江苏省宜兴市周铁学区2016届九年级上学期期中考试数学试题

xx学校xx学年xx学期xx 试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:当时，二次根式有意义．试题2:在实数范围内分解因式:．试题3:化简：；= ．试题4:计算：= ．= .试题5:若关于的一元二次方程的一个根是0,则．试题6:若是一元二次方程的两根，则的值是.试题7:已知一组数据x1，x2，x 3，x4，x 5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x 5-2的平均数是________，方差是________.试题8:请写出一个关于x的一元二次方程，使该方程有一根为2，另一根在－3与0之间，你编写的方程为_________________.试题9:若数据2，x，4，8的极差为10，则x= .试题10:已知：如图，ΔABC中，AD平分∠BAC,BD⊥AD于D,点E的BC边的中点，AB=8,AC=12, 则DE长为 .试题11:梯形ABCD的一条对角线将该梯形分成面积比为1：5的两个三角形，则梯形ABCD的中位线MN，将该梯形分成的两个梯形的面积比为 .试题12:小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为．试题13:小明作业本上有以下四道题目：①②③④其中做错的题是（）A、① B. ② C. ③ D.④试题14:若最简二次根式和是同类二次根式，则a，b的值为（）A．a=0,b=2 B．a=2,b=0 C．a=－1 ,b=1 D．a=1,b=－2试题15:顺次连接四边形各边中点所得的四边形是矩形（）A.平行四边行B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形试题16:若关于x的一元二次方程有实数根，则k应满足( )A. B. C. D.试题17:如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．B．Ｃ．Ｄ．９cm试题18:如图,正方形ABCD的面积为12,△ABC是等边三角形,点E在正方形ABCD内,对角线AC上有一点P使PE+PD的和最小,这个最小值为( )A. B.C.3D.试题19:y2-2y-4=0(公式法)试题20:2x2―3x―5=0(配方法)试题21:(x+1)(x+8)=-12试题22:试题23:试题24:如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。

OPABy初中数学试卷马鸣风萧萧2014-2015学年度周铁学区第一学期期中试卷 九年级数学（考试时间120分钟，试卷满分130分）一、 选择题。

（本大题共l0小题．每小题3分．共30分。

每题只有一个正确答案） 1．方程2x =4的解是 （ ）A ．2B ． -2C . ±2D . 42．要求设计4幅既是轴对称图形又是中心对称图形的图案，小明设计完成了下列4幅图案，其中符合要求的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．—元二次方程x 2－2x －4＝0的两个实根为x 1和x 2，则下列结论正确的是（ ）A 、x 1+x 2＝2B 、x 1+x 2＝－4C 、x 1·x 2＝－2D 、x 1·x 2＝44．已知方程x 2-3x+k=0有一个根是-1，则该方程的另一根是（ ）A ．1B ．0C ．-4D ．4 5．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，若 ∠APB=60°，PO=2，则⊙O 的半径等于（ ） A 、2 B 、1 C 、2 D 、3（第5题图）6．关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是 （ ）A 、有实数根B 、有两个不相等的实数根C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根7. 已知圆锥的底面半径为3cm ，母线为5cm ，则圆锥的侧面积是 ( ) A ．5πcm 2 B ．10 cm 2 C ．15 cm 2 D ．15π cm 28. 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份 平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是 （ ） A 、50(1+x)2=182 B 、50+50(1+x)+50(1+x)2=182 C 、50(1+2x)＝182 D 、50+50(1+x)+50(1+2x)=182OABCCG DEFO 9. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）A ．点（0，3）B ．点（2，3）C ．点（5，1）D ．点(6，1)10. 如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF ，其中C ．D 的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x 轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A ．B ．C ．D ．E 、F 中，会过点（50，2）的是 ( )A. 点AB. 点BC.点 CD. 点D二、填空题(本题本大题共8小题，每小题2分，共l6分。

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A. x2−1=0B. x2+2y+1=0C. x2−2=(x+3)2D. x2+3x−5=02.一元二次方程x2-x+10=0的根的情况是（）A. 有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 不能确定3.某厂1月份生产原料a吨，以后每个月比前一个月增产x%，3月份生产原料的吨数是（）A. a(1+x)2B. a(1+x%)2C. a+a⋅x%D. a+a⋅(x%)24.如图，在△ABC中，DE∥BC，ADDB=12，DE=4，则BC的长是（）A. 8B. 10C. 11D. 125.在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为 2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是（）A. 20mB. 16mC. 18mD. 15m6.下列四个命题：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径必定垂直于这条弦；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A. 35∘B. 27.5∘C. 30∘D. 25∘8.如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（）A. 1cmB. 2cmC. 8cmD. 2cm或8cm9.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为（）A. (−2,3)B. (−3,2)C. (3,−2)D. (2,−3)10.如图，在平面直角坐标系中，A（0，23），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为（）A. 3−32B. 3+32C. 43+6D. 43−6二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.方程x2-2x=0的根是______．12.已知a2=b5，则b−aa的值为______．13.在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，则A、B两地的实际距离为______km．14.相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于______厘米．15.如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm），则该圆的半径为______cm．16.如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC=6，那么线段GE的长为______．17.如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为______．18.如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为______．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.解方程（1）（x-2）2-9=0（2）x2-2x-8=0（3）2x2+3x-1=0（4）（x-3）2+2x（x-3）=020.已知，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（-2，2）、B（-1，0）、C（0，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格内画出所有符合条件的△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为2：1；（3）求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比．21.关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．22.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=63，AF=43，求AE的长．23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．24.如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m．（1）求灯杆AB的高度；（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长．25.百货商店销售某种冰箱，每台进价2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；每台售价每降低10元时，平均每天能多售出1台．（销售利润=销售价-进价）（1）如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的销售利润为______元，平均每天可销售冰箱______台；（用含x的代数式表示）（2）商店想要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5600元，且尽可能地清空冰箱库存，每台冰箱的定价应为多少元？26.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为______；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．27.如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADAE=n．（1）求证：AE=GE；（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示ADAB的值；（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．28.如图1，直线y=-43x+8，与x轴、y轴分别交于点A、C，以AC为对角线作矩形OABC，点P、Q分别为射线OC、射线AC上的动点，且有AQ=2CP，连结PQ，设点P的坐标为P（0，t）．（1）求点B的坐标．（2）若t=1时，连接BQ，求△ABQ的面积．（3）如图2，以PQ为直径作⊙I，记⊙I与射线AC的另一个交点为E．①若PEPQ=35，求此时t的值．②若圆心I在△ABC内部（不包含边上），则此时t的取值范围为______．（直接写出答案）答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、是一元二次方程，故A正确；B、是二元二次方程，故B错误；C、是一元一次方程，故C错误；D、是分式方程，故D错误；故选：A．根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.【答案】C【解析】解：∵a=1，b=-1，c=10，△=b2-4ac=（-1）2-4×1×10=1-40=-39＜0所以方程没有实数根．故选：C．确定a、b、c计算△，利用根的判别式直接判断．本题考查了一元二次方程根的判别式．根的判别式：△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等实数根，当△=0时，方程有两个相等实数根，当△＜0时，方程无实数根．3.【答案】B【解析】解：∵1月份产量为a吨，以后每个月比上一个月增产x%，∴2月份的产量是a（1+x%），则3月份产量是a（1+x%）2．故选：B．1月到3月发生了两次变化，其增长率相同，故由1月份的产量表示出2月份的产量，进而表示出3月份的产量．本题考查了代数式的列法，涉及的知识是一个增长率问题，关键是看清发生了两次变化．4.【答案】D【解析】解：∵，∴=，∵在△ABC中，DE∥BC，∴=，∵DE=4，∴BC=3DE=12．故选：D．由在△ABC中，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可得DE：BC=AD：AB，又由，DE=4，即可求得BC的长．此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握比例线段的对应关系．5.【答案】C【解析】解：∵，∴，解得旗杆的高度==18m．故选：C．根据同一时刻物高与影长成比例，列出比例式再代入数据计算即可．本题考查相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题．6.【答案】D【解析】解：不共线的三点确定一个圆，所以（1）错误；平分弦（非直径）的直径必定垂直于这条弦，所以（2）错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以（3）错误；在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以（4）错误．故选：D．根据确定圆的条件对（1）进行判断；根据垂径定理的推论对（2）进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对（3）进行判断；根据等弧的定义对（4）进行判断．本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．7.【答案】A【解析】解：∵∠ADC=∠A+∠B，∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=25°，∴∠AOC=2∠B=50°，∵∠ADC=∠AOC+∠C，∴∠C=85°-50°=35°，故选：A．由∠ADC=∠A+∠B，∠A=60°，∠ADC=85°，推出∠B=25°，两点∠AOC=2∠B=50°，再根据∠ADC=∠AOC+∠C，即可求出∠C；本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8.【答案】D【解析】解：连接OB，∵AB⊥OC，∴AH=BH，∴BH=AB=×8=4，在Rt△BOH中，OB=OC=5，∴OH==3，又∵将直线l通过平移使直线l与⊙O相切，∴直线l垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点，∴当向下平移时，直线l平移的距离=5-3=2（cm）；当向上平移时，直线l平移的距离=5+3=8（cm）．故选：D．根据垂径定理得到BH=AB=×8=4，再利用勾股定理计算出OH，然后利用切线和平移的性质分类讨论：当向下平移时，直线l平移的距离为半径减去OH；当向上平移时，直线l平移的距离为半径加上OH．本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了平移的性质、切线的性质以及勾股定理．9.【答案】A【解析】解：过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），∴BC=4，AC=3，则AB=5，∵I是△ABC的内心，∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，∴IF=1，故I到BC的距离也为1，则AE=1，故IE=3-1=2，OE=4-1=3，则I（3，2），∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，∴I的对应点I'的坐标为：（-2，3）．故选：A．直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出I点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标．此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出其内切圆半径是解题关键．10.【答案】C【解析】解：作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，∵⊙A与△BCD的边BD所在直线相切，∴AH=OB=t，∵△BCD为等边三角形，∴∠DBC=60°，∴∠OBE=60°，∴∠OEB=30°，在Rt△OBE中，OE=OB=t，在Rt△AHE中，AE=2AH=2t，∵A（0，2），∴OA=2，∴2+t=2t，∴t=4+6．故选：C．作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，利用切线的性质得AH=OB=t，再利用等边三角形的性质得∠DBC=60°，则∠OBE=60°，所以OE=OB=t，AE=2AH=2t，从而得到2+t=2t，然后解关于t的方程即可．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了等边三角形的性质．11.【答案】x1=0，x2=2【解析】解：因式分解得x（x-2）=0，解得x1=0，x2=2．故答案为x1=0，x2=2．因为x2-2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便．本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．12.【答案】32【解析】解：两边都乘以5，得b=．==，故答案为：．根据等式的性质，可用a表示b，根据分式的性质，可得答案．本题考查了比例的性质，利用等式得出b=是解题关键．13.【答案】1.5【解析】解：∵比例尺为1：5000，量得两地的距离是20厘米，∴，∴A、B两地的实际距离=150000cm=1.5km．故答案为：1.5．由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．此题考查了比例尺的性质．注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一．14.【答案】（105-10）【解析】解：设所求边长为x，由题意，得=，解得x=（10-10）cm．故答案为（10-10）．由黄金矩形的定义，可知黄金矩形的宽与长之比为，设所求边长为x，代入已知数据即可得出答案．本题主要考查了黄金分割点的概念，需要熟记黄金比的值，难度适中．15.【答案】134【解析】解：作OE垂直AB于E，交⊙O于D，设OB=r，根据垂径定理，BE=AB=×6=3cm，根据题意列方程得：（r-2）2+9=r2，解得r=，∴该圆的半径为cm．根据垂径定理得BE的长，再根据勾股定理列方程求解即可．本题考查了垂径定理的应用及勾股定理，根据题意得出BC=3是解答此题的关键．16.【答案】2【解析】解：∵点G是△ABC重心，BC=6，∴CD=BC=3，=2，∵GE∥BC，∴△AEG∽△ACD，∴==，∴GE=2．故答案为：2．由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形重心的性质．解题时注意：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．17.【答案】9202【解析】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2∵BF=2FC，BC=AD=3，∴BF=AH=2，FC=HD=1，∴AF===2，∵OH∥AE，∴==，∴OH=AE=，∴OF=FH-OH=2-=，∵AE∥FO，∴△AME∽FMO，∴==，∴AM=AF=，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴==，∴AN=AF=，∴MN=AN-AM=-=．故答案为：．首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AF的长，根据相似三角形的性质，求得AN的长，即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键．18.【答案】213−2【解析】解：如图：取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．由以上作图可知，BG⊥EC于G．PD+PG=PD′+PG=D′G由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小．∵D′C′=4，OC′=6∴D′O=∴D′G=2∴PD+PG的最小值为2故答案为：2作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短．19.【答案】解：（1）（x-2）2-9=0（x-2）2=9x-2=±3x=±3+2x1=5，x2=-1；（2）x2-2x-8=0（x-4）（x+2）=0，x1=4，x2=-2；（3）2x2+3x-1=0△=32-4×2×（-1）=17＞0x=−3±174x1=−3+174，x2=−3−174；（4）（x-3）2+2x（x-3）=0（x-3）（x-3+2x）=0（x-3）（3x-3）=0x1=3，x2=1．【解析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用公式法解方程；（4）利用因式分解法解方程．本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法，因式分解法，公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．20.【答案】解（1）如图：A1（2，2），B1（1，0），C1（0，1）；（2）如图：A1（4，4），B1（2，0），C1（0，2）或A1（-4，-4），B1（-2，0），C1（0，-2）；（3）∵△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为2：1，∴△A1B1C1与△A2B2C2的面积比=（12）2=14．【解析】（1）由△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1，根据轴对称的性质，可求得△A1B1C1各点的坐标，继而画出△A1B1C1；（2）由△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为2：1；根据位似的性质，可求得△A2B2C2各点的坐标，继而画出△A2B2C2；（3）由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△A1B1C1与△A2B2C2的面积比．此题考查了位似变换以及轴对称变换．注意关于原点位似的图形有两个，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．21.【答案】（1）证明：∵在方程x2-（k+3）x+2k+2=0中，△=[-（k+3）]2-4×1×（2k+2）=k2-2k+1=（k-1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x2-（k+3）x+2k+2=（x-2）（x-k-1）=0，∴x1=2，x2=k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范围为k＜0．【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k-1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=2、x2=k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式．22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∠AFD=∠C∠ADF=∠DEC∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴ADDE=AFCD，∴DE=AD⋅CDAF=63×843=12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=DE2−AD2=122−(63)2=6．【解析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．23.【答案】解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=12AC，∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD，∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴BCCD=CDCE，∴8CD=CD2，∴CD=4，在Rt△BCD中，BD=BC2+CD2=45同理：△CFD∽△BCD，∴CFBC=CDBD，∴CF8=445，∴CF=855，∴AC=2AF=1655．【解析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC=8是解本题的关键．24.【答案】解：（1）∵∠AFB=∠CFD，∠ABF=∠CDF，∴△ABF∽△CDF，∴ABCD=BFDF，∴AB=BFDF•CD=9+33×1.6=6.4．∴灯杆AB的高度为6.4米．（2）将CD往墙移动7米到C′D′，作射线AC′交MN于点P，延长AP交地面BN于点Q，如图所示．∵∠AQB=∠C′QD′，∠ABQ=∠C′D′Q=90°，∴△ABQ∽△C′D′Q，∴D′QBQ=C′D′AB，即D′QD′Q+16=1.66.4，∴D′Q=163．同理，可得出△PQN∽△AQB，∴PNAB=QNBQ，即PN6.4=163−9+7163+9+7，∴PN=1．∴小丽的影子不能完全落在地面上，小丽落在墙上的影长为1米．【解析】（1）由∠AFB=∠CFD、∠ABF=∠CDF可得出△ABF∽△CDF，根据相似三角形的性质可求出AB的长度，此题得解；（2）将CD往墙移动7米到C′D′，作射线AC′交MN于点P，延长AP交地面BN于点Q，由∠AQB=∠C′QD′、∠ABQ=∠C′D′Q=90°可得出△ABQ∽△C′D′Q，根据相似三角形的性质可求出D′Q的长度，同理可得出△PQN∽△AQB，再利用相似三角形的性质可求出PN的长度，此题得解．本题考查了相似三角形的应用以及中心投影，解题的关键是：（1）由△ABF∽△CDF利用相似三角形的性质求出AB的长度；（2）由△PQN∽△AQB 利用相似三角形的性质求出PN的长度．25.【答案】（400-x）（8+x10）【解析】解：（1）解：（1）销售1台的利润：2900-2500=400；降价后销售的数量：8+，降价后销售的利润：400-x；故答案是：（400-x）；（8+）．（2）依题意，可列方程：（400-x）（8+）=5600解方程得：x1=120，x2=200因为要尽可能地清空冰箱库存，所以x=120舍去答：应定价2700元．（1）销售利润=销售价-进价；降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”；（2）根据每台的盈利×销售的件数=5600元，即可列方程求解．此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一台冰箱的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每台的盈利×销售的件数=5600元是解决问题的关键．26.【答案】60°【解析】解：（1）∵点A（2，0），B（0，2），∴OA=2，OB=2，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==4，∴∠ABO=30°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°，∵AB∥CD，∴∠DCB=180°-60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°，故答案为：60°；（2）如图2，∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E．∴D（4，5）或（-2，5）．∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=-x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，∵⊙O的半径为，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=OQ'=2，∴P'D=3-2=1，∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=-x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=-x，如图4，∵⊙O的半径为，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=OQ'=2，∴BD=3-2=1，∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，-1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，-5），∴当-5≤m≤-1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述，m的取值范围是1≤m≤5或-5≤m≤-1．（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（-2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=-x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；②先作直线y=-x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=-x，如图4，同理可得结论．本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q 的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．27.【答案】解：设AE=a，则AD=na，（1）由对称知，AE=FE，∴∠EAF=∠EFA，∵GF⊥AF，∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，∴∠FGA=∠EFG，∴EG=EF，∴AE=EG；（2）如图1，当点F落在AC上时，由对称知，BE⊥AF，∴∠ABE+∠BAC=90°，∵∠DAC+∠BAC=90°，∴∠ABE=∠DAC，∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE∽△DAC，∴ABDA=AEDC，∵AB=DC，∴AB2=AD•AE=na2，∵AB＞0，∴AB=n a，∴ADAB=nana=n；（3）若AD=4AB，则AB=n4a，如图2，当点F落在线段BC上时，EF=AE=AB=a，此时n4a=a，∴n=4，∴当点F落在矩形内部时，n＞4，∵点F落在矩形内部，点G在AD上，∴∠FCG＜∠BCD，∴∠FCG＜90°，①当∠CFG=90°时，如图3，则点F落在AC上，由（2）得，ADAB=n，∴n=16，②当∠CGF=90°时，则∠CGD+∠AGF=90°，∵∠FAG+∠AGF=90°，∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE∽△DGC，∴ABDG=AEDC，∴AB•DC=DG•AE，∵DG=AD-AE-EG=na-2a=（n-2）a，∴（n4a）2=（n-2）a•a，∴n=8+42或n=8-42（由于n＞4，所以舍），∴当n=16或n=8+42时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．【解析】（1）直接利用等角的余角相等得出∠FGA=∠EFG，即可得出EG=EF，代换即可；（2）先判断出△ABE∽△DAC，得出比例式用AB=DC代换化简即可得出结论；（3）先判断出只有∠CFG=90°或∠CGF=90°，分两种情况建立方程求解即可．此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出EG=EF，解（2）的关键是判断出△ABE∽△DAC，解（3）的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题．28.【答案】8＜t＜14413【解析】解：（1）将x=0代入y=-x+8，得y=8，∴C（0，8），将y=0代入y=-x+8，得x=6，∴A（6，0），∵四边形OABC是矩形，∴B（6，8）；（2）如图1，作QH⊥AB于H，当t=1时，CP=7，AQ=14，易证AC=10，sin∠BAC=，∴QH=AQsin∠BAC=，∴S△ABQ=；（3）分类：Ⅰ、如图2，当P在线段OC上，Q在线段AC上时，即3＜＜8时，易证=sin∠EQP=sin∠ACO=，∴∠EQP=∠ACO，∴CP=PQ，∵PE⊥CQ，∴CE=EQ，∴2×（8-t）=10-（16-2t），解得t1=，Ⅱ、当Q与C重合，P在OC上时，如图3，可得16-2t=10，解得t2=3，Ⅲ、当Q与C重合，P在OC延长线上时，如图4，可得2t-16=10，解得t3=13，Ⅳ、当P在OC延长线上，Q在AC延长线上时，如图5，同Ⅰ，可得∠Q=∠PCQ，∴CP=PQ，∴（2t-16-10）=（t-8），解得t4=33，∴t=或3或13或33；②当圆心I在边AC上时，如图6，P与C重合，Q与A重合，∴OP=t=8，当圆心I在边BC上时，设⊙I与x轴交于F，连接FQ，∵PQ是直径，∴QF⊥x轴，∴FQ∥OA，CP=CF=t-8，∴△CQF∽△ACO，∴=，即=，∴t=，∴若圆心I在△ABC内部（不包含边上），则此时t的取值范围为8＜t＜，故答案为：8＜t＜．（1）将x=0代入y=-x+8，得y=8，将y=0代入y=-x+8，得x=6，于是得到结论；（2）如图1，作QH⊥AB于H，当t=1时，CP=7，AQ=14，解直角三角形得到QH=AQsin∠BAC=，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）Ⅰ、如图2，当P在线段OC上，Q在线段AC上时，解直角三角形得到解得t1=，Ⅱ、当Q与C重合，P在OC上时，如图3，解得t2=3，Ⅲ、当Q与C 重合，P在OC延长线上时，如图4，解得t3=13，Ⅳ、当P在OC延长线上，Q 在AC延长线上时，如图5，同Ⅰ，解得t4=33；②当圆心I在边AC上时，如图6，P与C重合，Q与A重合，求得OP=t=8，当圆心I在边BC上时，设⊙I与x轴交于F，连接FQ，根据相似三角形的性质得到t=，于是得到结论．本题考查了矩形的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．。

