ，C 共面，从而点M 在平面ABC 内．考点三 利用空间向量证明平行、垂直|如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：OD 1⊥平面AB 1C .[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)，D 1(0,0，2)， ∴OD 1→＝(－1，－1，2)， 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM →＝(－1，－1，2)，∴OD 1→＝BM →.又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .∵OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1，点B 1(2,2，2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)， ∵OD 1→·OB 1→＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0， OD 1→·AC →＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴OD 1→⊥OB 1→， OD 1→⊥AC →，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ， 又OB 1∩AC ＝O ，∴OD 1⊥平面AB 1C .(1)设直线l 1的方向向量为v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量为v 2＝(a 2，b 2，c 2)，则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．(3)设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.2.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．(1)求证：CE ∥平面C 1E 1F ； (2)求证：平面C 1E 1F ⊥平面CEF .证明：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz ，设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1⎝⎛⎭⎫1，12，2.(1)设平面C 1E 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵C 1E 1→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，FC 1→＝(－1，0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，得n ＝(1,2,1)．∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0， ∴CE ⊥n .又∵CE ⊄平面C 1E 1F ， ∴CE ∥平面C 1E 1F .(2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由EF →＝(0,1,0)，FC →＝(－1,0，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝0，m ·FC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，－a －c ＝0.令a ＝－1，得m ＝(－1,0,1)．∵m ·n ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面C 1E 1F ⊥平面CEF .16.混淆空间“向量平行”与“向量同向”致错【典例】 已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________．[解析] 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2＋y －2＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6，时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，所以a ，b 两向量反向，不符合题意，舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. [答案] x ＝1，y ＝3[易误点评] 只考虑a ∥b ，忽视了同向导致求解多解．[防范措施] 两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反之不成立，也就是说两向量同向是两向量平行的充分不必要条件．[跟踪练习] (2015·成都模拟)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2u －1,2λ)，若a ∥b ，则λ与u 的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2解析：由a ∥b 验证当λ＝2，u ＝12时成立．答案：AA 组 考点能力演练1．(2015·深圳模拟)已知三棱锥O -ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →等于( )A.12(b ＋c －a ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(c －a －b ) 解析：MN →＝MA →＋AO →＋ON →＝12(c －a －b )．答案：D2．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形解析：由AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，知该四边形一定不是平面图形，故选D.答案：D3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)．若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.657解析：由题意得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.答案：D4．(2016·东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66B.66C ．－66D ．±6解析：OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，∴λ＝－66. 答案：C5．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，AB 的中点为M ，则|CM |等于( ) A.534 B.532 C.532D.132解析：设M (x ，y ，z )，则x ＝3＋12＝2，y ＝3＋02＝32，z ＝1＋52＝3，即M ⎝⎛⎭⎫2，32，3，|CM |＝(2－0)2＋⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－0)2＝532.故选C. 答案：C6．(2016·合肥模拟)向量a ＝(2,0,5)，b ＝(3,1，－2)，c ＝(－1,4,0)，则a ＋6b －8c ＝________. 解析：由a ＝(2,0,5)，b ＝(3,1，－2)，c ＝(－1,4,0)，∴a ＋6b －8c ＝(28，－26，－7)． 答案：(28，－26，－7)7．已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角为________．解析：由于a 与2b －a 互相垂直，则a ·(2b －a )＝0，即2a·b －|a |2＝0，所以2|a ||b |cos a ，b －|a |2＝0，则42cosa ，b －4＝0，则cos a ，b＝22，所以a 与b 的夹角为45°. 答案：45°8．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos OA →，BC →的值为________．解析：OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos OA →，OC→－|OA →||OB→|·cos OA →，OB →．∵OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，∴OA →·BC →＝0，即OA →⊥BC →，∴cos OA →，BC →＝0.答案：09．(2016·唐山模拟)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1，1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b＝AC →.(1)求a 和b 夹角的余弦值．(2)设|c |＝3，c ∥BC →，求c 的坐标．解：(1)因为AB →＝(1,1,0)，AC →＝(－1,0,2)，所以a ·b ＝－1＋0＋0＝－1，|a |＝2，|b |＝ 5.所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12×5＝－1010. (2)BC →＝(－2，－1,2)．设c ＝(x ，y ，z )，因为|c |＝3，c ∥BC →，所以x 2＋y 2＋z 2＝3，存在实数λ使得c ＝λBC →，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2λ，y ＝－λ，z ＝2λ联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－1，z ＝2，λ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，z ＝－2，λ＝－1，所以c ＝±(－2，－1,2)．10．(2016·太原模拟)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模．(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．(3)求证：A 1B ⊥C 1M .解：如图，建立空间直角坐标系．(1)依题意得B (0,1,0)，N (1，0,1)，所以|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝ 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)．所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝11030. (3)依题意，得C 1(0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0. 所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0， 所以A 1B →⊥C 1M →.所以A 1B ⊥C 1M .B 组 高考题型专练1．(2014·高考广东卷)已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )A ．(－1,1,0)B ．(1，－1,0)C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)解析：经检验，选项B 中向量(1，－1,0)与向量a ＝(1,0，－1)的夹角的余弦值为12，即它们的夹角为60°，故选B.答案：B2．(2014·高考江西卷)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝11，AD ＝7，AA 1＝12.一质点从顶点A 射向点E (4,3,12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为L i (i ＝2,3,4)，L 1＝AE ，将线段L 1，L 2，L 3，L 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )解析：由对称性知质点经点E 反射到平面ABCD 的点E 1(8,6,0)处．在坐标平面xAy 中，直线AE 1的方程为y ＝34x ，与直线DC 的方程y ＝7联立得F ⎝⎛⎭⎫283，7，0.由两点间的距离公式得E 1F ＝53， ∵tan ∠E 2E 1F ＝tan ∠EAE 1＝125，∴E 2F ＝E 1F ·tan ∠E 2E 1F ＝4.∴E 2F 1＝12－4＝8.∴L 3L 4＝E 1E 2E 2E 3＝E 2F E 2F 1＝48＝12.故选C.答案：C3．(2015·高考浙江卷)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.解析：∵e 1，e 2是单位向量，e 1·e 2＝12，∴cos 〈e 1，e 2〉＝12，又∵0°≤〈e 1，e 2〉≤180°，∴〈e 1，e 2〉＝60°.不妨把e 1，e 2放到空间直角坐标系O -xyz 的平面xOy 中，设e 1＝(1,0,0)，则e 2＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，再设OB →＝b ＝(m ，n ，r )，由b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，得m ＝2，n ＝3，则b ＝(2，3，r )．而x e 1＋y e 2是平面xOy 上任一向量，由|b －(x e 1＋y e 2)|≥1知点B (2，3，r )到平面xOy 的距离为1，故可得r ＝1.则b ＝(2，3，1)，∴|b |＝2 2.又由|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1知x 0e 1＋y 0e 2＝(2，3，0)，解得x 0＝1，y 0＝2. 答案：1,2,22。

高三第一轮复习数学---空间向量的坐标运算一、教学目标：：向量的坐标运算和建系意识． 二、教学重点：向量的坐标运算 三、教学过程：（一）主要知识： 1．空间直角坐标在空间选定一点O 和一个单位正交基底{ī，j ，k }，以点O 为原点，分别以ī，j ，k 的正方向建立三条坐标轴： x 轴，y 轴，z 轴，使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°，就建立了一个空间直角坐标系O-xyz 。

点O 叫原点，ī，j ，k 叫坐标向量，一般作右手直角坐标系。

任一点A 对应一个向量OA ，存在唯一的实数组x 、y 、z. =OA x ī+y j+z k . 记为A （x 、y 、z ）,叫空间直角坐标系中的坐标。

其中x 叫点A 的横坐标，y 叫点A 的纵坐标，z 叫点A 的竖坐标2．向量的直角坐标运算 （1）设a=（a 1，a 2，a 3），b=（b 1，b 2，b 3）则a+b =( a 1 +b 1 ，a 2 +b 2，a 3+b 3) a-b =( a 1 -b 1 ，a 2 -b 2，a 3-b 3) λa=（λa 1，λa 2，λa 3）（λ∈R ） a·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3a ∥b ↔ a 1 =λb 1 ，a 2=λb 2，a 3=λb 3（λ∈R ） a ⊥b ↔ a 1b 1+ a 2b 2 +a 3b 3=0 （2）设A （a 1，a 2，a 3），B （b 1，b 2，b 3）则=-=OA OB AB （b 1，b 2，b 3）-（a 1，a 2，a 3）=( b 1 -a 1 ，b 2-a 2，b 3-a 3)。

