《一元二次方程的根与系数的关系》导学案学习资料

第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.想一想方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜（1）一元二次方程 (x－x1)(x－x2) = 0 (x1，x2为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2与 p，q 之间的关系吗？（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：x1 + x2= x1·x2=归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x2，那么12bx xa ，12cx xa.(前提条件是b2－4ac≥0).(1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2.归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可.例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.变式题已知关于的值.例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.练一练设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：(1) 12x x ， (2)12xx ，(3) 2212x x ， (4)212()x x .归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.常见的求值式子如下： 12111.x x +=22122.x x += 12213.=x xx x + 124.(1)(1)x x ++= 125.||=x x -例4 设x 1，x 2是方程 x 2－2(k －1)x + k 2 =0的两个实数根，且2212x x 4，求k 的值.方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0 .2b x a，1c x a.2221212()2x x x x x 2221212)()4x x x x x122121x x x x x......1.如果－1是方程2x 2－ = .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q = .3.已知关于 的值.4.已知x 1，x 2是方程2x 2+2kx+k －1=0的两个根，且(x 1+1)(x 2+1)=4.(1)求k的值； (2)求(x1－x2)2的值.5.设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：(1) (x 1 + 1)(x2 + 1)； (2)2112.x xx x拓展提升6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1.7.已知关于-2=0(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；(2)若方程两根x1，x2满足|x1-的值.242bb ac xa.时，方程有两个相1232课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜=b a ，x 1x 2证一证：（注：b221242b b ac x x a +-+=2b b a -+-= 22ba-=.b a =- 1222b b x x a a•-+-⋅=()()22244b b ac a ---=244ac a=.ca =例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b 2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 = –( – 6 ) =6，x 1 x 2 = – 15 .（2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b 2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 =73， x 1 x 2 =933.（3）方程可化为4x 2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b 2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1， x 2，那么x 1 + x 2 =5544，x 1 x 2 =1.4=6.5=3.5+ x 2=2+ 35=.5k 得k=答：方程的另一个根是3,5k=－ 解：设方程的两个根分别是+ x 2=1+ x =5 .121231,.22x x x 222121122)2,x xx x x ∴22221212123113()22.224xxx x x x 121212131 3.22x x x x x练一练 （1）4 （2）1 （3）14 （4）12例4 解：由方程有两个实数根，得22221212()2x x x x x = 4(k 222x 4，得 2k +4 =4，解得k 1=0，k 2=4 . 当堂检测1. ；-3.2. 1 ； -2.1161.3c x a 116.3x 12121,.2k x k x x 1()1 4.2kk 解得k = -7；4.-则222121212)()474(4)65.x x x x x12124, 1.3b c x x x aa)+1=441()1.33122221121221212()234.9x x x x x x x x x x x x 12121,.22kx x x 22121212()()4 1.x x x x x x 22141,3,2 3.222k k k7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b 2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2=4m 2-4m 2+8m=8m ≥0.∵m≠0，∴m 的取值范围为m ＞0. 121222,.m x x x m22121212()()4 1.x x x x x x 22241.m m解得m=8.经检验，解.。

九年级数学导学案课题：一元二次方程的根与系数的关系执笔人：刘德强 审核人：高鹏军 魏爱文 杜安义 时间 2017-9-4 班级 姓名学习目标：1.掌握一元二次方程根与系数的关系式.2.能由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数. 一、自学指导：快速阅读课本P15-16页内容，完成下列问题。

