(浙江专版)19版高考数学一轮复习第二章函数2.1函数及其表示学案

重点强化课(一) 函数的图象与性质[复习导读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．重点1 函数图象的应用已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( ) 【导学号：51062061】A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34A [画出函数f (x )的图象，如图，当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12；当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34，故有13≤x ≤34.因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.][迁移探究1] 在本例条件下，若关于x 的方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，某某数k 的取值X 围．[解] 由函数f (x )的图象(图略)可知，当k ＝0或k >1时，方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，即实数k 的取值X 围是k ＝0或k >1.15分[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，某某数k 的取值X 围．[解] 函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k |x |的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k ≥2或k ＝0，即实数k 的取值X 围为k ＝0或k ≥2.15分[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右X 围对应定义域，上下X 围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或X 围．3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．[对点训练1] 已知函数y ＝f (x )的图象是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧，如图1所示，则不等式f (x )>f (－x )－2x 的解集是________．图1(－1,0)∪(1，2] [由图象可知，函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )>－x ，在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．]重点2 函数性质的综合应用☞角度1 单调性与奇偶性结合(1)(2017·某某市质检(二))下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝lg xC ．y ＝|x |－1D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ (1)C (2)C [(1)函数y ＝1x是奇函数，排除A ；函数y ＝lg x 既不是奇函数，也不是偶函数，排除B ；当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x单调递减，排除D ；函数y ＝|x |－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选C.(2)因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a－1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.]☞角度2 奇偶性与周期性结合(2017·某某适应性考试(二))若函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋1，且f (－3)＝5，则f (π＋3)＝________. 【导学号：51062062】－3 [令g (x )＝a sin 2x ＋b tan x ，则g (x )是奇函数，且最小正周期是π，由f (－3)＝g (－3)＋1＝5，得g (－3)＝4，则g (3)＝－g (－3)＝－4，则f (π＋3)＝g (π＋3)＋1＝g (3)＋1＝－4＋1＝－3.]☞角度3 单调性、奇偶性与周期性结合已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)D [因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．] [规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．重点3 函数图象与性质的综合应用(1)(2017·某某二检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值X 围是( )A ．[－1,1)B ．[0,2]C ．[－2,2)D ．[－1,2)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －1，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)(1)D (2)C [(1)由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x ＞a 时有一个解．由x ＝2，得a ＜2. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2， 由x ≤a ，得a ≥－1.综上，a 的取值X 围为[－1,2)．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －1，x ＞0的图象如图所示，当a <1时，函数y ＝f (x )的图象与函数f (x )＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．][规律方法] 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值X 围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．[对点训练2] (2017·某某一模)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞bB [由函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，得函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0,1)时，f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝|log 2x |，且x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (4)，所以b ＞a ＞c ，故选B.] 重点强化训练(一) 函数的图象与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( )【导学号：51062063】A ．－12B.12C ．2D ．－2B [因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.]2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]3．函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为函数f (x )在定义域上单调递增， 又f (－2)＝3－2－1－2＝－269＜0，f (－1)＝3－1－12－2＝－136＜0， f (0)＝30＋0－2＝－1＜0，f (1)＝3＋12－2＝32＞0，所以f (0)·f (1)＜0，所以函数f (x )的零点所在区间是(0,1)．]4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值X 围是( )A ．[1,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]C [∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2.]5．(2017·某某质检(二))若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，则( )A ．f (3)＜f (1)＜f (－2)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (－2)＜f (1)D [由对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，f x 2－f x 1x 2－x 1＜0得函数f (x )为[0，＋∞)上的减函数，又因为函数f (x )为偶函数，所以f (3)＜f (2)＝f (－2)＜f (1)，故选D.]二、填空题6．函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]上的图象如图2所示，则当x ∈[－2,2]时，f (x )＋f (－x )＝________. 【导学号：51062064】图20 [由题图可知，函数f (x )为奇函数， 所以f (x )＋f (－x )＝0.]7．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值X 围为________．[0,1] [设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1，所以0≤a ≤1.]8．(2017·某某质检)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝0，则满足f (x －1)＜0的x 的取值X 围是________．(－∞，－1)∪(1,3) [依题意当x ∈(1，＋∞)时，f (x －1)＜0＝f (2)的解集为x ＜3，即1＜x ＜3；当x ∈(－∞，1)时，f (x －1)＜0＝f (－2)的解集为x ＜－1，即x ＜－1.综上所述，满足f (x －1)＜0的x 的取值X 围是(－∞，－1)∪(1,3)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝2x，当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解，两个解？ [解] 令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示.4分由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；10分当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解.15分 10．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值.【导学号：51062065】[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f8＝2，f1＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，4分解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x .6分 (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1).8分∵x 2x －1＝x －12＋2x －1＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2x －1·1x －1＋2＝4.12分当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·某某五校二联)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ln x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eB ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)C [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ln x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|f ln x ＋f ln x |2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e＜x ＜e ，故选C.]2．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]3．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值X 围． [解] (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0.4分 (2)f (x )为偶函数.5分 证明如下：令x 1＝x 2＝－1， 有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数.10分(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).12分 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1，14分∴x 的取值X 围是{x |－15<x <17且x ≠1}.15分。

【2019最新】精选高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-1函数及其表示学案理考纲展示► 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．考点1 函数的概念1.函数与映射的概念确定2．函数由定义域、________和值域三个要素构成．答案：对应关系3．相等函数：如果两个函数的________和________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．答案：定义域对应关系[教材习题改编]以下属于函数的有________．①y＝±x；②y2＝x＋1；③y＝＋；④y＝x2－2(x∈N)．答案：④解析：①②中，对于定义域内任意一个数x，可能有两个不同的y 值，不满足对应的唯一性，所以①②错误；③中，定义域是空集，而函数的定义域是非空的数集，所以③错误．函数与映射理解的误区：唯一性；非空数集．如图表示的是从集合A到集合B的对应，其中________是映射，________是函数．答案：①②④①②解析：函数与映射都要求对于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，所以③不是映射也不是函数；①②④表示的对应是映射；①②是函数，由于④中集合A，B不是数集，所以不是函数．[典题1] (1)下列四个图象中，是函数图象是( )A．① B．①③④C．①②③ D．③④[答案] B[解析] ②中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；①③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B.(2)下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2B．f(x)＝，g(x)＝()2C．f(x)＝，g(x)＝x＋1D．f(x)＝·，g(x)＝x2－1[答案] A[解析] A中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)；B中，f(x)＝|x|(x∈R)，g(x)＝x(x≥0)，∴两函数的定义域不同；C中，f(x)＝x＋1(x≠1)，g(x)＝x＋1(x∈R)，∴两函数的定义域不同；D中，f(x)＝·(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}；g(x)＝(x2－1≥0)，g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．∴两函数的定义域不同．故选A.(3)下列集合A到集合B的对应f中：①A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方；②A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方；③A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数；④A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值．是从集合A到集合B的函数的为________．[答案] ①[解析] ②中，由于1的开方数不唯一，因此f不是A到B的函数；③中，A中的元素0在B中没有对应元素；④中，A中的元素0在B中没有对应元素．[点石成金] 函数的三要素：定义域、值域、对应法则．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应法则唯一确定．因此当且仅当定义域和对应法则都相同时，函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应法则是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．考点2 函数的定义域对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域．(1)[教材习题改编]函数f(x)＝＋的定义域为( )A．[0,2)B．(2，＋∞)C．[0,2)∪(2，＋∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案：C (2)[教材习题改编]若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )A BC D答案：B 定义域问题的两个易错点：忽略定义域；化简后求定义域．(1)已知长方形的周长为12，设一边长为x，则其面积y关于x的函数解析式为________．答案：y＝x(6－x)(0＜x＜6)解析：因为长方形一边长为x，则另一边长为＝6－x，所以y＝x(6－x)．又x＞0,6－x＞0，所以0＜x＜6.如果不考虑x的范围，会扩大x的范围，这样会使实际问题失去意义．(2)函数y＝的定义域为________．答案：(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：要使函数有意义，应使x－1≠0，即x≠1，所以函数定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．本题如果对解析式化简会有y＝＝＝x＋2，从而得函数定义域为R，所以在求解定义域时，不能对函数变形、化简，以免定义域发生变化．[考情聚焦] 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．主要有以下几个命题角度：角度一求给定函数解析式的定义域[典题2] (1)[2017·山东淄博月考]函数f(x)＝的定义域是( )A．(0,2)B．(0,1)∪(1,2)D．(0,1)∪(1,2]C．(0,2][答案] D [解析] 要使函数有意义，则有即所以0<x≤2且x≠1，所以函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2]，故选D. (2)[2017·山东青州高三模拟]函数f(x)＝ln(x－1)＋的定义域为( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2][答案] A[解析] 函数f(x)＝ln(x －1)＋的定义域为⇒1<x<2，故选A.角度二求抽象函数的定义域[典题3] (1)若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lg x)的定义域为( )A ．[－1,1]B ．[1,2]C ．[10,100]D ．[0，lg 2][答案] C[解析] 因为f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2＋1≤2.因为f(x2＋1)与f(lg x)是同一个对应法则，所以1≤lg x≤2，即10≤x≤100， 所以函数f(lg x)的定义域为[10,100]．(2)[2017·河北唐山模拟]已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f ＋f 的定义域是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 [解析] 因为函数f(x)的定义域是[0,2]，所以函数g(x)＝f ＋f中的自变量x 需要满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x＋12≤2，0≤x－12≤2，解得≤x≤，所以函数g(x)的定义域是.