即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

3．夹角和距离公式设a=（a 1，a 2，a 3），b=（b 1，b 2，b 3）则232221a a a a a a ++=⋅=232221b b b b b b ++=⋅=a·b = a 1b 1+a 2 b 2+a 3b 3 232221232221332211b a b a b a cosbb b a a a ba ++⋅++++=⋅已知),,(111z y x A ，),,(222z y x B 则()()()221221221z z y y x x -+-+-==空间两点间距离公式4．如果表示向量a 的有向线段所在的直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记为α⊥a 如果α⊥a ，那么向量a 叫做平面α的法向量 5. 设A （a 1，a 2，a 3），B （b 1，b 2，b 3）则AB 中点坐标为)2,2,2(332211b a b a b a +++6.向量位置与立体几何中位置对照:⑴AB//CD CD AB CD AB λ=⇔⇔// ⑵0=⋅⇔⊥CD AB CD AB⑶证A 、B 、C 、D 四点共面可通过证1=++++=+=r q p OD r OC q OB p OA AD y AC x AB 且或⑷AB ==⑸线线角即为两向量的夹角或其补角⑹线面角即为线所在向量与面的法向量的夹角的余角或再减90⑺面面角即为两面的法向量的夹角或其补角 ⑻距离可通过求在法向量上投影的长度得到（二）例题分析：例1（1） 已知直角坐标系内三点A （2，4，1），B （3，7，5），C （4，10，9），判断A 、B 、C 三点是否共线？（2）已知直角坐标系内四点A （2，3，1），B （4，1，-2），C （6，3，7），D （-5，4，8），判断A 、B 、C 、D 四点是否共线？解：（1）),8,6,2(),4,3,1(==AC AB 可见AB AC AB AC 和故,2=共线，即A,B,C 三点共线。

1．空间向量的有关概念及定理(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向________且模________的向量．(3)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是________________________．(4)共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b ，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O 有，OP →＝________________或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOM →，其中x ＋y ＋z ＝____.(5)空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝________________________，把{e 1，e 2，e 3}叫做空间的一个基底．2．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝__________________________________________________________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，若b ≠0，则a ∥b ⇔________⇔__________，________，______________，a ⊥b ⇔__________⇔________________________(a ，b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝________________________________，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝______________________________________________________. 若A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则|AB →|＝______________________________.3．利用空间向量证明空间中的位置关系若直线l ，l 1，l 2的方向向量分别为v ，v 1，v 2，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下： 平行 垂直直线 与直线 l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔v 1＝λv 2(λ为非零实数)l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0 直线 与平面 ①l ∥α⇔v ⊥n 1⇔v ·n 1＝0②l ∥α⇔v ＝x v 1＋y v 2其中v 1，v 2为平面α内不共线向量，x ， y 均为实数l ⊥α⇔v ∥n 1⇔v ＝λn 1(λ为非零实数)平面 与平面 α∥β⇔n 1∥n 2⇔n 1＝λn 2(λ为非零实数)α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0自我检测1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a ∥b ，则x ＝______________________，y ＝________.2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →用a ，b ，c 表示为________．3．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，已知∠BAD ＝∠A ′AB ＝∠A ′AD ＝60°，AB ＝3，AD ＝4，AA ′＝5，则|AC ′→|＝________.4．下列4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题是________(填序号)．5．A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)，D (10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).探究点一 空间基向量的应用例1 已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .变式迁移1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．探究点二利用向量法判断平行或垂直例2两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.探究点三利用向量法解探索性问题例3如图，平面P AC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为P A，PB，AC的中点，AC＝16，P A＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．探究点三 利用向量法求二面角例3 如图，ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝BC ＝BA ＝1，AD ＝12，求面SCD 与面SBA 所成角的余弦值大小．变式迁移3 如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ；(2)求二面角A —SC —B 的余弦值．探究点四综合应用例4如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD＝3，BD＝CD＝1，另一个侧面ABC是正三角形．(1)求证：AD⊥BC；(2)求二面角B－AC－D的余弦值；(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．变式迁移4 (2011·山东，19)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A－BF－C的大小．1、如图所示，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.2、如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．3、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．4、如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD.(1)求二面角B－AD－F的大小；(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值．。

第十三章空间向量与立体几何一、知识网络：二．考纲要求：（1）空间向量及其运算① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用① 理解直线的方向向量与平面的法向量；② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。

本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

第一课时 空间向量及其运算一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。

学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。

（二）、知识梳理，方法定位。

（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。

第6节空间向量及其运算和空间位置关系1．空间向量及其有关概念 语言描述共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一平面的向量共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b≠0)，a ∥b ⇔存在λ∈R ，使a ＝λb 共面向量定理若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝xa ＋yb空间向量 基本定理定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }使得p ＝x a ＋y b ＋z c推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对平面ABC 内任一点P 都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ，使OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC 且x ＋y ＋z ＝12．数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉；②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； ③|a |2＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)向量的坐标运算：a＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 向量差 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数量积 a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线 a ∥b ⇒a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R ，b ≠0)垂直 a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 夹角 公式cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 231．共线向量定理中a ∥b ⇔存在λ∈R ，使a ＝λb 易忽视b ≠0. 2．共面向量定理中，注意有序实数对(x ，y )是唯一存在的．3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量． 『试一试』1．有以下命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系是不共线；②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ―→，OB ―→，OC ―→不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c 也是空间的一个基底．其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．『解析』对于①，“如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系一定是共线”，所以①错误．②③正确．『答案』②③ 2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝xa ＋yb ＋zc .其中正确命题的个数是________．『解析』a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；据空间向量的意义知，a ，b 所在直线异面，则a ，b 必共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ，故④不正确．综上可知四个命题中正确的个数为0.『答案』01．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB ―→为直线l 的方向向量，与AB ―→平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.2．建立空间直角坐标系的原则：(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上．3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法：用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．『练一练』1．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P 的坐标是(x,0，y )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标是________．『解析』PA ＝(－x,1，－y )，AB ＝(－1，－1，－1)，AC ＝(2,0,1)，∵P A ⊥平面ABC ， ∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，即PA ·AB ＝x ＋y －1＝0，PA ·AC ＝2x ＋y ＝0， ∴x ＝－1，y ＝2，故P 点的坐标是(－1,0,2)． 『答案』(－1,0,2)2．已知a ＝(cos θ，1，sin θ)，b ＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 『解析』∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2θ＋1＋sin 2θ)－(sin 2θ＋1＋cos 2θ)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )，即向量a ＋b 与a －b 的夹角为90°. 『答案』90°3．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是________．『解析』建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，0，N ⎝⎛⎭⎫0，1，12，则1A M ＝⎝⎛⎭⎫－1，12，－1，DN ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，所以cos 〈1A M ，DN 〉＝1A M ·DN|1A M |·|DN |＝0，所以1A M ⊥DN ，故异面直线A 1M 与DN 所成角的大小为90°.『答案』90°考点一空间向量的线性运算1．在四面体O ­ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．『解析』OE ＝12(OD ＋OA )＝12⎣⎡⎦⎤12OC ＋OB＋OA＝12a ＋14b ＋14c . 『答案』12a ＋14b ＋14c2.如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)化简1A O －12AB －12AD ＝________；(2)用AB ，AD ，1AA 表示1OC ，则1OC ＝________. 『解析』(1) 1A O －12AB －12AD ＝1A O －12(AB ＋AD )＝1A O －AO ＝1A O ＋OA ＝1A A . (2)OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )，∴1OC ＝OC ＋1CC ＝12(AB ＋AD )＋1AA＝12AB ＋12AD ＋1AA . 『答案』(1)1A A (2)12AB ＋12AD ＋1AA『备课札记』2题中条件不变，结论改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE ＝231DD ，若EO ＝x AB ＋y AD ＋z 1AA .试求x ，y ，z 的值. 『解』EO ＝ED ＋DO ＝－231DD ＋12(DA ＋DC )＝12AB －12AD －231AA ，由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.考点二共线、共面向量定理的应用『典例』 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . 『证明』 (1)连结BG ， 则EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋12(BC ＋BD )＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH ， 由共面向量定理知： E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH ＝AH －AE＝12AD －12AB ＝12(AD －AB )＝12BD ， 因为E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .『备课札记』 『类题通法』1．将四点共面问题，转化为三个向量共面问题，利用共面向量定理来解决． 2．利用向量共线说明两线平行时注意说明四点不共线，否则不一定正确． 『针对训练』已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM ＝13(OA ＋OB＋OC )．(1)判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 『解』(1)由OA ＋OB ＋OC ＝3OM ， ∴OA －OM ＝(OM －OB )＋(OM －OC )即MA ＝BM ＋CM ＝－MB －MC ∴MA ，MB ，MC 共面． (2)由(1)知MA ，MB ，MC 共面，且共过同一点M ，∴四点M ，A ，B ，C 共面．从而点M 在平面ABC 内．考点三利用空间向量证明平行或垂直『典例』 (2014·汕头模拟)如图所示的长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C ；『证明』 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)，D 1(0,0，2)，∴1OD ＝(－1，－1，2)． 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM ＝(－1，－1，2)，∴1OD ＝BM .又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连结OB 1，点B 1(2,2，2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ， 又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .『备课札记』 『类题通法』利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R)．l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.『针对训练』已知在正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，点E 是CC 1的中点，点F 为BD 1的中点．(1)证明AC 1∥平面BDE ； (2)证明平面BDE ⊥平面AA 1C 1C . 证明：(1)以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C ­xyz ，则B (0,1,0)，D (1,0,0)，D 1(1,0,2)，F (12，12，1)， C 1(0,0,2)，E (0,0,1)，A (1,1,0)． 则BD ＝(1，－1,0)，DE ＝(－1,0,1)， 设平面EBD 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎨⎧n ·BD ＝x －y ＝0，n ·DE ＝－x ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故平面EBD 的一个法向量为n ＝(1,1,1)． 又1AC ＝(－1，－1,2)，则1AC ·n ＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝－1－1＋2＝0，所以1AC ⊥n ，即直线AC 1的方向向量与平面BDE 的一个法向量垂直， 又AC 1不在平面BDE 内，故AC 1∥平面BDE .(2)由(1)知平面BDE 的一个法向量n ＝(1,1,1)，又BD 为平面AA 1C 1C 的一个法向量且BD ＝(1，－1,0)．又BD ·n ＝(1，－1,0)·(1,1,1)＝0，所以BD ⊥n ，即两个平面的法向量互相垂直． 所以平面BDE ⊥平面AA 1C 1C .『课堂练通考点』1．在空间四边形ABCD 中，AB ·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC ＝________. 『解析』如图，令AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则AB ·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC ＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0 『答案』02．A ，B ，C ，D 是空间四点，有以下条件：①OD ＝OA ＋12OB ＋13OC ；②OD ＝12OA＋13OB ＋14OC ；③OD ＝12OA ＋13OB ＋15OC ；④OD ＝12OA ＋13OB ＋16OC .能使A ，B ，C ，D 四点一定共面的条件是________．(填序号)『解析』对于共面四点A ，B ，C ，D ，当能写成OD ＝x OA ＋y OB ＋z OC 时，应有x ＋y ＋z ＝1.经检验只有④满足．『答案』④3．(2014·上饶模拟)正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM ＝121MC ，N 为B 1B 的中点，则|MN |＝________.『解析』以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ， 则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎫a ，a ，a2.设M (x ，y ，z ) ∵点M 在AC 1上且AM ＝121MC ，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3.∴M ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎫a －a 32＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 32 ＝216a . 『答案』216a 4．在空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB ＋12(BD ＋BC )＝________.『解析』依题意有AB ＋12(BD ＋BC )＝AB ＋12×2BG ＝AB ＋BG ＝AG .『答案』AG5.如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值． 『解』∵BC ＝AC －AB ， ∴OA ·BC ＝OA ·(AC －AB ) ＝OA ·AC －OA ·AB＝|OA ||AC |cos 〈OA ，AC 〉－|OA ||AB |cos 〈OA ，AB 〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2. ∴cos 〈OA ，BC 〉＝OA ·BC |OA ||BC |＝24－1628×5＝3－225.故OA 与BC 夹角的余弦值为3－225，即直线OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.。