江苏省宜兴市屺亭中学九年级上学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1. sin30°的值是 ( ▲ )A ．1B ．22C ．32D ． 122．已知1x 、2x 是一元二次方程0142=+-x x 的两个根，则21x x ⋅等于（▲ ） A. 4- B. 1- C. 1 D. 4 3. 下列一元二次方程中，无实数根的方程是（ ▲ ）A. 022=+xB.022=--x xC. 022=-+x xD.02=+x x 4.若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ▲ ）5.下列说法正确的是( ▲ )A.经过三点可以作一个圆B.三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C.等弧所对的圆心角相等D.相等的圆心角所对的弧相等6.已知⊙O 的半径是6cm ，点O 到同一平面内直线L 的距离为5cm ，则直线L 与⊙O 的位置关系是（ ▲ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断7. 如图，AB 是⊙0的直径，点D 在AB 的延长线上，过点D 作⊙0的切线，切点为C ，若25A =∠，则D =∠ ( ) A ． 60° B ．65° C ．50°D ．40°8. 如图，在平地MN 上用一块10m 长的木板AB 搭了一个斜坡，两根支柱AC =7.5m ，AD =6m ，其中AC ⊥AB ，AD ⊥MN ，则斜坡AB 的坡度是( ▲ )A. 3:5B. 4:5C. 3:4D. 4:39. 如图，点D 为△ABC 的边AB 上的一点，连结CD ，过点B 作BE//AC 交CD 的延长线于点E ，且∠ACD=∠DBC ，9:4:=∆∆BED ADC S S ，AB =10，则AC 的长为（▲ ）．C. 6D.1360第9题图CABD第10题图CD 第8题图第7题图A10. 已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝45°，AD ＝23－2．动点P 在折线BA －AD －DC 上移动，若存在∠BPC ＝120°，且这样的P 点恰好出现3次，则梯形ABCD 的面积是（ ▲ ） A ．23－1B ．23－2C ．2 3D ．23＋1二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分.）11. 在1：500000的无锡市地图上，新建的地铁线估计长4.5cm ，那么等地铁造好后实际长约为 ▲ 千米。

周铁学区2011--2012学年度第一学期初三数学期中试卷本试卷满分100分，考试时间为90分钟． 2011.11一、细心填一填（本大题共有12小题，15空，每空2分，共30分．） 1.当x 时，二次根式x -2有意义．2.在实数范围内分解因式:=-292x ．3.化简：=-21；0)a >= ． 4.计算：= ．((7633= .5.若关于x 的一元二次方程04)2(22=-+++a x x a 的一个根是0,则=a ．6.若21,x x 是一元二次方程0132=--x x 的两根，则2111x x +的值是 . 7.已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是13 ，那么另一组数据3x 1-2，3x 2-2，3x 3-2，3x 4-2，3x 5-2的平均数是________，方差是________. 8.请写出一个关于x 的一元二次方程，使该方程有一根为2， 另一根在－3与0之间，你编写的方程为_________________. 9.若数据2，x ，4，8的极差为10，则x= . 10.已知：如图，ΔABC 中，AD 平分∠BAC,BD⊥AD 于D, 点E 的BC 边的中点，AB=8,AC=12, 则DE 长为 .11.梯形ABCD 的一条对角线将该梯形分成面积比为1：5的两个三角形，则梯形ABCD 的中位线MN ，将该梯形分成的两个梯形的面积比为 .12.小明尝试着将矩形纸片ABCD （如图①，AD>CD ）沿过A 点的直线折叠，使得B 点落在AD 边上的点F 处，折痕为AE （如图②）；再沿过D 点的直线折叠，使得C 点落在DA 边上的点N 处，E 点落在AE 边上的点M 处，折痕为DG （如图③）．如果第二次折叠后，M 点正好在∠NDG 的平分线上，那么矩形ABCD 长与宽的比值为 ．二、精心选一选（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．）D F ①②D③13.24a ==③==④其中做错的题是 （ ） A 、① B. ② C. ③ D.④14.若最简二次根式ba ，b 的值为（ ）A ．a=0,b=2B ．a=2,b=0C ．a=－1 ,b=1D ．a=1,b=－215.顺次连接四边形各边中点所得的四边形是矩形（ ）A.平行四边行B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形 16.若关于x 的一元二次方程02)1(2=++-x k x k 有实数根，则k 应满足( ) A.87k ≤B. 87k ≤≠且k 1C.807k k ≤≥且D.8017k k ≤≤≠且 17.如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）A．(3cm + BＤ．９cm 18.如图,正方形ABCD 的面积为12,△ABC 是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,对角线AC 上有一点P 使PE+PD 的和最小,这个最小值为( )A.C.3D. 6三、认真答一答（本大题共有5小题，共52分．） 19.按要求解下列方程（每题4分，共12分．）(1)y 2-2y-4=0(公式法) (2)2x 2―3x ―5=0(配方法) (3)(x+1)(x+8)=-1220. 计算（每题4分，共8分）第5题 第6题(1)3322323--+ (2)0)13(27132--+-21.(本题5分)已知关于x 的方程22(1)2(1)0a x bx c x -+++=有两个相等的实数根,试证明以a 、b 、c 为三边的三角形是直角三角形。

