(公开课)指数函数的性质及其应用习题课

第2课时　习题课　指数函数及其性质的应用A级必备知识基础练1.函数f(x)=(14)x−(12)x+1在区间[-2,2]上的最小值为( )A.1 4B.34C.1316D.132.若函数f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=f(x+1)2x-2的定义域为( )A.[0,3]B.[-1,2]C.[0,1)∪(1,3]D.[-1,1)∪(1,2]3.(多选题)若指数函数y=a x在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,则a的值可能是( )A.2B.12C.3 D.134.方程4x+2x+1-3=0的解是 .5.若函数y=√a x-1的定义域是(-∞,0],则a的取值范围是 .6.函数y=(13)√x-2的定义域是 ,值域是 .7.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,且f(12)=2,则不等式f(2x)>2的解集为.8.已知函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点(2,12),其中a>0,且a≠1.(1)求a的值;(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.B级关键能力提升练9.设函数f(x)={(12)x-7,x<0,若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )√x,x≥0,A.(-3,1)B.(-∞,-3)∪(1,+∞)C.(-∞,-3)D.(1,+∞)10.若函数f(x)={(12)x,x<1,a+(14)x,x≥1的值域为(a,+∞),则实数a的取值范围为( )A.[14,+∞)B.[14,12]C.[12,1]D.(14,1]11.(2021浙江高一期末)已知不等式32x-k·3x≥-1对任意实数x恒成立,则实数k的取值范围是　.12.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)= ;当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为 .13.解下列关于x的不等式:(1)123x-1≤2;(2)a x 2-3x +1<a x+6(a>0,且a ≠1).14.已知函数f (x )=1-2x 1+2x .(1)判断f (x )的奇偶性并证明;(2)当x ∈(1,+∞)时,求函数f (x )的值域.15.已知函数f(x)=a-12x+1(x∈R),(1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;(2)若f(x)为奇函数,求a的值;(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最小值.C级学科素养创新练16.已知函数f(x)=(12x-1+12)x3.(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)证明:f(x)>0.第2课时　习题课　指数函数及其性质的应用1.B　令t=(12)x,t∈[14,4],∴g(t)=t2-t+1,对称轴为直线t=12∈[14,4],∴g(t)min=g(12)=34.故选B.2.D　函数f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=f(x+1)2x-2中{0≤x+1≤3,2x-2≠0,解得-1≤x≤2,且x≠1,所以定义域为[-1,1)∪(1,2].故选D.3.AB　当a>1时,指数函数y=a x为增函数,所以在区间[-1,1]上的最大值y max=a,最小值y min=1a.所以a+1a =52,解得a=2,或a=12(舍去);当0<a<1时,指数函数y=a x为减函数,所以在区间[-1,1]上的最大值y max=1a,y min=a,所以a+1 a =52,解得a=2(舍去),或a=12.综上所述,a=2或者a=12.4.x=0　原方程可化为(2x)2+2×2x-3=0.设t=2x(t>0),则t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3(舍去),即2x=1,解得x=0.5.(0,1)　由a x-1≥0,知a x≥1.又x≤0,所以0<a<1.6.{x|x≥2}　{y|0<y≤1}　由x-2≥0得x≥2,所以定义域为{x|x≥2}.当x≥2时,√x-2≥0.又0<13<1,所以y=(13)√x-2的值域为{y|0<y≤1}.7.(-1,+∞)　∵f(x)是偶函数,且f(12)=2,又f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.由f(2x)>2,且2x>0得2x>12,即2x>2-1,∴x>-1,即不等式f(2x)>2的解集是(-1,+∞).8.解(1)因为函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点(2,12),所以a2-1=a=12.(2)由(1)得f(x)=(12)x-1(x≥0),所以f(x)在区间[0,+∞)上为减函数,当x=0时,函数f(x)取最大值2,于是f(x)∈(0,2],故函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1,3].9.A　当a<0时,f(a)<1,即(12)a-7<1⇔(12)a<8⇔2-a<23⇔-a<3⇔a>-3,∴-3<a<0.当a≥0时,f(a)<1,即√a<1⇔a<1,∴0≤a<1.综上,-3<a<1.故选A.10.B　当x<1时,f(x)=(12)x∈(12,+∞),当x≥1时,f(x)=a+(14)x∈(a,a+14].∵函数f(x)的值域为(a,+∞),∴{a+14≥12,a≤12,即a∈[14,12].故选B.11.(-∞,2]　令t=3x(t>0),则t2-kt≥-1,化简得k≤t+1t.因为t+1t≥2√t·1t=2,当且仅当t=1时,等号成立,所以k≤2.12.2-x-4　{x|x<0或x>4}　设x<0,则-x>0,∴f(-x)=2-x-4.又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.于是f (x-2)>0可化为{x -2≥0,2x -2-4>0或{x -2<0,2-x +2-4>0,解得x>4或x<0.13.解(1)不等式123x-1≤2,即为21-3x ≤2,故1-3x ≤1,解得x ≥0,∴不等式的解集为{x|x ≥0}.(2)当a>1时,有x 2-3x+1<x+6,解得-1<x<5;当0<a<1时,有x 2-3x+1>x+6,解得x<-1或x>5.所以,当a>1时,不等式的解集为{x|-1<x<5};当0<a<1时,不等式的解集为{x|x<-1或x>5}.14.解(1)函数f (x )是奇函数,证明如下:∵对任意x ∈R ,2x +1>1恒成立,且f (-x )=1-2-x 1+2-x =2x -2-x ·2x 2x +2-x ·2x =2x -12x +1=-f (x ),∴f (x )是奇函数.(2)令2x =t ,则f (x )可化为g (t )=1-tt +1=-1+2t +1,∵x ∈(1,+∞),∴t>2,∴t+1>3.∴0<2t +1<23,∴-1<g (t )<-13,∴f (x )的值域是(-1,-13).15.(1)证明f (x )的定义域为R ,任取x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=a-12x 1+1-a+12x 2+1=2x 1-2x 2(1+2x 1)(1+2x 2).∵x 1<x 2,∴2x 1−2x 2<0,(1+2x 1)(1+2x 2)>0,∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2).∴不论a 为何实数,f (x )在(-∞,+∞)上为增函数.(2)解∵f (x )为奇函数,且x ∈R ,∴f (0)=0,即a-120+1=0,解得a=12.(3)解由(2)知,f (x )=12−12x +1,由(1)知,f (x )在(-∞,+∞)上为增函数,故f (x )在区间[1,5]上的最小值为f (1).∵f (1)=12−13=16,∴f (x )在区间[1,5]上的最小值为16.16.(1)解由题意得2x -1≠0,即x ≠0,∴f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).(2)解f (x )=2x +12(2x -1)·x 3,∴f (-x )=2-x +12(2-x -1)·(-x )3=-1+2x2(1-2x )·x 3=f (x ),∴f (x )为偶函数.(3)证明当x>0时,2x >1,x 3>0,∴2x -1>0,∴12x -1+12>0.∴f (x )>0.由偶函数的图象关于y 轴对称,知当x<0时,f (x )>0也成立.故对于x ∈(-∞,0)∪(0,+∞),恒有f (x )>0.。