第6课时 空间直角坐标系及空间向量1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置． 2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．『梳理自测』一、空间直角坐标系及空间向量的概念1．在空间直角坐标系O －xyz 中，点P (3,2，－1)关于x 轴的对称点的坐标为( ) A ．(3,2,1) B ．(－3,2,1) C ．(3，－2,1) D ．(－3，－2,1)2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12 B ．－13，12C ．－3,2D ．2,23．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c『答案』1.C 2.A 3.A◆以上题目主要考查了以下内容： (一)(1)空间直角坐标系：名称 内容空间直角坐标系 以空间一点O 为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立三条两两垂直的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这时建立了一个空间直角坐标系O －xyz坐标原点 点O 坐标轴 x 轴、y 轴、z 轴 坐标平面通过每两个坐标轴的平面(2)空间中点M 的坐标：空间中点M 的坐标常用有序实数组(x ，y ，z )来表示，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．建立了空间直角坐标系后，空间中的点M 和有序实数组(x ，y ，z )可建立一一对应的关系．(二)空间两点间的距离(1)设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.特别地，点P (x ，y ，z )与坐标原点O 的距离为 |OP →|＝x 2＋y 2＋z 2.(2)设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)是空间中两点，则线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.(三)空间向量的有关概念名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝b 相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a ∥b 共面向量平行于同一个平面的向量(四)空间向量的线性运算及运算律(1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ；BA →＝OA →－OB →＝a －b ；OP →＝λa (λ∈R )．(2)运算律：①加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ； ②加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； ③数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . (五)空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数x ，y 的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．二、空间向量的数量积及运算律1．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值为( ) A ．1 B.15C.35D.752．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(a ＋b )·(a －b )的值为________． 『答案』1.D 2.－13◆以上题目主要考查了以下内容： (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是『0，π』，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 垂直，记作a⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .『指点迷津』1．一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }； (2)用a ，b ，c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题．2．二个原则——建立空间直角坐标系的原则 (1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．二个推论 ①共线向量定理推论若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →且λ＋μ＝1. ②共面向量定理推论若OM →、OA →、OB →不共面，则P 、M 、A 、B 四点共面的充要条件是OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →且x ＋y ＋z ＝1.考向一 空间向量的线性运算如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→.『审题视点』 逐步用三角形法则及向量运算法则 『典例精讲』 (1)∵P 是C 1D 1的中点， ∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ， 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ， ∴MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 『类题通法』 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．1．(2014·舟山月考)如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为________．『解析』连结ON ， OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝OM →＋23(ON →－OM →)＝13OM →＋23ON → ＝13OM →＋23×12(OB →＋OC →) ＝13×12OA →＋13OB →＋13OC → ＝16OA →＋13OB →＋13OC → x ＝16，y ＝13，z ＝13. 『答案』16，13，13考向二 共线、共面向量定理及应用(2014·上饶调研)已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．『审题视点』 (1)利用向量共面与点共面的关系证明．(2)根据向量共线的关系证．(3)根据向量运算求证．『典例精讲』 (1)连接BG ， 则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →， 由共面向量定理的推论知： E 、F 、G 、H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG . 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形． 所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分． 故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎡⎦⎤12OA →＋OB →＋12⎣⎡⎦⎤12OC →＋OD → ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)． 『类题通法』 空间共线向量定理、共面向量定理的应用三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面P A →＝λPB →MP →＝xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB →对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →2．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为BC 边上的中点，求证：A 1B ∥平面AC 1D .证明：设BA →＝a ，BB 1→＝c ，BC →＝b ， 则BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→ ＝a ＋c ，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝－a ＋12b ，AC 1→＝AC →＋CC 1→＝BC →－BA →＋BB 1→＝b －a ＋c ， BA 1→＝AC 1→－2AD →， ∵A 1B ⊄平面AC 1D ， ∴A 1B ∥平面AC 1D .考向三 空间向量数量积的应用已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以AB →，AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标．『审题视点』 ①利用向量夹角公式求sin 〈AB →，AC →〉，代入面积公式． ②向量垂直，数量积为0. 『典例精讲』 (1)由题意可得： AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为边的平行四边形的面积为 S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，z ＝－1∴向量a 的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．『类题通法』 (1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用； (2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算；(3)通过数量积可以求向量的模．3．已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .证明：连结PB 、PC ∴PM →＝12PB →＋12PC →＝12(OB →－12OA →)＋12(OC →－12OA →)＝12OB →＋12OC →－12OA →QN →＝12QA →＋12QC →＝12(OA →－12OB →)＋12(OC →－12OB →) ＝12OA →＋12OC →－12OB → ∴PM →·QN →＝⎣⎡⎦⎤12OC →＋12OB →－OA →⎣⎡12OC →－⎦⎤12OB →－OA →＝14|OC →|2－14(OB →－OA →)2＝14|OC →|2－14|AB →|2＝0 ∴PM ⊥QN .空间“向量平行”与“向量同向”已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a 、b 同向，则x ，y 的值分别为________．『正解』 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3.即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ， ①x 2＋y －2＝2x ， ② 把①代入②得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0， 解得x ＝－2，或x ＝1.当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. 『答案』 1,3『易错点』 两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况．两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．错解就忽略了这一点．『警示』 a 与b 同向是a ∥b 的充分而不必要条件．a ∥b 是a 与b 同向的必要而不充分条件．1．(2013·高考全国新课标Ⅱ卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )『解析』选A.结合已知条件画出图形，然后按照要求作出正视图．根据已知条件作出图形：四面体C 1－A 1DB ，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图是正方形，如图(2)所示．故选A.2．(2014·辽宁大连一模)长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010 B.3010C.21510D.31010『解析』选B.建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)， B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)，cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010. 所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 3．(2012·高考陕西卷)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( ) A.55 B.53C.255D.35『解析』选A.不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.可得O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)， ∴BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)，∴cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0.∴BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55. 4．(2012·高考四川卷)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．『解析』以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为坐标轴建系，设A 1(1,0,1)，M (0，12，0)，N (0,1，12)， ∴DN →＝(0,1，12)，A 1M →＝(－1，12，－1)∴DN →·A 1M →＝0，∴A 1M ⊥DN . 『答案』90°。

§8.6 空间向量及其运算和空间位置关系考纲展示►1。

了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．6．理解直线的方向向量与平面的法向量．7．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．8．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理（包括三垂线定理)．考点1 空间向量的线性运算空间向量的有关概念（1）空间向量:在空间中，具有________和________的量叫做空间向量．（2）相等向量：方向________且模________的向量．（3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相____________的向量．（4)共面向量：________________的向量．答案：(1）大小方向(2）相同相等（3)平行或重合(4）平行于同一个平面(1）［教材习题改编]已知在空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则化简错误!＋错误!(错误!＋错误!)＝________。

→答案:AG解析：错误!＋错误!（错误!＋错误!)＝错误!＋错误!＝错误!。

(2)[教材习题改编］如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若错误!＝a，错误!＝b,错误!＝c，则错误!可用a，b，c表示为________．答案:－错误!a＋错误!b＋c解析：由图可知，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!(错误!－错误!)＝c＋错误!（b－c)＝－错误!a＋错误!b＋c.[典题1] （1）[2017·河南郑州模拟]如图所示,已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G 在线段MN上,且错误!＝2错误!，若错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!，则x＋y＋z ＝________。

