1课时 分式的概念.ppt

应用场景
分式不等式在解决实际问题中非常有用，例如最大值和最小值问题，优化问题 等。
分式与几何知识的结合应用
分式与面积的关系
在几何学中，分式经常用于表示面积的比例关系。例如，在相似三 角形中，边长的比例与对应高线的比例成反比。
分式与体积的关系
在三维几何中，分式可以用来表示体积的比例关系。例如，在圆柱 体中，高与底面积的比例等于体积的比例。
路程问题等，需要使用到约分和通分的技巧。
04
分式的化简与求值
分式的化简方法
01
约分法
通过找出分子和分母的公因式，将 其约去，简化分式。
分子分母同除法
将分子和分母同时除以同一个非零 数，简化分式。
03
02
分子分母分解法
将分子和分母分解为因式，然后约 去公因式，简化分式。
分子分母同乘法
将分子和分母同时乘以同一个非零 数，简化分式。
02
分式的基本性质
分子与分母的运算性质
分子分母同乘除
分式的分子和分母可以同时乘以或除以同一个非零实 数，分式的值不变。
分子分母同加减
分式的分子和分母可以同时加上或减去同一个数，分 式的值不变。
分子分母同倍数
分式的分子和分母可以同时乘以同一个正整数，分式 的值不变。
分式的加减法性质
同分母分式相加减
应用场景
分式在几何学中的应用非常广泛，例如相似性、比例、面积和体积的 计算等。
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分数的表示方法
1 2
分数
分数是一种特殊的分式，其分母为1。分数可以 用普通的小数表示，例如1/2可以表示为0.5。
混合数
混合数是一种分数，其分子和分母都是整数。例 如，3/4可以表示为3/4，也可以表示为0.75。

来表示。
(2) 如果n公顷麦田共收小麦m吨, 那么 平均每公顷产量可以用式子
吨来表示.
5、 ⑴ (35a+45b)÷(a+b) 可以用式子_3_5_a____4__5_b
来表示。
ab
(2) b÷(a-x)可以用式子
来表示。
合作交流探究新知
1、上面的问题出现了代数式:
35a 45b ab
所以当x=-2时，分式
x2 2x 5
的值是零。
⑵ 由分子|x|－2=0，得 x=±2。
当x=2时，分母 2x+4=4+4≠0。 当x=-2时，分母 2x+4=-4+4=0。 所以当x=2时，分式 | x | 2 的值是零。
2x 4
反馈练习巩固新知
1、当x取什么值时，下列分式有意义？
（1）
1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
(1) b ; 2a
(3) x 1 ; 4x
(2) a b ; (4) 1 xy x2 y;
2
2
（1）（3）是分式，
（2）（4）是整式；
2、当a=1，-1时，求分式 的值；
解：当a=1时， 原式= 11 2 2 2;
211 2 1 1
有意义。
⑵ 当x
=2
时，分式 x 2 的值为零。 2x 1
4、已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于零，
则k =-10 。
3x 2
课堂 小 结
一个概念 两个应用
分式的概念
列分式 求分式的值
①分子分母都是整式 ②分母中含有字母 ③分母不能为零。
分式无意义的条件 分母等于零
三个条件 分式有意义的条件 分母不等于零 分式的值为零的条件 分子等于零 且分母不等于零

21.2
分式的基本性质
1.分式的概念
例1.做一做 (1)面积为2平方米的长方形一边长3米，则它 的另一边长为 米； (2)面积为S平方米的长方形一边长a米，则它 的另一边长为 米； (3)已知正方形的周长是acm，则一边的长是 ____cm，面积是____cm2； (4)一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千 克．则每千克苹果的售价是 元
二、探究归纳
1.分式的概念
问 在上面所列出的代数式中，哪些是整式？ 哪些不是？
同于前面学过的整式，是两个分母含有字母 的代数式．在实际应用中，某些数量关系只 用整式来表示是不够的，我们需要学习新的 式子，以满足解决实际问题的需求．我们称 这两个代数式为分式．
其中A叫做分式的分子(numerator)，B叫做分 式的分母(denominator)．
六.练习 1.指出下列有理式中，哪些是整式，哪些是 分式？ 2.当x取什么数时，下列分式有意义？
3.在下列各分式中，当x等于什么数时，分式 的值是零？当x等于什么数时，分式没有意义？
4.填空： (1)若某梨园m平方米产梨n千克,则平均每平 方米产梨 千克； (2)m千克盐溶于n千克水,所得盐水的含盐量 是 （用分式表示）； (3)若工厂原计划a天完成b件产品，若现在需 要提前x天完成，则现要每天要比原来多生产 产品 件； (4)一货车送货上山，上山的速度为x千米/时， 下山的速度为y千米/时，则该货车的平均速 度是 千米/时（用分式表示）．
从分式的意义中，应注意以下三点： (1)分式是两个整式相除的商，分数线可以理解为 除号，并含有括号的作用； (2)分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母， 但分母必须含有字母
3)分式分母的值不能为零．如果分母的值为零， 那么分式就无意义．