第2课时 指数函数及其性质的应用(习题课)与指数函数有关函数的定义域和值域[学生用书P52]求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝21x －4；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫13x －2； (3)y ＝4x －4·2x ＋1.【解】 (1)由x －4≠0，得x ≠4， 所以函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4≠1，故y ＝21x －4的值域为{y |y ＞0，且y ≠1}．(2)由x －2≥0，得x ≥2. 所以函数的定义域为{x |x ≥2}． 当x ≥2时，x －2≥0，又0＜13＜1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x －2的值域为{y |0＜y ≤1}．(3)函数的定义域为R .记t ＝2x ＞0.则y ＝t 2－4t ＋1＝(t －2)2－3. 故当t ＝2，即2x ＝2，解得x ＝1时，y 取得最小值－3. 所以函数的值域为[－3，＋∞)．函数y ＝a f (x )的定义域与值域的求法(1)形如y ＝a f (x )的函数的定义域就是f (x )的定义域．(2)形如y ＝a f (x )的值域，应先求出f (x )的值域，再由函数的单调性求出a f (x )的值域．若a 的取值范围不确定，则需对a 进行分类讨论．(3)形如y ＝f (a x )的值域，要先求出u ＝a x 的值域，再结合y ＝f (u )确定出y ＝f (a x )的值域． 1.(1)求y ＝1－6x 2＋x －2函数的定义域、值域．(2)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3的最大值为3，求实数a 的值．(3)已知函数f (x )＝－9x ＋3x ＋1＋4，x ∈[0，1]，求函数f (x )的值域．解：(1)要使函数y ＝1－6x2＋x －2有意义，必须1－6x 2＋x －2≥0，即6 x 2＋x －2≤1＝60.因为6>1，所以函数y ＝6x 在R 上为增函数．所以x 2＋x －2≤0，(x ＋2)(x －1)≤0解得－2≤x ≤1. 所以所求函数的定义域为[－2，1]．因为x 2＋x －2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－94≥－94，所以6x 2＋x －2≥6－94， 所以－6x 2＋x －2≤－6－94，所以0≤1－6x 2＋x －2≤1－6－94＝1－1469.所以0≤1－6x 2＋x －2≤1－1469，即0≤y ≤1－1469.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1－1469. (2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1；因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. (3)f (x )＝－9x ＋3x ＋1＋4＝－(3x )2＋3·3x ＋4， 令t ＝3x ， 因为x ∈[0，1]， 所以t ∈[1，3]， 则y ＝－t 2＋3t ＋4，因为函数y ＝－t 2＋3t ＋4的对称轴是t ＝32，所以y ∈[4，254]，即函数f (x )的值域为[4，254]．指数函数图像的对称变换及应用[学生用书P52]画出函数y ＝|3x －1|的图像，并利用图像回答：k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？【解】 函数y ＝|3x －1|的图像如图(图中实线部分)．由图可知，当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像无交点，即方程|3x －1|＝k 无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像有唯一的交点，即方程|3x －1|＝k 有一解；当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像有两个不同交点，即方程|3x －1|＝k 有两解．图像的对称变换(1)y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图像关于y 轴对称． (2)y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图像关于x 轴对称． (3)y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点对称．(4)y ＝|f (x )|的图像是保留y ＝f (x )的图像中位于x 轴上半平面内的图像及与x 轴的交点，将y ＝f (x )的图像中位于x 轴下半平面内的图像以x 轴为对称轴翻折到上半面中去而得到．(5)y ＝f (|x |)的图像是保留y ＝f (x )的图像中位于y 轴右半平面内的图像及与y 轴的交点，去掉y 轴左半平面内的图像，利用偶函数的性质，将右半平面内的图像以y 轴为对称轴翻折到左半平面中去而得到．2.(1)当函数f (x )＝2－|x －1|－m 的图像与x 轴有公共点时，则实数m 的取值范围是________．(2)直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析：(1)f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|－m . 画出f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|的图像，如图．由图像可知，0<m ≤1. (2)当a >1时，在同一坐标系中作出y ＝2a 和y ＝|a x －1|的图像，显然只有一个公共点，不合题意．当1≤2a <2，即12≤a <1时，两图像也只有一个交点，不合题意．当0<2a <1，即0<a <12时，如图所示，两图像有两个交点，符合题意．答案：(1)(0，1] (2)⎝⎛⎭⎫0，12 函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的单调性[学生用书P53]已知a >0且a ≠1，讨论f (x )＝a －x 2＋3x ＋2的单调性．【解】 设u ＝－x 2＋3x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋174，则当x ≥32时，u 是减函数，当x <32时，u 是增函数．又当a >1时，y ＝a u 是增函数， 当0<a <1时，y ＝a u 是减函数， 因此当a >1时，原函数f (x )＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是增函数；当0<a <1时，原函数f (x )＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上是增函数，在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是减函数．函数y ＝a f (x )(a ＞0，a ≠1)的单调性的处理方法(1)关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考察f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性．