阅读课本P40-41完成下列问题：1.把方程（x-x 1）（x-x 2）=0化为x 2+px+q=0的形式________________则p=____________,q=_____________; 即x 1+x 2=_____,x 1x 2=____.这个结论只适用_____________的方程.2. 一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是x 1=a ac b b 242-+-，和x 2=aac b b 24-2--那么21x x += ，21x x = .即两根的和等于____________________,两根的积等________________.二、自学检测1.如果x 1，x 2是方程x 2-3x+1=0的两个根，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别是-2和21，则p= ，q= . 3.下列方程中，两实根的和是1的一元二次方程是( )A.x 2-x+3=0B.x 2-x-3=0C.x 2+x+3=0D.x 2+x-3=04.已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根互为倒数，则必有( ) A.a=c B.a=b C.b=c D.bc=05.设x 1，x 2是方程2x 2-6x+3=0的两个根，则x 12+x 22的值为多少？三、课堂小结谈一谈本节课的收获？一元二次方程更与系数的关系是什么？四、当堂训练1.已知方程032=+-c x x 的一个根是2，求另一个根及c的值.2. 已知方程0652=--x x 的根是x 1和x 2，利用根与系数的关系求下列式子的值： （1）2221x x +； （2）1221x x x x +.五、拓展延伸 已知方程x 2+(m+1)x+434-m =0有实数根. （1）求m 的取值范围；（2）若方程两实根互为相反数，求m 的值.。