角度三已知定义域确定参数问题[典题4] [2017·安徽合肥模拟]若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．[答案] [－1,0][解析] 函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.[点石成金] 求函数定义域的两种方法函数的表示法表示函数的常用方法有：________、________、________.答案：解析法图象法列表法[典题5] (1)已知f＝lg x，则f(x)＝________.[答案] lg (x>1)[解析] 令t ＝＋1(t ＞1)，则x ＝，∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg (x ＞1)．(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，则f(x)＝________. [答案] 2x ＋7[解析] 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，则3f(x ＋1)－2f(x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f(x)＝2x ＋7.(3)已知f(x)满足2f(x)＋f ＝3x ，则f(x)＝________.[答案] 2x －(x≠0)[解析] ∵2f (x)＋f ＝3x ，① 以代替①式中的x(x≠0)，得2f ＋f(x)＝.②①×2－②，得3f(x)＝6x －，∴f(x)＝2x －(x ≠0)．(4)[2017·山东青岛一中检测]奇函数f(x)在(0，＋∞)上的表达式为f(x)＝x ＋，则在(－∞，0)上f(x)的表达式为f(x)＝________.[答案] x －－x[解析] 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－x ＋.又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x －， 即x∈(－∞，0)时，f(x)＝x －. [点石成金] 求函数解析式的方法1.已知f(＋1)＝x ＋2，则f(x)＝________.答案：x2－1(x≥1)解析：令t ＝＋1，∴t≥1，x ＝(t －1)2，则f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x ≥1)．2．已知f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x ＋2)－f(x)＝4x ＋2，则f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝x2－x ＋3解析：设f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)， 又f(0)＝c ＝3，∴f(x)＝ax2＋bx ＋3，∴f(x ＋2)－f(x)＝a(x ＋2)2＋b(x ＋2)＋3－(ax2＋bx ＋3)＝4ax＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f(x)＝x2－x ＋3.考点4 分段函数及其应用1.分段函数的定义若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．答案：对应关系 2．分段函数的性质(1)分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量的取值集合的________．(2)分段函数的值域是各段函数值的________，它的最大值取各段最大值中最大的，最小值取各段最小值中最小的．(3)分段函数的单调性，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，若符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减；若不符合，则必须分区间说明单调性．答案：(1)并集(2)并集[考情聚焦] 分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中低档题．主要有以下几个命题角度：角度一求分段函数的函数值或取值范围[典题6] [2017·广东广州模拟]设函数f(x)＝则f(f(4))＝________；若f(a)<－1，则a的取值范围为________．[答案] 5 ∪(1，＋∞)[解析] f(4)＝－2×42＋1＝－31，f(f(4))＝f(－31)＝log2(1＋31)＝5.当a≥1时，由－2a2＋1<－1，得a2>1，解得a>1；当a<1时，由log2(1－a)<－1，得log2(1－a)<log2，∴0<1－a<，∴<a<1.即a的取值范围为∪(1，＋∞)．角度二分段函数的图象与性质的应用[典题7] 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y ＝f(x)＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)[答案] D[解析] 解不等式x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3.解x2－1－(4＋x)<1，得－2<x<3.所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－∞，－2]∪[3，＋，x2－1，－2，其图象如图实线所示．由图可知，当－2≤k<1时，函数y ＝f(x)＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，故选D.[点石成金] 分段函数应用的常见题型与破解策略间进行分别求解，然后整合.[方法技巧] 1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法．[易错防范] 1.求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域，如已知f()＝x ＋1，求函数f(x)的解析式时，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，这个函数的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．2．求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．真题演练集训1．[2013·大纲全国卷]已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案：B解析：∵f(x)的定义域为(－1,0)，∴－1<2x ＋1<0，∴－1<x<－. 2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案：C解析：∵ －2<1，∴ f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.∵ log212>1，∴ f(log212)＝2log212－1＝＝6.∴ f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C. 3．[2015·浙江卷]存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有( )A．f(sin 2x)＝sin xB．f(sin 2x)＝x2＋xC．f(x2＋1)＝|x＋1|D．f(x2＋2x)＝|x＋1|答案：D解析：取特殊值法．取x＝0，，可得f(0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A错误；取x＝0，π，可得f(0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B错误；取x＝1，－1，可得f(2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C错误；取f(x)＝，则对任意x∈R都有f(x2＋2x)＝＝|x＋1|，故选项D正确．综上可知，故选D.4．[2014·山东卷]函数f(x)＝的定义域为( )A.B．(2，＋∞)C.∪(2，＋∞)D.∪[2，＋∞)答案：C解析：(log2x)2－1＞0，即log2x＞1或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜，故所求的定义域是∪(2，＋∞)．5．[2014·上海卷]设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )B．[－1,0]A．[－1,2]D．[0,2]C．[1,2]答案：D解析：∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.当x>0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时等号成立．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D.6．[2016·江苏卷]函数y＝的定义域是________．答案：[－3,1]解析：要使函数y＝有意义，则3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，则函数y＝的定义域是[－3,1]．课外拓展阅读已知定义域求参数问题[典例1] 已知函数y＝的定义域为R，求实数k的值．[解] 函数y＝的定义域即使k2x2＋3kx＋1≠0的实数x的集合．由函数的定义域为R，得方程k2x2＋3kx＋1＝0无解．当k＝0时，函数y＝＝1，函数的定义域为R，因此k＝0符合题意；当k≠0时，k2x2＋3kx＋1＝0无解，即Δ＝9k2－4k2＝5k2<0，不等式不成立．所以实数k的值为0.归纳总结已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．如本题中将求参问题转化为方程无解的问题．[典例2] 已知函数y＝(a<0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．[解] 由题意知ax＋1≥0，a<0，所以x≤－，即函数的定义域为.因为函数在(－∞，1]上有意义，所以(－∞，1]⊆，所以－≥1.又a<0，所以－1≤a<0，即a的取值范围是[－1,0)．温馨提示函数在(－∞，1]上有意义，说明函数的定义域包含区间(－∞，1]，使函数有意义的自变量的集合是定义域的子集．已知分段函数图象求解析式已知函数的图象求函数的解析式y＝f(x)，如果自变量x在不同的区间上变化时，函数y＝f(x)的解析式也不同，应分类求解．此时应根据图象，结合已学过的基本函数的图象，选择相应的解析式，用待定系数法求解，其函数解析式一般为分段函数．要注意写解析式时各区间端点的值，做到不重也不漏．[典例3] 根据如图所示的函数y＝f(x)的图象，写出函数的解析式．[解] 当－3≤x<－1时，函数y＝f(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－x －；当－1≤x<1时，同理可设f(x)＝cx ＋d(c≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f(x)＝x －； 当1≤x<2时，f(x)＝1.综上f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x<－1，32x －12，－1≤x<1，1，1≤x<2.方法探究由图象求函数的解析式，需充分挖掘图象中提供的点的坐标，合理利用待定系数法求解．对于分段函数，需观察各段图象的端点是空心点还是实心点，正确写出各段解析式对应的自变量的范围．。

第1节函数及其表示最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．知识梳理1．函数与映射的概念2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[常用结论与微点提醒]1．(1)分式中，分母不为0；(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对于幂函数y＝xα，如果α≤0，要求x≠0；(4)对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1；(5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y＝tan x要求x≠kπ＋12π，k∈Z.2．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．诊断自测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．()(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．()(3)函数y＝x2＋1－1的值域是{y|y≥1}．()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．()解析(1)函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数．(3)由于x2＋1≥1，故y＝x2＋1－1≥0，故函数y＝x2＋1－1的值域是{y|y≥0}．(4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数．答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析 A 中函数定义域不是[－2，2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0，2]． 答案 B3．(2017·山东卷)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( ) A ．(1，2)B ．(1，2]C ．(－2，1)D ．[－2，1)解析 由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴A ＝[－2，2]，由1－x ＞0得x ＜1，∴B ＝ (－∞，1)．∴A ∩B ＝[－2，1)，故选D. 答案 D4．(2018·嘉兴测试)已知a 为实数，设函数f (x )＝⎩⎨⎧x －2a，x ≤2，log 2（x －2），x ＞2，则f (2a＋2)的值为( ) A ．2aB ．aC ．2D ．a 或2解析 因为2a ＋2＞2，所以f (2a ＋2)＝log 2(2a ＋2－2)＝a ，故选B. 答案 B5．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )＝__________． 解析 由题意得g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴g (x )＝2x －1. 答案 2x －16．(2018·绍兴一中适应性考试)设函数f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝__________，方程f (f (x ))＝1的解集为__________．解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝e ln 12＝12.令f (x )＝t ，由f (t )＝1，解得t ＝0或t ＝e ，所以再解f (x )＝0及f (x )＝e ，解得x ＝1或x ＝e e ，所以方程f (f (x ))＝1的解集为{1，e e }． 答案 12 {1，e e }考点一 求函数的定义域【例1】 (1)(2017·杭州调研)函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 018]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是____________．解析 (1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为(1，＋∞)．(2)∵y ＝f (x )的定义域为[1，2 018]， ∴g (x )有意义，应满足⎩⎨⎧1≤x ＋1≤2 018，x －1≠0.∴0≤x ≤2 017，且x ≠1.因此g (x )的定义域为{x |0≤x ≤2 017，且x ≠1}． 答案 (1)B (2){x |0≤x ≤2 017，且x ≠1} 规律方法 求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 【训练1】 (1)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2，3)B ．(2，4]C ．(2，3)∪(3，4]D ．(－1，3)∪(3，6](2)已知函数f (x )＝，当a ＝1时不等式f (x )≥1的解集是________；若函数f (x )的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析(1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎨⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，∴⎩⎨⎧|x |≤4，x －2>0且x ≠3，则2<x ≤4，且x ≠3. 所以f (x )的定义域为(2，3)∪(3，4]．(2)当a ＝1时，f (x )≥1⇔2x 2－2x ＋1≥2，由指数函数的单调性可得x 2－2x ＋1≥1，解得不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)．若函数的定义域为R ，即不等式2x 2－2ax ＋a≥1恒成立，等价于x 2－2ax ＋a ≥0恒成立，只需Δ＝4a 2－4a ≤0，解得a ∈[0，1]．答案 (1)C (2)(－∞，0]∪[2，＋∞) [0，1] 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________．解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 则2ax ＋a ＋b ＝x －1， ∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2. (3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x －1，解得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)lg 2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )．(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．【训练2】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________．(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________．(3)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________． 解析 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)． (3)当x ∈(－1，1)时， 有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 将x 换成－x ，则－x 换成x ， 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1，1)． 答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1) (3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1) 考点三 分段函数(多维探究) 命题角度1 求分段函数的函数值【例3－1】 设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3B ．6C ．9D ．12解析 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1， ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6， 因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案 C命题角度2 求参数的值或取值范围【例3－2】 (1)(2017·山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(2018·绍兴调研)设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x ＜2，log 3（x 2－1），x ≥2，则 f (f (1))＝________；不等式f (x )＞2的解集为________． 解析 (1)由已知得0＜a ＜1，∴a ＋1>1. ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2(a ＋1－1)， 解得a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6.(2)f (1)＝2e 0＝2，f (f (1))＝f (2)＝log 3(4－1)＝1.当x ＜2时，f (x )＞2即e x －1＞1＝e 0，∴x ＞1，∴1＜x ＜2.当x ≥2时，f (x )＞2即为log 3(x 2－1)＞2＝log 332，∴x 2＞10，即x ＞10或x ＜－10，∴x ＞10. 答案 (1)C (2)1 (1，2)∪(10，＋∞)规律方法 (1)根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【训练3】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14(2)(2018·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－（x －1）2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________． 解析 (1)当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3， 即2a －1＝－1，不成立，舍去； 当a >1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3， 即log 2(a ＋1)＝3，解得a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A.(2)当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1，解之得－4≤x ≤0.当x >0时，由题意得－(x －1)2≥－1， 解之得0<x ≤2，综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}． 答案 (1)A (2){x |－4≤x ≤2}。