江苏省无锡市宜兴市XX中学2016-2017学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)一、细心选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x+2y=1 B．x2+5=0 C．x2+=8 D．x（x+3）=x2﹣12．⊙O的半径为4，线段OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．不能确定3．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于（）A．B．2 C．1 D．4．下列说法中，正确的是（）A．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等B．三点确定一个圆C．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线D．任何三角形有且只有一个内切圆5．如图，在长为100m，宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m，则可列方程为（）A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x﹣x2=76446．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2014年4月份用电量的调查结果：那么关于这10户居民用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A．中位数是55 B．众数是60 C．平均数是54 D．方差是297．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）8．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“至和”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“至美”方程，如果一个一元二次方程既是“至和”方程又是“至美”方程我们称之为“和美方程”．对于“和美方程”，下列结论正确的是（）A．方程两根之和等于0 B．方程有一根等于0C．方程有两个相等的实数根D．方程两根之积等于0二、认真填一填（本大题共10小题，每空2分，共24分）9．已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则c=，另一根为．10．已知关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k=．11．一个三角形的两边长分别为4cm和7cm，第三边长是一元二次方程x2﹣10x+21=0的实数根，则三角形的周长是cm．12．已知一个样本﹣1，0，2，x，3，它们的平均数是2，则x=，方差S2=．13．四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD=．14．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为．15．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（填度数）．16．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为cm．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径作⊙C．若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是．18．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则BC+AB的值．三、精心做一做（本大题共有7小题，共52分）19．（12分）解方程（1）（2x﹣1）2﹣9=0（2）x2﹣2x﹣4=0（3）x2﹣4x+1=0（用配方法）（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0．20．（6分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，求k的值．21．（6分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）．（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）（2）若的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求所在圆的半径．22．（6分）2013年，无锡市蠡湖新城某楼盘以每平方米12000元的均价对外销售．由于楼盘滞销，房地产商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年该楼盘的均价为每平方米9720元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016年该楼盘的均价仍然下调相同的百分率，李强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金30万元，可在银行贷款50万元，李强的愿望能否实现？（房价按照均价计算，不考虑其它因素．）23．（6分）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．24．（8分）人民商场销售某种商品，统计发现：每件盈利45元时，平均每天可销售30件．经调查发现，该商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）假如现在库存量太大，部门经理想尽快减少库存，又想销售该商品日盈利达到1750元，请你帮忙思考，该降价多少？（2）假如部门经理想销售该商品的日盈利达到最大，请你帮忙思考，又该如何降价？25．（8分）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B 以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于5cm2？（2）如图2，当t=秒时，试判断△DPQ的形状，并说明理由；（3）如图3，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；②若⊙Q与四边形DPQC有三个公共点，请直接写出t的取值范围．2016-2017学年江苏省无锡市宜兴市ＸＸ中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、细心选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x+2y=1 B．x2+5=0 C．x2+=8 D．x（x+3）=x2﹣1【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、方程x+2y=1是二元一次方程，故本选项错误；B、方程x2+5=0是一元二次方程，故本选项正确；C、方程x2+=8是分式方程，故本选项错误；D、方程x（x+3）=x2是一元一次方程，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．2．⊙O的半径为4，线段OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．不能确定【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵OP=4，∴OP等于⊙O的半径，∴点P与⊙O上．故选C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．3．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于（）A．B．2 C．1 D．【考点】切线的性质．【分析】由PA、PB是⊙O的两条切线，得到PO为角APB的平分线，则由∠APB的度数求出∠APO的度数，且OA垂直于PA，即三角形OAP为直角三角形，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，由PO的长即可求出OA的长即为⊙O的半径．【解答】解：∵PA、PB⊙O的两条切线，∠APB=60°，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，且OA⊥AP，即△AOP为直角三角形，又PO=2，∴OA=PO=1，则⊙O的半径等于1．故选C．【点评】此题考查学生掌握切线长定理即经过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等且这点与圆心的连线平分两切线的夹角以及直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．4．下列说法中，正确的是（）A．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等B．三点确定一个圆C．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线D．任何三角形有且只有一个内切圆【考点】三角形的内切圆与内心；确定圆的条件；切线的判定．【分析】根据内心的性质、确定圆的条件、切线的判定方法、三角形内切圆的性质即可一一判断．【解答】解：A、错误．三角形的内心到三角形的三边距离相等，故错误．B、错误．不在同一直线的三点确定一个圆，故错误．C、错误．经过半径的外端垂直于半径的直线一定是这个圆的切线，故错误．D、正确．故选D．【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、确定圆的条件、切线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识，学会利用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．如图，在长为100m，宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m，则可列方程为（）A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x﹣x2=7644【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．【解答】解：设道路的宽为x m，则可列方程为（100﹣x）（80﹣x）=7644，故选：C．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．6．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2014年4月份用电量的调查结果：那么关于这10户居民用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A．中位数是55 B．众数是60 C．平均数是54 D．方差是29【考点】众数；加权平均数；中位数；方差．【分析】根据众数、平均数、众数和方差的概念，求出该组数据的众数、平均数、众数和方差，然后选择错误选项．【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：40，50，50，50，55，55，60，60，60，60，则众数为：60，中位数为：55，平均数为：=54，方差为：=39．故选D．【点评】本题考查了众数、中位数、平均数和方差的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．7．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理．【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可．【解答】解：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是所在圆的圆心，∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），∵只有∠O′BD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BO′D≌△FBE时，∴EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选：C．【点评】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF=BD=2，即得出F点的坐标是解决问题的关键．8．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“至和”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“至美”方程，如果一个一元二次方程既是“至和”方程又是“至美”方程我们称之为“和美方程”．对于“和美方程”，下列结论正确的是（）A．方程两根之和等于0 B．方程有一根等于0C．方程有两个相等的实数根D．方程两根之积等于0【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式．【分析】根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可．【解答】解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，∴1+（﹣1）=0，即只有选项A正确；选项C、B、D都错误．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．二、认真填一填（本大题共10小题，每空2分，共24分）9．已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则c=8，另一根为4．【考点】根与系数的关系．【分析】直接根据根与系数的关系即可得出结论．【解答】解：设方程的另一根为α，则α+2=6，2α=c，解得α=4，c=8．故答案为：8，4．【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．10．已知关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k=±2．【考点】根的判别式．【分析】满足△=b2﹣4ac=0，求出k的值．【解答】解：∵一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，且△=b2﹣4ac=k2﹣4×1×1=k2﹣4∴k2﹣4=0．即k=±2．故答案为：±2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．11．一个三角形的两边长分别为4cm和7cm，第三边长是一元二次方程x2﹣10x+21=0的实数根，则三角形的周长是18cm．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】利用因式分解法求出方程的解确定出第三边，求出周长即可．【解答】解：方程x2﹣10x+21=0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣7）=0，解得：x=3或x=7，当x=3时，三角形三边分别为3cm，4cm，7cm，3+4=7，不合题意，舍去；当x=7时，三角形三边为4cm，7cm，7cm，此时周长为4+7+7=18cm，故答案为：18【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．已知一个样本﹣1，0，2，x，3，它们的平均数是2，则x=6，方差S2=6．【考点】方差；算术平均数．【分析】先由平均数公式求得x的值，再由方差公式求解．【解答】解：∵平均数=（﹣1+2+3+x+0）÷5=2∴﹣1+2+3+x+0=10，x=6∴方差S2=[（﹣1﹣2）2+（0﹣2）2+（2﹣2）2+（6﹣2）2+（3﹣2）2]÷5=6．故答案为6，6【点评】本题考查方差的定义．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．13．四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD=130°或50°．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】先根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到∠BOD=100°，再根据圆周角定理得∠BCD=∠BOD=50°，然后根据圆内接四边形的性质求解．【解答】解：如图∵弧BAD的度数为140°，∴∠BOD=140°，∴∠BCD=∠BOD=50°，∴∠BAD=180°﹣∠ACD=130°．同理，当点A是优弧上时，∠BAD=50°故答案为：130°或50°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的对边和相等．14．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为61°．【考点】圆周角定理．【分析】首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是58°，利用圆周角定理求解即可求得∠BCD的度数，继而求得答案．【解答】解：连接OD，∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，∴点A，B，C，D共圆，∵点D对应的刻度是58°，∴∠BOD=58°，∴∠BCD=∠BOD=29°，∴∠ACD=90°﹣∠BCD=61°．故答案为：61°．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．15．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=130°（填度数）．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】运用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB的度数，再根据点O是△ABC的内切圆的圆心，得出∠OBC+∠OCB=50°，从而得出答案．【解答】解：∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣80°=100°，∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴BO，CO分别为∠ABC，∠BCA的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=50°，∴∠BOC=130°．故答案为：130°．【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，能求出∠OBC+∠OCB的度数是解此题的关键．16．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为1cm．【考点】圆锥的计算．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得2πr=，解得r=1cm．故答案为：1．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径作⊙C．若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是＜r≤3．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】作CD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，由AC＞BC，可得以C为圆心，r=4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点；若⊙C与斜边AB有两个公共点，即可得出r的取值范围．【解答】解：作CD⊥AB于D，如图所示：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∵△ABC的面积=AB•CD=AC•BC，∴CD==，即圆心C到AB的距离d=，∵AC＜BC，∴以C为圆心，r=4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，∴若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是＜r≤3．故答案为：＜r≤3．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．18．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则BC+AB的值2+4．【考点】三角形的内切圆与内心；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】设圆0与BC的切点为M，连接OM，由切线的性质可知OM⊥BC，然后证明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．设AB=a，BC=a+2，AC=2a，从而可求得∠ACB=30°，从而得到，故此可求得AB=，则BC=+3．【解答】解：如图所示：设圆0与BC的切点为M，连接OM．∵BC是圆O的切线，M为切点，∴OM⊥BC．∴∠OMG=∠GCD=90°．由翻折的性质可知：OG=DG．∵OG⊥GD，∴∠OGM+∠DGC=90°．又∵∠MOG+∠OGM=90°，∴∠MOG=∠DGC．在△OMG和△GCD中，，∴△OMG≌△GCD．∴OM=GC=1．CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．∵AB=CD，∴BC﹣AB=2．设AB=a，则BC=a+2．∵圆O是△ABC的内切圆，∴AC=AB+BC﹣2r．∴AC=2a．∴．∴∠ACB=30°．∴，即．解得：a=．∴AB=，BC=AB+2=．所有AB+BC=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查的是切线的性质、翻折的性质、全等三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数值，求得∠ACB=30°是解题得关键．三、精心做一做（本大题共有7小题，共52分）19．（12分）（2016秋•宜兴市期中）解方程（1）（2x﹣1）2﹣9=0（2）x2﹣2x﹣4=0（3）x2﹣4x+1=0（用配方法）（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（3）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）（2x﹣1）2﹣9=0，（2x﹣1）2=9，2x﹣1=±3，x1=2，x2=﹣1；（2）x2﹣2x﹣4=0b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）=20，x=，x1=1+，x2=1﹣；（3）x2﹣4x+1=0，x2﹣4x=﹣1，x2﹣4x+4=﹣1+4，（x﹣2）2=3，x﹣2=，x1=2+，x2=2﹣；（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0，（x﹣3）（x﹣3+2x）=0，x﹣3=0，x﹣3+2x=0，x1=3，x2=1．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．20．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，求k的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）根据根与系数的关系得出△＞0，代入求出即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2+1，根据x1+x2=﹣x1•x2得出﹣（2k+1）=﹣（k2+1），求出方程的解，再根据（1）的范围确定即可．【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得：k＞，即实数k的取值范围是k＞；（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2+1，又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），解得：k1=0，k2=2，∵k＞，∴k只能是2．【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较好，难度适中．21．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）．（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）（2）若的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求所在圆的半径．【考点】作图—复杂作图；勾股定理；垂径定理的应用．【分析】（1）连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为的中点得到OC⊥AB，AD=BD=AB=40，则CD=20，设⊙O的半径为r，在Rt△OAD中利用勾股定理得到r2=（r﹣20）2+402，然后解方程即可．【解答】解：（1）如图1，点O为所求；（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，∵C为的中点，∴OC⊥AB，∴AD=BD=AB=40，设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD﹣CD=r﹣20，在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+AD2，∴r2=（r﹣20）2+402，解得r=50，即所在圆的半径是50m．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理和垂径定理．22．2013年，无锡市蠡湖新城某楼盘以每平方米12000元的均价对外销售．由于楼盘滞销，房地产商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年该楼盘的均价为每平方米9720元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016年该楼盘的均价仍然下调相同的百分率，李强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金30万元，可在银行贷款50万元，李强的愿望能否实现？（房价按照均价计算，不考虑其它因素．）【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）如果下调的百分率相同，求出2016年的房价，进而确定出100平方米的总房款，即可做出判断．【解答】解（1）设平均每年下调的百分率x，由题意得：12000（1﹣x）2=9720，（1﹣x）2=0.81．∴1﹣x=0.9或1﹣x=﹣0.9，∴x1=0.1，x2=1.9（舍去），答：平均每年下调的百分率10%．（2）由（1）得：9720×（1﹣10%）=8748（元），8748×100=874800（元），500000+300000=800000（元），∵874800＞800000，∴李强的愿望不能实现．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，基本数量关系：预订每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格．23．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【分析】（1）由Rt △ABC 中，∠C=90°，⊙O 切BC 于D ，易证得AC ∥OD ，继而证得AD 平分∠CAB ．（2）如图，连接ED ，根据（1）中AC ∥OD 和菱形的判定与性质得到四边形AEDO 是菱形，则△AEM ≌△DMO ，则图中阴影部分的面积=扇形EOD 的面积．【解答】（1）证明：∵⊙O 切BC 于D ，∴OD ⊥BC ，∵AC ⊥BC ，∴AC ∥OD ，∴∠CAD=∠ADO ，∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ADO ，∴∠OAD=∠CAD ，即AD 平分∠CAB ；（2）设EO 与AD 交于点M ，连接ED ．∵∠BAC=60°，OA=OE ，∴△AEO 是等边三角形，∴AE=OA ，∠AOE=60°，∴AE=AO=OD ，又由（1）知，AC ∥OD 即AE ∥OD ，∴四边形AEDO 是菱形，则△AEM ≌△DMO ，∠EOD=60°，∴S △AEM =S △DMO ，∴S 阴影=S 扇形EOD ==．【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．24．人民商场销售某种商品，统计发现：每件盈利45元时，平均每天可销售30件．经调查发现，该商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）假如现在库存量太大，部门经理想尽快减少库存，又想销售该商品日盈利达到1750元，请你帮忙思考，该降价多少？（2）假如部门经理想销售该商品的日盈利达到最大，请你帮忙思考，又该如何降价？【考点】一元二次方程的应用；配方法的应用．【分析】（1）设每件应降价x元，则每件盈利（45﹣x）元，每天可以售出30+2x，所以此时商场平均每天要盈利（45﹣x）（30+2x）元，根据商场平均每天要盈利1750元，为等量关系列出方程求解即可．（2）设商场平均每天盈利y元，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件应降价x元之间的函数关系为：y=（45﹣x）（30+2x），用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少．【解答】解：（1）设每件降价x元，则每天可以售出（30+2x）件．根据题意得：（45﹣x）（30+2x）=1750，解得x1=10，x2=20．因为要减少库存，所以x=20．答：降价20元可使销售利润达到1750元．（2）设商场平均每天盈利y元，则商场平均每天盈利y元与每件应降价x元之间的函数关系为：y=（45﹣x）（30+2x）=﹣2（x﹣15）2+1800．∴当x=15时日盈利达到最大，为1800元．【点评】此题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值．25．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm 的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于5cm2？（2）如图2，当t=秒时，试判断△DPQ的形状，并说明理由；（3）如图3，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；②若⊙Q与四边形DPQC有三个公共点，请直接写出t的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）由题意可知PA=t，BQ=2t，从而得到PB=6﹣t，BQ=2t，然后根据△PQB的面积=5cm2列方程求解即可；（2）由t=，可求得AP=，QB=3，PB=，CQ=9，由勾股定理可证明DQ2+PQ2=PD2，由勾股定理的逆定理可知△DPQ为直角三角形；（3）①当t=0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，此时圆Q与PD相切；当⊙Q 正好与四边形DPQC的DC边相切时，由圆的性质可知QC=QP，然后依据勾股定理列方程求解即可；②先求得⊙Q与四边形DPQC有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围．【解答】解：（1）∵当运动时间为t秒时，PA=t，BQ=2t，∴PB=6﹣t，BQ=2t．∵△PBQ的面积等于5cm2，∴PB•BQ=（6﹣t）•2t．∴=5．解得：t1=1，t2=5．答：当t为1秒或5秒时，△PBQ的面积等于5cm2．（2）△DPQ的形状是直角三角形．理由：∵当t=秒时，AP=，QB=3，∴PB=6﹣=，CQ=12﹣3=9．在Rt△PDA中，由勾股定理可知：PD2=DA2+PA2=122+（）2=．同理：在Rt△PBQ和Rt△DCQ中由勾股定理可得：DQ2=117，PQ2=．∵117+=，∴DQ2+PQ2=PD2．所以△DPQ的形状是直角三角形．（3）①（Ⅰ）由题意可知圆Q与AB、BC不相切．（Ⅱ）如图1所示：当t=0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．∵∠DAB=90°，∴∠DPQ=90°．∴DP⊥PQ．∴DP为圆Q的切线．（Ⅲ）当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图2所示．由题意可知：PB=6﹣t，BQ=2t，PQ=CQ=12﹣2t．在Rt△PQB中，由勾股定理可知：PQ2=PB2+QB2，即（6﹣t）2+（2t）2=（12﹣2t）2．解得：t1=﹣18+12，t2=﹣18﹣12（舍去）．综上所述可知当t=0或t=﹣18+12时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切．②（Ⅰ）当t=0时，如图1所示：⊙Q与四边形DPQC有两个公共点；（Ⅱ）如图3所示：当圆Q经过点D时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点．由题意可知：PB=6﹣t，BQ=2t，CQ=12﹣2t，DC=6．由勾股定理可知：DQ2=DC2+CQ2=62+（12﹣2t）2，PQ2=PB2+QB2=（6﹣t）2+（2t）2．∵DQ=PQ，∴DQ2=PQ2，即62+（12﹣2t）2=（6﹣t）2+（2t）2．整理得：t2+36t﹣144=0．解得：t1=6﹣18，t2=﹣6﹣18（舍去）．∴当0＜t＜6﹣18时，⊙Q与四边形DPQC有三个公共点．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、勾股定理以及勾股定理的逆定理，根据题意画出图形，求得⊙Q与四边形DPQC有两个公共点时t 的值，从而确定出⊙Q与四边形DPQC有三个公共点时t的取值范围是解题的关键．。