*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、导学 1.导入课题: 如果一个方程的两根之和为 1，两根之积为-2，你能说出这个方程吗？ 今天我们进一步学习一元二次方程根与系数的关系. 2.学习目标: 知道一元二次方程的根与系数的关系. 3.学习重、难点: 重点：一元二次方程根与系数的关系. 难点：能应用一元二次方程根与系数的关系解决问题. 4.自学指导： (1)自学内容：教材第 15 页到第 16 页的内容. (2)自学时间：5 分钟. (3)自学方法：独立探究一元二次方程根与系数的关系. (4)探究提纲： ①方程 x2+px+q=0 的两根分别是 x1，x2，那么 x1+ x2= -p，x1 x2=q .你是怎么得到的？ 假设方程两根分别为 x1，x2.那么方程可表示为(x-x1)(x-x2)=0. 化简,得 x2-(x1+x2)x+x1x2=0. ∴x1+x2=-p, x1x2=q.③独立完成例 4，说说运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和与两根之积时应注意什么？①把方程化为一般形式，明确二次项系数、一次项系数和常数项的值；②方程必须有实数根.④不解方程，求以下方程两根的和与积.x2-3x=15；3x2+2=1-4x；x1+x2=3，x1+x2= - ，x1x2= -15 5x2-1=4x2+x； x1+x2=1，x1x2= 2x2-x+2=3x+1.x1+x2=2，x1x2= -1x1x2=二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：了解学生探究两个方程的根与系数的关系的方式和易错点.(2)差异指导：指导学生通过比拟的方式探究方程 x2+px+q=0 根与系数的关系,通过直接计算的方式探究方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系.对学习有困难的学生予以指导，并帮他们分析根与系数之间的关系.2.生助生：同桌之间可以互动、研讨.四、强化x2+px+q=0 有两个实根 x1，x2，那么 x1+x2=-p,x1x2=q.x2+bx+c=0 中，在 a≠0，b2-4ac≥0 的条件下，x1+x2=－ , x1x2= . 3.运用一元二次方程根与系数的关系求方程的两根之和，两根之积时要注意： (1)先把方程化成一般形式，明确方程的二次项系数，一次项系数和常数项的值，然后 直接代入关系式. (2)确定方程的各项系数时一定要包括其符号. (3)只有在一元二次方程有实根的前提下，才能使用根与系数的关系.如果所给一元二次 方程没有实数根，那也就不存在根与系数的关系. 五、评价 1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或缺乏？说说 运用一元二次方程根与系数的关系时应注意的问题. 2.教师对学生的评价： (1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习方法、效果及缺乏之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测. (教学反思)： (1)通过从熟知的解法解一元二次方程的过程中探究根与系数的关系，并发现可用求根 公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识产生、 开展和出现的过程以及知识的应用. (2)教学过程从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从猜测到论证，使学生在 体验知识发生、开展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想. (3)教材把本节作为了解的内容，但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均 有出现，为了让学生能适应平时的试题，把本节内容进行了一定的延伸，同时也可以激发同 学们学习的兴趣.(时间：12 分钟总分值：100 分) 一、根底稳固(70 分) 1.(10 分)关于 x 的方程 x2+px+q=0 的根为 x1=1+ ，x2=1- ，那么 p= -2，q= -1.2.(10 分)方程 5x2+kx－6=0 的一根是 2，那么另一根是 - ，k＝-7.3.(40 分)求以下方程的两根 x1，x2 的和与积：(1)x2－3x+2=0；(2)5x2+x－5=0；解：x1+x2=3 x1x2=2(3)x2+x=5x+6； 解：方程化为 x2-4x-6=0解：x1+x2= x1x2= -1(4)7x2－5=x+8. 解：方程化为 7x2-x-13=0x1+x2=4x1+x2=x1x2= -6x1x2= -4.(10 分)两个数的和为 8，积为 9.75，求这两个数.解：设其中一个数为 x,那么另一个数为(8-x).根据题意，得 x(8-x)=9.75,整理，得 x2-8x+9.75=0.解得 x1=6.5, x2=1.5. 当 x=6.5 时，8-x=1.5;当 x=1.5 时，8-x=6.5,∴这两个数是 6.5 和 1.5.二、综合应用(20 分)5.(20 分)x1，x2 是方程 x2－5x－7=0 的两根，不解方程求以下各式的值：三、拓展延伸(10 分)6.(10 分)关于 x 的方程 x2-(2m+3)x+m2=0 的两根之和等于两根之积，求 m 的值.解：设方程 x2-(2m+3)x+m2=0 的两根为 x1，x2.∴x1+x2=2m+3，x1x2=m2.根据题意得 m2=2m+3，解得 m1=3,m2= -1.当 m=3 时，原方程为 x2-9x+9=0, b2-4ac=45>0.方程有实数根.当 m= -1 时，原方程为 x2-x+1=0, b2-4ac=-3<0.方程无实数根，此 m 值舍去.∴m 的值为 3.24.2.1 点和圆的位置关系教学目标 (一)教学知识点 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆 的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． (二)能力训练要求 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题 的策略． (三)情感与价值观要求 1．形成解决问题的一些根本策略，体验解决问题策略的多样性，开展实践能力与创新 精神． 2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论． 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 教学难点 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的 三个点作圆． 教学方法 教师指导学生自主探索交流法． 教具准备 投影片三张 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点 能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索．Ⅱ．新课讲解 1．回忆及思考 投影片(§3．4A) 1．线段垂直平分线的性质及作法． 2．作圆的关键是什么？ [生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．1 作法：如以以下图，分别以 A、B 为圆心，以大于 AB 长为半径画弧，在 AB 的两侧2 找出两交点 C、D，作直线 CD，那么直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线，直线 CD 上的 任一点到 A 与 B 的距离相等．[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做 圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆 心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．2．做一做(投影片§3．4B) (1)作圆，使它经过点 A，你能作出几个这样的圆？ (2)作圆，使它经过点 A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布 有什么特点？与线段 AB 有什么关系？为什么？ (3)作圆，使它经过点 A、B、C(A、B、C 三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你 能作出几个这样的圆？ [师]根据刚刚我们的分析，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并 作出解答． [生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过点 A 作圆，只要圆心确定下来，半 径就随之确定了下来．所以以点 A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点 A 所连的线段为 半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)． (2)点 A、B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到 A、B 的距离相等．根 据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等，那么圆心应在线段 AB 的垂直平分线上．在 AB 的垂直平分线上任意取一点，都能 满足到 A、B 两点的距离相等，所以在 AB 的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点 到 A 的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段 AB 的垂直平分线上有无数点，因此有无 数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)． (3)要作一个圆经过 A、B、C 三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离 相等．因为到 A、B 两点距离相等的点的集合是线段 AB 的垂直平分线，到 B、C 两点距离 相等的点的集合是线段 BC 的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到 A、B、C 三点 的距离相等，就是所作圆的圆心． 因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？ 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 投影片(§3．4C)作法图示1．连结 AB、BC2．分别作 AB、BC 的垂直 平分线 DE 和 FG，DE 和 FG 相交于点 O3．以 O 为圆心，OA 为半径作 圆 ⊙O 就是所要求作的圆他作的圆符合要求吗？与同伴交流． [生]符合要求． 因为连结 AB，作 AB 的垂直平分线 ED，那么 ED 上任意一点到 A、B 的距离相等； 连结 BC，作 BC 的垂直平分线 FG，那么 FG 上的任一点到 B、C 的距离相等．ED 与 FG 的满足条件． [师]由上可知，过一点可作无数个圆．过两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的 三点可以作一个圆，并且只能作一个圆． 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．有关定义 由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆 (circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形． 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)． Ⅲ．课堂练习 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有 怎样的特点？ 解：如以以下图． O 为外接圆的圆心，即外心． 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心 在三角形的外部．Ⅳ．课时小结 本节课所学内容如下： 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程． 方法． 3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念． Ⅴ．课后作业 习题 3．6 Ⅵ．活动与探究 如以以下图，CD 所在的直线垂直平分线段 AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的 圆心？ 解：因为 A、B 两点在圆上，所以圆心必与 A、B 两点的距离相等，又因为和一条线段 的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在 CD 所在的直线上．因此 使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．。

