2020届高考数学一轮复习 阶段检测试题(二)理 新人教版

12020版广西高考人教版数学（理）一轮复习综合测试卷(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.在复平面内,复数z 满足z(1+i)=1-2i,则对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合A={x|lo (2x+1)>-1},集合B={x|1<3x <9},则A ∩B=( ) A.B.C.(0,2)D.3.下图是某企业产值在2008--2017年的年增量(即当年产值比前一年产值增加的量)统计图(单位:万元),下列说法正确的是()A.2009年产值比2008年的产值少B.从2011年到2015年,产值年增量逐年减少C.产值年增量的增量最大的是2017年D.2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低4.根据下面的程序框图,当输入x 为2 017时,输出的y=()A.2B.4C.10D.285.为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为x+.已知x i =225,y i=1 600,=4,该班某学生的脚长为24厘米,据此估计其身高为( )A.160厘米B.163厘米C.166厘米D.170厘米6.若将函数f sin x-cos x的图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到的图象关于原点对称,则m=( )A. B. C. D.7.从(3-2)11的展开式中任取一项,则所取项是有理项的概率为( )A. B. C. D.8.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p39.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.若a=,S为△ABC的面积,则S+3cos Bcos C的最大值为( )A.3B.C.2D.10.直线y=kx+1与曲线f(x)=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于( )A.2B.-1C.1D.-2211.定义在R上偶函数f(x)在[0,+∞)内单调递增,且f(-2)=1,则f(x-2)≤1的x取值范围是( )A.[0,4]B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-∞,0]∪[4,+∞)D.[-2,2]12.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F2的直线与E的右支交于A,B两点,M,N分别是AF2,BF1的中点,O为坐标原点.若△MON是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则E的离心率是( ) A.5 B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设函数f(x)=若f(m)=3,则实数m的值为.14.(2018全国Ⅰ,理8改编)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则=.15.由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.16.设C 满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则的最小值为.3三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)若数列{a n}满足:a1=,a2=2,3(a n+1-2a n+a n-1)=2.(1)证明:数列{a n+1-a n}是等差数列;(2)求使+…+成立的最小的正整数n.18.(12分)如图,在长方形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.(1)求证:AD⊥BM;(2)若E是线段DB的中点,求AE与平面BDM所成角的正弦值.4519.(12分)为推动实施健康中国战略,树立国家大卫生、大健康概念,手机APP 也推出了多款健康运动软件,如“微信运动”.杨老师的微信朋友圈内有600名好友参与了“微信运动”,他随机选取了40名微信好友(女20人,男20人),统计其在某一天的走路步数.其中,女性好友的走路步数数据记录如下: 5 860 8 520 7 326 6 798 7 325 8 430 3 216 7 453 11 754 9 860 8 753 6 450 7 290 4 850 10 223 9 763 7 988 9 176 6 421 5 980男性好友走路的步数情况可分为五个类别:A(0~2 000步)(说明:“0~2 000”表示大于等于0,小于等于2 000.下同),B(2 001~5 000步),C(5 001~8 000步),D(8 001~10 000步),E(10 001步及以上),且B,D,E 三种类别人数比例为1∶3∶4,将统计结果绘制成如图所示的条形图.若某人一天的走路步数超过8 000步被系统认定为“卫健型”,否则被系统认定为“进步型”.(1)若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布,请估计杨老师的微信朋友圈内参与“微信运动”的600名好友中,每天走路步数在5 001~10 000步的人数; (2)请根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关?(3)若按系统认定类型从选取的样本数据中在男性好友中按比例选取10人,从中任意选取3人,记选到“卫健型”的人数为x;女性好友中按比例选取5人,从中任意选取2人,记选到“卫健型”的人数为y,求事件“|x-y|>1”的概率. 附:K 2=,20.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,).(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若k AC·k BD =-.①求的最值;②求证:四边形ABCD的面积为定值.621.(12分)设函数f(x)=ae x(x+1)(其中e=2.718 28…),g(x)=x2+bx+2,已知它们在x=0处有相同的切线.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>-3)上的最小值;(3)若对∀x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立,求实数k的取值范围.78请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. [选修4—4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy 中,过点P 作倾斜角为α的直线l 与曲线C:(x-1)2+(y-2)2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l 的参数方程与曲线C 的极坐标方程; (2)求的取值范围.[选修4—5:不等式选讲]23.(10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x ∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b 的最小值.9参考答案1z(1+i)=1-2i,∴z==-i,∴=-i,故对应的点位于第二象限.故选 B.2A={x|lo (2x+1)>-1}=,B={x|1<3x <9}={x|0<x<2},∴A ∩B=,故选A.3错,2009年的产值比2008年的产值多29 565万元; B 错;C 错,产值年增量的增量最大的不是2017年,应是2010年;D 正确,因为增长率等于增长量除以上一年的产值,而上一年的产值不确定,所以2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低. 4,每运行一次,x 的值减少2,当程序框图运行了1 009次后,x=-1,此时终止循环,由y=3-x +1可知,y=3-(-1)+1=4,故输出y 的值为4,故选 B. 5x i =22.5,y i =160,又=4,所以=160-4×22.5=70,故当x=24时,=4×24+70=166.故选C. 6sin x-cos x=sin ,图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到y=sin的图象,由于得到的图象关于原点对称,故是奇函数,所以--m=k π,k ∈Z ,当k=-1时,m=.7,可得二项展开式的通项为T r+1=(3)11-r ·(-2)r =(-2)r ·311-r ,10根据题意可得,当为整数时,展开式的项为有理项,则r=3,9,共有2项,而r 的取值共有12个,由古典概型的概率计算公式可得,所取项是有理项的概率为P=,故选B.8AB=b,AC=a,BC=c,则a 2+b 2=c 2. 所以以BC 为直径的圆面积为π,以AB 为直径的圆面积为π,以AC 为直径的圆面积为π.所以SⅠ=ab,S Ⅱ=ab=ab,S Ⅲ=ab,所以S Ⅰ=S Ⅱ,由几何概型,知p 1=p 2. 9cos A==-,可知A=,又a=,故S=bcsin A=·asin C=3sin Bsin C.因此S+3cos Bcos C=3sin Bsin C+3cos Bcos C=3cos(B-C),于是当B=C 时,S+3cos Bcos C 取得最大值3. 10,f'(x)=3x 2+a,则由此解得所以2a+b=1.11f(x)在[0,+∞)内单调递增,且f(-2)=1,∴不等式f(x-2)≤1等价于f(|x-2|)≤f(-2)=f(2),即|x-2|≤2. ∴0≤x ≤4,∴f(x-2)≤1的x 的取值范围是[0,4].故选A. 12,由题意可得ON ∥AB.由△MON 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形可得OM ⊥AB,结合OM ∥AF 1可得AF 1⊥AB.令OM=ON=x,则AF 1=2x,AF 2=2x-2a,BF 2=2x,BF 1=2x+2a.在Rt △ABF 1中,(2x)2+(4x-2a)2=(2x+2a)2,整理计算可得x=a.11在Rt △AF 1F 2中,(2x)2+(2x-2a)2=(2c)2,即(3a)2+a 2=(2c)2,计算可得e 2=,∴e=.13m ≥2时,m 2-1=3,∴m 2=4,∴m=±2.∵m ≥2,∴m=2.当0<m<2时,log 2m=3,∴m=23=8. ∵0<m<2,∴m∈.综上所述,m=2. 14MN的方程为y=(x+2),联立直线与抛物线的方程,得解得不妨设M(1,2),N(4,4).∵抛物线的焦点为F(1,0),∴=(0,2),=(3,4).∴=0×3+2×4=8.,故该几何体的体积V=2×1×1+2×π×12×1=2+.16,如图所示.将z=ax+by 转化为y=-x+,∵a>0,b>0,∴直线y=-x+的斜率为负,最大截距对应最大的z 值,易知点A 为最大值点. 联立方程组解得即A(4,6).12∵目标函数z=ax+by 的最大值为12,∴12=4a+6b,即=1, ∴+2,当且仅当,且=1,即a=b=时取等号.173(a n+1-2a n +a n-1)=2可得,a n+1-2a n +a n-1=,即(a n+1-a n )-(a n -a n-1)=, 故数列{a n+1-a n }是以a 2-a 1=为首项,为公差的等差数列. (1)知a n+1-a n =(n-1)=(n+1),于是累加求和得a n =a 1+(2+3+…+n)=n(n+1),故=3,因此+…+=3-,可得n>5,故最小的正整数n 为6.18ABCD 是矩形,AB=2AD,M 为CD 的中点,∴AM=BM=AD.∴AM 2+BM 2=AB 2,∴AM ⊥BM.∵平面ADM ⊥平面ABCM,平面ADM ∩平面ABCM=AM,BM ⊂平面ABCM,∴BM ⊥平面ADM. ∵AD ⊂平面ADM,∴AD ⊥BM. M 作平面ABCM 的垂线Mz,以M 为原点,以MA,MB,Mz 为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示.设AD=1,则AM=BM=,M(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),D ,E .∴=(0,,0),. 设平面BMD 的法向量为n =(x,y,z),则即令z=1,得n =(-1,0,1).∴n ·.∴cos<n ,>=.∴AE 与平面BDM 所成角的正弦值为.19在样本数据中,男性好友B 类别设为x 人,则由题意可知1+x+3+3x+4x=20,解得x=2.故B类别有2人,D类别有6人,E类别有8人,走路步数在5 001~10 000步的包括C,D两类别共计9人;女性好友走路步数在5 001~10 000步共有16人.用样本数据估计杨老师的微信朋友圈内参与“微信运动”的600名好友中,每天走路步数在5 001~10 000步的人数为600×=375.(2)2×2列联表如下:K2的观测值k=≈3.636<3.841,故没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.(3)在男性好友中“卫健型”与“进步型”的人数比例为7∶3,则选取10人,恰好选取“卫健型”7人,“进步型”3人;在女性好友中“卫健型”与“进步型”的人数比例为2∶3,选取5人,恰好选取“卫健型”2人,“进步型”3人.“|x-y|>1”包含“x=3,y=1”,“x=3,y=0”,“x=2,y=0”,“x=0,y=2”.P(x=3,y=1)=,P(x=3,y=0)=,P(x=2,y=0)=,P(x=0,y=2)=.故P(|x-y|>1)=.20由题意,知e==1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,∴椭圆的标准方程为=1.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,(*)∵k OA·k OB=-=-,∴=-.y1y2=-x1x2=-=-,13又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2·+km ·+m2=,∴-,∴-(m2-4)=m2-8k2,∴4k2+2=m2.①=x1x2+y1y2==2-,∴-2=2-4≤<2.当k=0(此时m2=2满足(*)式),即直线AB平行于x轴时,取最小值为-2. 又直线AB的斜率不存在时,=2,∴的最大值为2.②证明:设原点到直线AB的距离为d,则S△AOB =|AB|·d=·|x2-x1|·====2=2,∴=4S△AOB =8,即四边形ABCD的面积为定值.21x(x+2),g'(x)=2x+b.由题意,两函数在x=0处有相同的切线.∴f'(0)=2a,g'(0)=b,∴2a=b,f(0)=a=g(0)=2,∴a=2,b=4,∴f(x)=2e x(x+1),g(x)=x2+4x+2.(2)f'(x)=2e x(x+2),由f'(x)>0得x>-2,由f'(x)<0得x<-2,∴f(x)在区间(-2,+∞)内单调递增,在区间(-∞,-2)内单调递减.∵t>-3,∴t+1>-2.①当-3<t<-2时,f(x)在区间[t,-2]上单调递减,在区间[-2,t+1]上单调递增, ∴f(x)min =f(-2)=-2e-2.②当t≥-2时,f(x)在区间[t,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(t)=2e t(t+1);∴f(x)min=(3)令F(x)=kf(x)-g(x)=2ke x(x+1)-x2-4x-2,由题意当x≥-2,F(x)min≥0.∵∀x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立,∴F(0)=2k-2≥0,∴k ≥1.F'(x)=2ke x(x+1)+2ke x -2x-4=2(x+2)(ke x-1).∵x≥-2,由F'(x)>0,得e x>,∴x>ln;由F'(x)<0,得x<ln.1415∴F(x)在区间上单调递减,在区间内单调递增.①当ln <-2,即k>e 2时,F(x)在区间[-2,+∞)内单调递增,F(x)min =F(-2)=-2ke -2+2=(e 2-k)<0, 不满足F(x)min ≥0.②当ln =-2,即k=e 2时,由①知,F(x)min =F(-2)=(e 2-k)=0,满足F(x)min ≥0. ③当ln >-2,即1≤k<e 2时,F(x)在区间上单调递减,在区间内单调递增.F(x)min =F=ln k(2-ln k)>0,满足F(x)min ≥0.综上所述,满足题意的k 的取值范围为[1,e 2].请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22由题意,直线l 的参数方程为(t 为参数).由(x-1)2+(y-2)2=1,得x 2+y 2-2x-4y+4=0,将y=ρsin θ,x=ρcos θ,ρ2=x 2+y 2代入得,ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. (2)把直线l 的参数方程(t 为参数)代入x 2+y 2-2x-4y+4=0,得t 2+(2cos α-sin α)t+=0,由Δ>0,得|2cos α-sin α|>1. 故=4|2cos α-sin α|∈(4,4].23y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5.16。

2019-2020年高三一轮复习测试（二）数学理试题 含答案一、选择题1．（2013广东）定义域为R 的四个函数3y x =,2xy =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．12、（2012广东）下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ）A .()ln 2y x =+B .y =C .12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .1y x x=+3、（2011广东）设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数4、（2010广东）若函数()33xxf x -=+与()33xxg x -=-的定义域均为R ，则（ ） A ．()f x 与()g x 均为偶函数 B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 C ．()f x 与()g x 均为奇函数 D ．()f x 为偶函数．()g x 为奇函数5、（2009广东）若函数()y f x =是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ，则()f x =（ ）Ａ．2log x Ｂ．12log x Ｃ．12x Ｄ．2x 6、（2008广东）设a ∈R ，若函数3axy e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-7、（2013天津））函数0.5()2|log |x f x x =－1的零点个数为（ ）(A) 1(B) 2(C) 3(D) 48、（2013北京）直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.16 239、（2010天津理数）函数f(x)=23xx +的零点所在的一个区间是（ ） (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）10、（深圳市2013届高三2月第一次调研考试）函数 ln 1y x =-的图像与函数()2cos 24y x x π=--≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于A ．8B ．6C ．4D ．2 二、填空题1、（佛山市2013届高三上学期期末）已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()f x =2log x ，则1(())4f f 的值等于 ．2、（2011广东）函数f （x ）=x 3－3x 2＋1在x =学科网____________处取得极小值．3、（2010广东）函数，()lg(2)f x x =-的定义域是4、（2012年高考（江苏））函数x x f 6log 21)(-=的定义域为___＿＿_.5、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）若曲线y =与直线x=a ，y=0所围成封闭图形的面积为a 2．则正实数a ＝＿＿＿＿ 三、解答题1、（2013广东）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .2、（2009广东）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=．（１）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q ，求m 的值； （２）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．参考答案 一、选择题1、C2、A3、A4、B5、B6、B 【解析】'()3axf x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30axf x ae =+=有正根。