9.6 空间向量及其运算(B)巩固·夯实基础一、自主梳理1.在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.空间向量的加法、减法与数乘向量运算是平面向量运算的推广.2.平行于同一平面的向量叫做共面向量,如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是:存在唯一的实数对x 、y,使p =x a +y b .3.空间向量基本定理:如果三个向量a 、b 、c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序数组x 、y 、z,使p =x a +y b +z c .{a,b,c }叫做空间的一个基底,a 、b 、c 叫做基向量,(x,y,z)叫做p 关于基底{a,b,c }的坐标.4.把|a||b|cos 〈a,b 〉叫做向量a 、b 的数量积,记作a ·b ,即a ·b =|a|·|b|cos 〈a,b 〉,其性质有:(1)a ⊥b ⇔a ·b =0;(2)cos 〈a,b 〉=||||b a b a •(a 、b 均为非零向量); (3)a 2=a ·a =|a |2;(4)|a ·b |≤|a |·|b |.二、点击双基1.在以下四个式子中正确的有( )a+b ·c a ·(b ·c) a(b ·c) |a ·b|=|a||b|A.1个B.2个C.3个D.0个解析:根据数量积的定义，b ·c 是一个实数，a+b ·c 无意义.实数与向量无数量积,故a ·(b ·c)错，|a ·b|=|a ||b ||cos 〈a,b 〉|，只有a(b ·c)正确.答案:A2.设向量a 、b 、c 不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是( )A.{a+b,b-a,a }B.{a+b,b-a,b }C.{a+b,b-a,c }D.{a+b+c,a+b,c }解析:由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c 不共面,故可作为空间的一个基底,故选C. 答案:C3.在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中,向量'AB 、'AD 、BD 是( )A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量解析:∵AD -AB =BD =,∴AB 、AD 、共面.答案:C4.已知a =(1，0)，b =(m,m)(m ＞0),则〈a,b 〉=____________________.答案:45°5.已知四边形ABCD 中，=a -2c ，=5a +6b -8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF=_______________.EF=EA+AB+BF,解析:∵又EF=EC+CD+DF，两式相加，得2EF=(EA+EC)+(AB+CD)+(BF+DF).∵E是AC的中点，故EA+EC=0.同理,BF+DF=0.∴2EF=AB+CD=(a-2c)+(5a+6b-8c)=6a+6b-10c.∴EF=3a+3b-5c.答案:3a+3b-5c诱思·实例点拨【例1】证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是:对于空间任一点O,存在实数x、y、z且x+y+z=1,使得OA=x OB+y OC+z OD.剖析:要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件,自然想到共面向量定理.解:依题意知,B、C、D三点不共线,则由共面向量定理的推论知:四点A、B、C、D共面对空间任一点O,存在实数x1、y1,使得OA=OB+x1BC+y1BD=OB+x1(OC-OB)+y1(OD-OB)=(1-x1-y1)OB+x1OC+y1OD,取x=1-x1-y1,y=x1,z=y1,则有OA=x OB+y OC+z OD,且x+y+z=1.链接·提示向量基本定理揭示了向量间的线性关系,即任一向量都可由基向量唯一的线性表示,为向量的坐标表示奠定了基础.共(线)面向量基本定理给出了向量共(线)面的充要条件,可用以证明点共(线)面.本题的结论,可作为证明空间四点共面的定理使用.【例2】已知空间四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,用向量法证明BD⊥AC.剖析:我们选择一组基向量,将目标向量用基向量线性表示,从而将向量的运算转化为三个基向量间的运算.证明:设AB=b,AC=c,AD=d,且b2=d2,(b-c)2=(d-c)2, ∴b·c=d·c.而BD·AC=(d-b)·c=d·c-b·c=0,∴BD⊥AC.讲评:合理选择基向量是利用向量解题的基本技能之一,同学们在学习中应加强这方面的训练. 【例3】在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离.解:如图，因为∠ACD＝90°,所以AC·CD＝0.同理,BA·AC＝0.因为AB与CD成60°角,所以〈BA，CD〉＝60°或120°.因为BD＝BA＋AC＋CD,所以BD2＝BA2＋AC2＋CD2＋2BA·AC＋2BA·CD＋2AC·CD ＝BA2＋AC2＋CD2＋2BA·CD＝3＋2×1×1×cos〈BA，CD〉＝⎪⎩⎪⎨⎧︒=〉〈︒=〉〈.120,,2,60,,4CDBACDBA所以｜BD｜＝2或2,即B、D间的距离为2或2.【例4】在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，求证：(1)BD1⊥平面ACB1；(2)BE=21ED1.证明:(1)我们先证明BD 1⊥AC.∵1BD =++1DD ,=+, ∴1BD ·=(++1DD )·(+)=·+· =·-·=||2-||2=1-1=0.∴BD 1⊥AC.同理可证BD 1⊥AB 1，于是BD 1⊥平面ACB 1. (2)设底面正方形的对角线AC 、BD 交于点M ，则BM =21=2111D B ，即2BM =11D B .对于空间任意一点O ，设OB =b ,OM =m ,1OB =b 1,1OD =d 1，则上述等式可改写成2(m-b )=d 1-b 1或b 1+2m =d 1+2b .记2121++m b =2121++b d =e.此即表明，由e 向量所对应的点E 分线段B 1M 及D 1B 各成λ(λ=2)之比，所以点E 既在线段B 1M(B 1M ⊂面ACB 1)上又在线段D 1B 上.所以点E 是D 1B 与平面ACB 1的交点.此交点E 将D 1B 分成2与1之比，即D 1E ∶EB=2∶1.所以BE=21ED 1. 链接·聚焦利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题.。

第6讲空间向量及其运算）1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．(2）共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p ＝x a＋y b．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面,那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z},使得p＝x a＋y b＋z c．其中{a，b,c}叫做空间的一个基底．2．两个向量的数量积（与平面向量基本相同）（1）两向量的夹角:已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤<a，b〉≤π．若<a，b〉＝错误!，则称向量a,b 互相垂直，记作a⊥b。

(2)两向量的数量积两个非零向量a，b的数量积a·b＝｜a|｜b|cos〈a，b>．(3）向量的数量积的性质①a·e＝｜a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量）;②a⊥b⇔a·b＝0；③｜a|2＝a·a＝a2；④｜a·b｜≤|a｜|b｜。

(4)向量的数量积满足如下运算律①（λa）·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a（交换律）；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．3．空间向量的坐标运算(1）设a＝(a1，a2，a3），b＝(b1，b2，b3)．a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3),a－b＝(a1－b1,a2－b2，a3－b3）,λa＝（λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，cos<a，b〉＝错误!＝错误!.（2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则错误!＝错误!－错误!＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．4．直线的方向向量与平面的法向量的确定（1）直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称错误!为直线l的方向向量，与错误!平行的任意非零向量也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．(2）平面的法向量①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个,任意两个都是共线向量．②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为错误!5．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α,β的法向量分别为n，m α∥βn∥m⇔n＝λm α⊥βn⊥m⇔n·m＝01．辨明四个易误点(1）注意向量夹角与两直线夹角的区别．(2)共线向量定理中a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R,使a＝λb易忽视b≠0.（3)共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的．(4）向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律,即(a·b)c＝a(b·c）不一定成立．2．建立空间直角坐标系的原则（1)合理利用几何体中的垂直关系,特别是面面垂直．（2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上．3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理;求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零;求异面直线所成的角，一般可转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．1．已知a＝（－2，－3,1)，b＝（2，0，4），c＝（－4，－6，2），则下列结论正确的是( ）A ．a ∥c ，b ∥cB ．a ∥b ，a ⊥cC ．a ∥c ,a ⊥bD ．以上都不对C 因为c ＝(－4，－6，2）＝2a ,所以a ∥c 。