新浙江专版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第1节函数及其表示教师用书[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情][重点关注]从近五年浙江高考试题来看，函数导数及其应用是每年高考命题的重点与热点，既有客观题，又有解答题，各种难度的题目均有．第一节 函数及其表示1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量x 的取值范围(数集A )叫做函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．(2017·金华十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x ＞0，2x， x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14B [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝log 5125＝log 55－2＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝f (－2)＝2－2＝14，故选B.]4．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.【导学号：51062013】－2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.] 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数； ③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数． 其中正确命题的序号是________． ① [由函数的定义知①正确．∵满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，2－x ≥0的x 不存在，∴②不正确．∵y ＝2x (x ∈N )的图象是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确． ∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确．](1)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．(2)(2017·浙江五校联考模拟)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________．(1)[－3,1] (2)[0,1) [(1)要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)．][规律方法] 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解．2．(1)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． [变式训练1] (1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________．(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＞－3，∴－3＜x ≤0.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1).5分 (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.10分(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0).15分[规律方法] 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )；(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，即得f (x )的表达式．[变式训练2] (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________.【导学号：51062014】(1)x 2－1(x ≥1) (2)23 x ＋13(x ＞0) [(1)(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中，用1x代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f x 1x－1，得f (x )＝23 x ＋13(x ＞0)．]☞角度1 求分段函数的函数值(1)(2017·温州联考)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9(2)(2017·中学模拟)已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，－x ，x ＜0，那么f ⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝( )A ．2 016 B.14 C ．4D.12 016(1)C (2)C [(1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C.(2)当x ≥0时，有f (x ＋2 016)＝2sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 016＋π4＝2sin π4＝1；当x ＜0时，f (x ＋2 016)＝lg(－x )，∴f (－7 984)＝f (－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝1×4＝4，故选C.]☞角度2 已知分段函数的函数值求参数(1)(2017·台州二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为( )A ．1B ．1或－1 C. 3D.3或－ 3(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34 D.12(1)D (2)D [(1)f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝±3，故选D.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则2－b ＝4，解得b ＝12.]☞角度3 解与分段函数有关的方程或不等式(1)(2017·温州一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2，－1＜x ≤0，log 2x ＋，0＜x ＜1，且f (x )＝－12，则x 的值为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(1)－13 (2)(－∞，8] [(1)当－1＜x ≤0时，f (x )＝sin πx 2＝－12，解得x ＝－13；当0＜x ＜1时，f (x )＝log 2(x ＋1)∈(0,1)，此时f (x )＝－12无解，故x 的值为－13.(2)当x <1时，x －1<0，ex －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x ≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．][规律方法] 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论．[思想与方法]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础，对函数性质的讨论，必须在定义域内进行．3．求函数解析式的几种常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、构造法．4．分段函数问题要分段求解．[易错与防范]1．求函数定义域时，不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．2．用换元法求函数解析式时，应注意元的范围，既不能扩大，又不能缩小，以免求错函数的定义域．3．在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；如果x0的范围不确定，要分类讨论．课时分层训练(三) 函数及其表示A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－xC [在A 中，定义域不同，在B 中，解析式不同，在D 中，定义域不同．] 2．(2017·浙江名校联考)设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )A B C DB [A 项，定义域为[－2,0]，D 项，值域不是[0,2]，C 项，当x ＝0时有两个y 值与之对应．故选B.]3．(2017·质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1A [设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A.]4．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )【导学号：51062015】A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1xD [函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14A [由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x>0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.]二、填空题6．(2017·温州二次质检)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －，x ≥2，|x 2－2|，x ＜2，则f (5)＝________.【导学号：51062016】1 [由题意得f (5)＝f (3)＝f (1)＝|12－2|＝1.]7．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． [－1,2] [∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．(－∞，2] [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f a ＜0，f2a ＋f a或⎩⎪⎨⎪⎧f a ，－f 2a，解得f (a )≥－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.]三、解答题9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式. 【导学号：51062017】[解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，4分即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，8分解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.15分10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式．[解] (1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2.4分 (2)当x ＞0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；8分 当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＞0，x 2－4x ＋3，x ＜0.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①B [对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________.【导学号：51062018】⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ [由f (f (a ))＝2f (a )，得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1. 当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23.]3．根据如图2­1­1所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．图2­1­1[解] 当－3≤x ＜－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72；3分当－1≤x ＜1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)， 将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －12；8分当1≤x ＜2时，f (x )＝1.10分所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.15分。

（浙江版）2019年高考数学一轮复习 专题2.1 函数及其表示（讲）【考纲解读】【知识清单】1. 函数与映射的概念对点练习：设集合{}=,,A a b c ，{}=0,1B ，试问：从A 到B 的映射共有几个？ 【答案】2.函数的定义域、值域(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 对点练习：若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()【答案】B【解析】 A 中函数定义域不是[－2，2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0，2]. 3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 对点练习： 若函数满足关系式，则的值为（ ）A. 1B. -1C.D.【答案】A【解析】试题分析：因为函数满足关系式，所以，用代换，可得，联立方程组可得，故选A ． 4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 对点练习：【2017届湖南郴州监测】已知211,0()2(1),0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-->⎩，则使()1f a =-成立的值是____________.【答案】42-或【考点深度剖析】函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查，有时以小题的面目出现，有时渗透于解答题之中.分段函数表示一个函数，不是几个函数，从近几年高考命题看，考查力度有加大趋势，与之相关的题目，往往有一定的难度，关键是与基本初等函数结合，要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．【重点难点突破】考点1 映射与函数的概念【1-1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()f x =③函数2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线；④2()x f x x=与()g x x ＝是同一个函数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A【解析】(1)由函数的定义知①正确．②中满足()f x =的不存在，所以②不正确．③中2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线上的一群孤立的点，所以③不正确．④中2()x f x x=与()g x x ＝的定义域不同，∴④也不正确．故选A .【1-2】设集合，则下列对应中不能构成到的映射的是（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射；当时，集合中没有元素与之对应，所以对应不是到的映射；当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射；当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射，故选B ．【1-3】下列两个对应中是集合 到集合 的函数的有________________．（写出符合要求的选项序号）（1）设 ，，对应法则 ；（2）设 ，，对应法则；（3）设 ，对应法则除以 所得的余数；（4），对应法则．【答案】（1） （3）【领悟技法】1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”．2. 判断一个对应f ：A →B 是否为函数，一看是否为映射；二看A ，B 是否为非空数集．若是函数，则A 是定义域，而值域是B 的子集．3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 【触类旁通】【变式一】下列函数中，与函数y =的定义域相同的函数为( ) A ．1sin y x = B ．ln x y x= C ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x【答案】D【解析】函数y =的定义域是0(()0)∞∞－，，＋，而1sin y x =的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，ln x y x=的定义域为(0，＋∞)，y ＝x e x的定义域为R ，y ＝sin x x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D.【变式二】在下列图形中，表示y 是x 的函数关系的是________．【答案】①②【解析】由函数定义可知，自变量x 对应唯一的y 值，所以③④错误，①②正确． 【变式三】已知函数()23,f x x x A =-∈的值域为{1,1,3}-，则定义域A 为 . 【答案】{1,2,3}考点2 求函数的解析式【2-1】已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 【答案】()27f x x =+ 【解析】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. 