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程为一元二次方程的是（）A. x−2=0B. x2−2x−3C. x2−4x−1=0D. xy+1=02.在平面直角坐标系中，以O为圆心的圆过点A（0，-4），则点B（-2，3）与⊙O的位置关系是（）A. 在圆内B. 在圆外C. 在圆上D. 无法确定3.则这名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（）A. 4，3B. 4，3.5C. 3.5，3.5D. 3.5，44.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）A. 10B. 8C. 5D. 35.下列命题中，其中真命题的个数是（）①平面上三个点确定一个圆②三角形的内心到三角形三边距离相等③平分弦的直径垂直于这条弦④长度相等的两条弧是等弧A. 1B. 2C. 3D. 46.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，周长为12，那么ABC内切圆半径为（）A. 3B. 2.5C. 2D. 17.已知圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高为（）A. 3B. 4C. 5D. 78.半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）A. 1：2：3B. 3：2：1C. 3：2：1D. 1：2：39.设a，b是方程x2+x-2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A. 2014B. 2015C. 2016D. 201710.如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，P和C不重合，连结AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（）A. 变大B. 先变大后变小C. 先变小后变大D. 不变二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.在-1，0，13，2，π，0.10110中任取一个数，取到无理数的概率是______．12.如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是______．13.如图所示，已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1=120°，则∠CDE=______度．14.某校甲乙两个体操队队员的平均身高相等，甲队队员身高的方差是S甲2=1.9，乙队队员身高的方差是S乙2=1.2，那么两队中队员身高更整齐的是______队．（填“甲”或“乙”）15.某工厂今年3月份的产值为50万元，4月份和5月份的总产值为132万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为：______．16.如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是______．17.矩形ABCD的边AB=4，AD=3，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是______．18.如图，半径为2的⊙A，圆心A在直线y=34x-3上运动，过点O作⊙A的一条切线OP，P为切点，则切线OP长的最小值为______．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.解下列方程（1）x2+2x-1=0；（用配方法解）（2）x2+4x=-5（x+4）．20.已知四边形ABCD顶点都在4×4的正方形网格格点上，如图所示，（1）请画出四边形ABCD的外接圆，并标明圆心M的位置；（2）这个圆中弦BC所对的圆周角的度数是______．21.有3张纸牌，分别是红桃3，红桃4和黑桃5（简称红3，红4，黑5），把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．（1）两次抽得纸牌均为红桃的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）；（2）甲、乙两人作游戏，现有两种方案．A方案：若两次抽得花色相同则甲胜，否则乙胜．B方案：若两次抽得纸牌的数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案获胜率更高？22.已知：△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心，AD交BC于点E．求证：DB=DI．23.实践操作如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）（1）作∠BAC的平分线，交BC于点O；（2）以O为圆心，OC为半径作圆．综合运用在你所作的图中，（1）AB与⊙O的位置关系是______；（直接写出答案）（2）若AC=5，BC=12，求⊙O的半径．24.某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用尽量提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件．问：①应将售价提为多少元时，才能使所赚利润为700元？②当售价提高多少元时，所获利润最大？并求出最大利润．25.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．26.如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=8cm．点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发以1cm/s的速度向终点C运动，当其中一点到达终点后另一点也停止运动．（1）当运动到几秒时，△DPQ的面积是28？（2）当运动到几秒时，△DPQ是直角三角形？27.某种规格小纸杯的侧面是由一半径为18cm、圆心角是60°的扇形OAB剪去一半径12cm的同心圆扇形OCD所围成的（不计接缝）（如图1）．（1）求纸杯的底面半径和侧面积（结果保留π）（2）要制作这样的纸杯侧面，如果按照图2所示的方式剪裁（不允许有拼接），至少要用多大的矩形纸片？（3）如图3，若在一张半径为18cm的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面，最多能裁出多少个？28.我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN，分别交x轴和y轴于点M，N．点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）．（1）如图2，ω=45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，OA=2，OC=l．①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A______，B______，C______．②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为______．③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为______．（2）若ω=120°，O为坐标原点．①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA=43，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（2，2），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是______．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、x-2=0是一元一次方程，不合题意；B、x2-2x-3是二次三项式，不合题意；C、x2-4x-1=0，是一元二次方程，符合题意；D、xy+1=0是二元二次方程，不合题意，故选：C．根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．逐一判断即可．本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题关键．2.【答案】A【解析】解：∵以O为圆心的圆过点A（0，-4），∴圆的半径r=4，∵点B（-2，3），∴OB==＜4，∴点B（-2，3）与⊙O的位置关系是在圆内，故选：A．由已知条件可知圆的半径为4，再根据勾股定理可求出OB的长，和圆的半径4比较大小即可判断点B和⊙O的位置关系．本题考查了点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与半径进行比较，进而得出结论．3.【答案】B【解析】解：∵4出现了9次，它的次数最多，∴众数为4．∵张华随机调查了30名同学，∴根据表格数据可以知道中位数=（3+4）÷2=3.5，即中位数为3.5．故选：B．利用众数的定义可以确定众数在第三组，由于张华随机调查了20名同学，根据表格数据可以知道中位数是按从小到大排序，第15个与第16个数的平均数．本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．4.【答案】C【解析】解：连接OC，∵CD⊥AB，CD=8，∴PC=CD=×8=4，在Rt△OCP中，∵PC=4，OP=3，∴OC===5．故选：C．连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5.【答案】A【解析】解：①不在同一平面上三个点确定一个圆，故错误，是假命题；②三角形的内心到三角形三边距离相等，正确，是真命题；③平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误，是假命题；④长度相等的两条弧不一定是等弧，因为它们的弧度不一定相等，故错误，是假命题，真命题有1个，故选：A．根据等弧的定义，确定圆的条件，垂径定理，三角形的内心的性质进行判断即可．本题考查了三角形的内切圆与内心，垂径定理，确定圆的条件，熟练掌握这些性质是本题的关键．6.【答案】D【解析】解：∵∠C=90°，AB=5，周长为12，∴AC+BC=12-5=7，∴它的内切圆的半径===1（cm）．故选：D．先利用三角形的周长得到两直角边的和为7，然后根据直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为求解．本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为．7.【答案】B【解析】解：设圆锥的母线长为l，根据题意得•2π•3•l=15π，解得l=5，所以圆锥的高==4．故选：B．设圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•3•l=15π，然后求出l后利用勾股定理计算圆锥的高．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8.【答案】B【解析】解：设圆的半径是r，则多边形的半径是r，则内接正三角形的边长是2rsin60°=r，内接正方形的边长是2rsin45°=r，正六边形的边长是r，因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为：：1．故选：B．从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．9.【答案】C【解析】解：∵a是方程x2+x-2017=0的根，∴a2+a-2017=0，∴a2=-a+2017，∴a2+2a+b=-a+2017+2a+b=2017+a+b，∵a，b是方程x2+x-2017=0的两个实数根，∴a+b=-1，∴a2+2a+b=2017-1=2016．故选：C．先根据一元二次方程的解的定义得到a2=-a+2017，则a2+2a+b=2017+a+b，然后根据根与系数的关系得到a+b=-1，再利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．10.【答案】D【解析】解：连接AC交BD于O，连接EO、AG，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB=90°，∵EG是AP的垂直平分线，∴AG=PG，∠AEG=∠AOB=90°，∴A、E、G、O四点共圆，∴∠PAG=∠EOB，∠APG=∠PAG，∴∠EOG=∠APG，∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，∵AE=PE，∴OE∥BC，∴∠EOB=∠DBC=∠ABC，∵菱形ABCD固定，∴∠ABC的度数固定，即∠APG的度数不变，故选：D．连接AC交BD于O，连接EO、AG，根据菱形的性质得出∠AOB=90°，AO=CO，求出A、E、G、O四点共圆，得出∠PAG=∠EOB，∠APG=∠PAG，求出∠APG=∠EOB=∠DBC，即可求出答案．本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线性质，圆内接四边形性质等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．11.【答案】13【解析】解：∵共有6种等可能的结果，无理数有：，π共2种情况，∴取到无理数的概率是：=．故答案为：．由题意可得共有6种等可能的结果，其中无理数有：，π共2种情况，则可利用概率公式求解．此题考查了概率公式的应用与无理数的定义．此题比较简单，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12.【答案】k＞−14且k≠0【解析】解：根据题意得k2≠0且△=（2k+1）2-4k2＞0，解得k＞-且k≠0．故答案为k＞-且k≠0．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k2≠0且△=（2k+1）2-4k2＞0，然后求出两个不等式解的公共部分即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．13.【答案】60【解析】解：∵∠1=120°∴∠A=∠1=60°∵四边形ABDC内接于⊙O∴∠CDE=∠A∴∠CDE=60°．根据圆周角定理可求出∠A的度数；由圆内接四边形的外角等于它的内对角，知∠CDE=∠A，由此可求出∠CDE的度数．本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用能力．14.【答案】乙【解析】解：∵S甲2=1.9，S乙2=1.2，∴S甲2=1.9＞S乙2=1.2，∴两队中队员身高更整齐的是乙队；故答案为：乙．根据方差的定义，方差越小数据越稳定．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．15.【答案】50（1+x）+50（1+x）2=132【解析】解：4月份的产值为50×（1+x），5月份的产值在4月份产值的基础上增加x，为50×（1+x）×（1+x），则列出的方程是50（1+x）+50（1+x）2=132，故答案为：50（1+x）+50（1+x）2=132．增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），关系式为：4月份的产值+5月份的产值=132，把相关数值代入即可求解．考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b；注意本题是根据2个月的总产值得到相应等量关系．16.【答案】202【解析】解：圆锥的侧面展开图，如图所示：∵圆锥的底面周长=2π×5=10π，设侧面展开图的圆心角的度数为n．∴=10π，解得n=90，∴最短路程为：=20．故答案为：20．由于圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可．本题考查的是平面展开-最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．17.【答案】6π【解析】解：（1）如图所示：∵AB=4，AD=3，∴A′M==5，顶点A所经过的路线长为：++=6π；故答案为6π．点A经过的路线长由三部分组成：以B为圆心，AB为半径旋转90°的弧长；以M为圆心，MC为半径旋转90°的弧长；以N为圆心，NF为半径旋转90°的弧长，利用弧长公式计算即可．此题主要考查了图形的旋转以及扇形弧长公式和扇形面积公式应用，根据已知得出滚动路线是解题关键．18.【答案】1195【解析】解：如图，连接OA，设A（x，x-3）∵OP是切线，PA是半径，∴PA⊥OP，∴OP2=OA2-PA2，即OP2=x2+（x-3）2-1，整理，得OP2=（x-）2+，∴OP2=，最小值∴OP=．最小值故答案是：．如图，连接OA，由勾股定理得到OP2=OA2-PA2，由二次函数最值的求法得到答案．考查了切线的性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用勾股定理求得OP2=x2+（x-3）2-1是解题的关键．19.【答案】解：（1）x2+2x-1=0；（用配方法解）x2+2x=1，x2+2x+1=1+1，（x+1）2=2，x+1=±2，x1=-1+2，x2=-1-2；（2）x2+4x=-5（x+4）x（x+4）+5（x+4）=0（x+4）（x+5）=0x1=-4，x2=-5．【解析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；本题考查了解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解（1）的关键，能选择适当的方法解一元二次方程是解（2）的关键．20.【答案】45°【解析】解：（1）如图1，分别作AB、AC的垂直平分线，交于点M，由垂径定理可知点M即为四边形ABCD外接圆的圆心；（2）如图2，连接BM，MC，则可求得MB=MC=BM=CM=，BC=，所以△BMC为等腰直角三角形，所以∠BMC=90°，故可知弦BC所对的圆周角为45°．故答案为：45°．（1）由垂径定理可知弦的垂直平分线过圆心，所以可作AB、AD的垂直平分线，其交点即为圆心M；（2）连接BM，MC，可求得BM=CM=，BC=，所以可得△BMC为等腰直角三角形，所以∠BMC=90°，故可知弦BC所对的圆周角为45°．本题主要考查垂径定理及圆周角定理，利用垂径定理找到圆心M是解题的关键．∴两次抽得纸牌均为红桃的概率为49；（2）∵A方案中两次抽得花色相同的有5种结果，B方案中两次抽得纸牌的数字和为奇数的有4种结果，∴A方案甲获胜概率为59；B方案甲获胜概率为49，故甲选择A方案获胜率高．【解析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．（2）分别求得两个方案中甲获胜的概率，比较其大小，哪个大则甲选择哪种方案好．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD，∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD，∴ID=BD．【解析】欲证明DB=DI，只要证明∠DBI=∠DIB即可；本题考查三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】实践操作，如图所示：综合运用：（1）相切；（2）∵AC=5，BC=12，∴AD=5，AB=52+122=13，∴DB=AB-AD=13-5=8，设半径为x，则OC=OD=x，BO=（12-x），x2+82=（12-x）2，解得：x=103．答：⊙O的半径为103．【解析】解：实践操作：根据题意画出图形即可；综合运用：（1）AB与⊙O的位置关系是相切．∵AO是∠BAC的平分线，∴DO=CO，∵∠ACB=90°，∴∠ADO=90°，∴AB与⊙O的位置关系是相切；（2）首先根据勾股定理计算出AB的长，再设半径为x，则OC=OD=x，BO=（12-x）再次利用勾股定理可得方程x2+82=（12-x）2，再解方程即可．此题主要考查了复杂作图，以及切线的判定、勾股定理的应用，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．24.【答案】解：（1）设每件售价提高x元时，才能使每天利润为700元，（10-8+x）（200-20x）=700，解得：x1=3（舍去），x2=5．∴应将每件售价定为15元．（2）设利润为y：则y=（2+x）（200-2x）=-20（x-4）2+720，∴当售价提高4元时，获利最大，最大利润720元．【解析】（1）根据等量关系“利润=（售价-进价）×销量”列出函数关系式．（2）根据（1）中的函数关系式求得利润最大值．此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据二次函数的性质求实际问题的最值是中考中考查重点，应重点掌握．25.【答案】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，∴S阴影=4π-8．【解析】（1）连接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代换得∠ODB=∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．26.【答案】解：当运动时间为ts时（0≤t≤5），AP=2tcm，PB=（10-2t）cm，BQ=tcm，CQ=（8-t）cm．（1）根据题意得：10×8-12×8×2t-12×（10-2t）×t-12×10×（8-t）=28，整理得：t2-8t+12=0，解得：t1=2，t2=6（舍去）．答：当运动到2秒时，△DPQ的面积是28．（2）∵△DPQ是直角三角形，∴∠DPQ=90°或∠DQP=90°．当∠DPQ=90°时，∠ADP=∠BPQ，∴APAD=BQBP，即2t8=t10−2t，解得：t=3；当∠DQP=90°时，∠CDQ=∠BQP，∴CQCD=BPBQ，即8−t10=10−2tt，解得：t1=14-46，t2=14+46（舍去）．答：当运动时间为3秒或14-46秒时，△DPQ是直角三角形．【解析】当运动时间为ts时（0≤t≤5），AP=2tcm，PB=（10-2t）cm，BQ=tcm，CQ=（8-t）cm．（1）利用分割图形求面积法结合△DPQ的面积是28，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据直角三角形的定义可得出∠DPQ=90°或∠DQP=90°．当∠DPQ=90°时，∠ADP=∠BPQ，根据正切的定义，可得出关于t的方程，解之即可得出结论；当∠DQP=90°时，∠CDQ=∠BQP，根据正切的定义，可得出关于t的方程，解之取其较小值即可得出结论．综上，此题得解．本题考查了一元二次方程的应用、直角三角形的定义以及正切的定义，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）分∠DPQ=90°和∠DQP=90°两种情况，找出关于t的方程．27.【答案】解：（1）设纸杯底面半径为r，依题意，2πr=16×2π×12，r=2cm，S侧=16π•OA2-16π•OD2=16π（182-122）=30πcm2．（2）连接AB，过O作OE⊥CD，交弧于F，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△ABO是等边三角形，∴AB=OA=18又∵△CDO也是等边三角形，∴∠DCO=∠BAO，∴AB∥CD，∴AB即为长方形的长．OC=12，OE⊥CD，∴CE=DE=6，∴EO=63，∴EF=18-63．即所需长方形的两边长分别为：18cm和18-63cm．（3）∵扇形OAB的圆心角为60度，∴在以O为圆心，18cm 为半径的大圆和以12cm为半径的小圆组成的圆环中可剪出6个圆环（即小纸杯的侧面），如图．剩下的一个半径12 cm的圆中可按照如下方法剪圆环．作正六边形EFGHID，显然边长为12cm，将DE，FG，HI两边延长，相交于点A，B，C则以A、B、C为圆心18cm为半径画弧，三条弧相切于DE、FG、HI的中点，显然又可剪3个，故最多可剪出9个纸杯的侧面．【解析】（1）根据底面周长等于扇形的弧长，根据弧长的计算公式以及圆的周长公式即可求得底面半径，利用扇形的面积公式，纸杯的侧面积就是两个扇形的面积的差；（2）连接AB，过O作OE⊥CD，交弧于F，则△OAB与△OCD是等边三角形，则矩形的长等于等边△OAB的边长，宽等于扇形OAB的半径与等边△OCD的高的差，据此即可求解；（3）首先在以O为圆心，18cm为半径的大圆和以12cm为半径的小圆组成的圆环中可剪出6个圆环，再在剩下的半径是2cm的圆中作半径是18cm的弧即可．本题考查了扇形的面积公式以及弧长的计算公式，如何在半径是12cm的圆中作出满足条件的图形是关键．28.【答案】（2，0）（1，2）（-1.2）y=2x y=-x+23-1＜r＜3+1【解析】解：（1）①如图2-1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．由题意OC=CD=1，OA=BC=2，∴BD=OE=1，OD=CF=BE=，∴A（2，0），B（1，），C（-1，），故答案为（2，0），（1，），（-1，）．②如图2-2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．∵OD∥BE，OD∥PM，∴BE∥PM，∴=，∴=，∴y=x．③如图2-3中，作QM∥OA交OD于M．则有=，∴=，∴y=-x+．故答案为y=x，y=-x+．（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．∵ω=120°，OM⊥y轴，∴∠MOA=30°，∵MF⊥OA，OA=4，∴OF=FA=2，∴FM=2，OM=2FM=4，∵MN∥y轴，∴MN⊥OM，∴MN=，ON=2MN=，∴M（，）．②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．∵MK∥x轴，ω=120°，∴∠MKO=60°，∵MK=OK=2，∴△MKO是等边三角形，∴MN=，当FN=1时，MF=-1，当EN=1时，ME=+1，观察图象可知当⊙M的半径r的取值范围为-1＜r＜+1．故答案为-1＜r＜+1．（1）①如图2-1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．求出OE、OF、CF、OD、BE即可解决问题；②如图2-2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；③如图3-3中，作QM∥OA交OD于M．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．解直角三角形即可解决问题；②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．求出FN=NE=1时，⊙M的半径即可解决问题；本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、平面斜坐标系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．。