3.求函数y ＝2－x 2＋2x 的单调区间．解：函数y ＝2－x 2＋2x的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x 2＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x 2＋2x在[1，＋∞)上是减函数，综上，函数y ＝2－x 2＋2x在[1，＋∞)上是减少的，在(－∞，1]上是增加的．指数函数的综合应用[学生用书P53]设f (x )＝－2x ＋a2x ＋1＋b(a ，b 为实常数)．(1)当a ＝b ＝1时，证明：①f (x )不是奇函数； ②f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数． (2)设f (x )是奇函数，求a 与b 的值． 【解】 (1)证明：①f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋1，其定义域为R ，f (1)＝－2＋122＋1＝－15，f (－1)＝－12＋12＝14，所以f (－1)≠－f (1)，即f (x )不是奇函数．②在(－∞，＋∞)上任取x 1，x 2且x 2>x 1，则f (x 2)＝1－2x 21＋2x 2＋1，f (x 1)＝1－2x 11＋2x 1＋1，f (x 2)－f (x 1)＝1－2x 21＋2x 2＋1－1－2x 11＋2x 1＋1＝（1－2x 2）（1＋2x 1＋1）－（1－2x 1）（1＋2x 2＋1）（1＋2x 2＋1）（1＋2x 1＋1）＝3（2x 1－2x 2）（1＋2x 2＋1）（1＋2x 1＋1）.因为x 2>x 1，所以2x 1－2x 2<0，又因为(1＋2x 1＋1)(1＋2x 2＋1)>0， 所以f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)， 所以f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数． (2)f (x )是奇函数时，f (－x )＝－f (x )，即－2－x ＋a 2－x ＋1＋b ＝－－2x ＋a2x ＋1＋b对定义域中的任意实数x 都成立， 化简整理得(2a －b )·22x ＋(2ab －4)·2x ＋(2a －b )＝0，这是关于x 的恒等式，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2ab －4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可．4.设a >0，f (x )＝e x a ＋aex 是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．解：(1)依题意，对一切x ∈R ，有f (x )＝f (－x )，即e x a ＋a e x ＝1a ex ＋a e x .所以⎝⎛⎭⎫a －1a ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立．由此得到a －1a＝0， 即a 2＝1.又a >0，所以a ＝1. (2)证明：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 1＋x 2－1＝(e x 2－e x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2. 因为0<x 1<x 2，所以e x 2>e x 1， 所以e x 2－e x 1>0.又1－e x 1＋x 2<0，e x 1＋x 2>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0.即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．1．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D ．⎝⎛⎭⎫－12，12 解析：选B.由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a ＞1，解得a ＜0.2．函数f (x )＝3·4x －2x 在x ∈[0，＋∞)上的最小值是( )A ．－112B ．0C ．2D ．10解析：选C.因为x ∈[0，＋∞)， 所以t ＝2x∈[1，＋∞)，y ＝3t 2－t ＝3⎝⎛⎭⎫t －162－112，当t ＝1即x ＝0时，y 最小＝2.3．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对任意x 1∈[0，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意f (x )的最小值不小于g (x )的最小值， 所以f (0)≥g (2)，即0≥⎝⎛⎭⎫122－m ， 所以m ≥14.答案：⎣⎡⎭⎫14，＋∞ , [学生用书P129(单独成册)])[A 基础达标]1．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－53，1 B ．[－1，1] C.⎣⎡⎦⎤1，53 D ．[0，1] 解析：选A.f (x )在R 上是增函数，由f (－1)＝－53，f (1)＝1得当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x－2的值域是⎣⎡⎦⎤－53，1. 2．设f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |，x ∈R ，那么f (x )是( )A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数解析：选D.f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，排除A 、C ；当x >0时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x为减函数，排除B.故选D.3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2在下列哪个区间上是减少的( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)解析：选B.设u ＝x 2－2，u在(－∞，0]是减少的，在[0，＋∞)上是增加的，y ＝⎝⎛⎭⎫12u是减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2在[0，＋∞)上是减少的．4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2，1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9，81] B ．[3，9] C ．[1，9] D ．[1，＋∞)解析：选C.由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2， 因为f (x )＝3x －2在[2，4]上是增函数， f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，所以f (x )的值域为[1，9]．5．函数f (x )＝a x －b 的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：选D.