一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1、 知道一元二次方程的根与系数的关系。

2、 能运用一元二次方程的根与系数的关系进行已知一根求另一根的简便运算。

学习重点、难点：重点：一元二次方程的根与系数关系的推导和它的运用。

难点：灵活运用一元二次方程的根与系数的关系。

学习流程： 一、旧知回顾：（独立完成，组长检查指导） 1、 写出一元二次方程的一般式和求根公式。

2、 已知232+=x ，232-=y 求22y xy x ++的值。

二、合作交流：（独学、互学，交流归纳）1、 仔细观察一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax 的两个实数根a acb b x 2421-+-=，aacb b x 2422---=它们有什么相同点和不同点。

试求222121x x x x ++的值。

归纳：一元二次方程的根21,x x 与系数c b a ,,之间有什么关系呢？=+21x x ， =⋅21x x2、若方程4522=-x x 的两个根是x 1和x 2，则=+21x x ， =⋅21x x 。

3、已知方程0652=-+kx x 的一个根是2，求它的另一个根和k 的值。

三、课堂检测：1、若方程x x 4322=-的两个根是x 1和x 2，则=+21x x ， =⋅21x x 。

2、已知方程0322=-+kx x 的一个根x 1=3，求它的另一个根x 2和k 的值。

3、关于x 的方程01622=+-+m x x 的两个根互为倒数，则m= 。

四、课堂整理1、 熟记一元二次方程的根与系数的关系，你记住了吗？请写下来：2、这节课你学了什么？会了什么？还有不会的吗？五、拓展延伸（挑战自我）1、当k 取何值时，013)13(2322=-++-k x k x（1）有一根为零？（2）有两个互为相反数的根？（3）两根互为倒数？2、已知关于x 的方程0)1(2=-+-a a x x 有两不等的正数根，求a 的取值范围。

课题：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系【复习回顾】一元二次方程的一般形式为 ，求根公式是 。

【学习目标】1．理解并掌握根与系数关系：1212.b c x x x x a a+=-⋅=， 2．会用根与系数关系，根的判别式解答相关类型的问题． 【自主学习】自学课本P 15-16内容，思考并解答下列问题: 1．填写表（一），并猜想其中的规律：规律1：若二次项系数为1的一元二次方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。

2．填写表（二），上面的规律还成立吗？若不成立，又有怎样的规律呢？规律2：若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。