一元二次分式方程的解法
定义
一元二次分式方程是只含有一个 未知数，且未知数的次数为2的
分式方程。
解法
通过去分母、移项、合并同类项 等步骤，将分式方程转化为整式
方程，然后求解。
注意事项
在去分母时，要注意分母不能为 0的情况。
多元一次分式方程的解法
定义
多元一次分式方程是含有多个未知数，且未知数的次数为1的分式 方程。
05
分式的注意事项与易错点
Chapter
约分时需要注意的事项
约分的前提
约分前需要确定分子和分母有公因式，且公因式不为0。
约分的步骤
先找出分子和分母的最大公因式，然后将其约去。
约分的注意事项
约分时要注意不要约去不合适的公因式，导致分式失去意义。
通分时需要注意的事项
通分的定义
通分是将两个或多个分数的分母统一的过程。
解法
通过消元法或代入法，将分式方程转化为整式方程，然后求解。
注意事项
在消元或代入过程中，要注意分母不能为0的情况。
04
分式在实际生活中的应用
Chapter
物理中的应用
速度与加速度
在物理中，速度和加速度的公式可以表示为分式 形式，用于描述物体的运动状态和变化。
热量传导
热量传导的公式中，时间、物体的质量和比热容 之间的关系也可以用分式表示。
约分
约分定义
将一个分数的分子和分母进行因 式分解，然后找出公共因子进行
约简。
约分步骤
1. 将分子和分母分别进行因式分解 ；2. 找出分子和分母的公共因子； 3. 约去公共因子得到最简分数。
注意事项
约分时要注意分子和分母的符号， 确保约简后的分数与原分数相等。

第16章 分式
两个整数相除,不能
整除时结果可用分
请你来填一填:
数表示,当两个整式
(1)面积为2平方米的长方形一边不长能3整米除,则时它,它的们另的一
2
商怎么表示呢?
边长为____3___米;
(2)面积为S平方米的长方形一边长a米,则它的另一 s
边长为___a____米;
a
(3)已知正方形的周长是 a cm，则一边的长是__4__cm，
分式值为零 分子等于零且分母不源自于零自主练习：11、当x为何值时，代数式 x 1 2 有意义？ 2、当x为何值时，分式 x2 1 的值为零？
x 1
3、x为何整数时，分式 12 的值为整数？
4、当x为任意实数时，下列x 分1式一定有意义的 是（ ）
（A） x
2 2 1
（B
1 x2 2
（C
1 x2
一、我们在小学学习分数时，把两个整数相
除，如2÷3，可表示为
2 3
的形式，并把
2 3
叫做
分数。类似地，如果用A、B表示两个整式，
A÷B可表示成
A B
的形式，若B中含有字母，
且B≠0，式子 A叫做分式。
B
分式的概念：即形如
A（A、B是整式，
B
且B中含有字母，B≠0）的式子叫分式。
二、代数式分类：
单项式 整式
（D） 1 1 x
1、填空
(5)当x＝__±__3__时，则分式 x²－1 9无意义.
.(6)当x_＜__0_时,分式
x－1 |x|－x
有意义.
课后作业： 书 P5 习题17.1 第1、2、3题
例2
当x取什么值时，下列分式有意义？

(x 1)(2x 3)
C
A.分式的值为0 C.分式无意义
B.分式的值为 2
5
D.分式有意义
解析 当x=1时,分式的分母(x-1)(2x+3)=0,∴分式无意义.故 选C.
13.(2024山东烟台招远期中,11,★☆☆)若分式 x有1意
x(x 3)
义,则x的取值范围是 x≠0且x≠3 .
解析 ∵分式 x 有1意义,∴x(x-3)≠0Βιβλιοθήκη ∴x≠0且x-3≠0,x 1
8.(2023重庆沙坪坝期末)若分式 x 的2 值为零,则x的值是
x2
(C)
A.-2
B.2或-2
C.2
D.4
解析 由题意可知x-2=0,x+2≠0,解得x=2.故选C.
9.已知当x=-4时,分式 x 无b 意义,当x=2时,此分式的值为零,
2x a
求分式 a 的b 值.
a 3b
解析 ∵当x=-4时,分式 x 无b 意义,
第二章 分式与分式方程
1 认识分式
第一课时 分式及其相关概念
基础过关全练
知识点1 分式的概念
1.(2024山东东营期中)代数式 x , y , 1 , 2 ,x y中,x是分式
6 a 1 x a b
的有 ( B )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解析 x 和y x的分母中不含有字母,不是分式; 1, ,2
A.2-x
B.x-2
C.2x+4
D.x+4
解析 当x=-2时,分式无意义,所以分母“□”的值应为0.当x =-2时,2-x=2-(-2)=2+2=4≠0,A选项不符合题意;x-2=-2-2=-4 ≠0,B选项不符合题意;2x+4=2×(-2)+4=-4+4=0,C选项符合题 意;x+4=-2+4=2≠0,D选项不符合题意.故选C.