从曲线的变化趋势可以得到函数f (x )为减函数，从而有0＜a ＜1；从曲线位置看，是由函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图像向左平移|－b |个单位而得到的，所以－b ＞0，即b ＜0.6．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________． 解析：函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在定义域内是递减的，所以m ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，n ＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9.所以m ＋n ＝12.答案：127．已知函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义在区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，则a ＋b ＝________．解析：由定义域关于原点对称得－2a ＝1－3a <0，所以a ＝1， 由f (0)＝b －12＝0，得b ＝1，故a ＋b ＝1＋1＝2.答案：28．若函数f (x )＝2x2＋2ax －a－1的定义域为R ，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )的定义域为R ，所以2x2＋2ax －a－1≥0恒成立，即x 2＋2ax －a ≥0恒成立，所以Δ＝4a 2＋4a ≤0，即－1≤a ≤0.答案：[－1，0]9．已知函数f (x )＝ax 2－1(a ＞0且a ≠1)．(1)若函数f (x )的图像经过点P (3，4)，求a 的值；(2)判断并证明函数f (x )的奇偶性；(3)比较f (－2)与f (－2.1)的大小，并说明理由． 解：(1)因为函数f (x )的图像经过点P (3，4)， 所以f (3)＝a 2＝4，所以a ＝2. (2)函数f (x )为偶函数．因为函数f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝a (－x )2－1＝ax 2－1＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数．(3)因为y ＝x 2－1在(－∞，0)上是递减的， 所以当a ＞1时，f (x )在(－∞，0)上是递减的， 所以f (－2)＜f (－2.1)；当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上是递增的，所以f (－2)＞f (－2.1)．10．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，求a 的值． 解：令t ＝a x (a >0且a ≠1)， 则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2(t >0)．令y ＝f (t )，则函数f (t )＝(t ＋1)2－2的图像的对称轴为直线t ＝－1，开口向上．①当0<a <1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时，f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数， 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a >0，所以a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数， 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14.解得a ＝3(a ＝－5舍去)．所以a ＝13或a ＝3.[B 能力提升]11．预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是P n＝P 0(1＋k )n (k 为常数)，其中P n 为预测期内n 年后的人口数，P 0为初期人口数，k 为预测期内的年增长率，如果－1<k <0，那么在这期间人口数( )A ．呈上升趋势B ．呈下降趋势C ．先上升后下降D ．先下降后上升解析：选B.P n ＝P 0(1＋k )n 是指数型函数， 因为－1<k <0，所以0<1＋k <1.由y ＝a x (0<a <1)是(－∞，＋∞)上的减函数可知，人口数呈下降趋势．12．函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析：分情况讨论：①当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝a 1＝a ，最小值f (x )min ＝f (2)＝a 2，所以a －a 2＝a 2，解得a ＝12或a ＝0(舍去)；②当a ＞1时，函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值f (x )max ＝f (2)＝a 2，最小值f (x )min ＝f (1)＝a 1＝a ， 所以a 2－a ＝a 2，解得a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或a ＝32.答案：12或3213．已知函数f (x )＝3－x 2＋2x ＋3， (1)求f (x )的定义域和值域；(2)请写出f (x )的单调区间，不需证明．解：(1)f (x )的定义域为R .设u ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4≤4， 又y ＝3u 在(－∞，4]上是增加的， 所以0<y ≤34，即f (x )的值域为(0，81]．(2)u ＝－x 2＋2x ＋3在(－∞，1]上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的，又y ＝3u 在u ∈R 上是增加的．所以f (x )＝3－x 2＋2x ＋3在(－∞，1]上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的． 14．(选做题)已知函数f (x )＝b ·a x ，(其中a ，b 为常数且a >0，a ≠1)的图像经过点A (1，6)，B (3，24)．(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x ＋1－2m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝6，b ·a 3＝24⇒a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x .(2)设g (x )＝⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x ，则y ＝g (x )在R 上为减函数，所以当x ≤1时，g (x )min ＝g (1)＝56，所以⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x ＋1－2m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即2m －1≤56⇒m ≤1112， 所以m 的取值范围为m ≤1112.。