2015-2016学年度周铁学区第一学期期中考试初三数学试题卷（2015.11）一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在答题卷相应的位置)1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是2．下列是一元二次方程的是①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③，④x2=0，⑤A．①② B．①②④⑤ C．①③④ D．①④⑤3．为了了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数、中位数分别是（第4题图）（第7题图）（第10题图）A．众数是80千米/时，中位数是60千米/时B．众数是70千米/时，中位数是70千米/时C．众数是60千米/时，中位数是60千米/时D．众数是70千米/时，中位数是60千米/时4．下列命题中：①任意三点确定一个圆；②长度相等弧是等弧；③等边三角形的外心也是它的三条中线的交点；④弦是直径；⑤三角形的内心到三角形三边的距离相等。

其中真命题的个数为A．1B．2 C．3 D．45．以边长为1的正方形ABCD的顶点A为圆心、1.2为半径作⊙A，点C与⊙A的位置关系是A．点C 在⊙A内B．点C在⊙A上C．点C在⊙A外D．不能确定6.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是A. B. C. 且 D.且7．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=250，则∠A的度数为A. 550B. 650C. 1100D. 13008．圆锥底面圆的半径为1cm，母线长为6cm，则圆锥侧面展开图的圆心角是A．60°B．90°C．100°D．120°9候选人甲乙丙丁测试成绩（百分制）面试86 92 90 83笔试90 83 83 92如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权．根据第18四人各自的平均成绩，公司将录取A.甲B.乙C.丙D.丁10. 如图所示，已知⊙O的半径为8cm，把弧A1mB1沿A1B1翻折使弧A1mB1经过圆心O，这个过程记为第一次翻折；将弧A2OB2沿着A2B2翻折使弧A2OB2经过A1B1的中点，其中A2B2∥A1B1，这个过程记为第二次翻折；……按照这样的规律翻折下去，第4次翻折的折痕A4B4长度为A. B. C. D.二、填空题(本大题共有8小题，每小题2分，共16分．请把结果直接填在答题卷相应的位置上)11．在一次考试中，某小组8名同学的数学成绩如下：108，100，108，112，120，95，118，92（单位：分）。

周铁中学2015-2016学年初三数学第一学期阶段测试卷出卷人：冯振超 审核：初三数学组2015/9/25一、选择题（每题3分,共27分） （ ）1．方程①7x 2－8x ＝1 ②2x 2－5xy ＋6y 2＝0 ③5x 2－19x－1＝0 ④24y ＝3y 中是一元二次方程的为 A ．①与② B ．①与③ C ．①与④D ．①、②、③ （ ）2．方程()()1132=-+x x 的解的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．有一个实数根（ ）3．下列一元二次方程中，两实根之和为1的是A ．x 2—x ＋1＝0B ．x 2＋x —3＝0C ．2 x 2－x －1＝0D ．x 2－x －5＝0（ ）4．关于x 的方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1=0有实数根，则a 满足（ ）A ． a ≥1B ． a ＞1且a ≠5C ． a ≥1且a ≠5D ． a ≠5（ ）5．以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程040132=+-x x 的根，则这个三角形的周长为 A.15或12B.12C.15D.以上都不对( )6．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（ ） A .340.515xx +-=）（（）B .340.515x x ++=（）（）C .430.515x x +-=（）（）D .140.515x x +-=（）（） ( )7.若圆的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P 的坐标是（-4，3），则点P与⊙O 的位置关系是A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 内C ．点P 在⊙O 上D ．点P 在⊙O外或⊙O 上( )8． 已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是A. 6B. 2C. 2或3D.4或6o D C B A( ) 9. 定义：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是A ． a=cB ． a=bC ． b=cD ． a=b=c二.填空题(每空2分,共 24分)10．将方程（2﹣x ）（x+1）=8化为二次项系数为1的一元二次方程的一般形式是 。

宜兴外国语学校教育集团2012—2013学年度 第一学期期中测试试卷 九年级数学（总分130分 时间120分钟）一、细心选一选（每小题3分，共30分）1．下列根式中，与3是同类二次根式的是 （ ▲ ） A.32B. 24C. 12D. 182．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ▲ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x +=D ．()229x -=3．⊙A 半径为5，圆心A 的坐标为（1，0），点P 的坐标为（4，4），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ▲ ）A.点P 在⊙O 上B.点P 在⊙O 内 C ．点P 在⊙O 外 D ．点P 在⊙O 上或外 4．下列各式中，化简正确的是（ ▲ ）A ．15335=B ．22121±=C ．b a b a 24=D ．123+=+x x x x5.若关于x 的一元二次方程0122=--x nx 无实数根，则一次函数()n x n y ++=1的图象不经过（ ▲ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6.在⊙O 中, 点A 、B 在⊙O 上，且∠AOB ＝84°,则弦AB 所对的圆周角是( ▲ ) A. 42° B.84° C. 42°或138° D. 84°或96°7.已知211a aa a --=，则a 的取值范围是（ ▲ ） A ．1≤a B ．0a < C ．01a <≤ D ．01≠≤a a 且8．若关于x 的一元二次方程()012=+-+m x m x 的两个根互为相反数，那么有（ ▲ ） （A ）m ＝0 （B ）m ＝－1 （C ）m ＝1 （D ）以上结论都不对9.在⊙O 中，点C 是劣弧AB 的中点，则线段AB 和线段AC 的大小为（ ▲ ） A ．AB ＝2AC B ．AB ＞2AC C ．AB ＜2AC D ．无法确定 10．如图，以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若32=DB AD ，且AB ＝10，则CB 的长为（ ▲ ）A ．54B ．34C ．24D ．4二、认真填一填（每空2分，共26分）11. 要使二次根式1+x 有意义，字母x 必须满足的条件是 ▲12.化简：8＝ ▲ ；321＝ ▲13.关于x 的方程0242=++x mx 是一元二次方程的条件是 ▲ 14. 若一元二次方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则=+21x x ▲ 15.如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC 中BC 边上的高是 ▲（第15题） （第16题） （第17题）16.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为E ，如果AB ＝26，CD ＝24，那么OCE S ∆＝ ▲ 17.如图,正方形ABCD 内接于⊙O,点E 在劣弧AD 上,则∠BEC＝ ▲ °18.某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，若设该药品平均每次降价的百分率为x ，则可列出方程 ▲ 19.若最简二次根式a a 22-与32-a 是同类二次根式，则a ＝ ▲ 20．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠ABO＝35°，则∠BCA＝ ▲ °21．如图，双曲线ky (k 0)x=>与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ▲（第20题） （第21题） （第22题）22．如图，在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC ＝90º，AC ＝5，BC ＝4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、AC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为 ▲ 三、精心做一做23.（10分）计算 （1121232413535 （2）46193233x x x x x x ⋅+-⋅24.（10分）解方程：（1）2620x x --= （2）95)3(+=-x x x25. （6分）先化简，再求值a a a a a a 2221444222-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--，其中a 是方程0132=++x x 的根26．（8分）如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E ． （1）求证：△ADE ∽△BCE（2）如果AD 2＝AE•AC，求证：CD ＝CB27．阅读材料：（8分）例：说明代数式22x 1(x 3)4+-＋解：222222x 1(x 3) 4 (x 0)1(x 3)2+-+=-+-+系，点P （x ，0）是x 22(x 0)1-+P 与点A （0，1）的距离，22(x 3)2-+P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB 长度之和，它的最小值就是PA ＋PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA ＝PA′，因此，求PA ＋PB 的最小值， 只需求PA′＋PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短， 所以PA′＋PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角 三角形A′CB，因为A′C＝3，CB ＝3，所以A′B＝2， 即原式的最小值为2。

