人教A版高中数学必修5《第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 信息技术应用 估计√2的值》_16

§2.1数列的概念与简单表示法(教学设计)授课类型：新授课 （第1课时）一、教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

二、教学重点通过实例，理解数列的概念，掌握数列的几种简单表示法；三、教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式；了解数列是一种特殊的函数，体会数列是反映自然规律的数学模型.四、教学过程1.课题导入实验：请大家取一张纸对折，假设纸的厚度为1个长度单位，面积是1个面积单位，那么随着依次对折的次数的增加，它的厚度和每层纸的面积是多少？厚度：面积：三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，…【探究一】观察上面几组数，通过小组讨论，探究它们的共同特点。

.2.讲授新课（1） 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“1”是这个数列的第1项（或首项），“8”是这个数列中的第4项.（2）数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项【探究二】请思考下列问题(1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一个数列吗？(2) 1,1,1,1,…… 是数列吗？(3)你能列举一些生活中的数列的例子吗？（设计意图：1.加强对数列概念的理解2.体会数列问题是存在于现实生活中的。

）注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.（3）数列的分类：①根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.无穷数列：项数无限的数列.②根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。

1数列通项公式的求法教学设计一、课题数列通项公式的求法二、教学目标法求通项公式的规律。

2.2在得出求以上数列通项公式的基础上，总结发现公式的应用。

2.3在公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、总结、变形的能力，发展学生的创造性思维。

三、教学重点累加法、累乘法的方法归纳四、教学难点累加法与累乘法求通项的应用（联系对比-区分应用）五、教学方法激励——讨论——发现——对比——归纳——总结六、教具多媒体或小黑板七、教学过程师：在前面我们学习了等差、等比数列，请大家回忆一下等差数列的定义？等比数列的定义？及通项公式？生1：一般的一个数列从第二项起，每一项与它前面一项的差为同一个常数，我们把这样的数列叫等差数列；设首项为，公差为，则通项公式为。

生2：一般的一个数列从第二项起，每一项与它前面一项的比为同一个常数，我们把这样的数列叫等比数列，设首项为，公比为，则通项公式为。

师：非常好！对数列的定义和通项公式记忆较好。

师：请看下面的问题。

（1）在等差数列中？（2）已知，且有，求？生3：（1）中（2）中将变为是等差数列，师：很好，大家对等差数列掌握得很好。

师：大家再来看下列问题你能否解决呢？例1、已知数列满足，且，求数列的通项公式。

生4：（举手回答）这是一个等差数列变为师：同学们认真仔细思考一下，他说得对吗？生：（齐声回答）不对。

师：为什么不对呢？生：（齐声回答）因为此时，是变数，而不是常数。

师：很好，大家说得很对；既然不是等差数列，那怎么来求它的通项公式呢？（生思考，但很诧异）那么我们再来看一下，该数列与等差数列有什么异同呢？生5：与等差数列有相同的形式，只是两者之差不为常数而已。

师：很好！观察得很仔细，那么我们能否采用求等差数列通项公式的方法来求呢？（思考，解决，问题激励，语言激励）（生推得，师欣赏，鼓励学生，生板演，学生推导过程）生6：（黑板板演），将以上个等式相加得到。

师：你推导得出的通项公式是用什么方法呢？生7：累加法师：很好！大家再来观察一下例1和（2）两题有什么特点，从这两题中我们可不可以得出什么规律呢？（思考，问题激励，语言激励，学生讨论，归纳总结）生8：（板演）规律1，数列中，首项为（1）如果（常数），则数列是等差数列，且。

《数列的概念与简单表示法》教学设计一、教学要求：1、理解数列及其有关概念；2、了解数列和函数之间的关系；3、了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式； 二、教学重点、教学难点：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.三、教学过程：（一）、引入：1. 大自然是懂数学的，树木的分岔，花瓣的数量，植物种子的排列等等都遵循某种数学规律，本节课我们就来研究这些数的规律及特征。

下面我们看四组数：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”，、、、、、、，如此下去，即得到1，12，14，18，、、、、、、 2. 生活中的三角形数、正方形数.提问：这些数有什么共同特点：1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序（二）、讲授新课：1.数列及其有关概念：（1）1，12，14，18，··· （2）三角形数：1，3，6，10，···（2）正方形数：1，4，9，16，···（4）无穷多个3排列成的一列数：3，3，3，3，···（5）15,5,16,16,28,32,51有什么共同特点？ 1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序（1）数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列中每一个数叫数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.（2）数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a .辩析数列的概念：（1）“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？ ----------数列的有序性（2）数列中的数可以重复吗？ ----------数列的可重复性（3）数列与集合有什么区别？ 集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。