阶段检测试题(一)(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( A )(A)A∩B={x|x<0} (B)A∪B=R(C)A∪B={x|x>1} (D)A∩B=∅解析:因为3x<1,所以3x<30,所以x<0,所以B={x|x<0}.又A={x|x<1},所以A∩B={x|x<0}.故选A.2.函数f(x)=+lg(6-3x)的定义域为( C )(A)(-∞,2) (B)(2,+∞) (C)[-1,2) (D)[-1,2]解析:由题意得解得-1≤x<2,故函数f(x)的定义域是[-1,2),故选C.3.下列命题的说法错误的是( C )(A)命题p:∀x∈R,x2+x+1>0,则⌝p:∃x0∈R,+x0+1≤0(B)“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件(C)若命题p∧q为假命题,则p,q都是假命题(D)命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”解析:对于A,命题p:∀x∈R,x2+x+1>0,则p:∃x0∈R,+x0+1≤0,满足命题的否定关系,正确;对于B,“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件,满足“x=1”⇒“x2-3x+2=0”,反之,不成立,正确;对于C,若命题p∧q为假命题,则p,q至少有一个是假命题,不正确;对于D,命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,满足逆否命题的形式,正确.故选C.4.设函数f(x)=若f(a)>1,则实数a的取值范围是( B )(A)(0,2) (B)(0,+∞)(C)(2,+∞) (D)(-∞,0)∪(2,+∞)解析:若2a-3>1,解得a>2,与a<0矛盾,若>1,解得a>0,故a的范围是(0,+∞),故选B.5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为( B )(A)4 (B)-4 (C)6 (D)-6解析:由题意,f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时f(x)=3x+m(m为常数),所以f(0)=30+m=0,解得m=-1,故有x≥0时f(x)=3x-1,所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4,故选B.6.函数y=1+x+的部分图象大致为( D )解析:函数由y=x+向上平移1个单位,则y=1+x+关于(0,1)对称,排除B,C,当x>0时y>0,排除A,故选D.7.函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是( B )(A)f(1)<f()<f()(B)f()<f(1)<f()(C)f()<f()<f(1)(D)f()<f(1)<f()解析:因为函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,所以函数y=f(x)在[2,4]上单调递减,且在[0,4]上函数y=f(x)满足f(2-x)=f(2+x),即f(1)=f(3),因为f()<f(3)<f(),所以f()<f(1)<f（）,故选B.R上的函数f(x)=2|x|,记a=f (log0.53),b=f(log25),c=f(0),则a,b,c的大小关系为( B )(A)a<b<c (B)c<a<b(C)a<c<b (D)c<b<a解析:因为定义在R上的函数f(x)=2|x|,所以a=f(log0.53)==3,b=f(log25)==5,c=f(0)=20=1,所以a,b,c的大小关系为c<a<b.故选B.9.已知函数f(x)=x2+,若函数f(x)在x∈[2,+∞)上是单调递增的,则实数a的取值范围为( B )(A)( -∞,8)(B)(-∞,16](C)(-∞,-8)∪(8,+∞)(D)(-∞,-16]∪[16,+∞)解析:因为函数f(x)=x2+在x∈[2,+∞)上单调递增,所以f′(x)=2x-=≥0在x∈[2,+∞)上恒成立,所以2x3-a≥0,所以a≤2x3在x∈[2,+∞)上恒成立,所以a≤2×23=16,所以实数a的取值范围为(-∞,16].故选B.10.函数y=ln x+x--2的零点所在的区间是( C )(A)(,1) (B)(1,2)(C)(2,e) (D)(e,3)解析:因为函数y=ln x+x--2(x>0),所以y′=+1+>0,所以函数y=ln x+x--2在定义域(0,+∞)上是单调增函数;又x=2时,y=ln 2+2--2=ln 2-<0,x=e时,y=ln e+e--2=+e--2>0,因此函数y=ln x+x--2的零点在(2,e)内.故选C.11.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且f′(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则下列不等式均成立的是( A )(A)f(ln 2)<2f(0),f(2)<e2f(0)(B)f(ln 2)>2f(0),f(2)>e2f(0)(C)f(ln 2)<2f(0),f(2)>e2f(0)(D)f(ln 2)>2f(0),f(2)<e2f(0)解析:令g(x)=,则g′(x)=<0,故g(x)在R上递减,而ln 2>0,2>0,故g(ln 2)<g(0),g(2)<g(0),即<,<,即f(ln 2)<2f(0),f(2)<e2f(0),故选A.12.设函数f(x)的导函数为f′(x),且满足xf′(x)+f(x)=,f(1)=e,则x>0时,f(x)( D )(A)有极大值,无极小值(B)有极小值,无极大值(C)既有极大值又有极小值(D)既无极大值也无极小值解析:因为f′(x)=-=,令g(x)=e x-xf(x),所以g′(x)=e x-(xf′(x)+f(x))=e x(1-),若x>1,则g′(x)>0,g(x)>g (1)=0,f(x) 递增,若0<x<1,则g′(x)<0,g(x)>g(1)=0,f(x)递增,所以函数f(x)既无极大值又无极小值,故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.设f(x)=则f(x)dx= .解析:由已知cos xdx+1dx=sin x|+x|=π.答案:π14.偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(1)=0,不等式f(x)>0的解集为.解析:根据题意,对于函数f(x),f(1)=0,则f(x)>0⇔f(x)>f(1),又由函数f(x)为偶函数,则f(x)>f(1)⇔f(|x|)>f(1),函数f(x)在[0,+∞)单调递减,则f(|x|)>f(1)⇔|x|<1,综合可得f(x)>0⇔|x|<1,解可得-1<x<1,即不等式f(x)>0的解集为(-1,1).答案:(-1,1)15.如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1=3log a x,y2=2log a x和y3=log a x(a>1)的图象上,则实数a的值为.解析:设B(x,2log a x),因为BC平行于x轴,所以C(x′,2log a x)即log a x′=2log a x,所以x′=x2,所以正方形ABCD边长=|BC|=x2-x=2,解得x=2.由已知,AB垂直于x轴,所以A(x,3log a x),正方形ABCD边长=|AB|=3log a x-2log a x=log a x=2,即log a2=2,所以a=.答案:16.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)+2x-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是.解析:g(x)=当x≤0时,g(x)单调递增,且g(x)≤g(0)=1-a,当x>0时,g(x)的对称轴为直线x=-a-1,(1)当-a-1≤0即a≥-1时,g(x)在(0,2)上单调递增,所以g(x)不可能有3个零点.(2)当-a-1>0即a<-1时,g(x)在(0,-a-1)上单调递减,在(-a-1,+∞)上单调递增,所以当x=-a-1时,g(x)取得极小值f(-a-1)=-a2-3a,因为g(x)有3个零点,所以解得a<-3.综上,a<-3.答案:(-∞,-3)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,q:实数x满足|x-3|<1.(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)若a>0且⌝p是⌝q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解:(1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,当a=1时,1<x<3,即p为真时实数x的取值范围是(1,3).由|x-3|<1,得-1<x-3<1,得2<x<4,即q为真时实数x的取值范围是(2,4),若p∧q为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是(2, 3).(2)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,若⌝p是⌝q的充分不必要条件,则⌝p⇒⌝q,且⌝q⌝p,设A={x|⌝p},B={x|⌝q},则A⊂B,≠又A={x|⌝p}={x|x≤a或x≥3a},B={x|⌝q}={x|x≥4或x≤2},则0<a≤2,且3a≥4,所以实数a的取值范围是[,2].18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=b·a x(a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,8),B(3,32).(1)试求a,b的值;(2)若不等式()x+()x-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)由题意解得a=2,b=4,所以f(x)=4·2x=2x+2.(2)设g(x)=()x+()x=()x+()x,所以g(x)在R上是减函数,所以当x≤1时,g(x)min=g(1)=.若不等式()x+()x-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,即m≤.所以,m的取值范围为(-∞,].19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)e x,讨论g(x)的单调性.解:(1)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-处取得极值,所以f′(-)=0,即3a·+2·(-)=-=0,解得a=.(2)由(1)得g(x)=( x3+x2)e x,故g′(x)=( x2+2x)e x+(x3+x2)e x=(x3+x2+2x)e x=x(x+1)(x+4)e x.令g′(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x<-4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;当-4<x<-1时,g′(x)>0,故g(x)为增函数;当-1<x<0时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;当x>0时,g′(x)>0,故g(x)为增函数.综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+x2+b,g(x)=aln x.(1)若f(x)在[-,1)上的最大值为,求实数b的值;(2)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)函数f(x)=-x3+x2+b,f′(x)=-3x2+2x,令f′(x)=0得x=0或x=,f′(x)>0时,0<x<; f′(x)<0时,x<0或x>,可知f(x)在[-,0)和(,1)上单调递减,在(0,)上单调递增.F(-)=+b,f()=+b,显然f(-)>f(),+b=,b=0,所以实数b的值为0.(2)任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x,g(x)=aln x.因为x∈[1,e]时,(ln x-x)′=-1<0,所以ln x-x∈[1-e,-1],所以ln x-x<0,a≤,设T(x)=,x∈[1,e],T′(x)=,x∈[1,e],x-1≥0,ln x≤1,x+2-ln x>0,从而t′(x)≥0,t(x)在[1,e]上为增函数.所以t(x)min=t(1)=-1,所以a≤-1.即a的取值范围为(-∞,-1].21.(本小题满分12分)由于渤海海域水污染严重,为了获得第一手的水文资料,潜水员需要潜入水深为60米的水底进行作业,根据经验,潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间),每单位时间消耗氧气(()3+1)升,在水底作业10个单位时间,每单位时间消耗氧气0.9升,返回水面的平均速度为(米/单位时间),每单位时间消耗氧气1.5升,记该潜水员完成此次任务的消耗氧气总量为y(升).(1)求y关于v的函数关系式;(2)若c≤v≤15(c>0),求当下潜速度v取什么值时,消耗氧气的总量最少.解:(1)由题意,下潜用时单位时间,用氧量为[()3+1]×=+(升),水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升),返回水面用时=单位时间,用氧量为×1.5=(升),所以总用氧量为y=++9(v>0).(2)求导数y′=-=,令y′=0,解得v=10,在0<v<10时,y′<0,函数y单调递减,在v>10时,y′>0,函数y单调递增,所以当c<10时,函数y在(0,10)上递减,在(10,15)上递增,此时v=10时用氧量最少;当c≥10时,函数y在[c,15]上递增,此时v=c时,总用氧量最少.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)= x3-x2,g(x)= -mx,m是实数.(1)若f(x)在区间(2,+∞)为增函数,求m的取值范围;(2)在(1)的条件下,函数h(x)=f(x)-g(x)有三个零点,求m的取值范围.解:(1)f′(x)=x2-(m+1)x,因为f(x)在区间(2,+∞)为增函数,所以f′(x)=x(x-m-1)≥0在区间(2,+∞)恒成立,所以x-m-1≥0恒成立,即m≤x-1恒成立,由x>2,得m≤1,所以m的取值范围是(-∞,1].(2)h(x)=f(x)-g(x)= x3-x2+mx-,所以h′(x)=(x-1)(x-m),令h′(x)=0,解得x=m或x=1,m=1时,h′(x)=(x-1)2≥0,h(x)在R上是增函数,不合题意,m<1时,令h′(x)>0,解得x<m,x>1,令h′(x)<0,解得m<x<1,所以h(x)在(-∞,m),(1,+∞)递增,在(m,1)递减,所以h(x)极大值=h(m)=- m3+m2-,h(x)极小值=h(1)=,要使f(x)-g(x)有3个零点,需解得m<1-,所以m的取值范围是(-∞,1-).。

2021届高考复习综合检测二(全国卷)数 学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，B ＝{x |log 2x ≤2}，则A ∩B 等于( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(2,4] C ．(0,2)D ．(－1,4]2．复数z ＝2－i1＋i 对应的点在复平面内位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.932B.516C.38D.7164．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π65．(2019·河南省郑州市第一中学适应性考试)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x <0时，f (x )单调递增．若实数a 满足f (3－|a ＋1|)>f ⎝⎛⎭⎫－33，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，－12 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－43，－23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫－23，＋∞ 6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A.(6＋π)36B.(8＋π)36C.(8＋2π)36D.(9＋2π)367．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，若函数h (x )＝f (x )＋1的两个不同零点分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|的最小值为( )A.2π3B.π2C.4π3D ．π 8．(2019·上海市吴淞中学期末)函数f (x )＝a －x 2|x ＋1|－1为奇函数的充要条件是( )A ．0<a <1B ．a >1C ．0<a ≤1D ．a ≥19．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A 和B 分别为抛物线上的两个动点．且满足∠AFB ＝120°，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||MN ||AB 的最大值为( ) A. 3 B ．1 C.233 D.3310．(2019·上海市曹杨中学期末)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg|x －1||(x ≠1)，0(x ＝1)，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有7个不同实数根的充要条件是( ) A ．b <0且c >0 B ．b <0且c <0 C ．b <0且c ＝0D ．b ≥0且c ＝011．(2020·哈尔滨市师范大学附属中学月考)已知O 为△ABC 的外接圆的圆心，且3OA →＋4OB →＝－5OC →，则C 的值为( ) A.π4 B.π2 C.π6D.π1212．已知函数f (x )＝ln x ＋(x －t )2x ，t ∈R ，若对任意的x ∈[1,2]，f (x )>－x ·f ′(x )恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎭⎫－∞，32 C ．(－∞，3) D.⎝⎛⎭⎫－∞，94第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x －3x ，则f (－1)＝________. 14．若(x －1)5－2x 4＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3＋a 4(x －2)4＋a 5(x －2)5，则a 2＝________.15．设f ′(x )和g ′(x )分别是f (x )和g (x )的导函数，若f ′(x )·g ′(x )<0在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性相反．若函数f (x )＝13x 3－2ax (a ∈R )与g (x )＝x 2＋2bx (b ∈R )在区间(a ，b )上单调性相反(a >0)，则b －a 的最大值为__________．16．已知圆O ：x 2＋y 2＝1与x 轴负半轴的交点为A ，P 为直线3x ＋4y －a ＝0上一点，过P 作圆O 的切线，切点为T ，若|P A |＝2|PT |，则a 的最大值为________．三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)在锐角△ABC 中， a ，b ，c 为内角A ，B ，C 的对边，且满足(2c －a )cos B －b cos A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)已知c ＝2，AC 边上的高BD ＝3217，求△ABC 的面积S 的值．18．(12分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝1，底面ABCD的周长为4，E为BA1的中点．(1)判断两直线EC1与AD的位置关系，并给予证明；(2)当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，求直线BA1与平面A1CD所成的角θ.19.(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和椭圆C 2：x 22＋y 2＝1的离心率相同，且点(2，1)在椭圆C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设P 为椭圆C 2上一点，过点P 作直线交椭圆C 1于A ，C 两点，且P 恰为弦AC 的中点，则当点P 变化时，试问△AOC 的面积是否为常数，若是，求出此常数，若不是，请说明理由．20．(12分)当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．目前，国家教育主管部门正在研制的《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》，以及将出台的加强劳动教育指导意见和劳动教育指导大纲，无疑将对体美劳教育提出刚性要求．为激发学生加强体育活动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两人进行比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p ⎝⎛⎭⎫p >12，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59. (1)求p 的值；(2)设X 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X 的分布列和均值E (X )．21.(12分)函数f (x )＝ln x ＋1－x ax (a ∈R 且a ≠0)，g (x )＝(b －1)x －x e x －1x (b ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，若关于x 的不等式f (x )＋g (x )≤－2恒成立，求实数b 的取值范围．请在第22～23题中任选一题作答．22．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ1－cos 2θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (2,2)，求α.23．(10分)已知函数f (x )＝m －|x ＋4|(m >0)，且f (x －2)≥0的解集为[－3，－1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 都是正实数，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.答案精析1．B [∵集合A ＝{x |x 2－x －2>0}＝{x |x <－1或x >2}， B ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0<x ≤4}， ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤4}＝(2,4]．]2．D [z ＝2－i 1＋i ，即z ＝(2－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－3i 2＝12－3i2，故z 在复平面内对应的点位于第四象限．]3．C [设小正方形的边长为1，可得阴影平行四边形的底为2，高为22，阴影等腰直角三角形的直角边为2，斜边为22，大正方形的边长为22，所以P ＝2×22＋12×2×222×22＝38.] 4．A [∵sin C ＝23sin B ，∴由正弦定理得c ＝23b ，则c 2＝12b 2. 又a 2－b 2＝3bc ，那么a 2＝7b 2，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6b 243b 2＝32，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6.]5．B [∵f (3－|a ＋1|)>f ⎝⎛⎭⎫－33， ∴f (3－|a ＋1|)>f ⎝⎛⎭⎫33＝f (312-)，又f (x )为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴|a ＋1|>12，解得a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.] 6．B [几何体为一个四棱锥与一个半圆锥的组合体，四棱锥的高为3，底面为边长为2的正方形；半圆锥高为3，底面为半径为1的半圆，因此体积为13×3×22＋13×3×π·122＝(8＋π)36，故选B.] 7．A [由图象可知，A ＝2，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π，ω＝1，∴f (x )＝2cos(x ＋φ)，∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝2，且|φ|<π2， ∴φ＝－π6，f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6， 令h (x )＝f (x )＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋1＝0， 可得cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－12， 解得x －π6＝2π3＋2k π，k ∈Z 或x －π6＝4π3＋2k π，k ∈Z ，x ＝5π6＋2k π，k ∈Z 或x ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，则|x 1－x 2|的最小值为3π2－5π6＝2π3.]8．C [f (x )＝a －x 2|x ＋1|－1，f (－x )＝a －x 2|－x ＋1|－1，f (x )为奇函数，a －x 2|x ＋1|－1＝－a －x 2|－x ＋1|－1，∴|x ＋1|＋|x －1|＝2，∴－1≤x ≤1，考虑定义域a －x 2≥0，即－a ≤x ≤a (a >0)且x ≠0， 满足a ≤1，∴0<a ≤1.]9．D [如图所示，过A ，B 分别作准线的垂线AQ ，BP ，垂足分别为Q ，P ，设|AF |＝a ，|BF |＝b ， 由抛物线的定义，得 |AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b ，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ， 整理得|AB |2＝(a ＋b )2－ab ，因为ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，则(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2，即|AB |2≥34(a ＋b )2，所以|AB|2|MN|2≥34(a＋b)214(a＋b)2＝3，所以|AB||MN|≥3，即|MN||AB|≤33，当且仅当a＝b，即|AF|＝|BF|时取等号，故选D.]10．C[令t＝f (x)，考虑方程t2＋bt＋c＝0的根，该方程必有两个不同实数解，设解为t＝t1，t＝t2，由题设方程t1＝f (x)和方程t2＝f (x)的解即为方程f2(x)＋bf (x)＋c＝0的解，因为方程f2(x)＋bf (x)＋c＝0有7个不同的解，根据f (x)的图象(如图所示)可得，直线y＝t1与y＝f (x)的图象有3个不同的公共点，直线y＝t2与y＝f (x)的图象有4个不同的公共点，故t1＝0，t2>0，所以c＝0，t2＝－b>0即b<0，故选C.]11．A[由题意可得，|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，且OC→＝－15(3OA→＋4OB→)，∴OC→·OC→＝|OC→|2＝125(3OA→＋4OB→)2＝925|OA→|2＋2425OA→·OB→＋1625|OB→|2＝|OC→|2＋2425OA→·OB→，∴2425OA→·OB→＝0，∴∠AOB＝90°.如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,1)，B(1,0)，由3OA →＋4OB →＝(4,3)＝－5OC →，可知C ⎝⎛⎭⎫－45，－35， 则CA →＝⎝⎛⎭⎫45，85，CB →＝⎝⎛⎭⎫95，35，cos C ＝CA →·CB →|CA →|×|CB →|＝3625＋2425455×3105＝22， 则C ＝π4.] 12．B [∵f ′(x )＝x 2－ln x ＋1－t 2x 2， 又对任意的x ∈[1,2]，f ′(x )·x ＋f (x )＞0恒成立，∴对任意的x ∈[1,2]，2x 2－2tx ＋1x＞0恒成立， 即对任意的x ∈[1,2]，2x 2－2tx ＋1＞0恒成立，则t ＜2x 2＋12x ＝x ＋12x ＝x ＋12x 恒成立， 令g (x )＝x ＋12x ，又g (x )＝x ＋12x在[1,2]上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝32，∴t ＜32.] 13．3解析 因为f (1)＝log 21－3＝－3，又f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝3.14．－38解析 令x －2＝t ，则x ＝t ＋2.由条件可得(t ＋1)5－2(t ＋2)4＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，故t 2的系数为C 35－2C 24×22＝－38，即a 2＝－38.15.12解析 由题意知f ′(x )＝x 2－2a ，g ′(x )＝2x ＋2b ，函数f (x )与g (x )在区间(a ，b )上单调性相反，则(x 2－2a )(2x ＋2b )<0在x ∈(a ，b )上恒成立，又0<a <b ，所以2x ＋2b >0，于是x 2－2a <0在x ∈(a ，b )上恒成立．易知x 2－2a <0的解集为(－2a ，2a )，所以(a ，b )⊆(－2a ，2a )，所以b －a ≤2a －a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋12， 当a ＝12，b ＝1时，b －a 取得最大值12. 16.233解析 易知A (－1,0)，设P (x ，y )，由|P A |＝2|PT |，可得(x ＋1)2＋y 2＝4(x 2＋y 2－1)，化简得⎝⎛⎭⎫x －132＋y 2＝169， 可转化为直线3x ＋4y －a ＝0与圆⎝⎛⎭⎫x －132＋y 2＝169有公共点， 所以d ＝|1－a |5≤43， 解得－173≤a ≤233. 故a 的最大值为233. 17．解 (1)∵(2c －a )cos B －b cos A ＝0，由正弦定理得(2sin C －sin A )cos B －sin B cos A ＝0，∴(2sin C －sin A )cos B ＝sin B cos A ，2sin C cos B －sin(A ＋B )＝0，∵A ＋B ＝π－C 且sin C ≠0，∴cos B ＝12， ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. (2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12BD ·b ， 代入c ＝2，BD ＝3217，sin B ＝32，得b ＝73a ， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4－2a ，代入b ＝73a ，得a 2－9a ＋18＝0， 解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝7或⎩⎨⎧a ＝6，b ＝27，又∵三角形为锐角三角形，∴a 2<c 2＋b 2，∴a ＝3，b ＝7.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×3×32＝332. 18．解 (1)EC 1与AD 是相交直线.证明如下：如图，连接AB 1，C 1D ，则AB 1C 1D 是平行四边形，∵E 是AB 1的中点，∴AE ∥C 1D ，AE ＝12C 1D ， ∴AEC 1D 为梯形，A ，E ，C 1，D 四点共面，又EC 1与AD 为梯形的两腰，故EC 1与AD 相交.(2)设 AB ＝b ，AD ＝2－b ，VABCD －A 1B 1C 1D 1＝b (2－b )×AA 1＝b (2－b )≤⎝⎛⎭⎫b ＋2－b 22＝1，当且仅当b ＝2－b ，即b ＝1时取等号，方法一 连接BD (图略)，设点B 到平面A 1CD 的距离为h ，则根据等体积法VB －A 1CD ＝VA 1－BCD ，其中S △A 1CD ＝12×CD ×A 1D ＝22，VA 1－BCD ＝13S △BCD ×AA 1＝16， ∴h ＝22， 则直线BA 1与平面A 1CD 所成的角θ满足sin θ＝h BA 1＝12， ∵θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴θ＝π6.方法二 分别以边AB ，AD ，AA 1所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，BA 1→＝(－1,0,1)，CD →＝(－1,0,0)，CA 1→＝(－1，－1,1),设平面A 1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0，－x －y ＋z ＝0， 取z ＝1，则n ＝(0,1,1)，∴sin θ＝|cos 〈BA 1→，n 〉|＝12×2＝12， ∵θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴θ＝π6. 19．解 (1)由题意知，2a 2＋1b 2＝1，且c a ＝22， 即a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 22＝1. (2)是．①当直线AC 的斜率不存在时，必有P (±2，0)，此时|AC |＝2，S △AOC ＝ 2. ②当直线AC 的斜率存在时，设其斜率为k ，点P (x 0，y 0)，则AC ：y －y 0＝k (x －x 0)，直线AC 与椭圆C 1联立，得(1＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(y 0－kx 0)2－4＝0，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 0＝x 1＋x 22＝－2k (y 0－kx 0)1＋2k 2，即x 0＝－2ky 0， 又x 20＋2y 20＝2，∴y 20＝11＋2k 2， S △AOC ＝12×|y 0－kx 0|1＋k2×1＋k 2· 16k 2(y 0－kx 0)2－4(1＋2k 2)[2(y 0－kx 0)2－4]1＋2k 2 ＝2|y 0－kx 0|2(1＋2k 2)－(y 0－kx 0)21＋2k 2＝2(1＋2k 2)|y 0|2(1＋2k 2)－(1＋2k 2)2y 201＋2k2 ＝2|y 0|1＋2k 2＝ 2.综上，△AOC 的面积为常数 2.20．解 (1)依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．所以有p 2＋(1－p )2＝59，解得p ＝23或p ＝13(舍)． (2)依题意知，X 的所有可能值为2,4,6,8.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P (X ＝2)＝59， P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫1－59×59＝2081， P (X ＝6)＝⎝⎛⎭⎫1－59×⎝⎛⎭⎫1－59×59＝80729， P (X ＝8)＝⎝⎛⎭⎫1－59×⎝⎛⎭⎫1－59×⎝⎛⎭⎫1－59×1＝64729. 所以随机变量X 的分布列为则E (X )＝2×59＋4×2081＋6×80729＋8×64729＝2 522729. 21．解 (1)∵f (x )＝ln x ＋1ax －1a， ∴f ′(x )＝1x －1ax 2＝ax －1ax 2(x >0)， 当a <0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，由f ′(x )>0得x >1a； 由f ′(x )<0得0<x <1a， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增． 综上，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增．(2)由题意，当a ＝1时，不等式f (x )＋g (x )≤－2，即ln x ＋1x －1＋(b －1)x －x e x －1x≤－2， 即b －1≤e x －ln x x －1x在(0，＋∞)上恒成立， 令h (x )＝e x －ln x x －1x， 则h ′(x )＝e x －1－ln x x 2＋1x 2＝x 2e x ＋ln x x 2， 令u (x )＝x 2e x ＋ln x ，则u ′(x )＝(x 2＋2x )e x ＋1x>0， ∴u (x )在(0，＋∞)上单调递增，又u (1)＝e>0，u ⎝⎛⎭⎫12＝e 4－ln 2<0，∴u (x )有唯一零点x 0⎝⎛⎭⎫12<x 0<1， 所以u (x 0)＝0，即x 0e x 0＝－ln x 0x 0，(*) 当x ∈(0，x 0)时，u (x )<0，即h ′(x )<0，h (x )单调递减； x ∈(x 0，＋∞)时，u (x )>0，即h ′(x )>0，h (x )单调递增， ∴h (x 0)为h (x )在定义域内的最小值．令k (x )＝x e x ⎝⎛⎭⎫12<x <1，则方程(*)等价于k (x )＝k (－ln x )， 又易知k (x )单调递增，所以x ＝－ln x ，e x ＝1x， ∴h (x )的最小值为h (x 0)＝e x 0－ln x 0x 0－1x 0＝1x 0－－x 0x 0－1x 0＝1， ∴b －1≤1，即b ≤2，∴实数b 的取值范围是(－∞，2]．22．解 (1)曲线C ：ρ＝4cos θ1－cos 2θ，即ρsin 2θ＝4cos θ， 于是有ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，化为直角坐标方程为y 2＝4x .(2)方法一 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α，则(2＋t sin α)2＝4(2＋t cos α)，即t 2sin 2α＋(4sin α－4cos α)t －4＝0.由AB 的中点为M (2,2)，得t 1＋t 2＝0，有4sin α－4cos α＝0， 所以k ＝tan α＝1，由0≤α<π 得α＝π4. 方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2⇒(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)， ∵y 1＋y 2＝4，∴k ＝tan α＝y 1－y 2x 1－x 2＝1， 由0≤α<π得α＝π4.方法三 设A ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2(y 1<y 2)， 则由M (2,2)是AB 的中点，得⎩⎪⎨⎪⎧ y 214＋y 224＝4，y 1＋y 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝0， ∵y 1<y 2，∴y 1＝0，y 2＝4，知A (0,0)，B (4,4)，∴k ＝tan α＝1，由0≤α<π 得α＝π4. 方法四 依题意设直线l ：y －2＝k (x －2)，与y 2＝4x 联立得y －2＝k ⎝⎛⎭⎫y 24－2， 即ky 2－4y －8k ＋8＝0.由y 1＋y 2＝4k＝4，得k ＝tan α＝1， 因为0≤α<π ，所以α＝π4. 23．(1)解 依题意f (x －2)＝m －|x ＋2|≥0，即|x ＋2|≤m ，则－m －2≤x ≤－2＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m －2＝－3，－2＋m ＝－1，∴m ＝1. (2)证明 ∵1a ＋12b ＋13c＝1(a ，b ，c >0)， ∴a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c＝3＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ＋⎝⎛⎭⎫2b 3c ＋3c 2b ≥9，当且仅当a ＝2b ＝3c ，即a ＝3，b ＝32，c ＝1时取等号．。