宜兴市周铁中学九年级上册期中试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠． 【解析】 【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可； （2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可. 【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x ）2=5670，解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x ）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．2．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)，综上所述，n=0.3．有n 个方程：x 2+2x ﹣8=0；x 2+2×2x ﹣8×22=0；…x 2+2nx ﹣8n 2=0． 小静同学解第一个方程x 2+2x ﹣8=0的步骤为：“①x 2+2x=8；②x 2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x 1=4，x 2=﹣2．” （1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．（2）用配方法解第n 个方程x 2+2nx ﹣8n 2=0．（用含有n 的式子表示方程的根） 【答案】（1）⑤；（2）x 1=2n ，x 2=﹣4n ． 【解析】 【分析】（1）根据移项要变号，可判断；（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解. 【详解】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的， 故答案为⑤； （2）x 2+2nx ﹣8n 2=0， x 2+2nx=8n 2， x 2+2nx+n 2=8n 2+n 2， （x+n ）2=9n 2， x+n=±3n ， x 1=2n ，x 2=﹣4n ．4．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k =当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．5．定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【答案】（1）10%；（2）方案② 【解析】试题分析：首先设下调的百分率为x ，根据题意列出方程进行求解，得出答案；分别求出两种方案所需要花费的钱数，然后进行比较．试题解析：（1）设平均每次下调的百分率是x ，依题意得，4000（1-x ）2=3240 解之得：x=0．1=10%或x=1．9（不合题意，舍去） 答：平均每次下调的百分率是10%．（2）方案①实际花费=100×3240×98%=317520元 方案②实际花费=100×3240-100×80=316000元∵317520＞316000 ∴方案②更优惠 考点：一元二次方程的应用二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -． （1）若点(2,0)-也在该抛物线上，请用含a 的关系式表示b ；（2）若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足：当120x x <<时，()()12120x x y y --<；当120x x <<时，()()12120x x y y -->；若以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C （点B 在点C 左侧），且ABC ∆有一个内角为60，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：PA 平分MPN ∠．【答案】（1）21b a =-；（2）22y x =-；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案． （2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上，进而可得出0b =，由抛物线的对称性可得出ABC ∆为等腰三角形，结合其有一个60︒的内角可得出ABC ∆为等边三角形，设线段BC 与y 轴交于点D ，根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标，再利用待定系数法可求出a 值，此题得解；（3）由（1）的结论可得出点M 的坐标为1(x ，212)x -+、点N 的坐标为2(x ，222)x -+，由O 、M 、N 三点共线可得出212x x =-，进而可得出点N 及点'N 的坐标，由点A 、M 的坐标利用待定系数法可求出直线AM 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N 在直线PM 上，进而即可证出PA 平分MPN ∠． 【详解】解：（1）把点()0,2-、()2,0-分别代入，得2420c a b c =-⎧⎨-+=⎩． 所以21b a =-．（2），如图1，当120x x <<时，()()12120x x y y --<，120x x ∴-<，120y y ->， ∴当0x <时，y 随x 的增大而减小；同理：当0x >时，y 随x 的增大而增大，∴抛物线的对称轴为y 轴，开口向上，0b ∴=．OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B 、C ， ABC ∴∆为等腰三角形，又ABC ∆有一个内角为60︒， ABC ∴∆为等边三角形．设线段BC 与y 轴交于点D ，则BD CD =，且30OCD ∠=︒， 又2OB OC OA ===，·303CD OC cos ∴=︒=，·301OD OC sin =︒=． 不妨设点C 在y 轴右侧，则点C 的坐标为31)． 点C 在抛物线上，且2c =-，0b =，321a ∴-=，1a ∴=，∴抛物线的解析式为22y x =-．（3）证明：由（1）可知，点M 的坐标为1(x ，212)x -，点N 的坐标为2(x ，222)x -．如图2，直线OM 的解析式为()110y k x k =≠．O 、M 、N 三点共线，10x ∴≠，20x ≠，且22121222x x x x --=，121222x x x x ∴-=-， ()1212122x x x x x x -∴-=-，122x x ∴=-，即212x x =-， ∴点N 的坐标为12(x -，2142)x -． 设点N 关于y 轴的对称点为点'N ，则点'N 的坐标为12(x ，2142)x -． 点P 是点O 关于点A 的对称点，24OP OA ∴==，∴点P 的坐标为()0,4-．设直线PM 的解析式为24y k x =-，点M 的坐标为1(x ，212)x -，212124x k x ∴-=-，21212x k x +∴=，∴直线PM 的解析式为21124x y x x +=-．()222111221111224224·42x x x x x x x +-+-==-，∴点'N 在直线PM 上，PA ∴平分MPN ∠． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a 、b 满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C 的坐标；②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N 在直线PM 上．7．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．（1）若b ＝1，a ＝﹣12c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围；（3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323b a <-< 【解析】 【分析】（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论； （2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1•y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0）， ∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0 ∵b ＝1，a ＝﹣12c ， ∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣12c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，∴1+2c 2＞0，即△＞0，∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）∵a ＜0，c ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下， 又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，∴顶点纵坐标214b a-≤，∴﹣b 2≥4a ， ∴4a+b 2≤0；（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ）， ∵函数图象上两点（0，y1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0， ∴c （a+b+c ）＞0， ∴6c （6a+6b+6c ）＞0，∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0， ∴（2a+3b ）（4a+3b ）＜0， ∵a≠0，则9a 2＞0， ∴两边同除以9a 2得，24()()033b b a a ++<， ∴203403b a b a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或203403b a b a ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩， ∴4233b a -<<-， ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是：12323b a <-<． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．如图，直线3yx与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）243y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)-- 【解析】 【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可． 【详解】解：（1）令y=0，则x+3=0， 解得x=-3， 令x=0，则y=3，∴点A （-3，0），C （0，3）， ∴OA=OC=3， ∵tan ∠CBO=3OCOB=， ∴OB=1， ∴点B （-1，0），把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得，93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴该抛物线的解析式为：243y x x =++， ∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1， ∴顶点(2,1)D --；（2）∵A （-3，0），B （-1，0）， ∴AB=-1-（-3）=2， ∵OA=OC ，∠AOC=90°， ∴△AOC 是等腰直角三角形， ∴，∠BAC=45°， ∵B （-1，0），D （-2，-1）， ∴∠ABD=45°，①AB 和BP 是对应边时，△ABC ∽△BPA ， ∴AB ACBP BA =，即22BP =，解得BP=223，过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=23×22=23，∴OE=1+23=53，∴点P的坐标为（-53，-23）；②AB和BA是对应边时，△ABC∽△BAP，∴AB ACBA BP=，即2322BP =，解得BP=32过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=322=3，∴OE=1+3=4，∴点P的坐标为（-4，-3）；综合上述，当52,33P⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)--时，以点P，A，B为顶点的三角形与ABC∆相似；【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．9．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）224233y x x=--+；（2）存在，点P35,22⎛⎫-⎪⎝⎭，使△PAC的面积最大；（3）存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．【解析】【分析】（1）直接把点A（﹣3，0），B（1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+2求出a、b的值即可得出抛物线的解析式；（2）设点P坐标为（m，n），则n＝﹣23m2﹣43m+2，连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．根据三角形的面积公式得出△PAC的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；（3）以BC为边，在线段BC两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，根据全等三角形的判定定理得出△Q1CD≌△CBO，△CBO≌△BQ2E，故可得出各点坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），∴093202a ba b=-+⎧⎨=++⎩2343ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得∴二次函数的关系解析式为y ＝﹣23x 2﹣43x+2； （2）存在．∵如图1所示，设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2． 连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ． 则PM ＝﹣23m 2﹣43m+2．，PN ＝﹣m ，AO ＝3． ∵当x ＝0时，y ＝﹣23×0﹣43×0+2＝2， ∴OC ＝2，∴S △PAC ＝S △PAO +S △PCO ﹣S △ACO ＝12AO•PM+12CO•PN ﹣12AO•CO ＝12×3×（﹣23m 2﹣43m+2）+12×2×（﹣m ）﹣12×3×2 ＝﹣m 2﹣3m ∵a ＝﹣1＜0∴函数S △PAC ＝﹣m 2﹣3m 有最大值 ∴当m ＝﹣2b a ＝﹣32时，S △PAC 有最大值． ∴n ＝﹣23m 2﹣43m+2＝﹣23×（﹣32）2﹣43×（﹣32）+2＝52， ∴存在点P （﹣32，52），使△PAC 的面积最大．（3）如图2所示，以BC 为边在两侧作正方形BCQ 1Q 2、正方形BCQ 4Q 3，则点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4为符合题意要求的点．过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ， ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， 在△Q 1CD 与△CBO 中，∵11324Q C BC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△Q1CD≌△CBO，∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1，∴OD＝OC+CD＝3，∴Q1（2，3）；同理可得Q4（﹣2，1）；同理可证△CBO≌△BQ2E，∴BE＝OC＝2，Q2E＝OB＝1，∴OE＝OB+BE＝1+2＝3，∴Q2（3，1），同理，Q3（﹣1，﹣1），∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．10．平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C 的“最佳三点矩形”．如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．（1）①若m＝1，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为，面积为；②若m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；（2）若点P在直线y＝﹣2x+4上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．【答案】（1）①18,18；②或5；（2）①最小值为12，；②点的坐标为或；（3）,或.【解析】【分析】（1）①根据题意，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积②先求出和的值，再根据m=1以及M、N、P的“最佳三点矩形”的面积是24，可分析出此矩形的邻边长分别为6、4进而求出n的值（2）①结合图形，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值，分别将对应的值代入y=-2x+4即可求出m的取值范围②当M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形时，易得边长为6，将对应的值代入y=-2x+4即可求出P点坐标（3）根据题意画出图像，易得抛物线的解析式【详解】解：（1）①如图，过P做直线AB平行于x轴，过N做直线AC平行于y轴，过M做MB平行于y轴，分别交于点A（-2,4）、C（-2,1）、B（4,1）则AC=BM=3，AB=CM=6故周长=（3+6）=18，面积=3=18故M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积分别为18,18；②∵M（4,1），N（-2,3）∴，又∵m=1，点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积为24∴此矩形的邻边长分别为6，4∴n=-1或5（2）如图1，①易得点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值为12；分别将y=3，y=1代入y=-2x+4，可得x分别为，结合图象可知：②当点M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形，边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+4，可得分别为，点P的坐标为（，7）或（，-3）（3）如图2，y=+或y=+【点睛】此题比较灵活，读懂题意，画出图像求解是解题关键三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．【答案】（1）DE＝2DG；（2）成立，理由见解析；（3）DE的长为42或32．【解析】【分析】（1）根据题意结论：DE=2DG，如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM，证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF=CM，GM=GE，再证明△DCM≌△DAE （SAS）即可解决问题；（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM=GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R，其证明方法类似；（3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E，F，C共线时．②如图3-3中，当E，F，C 共线时，分别求解即可．【详解】解：（1）结论：DE＝2DG．理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，∵∠AEF＝∠B＝90°，∴EF∥CM，∴∠CMG＝∠FEG，∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，∴△CMG≌△FEG（AAS），∴EF＝CM，GM＝GE，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DCM≌△DAE（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，∴△EGD是等腰直角三角形，∴DE＝2DG．（2）如图2中，结论成立．理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，∴△CGM≌△FGE（SAS），∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，∴CM∥ER，∴∠DCM＝∠ERC，∵∠AER+∠ADR＝180°，∴∠EAD+∠ERD＝180°，∵∠ERD+∠ERC＝180°，∴∠DCM＝∠EAD，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DAE≌△DCM（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∵EG＝GM，∴DG＝EG＝GM，∴△EDG是等腰直角三角形，∴DE2DG．（3）①如图3﹣1中，当E，F，C共线时，在Rt △ADC 中，AC ＝22AD CD +＝2255+＝52，在Rt △AEC 中，EC ＝22A AE C -＝22(52)1-＝7， ∴CF ＝CE ﹣EF ＝6，∴CG ＝12CF ＝3， ∵∠DGC ＝90°，∴DG ＝22CD CG -＝2253-＝4， ∴DE ＝2DG ＝42．②如图3﹣3中，当E ，F ，C 共线时，同法可得DE ＝32．综上所述，DE 的长为42或32． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．如图，在直角坐标系中，已知点A （-1，0）、B （0，2），将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ．（1）点C 的坐标为（ ， ）； （2）若二次函数的图象经过点C ． ①求二次函数的关系式；②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y 对应的取值范围；Z_X_X_K]③在此二次函数的图象上是否存在点P（点C除外），使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ∴点C的坐标为(－3，1) ．(2)①∵二次函数的图象经过点C(－3，1)，∴.解得∴二次函数的关系式为②当-1≤x≤4时，≤y≤8；③过点C作CD⊥x轴，垂足为D，i) 当A为直角顶点时，延长CA至点，使，则△是以AB为直角边的等腰直角三角形，过点作⊥轴，∵＝，∠＝∠，∠＝∠＝90°，∴△≌△，∴AE＝AD＝2，＝CD＝1,∴可求得的坐标为(1，－1)，经检验点在二次函数的图象上；ii）当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取，得到以AB为直角边的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y轴，同理可证△≌△∴BF ＝OA＝1，可得点的坐标为（2， 1），经检验点在二次函数的图象上．同理可得点的坐标为（－2， 3），经检验点不在二次函数的图象上综上：二次函数的图象上存在点(1，－1)，（2，1）两点，使得△和△是以AB为直角边的等腰直角三角形．【解析】(1)根据旋转的性质得出C点坐标；（2）①把C点代入求得二次函数的解析式；②利用二次函数的图象得出y的取值范围；③分二种情况进行讨论.13．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2考点：四边形综合题14．已知，如图：正方形ABCD，将Rt△EFG斜边EG的中点与点A重合，直角顶点F落在正方形的AB边上，Rt△EFG的两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，（点P与点F重合），如图1所示：（1）求证：EP2+GQ2=PQ2；（2）若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α（0°＜α≤90°），两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，如图2所示：判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间是否存在什么确定的相等关系？若存在，证明你的结论．若不存在，请说明理由；（3）若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α（90°＜α＜180°），两直角边所在的直线分别交BA、AD两边延长线于P、Q两点，并判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间存在何种确定的相等关系？按题意完善图3，请直接写出你的结论（不用证明）．【答案】（1）见解析；（2）PF2+FQ2=EP2+GQ2；（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PF2+GQ2=PE2+FQ2．【解析】【分析】（1）过点E作EH∥FG，由此可证△EAH≌△GAQ，然后根据全等三角形的性质得到EH=QG，又PQ=PH，在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，由此可以得到EP2+GQ2=PQ2；（2）过点E作EH∥FG，交DA的延长线于点H，连接PQ、PH，由此可证△EAH≌△GAQ，然后根据全等三角形的性质得到EH=QG，又PH=PQ，在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，即EP2+GQ2=PH2，在Rt△PFQ中，PF2+FQ2=PQ2，故PF2+FQ2=EP2+GQ2；（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PE2+GQ2=PF2+FQ2，证明方法同上．【详解】（1）过点E作EH∥FG，连接AH、FH，如图所示：∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，∴△EAH≌△GAQ，∴EH=QG，HA=AQ，∵FA⊥AD，∴PQ=PH．在Rt△EPH中，∵EP2+EH2=PH2，∴EP2+GQ2=PQ2；（2）过点E作EH∥FG，交DA的延长线于点H，连接PQ、PH，∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，∴△EAH≌△GAQ，∴EH=QG，HA=AQ，∵PA⊥AD，∴PQ=PH．在Rt△EPH中，∵EP2+EH2=PH2，∴EP2+GQ2=PH2．在Rt△PFQ中，∵PF2+FQ2=PQ2，∴PF2+FQ2=EP2+GQ2．（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PF2+GQ2=PE2+FQ2．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键.15．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。