【2-2】已知2(1)21f x x x -=-+，求()f x 【答案】2()232f x x x =-+【解析】(换元法)设1t x =-，则1x t =-， ∴22()2(1)(1)1232f t t t t t =---+=-+， ∴ 2()232f x x x =-+.【2-3】定义在(1,1)-内的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，求()f x【答案】21()lg(1)lg(1)33f x x x =++-，x ∈(1,1)-【领悟技法】1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解．6.求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错． 【触类旁通】【变式一】某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10 B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510【答案】B【变式二】已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，则f (x )＝________.【答案】()22(][22)f x x x ∈∞∞＝－，－，－，＋【解析】（配凑法） (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，又x ＋1x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴()22(][22)f x x x ∈∞∞＝－，－，－，＋ 考点3 分段函数及其应用【3-1】【2017东营模拟】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23 D ．139【答案】D【解析】由题意知f (3)＝23≤1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝139.【3-2】已知函数lg ,0()3,0f x x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f ＋＝，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－3或1C ．1D ．－1或3【答案】B【解析】∵()1 10f lg ＝＝，∴()0f a =，当a ＞0时，lg a ＝0，a ＝1.当a ≤0时，a ＋3＝0，a ＝－3.所以a ＝－3或1.【3-3】【2014浙江高考理第15题】设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______【答案】a ≤解得，0a <或a ≤，故a ≤【领悟技法】1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．【触类旁通】【变式一】【2017江西师范附属3月模拟】已知函数()()22log 3,2,{21,2x x x f x x ---<=-≥，若()21f a -=，则()f a =（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2 【答案】A【解析】当22a -≥即0a ≤时, 22211a ---=,解得1a =-， 则()()()21log 312f a f ⎡⎤=-=---=-⎣⎦；当22a -<即0a >时, ()2log 321a ⎡⎤---=⎣⎦，解得12a =-，舍去. ∴()2f a =-. 【变式二】【2017广州调研】定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ≤0f x －，x ＞0，则f (3)的值为( )A ．－4B ．2C ．log 213D ．4【答案】D【解析】()()()()422(321016)02 4.f f f f log log ＝＝＝＝－＝＝【易错试题常警惕】易错典例：已知函数x x x f 2)(2+=12(≤≤-x且x Z ∈），则()f x 的值域是( )A ．[]0,3B ．[]1,3- C ．{}0,1,3 D ．{}1,0,3- 易错分析：本题易忽视定义域的重要作用，误选B .正确解析：由已知得函数()22f x x x =+的定义域为{}2,1,0,1--,则()20f -=,()11f -=-,()00f =,()13f =,所以函数的值域为{}1,0,3-.故正确答案为D .温馨提醒：函数三要素是指定义域、值域、对应法则.当函数的定义域、对应法则确定后，其值域也随之确定.【数学素养提升之思想方法篇】分段函数求值妙招——分类讨论思想分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题时应注意以下三点： (1)明确分段函数的分段区间．(2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系． (3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内． 【典例】已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________． 【答案】34-符合题意.故34a =-.。

§2.1函数及其表示考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计2013 2014 2015 2016 20171.函数的概念及其表示1.了解函数、映射的概念,会求一些简单的函数定义域和值域.2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法.3.理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能求函数的最大(小)值.理解17,4分21(2),7分22(2),7分11(文),4分17(文),4分21(文),约4分22(文),约5分6,5分10,5分22,14分10(文),5分7,5分18,15分18,约5分2.分段函数及其应用了解简单的分段函数,并能简单应用.了解8,5分22(2),4分15,4分15(文),4分10,6分12(文),6分18,15分18,15分17,4分分析解读 1.考查重点仍为函数的表示法,分段函数等基本知识点,考查形式有两种,一种是给出分段函数表达式,求相应的函数值或相应的参数值(例: 2014浙江15题);另一种是定义一种运算,给出函数关系式考查相关数学知识(例: 2015浙江7题).2.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,能运用求值域的方法解决最值问题.3.函数值域和最值是高考考查的重点,常以本节内容为背景结合其他知识进行考查,如解析式与函数最值相结合(例:2015浙江10题),函数最值与向量相结合(例:2013浙江17题).4.预计2019年高考中,考查分段函数及其应用、函数值域与最值的可能性很大,特别是对与不等式、函数单调性相结合的考查,复习时应引起重视.五年高考考点一函数的概念及其表示1.(2015浙江,7,5分)存在函数f(x)满足:对于任意x∈R都有( )A.f(sin 2x)=sin xB.f(sin 2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|答案 D2.(2014江西,2,5分)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( )A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)答案 C3.(2014江西,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( )A.1B.2C.3D.-1答案 A4.(2014山东,3,5分)函数f(x)=的定义域为( )A. B.(2,+∞)C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)答案 C5.(2013浙江文,11,4分)已知函数f(x)=.若f(a)=3,则实数a= .答案106.(2016江苏,5,5分)函数y=的定义域是.答案[-3,1]教师用书专用(7—8)7.(2013江西,2,5分)函数y=ln(1-x)的定义域为( )A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]答案 B8.(2014四川,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)答案①③④考点二分段函数及其应用1.(2017山东文,9,5分)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=( )A.2B.4C.6D.8答案 C2.(2015课标Ⅱ,5,5分)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=( )A.3B.6C.9D.12答案 C3.( 2015山东,10,5分)设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( )A. B.[0,1] C. D.[1,+∞)答案 C4.(2015浙江,10,6分)已知函数f(x)=则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是.答案0;2-35.(2014浙江,15,4分)设函数f(x)=若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是.答案(-∞,]6.(2014浙江文,15,4分)设函数f(x)=若f(f(a))=2,则a= .答案7.(2017课标全国Ⅲ文,16,5分)设函数f(x)=则满足f(x)+f >1的x的取值范围是.答案8.(2016浙江,18,15分)已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).解析(1)由于a≥3,故当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)=(ii)当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.所以,M(a)=9.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.解析(1)证明:由f(x)=+b-,得对称轴为直线x=-.由|a|≥2,得≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=得|a|+|b|≤3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.教师用书专用(10—12)10.(2015湖北,6,5分)已知符号函数sgn x=f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则( )A.sgn[g(x)]=sgn xB.sgn[g(x)]=-sgn xC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]答案 B11.(2014福建,7,5分)已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)答案 D12.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)=则f(f(-2))= , f(x)的最小值是. 答案-;2-6三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一函数的概念及其表示1.(2018浙江名校协作体期初,9)函数y=x+的值域为( )A.[1+,+∞)B. (,+∞)C.[,+∞)D.(1,+∞)答案 D考点二分段函数及其应用2.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,10)已知函数f(x)=函数g(x)=asin-2a+3(a>0).若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.(0,2]答案 A3.( 2017浙江宁波期末,3)函数f(x)=则f[f(2)]=( )A.-2B.-1C.-2D.0答案 B4.(2017浙江宁波二模(5月),14)定义max{a,b}=已知函数f(x)=max{|2x-1|,ax2+b},其中a<0,b∈R.若f(0)=b,则实数b的范围为;若f(x)的最小值为1,则a+b= .答案[1,+∞);15.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,16)已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是.答案[0,2)6.(2016浙江镇海中学测试(六),9)已知函数f(x)= 则f= ;若f(f(t))∈[-1,0],则t 的取值范围是.答案0;∪[-1,0]∪∪[,2]B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2017浙江温州模拟(2月),10)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x+1)=+,则f(0)+f(2 017)的最大值为( )A.1-B.1+C.D.答案 B2.(2017浙江湖州期末调研,1)已知f(x)是R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=则函数y=f(x)+的所有零点之和是( )A.1-B.-1C.5-D.-5答案 B二、填空题3.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,16)若函数f(x)=(-x2-2x+3)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的值域为.答案(-∞,16]4.(2018浙江重点中学12月联考,17)已知a∈R,函数f(x)=若存在三个互不相等的实数x1,x2,x3,使得===-e成立,则a的取值范围是.答案(-∞,-2)5.(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,16)已知定义域和值域都为R的函数f(x)满足f[f(x)+f(y)]=2f(x)+4y-3,则当x>0时,函数f(x)的取值范围是.答案(-1,+∞)6.(2016浙江宁波一模,12)对于定义在R上的函数f(x),若存在实数a,使得f(a+x)·f(a-x)=1对任意实数恒成立,则称f(x)为关于a的“倒函数”.已知定义在R上的函数f(x)是关于0和1的“倒函数”,且当x∈[0,1]时, f(x)的取值范围为[1,2],则当x∈[1,2]时,f(x)的取值范围为,当x∈[-2 016,2 016]时, f(x)的取值范围为.答案;C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求函数定义域的解题策略1.求下列函数的定义域:(1)y=+;(2)y=+(5x-4)0.解析(1)由得所以函数的定义域为{x|x<-2或-2<x≤-1或1≤x<2或x>2}.(2)由得所以函数的定义域为.2.若函数f(2x)的定义域是[-1,1],求函数f(log2x)的定义域.解析由函数f(2x)的定义域是[-1,1]得-1≤x≤1,所以≤2x≤2,即函数f(x)的定义域为.令≤log2x≤2,解得≤x≤4,所以函数f(log2x)的定义域为[,4].方法2 求函数解析式的解题策略3.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,16)f(x)是定义在R上的函数,若f(1)=504,对任意的x∈R,满足f(x+4)-f(x)≤2(x+1)及f(x+12)-f(x)≥6(x+5),则= .答案 2 0174.已知函数f(x)满足:当x≠0时,都有f=x3-,求f(x)的解析式.解析∵x3-==,∴f=,∴f(x)=x(x2+3)=x3+3x.又函数y=x-的值域为R,故f(x)的解析式为f(x)=x3+3x(x∈R).5.已知定义在R上的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y,都有 (x-1)f(y)+(y-1)f(x)=2f(x)f(y)-2x-2y-4,求函数f(x)的解析式.解析令y=x,得2(x-1)f(x)=2f 2(x)-4x-4,即f 2(x)-(x-1)f(x)-2(x+1)=0.解关于f(x)的一元二次方程,得f(x)=x+1或f(x)=-2.6.(2017浙江金华十校调研,20)已知函数f(x)=(1)求f及x∈[2,3]时函数f(x)的解析式;(2)若f(x)≤对任意x∈(0,3]恒成立,求实数k的最小值.解析(1)f=-f=f=×=.当x∈[2,3]时,x-2∈[0,1],所以f(x)=[(x-2)-(x-2)2]=(x-2)(3-x).(2)要使f(x)≤,x∈(0,3]恒成立,只需k≥[xf(x)]max,x∈(0,3]即可.①当x∈(0,1]时,f(x)=x-x2,则对任意x∈(0,1],xf(x)=x2-x3.令h(x)=x2-x3,则h(x)max=h=;②当x∈(1,2]时,xf(x)=-x[(x-1)-(x-1)2]=x(x-1)(x-2)≤0;③当x∈(2,3]时,xf(x)=x[(x-2)-(x-2)2],令x-2=t∈(0,1],记g(t)=(t+2)(t-t2),t∈(0,1].则g'(t)=-(3t2+2t-2),令g'(t)=0,得t0=(负值舍去),故存在t0=,使得函数g(t)在t=t0处取得最大值.又>,所以当k≥时,f(x)≤对任意x∈(0,3]恒成立,故k的最小值为.方法3 分段函数的解题策略7.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,11)设函数f(x)=若f(-4)=f(0), f(-2)=-2,则b+c= ;方程f(x)=x的所有实根的和为.答案6;-1。