§2.2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间. 2.函数的最值概念方法微思考1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示 对任意x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似.2.写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的递增区间.提示 (－∞，－a ]和[a ，＋∞).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数.( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的递增区间是[1，＋∞).( × ) (3)函数y ＝1x的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.( × )(5)所有的单调函数都有最值.( × ) 题组二 教材改编2.函数f (x )＝x 2－2x 的递增区间是 . 答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))3.函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是 .答案 24.若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是 . 答案 (－∞，2]解析 由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2. 题组三 易错自纠5.函数y ＝12log (x 2－4)的递减区间为 .答案 (2，＋∞)6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为 .答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，138 解析 由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138. 7.函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是 . 答案 [－1,1)解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a <1.8.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为 .答案 2解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.题型一 确定函数的单调性命题点1 求函数的单调区间例1 (1)函数y ＝12log (2x 2－3x ＋1)的递减区间为( )A.(1，＋∞)B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞答案 A解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞). 令t ＝2x 2－3x ＋1，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞). 则y ＝12log t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18， ∴t ＝2x 2－3x ＋1的递增区间为(1，＋∞). 又y ＝12log t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝12log (2x 2－3x ＋1)的递减区间为(1，＋∞).(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是 .答案 [0,1)解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，该函数图像如图所示，其递减区间是[0,1).命题点2 讨论函数的单调性例2 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性.解 函数f (x )＝ax 2＋1x (1<a <3)在[1,2]上是增加的.证明：设1≤x 1<x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4， 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3， 所以2<a (x 1＋x 2)<12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0， 即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上是增加的. 引申探究如何用导数法求解本例？解 f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3， 所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1<a <3)在[1,2]上是增加的.思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图像法，图像不连续的单调区间不能用“∪”连接.(4)具有单调性函数的加减.跟踪训练1 (1)下列函数中，满足“任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A.f (x )＝2x B.f (x )＝|x －1| C.f (x )＝1x －xD.f (x )＝ln(x ＋1)答案 C解析 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上是减少的，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数.(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上是增加的，则函数g (x )＝a |x －2|的递减区间是 .答案 (－∞，2]解析 因为f (x )在R 上是增加的，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的递减区间就是y ＝|x －2|的递减区间(－∞，2].(3)函数f (x )＝|x －2|x 的递减区间是 . 答案 [1,2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图像，由图知f (x )的递减区间是[1,2]. 题型二 函数的最值1.函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为 .答案 [－1,1)解析 由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y1－y .由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1).2.函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为 . 答案2解析 由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1. 可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，θ∈[0，π]， 所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3.函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为 . 答案 [3，＋∞)解析 函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图像如图所示.根据图像可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞). 4.当－3≤x ≤－1时，函数y ＝5x －14x ＋2的最小值为 .答案 85解析 由y ＝5x －14x ＋2，可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3.∴所求函数的最小值为85. 5.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为 . 答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－1,1]上是减少的，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上是增加的，所以f (x )在[－1,1]上是减少的，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关 C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关 答案 B解析 方法一 设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b . ∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关. 故选B.方法二 由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图像的形状一定.随着b 的变动，相当于图像上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关.随着a 的变动，相当于图像左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. (4)分离常数法：形如求y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.题型三 函数单调性的应用命题点1 比较函数值的大小例3 已知函数f (x )的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c >a >b B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c答案 D解析 根据已知可得函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，且2<52<3，所以b >a >c . 命题点2 解函数不等式例4 已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是 . 答案 (－5，－2)∪(2，5)解析 因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域上是增加的，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)<2得f (x 2－4)<f (1)，所以0<x 2－4<1，解得－5<x <－2或2<x < 5. 命题点3 求参数的取值范围例5 (1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π答案 C解析 ∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴当x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 即x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是增加的， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是减少的， ∴⎣⎡⎦⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的递减区间， 结合条件得[0，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上是增加的，则实数a 的取值范围为 . 答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上是增加的，则实数a 的取值范围为 . 答案 ⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 解析 若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上是增加的，则函数g (x )＝ax 2＋x 在(0,1)上是增加的且g (x )>0恒成立.当a ＝0时，g (x )＝x 在(0,1)上是增加的且g (x )>0，符合题意；当a >0时，g (x )图像的对称轴为x ＝－12a <0，且有g (x )>0，所以g (x )在(0,1)上是增加的，符合题意；当a <0时，需满足g (x )图像的对称轴x ＝－12a ≥1，且有g (x )>0，解得a ≥－12，则－12≤a <0.综上，a ≥－12.思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.(2)解不等式.利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.跟踪训练2 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎭⎫32，2解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.(2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增加的，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式19(log )f x >0的解集为 . 答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x <3 解析 由题意知，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也是增加的.∴19(log )f x >f ⎝⎛⎭⎫12或19(log )f x >f ⎝⎛⎭⎫－12， ∴19log x >12或－12<19log x <0，解得0<x <13或1<x <3.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x <3.1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝ln(x ＋2) B.y ＝－x ＋1 C.y ＝⎝⎛⎭⎫12xD.y ＝x ＋1x答案 A解析 函数y ＝ln(x ＋2)的递增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数. 2.函数y ＝12log (－x 2＋x ＋6)的递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎭⎫－2，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 A解析 由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2,3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝12log t ，易知其为减函数，由复合函数的性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2,3)上的递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的递减区间为⎝⎛⎭⎫12，3，故选A. 3.设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A.f (π)>f (－3)>f (－2) B.f (π)>f (－2)>f (－3) C.f (π)<f (－3)<f (－2) D.f (π)<f (－2)<f (－3)答案 A解析 因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2).又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以f (π)>f (3)>f (2)， 即f (π)>f (－3)>f (－2).4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x，x ≤1，log a x ＋13，x >1，当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤13，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤14，13答案 A解析 当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，∴f (x )是R 上的减函数.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x，x ≤1，log a x ＋13，x >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<1－2a <1，0<a <1，1－2a ≥13，∴0<a ≤13.5.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A.[－1,2]B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2]答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6.已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上是减少的，若f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，134 B.(－∞，－3) C.(－3，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫134，＋∞ 答案 D解析 依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立.设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋134(－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝134，因此a >134，故选D. 7.已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为 . 答案 a >b >c解析 ∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫－log 215＝f (log 25). 又f (x )在R 上是增函数， 且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8， ∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8.如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是增加的，则实数a 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎦⎤－14，0 解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是增加的，故在(－∞，4)上是增加的；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上是增加的，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 9.记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 .答案 6解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x ≤4，10－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上是增加的，则实数a 的取值范围是 . 答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 解析 作函数f (x )的图像如图所示，由图像可知f (x )在(a ，a ＋1)上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2， 即a ≤1或a ≥4. 11.已知f (x )＝xx －a(x ≠a ).(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围. (1)证明 当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上是增加的. (2)解 设1<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0， 所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12.(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围. 解 (1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1， 由g (x )在[－2,2]上是单调函数， 知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞).13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1,2)D.(－2,1) 答案 D解析 ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图像是一条连续的曲线.又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数.因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是 . 答案 (－∞，－2)解析 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2， ∴该函数在(－∞，0]上是减少的，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上是减少的， ∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上是减少的， ∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ， 即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立， ∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2).15.已知函数f (x )＝2 020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2 020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为 . 答案 ⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 解析 由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上是增加的，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1. (1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，1<x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2). (2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数， ∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立. 设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0， 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞).。