3．1.5空间向量运算的坐标表示整体设计教材分析空间向量的坐标运算是在学生学习了空间向量的几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识，是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推广和拓展，沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础．学生已掌握了平面向量坐标运算及其规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算；数学基础较为扎实，学习上具备了一定的观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺．所以通过教师的引导，学生的自主探索，不断地完善自我的认知结构．课时分配1课时教学目标知识与技能1．掌握空间向量的坐标运算规律；2．掌握空间向量平行与垂直的坐标表示；3．掌握空间向量的夹角与向量长度的坐标计算公式．过程与方法1．经历向量运算的坐标表示由平面到空间的类比过程，进一步熟悉类比、由一般到特殊的思维方法；2．通过空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉由直觉猜想到推理论证的思维方法，提高学生的科学思维素养．情感、态度和价值观通过教师的引导、学生的探究，激发学生的求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦．重点难点教学重点：1．空间向量的坐标运算；2．空间向量的夹角公式、距离公式的坐标表示；3．空间向量平行和垂直的条件的坐标表示．教学难点：1．向量坐标的确定；2．空间向量的夹角公式、距离公式和平行、垂直条件的应用．教学过程引入新课提出问题：在正方体的两个面内任取两点，如何求出这两点间的距离？请同学们积极思考并说出求解方案．活动设计：学生自由发言；教师板书记录．学情预测：学生可能回答：(1)可用尺子直接测量出来；(2)建立直角坐标系，求出A 、B 两点的坐标，再利用距离公式求出其模长．活动成果：因为上一节课已经学会了空间向量的坐标表示，所以建立空间直角坐标系后，向量MN →的坐标就可以表示出来，还须知道有了向量的坐标如何来求向量的模．设计意图：从实际问题引入，使学生了解数学来源于实际．同时教具的辅助作用，使新课的引入显得生动自然、易于接受．把实际问题抽象成数学模型是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生观察分析能力的重要一步．探究新知提出问题：我们已经知道了空间向量坐标表示的由来，也已经学会了空间向量的加减、数乘和数量积运算的定义，请根据平面向量的坐标运算规律，猜想空间向量的坐标运算规律，填写下表，并证明你的结论．活动设计：1.学生自己推算并自觉讨论；教师巡视并注意和学生交流；2．部分学生到黑板上板演证明过程；教师点评补充．学情预测：学生基本上都能够猜想出空间向量运算的坐标表示，大部分同学能够给出证明，对数量积运算的坐标表示可能存在困难．活动成果：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，λ是实数，则 a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)； a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2)； λa ＝(λx 1，λy 1，λz 1)； a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.证明一：加法的坐标表示的证明∵ a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， ∴a ＋b ＝(x 1i ＋y 1j ＋z 1k )＋(x 2i ＋y 2j ＋z 2k ) ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ＋(z 1＋z 2)k ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)．证明二：空间向量的数量积的坐标表示的证明 ∵a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j ＋z 1k )·(x 2i ＋y 2j ＋z 2k )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 1z 2i ·k ＋x 2y 1i ·j ＋y 1y 2j 2＋y 1z 2j ·k ＋z 1x 2k ·i ＋z 1y 2k ·j ＋z 1z 2k 2＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.设计意图：引导学生大胆地“由旧猜新”，即由平面向量的公式猜想出空间向量相应的公式，让学生在猜想的过程中发现二维与三维的内在联系，并根据学生的实际情况进行有针对性的指导，对普遍出现的问题组织全班性的讨论．理解新知 提出问题：空间向量的平行、垂直关系，空间向量的夹角、模的公式应如何用坐标表示？ 活动设计：1.学生自己推演，教师巡视指导；2．部分学生在黑板上板演，教师点评并请学生修改补充．活动成果：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，且a ≠0，b ≠0. 1．a ∥b 存在唯一确定的实数λ，使得x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2； 2. a ⊥b x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0；3.||a ＝ x 21＋ y 21＋ z 21；4．cos 〈a ，b 〉 ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＋ z 1 z 2x 21＋ y 1 2 ＋ z 21x 22＋ y 22＋ z 22 . 设计意图：通过对公式的推导熟练坐标运算，增强学生应用向量坐标运算的意识． 运用新知 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，(1)求A ，B 中点M 的坐标和||AB ；(2)求到A ，B 两点距离相等的点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 满足的条件．思路分析：(1)要求A ，B 中点M 的坐标，就是求向量OM →的坐标，已知A ，B 两点的坐标，就是已知向量OA →，OB →的坐标，由向量的加减运算即可求出向量OM →的坐标；要求||AB ，就是求||AB →，只需求出向量AB →的坐标即可．(2)要求到A ，B 两点距离相等的点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 满足的条件，只需把到A ，B 两点距离相等这个条件用点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 表示出来即可．解：(1)∵M 为A ，B 的中点，∴OM →＝12(OA →＋OB →)＝12((3,3,1)＋(1,0,5))＝12(4,3,6)＝(2，32，3)．∴M 点的坐标为(2，32，3)．∵AB →＝OB →－OA →＝(1,0,5)－(3,3,1)＝(－2，－3,4)， ∴||AB→＝(－2)2＋(－3)2＋42＝29. ∴||AB ＝29.(2)∵点P(x ，y ，z)到A ，B 的距离相等， ∴||PA →＝||PB→. 又∵PA →＝(3－x,3－y,1－z)，PB →＝(1－x ，－y,5－z)，∴(3－x)2＋(3－y)2＋(1－z)2＝(1－x)2＋(－y)2＋(5－z)2， 整理得4x ＋6y －8z ＋7＝0.点评：利用空间向量解决立体几何问题的关键就是立体几何问题向空间向量的转化，转化以后，再利用空间向量的运算或其坐标运算解决即可．巩固练习已知长方体ABCO —A 1B 1C 1O 1，OA ＝OC ＝2，OO 1＝4，D 为BC 1与B 1C 的交点，E 为A 1C 1与O 1B 1的交点，则DE 的长度为________．答案： 5变练演编如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，点E ′，F ′分别是A ′B ′，C ′D ′的一个四等分点．(1)求BE ′和DF ′所成角的余弦值.(2)能否利用向量求直线BD ′和平面ABCD 所成的角？你能否给出一个可行的方案？ (3)能否利用向量求二面角F ′ADC 的大小？你能否给出一个可行的方案？ 解：(1)不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,1,0)，E ′(1，34，1)，D(0,0,0)，F ′(0，14，1)．所以'BE ＝(1，34，1)－(1,1,0)＝(0，－14，1)，'DF ＝(0，14，1)－(0,0,0)＝(0，14，1)，|'BE |＝174，|'DF |＝174，'BE ·'DF ＝0×0＋(－14×14)＋1×1＝1516. 所以cos 〈'BE ，'DF 〉＝1516174×174＝1517.(2)方案一：将直线BD ′和平面ABCD 所成的角转化为直线BD ′→和BD →所成的角； 方案二：将直线BD ′和平面ABCD 所成的角转化为直线BD ′→和DD ′→所成的角的余角． (3)方案：二面角F ′ADC 的大小转化为'DF 和DC →所成的角．达标检测1．与向量a ＝(1,2,3)，b ＝(3,1,2)都垂直的向量为( )A ．(1,7,5)B ．(1，－7,5)C ．(－1，－7,5)D ．(1，－7，－5) 2．已知点A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若OC →＝25AB →，则点C 的坐标是( )A ．(－65，－45，－85) B. (65，－45，－85)C ．(－65，－45，85) D. (65，45，85)3．已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值，并求出此时的||k a ＋b ； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k 的值．答案：1.C 2.A 3.(1)k ＝－13，||k a ＋b ＝3213 (2)k ＝1063课堂小结1．知识收获：空间向量运算的坐标表示；空间向量平行与垂直关系的坐标表示；空间向量夹角和空间两点距离公式的坐标表示；2．方法收获：类比方法；转化方法； 3．思维收获：类比思维；转化思维． 布置作业 课本习题3.1A 组8,9,10. 补充练习1．已知点A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．设||a ＝1，||b ＝2，且a ，b 的夹角为120°；则||2a ＋b 等于________． 3．设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算3a －2b ，a ·b ，并确定λ，μ的关系，使λa ＋μb 与z 轴垂直．答案：1.C 2.23．解：3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)， a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21， 由(λa ＋μb )·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0， 即当λ，μ满足－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ，时λa ＋μb 与z 轴垂直．设计说明 本节课重点研究空间向量运算的坐标表示，并得出夹角、距离的坐标表示．本节课主要设计了问题驱动、类比思考、启发引导、自主探索等教学方式，主要特点是引导学生把空间向量运算的坐标表示用平面向量运算的坐标表示类比出来，增强学生的应用意识，加深学生的理解．类比是本节课设计的主要特点．本节课突出教师的主导作用和学生的主体地位，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，在运用新知时进行变练演编，加深学生对知识的理解和问题转化的能力．备课资料1已知向量a ＝(－2,2,0)，b ＝(－2,0,2)，求向量n ，使n ⊥a ，n ⊥b . 解：设n ＝(x ，y ，z)，则 n ·a ＝(x ，y ，z)·(－2,2,0)＝－2x ＋2y ＝0， n ·b ＝(x ，y ，z)·(－2,0,2)＝－2x ＋2z ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.这个方程组有三个未知数，但只有两个方程．不妨把未知数x 当做已知，求y ，z.可得y＝x ，z ＝x ，于是n ＝(x ，x ，x)＝x(1,1,1)．显然，当x 取任意实数时，可以得到无穷多个向量都与a ，b 垂直，但这无穷多个向量都与向量(1,1,1)共线．2如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC.分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理，需添加辅助线． 证明：设A 1B 1的中点G ，连EG 、FG 、A 1B ， 则FG ∥A 1D 1，EG ∥A 1B ，∵A 1D 1⊥平面A 1B ， ∴FG ⊥平面A 1B.∵A 1B ⊥AB 1，∴EG ⊥AB 1. ∴EF ⊥AB 1.同理，EF ⊥B 1C.又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC.分析二：选基底，利用向量的计算来证明． 证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则EF → ＝ EB 1 → ＋ B 1F → ＝ 12(BB 1→ ＋ B 1D 1→) ＝ 12(AA 1→ ＋ BD →) ＝ 12(AA 1→ ＋ AD →－AB →)＝－a ＋b ＋c 2，AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b ， ∴EF →·AB 1→＝－a ＋b ＋c2·(a ＋b )＝b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b 2＝(||b 2－||a 2＋0＋0)2＝0.∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C ， 又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC.分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，B 1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)，∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)， AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)， AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)， ∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面B 1AC.(设计者：徐西文)。

