换元积分法(一) 3

常用积分换元公式换元积分法的公式

常用积分换元公式换元积分法的公式积分换元法是求解积分的一种重要方法，通过引入合适的变量替换的方式，将原积分转化为更容易求解的形式。

下面是一些常用的积分换元公式和换元积分法：1.换元公式(1)第一类换元公式：设函数u=u(x)具有一阶连续导数，则有如下公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx(2)第二类换元公式：设函数x=x(u)可导，且反函数存在，则有如下公式：∫f(x)dx = ∫f(x(u))x'(u)du(3)第三类换元公式：设函数x=x(t)，y=y(t)可导，且满足y=y(x)，则有如下公式：∫f(x,y)dx = ∫f(x(t),y(t))x'(t)dt2.常见换元积分法(1)坐标换元法：根据问题中给定的坐标关系，选择适当的新坐标，从而简化积分的计算。

常见的坐标换元法包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。

(2) 幂次换元法：对于形如∫f(x)(ax+b)^n dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为幂函数的积分。

(3) 三角换元法：对于形如∫f(x)sin(ax+b) dx或∫f(x)cos(ax+b) dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为三角函数的积分。

(4) 指数换元法：对于形如∫f(x)e^x dx的积分，可以引入变量u=e^x进行代换，从而将积分转化为指数函数的积分。

(5) 对数换元法：对于形如∫f(x)/x dx的积分，可以引入变量u=ln，x，进行代换，从而将积分转化为对数函数的积分。

(6) 倒代换法：对于形如∫f(g(x))dg(x)的积分，可以引入变量u=g(x)进行代换，然后将dg(x)用du表示，从而将积分转化为对u的积分。

(7) Weierstrass换元法：对于形如∫R(x,√(ax^2+bx+c)) dx的积分，可以引入变量u=√(ax^2+bx+c)+px+q进行代换，然后将积分转化为对u的积分。

第5章2不定积分换元积分(1)

3
例10 求 sin3 x dx.
解 sin3 x dx sin2 x sin x dx (1 cos2 x)d cos x
1 cos3 x cos x C 3
说明当被积函数是三角函数相乘并有奇次幂时，拆开奇次项去凑微分.
例11 求 sin2 x cos5 xdx.
积分： f [(x)](x)dx F[(x)d[(x)] dF[(x)
第一类换元法可表述为：
换元 ( x )u
积分
f [( x)]( x)dx f (u)duF(u) C
u ( x )还原
F[( x)] C
4
换元积分法
一、第一类换元法
例2 求 2xex2dx .
例3 求 x 1 - x2dx .
19
(1)
5
(1 3x)2 dx
2
(1
7
3x)2
C
21
(3)
1
x x
2
dx
1 ln(1 x2 ) C 2
(5) (ln x)2 dx 1x
(7)
ex x2
dx
1 ln( x)3 C 3
1
ex C
(9) dv 1 2v C 1 2v
(11)
x
2x 2
x
1
3
dx
ln x 2 x 3 C
解
tanxdx
sin cos
x x
dx
1 d cos x cos x
= - ln |cosx| + C
tanxdx = - ln |cosx| + C = ln |secx| + C
同理 cotxdx = ln |sinx| + C = - ln |cscx| + C

换元积分

t 到分子上去，使分母的次数降低.
第二节换元积分法
基本积分表的扩充
(14) sh x dx ch x C , (15) ch x dx sh x C , (16) tan x dx ln | cos x | C , (17) cot x dx ln | sin x | C , (18) sec x dx ln | sec x tan x | C , (19) csc x dx ln | csc x cot x | C ,
第第二二节节换换元元积积分分法法
第二节换元积
例例77
解
求求
ddxx xx((11 22llnn
dx
x(1 2 ln x)
xx)) ..
例10
第二节d(换ln元x)积解分法1
1 2 ln x 2
求 sin 44 xdx .
sind4(2xdlnxx)
1 cos 2x 2
1 2 ln x 第二节2 换元积
.
ta
x
2
a
t
2
t
1 d(1 a2t 2 )
1
22
x2 a2
第二节换元积分法
第二换元积分法常用的4种代换
(1) x = asin t 用于被积函数中含有 a2 x2 , (2) x = atan t 用于被积函数中含有 x2 a2 , (3) x = asec t 用于被积函数中含有 x2 a2 , (4) x 1 用于将被积函数分母中的高次因子翻
换元公式 f [(x)](x)dx f (u)du . u ( x) 证明设 F(u) 是 f (u) 的原函数，则有
如何应F用(u换) 元f公(u式) 求或 g(fx()udx)d呢u ？F(u) C .