阶段检测试题(二)(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】知识点、方法题号三角函数的化简求值2,9三角函数的定义、图象与性质4,7,8,16,21解三角形6,11,15,18平面向量的运算1,3平面向量基本定理及应用12,13,14平面向量的数量积及应用5,10,17综合问题19,20,22一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设D为△ABC所在平面内一点,且=3,则等于( A )(A)+(B)+(C)+(D)+解析:因为=3,所以== (-),则=+=+ (-)=+,故选A.2.若cos θ-3sin θ=0,则tan(θ-)等于( A )(A)- (B)-2 (C) (D)2解析:因为cos θ-3sin θ=0,可得tan θ=,所以tan(θ-)===-.故选A.3.如图,在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD边上,且AD=3AE,则用向量,表示为( B )(A)=+(B)=-(C)=+(D)=-解析:因为CD=2DB,点E在AD边上,所以=+=+=+ (-)=+,所以=-=-=+-=-,故选B.4.角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则tan 2θ等于( D )(A)2 (B)-4 (C)- (D)-解析:因为角θ的始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上,所以tan θ=2,所以tan 2θ==-,故选D.5.在△ABC中,AC=2AB=2,∠BAC=120°,O是BC的中点,M是AO上一点,且=3,则·的值是( A )(A)- (B)- (C)- (D)-解析:建立如图所示的直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(-1,),O(0,),M(0,),所以=(1,-),=(-1,),所以·=-1-=-.故选A.6.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2bsin 2A=3asin B,且c=2b,则等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:由2bsin 2A=3asin B,利用正弦定理可得,4sin Bsin Acos A=3sin Asin B,由于sin A≠0,sin B≠0,可得cos A=,又c=2b,可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-2b·2b·=2b2,则=.故选C.7.把函数y=sin(x+)图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将图象向右平移个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( A )(A)x=- (B)x=-(C)x= (D)x=解析:y=sin(x+)图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+),再将图象向右平移个单位,得到函数y=sin[2(x-)+]=sin(2x-),根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知x=-是其图象的一条对称轴方程.故选A.8.函数y=的图象如图,则( A )(A)k=,ω=,φ=(B)k=,ω=,φ=(C)k=-,ω=2,φ=(D)k=-2,ω=2,φ=解析:由题图知斜率k==,周期T=4×(-)=4π,则ω==,再将(0,1)代入y=2sin(+φ),得sin φ=,则φ可取.故选A.9.已知α,β为锐角,且tan α=,cos(α+β)=,则cos 2β等于( C )(A) (B) (C) (D)解析:由α为锐角,且tan α=,得sin α=,cos α=,因为0<α<,0<β<,所以0<α+β<π,由cos(α+β)=,得sin(α+β)=,所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×==,所以cos 2β=2cos2β-1=2×-1=.故选C.10.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=30°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为( C )(A) (B)(C)(D)1解析:因为ABCD是平行四边形,E为CD的中点,所以=+,=+=-,所以·=(+)·(-)=-+·=1.又=1,·=1×AB×cos 30°=AB,=AB2,所以1-AB2+AB=1,解得AB=或AB=0(舍).故选C.11.已知△ABC的面积为,且∠C=30°,BC=2,则AB等于( C )(A)1 (B)(C)2 (D)2解析:由题意得,S△ABC=AC·BCsin C=AC·2·=,解得AC=2,由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C=4+12-2×2×2×=4,所以AB=2,故选C.12.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为( A )(A)3 (B)2(C)(D)2解析:以B为原点,BC,BA所在直线为x,y轴建立直角坐标系,则B(0,0),A(0,1),C(2,0),D(2,1).所以=λ+μ=λ(0,-1)+μ(2,0)=(2μ,-λ),所以点P(2μ,1-λ).点C到BD的距离d=,所以点P的轨迹方程为(x-2)2+y2=,代入点P的坐标得4(μ-1)2+(1-λ)2=,①令λ+μ=m得λ=m-μ,代入①式得4(μ-1)2+(1-m+μ)2=,整理得5(μ-1)2-2(m-2)(μ-1)+(m-2)2-=0.所以由Δ≥0得(m-2)2≤1,所以1≤m≤3.故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.在三角形ABC中,点E,F满足=,=2,若=x+y,则x+y= .解析:在三角形ABC中,点E,F满足=,=2,则=+=+=-+,又=x+y,所以x=-,y=,则x+y=-+=-.答案:-14.如图,在△ABC中,H为BC上异于B,C的任一点,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ= .解析:B,H,C共线,设=x,根据题意,== (+)= (+x)=+x(-)= (1-x)+ x,所以λ= (1-x),μ=x,所以λ+μ=.答案:15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cos B=2a+b,若△ABC的面积为S=c,则ab的最小值为.解析:在△ABC中,2c·cos B=2a+b,由正弦定理可得2sin Ccos B=2sin A+sin B=2sin(B+C)+sin B,即2sin Ccos B=2sin Bcos C+2sin Ccos B+sin B,所以2sin Bcos C+sin B=0,因为sin B≠0,所以cos C=-,又0<C<π,所以C=.由于△ABC的面积S=ab·sin C=ab=c,所以c=ab.再由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab·cos C,整理可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab,当且仅当a=b时,取等号,所以ab≥12,ab的最小值为12.答案:1216.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,则函数f(x)的单调递减区间为.解析:由题图知,A=1,最小正周期T=4(-)=π,所以ω==2.因为点(,1)在函数图象上,所以sin(2×+φ)=1,即+φ=+2kπ,k ∈Z.又因为0<φ<,所以φ=,函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+).由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.函数f(x)的单调递减区间为[+kπ, +kπ],k∈Z.答案:[ +kπ,+kπ],k∈Z三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知a=(3,-1),a·b=-5,c=xa+(1-x)b.(1)若a⊥c,求实数x的值;(2)若|b|=,求|c|的最小值.解:(1)因为a=(3,-1),所以|a|=,又a·b=-5,c=xa+(1-x)b,且a⊥c,所以a·c=a·[xa+(1-x)b]=x|a|2+(1-x)a·b=10x-5(1-x)=0,解得x=.(2)由c=xa+(1-x)b,得|c|2=[xa+(1-x)b]2=x2|a|2+2x(1-x)a·b+(1-x)2|b|2=10x2-10x(1-x)+5(1-x)2=25(x2-x+)=25(x-)2+1.所以当x=时,|c=1,则|c|的最小值为1.18.(本小题满分12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos 2A=3cos(B+C)+1.(1)求角A的大小;(2)若cos Bcos C=-,且△ABC的面积为2,求a.解:(1)由cos 2A=3cos(B+C)+1得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0.所以cos A=或cos A=-2(舍去).因为A为三角形内角,所以A=.(2)由(1)知cos A=-cos(B+C)=,则cos Bcos C-sin Bsin C=-.由cos Bcos C=-得sin Bsin C=,由正弦定理,有==,即b=,c=,由三角形的面积公式,得S=bcsin A==a2,即a2=2.解得a=4.19.(本小题满分12分)已知向量m=(2acos x,sin x),n=(cos x,bcos x),函数f(x)=m·n-,函数f(x)在y轴上的截距为,与y轴最近的最高点的坐标是(,1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin x的图象,求φ的最小值.解:(1)f(x)=m·n-=2acos2x+bsin xcos x-,由f(0)=2a-=,得a=,此时,f(x)=cos 2x+sin 2x,由f(x)≤=1,得b=1或b=-1,当b=-1时,f(x)=sin(2x+),经检验(,1)不是最高点,故舍去.当b=1时,f(x)=sin(2x+),经检验(,1)为最高点,符合题意.故函数的解析式为f(x)=sin(2x+).(2)函数f(x)的图象向左平移φ个单位后得到函数y=sin(2x+2φ+)的图象,横坐标伸长到原来的2倍后,得到函数y=sin(x+2φ+)的图象,所以2φ+=2kπ(k∈Z),φ=-+kπ(k∈Z),因为φ>0,所以φ的最小值为.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Acos(ωx-)(A>0,ω>0)相邻两条对称轴相距,且f(0)=1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设α,β∈(0,),f(α-)=-,f(β+)=,求tan(2α-2β)的值.解:(1)因为函数f(x)=Acos(ωx-)(A>0,ω>0)相邻两条对称轴相距==,所以ω=2,又f(0)= A=1,所以A=2,所以f(x)=2cos(2x-).(2)由f(α-)=2cos[2(α-)-]=2cos(2α-π)=-2cos 2α=-,得cos 2α=,由α∈(0,)得2α∈(0,),所以sin 2α==,tan 2α==.F(β+)=2cos[2(β+)-]=2cos 2β=,cos 2β=,由β∈(0,)得2β∈(0,),所以sin 2β==,tan 2β==.tan(2α-2β)===.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin(2ωx+)(其中0<ω<1),若点(-,0)是函数f(x)图象的一个对称中心.(1)试求ω的值,并求出函数的单调增区间;(2)先列表,再作出函数f(x) 在区间x∈[-π,π]上的图象.解:(1)因为点(-,0)是函数f(x)图象的一个对称中心,所以-+=kπ,k∈Z,所以ω=-3k+,k∈Z,因为0<ω<1,所以当k=0时,可得ω=,所以f(x)=2sin(x+).令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,所以函数的单调增区间为[2kπ-,2kπ+],k∈Z.(2)由(1)知,f(x)=2sin(x+),x∈[-π,π],- 0 πx+-- πx -π-f(x) -1 -2 0 2 0 -122.(本小题满分12分)已知向量a=[cos(+x),sin(+x)],b=(-sin x,sin x),f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()=1,a=2,求三角形ABC面积的最大值.解:(1)由题意可得a=(-sin x,cos x),则f(x)=a·b=sin2x+sin xcos x=-cos 2x+sin 2x=sin(2x-)+.所以f(x)的最小正周期T==π.当2x-=+2kπ(k∈Z),即x=+kπ(k∈Z)时,f(x)取最大值.(2)锐角三角形ABC中,因为f()=sin(A-)+=1,所以sin(A-)=,所以A=.因为a2=b2+c2-2bccos A,所以12=b2+c2-bc,所以b2+c2=12+bc≥2bc,所以bc≤12.(当且仅当b=c时等号成立)所以S=bc·sin A=bc≤3.所以当三角形ABC为等边三角形时面积最大,最大值是3.。

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）2．（5分）复数z=1+i，为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2iB．﹣iC．iD．2i3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b34．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．55．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．96．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．17．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．19．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．2B．C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=．15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），∴x=，y≥0，故反函数为y=（x≥0）．故选：B．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．2．（5分）复数z=1+i，为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2iB．﹣iC．iD．2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可．【解答】解：=1﹣i，所以=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i故选：B．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k 【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k﹣S k=24转化为：+2（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．9【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．1【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；13：作图题；35：转化思想．【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离．【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h，所以AD=，CD=，BC==V D﹣ABC可知由V B﹣ACD所以，h=故选C．【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力．7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42种，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种，根据分类计数原理知共10种，故选：B．【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中．8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．【解答】解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x∴y'|x=0=（﹣2）e﹣2x|x=0=﹣2∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．9．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】根据已知中抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B 两点，我们可求出点A，B，F的坐标，进而求出向量，的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，∴F点的坐标为（1，0）又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4），则=（0，﹣2），=（3，4），则cos∠AFB===﹣，故选：D．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧．11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．【解答】解：∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=∴圆N的半径为则圆的面积为13π故选：D．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．2B．C．D．1【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．【解答】解：∵，∴的夹角为120°，设，则；=如图所示则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 0 ．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数分别取1，9求出x 的系数与x9的系数；求出值．【解答】解：展开式的通项为令得r=2；令得r=18∴x的系数与x9的系数C202，C∴x的系数与x9的系数之差为C202﹣C=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α= ﹣．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α．【解答】解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=﹣，tanα==∴tan2α==﹣故答案为：﹣【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题．15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|= 6 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】16：压轴题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP ⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值．【解答】解：由题意画出图形如图：因为E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC 所成的二面角就是∠BPE，因为B1E=2EB，CF=2FC1，所以BE：CF=1：2所以SB：SC=1：2，设正方体的棱长为：a，所以AS=a，BP=，BE=，在RT△PBE中，tan∠EPB===，故答案为：【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】由A﹣C等于得到A为钝角，根据诱导公式可知sinA与cosC相等，然后利用正弦定理把a+c=b化简后，把sinA换为cosC，利用特殊角的三角函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的两边都除以后，根据C和B的范围，得到C+=B或C++B=π，根据A为钝角，所以C++B=π不成立舍去，然后根据三角形的内角和为π，列出关于C的方程，求出方程的解即可得到C的度数．【解答】解：由A﹣C=，得到A为钝角且sinA=cosC，利用正弦定理，a+c=b可变为：sinA+sinC=sinB，即有sinA+sinC=cosC+sinC=sin（C+）=sinB，又A，B，C是△ABC的内角，故C+=B或C++B=π（舍去），所以A+B+C=（C+）+（C+）+C=π，解得C=．【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意三角形的内角和定理及角度范围的运用．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率即可．（Ⅱ）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可．【解答】解：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（1﹣0.5）=0.3，故P=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X～B（100，0.2）所以EX=100×0.2=20【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）由是公差为1的等差数列，知，由此能求出{a n}的通项公式．（Ⅱ）由==，能够证明S n＜1．【解答】解：（Ⅰ）是公差为1的等差数列，，∴（n∈N*）．（Ⅱ）==，∴=1﹣＜1．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用．21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）欲证明当x＞0时，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函数的单调性，只须证明f（x）在[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案．（Ⅱ）先计算概率P=，再证明＜＜，即证明99×98×…×81＜（90）19，最后证明＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln，而这个结论由（1）所得结论可得【解答】（Ⅰ）证明：∵f′（x）=，∴当x＞﹣1，时f′（x）≥0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0．即当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=，要证P＜＜．先证：P=＜，即证＜即证99×98×…×81＜（90）19而99×81=（90+9）×（90﹣9）=902﹣92＜90298×82=（90+8）×（90﹣8）=902﹣82＜902…91×89=（90+1）×（90﹣1）=902﹣12＜902∴99×98×…×81＜（90）19即P＜再证：＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln＞由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）﹣，当x＞0时，f（x）＞0．令x=，则ln（1+）﹣=ln（1+）﹣＞0，即ln＞综上有：P＜＜【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力．创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校。

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷普通高等学校招生全国统一考试一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若{1},{1}P x x Q x x =<>，则A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R C P Q ⊆D ．R Q C P ⊆ （2）若复数1z i =+，i 为虚数单位，则(1)i z +⋅=A ．13i +B ．33i +C ．3i -D ．3（3）若实数x ，y 满足不等式组250,270,0,0,x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩则3x +4y 的最小值是A ．13B ．15C ．20D ．28（4）若直线l 不平行于平面a ，且l a ∉，则 A ．a 内的所有直线与异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线C ．a 内存在唯一的直线与l 平行D ．a 内的直线与l 都相交（5）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=A ．-12B ．12C ． -1D ．1（6）若,a b 为实数，则“0<ab<1”是“b<a1”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 （7）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（8）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是A ．110B ．310C ．35D ．910（9）已知椭圆22122:1x y C a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则A ．a 2 =132B ．a 2=13C ．b 2=12D ．b 2=2（10）设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()2f x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是非选择题部分 （共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

高中毕业生第二次复习统一检测理科数学本试卷满分150分，考试时间120分钟考生注意：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}3,0xM y y x ==>，(){}2lg 3N x y x x==-，则M N I为（ ）A ．∅B ．()1,+∞C ．[)3,+∞D ．()1,32．设i 是虚数单位，如果复数2a ii++的实部与虚部是互为相反数，那么实数a 的值为（ ）A ．3-B ．13-C ．13D ．33．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊂，//n α，则m ，n 为异面直线； ②若m β⊥，αβ⊥，m γ⊥，则αγ⊥；③若//αγ，//βγ，则//αβ； ④若m α⊥，n β⊥，//m n ，则αβ⊥．则上述命题中真命题的序号为（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④5．若正整数n 除以正整数m 后的余数为r ，则记为(mod )n r m ≡，例如103(mod 7)≡．下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出n 的值等于（ ） A ．29 B ．30 C ．31D ．326．曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos sin αα+的值为（ ）A ．210B ．10 C ．10-D ．210±7．已知函数4,0()4,0x x e x f x e x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，2g()x x =，则函数()g()y f x x =⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()()2135213n n S a a a a n N -=++++∈L L å，1238a a a=，则8S =（ ）A ．510B ．255C ．127D ．65409．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．92πB ．9πC ．12πD ．16π10．已知1t >，2log x t =，3log y t =，5log z t =，则（ ） A ．235x y z << B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<11．设1F 、2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的焦点，过2F 的直线交椭圆于P 、Q 两点，且1PQ PF ⊥，1PQ PF =，则椭圆的离心率为（ ）A 32B 63-C ．22D ．962-12．已知函数()4sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，460,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，，n x ，且123n x x x x <<<⋅⋅⋅<，则1231222n n x x x x x -+++⋅⋅⋅++=（ ）A ．12763πB ．445πC ．455πD ．14573π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数是 ．14．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为 ． 15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐进线均与圆22:8120C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则双曲线的方程为 ．16．平行四边形ABCD 中，=3AB ，=2AD ，=120BAD ∠o ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1AP =．若AP x AB y AD =+u u u r u u u r u u u r，则32x y +的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．（12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2226b c a +-=-， 且sin sin 4sin sin b C c B a B C +=． （1）求cos A ； （2）求ABC ∆的面积．18．（12分）某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式； （2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明ABMDP理由．19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =．（1）设AC 与BD 相交于点M ，若存在点N 使得()0AN mAP m =>u u u r u u u r，且//MN 平面PCD ，求实数m 的值；（2）若AB AD DP ==，60BAD ∠=o，PB =，且PD AD ⊥，求二面角A PC B --的余弦值．20．（12分）设函数()()11xxf x xe a e=+-+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,+∞有零点，证明：2a >．21．（12分）设A 、B 为曲线2:4x C y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设弦AB 的中点为N ，过点A 、B 分别作抛物线的切线，则两切线的交点为E ，过点E 作直线l ，交抛物线于P 、Q 两点，连接NP 、NQ ． 证明：2EA EB NP NQ AB k k k k k +=+=.请考生在第22、23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长度．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()1f x x =-．（1）求不等式()()336f x f x ++-≥的解集；（2）若不等式()()14f x f x ax b --+>+的解集为实数集R ，求a b +的取值范围．理科数学参考答案及评分标准一、选择题12、函数()4sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令262x k πππ-=+得123x k ππ=+,k Z ∈，即()f x 的对称轴方程为123x k ππ=+,k Z ∈． ()f x Q 的最小正周期为T π=，4603x π≤≤，当30k =时,可得463x π=，()f x ∴在460,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有31条对称轴，根据正弦函数的性质可知： 函数()4sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与3y =的交点1x ，2x 关于3π对称，2x ,3x 关于56π对称，，故31n =．即12226x x π+=⨯,23526x x π+=⨯，，30318926x x π+=⨯， 将以上各式相加得：123303125892222666x x x x x πππ⎛⎫+++⋯++=++⋯+⎪⎝⎭()258894553ππ=+++⋯+⨯=．故选C ．二、填空题13、0 14、429 15、221124x y -= 16、2三、解答题17、解：（1）因为sin sin 4sin sin ,b C c B a B C +=由正弦定理得：sin sin sin sin 4sin sin sin ,B C C B A B C += …………………………2分又sin sin 0B C ≠，所以4sin 2,A =即1sin 2A =又2226b c a +-=-，由余弦定理得cos 0A < ………………………………………4分所以cos 2A ==-……………………………………………………6分 （2）因为222cos 2b c a A bc+-=…………………………………………………………8分所以62bc-=，即bc =…………………………………………………… 10分所以111sin 222ABC S bc A ∆==⨯=…………………………………………12分 18、解：（1）由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为1060,y x x N =+∈…………………………………………………………………2分方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为200,15,20100,15,x x Ny x x x N≤∈⎧=⎨->∈⎩ . …5分（2）设方案一中的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）……8分 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为()2000.62200.22400.2212E Y =⨯+⨯+⨯=（元）…………………………………11分所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.…………………………………………………12分 19、解：（1）因为//AB CD ，所以11,23AM AB AM MC CD AC ==∴=．……………………1分因为//MN 平面PCD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC I 平面PCD PC =， 所以//MN PC ．………………………………………………………………3分 所以13AN AM AP AC ==，即13m =．…………………………………………4分（2）因为,60AB AD BAD =∠=︒，可知三角形ABD 为等边三角形，所以BD AD PD ==，又2BP =，故222BP PD DB =+，所有PD DB ⊥．由已知,PD AD AD BD D ⊥⋂=，所以PD ⊥平面ABCD ，如图，以D 为坐标原点，,DA DP u u u v u u u v的方向为,x y 轴的正方向建立空间直角坐标系，设1AB =，则1,2AB AD DP CD ====，所以()1,0,0A ，()(13,0,1,0,32B P C ⎛- ⎝⎭则(13,,1,32PB PC ⎛=-=-- ⎝⎭u u u v u u uv ，()1,1,0PA =-u u u v …………………………6分设平面PBC 的一个法向量为()1111,,n x y z =u v，则有1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u v 即111111230,30.x y z x y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩令11x =，则112,3y z == 即(11,3n =u v，………………………………………………………………………8分设平面APC 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u v，则有2200n PA n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u v 即222220,30.x y x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令223x y ==22z =， 即)23,3,2n =u u v．…………………………………………………………………10分所以121212·5315cos ,2210n n n n n n ===⨯⋅u v u u vu v u u v u v u u v设二面角A PC B --的平面角为θ，则cos θ=………………………………12分 20、解：（1）()()11xxf x xe a e=+-+Q()()1xf x x a e ∴=--⎡⎤⎣⎦'，………………………………………………………………2分1x a ∴>-时，()0f x '>，函数()f x 在()1,a -+∞上单调递增；1x a <-时，()0f x '<，函数()f x 在(),1a -∞-上单调递减；………………4分（2）证明：函数()f x 在()0,+∞有零点，可得方程()0f x =有解，()1111111xx x x x x e x xe x a x e e e -++++∴===+---有解， 令()11x x g x x e +=+-， 则()()()222111(1)(1)x xx x x x e e x e x e g x e e ----+=+=--'，…………………………………6分 设函数()2xh x e x =--，()10xh x e ='->，∴函数()h x 在()0,+∞上单调递增,又()130h e =-<，()2240h e =->，………………………………………………8分又函数()h x 在()0,+∞上单调递增，∴存在()01,2x ∈，当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，∴函数()gx 存在唯一最小值点0x ，满足002xe x =+，()()00000112,31x x g x x x e +∴=+=+∈-， ()11x x a g x x e +==+-Q 有解，()02a g x ∴≥>，2a ∴>．……………………………………………………………… 12分21、解：设()()1122,,,,A x y B x y 则2212121212,,,444x x x x y y x x ≠==+=（1）直线AB 的斜率21122114AB y y x x k x x -+===- …………………………………… 3分 （2）由（1）知，等价于证明2EA EB NP NQ k k k k +=+=，1'12EA x x x k y ===Q ，2'22EB x x x k y === 12122222EA EB x x x x k k +∴+=+==………………………………………………5分 设直线:AB l y x m =+过()11,A x y 点的切线方程为()11112y y x x x -=-，整理得2111124y x x x =- 同理，过()22,B x y 点处切线的方程为2221124y x x x =-， 联立方程组21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：2111112,4x y x x x y m ==-=-=- ()2,E m ∴-………………………………………………………………………… 7分 设()()3344,,,,P x y Q x y 易知割线的斜率存在，因为()2,E m -，设割线的方程为()2y m k x +=-，代入抛物线24x y =，整理得24840x kx k m -++=， 则34344,84x x k x x k m +=⋅=+． 所以()2222343434341112442444y y x x x x x x k k m ⎡⎤+=+=+-⋅=--⎣⎦， ()22222343434111444416y y x x x x k km m ⋅=⋅==++， ()2223434433443341184444x x x y x y x x x x x x k mk +=⋅+⋅=+=+ …………… 8分 因为()2,2N m +，1212(2,2)22x x y y m ++==+ 所以343422,22NP NQ y m y m k k x x ----==-- 所以()()()()343443343434343422122842224NP NQ y m y m k k x y x y m x x y y m x x x x x x ----+=+=+-++-+++⎡⎤⎣⎦---++()()2218884242442842848444m k km m k k k m m k m k m +⎡⎤=+-+⋅---++==⎣⎦+-++ ……………………………………………………………………………………… 11分综上可得2EA EB NP NQ k k k k +=+=所以2EA EB NP NQ AB k k k k k +=+= ………………………………………………12分 22、解：（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，……………………………………2分 又cos x ρθ=，sin y ρθ=所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.……………………………………………………5分 （2）设()11,P ρθ，则由=32cos ρθπθ⎧=⎪⎨⎪⎩解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭；…………7分 设()22,Q ρθ，则由2sin 33πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎧⎪⎝⎭⎨=⎪⎪⎪⎩解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭；…9分 所以212PQ ρρ=-=.……………………………………………………………………10分23、（1）()()2,233224,222,2x x f x f x x x x x x -<-⎧⎪++-=++-+=-≤≤⎨⎪>⎩………………………3分由()6f x ≥，得(][),33,x ∈-∞-+∞U .……………………………………………………5分（2）()()5,3142321,325,2x f x f x x x x x x <-⎧⎪--+=--+=---≤≤⎨⎪->⎩，()()14y f x f x =--+的图象如图所示：…………………………………………………8分由()()14f x f x ax b --+>+的解集为实数集R ，可得0a =，5b <-，即5a b +<-.………………………………………………………………………………10分。