指数函数优秀公开课教案(比赛课)指数函数优秀公开课教案（比赛课）一、教学目标1. 学会定义指数函数，并了解其特征和性质。

2. 掌握指数函数的图像、定义域、值域等基本概念。

3. 能够运用指数函数解决实际问题。

4. 发展学生的逻辑思维和问题解决能力。

二、教学内容1. 指数函数的定义和性质：指数函数的定义，特殊指数函数的性质等。

2. 指数函数的图像与性质：指数函数的基本图像，对称轴、单调性、零点等。

3. 指数函数的定义域与值域：通过图像讨论指数函数的定义域和值域。

4. 指数函数与实际问题：运用指数函数解决实际问题的例子。

三、教学过程1. 导入：通过一个有趣的问题引入指数函数的概念。

2. 理论讲解：逐步介绍指数函数的定义、性质和图像等内容，提醒学生注意重点。

3. 实例分析：通过一些简单实例分析，引导学生理解指数函数的定义域、值域等概念。

4. 练演练：组织学生进行课堂练，加深对指数函数的理解和运用能力。

5. 拓展活动：提供一些更高级的实际问题，激发学生思维，培养解决问题的能力。

6. 总结归纳：对本节课所学内容进行总结，强化学生对指数函数的理解。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、回答问题的准确性等。

2. 课后作业：布置适当数量的作业，以检验学生对指数函数的掌握情况。

3. 测验考核：进行小测验，测试学生对指数函数知识的掌握程度。

4. 互动讨论：鼓励学生参与讨论，促进学生之间的互相研究和思想碰撞。

五、教学资源1. PowerPoint课件：包含指数函数的定义、性质和图像等内容。

2. 实例分析练题：提供一些简单实例用于学生练。

3. 拓展问题手册：包含更高级的实际问题，用于激发学生的思维。

六、教学反思本节课注重在培养学生对指数函数的理解和应用能力上。

通过生动的实例和练，能够帮助学生掌握指数函数的相关知识，并应用于解决实际问题。

在教学过程中，适时鼓励学生的互动和讨论，促进学生之间的研究和思想碰撞。