积分的换元法

解被积函数 (2 3x)7 是一个复合函数，
可令 u 2 3x ，而 d(2 3x) 3dx ，则
(2 3x)7 dx 1 u7du 1 u8 C
3
24
1 (2 3x)8 C 24
一般，不需写出中间变量的代换过程，直接通过凑微分计算.
3.4 积分的换元法
利用基本积分公式与直接积分法，所能计算的积分非常有限，因此有必要寻找更有效的积分方法. 本节将介绍换元积分法，简称换元法.
3.4.1 不定积分的换元法
3.4.1.1 第一类换元法
cosxdx sin x C.
cos2xdx sin 2x C ?
定理3.2 设 f (u)du F(u) C , u (x) 具有连续导

cos
2
xd
(2
x)
x sin 2x C . 24
类似的可得

sin 2
xdx

x 2

sin 2x 4

C.
例3.34 计算 csc xdx.
解

csc
xdx

1 sin
x
dx

2sin
1 x cos
x
dx
22

tan
x 2
1 cos
x 2
2
d

(2 3x)7 dx

1 3
( 2 3x)7 d( 2 3x)
1 (2 3x)8 C 24
例3.23 计算
sec2
xd 3
x
解
原式 =

换元积分法(第一类换元法)

§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。

所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。

从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=，dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。

换元积分法

f (x)dx F(x) C
中的 x 换成了可微函数 j (x) . 所以说把基本积分表
中的积分变量换成可微函数 j (x) 后仍成立 .
1. 利用 dx 1 d(ax b), a, b 均为常数，且 a 0. a
例 1 求 sin(3x 2)dx.
解对照基本积分表，上式与表中 sinx dx 相似，
a
dx 1 x 2
a

dx a
1

x
2
a
arcsin x C. a
dx
x
arcsin C.
a2 x2
a
例 5 求
dx a2 x2
(a > 0 常数).
解
dx a2 x2
1 dx

a2
1

x
2
1 a
dx a
则
ln x dx x

ln xdln x

1 ln2 2
x C.
一般公式:

f
(ln
x)
dx x

f (u) d u
(u ln x) .
xdx 1 dx2. 2
则
xe x2 dx 1 e x2 dx 2 1 ex2 C
2
2
经求导验算，
即结果正确 .
1 e x2 C xe x2 .
2

例7
求

ln x x
dx.
解将被积分式中的 1 dx 因子凑微分，即 x
1 dx d(ln x). x
1

微积分不定积分__换元积分法(第一类)

例18 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 x 1 d dx = ∫ 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1− arcsin 2 2 2
2
∫
1
dx .
x x d (arcsin ) = ln arcsin + C . =∫ x 2 2 arcsin 2
1
小结常用简化技巧常用简化技巧:
§3.2 换元积分法
一、第一类换元法
问题
∫ cos 2 xdx
解决方法利用复合函数，设置中间变量. 利用复合函数，设置中间变量.
1 过程令 t = 2 x ⇒ dx = dt , 2 ③1 ①1 ②1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C= 2 sin 2 x + C .
1 例5 求 ∫ 2 dx . 2 a +x 1 1 dx = 2 ∫ 解 ∫ 2 2 a a +x
1 x 1+ a
2
dx
1 = ∫ a
1 x x 1 d = arctan + C . 2 a x a a 1+ 记住此公式 a
1 1 x dx = arctan + C ∴∫ 2 2 a a a +x
例7. 求解法1 解法
dx ∫1+ ex .
(1+ e ) −e = =∫ dx ∫ x 1+ e −ln( + ex ) +C 1 =x
x x
d(1+ ex ) dx − ∫ 1+ ex
解法2 解法
e d(1+ e ) =∫ dx = −∫ −x −x 1+ e 1+ e = −ln(1+ e−x ) +C

换元积分法

tan 2tdt (sec2t - 1)dt tan t - t C
x sect
2
1 cos t
1 cost , x
1 t arccos , x
1 原式 x - 1 - arccos C x
练习：
2、三角代换：被积函数型如→
(1) a 2 x 2 , 设x a sin t ; (3) x 2 a 2 , 设x a sect. (2) a 2 x 2 , 设x a tan t ;
例1：求 4 - x 2 dx
解：设x 2 sin t , 则 4 - x 2 4 - 4 sin 2 t
4(1 sin 2 t ) 2 cost
dx d (2 sin t ) (2 sin t)' dt 2 costdt
原式 2 cos t 2 cos tdt
2t sin 2t C x x 4 - x2 sin t , t arcsin , 又 cos t 2 2 2
解：设x 3 tan t , 则 x 2 9
dx d (3 tan t ) (3 tan t)' dt 3 sec2 tdt
原式 1 3 sec2 tdt 3 sect
sectdt
ln sect tan t C
x tan t , 3
sect
cosudu 求结果 sin u C
分析本例被积函数的特点：
sin x 2 C
1、被积函数能看做两函数的乘积; 2、其一为复合函数；
3、其二能看做复合函数的中间变量的导数。
此题的解法被称作第一换元法，又叫凑微分法。用公式表示为：