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测二第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |1≤x <2}2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x <1，则－2≤a ≤1是f (x )在R 上单调递增的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设f (x )＝|2－x 2|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0，2)C ．(0,4)D ．(0,22)4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )5．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－x f ′(x )≤0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)6．已知函数f (x )满足f (－x )＝f (x )和f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝1－x ，则关于x 的方程f (x )＝(13)x 在x ∈[0,4]上解的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 7．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．10．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (1)＝2，则f (2 017)＝________.11．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________．12．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数；③f (x )的最小值是lg 2；④f (x )在区间(－1,0)，(2，＋∞)上是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是________．13．下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x >(13)x ；②∃x ∈(0，＋∞)，log 2x <log 3x ；③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ；④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x .其中正确命题的序号是________．14．定义域为R 的偶函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )－log a (|x |＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足f(x＋1)－f(x)＝4x＋1，且f(0)＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>6x＋m恒成立，求实数m的取值范围．16．(13分)定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1,0]时的解析式为f(x)＝1 4x－a2x(a∈R)．(1)写出f(x)在(0,1]上的解析式；(2)求f(x)在(0,1]上的最大值．17.(13分)已知函数f(x)＝ax＋x ln|x＋b|是奇函数，且图象在点(e，f(e))处的切线斜率为3(e为自然对数的底数)．(1)求实数a、b的值；(2)若k∈Z，且k<f(x)x－1对任意x>1恒成立，求k的最大值．18．(13分)经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似地满足g(t)＝－13t＋1123(1≤t≤100，t∈N)，前40天价格为f(t)＝14t＋22(1≤t≤40，t∈N)，后60天价格为f(t)＝－12t＋52(41≤t≤100，t∈N)，试求该商品的日销售额s(t)的最大值和最小值．19.(14分)已知函数f(x)＝ax－ln(1＋x2)．(1)当a＝45时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的极值；(2)证明：当x>0时，ln(1＋x2)<x；(3)证明：(1＋124)(1＋134) (1)1n4)<e(n∈N*，n≥2，e为自然对数的底数)．20．(14分)设函数f(x)＝e mx＋x2－mx.(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．答案解析1．D [因为图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )，由题意可知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x <1}，所以A ∩(∁U B )＝{x |0<x <2}∩{x |x ≥1}＝{x |1≤x <2}．故选D.]2．B [函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在[1，＋∞)上单调递增，则a ≥－2，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1在(－∞，1)上单调递增，则－12≤a ≤0，而函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x <1 在R 上单调递增，则－12≤a ≤0，故选B.]3．D [∵f (a )＝f (b )，且0<a <b ，∴a <2<b ，由|2－a 2|＝|2－b 2|，得a 2＋b 2＝4.由(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)，易知a ＋b ≤22(当且仅当a ＝b 时取等号)，又0<a <b ，故0<a ＋b <2 2.]4．C [∵当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，∴设x ≤0，得－x ≥0，f (－x )＝ln(－x ＋1)，又∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即当x ≤0时，f (x )＝ln(－x ＋1)．当x ≥0时，原函数由对数函数y ＝ln x 图象左移一个单位而得，当x ≥0时函数为增函数，函数图象是上凸的，故选C.]5．A [当x <1时，f ′(x )<0，此时函数f (x )递减，当x >1时，f ′(x )>0，此时函数f (x )递增，即当x＝1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1)，所以f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，则f(0)＋f(2)>2f(1)．故选A.]6．A[因为f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数；因为f(x＋2)＝f(x)，故T＝2.作出f(x)在[0,4]上的图象如图所示，再作出g(x)＝(13)x的图象，可知f(x)和g(x)在[0,4]上有5个交点，即方程f(x)＝(13)x在[0,4]上解的个数为5，故选A.]7．D[f′(x)＝k－1x，由已知得f′(x)≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，故k≥1x在(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<1x<1，故k的取值范围是[1，＋∞)．]8．D[函数f(x)的图象如图所示：且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x1|<|x2|，∴f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.]9．[－6，－2]解析不等式ax3－x2＋4x＋3≥0变形为ax3≥x2－4x－3.当x＝0时，0≥－3恒成立，故实数a的取值范围是R.当x∈(0,1]时，a≥x2－4x－3x3恒成立，记f(x)＝x2－4x－3x3，f′(x)＝－x2＋8x＋9x4＝－(x－9)(x＋1)x4>0，故函数f(x)单调递增，则f(x)max＝f(1)＝－6，故a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3恒成立， 记f (x )＝x 2－4x －3x 3， 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍去)，当x ∈[－2，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，故f (x )min ＝f (－1)＝－2，则a ≤－2.综上所述，实数a 的取值范围是[－6，－2]．10．2解析 ∵f (x )＝－f (x ＋32)，∴f (x ＋3)＝f [(x ＋32)＋32]＝－f (x ＋32)＝f (x )．∴f (x )是以3为周期的周期函数，则f (2 017)＝f (672×3＋1)＝f (1)＝2.11．①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确．12．①③④解析 根据已知条件可知f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)为偶函数，显然利用偶函数的性质可知命题①正确；对真数部分分析可知最小值为2，因此命题③成立；利用复合函数的性质可知命题④成立；命题②，单调性不符合复合函数的性质，因此错误；命题⑤中，函数有最小值，因此错误，故填写①③④.13．①②④解析①∃x∈(0，＋∞)，(12)x>(13)x是真命题，如x＝2，14>19成立；②∃x∈(0，＋∞)，log2x<log3x是真命题，如x＝1 2，log212＝－1，log312>log313＝－1，即∃x∈(0，＋∞)，log2x<log3x；③∀x∈(0，＋∞)，(12)x>log12x是假命题，如x＝12，log1212＝1>(12)12；④∀x∈(0，13)，(12)x<log13x是真命题，因为∀x∈(0，13)，(12)13<(12)x<1，log13x>1.14．(0，3 3)解析∵f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且f(x)是定义域为R的偶函数，令x＝－1可得f(－1＋2)＝f(－1)－f(1)，又f(－1)＝f(1)，可得f(1)＝0，f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为2的偶函数．当x∈[2,3]时，f(x)＝－2x2＋12x－18＝－2(x－3)2，函数f(x)的图象是开口向下、顶点为(3,0)的抛物线．∵函数y＝f(x)－log a(|x|＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，令g(x)＝log a(|x|＋1)，则f(x)的图象和g(x)的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f (x )≤0，∴g (x )≤0，可得0<a <1.要使函数y ＝f (x )－log a (|x |＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则有g (2)>f (2)，即log a (2＋1)>f (2)＝－2， ∴log a 3>－2，∴3<1a 2，解得－33<a <33.又∵0<a <1，∴0<a <33. 15．解 (1)由f (0)＝3，得c ＝3. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3. 又f (x ＋1)－f (x )＝4x ＋1，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4x ＋1， 即2ax ＋a ＋b ＝4x ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4，a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1. ∴f (x )＝2x 2－x ＋3.(2)f (x )>6x ＋m 等价于2x 2－x ＋3>6x ＋m ， 即2x 2－7x ＋3>m 在[－1,1]上恒成立， 令g (x )＝2x 2－7x ＋3，x ∈[－1,1]， 则g (x )min ＝g (1)＝－2， ∴m <－2.16．解 (1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)， f (－x )＝14－x －a 2－x ＝4x －a ·2x， 又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝a ·2x －4x ，x ∈(0,1]．(2)因为f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈(0,1]， 令t ＝2x ，t ∈(1,2]，所以g (t )＝at －t 2＝－(t －a 2)2＋a 24，当a2≤1，即a ≤2时，g (t )<g (1)＝a －1，此时f (x )无最大值； 当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g (a 2)＝a 24； 当a2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4. 综上所述，当a ≤2时，f (x )无最大值， 当2<a <4时，f (x )的最大值为a 24， 当a ≥4时，f (x )的最大值为2a －4.17．解 (1)由f (x )＝ax ＋x ln|x ＋b |＝x (a ＋ln|x ＋b |)是奇函数， 则y ＝a ＋ln|x ＋b |为偶函数，∴b ＝0. 又x >0时，f (x )＝ax ＋x ln x ， ∴f ′(x )＝a ＋1＋ln x ， ∵f ′(e)＝3， ∴a ＝1.(2)当x >1时，令g (x )＝f (x )x －1＝x ＋x ln xx －1，∴g ′(x )＝x －2－ln x (x －1)2，令h (x )＝x －2－ln x ，∴h ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0， ∴y ＝h (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴h (1)＝－1<0，h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－ln 4>0， ∴存在x 0∈(3,4)，使得h (x 0)＝0， 则x ∈(1，x 0)，h (x )<0， g ′(x )<0，y ＝g (x )为减函数． x ∈(x 0，＋∞)，h (x )>0， g ′(x )>0，y ＝g (x )为增函数． ∴g (x )min ＝g (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－1＝x 0.∴k <x 0，又x 0∈(3,4)，k ∈Z ， ∴k max ＝3.18．解 当1≤t ≤40，t ∈N 时， s (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(14t ＋22) ＝－112t 2＋2t ＋112×223 ＝－112(t －12)2＋2 5003， 所以768＝s (40)≤s (t )≤s (12) ＝112×223＋12＝2 5003.当41≤t ≤100，t ∈N 时， s (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(－12t ＋52) ＝16t 2－36t ＋112×523 ＝16(t －108)2－83，所以8＝s (100)≤s (t )≤s (41)＝1 4912. 所以s (t )的最大值为2 5003，最小值为8. 19．(1)解 当a ＝45时，f (x )＝45x －ln(1＋x 2)， ∴f ′(x )＝45－2x1＋x 2＝4x 2－10x ＋45(1＋x 2). x ，f ′(x )，f (x )变化如下表：∴f 极大值＝f (12)＝25－ln 54， f 极小值＝f (2)＝85－ln 5. (2)证明 令g (x )＝x －ln(1＋x 2)， 则g ′(x )＝1－2x1＋x 2＝(x －1)21＋x2≥0. ∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴g (x )>g (0)＝0， ∴ln(1＋x 2)<x .(3)证明 由(2)知ln(1＋x 2)<x ， 令x ＝1n 2，得ln(1＋1n 4)<1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n ，∴ln(1＋124)＋ln(1＋134)＋…＋ln(1＋1n 4)<1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1－1n <1，∴(1＋124)(1＋134)…(1＋1n 4)<e. 20．(1)证明 f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )＞0.若m ＜0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1＞0，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1＜0，f ′(x )＞0.所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)解 由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m －m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.①设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t －1. 当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e ＜0， 故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0.当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立； 当m ＞1时，由g (t )的单调性， g (m )＞0，即e m －m ＞e －1；当m＜－1时，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1. 综上，m的取值范围是[－1,1]．。