第6节对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式；2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用．知识梳理1．对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log aN＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1)．(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nm log a M(m，n∈R，且m≠0)．(3)对数的重要公式①换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d．3．对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． [常用结论与微点提醒]1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论． 2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．诊 断 自 测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( ) (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错．(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的函数为对数函数，故(2)错． (4)当x ＞1时，log a x ＞log b x ，但a 与b 的大小不确定，故(4)错． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(必修1P73T3改编)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b . 答案 D3．(一题多解)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1解析 法一 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1.法二 由图可知，y ＝log a (x ＋c )的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c (c ＞0)个单位而得到的，其中0＜c ＜1，再根据单调性易知0＜a ＜1. 答案 D4．(2015·浙江卷)计算：log 222＝________；2log23＋log43＝________．解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12； 2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log23＝3 3.答案 －12 3 35．(2018·湖州调研)已知a >0且a ≠1，若a 32＝278，则a ＝________；log 32a ＝________．解析 ∵a >0且a ≠1，∴由a 32＝278得a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27823＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝94；log 32a ＝log 3294＝2.答案 94 26．(2018·台州调考)已知a ＝2x，b ＝423，则log 2b ＝________，满足log a b ≤1的实数x 的取值范围是__________．解析 b ＝423＝243，所以log 2b ＝log 2243＝43；由log 2x b ≤1，得log 2x 243＝43x ≤1，即3x －43x ≥0，解得x ≥43或x ＜0，即x 的取值范围为(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.答案 43 (－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞考点一 对数的运算【例1】 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10B ．10C ．20D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________．解析 (1)由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.答案 (1)A (2)－20规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并． (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．(3)a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z(2)(2018·浙东北教联一模)若实数a ＞b ＞1，且log a b ＋log b a ＝52，则log a b ＝__________，b 2a ＝__________．解析 (1)取对数：x ln 2＝y ln 3＝z ln 5，x y ＝ln 3ln 2>32(由ln 32>ln 23可得)，∴2x >3y .x ln2＝z ln 5，则x z ＝ln 5 ln 2<52(由ln 52＜ln 25可得)，∴2x <5z ， ∴3y <2x <5z ，故选D.(2)由a ＞b ＞1，得log a b ＜1，又因为log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log ab ＝52，解得log a b＝12，所以a 12＝b ，即b 2＝a ，所以b 2a ＝1.答案 (1)D (2)12 1考点二 对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2018·绍兴调研)若函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)在R 上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a (x ＋k )的图象大致是( )(2)(2017·金华调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)由已知a ＞1且k ＝1，∴g (x )＝log a (x ＋1)(a ＞1)，其图象为C. (2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点． 答案 (1)C (2)(1，＋∞)规律方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【训练2】 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)(一题多解)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.(2)法一 由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.法二 ∵当0＜x ≤12时，1＜4x ≤2，要使4x ＜log a x ， 必须2＜log a x ，∴⎩⎨⎧0＜a ＜1，log a a 2＜log a x ，即⎩⎨⎧0＜a ＜1，a 2＞x 对0＜x ≤12恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a 2＞12，解得22＜a ＜1. 答案 (1)C (2)B考点三 对数函数的性质及应用(多维探究) 命题角度1 比较对数值的大小【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c <b cD ．c a >c b解析 由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C ，D 不正确． ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确．log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.又a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定． 答案 B命题角度2 解对数不等式【例3－2】 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(0，1)∪(1，＋∞)解析 由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 C命题角度3 对数型函数的性质【例3－3】 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎨⎧3－2a >0，log a （3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行．(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【训练3】 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1， 又c ＝log 23>log 22＝1， 所以，c 最大．由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1， 解之得1<a <83.若0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83。

第4讲函数及其表示1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有__唯一确定__的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的__定义域__，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的__值域__.2．函数的表示方法(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__解析法__．(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__图象法__.(3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__列表法__.3．函数的三要素(1)函数的三要素：__定义域__，对应关系，值域．(2)两个函数相等：如果两个函数的__定义域__相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．4．分段函数若函数在定义域的不同子集上的__对应关系__不同，则这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．分段函数的定义域等于各段函数自变量取值的并集，分段函数的值域等于各段函数值的并集．5．映射的概念一般地，设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有__唯一确定__的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．6．复合函数一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))，其中y ＝f (u )叫做复合函数y ＝f (g (x ))的外层函数，u ＝g (x )叫做y ＝f (g (x ))的内层函数．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)函数是建立在其定义域到值域的映射．( √ )(2)若函数的定义域和值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (3)函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 是同一函数．( √ ) (4)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数．( × ) 解析 (1)正确．函数是特殊的映射．(2)错误．如函数y ＝x 与y ＝x ＋1的定义域和值域都是R ，但它们的对应关系不同，不是相等函数．(3)正确．函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 的定义域和对应关系相同． (4)错误．因为定义域为空集. 2．给出下列四个对应：①A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y ＝1x ＋1； ②A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12a ∈N*，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b ⎪⎪⎪b ＝1n ，n ∈N*，对应关系f ：a →b ，b ＝1a ；③A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y 2＝x ，x ∈A ，y ∈B ；④A ＝{x |x 是平面α内的矩形}，B ＝{y |y 是平面α内的圆}，对应关系f ：每一个矩形都对应它的外接圆．其中是从A 到B 的映射的为( B ) A ．①③ B ．②④ C ．①④D ．③④解析 对于①，当x ＝－1时，y 值不存在，所以①不是从A 到B 的映射；对于②，A ，B 是两个集合，分别用列举法表述为A ＝{2,4，6，…}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，13，14，…，由对应关系f ：a →b ，b ＝1a知，②是从A 到B 的映射；③不是从A 到B 的映射，如A 中元素1对应B 中两个元素±1；④是从A 到B 的映射．3．下列四组函数中，表示同一函数的是( A ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xC ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1解析 A 项中，g (x )＝x 2＝|x |，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；B项中的两个函数的定义域不同，故不是同一函数；C 项中，f (x )＝x 2－1x －1＝x ＋1(x ≠1)与g (x )＝x ＋1两个函数的定义域不同，故不是同一函数；D 项中，f (x )的定义域为[1，＋∞)，g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以不是同一函数，故选A ．4．已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝__10__. 解析 因为f (a )＝a －1＝3，所以a －1＝9，即a ＝10.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈(－∞，a )，x 2，x ∈[a ，＋∞)，若f (2)＝4，则a 的取值范围为__(－∞，2]__.解析 因为f (2)＝4，所以2∈[a ，＋∞)，所以a ≤2，则a 的取值范围为(－∞，2]．一 求函数定义域的方法(1)求函数的定义域要从对函数的定义域的理解开始．函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，认清楚自变量后，就要从使解析式有意义的角度入手了．一般来说，在高中范围内涉及的有：①开偶次方时被开方数为非负数；②分式的分母不为零；③零次幂的底数不为零；④对数的真数大于零；⑤指数、对数的底数大于零且不等于1；⑥实际问题还需要考虑使题目本身有意义；⑦若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．(2)求复合函数的定义域一般有两种情况：①已知y ＝f (x )的定义域是A ，求y ＝f (g (x ))的定义域，可由g (x )∈A 求出x 的范围，即为y ＝f (g (x ))的定义域；②已知y ＝f (g (x ))的定义域是A ，求y ＝f (x )的定义域，可由x ∈A 求出g (x )的范围，即为y ＝f (x )的定义域．【例1】 (1)函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为__(0,2]__．(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为__[0,1)__. 解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|≥0，a x－1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0⇒0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x <1，即定义域是[0,1)．二 求函数解析式的方法函数解析式的常见求法(1)配凑法．已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )的问题，往往把右边的g (x )整理成或配凑成只含h (x )的式子，然后用x 将h (x )代换．(2)待定系数法．已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法．已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．(4)方程组法．已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x (或f (－x ))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【例2】 (1)(2018·湖南衡阳六校联考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝__x 2－x ＋1(x ≠1)__.(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝2，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋3，则f (x )＝！！！ 12x 2＋52x ＋2 ###.(3)(2018·江西宜丰中学月考)若函数f (x )满足方程af (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ax ，x ∈R 且x ≠0，a 为常数，且a ≠0，a ≠±1，则f (x )＝！！！ a (ax 2－1)(a －1)x###. 解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ≠1，得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝c ＝2，得f (x )＝ax 2＋bx ＋2.则f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x ＋3，所以2a ＝1，且a ＋b ＝3，解得a ＝12，b ＝52，故f (x )＝12x 2＋52x ＋2.(3)因为af (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ax ，所以af ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝a x ，两方程联立解得f (x )＝a (ax 2－1)(a 2－1)x .三 分段函数分段函数两种题型的求解策略(1)根据分段函数的解析式求函数值．首先确定自变量的取值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)．应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．注意：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【例3】 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝__1__. (2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是！！！ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ ###. 解析 (1)∵f (x )是周期为2的函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1． (2)由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x >－14.1．函数f (x )＝lg (－x 2＋x ＋2)x的定义域为( A )A ．(－1,0)∪(0,2)B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－1,2)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋2>0，x ≠0⇒x ∈(－1,0)∪(0,2)，故A 正确．2．对于任意x ∈R ，下列式子都存在函数f (x )的是( D ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|解析 对于A 项，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝1，这与函数的定义不符，故A 项错．在B 项中，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝π24＋π2，与函数的定义不符，故B 项错．在C 项中，令x ＝1，得f (2)＝2；令x ＝－1，得f (2)＝0，与函数的定义不符，故C 项错．在D 项中，变形为f (|x ＋1|2－1)＝|x ＋1|，令|x ＋1|2－1＝t ，得t ≥－1，|x ＋1|＝t ＋1，从而有f (t )＝t ＋1，显然这个函数关系在定义域(－1，＋∞)上是成立的，故选D ．3．(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是__[－3,1]__.解析 若函数有意义，则3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1．4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(15－x )，x ≤0，f (x －2)，x >0，则f (3)＝__4__.解析 f (3)＝f (1)＝f (－1)＝log 216＝4.易错点1 不会求抽象函数的定义域错因分析：①定义域是自变量x 的取值范围；②对应法则f 下括号内式子的取值范围与f (x )中x 的取值范围一样．【例1】 (1)若函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________； (2)若函数f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)，则函数f (3x －2)的定义域为________. 解析 (1)由已知得－1<2x ＋1<0，即－1<x <－12，所以函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. (2)由－1<x <0，得－1<2x ＋1<1，于是－1<3x －2<1，13<x <1，函数f (3x －2)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 【跟踪训练1】 已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为__[－1,2]__.解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．