2015-2016学年江苏省无锡市宜兴外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、精心选一选（本大题共10小题，每题3分，共30分，每题的四个选项中，只有一个符合题意）：1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为( )A．x2﹣1=0 B．x2+2y+1=0 C．x2﹣2=（x+3）2D．x22．关于x的一元二次方程x2+mx﹣1=0的根的情况为( )A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定3．⊙O的半径为4，线段OP=4，则点P与⊙O的位置关系是( )A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．不能确定4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是( )A．CM=DM B．C．∠ACD=∠ADC D．OM=BM5．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C 的大小等于( )A．20°B．25°C．40°D．50°6．下列说法中，正确的是( )A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B．任何三角形有且只有一个内切圆C．三点确定一个圆D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等7．如图，在△ABC中，点O为重心，则S△DOE：S△BOC=( )A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．2：38．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是( )A．（﹣3，﹣4）B．（﹣3，﹣3）C．（﹣4，﹣4）D．（﹣4，﹣3）9．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB=10，则CB的长为( )A． B． C． D．410．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A．6条B．7条C．8条D．9条二、仔细填一填（本大题共8小题，每空2分，共计16分）：11．在实数范围内因式分解：3m2﹣6=__________．12．已知m、n是一元二次方程x2+x﹣1=0的两个根，那么m+n=__________．13．在同一时刻物体的高度与它的影长成比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的实际高度是__________米．14．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于__________．15．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=2cm，则线段BC=__________cm．16．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为__________．17．如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线y=﹣x+6分别与x轴、y轴相交于B、A两点．点C在射线BA上以3厘米/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1厘米的⊙C．点P以2厘米/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l∥x轴．若点C与点P同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，则在整个运动过程中直线l与⊙C最后一次相切时t=__________秒．18．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是__________．三、解答题（本大题共9小题，共计84分．）19．（16分）解一元二次方程：（1）（x﹣2）2=9（2）x2﹣5x﹣6=0（3）3y2+4y﹣1=0（4）3（x﹣5）2=x（5﹣x）20．先化简（1+）÷，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值．21．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．22．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线．（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．23．某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元．（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？24．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题：（1）慢车的速度为__________km/h，快车的速度为__________km/h；（2）解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标；（3）求当x为多少时，两车之间的距离为300km．25．如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=8．（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的圆O，并标圆O与AB的交点D，与BC的交点E，连接DE、CE（保留作图痕迹，不写作法）（2）综合应用：在你所作的图中，①求证：DE=CE；②求点D到BC的距离．26．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作二射线AC与斜边EF平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）•（1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．27．如图1，直线l⊥AB于点B，点C在AB上，且AC：CB=2：1，点M是直线l上的动点，作点B关于直线CM的对称点B′，直线AB′与直线CM相交于点P，连接PB．（1）如图2，若点P与点M重合，则∠PAB=__________，线段PA与PB的比值为__________ （2）如图3，若点P与点M不重合，设过P，B，C三点的圆与直线AP相交于D，连接CD，求证：①CD=CB′；②PA=2PB；（3）如图4，若AC=2，BC=1，则满足条件PA=2PB的点都在一个确定的圆上，在以下小题中选做一题：①如果你能发现这个确定的圆的圆心和半径，那么不必写出发现过程，只要证明这个圆上的任意一点Q，都满足QA=2QB；②如果你不能发现这个确定的圆的圆心和半径，那么请取出几个特殊位置的P点，如点P 在直线AB上，点P与点M重合等进行探究，求这个圆的半径．2015-2016学年江苏省无锡市宜兴外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、精心选一选（本大题共10小题，每题3分，共30分，每题的四个选项中，只有一个符合题意）：1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为( )A．x2﹣1=0 B．x2+2y+1=0 C．x2﹣2=（x+3）2D．x2【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、是一元二次方程，故A正确；B、是二元二次方程，故B错误；C、是一元一次方程，故C错误；D、是分式方程，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．关于x的一元二次方程x2+mx﹣1=0的根的情况为( )A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【考点】根的判别式．【分析】计算出方程的判别式为△=m2+4，可知其大于0，可判断出方程根的情况．【解答】解：方程x2+mx﹣1=0的判别式为△=m2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，故选A．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的情况是解题的关键．3．⊙O的半径为4，线段OP=4，则点P与⊙O的位置关系是( )A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．不能确定【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：∵OP=4，∴OP等于⊙O的半径，∴点P与⊙O上．故选C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是( )A．CM=DM B．C．∠ACD=∠ADC D．OM=BM【考点】垂径定理；圆周角定理．【专题】计算题．【分析】先根据垂径定理得CM=DM，=，=，再根据圆周角定理得到∠ACD=∠ADC，而OM与BM的关系不能判断．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CM=DM，=，=，∴∠ACD=∠ADC．故选D．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．5．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C 的大小等于( )A．20°B．25°C．40°D．50°【考点】切线的性质．【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．【解答】解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=20°，∴∠AOC=40°，∴∠C=50°．故选：D．【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．6．下列说法中，正确的是( )A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B．任何三角形有且只有一个内切圆C．三点确定一个圆D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等【考点】三角形的内切圆与内心；确定圆的条件；切线的判定．【分析】根据切线的判定定理对A进行判断；根据三角形内心的定义对B、D进行判断；根据确定圆的条件对C进行判断．【解答】解：A、过半径的外端垂直于半径的直线是这个圆的切线，所以A选项错误；B、任何三角形有且只有一个内切圆，所以B选项正确；C、不共线的三点确定一个圆，所以C选项错误；D、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，所以D选项错误．故选B．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．也考查了切线的性质．7．如图，在△ABC中，点O为重心，则S△DOE：S△BOC=( )A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．2：3【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心．【分析】利用三角形重心的定义得出D是AB的中点，E是AC的中点，进而得出△DOE∽△COB，再利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：∵点O为重心，∴D是AB的中点，E是AC的中点，∴DE∥BC，=，∴△DOE∽△COB，∴S△DOE：S△BOC=1：4．故选：A．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的定义，得出△DOE∽△COB 是解题关键．8．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是( )A．（﹣3，﹣4）B．（﹣3，﹣3）C．（﹣4，﹣4）D．（﹣4，﹣3）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据位似图形的性质，对应点的坐标相交于一点，连接AA1，BB1，CC1，交点即是P点坐标．【解答】解：∵△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P 点为位似中心的位似图形，根据位似图形的性质，对应点的坐标相交于一点，连接AA1，BB1，CC1，交点即是P点坐标，∴如图所示，P点的坐标为：（﹣4，﹣3）．故选：D．【点评】此题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形性质得出位似图形对应点相交于一点是解决问题的关键．9．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB=10，则CB的长为( )A． B． C． D．4【考点】切割线定理；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【专题】数形结合．【分析】作AB关于直线CB的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．【解答】解：如图，若，且AB=10，∴AD=4，BD=6，作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线，∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，∴AB=A′B，∴AC=A′C，AD=A′D′=4，A′B=AB=10．而A′C•A′A=A′D′•A′B，即A′C•2A′C=4×10=40．则A′C2=20，又∵A′C2=A′B2﹣CB2，∴20=100﹣CB2，∴CB=4．故选A．【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．10．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A．6条B．7条C．8条D．9条【考点】作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定．【专题】压轴题．【分析】利用等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．二、仔细填一填（本大题共8小题，每空2分，共计16分）：11．在实数范围内因式分解：3m2﹣6=3（m+）（m﹣）．【考点】实数范围内分解因式．【分析】首先提公因式2，然后利用平方差公式分解即可求得答案．【解答】解：3m2﹣6=3（m2﹣2）=3（m+）（m﹣）．故答案为：3（m+）（m﹣）．【点评】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．12．已知m、n是一元二次方程x2+x﹣1=0的两个根，那么m+n=﹣1．【考点】根与系数的关系．【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n即可．【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+x﹣1=0的两个根，∴m+n=﹣1，故答案为：﹣1，【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．13．在同一时刻物体的高度与它的影长成比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的实际高度是36米．【考点】相似三角形的应用．【分析】设此高楼的高度为h米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关于h的比例式，求出h的值即可．【解答】解：设此高楼的高度为h米，∵在同一时刻，有人测得一高为1.8米得竹竿的影长为3米，某高楼的影长为60米，∴=，解得h=36．故答案是：36．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．14．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于130°．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C的度数，再根据圆周角定理求解即可．【解答】解：∵∠A=115°∴∠C=180°﹣∠A=65°∴∠BOD=2∠C=130°．故答案为：130°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．15．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=2cm，则线段BC=6cm．【考点】平行线分线段成比例．【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得=，代入计算即可解答．【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴=，即，∴BC=6cm．故答案为：6．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．16．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为61°．【考点】圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是58°，利用圆周角定理求解即可求得∠BCD的度数，继而求得答案．【解答】解：连接OD，∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，∴点A，B，C，D共圆，∵点D对应的刻度是58°，∴∠BOD=58°，∴∠BCD=∠BOD=29°，∴∠ACD=90°﹣∠BCD=61°．故答案为：61°．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．17．如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线y=﹣x+6分别与x轴、y轴相交于B、A两点．点C在射线BA上以3厘米/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1厘米的⊙C．点P以2厘米/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l∥x轴．若点C与点P同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，则在整个运动过程中直线l与⊙C最后一次相切时t=秒．【考点】一次函数综合题．【分析】首先过点C作CD⊥x轴于点D，由直线AB的解析式为y=﹣x+6，分别与x轴、y轴相交于B、A两点．即可求得点A与B的坐标，则可求得∠ABO的度数，得到BC=2CD；然后分别从直线l与⊙C第一次相切，第二次相切，第三次相切，去分析求解，即可求得答案．【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，∵直线AB的解析式为y=﹣x+6，分别与x轴、y轴相交于B、A两点，∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=6，∴点A的坐标为：（0，6），点B的坐标为：（6，0），∴OA=6，OB=6，∴在Rt△AOB中，tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，∴在Rt△BCD中，BC=2CD，如图1，直线直线l与⊙C第一次相切，由题意得：OP=2t，BC=3t，∴CD=2t﹣1，∴3t=2（2t﹣1），解得：t=2；如图2，直线直线l与⊙C第二次相切，由题意得：OP=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BC=3t，∴CD=12﹣2t﹣1，∴3t=2（12﹣2t﹣1），解得：t=；如图3，直线直线l与⊙C第三次相切，由题意得：OP=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BC=3t，∴CD=12﹣2t+1，∴3t=2（12﹣2t+1），解得：t=．∴在整个运动过程中直线l与⊙C共有3次相切；直线l与⊙C最后一次相切时t=．故答案为：．【点评】此题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、切线的性质以及特殊角的三角函数值等知识．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．18．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是3．【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质；相切两圆的性质．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF 最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．三、解答题（本大题共9小题，共计84分．）19．（16分）解一元二次方程：（1）（x﹣2）2=9（2）x2﹣5x﹣6=0（3）3y2+4y﹣1=0（4）3（x﹣5）2=x（5﹣x）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-公式法．【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（4）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）（x﹣2）2=9，开方得：x﹣2=±3，解得：x1=5，x2=﹣1；（2）x2﹣5x﹣6=0，（x﹣6）（x+1）=0，x﹣6=0，x+1=0，x1=6，x2=﹣1；（3）3y2+4y﹣1=0，b2﹣4ac=42﹣4×3×（﹣1）=28，y=，y1=，y2=；（4）3（x﹣5）2=x（5﹣x），3（x﹣5）2+x（x﹣5）=0，（x﹣5）[3（x﹣5）+x]=0，x﹣5=0，3（x﹣5）+x=0，x1=5，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．20．先化简（1+）÷，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=3代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=•=x﹣2，当x=3时，原式=3﹣2=1．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．22．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE 于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线．（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．【考点】圆的综合题．【专题】证明题．【分析】（1）连接OM．利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可证得AE 是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行线的性质得到=，即可解得R=3，从而求得⊙O的半径为3；（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2．【解答】（1）证明：连接OM．∵AC=AB，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，CE=BE=BC=4，∵OB=OM，∴∠OBM=∠OMB，∵BM平分∠ABC，∴∠OBM=∠CBM，∴∠OMB=∠CBM，∴OM∥BC又∵AE⊥BC，∴AE⊥OM，∴AE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为R，∵OM∥BE，∴△OMA∽△BEA，∴=即=，解得R=3，∴⊙O的半径为3；（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，∴四边形OMEH是矩形，∴HE=OM=3，∴BH=1，∴BG=2BH=2．【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中还运用到了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大．23．某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元．（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案；（2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可．【解答】解：（1）y=，（2）在0≤x≤10时，y=100x，当x=10时，y有最大值1000；在10＜x≤30时，y=﹣3x2+130x，当x=21时，y取得最大值，∵x为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y有最大值1408．∵1408＞1000，∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出y与x的函数关系是解题关键．24．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题：（1）慢车的速度为80km/h，快车的速度为120km/h；（2）解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标；（3）求当x为多少时，两车之间的距离为300km．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）先利用前0.5小时的路程除以时间求出一辆车的速度，再利用相遇问题根据2.7小时列式求解即可得到另一辆车的速度，从而得解；（2）点D为快车到达乙地，然后求出快车行驶完全程的时间从而求出点D的横坐标，再求出相遇后两辆车行驶的路程得到点D的纵坐标，从而得解；（3）分相遇前相距300km和相遇后相遇300km两种情况列出方程求解即可．【解答】解：（1）（480﹣440）÷0.5=80km/h，440÷（2.7﹣0.5）﹣80=120km/h，所以，慢车速度为80km/h，快车速度为120km/h；故答案为：80；120．（2）快车到达乙地（出发了4小时快车慢车相距360KM时甲车到达乙地）；∵快车走完全程所需时间为480÷120=4（h），∴点D的横坐标为4.5，纵坐标为（80+120）×（4.5﹣2.7）=360，即点D（4.5，360）；（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为300km．即相遇前：（80+120）×（x﹣0.5）=440﹣300，解得x=1.2（h），相遇后：（80+120）×（x﹣2.7）=300，解得x=4.2（h），故x=1.2 h或4.2 h，两车之间的距离为300km．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，（3）要分相遇前与相遇后两种情况讨论，这也是本题容易出错的地方．25．如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=8．（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的圆O，并标圆O与AB的交点D，与BC的交点E，连接DE、CE（保留作图痕迹，不写作法）（2）综合应用：在你所作的图中，①求证：DE=CE；②求点D到BC的距离．【考点】作图—复杂作图．【专题】计算题；作图题．【分析】（1）先作AC的垂直平分线得到AC的中点O，再以O为圆心，OA为半径作圆交AB于D，交BC于E；（2）①连结AE，先利用圆周角定理得到∠AEC=90°，再根据等腰三角形的性质得到AE 平分∠BAC，即∠DAE=∠CAE，则根据圆周角定理得=，于是根据圆心角、弧、弦的关系得到结论；②作DF⊥BC于F，连结CD，如图，先根据勾股定理计算出AE=8，再利用面积法求出CD=，然后证明Rt△ABE∽Rt△CDF，则利用相似比可计算出BF．【解答】（1）解：如图，⊙O为所作；（2）①证明：连结AE，如图，∵AC为直径，∴∠AEC=90°，∵AB=AC，∴BE=CE=4，∴AE平分∠BAC，即∠DAE=∠CAE，∴=，∴DE=CE；②解：作DF⊥BC于F，连结CD，如图，在Rt△ABE中，AE===8，∵CD•AB=AE•BC，∴CD==，∵∠BAE=∠DCF，∴Rt△ABE∽Rt△CDF，∴=，即=，解得BF=，即点D到BC的距离为．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和勾股定理．26．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作二射线AC与斜边EF平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）•（1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．【考点】圆的综合题；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定；相似三角形的判定与性质．【专题】动点型．【分析】（1）过点Q作QH⊥AB于H，如图①，易得PQ=EF=5，由AC∥EF可得四边形EFPQ是平行四边形，易证△AHQ∽△EDF，从而可得AH=ED=4，进而可得AH=HE=4，根据垂直平分线的性质可得AQ=EQ，即可得到PQ=EQ，即可得到平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，则有AQ=t，EM=EF=，AD=12﹣t，DE=4．由EF∥AC可得△DEM∽△DAQ，然后运用相似三角形的性质就可求出t的值；②若以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，则点Q在∠ADF的角平分线上（如图③）或在∠FDB的角平分线（如图④）上，故需分两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质求出AH、DH（用t表示），再结合AB=12，DB=t建立关于t的方程，然后解这个方程就可解决问题．【解答】解：（1）四边形EFPQ是菱形．理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，∵t=5，∴AP=2×5=10．∵点Q是AP的中点，∴AQ=PQ=5．∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3，∴EF==5，∴PQ=EF=5．∵AC∥EF，∴四边形EFPQ是平行四边形，且∠A=∠FEB．又∵∠QHA=∠FDE=90°，∴△AHQ∽△EDF，∴==．∵AQ=EF=5，∴AH=ED=4．∵AE=12﹣4=8，∴HE=8﹣4=4，∴AH=EH，∴AQ=EQ，∴PQ=EQ，∴平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，此时AQ=t，EM=EF=，AD=12﹣t，DE=4．∵EF∥AC，∴△DEM∽△DAQ，∴=，。