综合检测二 ( 标准卷 )考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分，共 4 页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色笔迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应地点上．3．本次考试时间120 分钟，满分150 分．4．请在密封线内作答，保持试卷洁净完好．第Ⅰ卷 ( 选择题共60分)一、选择题 ( 此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 )1．设全集为 R，会合＝2－x>0，＝ {|x≥1} ，则∩等于()A x xB x A BA． { x|0< x≤1}B． { x|0< x<1}C． { x|1 ≤x<2}D． { x|0< x<2}答案C分析由会合 A＝ x 2－x>0，可知 0<x<2；x因为B＝{x|x≥1}，因此2．若复数z知足 (1 ＋ 2i)1 3A.5＋5i1 3C. － i5 5 A∩ B＝{ x|1≤ x<2}，应选 C. z＝1－i，则复数 z 为()1 3B．－5＋5i13D．－－i答案D分析∵(1 ＋ 2i) z＝ 1－ i ，∴ z＝1－ i＝1－i 1－2i＝－ 1－ 3i＝－13i ，应选 D. 1＋ 2i5－1＋2i 1－ 2i55y≥0，3．设变量x，y知足拘束条件x－ y＋1≥0，，则z2x－y的最小值为()＝x＋ y－3≤0，A．－ 3B．－ 2C．－ 1D． 2答案B分析绘制不等式组表示的可行域( 暗影部分包括界限) ，联合目标函数可得，目标函数在点A ( － 1,0) 处获得最小值 z ＝ 2x －y ＝－ 2.→ → → → →4. 如图，在△ OAB 中， P 为线段 AB 上的一点， OP ＝ xOA ＋ yOB ，且 BP ＝ 2PA ，则 ( )2112A ． x ＝3， y ＝3B ． x ＝ 3， y ＝ 3C ． ＝1， ＝3D ． ＝ 3， ＝1x 4y4x 4y4答案A→→→→→→ →2→→2 → →2→ 1→分析由题可知 OP ＝ OB ＋BP ，又 BP ＝ 2PA ，因此 OP ＝ OB ＋ 3BA ＝ OB ＋3( OA －OB ) ＝ 3OA ＋ 3OB ，因此 x ＝ 2， y ＝1，应选 A.335． (2 x ＋ x ) 4的睁开式中 x 3 的系数是 ()A ． 6B ． 12C ． 24D ． 48 答案C4－kk(2 x ＋ x ) 4 的睁开式的通项公式为 Tk4－ kkk 4－ kx2 分析，令＋1＝C 4(2x )( x)＝C 424－2＝3 解k3的系数为 22得 k ＝2，故 x C 42 ＝ 24，应选 C.6．阅读如下图的程序框图，运转相应的程序，则输出的 S 值为 ( )A ． 15B ． 37C ． 83D ． 177答案B分析 履行程序，可得S ＝ 0，i ＝ 1，不切合，返回循环；S＝2×0＋1＝1， i ＝3，不切合，返回循环；S＝2×1＋3＝5， i ＝5，不切合，返回循环；S＝2×5＋5＝15， i ＝7，不切合，返回循环；S＝2×15＋7＝37， i ＝9，切合，输出S＝37.应选 B.7．在公比为q的正项等比数列 { a } 中，a＝ 1，则当 2a＋a获得最小值时， log q 等于()n4262 1111A. 4B．－4C. 8D．－8答案A分析2a＋a≥22＝ 222，当且仅当q4时取等号，因此 log q 112 ＝ 2＝ 2＝ log 2 ＝，44应选 A.8.三世纪中期，魏晋期间的数学家刘徽开创割圆术，为计算圆周率成立了严实的理论和完美的算法．所谓割圆术，就是不停倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的表示图，现向圆中随机扔掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为 ()3333π323πA. 2πB.2C. 2πD.2答案A分析设圆的半径为r ，则圆的面积 S2，正六边形的面积S＝6×12×sin60 °圆＝π r正六边形2× r332 332正六边形2r 3 3该点落在正六边形内的概率P＝S＝＝2r，因此向圆中随机扔掷一个点，圆2＝2π，Sπr应选 A.9．已知某几何体的三视图如下图，俯视图是由边长为 2 的正方形和半径为 1 的半圆构成，则该几何体的体积为()2ππ π πA ．8＋ 3B ．8＋ 6C ．4＋ 3D ．8＋ 3答案 D分析 由三视图可知几何体为半圆锥与正方体的组合体，31 12πV ＝ 2 ＋2× 3× π×1×2＝ 8＋ 3 .10．在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且 a sin2 B ＋ b sin A ＝0，若 a ＋ c＝ 2，则边 b 的最小值为 ()A ． 4B ． 3 3C ． 2 3D. 3答案D1分析依据 a sin2 B ＋ b sin A ＝ 0，由正弦定理可得sin A sin2 B ＋sin B sin A ＝ 0? cos B ＝－ 2，∵0< <π ，∴ ＝ 2π， ＋ ＝ π.B B 3 AC 3由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2 ac ·cos ＝ 2＋c 2＋＝ ( ＋ ) 2－ac ＝ 4－ac .B a aca c∵ a ＋ c ＝2≥2 ac ，当且仅当 a ＝ c ＝ 1 时取等号，∴ ac ≤1. ∴ b 2＝4－ ac ≥3, 即 b ≥ 3.故边 b 的最小值为3.x 2 y 211．已知直线 l 的倾斜角为45°，直线 l 与双曲线 C ： a 2－ b 2 ＝ 1( a >0， b >0) 的左、右两支分别交于 M ，N 两点，且 MF ，NF 都垂直于 x 轴( 此中 F ，F 分别为双曲线C 的左、右焦点 ) ，则121 2该双曲线的离心率为 ()5＋1 A.3B. 5C. 5－ 1D.2答案 D分析∵直线l 与双曲线的左、右两支分别交于 ， 两点，且1，2都垂直于x 轴，M NMF NF∴依据双曲线的对称性，设点 M ( － c ，－ y ) ， N ( c ， y )( y >0) ，222 2c 2 y 2c － a 12＝ | y | ，则 a － b ＝1，即 | y | ＝a，且 | MF | ＝| NF |又∵直线 l 的倾斜角为45°，∴直线 l 过坐标原点， | y | ＝ c ，22∴ c － a＝c ，整理得 c 2－ ac － a 2＝ 0， a即 e 2e ＝5＋ 1－e － 1＝ 0，解方程得 2 .12．若不等式 2x ln x ≥－ x 2＋ ax － 3 对 x ∈(0 ，＋∞ ) 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ()A ． ( －∞， 0)B ． ( －∞， 4]C ． (0 ，＋∞ )D ． [4 ，＋∞)答案 B分析∵2x ln x ≥－ x 2＋ ax － 3 对 x ∈(0 ，＋∞ ) 恒成立，3∴ a ≤ x ＋ 2ln x ＋x 对 x ∈(0 ，＋∞ ) 恒成立，3 令 f ( x ) ＝ x ＋ 2ln x ＋ x ，则2 3 f ′(x ) ＝ 1＋ x －x 2＝x 2＋ 2x － 3x 2 .由 f ′(x )>0 得 x >1，即 f ( x ) 在 (1 ，＋∞ ) 上为增函数； 由 f ′(x )<0 得 0<x <1，即 f ( x ) 在 (0,1)上为减函数．∴ f ( x ) min ＝ f (1) ＝ 4，∴ a ≤4，∴实数 a 的取值范围是 ( －∞， 4] ．第Ⅱ卷 ( 非选择题共90分)二、填空题 ( 此题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )113． f ( x ) ＝ 2x ＋1，x ≤0，则使 f ( a ) ＝－ 1 成立的 a 值是 ________．－ x － 1 2， x >0，答案 －4或 21分析 f ( x ) ＝ 2x ＋ 1， x ≤0，f ( a ) ＝－ 1，－ x － 1 2， x >0，1 当 a ≤0时， f ( a ) ＝ a ＋ 1＝－ 1，解得 a ＝－ 4,2当 a ＞0 时， f ( a ) ＝－ ( a － 1) 2＝－ 1，解得 a ＝ 2.14．已知 l 1： mx － y － 3m ＋1＝ 0 与 l 2： x ＋ my －3m － 1＝0 订交于点 P ，线段 AB 是圆 C ： ( x ＋22的一条动弦，且 → →的最小值是 ________．1) ＋ ( y ＋ 1) ＝ 4 | AB | ＝2 3，则 | PA ＋PB | 答案 4 2－2分析 ∵ l ： mx － y － 3m ＋1＝ 0 与 l ： x ＋ my －3m － 1＝0，12∴l 1⊥l 2，l 1过定点(3,1)， l 2过定点(1,3)，∴点P的轨迹方程为圆( x－2)2＋( y－2)2＝2，作 CD⊥ AB，则| CD|＝22－32＝1，∴点 D的轨迹方程为( x＋1)2＋ ( y＋ 1)2＝ 1，→→→则 | PA＋PB|＝2| PD| ，∵圆 P和圆 D的圆心距为2＋1 2＋ 2＋1 2＝ 32>1＋2，∴两圆外离，∴|PD|的最小值为 3 2－1－2＝22－ 1，→→|的最小值为 42－ 2.∴| ＋PA PB15. 已知函数>0，ω >0， | φ|<πf (0)＝f ( x)＝A sin(ω x＋φ) A 2的部分图象如下图，则________.答案1T 5ππ π分析由函数 f ( x)＝ A sin(ω x＋φ)的部分图象知， A＝2，4＝12－6＝4，∴ T＝π，∴ω2π＝＝ 2，π又 f π2×π6＝ 2sin6＋φ ＝ 2,π∴ φ＝6＋ 2kπ，k∈ Z.又 | φ |< π2，∴φ＝π6 .ππ∴f ( x)＝2sin 2x＋6， f (0)＝2sin6＝1.16．已知抛物线C：y2＝ 8x，点P(0,4)，点 A 在抛物线上，当点 A 到抛物线准线 l的距离与点A 到点P的距离之和最小时，F是抛物线的焦点，延伸AF交抛物线于点，则△的面B AOB积为________．答案45分析依据抛物线性质知抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，故当P，A， F 三点共线时达到最小值，由 P(0,4)，F(2,0)，可得 l AB：2x＋ y－4＝0，联立抛物线方程可得 x2－6x ＋ 4＝ 0，设点 A ( x 1， y 1) ， B ( x 2， y 2) ，故 | AB | ＝ x 1＋x 2 ＋p ＝ 6＋ 4＝ 10，原点到直线 l AB ：2x＋ y － 4＝ 0 的距离 d ＝|4|4 51 4 5＝5 ，因此△ AOB 的面积为 ×10×5 ＝4 5.4＋ 12三、解答题 ( 此题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17． (12 分 ) 已知等差数列 { n } 的公差不为零，a1＝ 25，且1， 11，13成等比数列．aa a a(1) 求 { a n } 的通项公式；(2) n设 b n ＝ ( － 1) a n ，求数列 { b n } 前 2019 项的和． 解 (1) 设等差数列 { a } 的公差为 d ( d ≠0) ，na 1＝ 25，a 1＝ 25，a 1＝ 25，2?2?d ＝－ 2，a 11＝ a 1·a 131＋ 10d ＝ a 1 a 1＋ 12da∴{ n } 的通项公式为a n＝ 27－2 .an(2){b } 的前 2019 项的和 S为n2019S 2019＝ b 1＋ b 2＋ b 3＋b 4＋ ＋ b 2018＋ b 2019＝ ( a 2－ a 1) ＋( a 4－ a 3) ＋ ＋ ( a 2018－ a 2017) － a 2019＝( －2)×2018－ (27 －2×2019)2＝ 1993.18． (12分) 如图，五边形ABSCD 中，四边形ABCD 为长方形，三角形SBC 为边长为2 的正三角形，将三角形SBC沿BC 折起，使得点S 在平面ABCD 上的射影恰幸亏AD 上．(1) 当 AB ＝2时，证明：平面SAB ⊥平面SCD ；(2) 若 AB ＝ 1，求平面 SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值．(1) 证明作 SO ⊥ AD ，垂足为 O ，依题意得SO ⊥平面 ABCD ，∴ SO ⊥ AB ， SO ⊥ CD ，又 AB ⊥ AD ， SO ∩ AD ＝ O ，SO ， AD ? 平面 SAD ， ∴ AB ⊥平面 SAD ，∴ AB ⊥SA ， AB ⊥SD .利用勾股定理得＝2－2＝ 4－ 2＝ 2，同理可得＝ 2.SA SB ABSD在△ SAD 中， AD ＝ 2， SA ＝ SD ＝2222， SA ＋ SD ＝ AD ，∴ SA ⊥SD ，又 SA ∩ AB ＝ A ，∴ SD ⊥平面 SAB ，又 SD ? 平面 SCD ，∴平面 SAB ⊥平面 SCD .(2) 解 连结 BO ， CO ，∵ SB ＝SC ，∴ Rt △ SOB ≌Rt △ SOC ，∴ BO ＝CO ，又四边形 ABCD 为长方形，∴ R t △ AOB ≌Rt △ DOC ，∴ OA ＝ OD .取 BC 中点为 E ，得 OE ∥ AB ，连结 SE ，∴ SE ＝ 3，此中 OE ＝ 1， OA ＝ OD ＝ 1， OS ＝ 3－ 12＝ 2，由以上证明可知 OS ， OE ， AD 相互垂直，不如以直线 OA ， OE ，OS 为 x ，y ， z 轴成立空间直角坐标系．→→，－→∴ DC ＝(0,1,0) ，SC ＝ ( －1,1 2) ， BC ＝( － 2,0,0) ，设 m ＝( x 1， y 1， z 1) 是平面 SCD 的法向量，→m ·DC ＝ 0，则有→m ·SC ＝ 0， y 1＝0，即－ x 1＋ y 1－ 2z 1＝ 0，令 z 1＝1 得 m ＝ ( － 2， 0,1) ，设 n ＝( x 2， y 2， z 2) 是平面 SBC 的法向量，n ·→＝0，－ 2x 2＝ 0，BC则有即n →－ x 2＋ y 2－ 2z 2＝ 0，·SC ＝ 0，令 z 1＝1 得 n ＝ (0 ， 2，1) ．则 |cos 〈 ， | m ·n | 11〉| ＝ ＝＝ ，m n| m || n |3× 33因此平面与平面1所成二面角的余弦值的绝对值为.SCDSBC319． (12 分 ) 某芯片代工厂生产某型号芯片每盒 12 片，每批生产若干盒，每片成本 1 元，每盒芯片需查验合格后方可出厂．查验方案是从每盒芯片随机取 3 片查验，若发现次品，就要 把全盒 12 片产品所有查验， 而后用合格品替代掉不合格品，方可出厂； 若无次品， 则认定该盒芯片合格，不再查验，可出厂．(1) 若某盒芯片中有 9 片合格， 3 片不合格，求该盒芯片经一次查验即可出厂的概率；(2) 若每片芯片售价 10 元，每片芯片查验花费 1 元，次品抵达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔 10 元，并赔偿 1 片经查验合格的芯片给组装厂．设每片芯片不合格的概率为p (0< p <1) ，且相互独立．①若某箱 12 片芯片中恰有 3 片次品的概率为f ( p ) ，求 f ( p ) 的最大值点 p 0；②若以①中的 p 0 作为 p 的值，因为质检员操作大意，有一箱芯片未经查验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确立这箱芯片最后收益X ( 单位：元 ) 的均值．解(1) 设“该盒芯片经一次查验即可出厂”的事件为A,C 93 21则 P (A )＝ 3 ＝ .C 5512(2) ①因为 f339，( p ) ＝ C 12p (1 － p )32 9 38·( － 1)]因此 f ′(p ) ＝ C 12[3 p (1 － p ) ＋p ·9(1 － p )328＝ Cp (1 － p) (3 － 12p) ，12∵ p ∈(0,1) ，∴令f′( ) ＝0，得p 0＝ 1 ，p41∴当 p ∈ 0， 4 时， f ′(p )>0 ， f ( p ) 为单一增函数；1当 p ∈ ， 1 时， f ′(p )<0 ， f ( p ) 为单一减函数，41∴ p 0＝ 4为 f ( p ) 的极大值点，也是最大值点．1故 f ( p ) 的最大值点p 0＝ 4.1②由题设知， p ＝ p 0＝ 4，设这箱芯片不合格品个数为n ，1则 n ～B 12， 4 ，1故 E ( n ) ＝12× 4＝ 3，则 E ( X ) ＝ 120－12－ 30－3×2＝ 72.∴这箱芯片最后收益 X 的均值是 72 元．20．(12 分 ) 设常数t >2. 在平面直角坐标系中，已知点 (2,0) ，直线 l ： ＝ ，曲线 Γ：xOy F x ty 2＝ 8x (0 ≤ x ≤ t ， y ≥0) ． l 与 x 轴交于点 A 、与 Γ 交于点 B . P ， Q 分别是曲线 Γ 与线段 AB 上的动点．(1) 用 t 表示点 B 到点 F 距离；(2)设 t ＝3，| FQ|＝2，线段 OQ的中点在直线 FP上，求△ AQP的面积；(3)设t ＝ 8，能否存在以，为邻边的矩形，使得点E在Γ 上？若存在，求点P的FP FQ FPEQ坐标；若不存在，说明原因．解(1)方法一由题意可得( 2 2)，B t,t则 | BF| ＝t－ 2 2＋8t＝t＋ 2，∴|BF|＝ t ＋2.方法二由题意可得B( t, 22t ) ，p由抛物线的性质可知，| BF| ＝t＋2＝t＋ 2，∴|BF| ＝t＋ 2.(2)F(2,0)，| FQ|＝2， t ＝3，则| FA|＝1，∴|AQ|＝3，∴Q(3，3) ，设OQ的中点D，D 3，3，2232－ 0k ＝3＝－3，DF－ 22则直线 PF的方程为 y＝－3( x－ 2) ，y＝－3 x－2，联立2＝ 8x，整理得 3x2－ 20x＋ 12＝ 0，y2解得 x＝3， x＝6(舍去)，17 7 3∴△ AQP的面积 S＝2×3×3＝6.y2(3)存在．假定存在，则设 P 8， y ，易知，当 PF斜率不存在时，不存在切合题意的矩形，y8y16－y2则 k PF＝y2＝y2－16，k FQ＝8y，8－ 216－y2直线 QF的方程为 y＝8y( x－ 2) ，Q 16－y248－ 3y28， 48－ 3y2，∴ y ＝8(8 －2)＝4， Q4y y y→→→y248＋y2依据 FP＋ FQ＝ FE，则 E 8＋6，4y，22∴48＋y2＝ 8 y＋6 ，解得 y 2＝16，4y 85∴存在以 FP ， FQ 为邻边的矩形 FPEQ ，使得点 E 在 Γ 上，且 P 2，45 .5 521． (12 分 ) 已知函数f ( )＝(2 － )(x － 1) － 2ln ( a 为常数 )．x ax(1) 当 a ＝ 1 时，求 f ( x ) 的单一区间；(2) 若函数y ＝ f ( x ) ， x ∈10， 2 的图象与x 轴无交点，务实数a 的最小值．2解 (1) a ＝ 1 时， f ( x ) ＝x － 2ln x － 1， f ′(x ) ＝ 1－ x ，由 f ′(x )>0 得 x >2； f ′(x )<0 得 0<x <2.故 f ( x ) 的单一递减区间为 (0,2)，单一递加区间为(2，＋∞)．(2) 因为 f ( x ) 的定义域为 (0 ，＋∞ ) ，因此当 x →0时， f ( x ) →＋∞，故要使函数 f ( x ) 的图象与 x 轴在 x ∈10，上无交点，21 ， f ( x )>0 成立，需对随意的 x ∈ 0，212ln x即 x ∈ 0， 2 时， a >2－x － 1.令 l ( x ) ＝2－ 2ln x 1，， x ∈ 0， 2x － 12 则 l ′(x ) ＝ 2ln x ＋ x － 22，x － 121再令 m ( x ) ＝ 2ln x ＋ x － 2，x ∈ 0，2 ，－ 2 1－x1m ′(x ) ＝x 2<0，于是 m ( x ) 在 0， 2 上为减函数，11 故 m ( x )> m2 ＝ 2－ 2ln2>0 ，∴ l ′(x )>0 在 0，2 上恒成立，1 1 1 ∴ l ( x ) 在 0，2 上为增函数，∴ l ( x )< l2在0，2上恒成立，1 2ln x又 l 2 ＝ 2－ 4ln2 ，故要使 a >2－x － 1恒成立，只需 a ∈[2 － 4ln2 ，＋∞ ) ，∴实数 a 的最小值为 2－4ln2.请在第 22～ 23 题中任选一题作答．x ＝ 2＋ t cos α ， 22． (10 分 ) 直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为( t 为参数 ) ，在极y ＝ 1＋ t sin α坐标系 ( 与直角坐标系xOy取同样的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴) 中，圆 C的方程为ρ＝6cosθ.(1) 求圆C的直角坐标方程；(2)设圆 C与直线 l 交于点 A， B，若点 P的坐标为(2,1)，求| PA|＋| PB|的最小值．解(1) 由ρ＝ 6cos θ得ρ2＝ 6ρ cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y2＝6 ，即 (x－3) 2＋y2x＝9.(2)将直线 l的参数方程代入圆 C的直角坐标方程，得t 2＋2(sinα －cosα) t －7＝0.由＝ 4(sinα－ cos α ) 2＋4×7＞ 0，故可设t1，t2是上述方程的两根，因此 t 1＋ t 2＝2(cosα －sinα)， t 1t 2＝－7，又由直线过点(2,1) ，故联合参数的几何意义得| PA| ＋ | PB| ＝ | t1| ＋ | t2| ＝ | t1－t2| ＝ 4 sin α － cosα2＋28＝ 32－ 4sin2 α ≥27，当sin2 α＝ 1 时取等号．因此 | PA| ＋ | PB| 的最小值为 2 7.23． (10 分 ) 设函数f ( x) ＝ |2 x－a| ＋ | x＋a|( a>0) ．(1)当 a＝1时，求 f ( x)的最小值；(2)若对于 x 的不等式 f ( x)<5x∈[1,2]上有解，务实数 a 的取值范围．＋ a 在x解(1) 当a＝ 1 时，1113 f ( x)＝|2 x－1|＋| x＋1|＝ x－＋ x－＋| x＋1|≥0＋ x－－ x＋1＝，2222 1当且仅当 x＝2时，取等号．(2) 当x∈[1,2]55555时， f ( x)< x＋ a? |2 x－ a|＋ x＋ a<x＋ a? | a－2x|< x－ x? 3x－ x<a<x＋ x，因为55x∈[1,2]时 3x－x的最小值为－2，x＋x的最大值为6，因此－2<a<6，又因为a>0，因此0<a<6.。