§4.2-换元积分法(第一类换元法)

§ 4.2 -换元积分法（第一类换元§ 4.2 换元积分法I 授课题目§ 4.2 换元积分法(第一类换元法)n 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分"，d (x) (x)dx.2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. 皿教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分.W 讲授内容：一、第一类换元积分法设f(u)具有原函数F(u)， f(u)du F(u) C .若u 是中间变量，u (x)，(x)可微，则根据复合函数求导法则，有所以根据不定积分的定义可得:dF( (x))dxd£du du dxf(u)乎 dxf[ (x)] (x)。

f[ (X)] (x)dx F[ (x)] C u (x)F[u] C [ f(u)du]以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有f[ (x)] (x)]dx u (x)[ f (u)du] F u C F (x) C .以上就是第一换元积分法。

从以上可以看出，虽然f[ (x)] (x)dx是一个整体记号，但是被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而上式中的(x)dx可以看成是(x)的微分，通过换兀u(X)，应用到被积表达式中就得到(x)dx du .定理1设f(u)具有原函数F(u) , u (x)可导，du (x)dx , 则f[ (x) (x)dx f(u)du F(u) C F[ (x)] C (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分g(x)dx时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx (x) u[ f(u)du] F(u) C u (x)F[ (x)] C.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积f[ (x)] (x)来.例 1 求3e3x dx角军3e3x dx e3x3dx= e3x(3x) dx，可设中间变量u 3x，du d (3x) 3dx 3dx du，1 5 1 63dx 二一(3x 2) d(3x 2)(3x 2) 3183 2x^^以^^ e 3xdxe 3x 3dxe u du e u C e 3x C .首先观察被积函数的复合函数是什么样的，看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。

高等数学A4.2-换元积分法(1)

d
x
(5)

4
dx x2
11 2x 2x
(6)
dx 4x x2

d(x 2) 4 (x 2)2
2. 求提示: 法1
法2
法3
第二节换元积分法
3.求
第二节换元积分法
解: 原式
f f
(x) ( x)

1

f
(x) f (x) f 2(x)

解：利用凑微分法 , 得
原式 = 令
第二节换元积分法
常用的几种配元形式:
(1) f (ax b)dx
(2) f (xn )xn1 dx
(3)

f
(x n
)1 x
dx

(4) f (sin x)cos xdx
(5) f (cos x)sin xdx
第二节换元积分法
万能凑幂法
(6) f (tan x)sec2 xdx
）
4. ax f (ax )dx ( )
5． csc2xf (cot2 x)dx ( )
6.

1 1+x2
f
(arctan
x)dx=（
）
第二节换元积分法
7.

1 f (arcsin x)dx ( 1-x2
)
8. sec x tan x f (sec x)dx ( )
9. f (x) f (x)dx ( )
万能凑幂法
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元
第二节换元积分法
思考与练习
1. 下列各题求积方法有何不同?

数学定积分换元积分法

∫
2
例13
sin 3 x dx = ∫ sin 2 x sin x dx ∫
1 3 = −∫ (1 − cos x) dcosx = − cosx + cos x + C . 3
2
例14
sin x ⋅ cos x dx = ∫ sin2 x ⋅ (1 − sin2 x )2 d(sin x ) ∫
2 5
1 x−2 1 1 1 +C . = ∫( − ) dx = ln 3 x +1 3 x − 2 x +1
17
x(1 − x ) dx = ∫ ( x − 1 + 1) (1 − x )6 dx 例22 ∫
6
= ∫ [(1 − x )6 − (1 − x )7 ] dx 1 1 7 8 = − (1 − x ) + (1 − x ) + C . 7 8 1 3 2 x 4 − x d x = ∫ x 2 4 − x 2 dx 2 例23 ∫ 2
= G(u) + C = G[ϕ( x)] + C .
3
常用凑微分公式：常用凑微分公式：
1 dx = d(kx + b) k
1 dx = 2 d x x
( k ≠ 0)
1 1 dx = − d 2 x x
1 2 x dx = dx 2
1 dx = d ln | x | x
sin x dx = −d cos x
= ∫ (sin2 x − 2 sin4 x + sin6 x) d(sin x)
1 3 2 5 1 7 = sin x − sin x + sin x + C . 3 5 7

第一换元积分法(一)

x
C
2
；
sin
x
； C
（5）（6）

1 d (1 x2 1 x2
1 d（ln x） ln2 x
) ln(1
1 C ln x
x2
)