【小组交流】通过自学你学会了什么？还有什么问题不明白？在小组内讨论并解决疑难.【班级展示】1.一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间有怎样的关系？ 用式子表示： 用语言叙述：2.利用求根公式推导一元二次方程根与系数的关系。

3.（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1） x 2-9x ＋10＝0； （2） x 2-1＝0； （3） 2x 2-9x ＋5＝0； （4） 3x 2=5x+2.4. 下列关于方程x 2＋7＝4x 的根的说法，正确的是 。

（填序号） ① 两根之和为4； ② 两根之和为-4； ③ 两根之积为7； ④ 没有实数根。

【应用新知,解决问题】例1 已知方程2x 2＋kx-4＝0的根是-4，求它的另一根及k 的值．例2. 已知方程2310x x ++=的两个根为α、β，求(-5)(-5)αβ的值.例3. 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．（1）求实数m 的取值范围； （2）当22120x x -=时，求m 的值．【巩固新知,当堂训练】 1.课本P 16练习.(完成在课本上)2.已知方程2-5=2x x 的两个根为1x 、2x ，求212(-)x x 的值.3.若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x +=⋅.则k 的值为（ ）（A ） －1或34 （B ）－1 （C ）34（D ） 不存在 【反思小结】本节课你学到了什么知识和方法？还有什么困惑？（小组交流，互助解决）【自我检测】1.课本P 17习题21.2 第7题.2. 关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ） （A ）0p >且q >0 （B ）0p >且q <0 （C ）0p <且q >0 （D ）0p <且q <03．已知21x ,x 为方程2x3x 2015+=的两实根，则212x 3x 10_______.-+=4.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，求这个直角三角形的斜边长。

九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》学案一元二次方程的根与系数的关系（总第学时）主备人：备组学习目标：把握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。

学习重难点：重点：根与系数的关系及其推导。

难点：正确明白得根与系数的关系。

学习进程：一、温顾互查一元二次方程的一样形式是什么？2一元二次方程的求根公式是什么？3如何判定一元二次方程根的情形？二、探讨新知试探：解方程并观看x1＋x2,x1&#8226;x2与系数的关系方程x1x2x1＋x2x1&#8226;x2x2－x＋6=0x2＋3x－4=0x2－x－2=0x2＋3x＋2=02问题：观看两根之和，两根之积与方程的系数之间有什么关系？3猜一猜：请依照以上的观看猜想：方程的两根与系数a,b,之间的关系：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．4验证结论：设为方程的两个实数根，证明上述结论（1）当知足条___________时，方程的两根是（2）两根之和两根之积．结论：一元二次方程根与系数关系：（1）若是为方程的两个实数根，那么______,_________若是为方程的两个实数根,那么______,_________三、合作探讨不解方程，求以下方程两根的和与积：（1），2写出以-２与１为根的一元二次方程。

3、已知方程的一个根是-3，求另一根及的值。

四当堂训练．假设方程的两根为，,那么==2．方程那么==3．假设方程的一个根2，那么它的另一个根为p=4．已知方程的一个根1，那么它的另一根是=．假设0和-3是方程的两根，那么p+q=6在解方程x2+px+q=0时，甲同窗看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同窗看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你以为方程中的p=，q=。

7．两根均为负数的一元二次方程是（）ABD8．假设方程的两根中只有一个为0，那么（）Ap=q=0BP=0,q≠0p≠0,q=0Dp≠0,q≠0九、不解方程，求以下方程的两根和与两根积：（1）x2-x-10=0（2）2x2+7x+1=0（3）3x2-1=2x+（4）x（x-1）=3x+7学后反思：。