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．综合检测(二)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知1－b i1＋2i ＝a ＋i (a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．4C ．－10D ．102．(2020·宜昌调研)下列说法中，正确的是( ) A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．命题“存在x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“对任意的x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件3．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2 (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝12n －1C ．a n ＝12n －1D ．a n ＝13n－14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．85．现有2门不同的考试要安排在连续的5天之内进行，每天最多考一门，且不能连续两天有考试，则不同的安排方案有( ) A ．6种 B ．8种 C ．12种D ．16种6．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( ) A.9π4 B.94π C.4π9D.49π7．如果执行下面的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a n ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a n 的和 B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a n 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a n 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a n 中最小的数和最大的数8．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为l ，面积为S ，则其内切圆半径r ＝2Sl”类比可得“若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径r＝3VS ”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a ，b ，则其外接圆半径r ＝a 2＋b 22”；类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a 、b 、c ，则其外接球半径r ＝a 2＋b 2＋c 23”，这两位同学类比得出的结论( ) A ．两人都对 B ．甲错、乙对 C ．甲对、乙错D ．两人都错9．设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”：x 1]x *a ))的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分10．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)．关于函数f (x )＝(e x )*1e x 的性质，有如下说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为偶函数；③函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0]． 其中所有正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．311．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 展开式中x 2项的系数为( ) A ．11 B ．20 C ．15D ．1612．(2020·延安模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎝⎛⎭⎫13，12∪⎝⎛⎭⎫12，1第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．用黑白两种颜色的正方形地砖依照图中的规律拼成若干图形，则按此规律第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．14．若m ＝ʃ20(2x －e x )d x ，则“a ＝m ＋e 2－214”是“函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点”的________条件(从“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中选填)． 15．如图，在△OAB 中，C 为OA 上的一点，且OC →＝23OA →，D 是BC 的中点，过点A 的直线l ∥OD ，P 是直线l 上的动点，若OP →＝λ1OB →＋λ2OC →，则λ1－λ2＝______.16．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的离心率为1＋52，圆C 是以坐标原点O 为圆心，实轴为直径的圆．过双曲线第一象限内的任一点P (x 0，y 0)作圆C 的两条切线，其切点分别为A ，B .若直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M ，N 两点，则b 22|OM |2－a 22|ON |2的值为______．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2020·福州质检)如图，函数f (x )＝3sin x 2·cos x 2＋cos 2x2＋m 的图象过点⎝⎛⎭⎫5π6，0.(1)求实数m 的值及f (x )的单调递增区间；(2)设y ＝f (x )的图象与x 轴、y 轴及直线x ＝t ⎝⎛⎭⎫0<t <2π3所围成的曲边四边形的面积为S ，求S 关于t 的函数S (t )的解析式．18.(12分)(2020·淄博模考)中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)．进入总决赛的甲、乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，假设每场比赛的结果互相独立．现已赛完两场，乙队以2∶0暂时领先． (1)求甲队获得这次比赛胜利的概率；(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和均值E (X )．19．(12分)(2020·珠海摸底)在边长为4 cm 的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，M ，N 分别为AB ，CF 的中点，现沿AE ，AF ，EF 折叠，使B ，C ，D 三点重合，构成一个三棱锥．(1)请判断MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； (2)证明：AB ⊥平面BEF ； (3)求二面角M —EF —B 的余弦值．20．(12分) 已知公比为q 的等比数列{a n }是递减数列，且满足a 1＋a 2＋a 3＝139，a 1a 2a 3＝127.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{(2n －1)·a n }的前n 项和T n ；(3)若b n ＝n 3n －1·a n ＋32 (n ∈N *)，证明：1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1≥435.21.(12分)若函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x －2x .(1)求函数φ(x )＝g (x )－kf (x )(k >0)的单调区间；(2)若对所有的x ∈[e ，＋∞)，都有xf (x )≥ax －a 成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)(2020·广州普通高中毕业班综合测试)已知椭圆C 1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线C 2：x 22－y 2＝1的顶点，直线x ＋2y ＝0与椭圆C 1交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(－2，1)，点P 是椭圆C 1上异于点A ，B 的任意一点，点Q 满足AQ →·AP →＝0，BQ →·BP →＝0，且A ，B ，Q 三点不共线． (1)求椭圆C 1的方程； (2)求点Q 的轨迹方程；(3)求△ABQ 面积的最大值及此时点Q 的坐标．综合检测(二)1．A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9．D [∵x 1]x *a )＝(x ＋a )2－(x －a )2＝2ax ， 则P (x,2ax )． 设P (x 1，y 1)，即⎩⎨⎧x 1＝x ，y 1＝2ax ，消去x 得y 21＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)． 故点P 的轨迹为抛物线的一部分．]10．C [由定义的运算知，f (x )＝(e x )*1e x ＝e x ·1e x ＋e x *0＋1e x *0＝1＋e x ＋1e x ，①f (x )＝1＋e x ＋1e x ≥1＋2e x ·1e x ＝3，当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号，∴f (x )的最小值为3，故①正确； ②∵f (－x )＝1＋e －x ＋1e－x ＝1＋1e x ＋e x＝f (x )， ∴f (x )为偶函数，故②正确；③f ′(x )＝e x－1e x ＝e 2x －1e x ，当x ≤0时，f ′(x )＝e 2x －1e x ≤0，∴f (x )在(－∞，0]上单调递减，故③错误．故正确说法的个数是2.]11．C [因为函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|表示数轴上的点到－2和4之间的距离， 易知其最小值为4－(－2)＝6，即n ＝6， 此时展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1x)r ＝C r 6x 6－2r (－1)r ， 由6－2r ＝2，得r ＝2，所以T 3＝C 26x 2(－1)2＝15x 2，即x 2项的系数为15.]12．D [6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称．不妨设P 在第一象限，|PF 1|>|PF 2|，当|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c 时，|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2c ，即2c >2a －2c ，解得e ＝c a >12.因为e <1，所以12<e <1.当|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c 时，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝2a －2c ，即2a －2c >2c ，且2c ＋2c >2a －2c ，解得13<e <12.综上可得13<e <12或12<e <1，故选D.] 13．503 503603 14.充分不必要 15.－3216.5＋14解析 由题知P 、A 、O 、B 四点共圆，其方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝14(x 20＋y 20)，又圆C 的方程为x 2＋y 2＝a 2，两式作差，得公共弦AB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝a 2，分别令x ＝0，y ＝0，得|ON |＝a 2y 0，|OM |＝a 2x 0.又点P (x 0，y 0)在双曲线上，故x 20a 2－y 20b 2＝1，即b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2.又e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522，所以b 2a 2＝1＋52.故b 22|OM |2－a 22|ON |2＝b 22a 4x 20－a 22a 4y 20＝b 2x 20－a 2y 202a 4＝b 22a 2＝1＋54.17．解 (1)f (x )＝3sin x 2cos x 2＋cos 2x2＋m＝32sin x ＋12cos x ＋12＋m＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋12＋m . 因为f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫5π6，0，所以sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋π6＋12＋m ＝0，解得m ＝－12. 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由－π2＋2k π≤x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π，k ∈Z . (2)由(1)得f (x )＝32sin x ＋12cos x . 所以S ＝ʃt 0⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－32cos x ＋12sin x t 0＝⎝⎛⎭⎫－32cos t ＋12sin t －⎝⎛⎭⎫－32cos 0＋12sin 0＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3＋32. 所以S (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3＋32 ⎝⎛⎭⎫0<t <2π3. 18．解 (1)设甲队获胜为事件A ，则甲队获胜包括甲队以4∶2获胜和甲队以4∶3获胜两种情况．设甲队以4∶2获胜为事件A 1， 则P (A 1)＝⎝⎛⎭⎫234＝1681；设甲队以4∶3获胜为事件A 2， 则P (A 2)＝C 14×13×⎝⎛⎭⎫233×23＝64243， 则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝1681＋64243＝112243.(2)随机变量X 可能的取值为4,5,6,7. P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫132＝19.P (X ＝5)＝C 12×13×23×13＝427.P(X＝6)＝C13×13×⎝⎛⎭⎫232×13＋⎝⎛⎭⎫234＝2881.P(X＝7)＝C14×13×⎝⎛⎭⎫233＝3281，则X的分布列为X 4567P1942728813281E(X)＝4×19＋5×427＋6×2881＋7×3281＝48881.19．(1)解MN∥平面AEF.证明：由题意可知点M，N在折叠前后都分别是AB，CF的中点(折叠后B，C两点重合)，所以MN∥AF.因为⎩⎪⎨⎪⎧MN⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，MN∥AF，所以MN∥平面AEF.(2)证明由题意可知AB⊥BE的关系在折叠前后都没有改变．因为在折叠前AD⊥DF，由于折叠后AD与AB重合，点D与B重合，所以AB⊥BF.因为⎩⎪⎨⎪⎧AB⊥BE，AB⊥BF，BE⊂平面BEF，BF⊂平面BEF，BE∩BF＝B，所以AB⊥平面BEF.(3)解记EF的中点为G，连接ME，MF，BG，MG.因为BE＝BF，ME＝MF，所以BG⊥EF且MG⊥EF，所以∠MGB是二面角M—EF—B的平面角．因为AB⊥平面BEF，所以∠MBG＝90°.在△BEF中，BG＝2，由于MB ＝2，所以MG ＝MB 2＋BG 2＝6，于是cos ∠MGB ＝BG MG ＝26＝33. 所以二面角M —EF —B 的余弦值为33. 20．(1)解 由a 1a 2a 3＝127及等比数列性质得a 32＝127，即a 2＝13，由a 1＋a 2＋a 3＝139，得a 1＋a 3＝109， 由⎩⎨⎧ a 2＝13，a 1＋a 3＝109得⎩⎨⎧ a 1q ＝13，a 1＋a 1q 2＝109，∴1＋q 2q ＝103，即3q 2－10q ＋3＝0， 解得q ＝3，或q ＝13. ∵{a n }是递减数列，故q ＝3舍去， ∴q ＝13，由a 2＝13，得a 1＝1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1 (n ∈N *)．(2)解 由(1)知(2n －1)·a n ＝2n －13n －1， ∴T n ＝1＋33＋532＋…＋2n －13n －1，① 13T n ＝13＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②得：23T n ＝1＋23＋232＋233＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋2⎝⎛⎭⎫13＋132＋133＋…＋13n －1－2n －13n ＝1＋2·13⎝⎛⎭⎫1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ， ∴T n ＝3－n ＋13n －1.(3)证明 ∵b n ＝n 3n －1·a n ＋32(n ∈N *) ＝n ＋32＝2n ＋32， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝25·27＋27·29＋…＋22n ＋3·22n ＋5＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15－17＋⎝⎛⎭⎫17－19＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋3－12n ＋5 ＝2⎝⎛⎭⎫15－12n ＋5. ∵n ≥1，15－12n ＋5≥15－17＝235， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1≥435. 21．解 (1)函数φ(x )＝x －2x－k ln x 的定义域为(0，＋∞)． φ′(x )＝1＋2x 2－k x ＝x 2－kx ＋2x 2， 记函数h (x )＝x 2－kx ＋2，其判别式Δ＝k 2－8.①当Δ＝k 2－8≤0，即0<k ≤22时，h (x )≥0恒成立，∴φ′(x )≥0在(0，＋∞)恒成立，φ(x )在区间(0，＋∞)上递增，②当Δ＝k 2－8>0即k >22时，方程h (x )＝0有两个不等的实根x 1＝k －k 2－82>0，x 2＝k ＋k 2－82>0. 若x 1<x <x 2，则h (x )<0，∴φ′(x )<0，∴φ(x )在区间(x 1，x 2)上递减；若x >x 2或0<x <x 1，则h (x )>0，∴φ′(x )>0，∴φ(x )在区间(0，x 1)和(x 2，＋∞)上递增．综上可知：当0<k ≤22时，φ(x )的递增区间为(0，＋∞)；当k >22时，φ(x )的递增区间为(0，k －k 2－82)和(k ＋k 2－82，＋∞)，递减区间为(k －k 2－82，k ＋k 2－82)．(2)∵x ≥e ，∴x ln x ≥ax －a ⇔a ≤x ln x x －1. 令p (x )＝x ln x x －1，x ∈[e ，＋∞)，则p ′(x )＝x －ln x －1(x －1)2. ∵当x ≥e 时，(x －ln x －1)′＝1－1x>0， ∴函数y ＝x －ln x －1在[e ，＋∞)上是增函数，∴x －ln x －1≥e －ln e －1＝e －2>0，p ′(x )>0，∴p (x )在[e ，＋∞)上是增函数，∴p (x )的最小值为p (e)＝e e －1，∴a ≤e e －1. 22．解 (1)∵双曲线C 2：x 22－y 2＝1的顶点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴椭圆C 1的两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)．设椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)， ∵椭圆C 1过点A (－2，1)，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，得a ＝2.∴b 2＝a 2－(2)2＝2.∴椭圆C 1的方程为x 24＋y 22＝1. (2)设点Q (x ，y )，点P (x 1，y 1)，由A (－2，1)及椭圆C 1关于原点对称可得B (2，－1)， ∴AQ →＝(x ＋2，y －1)，AP →＝(x 1＋2，y 1－1)，BQ →＝(x －2，y ＋1)，BP →＝(x 1－2，y 1＋1)．由AQ →·AP →＝0，得(x ＋2)(x 1＋2)＋(y －1)(y 1－1)＝0，即(x ＋2)(x 1＋2)＝－(y －1)(y 1－1)．①同理，由BQ →·BP →＝0，得(x －2)(x 1－2)＝－(y ＋1)(y 1＋1)．②①×②，得(x 2－2)(x 21－2)＝(y 2－1)(y 21－1)．③由于点P 在椭圆C 1上，则x 214＋y 212＝1，得x 21＝4－2y 21， 代入③式，得－2(y 21－1)(x 2－2)＝(y 2－1)(y 21－1)．当y 21－1≠0时，有2x 2＋y 2＝5，当y 21－1＝0时，点P (－2，－1)或P (2，1)，此时点Q 对应的坐标分别为(2，1)或(－2，－1)，其坐标也满足方程2x 2＋y 2＝5.当点P 与点A 重合时，即点P (－2，1)，由②得y ＝2x －3.解方程组⎩⎨⎧2x 2＋y 2＝5，y ＝2x －3，得点Q 的坐标为(2，－1)或⎝⎛⎭⎫22，－2. 同理，当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为(－2，1)或⎝⎛⎭⎫－22，2. ∴点Q 的轨迹方程为2x 2＋y 2＝5，除去四个点(2，－1)，⎝⎛⎭⎫22，－2，(－2，1)，⎝⎛⎭⎫－22，2. (3)点Q 到直线AB ：x ＋2y ＝0的距离为|x ＋2y |3. △ABQ 的面积为S ＝12(2＋2)2＋(－1－1)2·|x ＋2y |3＝|x ＋2y |＝x 2＋2y 2＋22xy . 而22xy ＝2×(2x )×⎝⎛⎭⎫y 2≤4x 2＋y 22(当且仅当2x ＝y 2时等号成立)， ∴S ＝x 2＋2y 2＋22xy ≤ x 2＋2y 2＋4x 2＋y 22 ＝ 5x 2＋52y 2＝522(当且仅当2x ＝y 2时，等号成立)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝y 2，2x 2＋y 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－22，y ＝－2.∴△ABQ 的面积的最大值为522，此时，点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫22，2或⎝⎛⎭⎫－22，－2.。

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二次教学质量测试理科数学一、 单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设集合A={x|x 2﹣6x+8＜0}，B={x|2＜2x ＜8}，则A ∩B=（ ）A ．{x|1＜x ＜4} B.{x|1＜x ＜3} C.{x|2＜x ＜3} D.{x|3＜x ＜4} 2. cos17°sin43°+sin163°sin47°=( )A ．12 B ．一12C D3.下列说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是：“对任意x ∈R, 均有x 2＋x ＋1＜0”D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题 4.已知125a -=，3ln 2,log 2b c ==，则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>5. 若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α=（ ）A ．34B ．34- C ．35- D ．356. 在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c7. 方程lg 82x x =-的根(,1)x k k ∈+，k Z ∈，则k =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8.函数xxy ln =的图象大致为（ ） 9.曲线sin x y x e =+在0=x 处的切线方程是( )A ．330x y -+=B ．220x y -+=C ．210x y -+=D ．310x y -+= 10.把函数5sin(2)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数的图象向右平移3π个单位，得到图象的解析式为（ ） A ．5cos y x = B ．5cos 4y x = C ．5cos y x =- D ．5cos 4y x =- 11. 钝角三角形ABC 的面积是，AB=1，BC=，则AC=（ ）A ． 5B ．C ．2 D ．1 12. 已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足(1)1f =，且对于任意的0>x ，x x f <')(恒成立，则不等式2121)(2+<x x f 的解集为（ ） A ．)1,(-∞ B ．),1(+∞ C ．)1,1(- D ．),1()1,(+∞⋃--∞二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