易错点2 不理解定义域，值域为R 的含义错因分析：不能透彻理解定义域是使函数有意义的所有x 的取值集合；值域是所有函数值的集合．因而解决问题时易出错．【例2】 已知函数f (x )＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 2＋(a －1)x ＋14的值域为R ，求实数a 的取值范围．解析 f (x )的值域为R ，即t ＝ax 2＋(a －1)x ＋14能取得所有大于0的实数．①a ＝0时，t ＝－x ＋14能取得所有大于0的实数，满足题意；②a ≠0时必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(a －1)2－a ≥0，解得a ≥3＋52或0<a ≤3－52.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3＋52，＋∞.【跟踪训练2】 已知函数f (x )＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 2＋(a －1)x ＋14的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解析 f (x )的定义域为R ，即对一切实数x ，t ＝ax 2＋(a －1)x ＋14的值恒大于0.①a ＝0时，t ＝－x ＋14的值不恒大于0；②a ≠0时，必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(a －1)2－a <0，解得3－52<a <3＋52.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52.课时达标 第4讲[解密考纲]本考点考查函数的概念、函数的三要素以及分段函数求值等．一般以选择题、填空题的形式呈现，排在考卷靠前位置，题目难度不大．一、选择题1．设集合P ＝{x |0≤x ≤4}，M ＝{y |0≤y ≤2}，则下列表示从P 到M 的映射的是( D ) A ．f ：x →y ＝23xB ．f ：x →y ＝x 2－x2x －2C ．f ：x →y ＝13(x －3)2D ．f ：x →y ＝x ＋5－1解析 对于A ，当x ＝4时，y ＝83∉M ；对于B ，当x ＝1时，x 2－x2x －2无意义；对于C ，当x＝0时，y ＝3∉M ；D 符合映射定义，故选D ．2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤1，f (x －1)＋1，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为( D )A ．12 B ．－12C ．－1D ．1解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝ cos π3＋1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＝12＋1－12＝1．3．函数y ＝ln(x 2－x )＋4－2x的定义域为( B ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1,2] C ．(－∞，0)D ．(－∞，2)解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x >0，4－2x≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >1，x ≤2.即x ∈(－∞，0)∪(1,2]，故选B ． 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，log 3x ，x >0，设a ＝log 123，则f (f (a ))＝( A )A ．12 B ．2 C ．3D ．－2解析 ∵a ＝log 123<0，∴f (a )＝3，∴f (f (a ))＝f (3)＝log 33＝12.5．下列四组函数中，表示同一函数的是( C ) A ．y ＝x 2与y ＝3x 3 B ．y ＝1与y ＝x 0C ．y ＝2x ＋1与y ＝2t ＋1D ．y ＝x 与y ＝(x )2解析 A 项中两函数值域不同，B 项、D 项中两函数定义域不同，故选C ．6．(2018·福建福州调研)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( D )A ．0B ．1C ．2 017D ．2 018解析 令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018，故选D ．二、填空题7．(2018·安徽合肥模拟)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为__[－1,0]__.解析 函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a ≥1，即x 2＋2ax －a ≥0恒成立，所以Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.8．(2018·江苏张家港模拟)已知f (x )＝3x －2，则f (x )＝__3x 2－2(x ≥0)__． 解析 令t ＝x ，则x ＝t 2(t ≥0)，所以f (t )＝3t 2－2(t ≥0)，所以f (x )＝3x 2－2(x ≥0)．9．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤0，x ，x >0，若f (a )>3，则a 的取值范围是__(9，＋∞)__．解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，2a－1>3或⎩⎨⎧a >0，a >3，解得a >9.三、解答题10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x，x ≥0且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解析 (1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x，x ≥0.(2)f (x )的图象如图．11．(2018·湖南怀化月考)已知f (x )＝2x，g (x )是一次函数，并且点(2,2)在函数f (g (x ))的图象上，点(2,5)在函数g (f (x ))的图象上，求g (x )的解析式．解析 设g (x )＝ax ＋b ，a ≠0，则f (g (x ))＝2ax ＋b，g (f (x ))＝a ·2x＋b ，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧22a ＋b＝2，4a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，所以g (x )＝2x －3.12．(2018·重庆月考)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n (m ，n ∈R )，f (0)＝f (1)，且方程x ＝f (x )有两个相等的实数根．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[0,3]时，求函数f (x )的值域． 解析 (1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n ，且f (0)＝f (1)， ∴n ＝1＋m ＋n ，∴m ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋n . ∵方程x ＝f (x )，即方程x 2－2x ＋n ＝0有两个相等的实数根，∴(－2)2－4n ＝0， 得n ＝1，∴f (x )＝x 2－x ＋1． (2)由(1)知f (x )＝x 2－x ＋1．此函数的图象是开口向上，对称轴为x ＝12的抛物线，11 ∴当x ＝12时，f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12＋1＝34， f (0)＝1，f (3)＝32－3＋1＝7，∴当x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，7.。

第2节 函数的单调性与最值最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．知 识 梳 理1．函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值 [常用结论与微点提醒]1．对勾函数y ＝x ＋ax (a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；减区间为 [－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数．2．设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则①f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0)⇔f (x )在D 上单调递增；②f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0)⇔f (x )在D 上单调递减．3．函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”．诊 断 自 测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )(2)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) (3)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数．( )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) 解析 (2)此单调区间不能用并集符号连接，取x 1＝－1，x 2＝1，则f (－1)＜f (1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)应对任意的x 1＜x 2，f (x 1)＜f (x 2)成立才可以．(4)若f (x )＝x ，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，但y ＝f (x )的单调递增区间可以是R . 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2017·丽水调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) A ．y ＝1x －xB ．y ＝x 2－xC ．y ＝ln x －xD ．y ＝e x －x解析 对于A ，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x －x 在(0，＋∞)内是减函数；B ，C 选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D 中，y ′＝e x －1，而当x ∈(0，＋∞)时，y ′＞0，所以函数y ＝e x －x 在(0，＋∞)上是增函数． 答案 A3．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，那么( ) A ．a ＝－2B ．a ＝2C ．a ≤－2D ．a ≥2解析 二次函数的对称轴方程为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2. 答案 C4．函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．解析 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝lg u 在(0，＋∞)上为增函数，u ＝x 2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故f (x )在(－∞，0)上单调递减． 答案 (－∞，0)5．(2016·北京卷)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________． 解析 易得f (x )＝x x －1＝1＋1x －1，当x ≥2时，x －1>0，易知f (x )在[2，＋∞)上是减函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝1＋12－1＝2.答案 26．(2018·宁波模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x－1，x ≤1，f （x －1），x >1，则f (f (2))＝________，值域为________．解析 ∵f (x )＝⎩⎨⎧3x－1，x ≤1，f （x －1），x >1，∴f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝3－1＝2，f (f (2))＝f (2)＝2.当x ≤1时，f (x )＝3x －1在(－∞，1]上递增，∴f (x )∈(－1，2]；当x >1时，记x ＝[x ]＋(x －[x ])，其中[x ]为不大于x 的最大整数，则x －[x ]∈[0，1)，由f (x －1)＝f (x )得f (x )＝f (x －[x ])＝3x －[x ]－1∈[0，2)，故f (x )的值域为(－1，2]∪[0，2)＝(－1，2]． 答案 2 (－1，2]考点一 确定函数的单调性(区间)【例1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析 要使函数有意义，则：x 2－2x －8>0，解得：x <－2或x >4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调递增区间为(4，＋∞)，故选D. 答案 D(2)(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性． 解 法一 设－1<x 1<x 2<1， 因为f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， 所以f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝ a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上递增． 法二 f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a （x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上递增．规律方法 (1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1)．(2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．(3)函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．【训练1】 (一题多解)判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明．解 f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数． 证明如下：法一 设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数． 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )>0，则1－ax 2>0， 解得x >a 或x <－a (舍)．令f ′(x )<0，则1－ax 2<0，解得－a <x <a . ∵x >0，∴0<x <a .∴f (x )在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数． 考点二 确定函数的最值【例2】 (1)(2018·绍兴调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，－x 2＋2x ，x ≤1，则f (f (3))＝________，函数f (x )的最大值是________．解析 ①由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，－x 2＋2x ，x ≤1.所以f (3)＝log 133＝－1，则f (f (3))＝f (－1)＝－3，②当x >1时，f (x )＝log 13x 是减函数，得f (x )<0.当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，则f (x )≤1，综上可知，f (x )的最大值为1. 答案 －3 1(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)且a ≤1.①当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；②若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解 ①当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，设1≤x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2，∵1≤x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，2x 1x 2＞2， ∴0＜12x 1x 2＜12，1－12x 1x 2＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＞0，f (x 1)＜f (x 2)． ∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72. ②当x ∈[1，＋∞)时，x 2＋2x ＋ax >0恒成立，则x 2＋2x ＋a >0对x ∈[1，＋∞)恒成立． 即a >－(x 2＋2x )在x ∈[1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1，x ∈[1，＋∞)， ∴g (x )在[1，＋∞)上是减函数，g (x )max ＝g (1)＝－3. 又a ≤1，∴当－3<a ≤1时，f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立． 故实数a 的取值范围是(－3，1]．规律方法 (1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法．(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )．【训练2】 (2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，但与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关解析 因为最值在f (0)＝b ，f (1)＝1＋a ＋b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝b －a 24中取，所以最值之差一定与b 无关，但与a 有关，故选B. 答案 B考点三 函数单调性的应用(变式迁移)【例3】 (1)如果函数f (x )＝⎩⎨⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，那么实数a 的取值范围是________．(2)(2018·丽水月考)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集为________． 解析 (1)对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．所以⎩⎨⎧2－a >0，a >1，（2－a ）×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.(2)∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.故原不等式f (log 19x )>0可化为f (log 19x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12或f (log 19x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，∴log 19x >12或－12<log 19x <0，解得0<x <13或1<x <3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <13或1<x <3. 答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <13或1<x <3【变式迁移1】 在例题第(1)题中，条件不变，若设m ＝f (－12)，n ＝f (a )，t ＝f (2)，试比较m ，n ，t 的大小．解 由例题知f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， 且32≤a <2，又－12<a <2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (a )<f (2)，即m <n <t . 【变式迁移2】 在例题第(2)题中，若条件改为：“定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递减”，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集是________．解析 因为f (x )在R 上为偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 19x ＞0等价于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫|log 19x |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又f (x )在[0，＋∞)上为减函数，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 19x ＜12，即－12＜log 19x ＜12，解得13＜x ＜3.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3规律方法 (1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．【训练3】(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2] B．[－1，1] C．[0，4] D．[1，3]解析因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝1，于是－1≤f(x－2)≤1等价于f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案D。