《一元二次方程根与系数的关系》培优资料【知识梳理】1.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根与系数的关系（韦达定理）： 如果)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，则________,21=+x x .___________21=⋅x x 前提条件是2.韦达定理用途比较广泛，运用时，常需要作下列变形：（1）()2122122212x x x x x x -+=+； （2）()212122121222121122x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+； （3）()()212212214x x x x x x -+=- ； 【例题】例1.设x 1，x 2是方程2x 2+4x －3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）x 12x 2+x 1x 22 （2）x 12+x 22； （3）2112x x x x + （4）（x 1－3）（x 2－3）； （5）（x 1－x 2）2．例2. 设方程x 2+x-1=0的两个根分别是x 1、x 2，求x 15+5x 2的值例3.设关于x 的一元二次方程()01242=---k x x 有两个实数根21x x 、，问是否存在 2121x x x x ⋅<+的情况？例4.（2010湖北十堰）如图所示，直线AB 与反比例函数图像相交于A ，B 两点，已知 A （1，4）.（1）求反比例函数的解析式；（2）连结OA ，OB ，当△AOB 的面积为15时，求直线AB 的解析式.【作业】1.已知：方程3x 2+5x+1=0的两根为x 1、x 2，不解方程.求下列代数式的值.① 11x +21x ②x 21+x 22 ③x 21x 2+x 1 x 22 ④（x 1-3）(x 2-3) ⑤|x 1-x 2 | ⑥21x x +12x x 2.（2013• 济南）函数y =与y=x －2图象交点的横坐标分别为a ，b ，则的值为______． 3.在反比例函数xk y =的图象上有一点P ，它的横坐标m 与纵坐标n 是方程t 2-4t-2=0 的两个根.（1）求k 的值；（2）求点P 与原点O 的距离.4. 已知关于x 的方程042=++a x x 有两个实数根，且7221=-x x ，则=a ____。

课题8.5一元二次方程的根与系数的关系课型新授课年级八年级主备人审核人讲学时间学习目标1.掌握一元二次方程的根与系数的关系；2.会利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题；3.经历观察，发现，猜想，证明的思维过程，培养自己分析问题和解决问题的能力．重点掌握一元二次方程的根与系数的关系；难点会利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题；课前准备课本，导学案，练习本学习过程学生自主活动材料复习回顾问题：已知方程2x2+x-1=0的一个根为-1，求它的另一个根。

新知探究探究一：请同学们完成下面表格（x1，x2是方程的两个根）观察上表，对于x2+bx+c=0，你发现了什么？①两根之和与方程系数a、b、c有什么样的关系呢？②两根之积与方程系数a、b、c又有什么样的关系呢？探究二：请同学们完成下面表格（x1，x2是方程的两个根）观察上表，对于a x2+bx+c=0，你发现了什么？①两根之和与方程系数a、b、c有什么样的关系呢？②两根之积与方程系数a、b、c又有什么样的关系呢？推导证明：典型例题例：利用根与系数关系，求下列方程两根之和、两根之积：（1）x2+7x+6=0 （2）2x2-3x-2=0变式：利用根与系数关系，求下列方程两根差的平方(x1-x2)2和两根的平方和x12+x22：（1）x2+7x+6=0 （2））2x2-3x-2=0巩固练习1.下列方程两根的和与两根的积各是多少？（1）x2-3x-1=0；（2）3x2＋2x＝5；（3）3x2-2x+1=0；2.设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，不解方程，求下列各式的值.2112112)1)(1(1xxxxxx+++）（）（3.已知方程2x2+x-1=0的一个根为-1，求它的另一个根。

变式.已知方程2x2+kx+1=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值.课后作业必做：课本习题8.10 第1题选做：课本习题8.10 第3题评价专栏(分优良中差四个等级)【自我评价专栏】合作与交流：书写：综合：【组员评价专栏】合作与交流：书写：综合：。