2013 年，2014 年,高考第一轮复习,数学教案集9.7●知识梳理空间向量及其坐标运算（B）1.若 OP =xi+yj+zk，那么（x，y，z）叫做向量 OP 的坐标，也叫点 P 的坐标. 2.设 a=（x1，y1，z1） ，b=（x2，y2，z2） ， 那么 a±b=（x1±x2，y1±y2，z1±z2） ， a²b=x1x2+y1y2+z1z2， cos〈a，b〉=x12x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2  y12.2 z12x22 y2 z223.设 M1（x1，y1，z1） 2（x2，y2，z2） ，M ， 则|M1M2|= ( x 1  x 2 ) 2  ( y 1  y 2 ) 2  ( z 1  z 2 ) 2 . 4.对非零向量 a 与 b，有 a∥b  a=kb；a⊥b  a²b=0. ●点击双基 1.若 a=（2x，1，3） ，b=（1，－2y，9） ，如果 a 与 b 为共线向量，则 A.x=1，y=1 B.x=1 2，y=－1 2C.x=1 6，y=－3 2D.x=－1  2y1 6，y=3 2解析：∵a=（2x，1，3）与 b=（1，－2y，9）共线，故有1 6 3 22x 1==3 9.∴x=，y=－.应选 C.答案：C 2.在空间直角坐标系中，已知点 P（x，y，z） ，下列叙述中正确的个数是 ①点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1（x，－y，z） ②点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标 是 P2（x，－y，－z） ③点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3（x，－y，z） ④点 P 关于原 点对称的点的坐标是 P4（－x，－y，－z） A.3 B.2 C.1 D.0 解析：P 关于 x 轴的对称点为 P1（x，－y，－z） ，关于 yOz 平面的对称点为 P2（－x，y， z） ，关于 y 轴的对称点为 P3（－x，y，－z）.故①②③错误. 答案：C 3.已知向量 a=（1，1，0） ，b=（－1，0，2） ，且 ka＋b 与 2a－b 互相垂直，则 k 值是 A.1 B.1 5C.3 5D.7 5解析：ka+b=k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2） ，2a－b=2（1，1，0）－（－1，0，2）=（3，2，－2）.∵两向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2³2=0.∴k= 答案：D7 5.4.已知空间三点 A（1，1，1） 、B（－1，0，4） 、C（2，－2，3） ，则 AB 与 CA 的夹角 θ 的大小是_________. 解析： AB =（－2，－1，3） CA =（－1，3，－2） ， ， cos〈 AB ， CA 〉= 7 141 2(  2 )  (  1)  (  1)  3  3  (  2 ) 14  14==－，∴θ =〈 AB ， CA 〉=120°.答案：120° 5.已知点 A（1，2，1） 、B（－1，3，4） 、D（1，1，1） ，若 AP =2 PB ，则| PD |的值 是__________. 解析：设点 P（x，y，z） ，则由 AP =2 PB ，得（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，1  x   , 3  x  1  2  2 x,  8   4－z） ，即  y  2  6  2 y , 解得  y  , 3  z  1  8  2 z,    z  3,  则| PD |= ( 1 3 1)2 (8 3 1)2 ( 3  1)2=77 3.答案：77 3●典例剖析 【例 1】 已知 AB =（2，2，1） AC =（4，5，3） ， ，求平面 ABC 的单位法向量. 解：设面 ABC 的法向量 n=（x，y，1） n⊥ AB 且 n⊥ AC ，即 n² AB =0，且 n² AC =0， ，则 即 2x+2y+1=0， 4x+5y+3=0，1  x  , 即 2  y   1, ∴n=（ ，－1，1） ，单位法向量 n0=±21n |n |=±（ ，－ ， ）.3 3 3122特别提示一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一 个自由度，可把 n 的某个坐标设为 1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量， 故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解. 【例 2】 在三棱锥 S—ABC 中， ∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°， AC=2， BC= 13 ， SB= 29 . （1）求证：SC⊥BC； （2）求 SC 与 AB 所成角的余弦值.解法一： 如下图， A 为原点， 取 AB、 分别为 y、 轴建立空间直角坐标系， AS z 则有 AC=2， BC= 13 ，SB= 29 ，得 B（0， 17 ，0） 、S（0，0，2 3 ） 、C（213 17，4 17，0） SC ，=（213 17，4 17，－2 3 ） CB =（－2 ，z S13 17，13 17，0）.A B x Cy（1）∵ SC ² CB =0，∴SC⊥BC. （2） SC 与 AB 所成的角为α ， AB = 设 ∵ （0， 17 ， ， ²AB =4，SC || AB |=4 17 ， 0） SC | ∴cosα =17 17，即为所求.解法二： （1）∵SA⊥面 ABC，AC⊥BC，AC 是斜线 SC 在平面 ABC 内的射影，∴SC⊥BC. （2）如下图，过点 C 作 CD∥AB，过点 A 作 AD∥BC 交 CD 于点 D，连结 SD、SC， 则∠SCD 为异面直线 SC 与 AB 所成的角.∵四边形 ABCD 是平行四边形， CD= 17 ， SA=2 3 ， SD= SA 2  AD2= 12  13 =5， ∴在△SDC 中， 由余弦定理得 cos∠SCD=S17 17，即为所求.ABDC特别提示本题（1）采用的是“定量”与“定性”两种证法.题（2）的解法一应用向量的数量积 直接计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了 建系，但要选点、平移、作辅助线、解三角形. 【例 3】 如下图，直棱柱 ABC—A1B1C1 的底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°， 棱 AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点.z C1 A1N MB1C x ABy（1）求 BN 的长； （2）求 cos〈 BA 1 ， CB 1 〉的值；（3）求证：A1B⊥C1M. （1）解：依题意得 B（0，1，0） ，N（1，0，1） ， ∴｜ BN ｜= (1  0 ) 2  ( 0  1) 2  (1  0 ) 2 = 3 . （2）解：A1（1，0，2） ，B（0，1，0） ，C（0，0，0） 1（0，1，2） ，B ， ∴ BA 1 =（1，－1，2） CB 1 =（0，1，2） BA 1 ²CB 1 =3，｜ BA 1 ｜= 6 ，｜ CB 1 ｜= 5 . ， ， ∴cos〈 BA 1 ， CB 1 〉=BA 1  CB | BA 1 || CB1=|1 2 1 2 1 230 10.1（3）证明：C1（0，0，2） ，M（A1 B，，2） ， ，0） ，∴ A 1 B ² C 1 M =0，∴A1B⊥C1M.=（－1，1，－2） C 1 M =（ ，，1 2深化拓展根据本题条件，还可以求直线 AC1 与平面 A1ABB1 所成的角.（答案是 arcsin10 10）【例 4】 如下图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1、CD 的中点.D1 A1 B1 C1E D F A B C（1）证明 AD⊥D1F； （2）求 AE 与 D1F 所成的角； （3）证明面 AED⊥面 A1D1F. 解：取 D 为原点，DA、DC、DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，取正方体棱长 为 2，则 A（2，0，0） 1（2，0，2） 1（0，0，2） 、A 、D 、E（2，2，1） 、F（0，1，0）. （1）∵ DA ² D 1 F =（2，0，0）（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F. ² （2）∵ AE ² D 1 F =（0，2，1）（0，1，－2）=0， ² ∴AE⊥D1F，即 AE 与 D1F 成 90°角. （3）∵ DE ² D 1 F =（2，2，1）（0，1，－2）=0， ² ∴DE⊥D1F.∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面 AED. ∵D1F 面 A1D1F，∴面 AED⊥面 A1D1F.思考讨论本题是高考题，标准答案的解法较为复杂，而运用代数向量求解则轻而易举，充分显示 出代数化方法研究几何图形的优越性，这应作为立体几何复习的一个重点去掌握.通过坐标 法计算数量积去证垂直，求夹角、距离，是高考的重点. ●闯关训练夯实基础 1.设 OABC 是四面体，G1 是△ABC 的重心，G 是 OG1 上一点，且 OG=3GG1，若 OG x OA +y OB +z OC ，则（x，y，z）为 A.（1 4=，1 4，1 4 3 4）OGB.（ =3 43 4，3 4，3 4）3 4C.（OA1 3，3 41 3，2 31 3）1D.（2 3，2 3 3 4，2 3） +解析： OG = ∵1 41（ OA + AG 1 ） =1 4+1 4² ［ （ AB + AC ） = ］2OA［ OB － OA ）+（ OC － OA ） （ ］=1 4OA+1 4OB+OC，而 OG =x OA +y OB +z OC ，∴x=，y=1 4，z=1 4.答案：A 2.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么直 线 AM 与 CN 所成的角为D1 A1 M B1 C1N D C BAA.arccos3 2B.arccos10 10C.arccos3 5D.arccos2 5解法一：∵ AM = AA 1 + A 1 M ， CNA1 M= CB + BN ，∴ AM ² CN =（ AA 1 +）（ CB + BN ）= AA 1 ² BN = ²1 2.1 4而| AM |= ( AA 1  A1 M )  ( AA 1  A1 M ) = | AA 1 | 2  | A1 M | 2 = 1 5 2=5 2.同理，| CN |=.如令α 为所求之角，则1cosα =AM  CN | AM || CN |2 =2 = ，554∴α =arccos2 5.解法二：建立如下图所示坐标系，把 D 点视作原点 O，分别沿 DA 、 DC 、 DD 1 方向 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则 A（1，0，0） ，M（1，1 2，1） ，C（0，1，0） ，N（1，1，1 2）.z D1 A1 M B1 C1D O A xNCyB∴ AM =（1，CN1 2，1）－（1，0，0）=（0， ）－（0，1，0）=（1，0，1 21 2 1 2，1） ， ）.=（1，1，1 2故 AM ² CN =0³1+1³0+1³5 21 2=1 2，1| AM |= 0 2  ( ) 2  1 2 =2，| CN |= 1 2  0 2  ( ) 2 =25 2.∴cosα =AM  CN | AM || CN |=1 2 5 2  5 2=2 5.∴α =arccos2 5.答案：D 3.命题：①若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线；②向量 a、b、c 共面，则它们 所在的直线也共面；③若 a 与 b 共线，则存在唯一的实数λ ，使 b=λ a；④若 A、B、C 三 点不共线， 是平面 ABC 外一点，OM = O1 3OA+1 3OB+1 3OC， 则点 M 一定在平面 ABC上，且在△ABC 内部. 