阶段复习检测(二) 三角函数、解三角形[对应学生用书P 302] (时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·贵州安顺月考)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π2B ．2π3C ．πD ．2πC [∵函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∵ω＝2，∴T ＝π.]2．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A ． 12B ．1C ．3D ．2C [∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝3.]3．(2019·安徽阜阳模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝14，则cos 2α的值是( )A ．78B ．－78C ．89D ．－89B [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝14，∴cos α＝14，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.]4．(2019·湖南怀化联考)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α等于( )A ． 43B ． 34C ．－34D ．－43D [因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0. 又cos α＝15x ＝xx 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.] 5．已知cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，则sin 2α＝( ) A ．－13B ．13C ．－23D ．23B [∵cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝13，∴sin 2α＝13.] 6．(2019·山东泰安统考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝( )A ．－π6B ． π6C ．－π3D ． π3D [由图可知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，故ω＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，所以2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，故φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3.]7．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A ． 13B ．3C ．6D ．9C [由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3 (n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.]8．(2019·广东佛山检测)若f (x )＝sin(2x ＋θ)，则“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件B [若f (x )的图象关于x ＝π3对称，则2×π3＋θ＝π2＋k π，解得θ＝－π6＋k π，k ∈Z ，此时θ＝－π6不一定成立，反之成立，即“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的必要不充分条件．]9．(2018·广西柳州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则角C 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6A[∵a 2＋b 2＝2c 2≥2ab ，(当且仅当a ＝b 时等号成立)，即c 2≥ab ，∴由余弦定理可得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝c 22ab ≥c 22c 2＝12，(当且仅当a ＝b 时等号成立)，∵C ∈(0，π)，∴C ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.] 10．(2019·安徽阜阳模拟)已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α<π4<βB ．β<π4<αC ． π4<α<βD ． π4<β<αB [∵α为锐角，sin α－cos α＝16，∴α>π4. 又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．cos 2165°－sin 215°＝__________.32 [cos 2165°－sin 215°＝cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32.]12．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知a ＝5，b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C 的大小是__________.2π3[∵3sin A ＝5sin B ，∴由正弦定理可得：3a ＝5b ， 又∵a ＝5，b ＋c ＝2a ，∴b ＝3，c ＝7， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝52＋32－722×5×3＝－12，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.]13．(2018·福建泉州期末)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin 2α＝12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝__________.32 [由1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－sin2α＝－12，∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34， ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝32.]14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝6，b ＝2，B ＝45°，tan A ·tan C ＞1，则角C的大小为__________.75° [△ABC 中，∵a ＝6，b ＝2，B ＝45°，tan A ·tan C ＞1，∴A 、C 都是锐角，由正弦定理可得2sin B＝222＝6sin A ，∴sin A ＝32，∴A ＝60°.故C ＝180°－A －B ＝75°.] 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(12分)(2018·东北三省四市二模)已知f (α)＝cos α 1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α(1)当α为第二象限角时，化简f (α)；(2)当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，求f (α)的最大值．解 (1)当α为第二象限角时，sin α＞0，cos α＜0，f (α)＝cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α＝cos α 1－sin α21－sin 2α＋sin α1－cos α21－cos 2α＝cos α·1－sin α|cos α|＋sin α·1－cos α|sin α|＝sin α－1＋1－cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4.(2)当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，由(1)可得f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，那么α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤22，1，∴f (α)的最大值为2.16．(12分)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)． (1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解 (1)因为y ＝a ＋2cos 2x是偶函数，所以g (x )＝cos(2x ＋θ)为奇函数，而θ∈(0，π)，故θ＝π2，所以f (x )＝－(a ＋2cos 2x )sin 2x ，代入⎝ ⎛⎭⎪⎫π4， 0得a ＝－1. 所以a ＝－1，θ＝π2. (2)f (x )＝－(－1＋2cos 2x )sin 2x ＝－cos 2x sin 2x＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，故sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， π，所以cos α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.17．(12分)(2018·安徽合肥二模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且(a ＋c )2＝b 2＋3ac . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，且sin B ＋sin(C －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积． 解 (1)∵(a ＋c )2＝b 2＋3ac ，∴可得：a 2＋c 2－b 2＝ac ， ∴由余弦定理可得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac2ac ＝12， ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵sin B ＋sin(C －A )＝2sin 2A ， ∴sin(C ＋A )＋sin(C －A )＝2sin 2A ，∴sin C cos A ＋cos C sin A ＋sin C cos A －cos C sin A ＝4sin A cos A ，可得：cos A (sin C －2sin A )＝0， ∴cos A ＝0，或sin C ＝2sin A ，∴当cos A ＝0时，A ＝π2，可得c ＝b tan B ＝23，可得S △ABC ＝12·b ·c ＝12×2×23＝233；当sin C ＝2sin A 时，由正弦定理知c ＝2a ，由余弦定理可得：4＝a 2＋c 2－ac ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2， 解得a ＝233，c ＝433，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×233×433×32＝233.18．(14分)(2019·福建三明测试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0， ω>0， 0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， －2.(1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )的单调递减区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12， π2时，求f (x )的值域．解 (1)由题意知，A ＝2，12T ＝π2，故T ＝π，所以ω＝2πT＝2，因为图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， －2，所以2×2π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－11π6＝2(k －1)π＋π6(k ∈Z )，又0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6， k π＋2π3，k ∈Z .(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12， π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3， 7π6，此时－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，则－1≤f (x )≤2， 即f (x )的值域为[－1,2]．。

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷理科参考答案与试题解析创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（•重庆）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A．A=B B．A∩B=∅C．A B D．B A考点：子集与真子集．专题：集合．分析：直接利用集合的运算法则求解即可．解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，3}，可得A≠B，A∩B={2，3}，B A，所以D正确．故选：D．点评：本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．2．（5分）（•重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0C．1D．6考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用等差中项求解即可．解答：解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，解得a6=0．故选：B．点评：本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．3．（5分）（•重庆）重庆市各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．23考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据中位数的定义进行求解即可．解解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，答：则中位数为，故选：B点评：本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）（•重庆）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：解“（x+2）＜0”，求出其充要条件，再和x＞1比较，从而求出答案．解答：解：由“（x+2）＜0”得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，故“x＞1”是“（x+2）＜0”的充分不必要条件，故选：B．点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）（•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A．点评：本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．6．（5分）（•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．解答：解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）=0，即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A点评：本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．7．（5分）（•重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S．解答：解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=（此时k=6），因此可填：S．故选：C．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．8．（5分）（•重庆）已知直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴．过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2B．C．6D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．解答：解：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．由于AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6，故选：C．点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相切的性质，属于基础题．9．（5分）（•重庆）若tanα=2tan，则=（）A．1B．2C．3D．4考点：三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．解答：解：tanα=2tan，则=============3．故答案为：3．点评：本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）（•重庆）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AC得，求出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于a+，即可得出结论．解答：解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AC得，∴c﹣x=，∵D到直线BC的距离小于a+，∴c﹣x=＜a+，∴＜c2﹣a2=b2，∴0＜＜1，∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．故选：A．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．（5分）（•重庆）设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=3．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：将所求利用平方差公式展开得到a2+b2，恰好为已知复数的模的平方．解答：解：因为复数a+bi（a，b∈R）的模为，所以a2+b2==3，则（a+bi）（a﹣bi）=a2+b2=3；故答案为：3．点本题考查了复数的模以及复数的乘法运算；属于基础题．评：12．（5分）（•重庆）的展开式中x8的系数是（用数字作答）．考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式中的x8的系数．解答：解：由于的展开式的通项公式为 T r+1=••，令15﹣=8，求得r=2，故开式中x8的系数是•=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．13．（5分）（•重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．解答：解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，AC=2=．故答案为：．点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．（5分）（•重庆）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=2．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用切割线定理计算CE，利用相交弦定理求出BE即可．解答：解：设CE=2x，ED=x，则∵过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，∴由切割线定理可得PA2=PC•PD，即36=3×（3+3x），∵x=3，由相交弦定理可得9BE=CE•ED，即9BE=6×3，∴BE=2．故答案为：2．点评：本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）（•重庆）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为（2，π）．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2极坐标即可．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），它的直角坐标方程为：x﹣y+2=0；曲线C的极坐标方程为，可得它的直角坐标方程为：x2﹣y2=4，x＜0．由，可得x=﹣2，y=0，交点坐标为（﹣2，0），它的极坐标为（2，π）．故答案为：（2，π）．点评：本题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化，基本知识的考查．16．（•重庆）若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=﹣6或4．考点：带绝对值的函数．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：分类讨论a与﹣1的大小关系，化简函数f（x）的解析式，利用单调性求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值等于5，求得a的值．解答：解：∵函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|，故当a＜﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6．当a=﹣1时，f（x）=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件．当a≥﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4．综上可得，a=﹣6 或a=4，故答案为：﹣6或4．点评：本题主要考查对由绝对值的函数，利用单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（•重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P（A）==．（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=个．点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．18．（13分）（•重庆）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x （Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在上的单调性．考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值．（Ⅱ）根据2x﹣∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在上的单调性．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）=sin2x﹣sin2x﹣=sin（2x﹣）﹣，故函数的周期为=π，最大值为1﹣．（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f（x）为增函数；当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．19．（13分）（•重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，，的坐标，可求平面PAD的法向量，平面PCD的法向量可取，由向量的夹角公式可得．解答：（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，∴DE⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．点评：本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题．20．（12分）（•重庆）设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（I）f′（x）=，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．对x 分类讨论：当x＜x1时；当x1＜x＜x2时；当x＞x2时．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得即可．解法二：“分离参数法”：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，利用导数研究其最大值即可．解答：解：（I）f′（x）==，∵f （x ）在x=0处取得极值，∴f ′（0）=0，解得a=0．当a=0时，f （x ）=，f ′（x ）=，∴f （1）=，f ′（1）=，∴曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为，化为：3x﹣ey=0；（II ）解法一：由（I ）可得：f ′（x ）=，令g （x ）=﹣3x 2+（6﹣a ）x+a ，由g （x ）=0，解得x 1=，x 2=． 当x ＜x 1时，g （x ）＜0，即f ′（x ）＜0，此时函数f （x ）为减函数；当x 1＜x ＜x 2时，g （x ）＞0，即f ′（x ）＞0，此时函数f （x ）为增函数；当x ＞x 2时，g （x ）＜0，即f ′（x ）＜0，此时函数f （x ）为减函数．由f （x ）在[3，+∞）上为减函数，可知：x 2=≤3，解得a ≥﹣．因此a 的取值范围为：． 解法二：由f （x ）在[3，+∞）上为减函数，∴f ′（x ）≤0，可得a ≥，在[3，+∞）上恒成立． 令u （x ）=，u ′（x ）=＜0，∴u （x ）在[3，+∞）上单调递减，∴a ≥u （3）=﹣．因此a 的取值范围为：．点评： 本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）（•重庆）在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +λa n+1+μa n 2=0（n ∈N +）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k 0∈N +，k 0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．考点：数列与不等式的综合．专题：创新题型；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析： （Ⅰ）把λ=0，μ=﹣2代入数列递推式，得到（ n ∈N +），分析a n ≠0后可得a n+1=2a n （n ∈N +q=2的等比数列．从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）把代入数列递推式，整理后可得（n ∈N ）．进一步得到=，对n=1，2，…，k 0求和后放缩可得不等式左边，进一步利用放缩法证明不等式右边．解答： （Ⅰ）解：由λ=0，μ=﹣2，有 （ n ∈N +）．若存在某个n 0∈N +，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得a 1=0，此与a 1=3∴对任意n ∈N +，a n ≠0．从而a n+1=2a n （n ∈N +），即{a n }是一个公比q=2的等比数列． 故．（Ⅱ）证明：由，数列{a n }的递推关系式变为 ，变形为：（n ∈N ）．由上式及a 1=3＞0，归纳可得3=a 1＞a 2＞…＞a n ＞a n+1＞…＞0． ∵=，∴对n=1，2，…，k 0求和得： =＞． 另一方面，由上已证的不等式知，， 得综上，2+＜＜2+．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式属难度较大的题目． 21．（12分）（•重庆）如题图，椭圆=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1（Ⅰ）若|PF 1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF 1|=|PQ|，求椭圆的离心率e ．考点：椭圆的简单性质．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|，求出a，再根据2c=|F1F2|==2，求出c，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF1|=|PF1|=4a﹣|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率．解答：解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=2++2﹣=4，故a=2，设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c=|F1F2|==2，即c=，从而b==1，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有|QF1|=4a﹣2|PF1|，又由PQ⊥PF1，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=|PF1|=4a﹣2|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，由PF2⊥PF1，知2c=|F1F2|=，因此e=====．点评：本题考查了椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于中档题．创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校。

2020届高三数学(理)第二次阶段性考试卷2020.11.06一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的中四选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为正确的选项写在答题卷上） 1．设集合},2|{},,|{2R x y y B R x x y y A x∈==∈==,则A ∩B 等于……………………… ( ) A.{|0}y y > B. {2,4} C.{(2,4),(4,16)} D. {4,16}2． “)(B A x Y ∈”是“A x ∈且B x ∈”的………………………………………………………… （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．在等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则S 15的值为……………………… （ ）A ．360B ．250C ．260D ．2704．设02x π≤≤,sin cos x x =-,则………………………………………… ( )A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤ 5．要得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只要将函数x y 2sin =的图象………………………… （ ）A.向左平移3π个单位B.向左平移6π个单位C.向右平移3π个单位D.向右平移6π个单位6．已知)2,1(=，)1,(x =，且2+与-2平行，则=x ……………………………… （ ）A ．1B ．2C ．21 D ．317．数列{}n a 的通项公式为41n a n =-，令12nn a a a b n++⋅⋅⋅+=，则数列{}n b 的前n 项的和为（ ）A ．2n B ．(2)n n + C ．(1)n n + D ．(21)n n +8．在ABC ∆中，CB CA BC BA AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆是 ……………… （ ） A ．正三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 9．函数lg ||x y=的图象大致是……………………………………………………………… （ ） A B C D 10．设函数)(x f 是奇函数，且在R 上为增函数，若0≤θ≤2π时，f （m sin θ）＋f （1—m ）＞0恒成立，则实数m 的取值范围是……………………………………………………………………………（ ） A ．（0，1）B ．（－∞，0）C ．（－∞，1）D ．)21,(-∞二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上） 11．数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-+3，则n a = 。

2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习模拟测试卷（二）（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习模拟测试卷（二）（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习模拟测试卷（二）（含解析）的全部内容。

高中学业水平考试模拟测试卷（二）(时间:90分钟满分100分）一、选择题(共15小题,每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合M＝{－1，0,1｝，N＝{0，1,2}，则M∪N＝（)A．{－1，0，1,2｝B．{－1,0，1｝C．{－1，0，2} D．｛0,1｝解析：因为集合M＝{－1,0，1}，N＝{0,1，2｝, 所以M∪N＝{－1，0,1，2}．答案：A2．“sin A＝错误!”是“A＝30°”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为sin 30°＝错误!，所以“sin A＝错误!”是“A＝30°”的必要条件;150°，390°等角的正弦值也是错误!,故“sin A＝错误!"不是“A＝30°”的充分条件．故选B.答案：B3．已知a＝（4，2)，b＝（6，y)，且a⊥b，则y的值为（)A．－12 B．－3 C．3 D．12解析：因为a＝（4，2)，b＝（6，y），且a⊥b，所以a·b＝0，即4×6＋2y＝0,解得y＝－12.故选A.答案：A4．若a〈b〈0，则下列不等式:①｜a|>|b｜;②错误!〉错误!；③错误!＋错误!>2；④a2<b2中，正确的有（)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①，根据不等式的性质，可知若a〈b<0，则|a｜〉|b｜，故正确；对于②，若a<b<0，两边同除以ab,则错误!〈错误!，即错误!<错误!，故正确；对于③，若a〈b<0，则错误!〉0，错误!〉0，根据基本不等式即可得到错误!＋错误!>2,故正确；对于④,若a<b<0，则a2〉b2，故不正确．故选C.答案：C5．已知α是第二象限角,sin α＝错误!，则cos α＝( ) A．－错误!B．－错误!C。

2020高三数学下学期模拟考试试题（二） 理本试卷共5页，满分l50分。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第I 卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足()121i z i +=-，则z =A ．25B ．35C ．5D 2． 已知集合221,116943x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则M N=A ．∅B ．()(){}4,0,3,0C ．[]3,3-D ．[]4,4-3．函数cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是 A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数4．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin 2θ的值为 A ．35 B ．45C ．15D ．15-5.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个数大于30的概率为A.25B.16 C. 13 D. 35 6．设0.13592,lg ,log 210a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是A ．b >c >aB ．a >c >bC ．b >a >cD ．a >b >c7．“m ＜0”是“函数()()2log 1f x m x x =+≥存在零点”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．163π B ．112πC ．173πD ．356π 9．已知A ，B 是圆224O x y +=：上的两个动点，522,33AB OC OA OB ==-，若M 是线段AB 的中点，则OC OM 的值为AB ．C ．2D ．310．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12……来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．右图是求大衍数列前n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入6m =，则输出的S= A ．26B ．44C ．68D ．10011．如图所示，在平面四边形ABCD中，1,2,AB BC ACD==∆为正三角形，则BCD∆面积的最大值为A．2+B C2+D1+12．已知函数()()()()22240,8f qf x ax a a x R p qf p=-->∈+=，若，则的取值范围是A. (,2-∞B．)2⎡++∞⎣C．(2-+D．2⎡-+⎣第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。