21.2.4一元二次方程根与系数的关系（导学案）班级: 姓名： 授课教师：张海强学习目标：1．理解并掌握根与系数关系：a bx x -=+21， ac x x =21；2．会用根的判别式及根与系数关系解题. 一、自主学习阅读教材,完成课前预习1、(1)一元二次方程的一般式：（2）一元二次方程的求根公式： 2、探究1：完成下列表格方 程 1x 2x 12x x + 12.x x 2560x x -+= 2 5 x 2+3x-10=0-3问题：你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律；规律: 二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.② 将（x- x 1）（x-x 2）=0 化为一般形式 x 2-( x 1 +x 2)x+ x 1 x 2=0与x 2+px+ q=0 对比, 易知:p=-( x 1 +x 2)， q= x 1 x 2. 探究2：完成下列表格方 程 1x 2x 12x x + 12.x x 2x 2-3x-2=0 2 -1 3x 2-4x+1=01问题：上面发现的结论在这里成立吗？ 请完善规律；①用语言叙述发现的规律；规律：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.② ax 2+bx+c=0的两根1x ,2x用式子表示你发现的规律。

x 1+x 2= x 1x 2=3、利用求根公式推到根与系数的关系利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x 1 、x 2和系数a ，b ，c 的关系，ax 2+bx+c=0的两根1x = ,2x = 12x x += 12.x x =4、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：（1）2310x x --= （2）22350x x +-= （3）21203x x -=5、已知方程2290x kx +-=的一个根是-3，求另一根及K 的值。

一元二次方程根与系数的关系导学案一、学习目标要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。

通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

二、学习重点和难点 :1、重点：一元二次方程根与系数的关系。

2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。

三、学习过程1、回忆一元二次方程的求根公式是什么？2、思考一元二次方程两根分别是ax2+bx+c=0的两根分别是x1和x2,x1+x2=x1·x2=3、归纳（1）一元二次方程根与系数的关系ax2+bx+c=0的两根x1,x2x1+x2=x1·x2=（2）方程x2+px+q=0两根x1+x2=x1·x2=（3）以x1和x2为根的方程是4、探究：1、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3.2、如果是方程2X2+mX+3=0的一个根，求它的另一个根及m的值.3、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0的两根的平方和比两根之积的3倍少10，求k的值.5、当堂检测1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____。

2、设X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则X1+X2 = ___ ,X1X2 = ____，X12+X22 = ( X1+X2)2 - ___ = ___( X1-X2)2 = ( ___ )2 - 4X1X2 = ___3、判断正误：以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_____ 。

《一元二次方程的根与系数的关系》导学案学习目标1、了解一元二次方程根与系数的关系，提高利用这种关系解题的能力；2、通过自主学习，合作探究，学会利用根与系数的关系解题的方法。

重点：根与系数关系的推导。

难点：根与系数关系的应用。

1、一元二次方程的一般形式是什么2、解一元二次方程有哪些常见方法3、如何判断一元二次方程根的情况1、请写出一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)的求根公式；2、方程2x 2-3x+1=0的解有几个它的解与方程的系数有关系吗3、你通过观察、归纳、猜想，能发现一元二次方程的根与系数的关系吗1、方程x 2-6x+8=0两根之和是_______，两根之积是________；2、方程2x 2-5x+2=0的两根之和是_______，两根之积是________；3、已知x 1、 x 2是方程x 2+px+q=0的两根，则x 1+x 2=_______，x 1x 2=_________。

课前预习 一 二 三1、一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)的二次项系数、一次项系数、常数项分别是什么2、一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)一定有实数根吗3、一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)的根与系数究竟存在怎样的关系探究一、填空方 程两根x 1 、x 2的值 两根之和x 1 +x 2 两根之积x 1 .x 2x 1 x 2 x 2+5x+6=0x 2-8x-9=03x 2-4x+1=06x 2+7x-3=01、根据上表猜想一元二次方程的根与系数的关系2、 归纳一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)根与系数的关系：探究二、一元二次方程根与系数的关系的应用例1、已知方程5x 2+kx-6=0=0有一个根为2，求另一个根和k 的值；课中探究一 二例2、若方程x 2+x-1=0的两根为x 1 、x 2，不解方程，利用根与系数的关系计算下列各式的值(1) x 12x 2+x 1x 22 (2) x 12+x 22 (3)11x +21x一元二次方程的根与系数的关系12⎧⎨⎩、关系：、应用：1、已知x 1 、x 2是方程x 2-x=3x+5的两根，则两根之和x 1 +x 2=________， 两根之积x 1 .x 2=________ ， (x 1-2)(x 2-2)=___________；2、以2+1，2-1为根的一元二次方程是________________________；3、已知方程x 2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m=_________。