上述命题中的真命题是_____________. 解法一：①中 b 为零向量时，a 与 c 可以不共线，故①是假命题；②中 a 所在的直线其 实不确定，故②是假命题；③中当 a=0，而 b≠0 时，则找不到实数λ ，使 b=λ a，故③是 假命题；④中 M 是△ABC 的重心，故 M 在平面 ABC 上且在△ABC 内，故④是真命题. 解法二：可以证明④中 A、B、C、M 四点共面.等式两边同加 MO ，则 （ MO3 1+ OA ）+ （ MO + OB ） （ MO + OC ） + =0， MA 即3 311+ MB + MC =0，MA =－ MB － MC ， MA 则与 MB 、 MC 共面，又 M 是三个有向线段的公共点，故 A、B、C、M 四点共面. 答案：④ 4.设点 C（2a+1，a+1，2）在点 P（2，0，0） 、A（1，－3，2） 、B（8，－1，4）确定 的平面上，求 a 的值. 解： PA =（－1，－3，2） PB =（6，－1，4）.根据共面向量定理，设 PC =x PA +y PB ， （x、y∈R） ，则（2a－1，a+1，2）=x（－1，－3，2）+y（6，－1，4）=（－x+6y，－3x－y，2a  1   x  6 y,  2x+4y） ，∴  a  1   3 x  y , 解得 2  2 x  4 y. x=－7，y=4，a=16.5.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2， Q 分别是 BC、 上的动点， P、 CD 且|PQ|= 2 ， 建立如下图所示的坐标系.z A1 C1 D1B1A B x P C QDy（1）确定 P、Q 的位置，使得 B1Q⊥D1P； （2）当 B1Q⊥D1P 时，求二面角 C1—PQ—A 的大小. 解： （1）设 BP=t，则 CQ= 2  ( 2  t ) 2 ，DQ=2－ 2  ( 2  t ) 2 . ∴B1（2，0，2） 1（0，2，2） ，D ，P（2，t，0） ，Q（2－ 2  ( 2  t ) 2 ，2，0） ， ∴ QB 1 =（ 2  ( 2  t ) 2 ，－2，2） ，PD 1=（－2，2－t，2）.∵B1Q⊥D1P 等价于 QB 1 ² PD 1 =0， 即－2 2  ( 2  t ) 2 －2（2－t）+2³2=0， 整理得 2  ( 2  t ) 2 =t，解得 t=1. 此时，P、Q 分别是棱 BC、CD 的中点，即 P、Q 分别是棱 BC、CD 的中点时，B1Q⊥ D1P；z A1 C1 D1B1A E B x P C QDy（2）当 B1Q⊥D1P 时，由（1）知 P、Q 分别是棱 BC、CD 的中点. 在正方形 ABCD 中，PQ∥BD，且 AC⊥BD，故 AC⊥PQ. 设 AC 与 PQ 的交点为 E，连结 C1E. ∵在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，CC1⊥底面 ABCD，CE 是 C1E 在底面 ABCD 内的射影，∴C1E⊥PQ， 即∠C1EC 是二面角 C1—PQ—C 的平面角，∠C1EA 是二面角 C1—PQ—A 的平面角. 在正方形 ABCD 中，CE=2 2，2 2 2在 Rt△C1EC 中，tan∠C1EC==2 2 ，∴∠C1EC=arctan2 2 ， ∠C1EA=π －arctan2 2 . ∴二面角 C1—PQ—A 的大小是π －arctan2 2 . 培养能力 6.已知三角形的顶点是 A（1，－1，1） ，B（2，1，－1） ，C（－1，－1，－2）.试求这 个三角形的面积. 解：S  ABC = S  ABC =1 2 1 22 21 2|AB||AC|sinα ，其中α 是 AB 与 AC 这两条边的夹角.则1 2| AB || AC | 1  cos 2 AB  AC | AB || AC |=| AB || AC |1 ()2=| AB |  | AC |  ( AB  AC )2.在本题中， AB =（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2） AC =（－1，－1， ， －2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3） ， ∴| AB |2=12+22+（－2）2=9， | AC |2=（－2）2+02+（－3）2=13，AB² AC =1² （－2）+2²0+（－2）（－3）=－2+6=4， ²1 2∴S  ABC =9  13  42=101 2.7.证明正三棱柱的两个侧面的异面对角线互相垂直的充要条件是它的底面边长与侧棱 长的比为 2 ∶1.z B AOy Cx证明：如图，以正三棱柱的顶点 O 为原点，棱 OC、OB 为 y 轴、z 轴，建立空间直角坐 标系，设正三棱柱底面边长与棱长分别为 2a、b，则 A（ 3 a，a，b） 、B（0，0，b） 、C（0， 2a，0）.因为异面对角线 OA⊥BC  OA ² BC =0  （ 3 a，a，b）（0，2a，－b）=2a2 ² －b2=0  b= 2 a，即 2a∶b= 2 ∶1，所以 OA⊥BC 的充要条件是它的底面边长与侧棱长 的比为 2 ∶1. 探究创新 8.如图，ABCD 是边长为 a 的菱形，且∠BAD=60°，△PAD 为正三角形，且面 PAD⊥ 面 ABCD.PF A E B CD（1）求 cos〈 AB ， PD 〉的值； （2）若 E 为 AB 的中点，F 为 PD 的中点，求| EF |的值； （3）求二面角 P—BC—D 的大小. 解： （1）选取 AD 中点 O 为原点，OB、AD、OP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 空间直角坐标系，则 A（0，－ 0）. ∴ AB =（3 2a 2，0） ，B（3 2a，0，0） ，P（0，0，3 2a） ，D（0，a 2，a，a 2，0） PD =（0， ，a 2，－33 2a） ，a 2 a 2  02则 cos AB ，PD 〉 〈 =AB  PD | AB || PD |a0 a 2 0  ( a 23 2a)=( 3 2 a)22  ( )2= ( 3 2 a)21 4. 02 ()2（2）∵E、F 分别为 AB、PD 的中点， ∴E（3 4a，－a 4，0） ，F（0，a 4，3 4a）.则| EF |= (3 4a  0)2 (a 4a 4)2 (0 3 4a)2=10 4a.（3）∵面 PAD⊥面 ABCD，PO⊥AD， ∴PO⊥面 ABCD. ∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC. 连结 PB，则 PB⊥BC， ∴∠PBO 为二面角 P—BC—D 的平面角. 在 Rt△PBO 中，PO=33 2a，BO=3 2a，∴tan∠PBO=PO BOa= 23 2 a=1.则∠PBO=45°.故二面角 P—BC—D 的大小为 45°. ●思悟小结 本节知识是代数化方法研究几何问题的基础， 向量运算分为向量法与坐标法两类， 以通 过向量运算推理，去研究几何元素的位置关系为重点.利用两个向量（非零）垂直  数量积 为零，可证明空间直线垂直；利用数量积可计算两异面直线的夹角，可求线段的长度；运用 共面向量定理可证点共面、线面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求点面距、线 面角、异面直线的距离等. ●教师下载中心 教学点睛 1.要使学生理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的 坐标表示以及两点间的距离、夹角公式.通过解题，会应用空间向量的坐标运算解决立体几 何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题. 2.运用空间向量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出 相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论. 拓展题例 【例 1】 已知 A（3，2，1） 、B（1，0，4） ，求： （1）线段 AB 的中点坐标和长度； （2）到 A、B 两点距离相等的点 P（x，y，z）的坐标满足的条件. 解： （1）设 P（x，y，z）是 AB 的中点，则 OP =5 5 1 2（ OA + OB ）=1 2［ （3，2，1）+（1， 4） = 0， ］ （2， 1， ） ∴点 P 的坐标是 ， （2， 1， ） dAB= (1  3 ) 2  ( 0  2 ) 2  ( 4  1) 2 = 17 . ，2 2（2）设点 P（x，y，z）到 A、B 的距离相等， 则 ( x  3 ) 2  ( y  2 ) 2  ( z  1) 2 = ( x  1) 2  y 2  ( z  4 ) 2 . 化简得 4x+4y－6z+3=0，即为 P 的坐标应满足的条件. 评述： 空间两点 P1 1， 1， 1） P2 2， 2， 2） （x y z 、 （x y z 的中点为 （x1  x 2 2，y1  y 2 2，z1  z 2 2） ，且|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.【例2】 棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面PAC ？解：以D 为原点建立如图所示的坐标系， 设存在点P （0，0，z ）， AP =（－a ，0，z ）， AC =（－a ，a ，0）， 1DB =（a ，a ，a ）， ∵B 1D ⊥面P AC ，∴1DB ²AP =0，1DB ²AC =0.∴－a 2+az =0.∴z =a ，即点P 与D 1重合. ∴点P 与D 1重合时，DB 1⊥面P AC .【例3】 （2004年春季安徽）已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1中底面边长和侧棱长均为a ，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，A 1B =26 a .1（1）求异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值； （2）求证：A 1B ⊥面AB 1C .解：过点B 作BO ⊥AC ，垂足为点O ，则BO ⊥侧面ACC 1A 1，连结A 1O ，在Rt △A 1BO 中，A 1B =26a ，BO=23a ，∴A 1O =23a .又AA 1=a ，AO =2a .∴△A 1AO 为直角三角形，A 1O ⊥AC ，A 1O ⊥底面ABC .1解法一：（1）∵A 1C 1∥AC ，∴∠BC 1A 1为异面直线AC 与BC 1所成的角.∵A 1O ⊥面ABC ，AC ⊥BO ，∴AC ⊥A 1B .∴A 1C 1⊥A 1B . 在Rt △A 1BC 1中，A 1B =26a ，A 1C 1=a ，∴BC 1=210 a .∴cos ∠BC 1A 1=510.∴异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值为510.（2）设A 1B 与AB 1相交于点D ， ∵ABB 1A 1为菱形，∴AB 1⊥A 1B .又A 1B ⊥AC ，AB 1与AC 是平面AB 1C 内两条相交直线，∴A 1B ⊥面AB 1C .1解法二：（1）如图，建立坐标系，原点为BO ⊥AC 的垂足O .由题设条件可得B （23 a ，0，0），C 1（0，a ，23a ），A （0，－21a ，0），C （0，21a ，0），∴1BC =（－23a ，a ，23a ），AC =（0，a ，0）.设AC 与1BC 的夹角为θ，则cos θ11aa a ⋅2102=510，∴异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值为510.（2）A 1（0，0，23a ），B （23a ，0，0），∴B A 1 =（23a ，0，－23a ），AC =（0，a ，0），B A 1²AC =0.∴A 1B ⊥AC .∵ABB 1A 1为菱形，∴A 1B ⊥AB 1.又∵AB 1与AC 为平面AB 1C 内两条相交直线，∴A 1B ⊥平面AB 1C .。