第6题图 江苏省宜兴市官林学区2016届九年级数学上学期期中试题（考试时间：100分 满分：100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1、下列方程是一元二次方程的是 （ ）A ．2x 2－5x +3B ．2x 2－y+1=0C ．x 2=0D ．1x 2+ x =2 2、若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0， 则m 的值等于 （ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．03、三角形两边的长是2和3，第三边的长是方程x 2－8x +12=0的根，则该三角形的周长为( )A ．7B ．11C ．7或11D ．以上都不对4、关于x 的一元二次方程（a −1）x 2−2x +3=0有实数根，则整数a 的最大值是 （ ）A ．2B ．1C ．0D ．−15、 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是 （ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交6、如图，直径为10的⊙A 经过点C 和点O ，点B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，∠OBC =30°，则点C 的坐标为 （ ）A ．（0，5）B ．（0，35）C ．（0，325）D ．（0，335） 7、如图，正方形ABCD 的边长为9，点E 是AB 上的一点，将△BCE 沿CE 折叠至△FCE ，若CF ，CE 恰好与以正方形ABCD 的中心为圆心的⊙O 相切，则折痕CE 的长为 （ ）A ．4 3B ．833 C ．45 D ．6 3 8、如图，等边三角形ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了 （ ）A ．5周B ． 4周C ．3周D ．2周二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分））第7题图 A B E D F · O 第8题图 O D A B CN M D B C O A 9、已知x =－1是方程2x 2＋x ＋m =0的一个根，则m = ．10、方程x 2+ax-1=0根的情况是 .11、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 .12、有一块长30cm ，宽20cm 的纸板，要挖出一个面积为200cm 2的长方形的孔，并且四周宽度相等，若设这个宽度为x cm ，则可得方程为 ．13、已知关于x 的一元二次方程x 2−x −3=0的两个实数根分别为α、β，则=++)3)(3(βα _______________.14、如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，AD 为直径，∠C =130°，则∠ADB 的度数为 ．15、若实数a 是方程x 2﹣2x +1=0的一个根，则2a 2﹣4a +5=__________．16、如图，△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O 是它的内切圆，点D 是其中的一个切点， 已知AD =10cm ，小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线MN 剪下一块三角形（△AMN ），则剪下的△AMN 的周长为 .17、在平面直角坐标系中，以点(3，－5)为圆心，r 为半径的圆上有且仅有．．．．两点到x 轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r 的取值范围是 .18、如图，正六边形ABCDEF 是边长为2cm 的螺母，点P 是FA 延长线上的点，在A 、P 之间拉一条长为12cm的无伸缩性细线，一端固定在点A ，握住另一端点P 拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P 运动的路径长为___________.第16题图 第18题图 三、解答题（本大题共8小题，共56分））19、（本题满分12分）解下列方程（1）(x ―2)2―16＝0； （2）2x 2＋3x ―1＝0．（3）x 2﹣12x ﹣4=0；（配方法） （4）3（x ﹣1）2=x （x ﹣1）． 20、（本题满分6分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D 点的位置， 并写出D 点的坐标为 ；（2）连接AD 、CD ，⊙D 的半径为 ，∠ADC 的度数为 ；（3）若扇形DAC 是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．O B C D A第14题图21、（本题满分5分）如图为一桥洞的形状，其正视图是由圆弧 ⌒CD 和矩形ABCD 构成．O 点为 ⌒CD 所在⊙O 的圆心，点O 又恰好在AB 为水面处．若桥洞跨度CD 为8米，拱高（OE ⊥ 弦CD 于点F ）EF 为2米．（1）求 ⌒CD 所在⊙O 的半径DO ；（2）若河里行驶来一艘正视图为矩形的船，其宽6 米，露出水面AB 的高度为h 米，求船能通过桥洞时的最大高度h ．22、（本题满分5分）已知等腰△ABC 的一条边长a ＝2，另两边的长b 、c 恰好是关于x 的一元二次方程x 2－(k +3)x + 3k ＝0的两个根，求△ABC 的周长．23、（本题满分6分）已知，关于x 的方程x m mx x 2222+-=-的两个实数根1x 、2x 满足12x x =，求实数m 的值.24、(本题满分6分)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点， CD = CB ，延长CD 交BA 的延长线于点E ．(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若OF ⊥BD 于点F ，且OF =1，∠ABD = 30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)25、（本题满分8分）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）.当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元？26、（本题满分8分）如图，矩形ABCD ，A （0，3）、B （6，0），点E 在OB 上，∠AEO =45°，点P 从点Q （-4，0）出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒．（1）求点E 的坐标；（2）当∠PAE =15°时，求t 的值；（3）以点P 为圆心，PA 为半径的P ⊙随点P 的运动而变化，当P ⊙与四边形AEBC 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．官林学区2015～2016学年第一学期期中考试九年级数学参考答案题号 12 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C B A D B9． -1 10． 有两个不相等的实数根11． 8π 12． （30―2x ）（20―2x ）＝20013． 9 14． 40°15． 3 16． 20 cm17． 4<r<6 18． 14π三、解答题(本大题共8小题，共56分)19．(本题满分12分)（1）(x ―2)2―16＝0； （2）2x 2＋3x ―1＝0．解：(x ―2)2＝16 ………（1分） 解：a ＝2，b ＝3，c ＝―1x ―2＝±4 ………（2分） ∴b 2―4ac ＝17＞0 …………（1分）∴x 1＝6，x 2＝―2 ……（3分） ∴x 1＝―3＋174，x 2＝―3―174（3分）（3）x 2﹣12x ﹣4=0；（配方法）解： x 2﹣12x =4，配方得：x 2﹣12x +62=4+62，（x ﹣6）2=40，…………（1分）开方得：x ﹣6=±，…………（2分）x 1=6+2，x 2=6﹣2；…………（3分）（4）3（x ﹣1）2=x （x ﹣1）．解：移项得：3（x ﹣1）2﹣x （x ﹣1）=0，（x ﹣1）[3（x ﹣1）﹣x ]=0，…………（1分）x ﹣1=0，2x ﹣3=0，…………（2分）x 1=1，x 2=1.5．…………（3分）20．(本题满分6分)（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D 点的位置，…………（1分）并写出D点的坐标为（2，0）；…………（2分）（2）连接AD、CD，⊙D的半径为2，…………（3分）∠ADC的度数为90°；…………（4分）（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．解：弧AC的长=π×2=π，设圆锥底面半径为r则有2πr=π，解得：r=，所以圆锥底面半径为．…………（6分）21．(本题满分5分)CD所在⊙O的半径DO为5米。

初中数学试卷 马鸣风萧萧2014-2015学年度周铁学区第一学期期中考试九年级数学答案一、选择题（每题3分）1.C2.C3.A4.D5.B6.B7.D8.B9.C 10.A二、填空（每题2分）11.答案不限 12. -2 13. 5 14. 480 15.k ≥0且k ≠116. 610 17.4-23π 18.2±2 三、解答题19.（1）x(x-4)=0---- 2分，x 1=0, x 2=4----4分（2）（x-1）2=2----1分，x-1=±2----2分，x=1±2-----4分(3)∆=12----2分，x=2±3---4分(4) （x-2）(3x-5)=0----2分，x=2,35----4分 20.原式=x---2分，方程的解x 1=1(舍), x 2=2---4分，原式=2----5分21.解：设小道宽度为x 米。

（30-2x ）(20-x)=532--------2分x 1=1, x 2=34（舍）------4分，回答---------5分22.解：设OD=x.82+(x-4)2=x 2-----2分，x=10--------4分∵∠M=∠D ，∠M=21∠BOD ，∴∠D=21∠BOD----6分，∴∠D=300-----7分 23.解：（1）∆=（2k-3）2-----2分，∵（2k-3）2≥0，∴结论成立。

----3分(2)①b=4,c=2----4分，周长=10---5分；②b=c=2（舍）---6分，∴周长=10---7分24.解：设垂直于墙的一边长x 米。

x(38-2x)=180--------2分， x 1=10, x 2=9----4分检验舍去x 2=9----5分， 回答---6分25.解：①∵CD 是直径∴∠CED=∠AED=900---2分，∵点G 是AD 的中点∴GE=AG=GD---3分；②相切---4分， 连接OE ，∵GE=GD ∴∠GED=∠GDE---5分，∵OE=OD ∴∠OED=∠ODE---6分 ∵CD 是高∴∠ODE+∠GDE=900---7分，∴∠ODE+∠GDE=900，∴OE ⊥GE ，∴GE 与⊙O 相切---8分26.解：（1）AP=t,BQ=26-3t,作PE ⊥BC 于E.QE=26-4t.(26-4t)2+64=100t=5或8----2分（2）当PQ 与⊙O 相切时，PQ=AP+BQ=26-2t, (26-4t)2+64=(26-2t)2相切t=8或32----4分， 当t=326时运动停止，相交0≤t ＜32或8＜t ≤326------6分 相离 32＜ t ＜8-----8分 27.解：①设售价提高x 元。