2019高考数学（理）一轮复习全套学案目录第一章集合与常用逻辑用语第1节集合第2节命题及其关系、充分条件与必要条件第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”第二章函数、导数及其应用第1节函数及其表示第2节函数的单调性与最值第3节函数的奇偶性、周期性与对称性第4节二次函数与幂函数第5节指数与指数函数第6节对数与对数函数第7节函数的图像第8节函数与方程第9节函数模型及其应用第10节变化率与导数、计算导数第11节第1课时导数与函数的单调性第11节第2课时导数与函数的极值、最值学案第11节第3课时导数与函数的综合问题学案第12节定积分与微积分基本定理第三章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式第3节三角函数的图像与性质第4节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用学案第5节两角和与差及二倍角的三角函数第6节正弦定理和余弦定理第6节简单的三角恒等变换第7节正弦定理和余弦定理第8节解三角形实际应用举例第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算第2节平面向量的基本定理及坐标表示第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例第4节数系的扩充与复数的引入第五章数列第1节数列的概念与简单表示法第2节等差数列及其前n项和第3节等比数列及其前n项和第4节数列求和第六章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式第2节基本不等式及其应用第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第4节归纳与类比第5节综合法、分析法、反证法第6节数学归纳法第七章立体几何第1节简单几何体的结构及其三视图和直观图第2节空间图形的基本关系与公理第3节平行关系第4节垂直关系第5节简单几何体的表面积与体积第6节空间向量及其运算第7节第1课时利用空间向量证明平行与垂直第7节第2课时利用空间向量求空间角第八章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第2节两条直线的位置关系第3节圆的方程第4节直线与圆、圆与圆的位置关系第5节椭圆第6节抛物线第7节双曲线第8节曲线与方程第9节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题第九章算法初步、统计与统计案例第1节算法与算法框图第2节随机抽样第3节统计图表、用样本估计总体学案第4节变量间的相关关系与统计案例第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2节排列与组合第3节二项式定理第4节随机事件的概率学案第5节古典概型第6节几何概型第7节离散型随机变量及其分布列第8节二项分布与正态分布第9节离散型随机变量的均值与方差不等式选讲第1节绝对值不等式不等式选讲第2节不等式的证明坐标系与参数方程第1节坐标系坐标系与参数方程第2节参数方程第一节 集 合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．[基础知识填充]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． (4)常见数集的记法2.中至少有一AB3.A ∪BA ∩B∁A[(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1个． (2)任何集合是其本身的子集，即：A ⊆A . (3)子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C . (4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .(5)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．( )(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}．( ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．三个集合分别表示函数y ＝x 2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y ＝x 2上的点集．(3)错误．当x ＝1时，不满足互异性．(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合． (5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确． (6)错误．当A ＝∅时，B ，C 可为任意集合．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×2．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( )A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]3．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－2＜x ＜3}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜3}A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．故选A.]4．设全集U ＝{x |x ∈N ＋，x ＜6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}D [由题意得A ∪B ＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U ＝{1,2,3,4,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}．] 5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________.－1 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1.](第2页)(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1(1)B (2)C [(1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素． (2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集看这些元素满足什么限制条件根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性[跟踪训练A.92 B.98 C ．0 D ．0或98(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.【79140001】(1)D (2)－32 [(1)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.](1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． (1)B (2)m ≤1 [(1)由题意知A ＝{x |－1≤x ≤1}， 所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 因此B A .(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，当m ＞0时，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}． 当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为m ≤1.] 化简集合，从表达式中寻找两集合的关系用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系2.根据集合间的关系求参数的方法已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、A ≠，应分[跟踪训练] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． (1)D (2)(－∞，4] [(1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}． 由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]◎角度1 集合的运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x＜1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x ＞1}D ．A ∩B ＝∅(2)(2018·九江一中)设U ＝R ，A ＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－3，－2，－1,0}D ．{2}(1)A (2)C [(1)∵B ＝{x |3x＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A. (2)由题意得∁U B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩(∁U B )＝{－3，－2，－1,0}，故选C.] ◎角度2 利用集合的运算求参数(2018·合肥第二次质检)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [集合A ∩B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1，故选A.] ◎角度3 新定义集合问题如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝______.{0,6} [由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．]看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解要借助用数轴表示，并注意端点值的取舍以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问题来解决[跟踪训练A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分(如图1­1­1)表示的集合是( )图1­1­1A ．[－1,1)B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1)(3)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.【79140002】(1)C (2)D (3){0}∪[2，＋∞) [(1)∵A ∩B ＝{1}， ∴1∈B .∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．]第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(第3页)[基础知识填充]1．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图1­2­1(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q，且⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．[知识拓展] 集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则﹁q ”．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( ) [解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．因为两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (4)正确．q 是p 的必要条件说明p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件． (5)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4C [“若p ，则q ”的逆否命题是“若﹁q ，则﹁p ”，显然﹁q ：tan α≠1，﹁p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．“x ＝1”是“(x －1)(x ＋2)＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x ＝1或－2.]4．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个真命题．]5．(2017·天津高考)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 B [∵2－x ≥0，∴x ≤2. ∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2.∵当x ≤2时不一定有x ≥0，当0≤x ≤2时一定有x ≤2， ∴“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件． 故选B.](第4页)(1)命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的否命题是( ) A ．若a 2＞b 2，则a ≤b B ．若a 2≤b 2，则a ≤b C ．若a ≤b ，则a 2＞b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2(2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题(1)B (2)B [(1)根据命题的四种形式可知，命题“若p ，则q ”的否命题是“若﹁p ，则﹁q ”．该题中，p 为a 2＞b 2，q 为a ＞b ，故﹁p 为a 2≤b 2，﹁q 为a ≤b .所以原命题的否命题为：若a 2≤b 2，则a ≤b .(2)对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.]联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断易错警示：写一个命题的其他三种命题时，需注意：判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例[跟踪训练个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )【79140007】A．0 B．1C．2 D．3D[原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.](1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·安徽百所重点高中二模)“a3＞b3”是“ln a＞ln b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)B[(1)法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A.法二：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件． 故选A.(2)由a 3＞b 3可得a ＞b ，当a ＜0，b ＜0时，ln a ，ln b 无意义；反之，由ln a ＞ln b 可得a ＞b ，故a 3＞b 3.因此“a 3＞b 3”是“ln a ＞ln b ”的必要不充分条件．]定义法：根据集合法：根据断问题.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题[跟踪训练] (1)(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－12<12”是“sin θ<2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·合肥第一次质检)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，∴－π12<θ－π12<π12，即0<θ<π6.显然0<θ<π6时，sin θ<12成立．但sin θ<12时，由周期函数的性质知0<θ<π6不一定成立．故0<θ<π6是sin θ<12的充分而不必要条件．故选A.(2)由祖暅原理可得﹁q ⇒﹁p ，即p ⇒q ，则充分性成立；反之不成立，如将同一个圆锥正放和倒放，在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，∴p 是q 的充分不必要条件，故选A.]m 的取值范围为________．[0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．]1．把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．2．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由．[解] 不存在．理由：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，无解，∴不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 组求解易错警示：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象[跟踪训练] (1)已知p ：x ≥k ，q ：x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：a ≤x ≤a ＋1.若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【79140008】(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 [(1)∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.(2)命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．﹁p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜12， ﹁q 对应的集合B ＝{}x |x ＞a ＋1或x ＜a .∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.]第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(第5页) [基础知识填充]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫作逻辑联结词． (2)命题p 且q ，p 或q ，﹁p 的真假判断2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题.4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p 或q 的否定为：﹁p 且﹁q ；p 且q 的否定为：﹁p 或﹁q .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )(2)命题﹁(p 且q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是假命题．( ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( ) [解析] (1)错误．命题p 或q 中，p ，q 有一真则真． (2)错误．p 且q 是真命题，则p ，q 都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题． (4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题﹁p ，﹁q ，p 或q ，p 且q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [p 和q 显然都是真命题，所以﹁p ，﹁q 都是假命题，p 或q ，p 且q 都是真命题．] 3．下列四个命题中的真命题为( )A ．存在x 0∈Z,1＜4x 0＜3B ．存在x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．任意x ∈R ，x 2－1＝0 D ．任意x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0D [选项A 中，14＜x 0＜34且x 0∈Z ，不成立；选项B 中，x 0＝－15，与x 0∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．]4．命题：“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定为________．任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定是“任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0”．]5．若命题“任意x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立．当a ≠0时，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0.综上可知－8≤a≤0.](第6页)(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是( )A．p且q B．(﹁p)或(﹁q)C．(﹁p)且q D．p且(﹁q)(2)若命题“p或q”是真命题，“﹁p为真命题”，则( )A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假(1)A(2)B[(1)命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cos x，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cos x＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cos x是偶函数，所以q是真命题，所以p且q是真命题，故选A.(2)因为﹁p为真命题，所以p为假命题，又因为p或q为真命题，所以q为真命题．]确定命题的构成形式；判断依据“或”——一真即真，p”等形式命题的真假是y＝|tan x| [跟踪训练] (2018·呼和浩特一调)命题p：x＝2π是函数y＝|sin x|的一条对称轴，q：2的最小正周期，下列命题①p或q；②p且q；③p；④﹁q，其中真命题有( )【79140013】A．1个B．2个C．3个D．4个C[由已知得命题p为真命题，命题q为假命题，所以p或q为真命题，p且q为假命题，﹁q为真命题，所以真命题有①③④，共3个，故选C.]◎角度1 全称命题、特称命题的真假判断下列命题中，真命题是( ) A ．任意x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．任意α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．存在x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．存在α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos βD [因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以A 是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以C 是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.] ◎角度2 含有一个量词的命题的否定命题“任意n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n B ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n C ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋且f (n 0)>n 0 D ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋或f (n 0)>n 0D [写全称命题的否定时，要把量词“任意”改为“存在”，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合x 成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合x 0不成立即可要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少能找到一个＝x 0，使x 0成立即可，否则，这一特称命题就是假命题2.全称命题与特称命题的否定改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写否定结论：对原命题的结论进行否定[跟踪训练] (1)已知命题p ：存在x ∈⎝⎭⎪⎫0，2，使得cos x ≤x ，则﹁p 为( )A ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＞xB ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＜xC ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ＞xD ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ≤x(2)下列命题中的假命题是( ) A ．存在x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．存在x 0∈R ，tan x 0＝ 3 C ．任意x ∈R ，x 3＞0D ．任意x ∈R,2x＞0(1)C (2)C [(1)原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x ≤x ”的否定是“cos x ＞x ”．故选C.(2)当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“存在x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝π3时，tan x ＝3，故命题“存在x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3＜0，故命题“任意x ∈R ，x 3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对任意x ∈R,2x＞0，故命题“任意x ∈R,2x＞0”是真命题．]给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解] 当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立”⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，∴0≤a ＜4.当q 为真命题时，“关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p ，q 一真一假．∴若p 真q 假，则0≤a ＜4，且a ＞14，∴14＜a ＜4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0或a ≥4，a ≤14，即a ＜0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4.先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况有时不一定只有一种情况最后由的结果求出满足条件的参数取值范围[跟踪训练] (1)(2018·太原模拟(二))若命题“任意x ∈(0，＋∞)，x ＋x≥m ”是假命题，则实数m 的取值范围是________.【79140014】(2)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)(2，＋∞) (2)A [(1)由题意，知“存在x ∈(0，＋∞)，x ＋1x＜m ”是真命题，又因为x ∈(0，＋∞)，所以x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以实数m 的取值范围为(2，＋∞)．(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，任意x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.]第一节 函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(第8页) [基础知识填充]1．函数与映射的概念2.(1)函数的定义域、值域：数集A 叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[知识拓展]1．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．如图2­1­1所示，所给图像是函数图像的有( )图2­1­1A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [(1)中，当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此(1)不是函数图像；(2)中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此(2)不是函数图像；(3)(4)中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此(3)(4)是函数图像，故选B.]4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝________.139 [f (3)＝23，f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.]5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________.－2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.](第9页)(1)(2018·济南一模)函数f (x )＝2x－12＋3x ＋1的定义域为________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________．(1)(－1，＋∞) (2)[0,1) [(1)由题意得⎩⎨⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x ＞－1，所以函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)．]已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解抽象函数：①若已知函数x 的定义域为g x 的定义域由不等式x b 求出；②若已知函数g x 的定义域为x 的定义域为x 在时的值域.x 定义域为[m x 定义域，先求φx 值域[a a ≤h xb ，.[跟踪训练] (1)函数f (x )＝1－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 (2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.【79140019】(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意可知{ 1－x ＞0，x ＋1＞0，解得⎩⎨⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x ＜1，故选A.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式；(4)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，令t ＝x ＋1x，当x ＞0时，t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号；当x ＜0时，t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，∴f (t )＝t 2－2t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(2)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴{ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(4)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎨⎧fx ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法换元法：已知复合函数gx 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围构造法：已知关于x 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f －x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出x已知f x ＋1)＝，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式． [解] (1)法一：(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， 所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，c ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.◎角度1 求分段函数的函数值(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝{ 1＋log 2－x ，x <1，x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.]。

第二章函数§2.2函数及其表示考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计20142O1S20171.函数的概念及其表示1.了解函数、映射的概念'会求一些简单的函数定义域和值域.2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法.3.理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求函数的最大（小）值.理解17,4分21（2）〃分22（2）〃分11（文）*分17（文）*分21（文）'约4分22（文）'约S分8Q分22（2）丹分6S分Z6S分22,14分辺（文）丿S分7S分Z2S分亦約S 分2.分段函数及其应用了解简单的分段函数'并能简单了解辽,4分1S（文）艸分辺仏分22（文）" 分边3分分17,4 分分析解读1•考査重点仍为函数的表示法‘分段函数等基本知识点'考查形式有两种L种是给岀分段函数表达式丿求相应的函数值或相应的参数值（例：2Q14浙江1S题）;另一种是定义一种运算，给出函数关系式考查相关数学知识（例：2QZS浙江7题）.2•了解构成函数的要素'会求一些简单函数的定义域和值域‘能运用求值域的方法解决最值问题.3•函数值域和最值是高考考查的重点，常以本节内容为背景结合其他知识进行考查’如解析式与函数最值相结合（例：2ES 浙江丄。

题）'函数最值与向量相结合（例浙江丄7题）.4•预计20讣年高考中'考查分段函数及其应用、函数值域与最值的可能性很大’特别是对与不等式、函数单调性相结合的考查，复习时应弓I起重视.五年高考J.（2OZS浙江？S分）存在函数f（X）满足:对于任意炸R都有（）A.f（s加2x）=sb X I3.F（S认2.x）=x2+xC.f（x2+1）=卜旳P.f（x24-2.x）=|x+x|答案P2.（2014江西2S分）函数f（x）二张（炉一X）的定义域为（）A.（OJ）C.（-gQ） U（X+8）U [4+8）答案c3.（2014 江西3S 分）已知函数f（x）=5Hg（x）wx2-X@WR）.若则a=（）A.lB.2 C3 P.-l答案A4.（2014山东3S分）函数f（x）==的定义域为（）J（iog2x）2-i考点—函数的概念及其表示A.（0,i）B.（2严）C（0,》U（2严）0.（0,扣[2严）答案CS.(2O匹浙江文£44分)已知函数f(X)=JZl.若f⑷二知则实数加_____________ .答案辺0.(20述江苏SS分)函数护』3・2g啲定义域是_____________ .答案[-3.XJ教师用书专用(7-8)7.(2013江西,2$分)函数y二仮仏(2 -X)的定义域为()A.(")B.[6Z)C.(O^] P.[<9,1]答案B8.(2014四川分)以A表示值域为R的函数组成的集合”表示具有如下性质的函数软X)组成的集合:对于函数4>(x)存在一个正数M,使得函数0>)的值域包含于区间例如，当如(x)二疋®2(x)二s认x时咖(x)uA妙2(x)uB•现有如下命题: ®iS函数f(x)的定义域为A则“偸疋A”的充要条件是;②函数f(x) e B的充要条彳牛是f(x)有最大值和最小值；③若函数fgg3的定义域相同'且f(x)cA,g(x)u 5则f(x)+g(x)6B;④若函数f(x)=a仏(灯2)+坛沿> -2仏e R)有最大值'则f(x) e B.其中的真命题有_______ .(写出所有真命题的序号)答案①③④考点二分段函数及其应用4(2017山东文9S分)设衣)彳器當;;:'若3才(吐1)，则£(沪()A.2 8.4 C6 P.8答案C2.(2015 课标II"分)设函数偸)二『：Sg2(2・x),x < 1,则f(_2)+f((°g212)=()(2X-I;x > 1,A.3 3.6 C3 D・12答案c3(2ES山东nes分)设函数F(X)J鴛“ :1'则满足俗⑷)二2认的°的取值范围是()I2=x > 1.A.[|,l]B.[O刃C.[|, + 8)D.[4*)答案C4.(2O1S浙江以0"分)已知函数fW=(X + B'X - 1'则*X)的最小值是(lg(x2 + l),x < 1,答案02返75.(2E4浙江X4分)设函数衣)屮:* 丫：①若f(f@))W2贝」实数a的取值范围是_______________ .|X N U・答案Q.(2E4浙江文3片分)设函数f(x)£；+驚2，x < 0,若肝⑷)二2,则X _________________ .I ‘X A u.答案V27.(2017课标全国III文",S分)设函数欣)二则满足f(X)+f (x-|)>X的X的取值范围是_________________________ ・答案(冷,+ °°)浙江33 分)已知函数尸(心呦认{2卜-2快2-2衣卜和-2}丿其中必认{阳珂需三:(1)求使得等式F(x)二炉-2农+和-2成立的X的取值范围；(2)(。