3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．起点与重点重合的向量叫做零向量。

9.7 空间向量及其坐标运算(B)巩固·夯实基础 一、自主梳理1.设i 、j 、k 为两两垂直的单位向量,如果=x i +y j +z k ,则(x,y,z)叫做向量的坐标,也叫做点P 的坐标.2.设a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),那么a ±b =(x 1±x 2,y 1±y 2,z 1±z 2), a ·b =x 1x 1+y 1y 2+z 1z 2,cos 〈a,b 〉=222222212121212121zy x zy x z z y y x x ++++++.λa =(λx 1,λy 1,λz 1),a ∥b ⇔x 1=λx 2,y 1=λy 2,z 1=λz 2(b ≠0), a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0.3.设M 1(x 1,y 1,z 1)、M 2(x 2,y 2,z 2),则|M 1M 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 二、点击双基1.若a =(2x,1,3),b =(1,-2y,9),如果a 与b 为共线向量,则( )A.x=1,y=1B.x=21,y=-21 C.x=61,y=-23 D.x=-61,y=23解析:∵a =(2x,1,3)与b =(1,-2y,9)共线,故有12x =y 21-=93. ∴x=61,y=-23.应选C. 答案:C2.已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(-1，0，2)，且k a ＋b 与2a -b 互相垂直，则ｋ值是( ) A.1 B.51 C.53D.57 解析:ｋa +b ＝ｋ(1，1，0)＋(-1，0，2)＝(ｋ-1，ｋ，2)，2a -b ＝2(1，1，0)-(-1，0，2)＝(3，2，-2).∵两向量垂直，∴3(ｋ-1)＋2ｋ-2×2＝0.∴ｋ＝57. 答案:D3.已知点A(-3,-1,-4)关于原点的对称点为A 1,点A 在xOy 平面上的射影为A 2,则21A A 在y 轴正方向上的投影为( )A.2B.-1C.1D.-2 解析:A 1的坐标为(3,1,4),A 2的坐标为(-3,0,-4).21A A =(-6,-1,-8),y 轴正方向上的单位向量e=(0,1,0),∴投影=21A A ·e =-1.答案:B4.已知空间三点A(1，1，1)、B(-1，0，4)、C(2，-2，3)，则与的夹角θ的大小是 _________. 解析: =(-2，-1，3)，=(-1，3，-2)，cos 〈,〉=1414)2(33)1()1()2(•-⨯+⨯-+-⨯-=147- =-21，∴θ=〈,〉=120°. 答案:120°5.已知点A(1,2,1)、B(-1,3,4)、D(1,1,1),若=2,则||的值是_________________.解析:设点P(x,y,z),则由AP =2,得(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),即⎪⎩⎪⎨⎧-=--=---=-,281,262,221z z y y x x解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=,3,38,31z y x则||=222)13()138()131(-+-+--=377. 答案:377 诱思·实例点拨 【例1】已知=(2,2,1),=(4,5,3),求平面ABC 的单位法向量.解:设面ABC 的法向量n =(x,y,1),则n ⊥AB 且n ⊥AC ,即n·AB =0,且n ·AC =0,即⎩⎨⎧=++=++,0354,0122y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-==,1,21y x∴n =(21,-1,1),单位法向量n 0=±||n n =±(31,-32,32).链接·提示一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度,仅规定了方向,所以有一个自由度,可把n 的某个坐标设为1,再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量,故法向量的相反向量也是法向量,所以本题的单位法向量应有两解.【例2】在三棱锥S —ABC 中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=13,SB=29. (1)求证:SC ⊥BC;(2)求SC 与AB 所成角的余弦值.解:如右图,取A 为原点,AB 、AS 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系,则有 AC=2,BC=13,SB=29,得B(0,17,0)、S(0,0,23)、C(21713,174,0),=(21713,174,-23),CB =(-21713,1713,0). (1)∵·=0,∴SC ⊥CB.(2)设SC 与AB 所成的角为α, ∵=(0,17,0),SC ·=4,|SC |||=417,∴cos α=1717,即为所求.【例3】如图,在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz.(1)写出点E、F的坐标;(2)求证:A1⊥C1;(3)若A1、E、F、C1四点共面,求证:A1=2111CA+A1.剖析:(1)从E、F点向x、y轴作垂线;(2)证A1·C1=0;(3)利用共面向量定理建立向量关系式,进一步获得数量关系式(坐标之间的关系).(1)解:E(a,x,0),F(a-x,a,0).(2)证明:∵A1(a,0,a)、C1(0,a,a),∴A1=(-x,a,-a),C1=(a,x-a,-a).∴A1·C1=-ax+a(x-a)+a2=0.∴A1⊥C1.(3)证明:∵A1、E、F、C1四点共面,∴A1、11CA、A1共面.视A1与11CA为一组基向量,则存在唯一实数对λ1、λ2,使A1=λ111CA+λ2A1,即(-x,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,x,-a)=(-aλ1,aλ1+xλ2,-aλ2),⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-,,,2211λλλλaaxaaax解得λ1=21,λ2=1.于是A1=2111CA+A1.讲评:对于存在“墙拐”的图形建系是十分轻松的,但要会求点的坐标,否则向量方法有如空中楼阁.【例4】如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2,BB 1=3,D 为A 1C 1的中点,E 为B 1C 的中点. (1)求直线BE 与A 1C 所成的角的余弦值;(2)在线段AA 1上是否存在点F,使CF ⊥平面B 1DF?若存在,求出AF 的长;若不存在,请说明理由. 剖析:(1)注意到直三棱柱中的垂直关系,建立恰当的空间直角坐标系,由向量夹角公式可以顺利求解;(2)在平面B 1DF 中寻找两条相交直线与CF 垂直,通过直线垂直(向量垂直)的充要条件构建方程.解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系B —xyz,则B(0,0,0),E(22,0,23),A 1(0, 2,3), C(2,0,0).∴=(22,0,23),A 1=(2,-2,-3). ∴cos 〈BE ,A 1〉||||11C A BE =13411291•-=-1431437. 因此,直线BE 与A 1C 所成的角的余弦值是-1431437. (2)假设存在点F,使CF ⊥平面B 1DF. ∵B 1D ⊥平面AA 1C 1C,CF 平面AA 1C 1C, ∴B 1D ⊥CF.设|AF|=b,则F(0,2,b,),B 1(0,0,3). ∴CF =(-2,2,b),F B 1=(0,2,b-3). 由·B 1=0,得2+b(b-3)=0,解得b=1或b=2.因此,当b=1或b=2时,CF ⊥B 1F,BD ⊥CF,即在线段AA 1上存在两点F,使CF ⊥平面B 1DF,且AF 的长为1或2.讲评:向量是解决立体几何的全新工具,它降低了问题的难度,简缩了思维过程,将灵活的逻辑推理转化为机械的代数运算.。