课题：数列的概念与简单表示法【教学目标】1.了解数列的概念及数列的几种分类2.体会数列中项与序号之间的关系，理解数列是一类特殊函数3.掌握数列的三种表示法，并能通过观察与归纳写出一些数列的通项公式【教学重点】数列的表示法【教学难点】数列与函数之间的关系；数列的通项公式【教学方法】讲授法【教学过程】一 游戏二 数列的定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项数列的分类：(1)按项数分：有穷数列，无穷数列(2)按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列。

通项公式：二、典型例题例1 已知数列{}n a 的通项公式是 ，求前4项变式：若将通项公式改为 呢？例2、 写出下面数列的一个通项公式，使它的 前4项分别是下列各数：练习2：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：{}n a n n n a 21)1(-= 如果数列 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式1,2n n a =1-，1，1-，1）4；（41，31，21，1)3(；25，16，9，4）2（;7,5,3,1）1（-- 0,2，0,2)1(变式 b a b a b a ,,，,）2变式（.9999.0,999.0,99.0,9.0）4（。

9999，999，99，9）3（。

5555，555，55，5）2（。

10000，1000，100，10)1(注意： ①一些数列的通项公式不是唯一的②不是每一个数列都能写出它 的通项公式 总结： 数列的实质研究： 总结：数列用图象表示时的特点 ——一群孤立的点四、总结提升的图象)1(+=n n a n 是，说明理由。

求出它是第几项；若不若是，是否是该数列中的项？101和109）试判断2（项；7项和第4写出该数列的第)1(.1的通项公式是}{：已知数列3例22+=n n a a n n .不是这个数列的项.;7且是这个数列的项. ;7且是这个数列的项. 6且是这个数列的项. （）98.0那么,1的通项公式}{已知数列)3( 23. 32. 39. 380. .中的一项是（）)}1({是数列以下四个数中)2( D.0,0,0,0, ,C.2,22,222 ;41,31,21B.1, A.1,0,1,0, 是（）下面数列是有穷数列的)1(课堂训练 22D n ，C n ，B n ，A n n a a D C B A n n ，n n =±==+=+ ._______________的一个通项公式为,2lg ,3lg ,2lg 21,0数列)6(____;__________的一个通项公式为,1615,87,43,21数列)5(_______;项5则它的第,1的通项公式}{已知数列45 --=+=a nn a a ）（n n。

求数列通项公式常用方法教学设计
教案背景：1、面对学生：高一5，6班(基础较为薄弱) 2、课时：2课时
3、学情分析：数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

求数列通项公式在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

学习目标：
知识与技能：进一步复习数列通项公式的求法，加深学生的理解和印象，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

过程与方法：在学习的过程中体会求数列通项公式的过程和方法，如特殊数列的求法和利用构造新数列求通项等方法。

情感：通过对数列通项公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

教学重点：掌握数列通项公式的求法。

教学难点：根据数列n s 求n a 。

板书设计
课题：求数列通项公式常用方法例题：练习：。

2.1.1 数列的概念与简单表示法一、教学目标（1）了解数列的概念通过实例，引入数列的概念，并理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型。

同时了解数列的几种分类。

（2）了解数列是一种特殊的函数了解数列是一类离散函数，体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系。

二、教学重点与难点（1）教学重点：了解数列的概念，以及数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。

（2）教学难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系。

三、教学过程<1>创设情境，实例引入1、引导学生观察P26章节前的知识背景图片，构建自然现象中体现出的数的规律。

留下问题思考：你能发现下面这一列数的规律吗1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...（我们先一起来观察一下课本P26的这幅大图，大家来数数这些花各有几片花瓣。

我们发现，第一朵花有3片花瓣，第二朵花有5片花瓣，第三朵花有8片花瓣，第四朵花有13片花瓣。

那大家来观察一下书上的那一组数：1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...，你能发现它们有什么规律吗？带着这个问题，我们要来探讨一个有关数的新问题。