一元二次方程根与系数的关系 导学案[韦达定理相关知识]1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为。

)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆（1） 当0>∆时，方程有两个不相等的实数根。

（2） 当0=∆时，方程有两个相等的实数根。

（3） 当0<∆时，方程没有实数根。

反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。

3、方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和，那么=+21x x ，=∙21x x 。

我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。

此定理解题前提：00≥∆≠且a4、 如果一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和，则=+21x x ，=∙21x x 。

5 、以21x x 和为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212=∙++-x x x x x x6 、在 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 中，有一根为0，则=c ； 有一根为1，则=++c b a ；有一根为1-，则=+-c b a ；若两根互为倒数,则=c ； 若两根互为相反数，则=b 。

若两根都为正数, 则有 ； 若两根都为负数, 则有 ； 若两根一正一负, 则有 ；7 、二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解.[基础运用]1、不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=02、当m= 时，方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时，方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－35，则m= ，这时方程的 两个根为 .选用例题：例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ，=k 。

人教版九年级数学上册《一元二次方程》导学案 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系【学习目标】1.掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系；2.能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数；3.会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值.2.如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根21,x x ，那么21x x +=____，21x x ⋅=____．3.方程0252=+-x x 有两个实数根21,x x ，则21x x +=____，21x x ⋅=____．4.已知α，β是一元二次方程0252=--x x 的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为 （ ）A. -1B. 9C. 23D. 27 【典型例题】知识点 一元二次方程的根与系数的关系1.已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ） A ．x 1+x 2＞0 B ．x 1+x 2＜0 C ．x 1•x 2＞0 D. x 1•x 2＜02.设21,x x 是方程0352=-+x x 的两个根，则2221x x +的值是 （ ） A.19 B.25 C.31 D.303.设21,x x 是方程020242=--x x 的两个根，则=+-221312024x x x . 4.．已知方程x 2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m=_________。

5.关于x 的方程0832=-+mx x 有一个根是-4，求另一个根及m 的值.【巩固训练】1.已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ） A.7- B.3- C.7 D.32.如果关于x 的方程2x 2－5x ＋m ＝0的两个实数根互为倒数，那么m 的值为（ ） A.12B.－12C.2D.－23.已知a,b 是关于x 的一元二次方程01nx x 2=-+的两实数根，则式子baa b +的值是（ ）A.2n 2+B.2n 2+-C.2n 2-D.2n 2-- 4.以3和—2为根的一元二次方程是（ ）A.06x x 2=-+B.06x x 2=++C.06x x 2=--D.06x x 2=+-5.已知方程012=-+x x 的两根分别为21x ,x ，则)12)(12x 222121-+-+x x x （的值为（ ）A. -1B.—2C. 1D. 26.如果n m ,是两个不相等的实数，且满足32=-m m ，32=-n n ，那么代数式=++-2024222m mn n .7.已知关于x 的方程 (1)当m= 时，此方程的两根互为相反数 (2)当m= 时，此方程的两根互为倒数 8.不解方程，求下列方程的两根x 1、x 2的和与积.⑴ 01562=--x x ⑵09732=-+x x ⑶ 2415x x =-【拓展延伸】9.若n m ,是方程0720152=++x x 的两个根，求()()820166201422++++n n m m 的值.012)1(2=-++-m x m x。