C
．
；
二、第一换元积分法（凑微分法）
例1 求 sin 2xdx
解： sin
2
xdx

1 2

2 sin
2
xdx
凑微分 1
换元
2 sin 2xd(2x) 令2x u
3.3.1 第一类换元积分法
课前复习
一、基本积分公式（熟记）
二、直接积分法求不定积分的具体方法和技巧
（1）化 x 型（4）三角恒等变形
（2）先展后积（3）先约后积
（5）拆项：①假分式=整式+真分式 ②按分母的因式拆项
作业解析：P124 2题
解： (2) (3x ex 3sin x 1)dx
23
x3
(6)
x3 x
3
dx

5
x 2 dx

xdx
3
1 dx x

2
7
x2

1
x2

6
x C
72
(8)

cos2
x 2
dx

1
cos 2
xdx

1 2

dx

1 2

cos
xdx
cos 2x 2cos2 x 1
1 x 1 sin x C 22
(10)

换元积分法

第二换元积分法求不定积分时，可按以下步骤进行
例20 求解
a
x
t
例21 求解
x
t a
例22 求解
x
t a
例20—例22中的解题方法称为三角代换法或三角换元法. 一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如下情形：
补充的积分公式：
例2 求解
例3 求解
用第一换元积分法求不定积分的步骤是：
上述过程可表示为
例4 求解
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中，关键是换元，若在被积函数中
作变量代换
还需要在被积表达式中再凑出
即，也就是，这样
才能以u为积分变量作积分，也就是所求积分化为
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微分”法.
一般的说，若积分
不易计算可以作适当的
变量代换
，把原积分化为的形源自式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后，还要
将
代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理5.3
证由复合函数的求导法则以及反函数的求导公式，有
这就说明了
是的f(x) 原函数.
例18 求解
例19 求解
的积分，可分两种情况：
例14 求解
例15 求解
还需说明的是，计算某些积分时，由于选择不同的变量代换或不同的凑微分形成，所以求出的不定积分在形式上也可能不尽相同，但是它们之间至多只相差一个常数项，属于同一个原函数族.
例16 求解法1 解法2
解法3
二、第二类换元积分法
例17 求解
一、第一类换元法
例1
分析

常用积分换元公式

2第一类换元积分法部分常用的凑微分公式：（1）） dx 1d( ax b) a（2）x ndx 1d( x n 1)n 1（ 3）1dx d ( x ) （4） 1 dx1 d( )2 x x x（5）） 1dx d(ln x) x（6）e xdx d (e x)（7）） cos xdx d (sinx)（8） sin xdx d (cos x)常用的凑微分公式积分类型换元公式1. f (ax b)dx 1 f ( ax b)d (ax b) a u ax b2. f ( x2a)xdx1 f ( x22 a)d ( x2a)u x2a3. f ( x n) xn1dx1f (x n ) dxnn u x n4.f ( x n) 1dx1 f (x n ) 1 dx nu xnx n x n5.f ( 第一x)1 dx x2 f ( x )d xux 6.1 1 1 11 f ( ) 换元 x2 dx f ( )d ( ) uxx x x7. f (ln x) 积分1dxf x(ln x)d (ln x)u ln x8. f (e x) 法e x dxf (e x )de xu ex9.f (sin x) cosxdx f (sin x)d sin x u sin xf (cos x) sin xdxf (cosx)d cosx u cos xf (tan x) 1 cos 2dx f (tan x) d tan xxu tan x10.sin mxcosnxdx利用积化和差sin mxsin nxdx 公式进行变换cosmxcosnxdx11.sin m xdx 用公式1 sin2 x cos2 xcos m xdx （m 为奇数） 1 cos2 x sin 2 x变换12.sin m xdx 化为倍角的三角函cos m xdx （m 为偶数）数降幂后再积分13. f (tan x)sec2xdx f (tan x)d tan x u tan x14.f (arctanx)1 1dx fx2(arctanx) d (arctanx)u arctan xf (arcsin x)11 x2dx f (arcsin x)d (arcsin x)u arcsin x第二类换元积分法1. 当被积函数中含有1) a2x2 ，可令x a sint 或x a cost ；2) a2x2 ，可令x a tant ；3) x2a2 ，可令x asect .通过三角代换化掉根式。

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常用积分换元公式换元积分法的公式

第5章2不定积分换元积分(1)

换元积分

积分的换元法

换元积分法(第一类换元法)

换元积分法

微积分不定积分__换元积分法(第一类)

换元积分法

§4.2-换元积分法(第一类换元法)

高等数学A4.2-换元积分法(1)

数学定积分换元积分法

第一换元积分法(一)

换元积分法

常用积分换元公式

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