）2、引导学生观察课本P28的两幅图-三角形数与正方形数，进而引出数列的概念。

（大家都知道古希腊拥有着灿烂的文明，它的数学文化同样值得我们去探究。

古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，书本上的这两幅图正是他们所研究的一小部分，即三角形数与正方形数。

大家一起来观察一下，在三角形数这幅图中每个图形分别对应着数1，3，6，10....，而在正方形数这幅图中每个图形分别对应着数1，4，9，16...，大家能发现它们的共同特点吗？每个图形代表的数与在图中的序列号有没有什么联系呢？这样的一组数我们在数学上称之为数列。

现在我们一起来认识这个全新的概念：数列。

信息技术的应用估计的值一、教材分析21世纪是互联网的世纪，一代代程序员用手中的代码飞速地改变着世界，信息技术是当代的重要技术，是时代发展最先进的生产力之一。

本节课内容出自人教版A高一必修五第二章第一节阅读材料，以历史上的第一次数学危机作为引子，的不足近似值的算法过程，提高学生对程序算法的兴趣，让学生意识到数学的重要地位。

二、学情分析学生是农村乡镇地区的学生，对计算机的了解大多仅限于上网聊天购物，对程序代码之类的知识了解不多。

不过他们已经在必修1第三章函数的零点定理部分，大致了解了用二分法求方程近似解的步骤。

同时，由于高考对信息技术提出了更多的要求，学校有专门设置信息技术课（非数学课）。

本节课也算是对学生的信息技术素养的一次考核。

三、教学目标1、知识与技能目标：的发现过程及第一次数学危机。

②、体验代码运算的过程，2、过程与方法目标：①、体验用有理数估计一个无理数的过程，掌握“逐次逼近”这种对数进行分析的方法。

②、参与程序运行的过程，修改并完善程序，提升信息技术素养。

3、情感与态度目标：①、感受信息技术与数学的魅力，提升学生对信息技术与数学的兴趣。

②、培养学生善于思考、积极探索的科学精神。

三、教学重点：程序的运行过程。

四、教学难点：找出原程序的缺点并修改完善程序，使其具有通用性。

五、教学方法：演示法、自主学习法。

六、教学用具：多媒体平台、ppt、Execl、C++、Mathtype、视频、亿图七、教学过程：八、教学反思1、本节课的情景创设是借助前人的经验，视频的引入，极大地提高了学生专注力，激发了学生的学习兴趣。

2、本节课将信息技术与高中数学课堂进行了深度融合，从技术层面来讲，无疑是成功的，特别是利用Execl把算法运算的过程展现出来，教学效果无疑会非常好。

3、C++的昙花一现，是为了让学生了解代码语言，如果学生有兴趣，便可以找到学习对象。

4、本节课对程序进行了横向比较与纵向深化，让学生把握算法的本质，深入了解算法，尝试完善算法，明白了“尽信书不如无书”，提高了学生的信息技术素养。

高三必修五数学第二章数列的概念与简单表示法知识点高三人教版必修五数学第二章数列的概念与简单表示法知识点1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2．数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3．数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的'，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4．数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.。

本节课题： 数列的概念与简单表示教学目的：1.了解数列的概念2.了解数列是一种特殊函数3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式教学重点、难点重点：了解数列的概念和简单表示法，了解数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。

难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系教学基本流程：创设问题情境，引入数列，给出数列概念，数列的分类，了解数列是一种特殊函数，体会数列与函数的关系，根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。

教学过程：一．引入观察并在括号里填上适当的数。

（1）() ，，，，，5131211 （2）1, 4， （ ）， 16，…（3）1，-1, 1，-1，（ ），-1，…（4）1, 1, 1，（ ），1，…（5）1, 3, 6, 10，（ ），…（6）1, 1, 2, 3, 5，（ ），13，…探究：在你填数的过程中,你认为它们有什么共同特征?二．新课讲授1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数探究1：数列1，2，3，…，54改为54，53，…，3，2，1，它们还是同一数列吗？ 探究2：数列1，2，3，…，54改为{}54,,3,2,1 ，两者相同吗?思考：数列跟集合有什么不同？2. 数列的项：数列中的每一个数。

各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n 项，…数列的一般形式可以写为：n a a a a ,,,,321 ，…简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。

3. 数列的分类：(1) 按项数分：有穷数列和无穷数列(2) 按项的大小分：递增数列，递减数列，常数列，摆动数列4. 数列的通项公式：若数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做此数列的通项公式。

探究：如何求前面题中数列的通项公式？例1. 求下列数列的通项公式。

（1）,41,31,21,1… （2）1，4，9，16，…（3）1，2，3，…，54（4）-1，1，-1，1，…（5）1，1，1，1，…（6）1，3，6，10，…探究：1. 任何一个数列都可以写出它的一个通项公式吗？2. 数列的通项公式存在时，它是唯一的吗？3. 若将（1）中的数列改为,41,31,21…，则它的通项公式还相同吗？通过前面的学习，你发现数列和函数有什么关系？数列的图像又是什么呢？例2.下图中的三角形图案称为谢宾斯基（Sierpinski ）三角形．在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像。

《数列求和》教案一、教材分析本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修5（A）版》第二章章末复习内容，数列求和的第一课时：分组求和法与裂项求和法的应用。

数列求和是在学生学习了等差数列与等比数列求和问题的基础上，对数列求和问题的进一步深入和拓广，是《数列》一章中重要的基础内容，无论在知识，还是能力上，都在数列中占有重要地位，也是高考命题的热点。

二、学情分析1.知识储备：学生已经学习了等差数列与等比数列的基本内容，会判断数列是否是等差、等比数列，并会利用公式解决等差、等比数列的求和问题。

2.能力水平：具有一定的分析问题和解决问题的能力。

3.本班学情：学生数学基础薄弱，自控能力差，不喜思考，缺乏学习兴趣，需要教师在教学中恰当引导。

三、教学目标1.知识与技能：掌握数列求和问题中的两种方法，分组求和法和裂项求和法。

2.过程与方法：通过求和方法的探究，体会化归思想、函数思想，体验从特殊到一般地研究方法，学会观察、归纳、反思。

3.情感态度与价值观：认识事物间的内在联系和相互转化，培养学生的探索、创新精神。

四、重难点教学重点：探索并握数列求和问题中的两种方法，分组求和法和裂项求和法。

教学难点：解决求和问题基本思想方法，两种求和方法的获得。

五、教学过程（一）复习回顾：复习等差、等比数列的求和公式以及公式的推到方法。

（设计意图：既是求和方法的总结，也是新知探究的基础）练习1：求下列数列的前n项和（1）1、3、5、7、9… (2)1、2、4、8、16…（二）分组求和法探究（通过观察通项公式，分析、归纳分组求和数列的特征，能利用分组的方式解决非特殊数列的求和问题）例1.若数列的通项公式为,求的前n项和。

解：设数列的前n项和为则变式训练1：若数列的通项公式为,求的前n项和。

解：设数列的前n项和为则归纳总结：方法技巧1：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，用等比数列或等差数列的求和公式分别求和，进而得出原数列的和。

2.1.1数列的概念与简单表示本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.教具准备课件三维目标一、知识与技能1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程导入新课师 课本图211中的正方形数分别是多少？ 生 1，3，6，10，….师 图212中正方形数呢？ 生 1，4，9，16，25，….师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…; 无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，….生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，….推进新课［合作探究］折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561 ,….生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的，再折下去太困难了.师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？ 生 均是一列数. 生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列. 注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.［知识拓展］师你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？生256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为a n=2n.［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，项 2 4 8 16 32↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n ),….师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.［例题剖析］1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项： (1)a n =1n n;(2)a n =(-1)n ·n .师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65. (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-5. 师 好！就这样解.2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…；(3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； (5)2，-6，12，-20，30，-42，….师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间) 生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n；(3)a n ＝2)1(1n -+；(4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴a n ＝n ＋2)1(1n-+；(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…， ∴a n ＝(-1)n +1n (n ＋1).师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.［合作探究］师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数 数列(特殊的函数) 定义域R 或R 的子集N *或它的有限子集{1，2，…，n } 解析式 y=f(x) a n =f(n )图象点的集合一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:4，5，6，7，8，9，10…;② 1,21 ,31 ,41 ,…③的图象.生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.师 数列1,21 ,31 ,41 ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的反比例函数xy 1 的图象有关.师 这两数列的图象有什么特点？ 生 其特点为：它们都是一群孤立的点.生 它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点.本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.课堂小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式. 布置作业课本第38页习题2.1 A 组第1题.板书设计数列的概念与简单表示法(一)定义 1.数列 例12.项3.一般形式 例2 函数定义4.通项公式5.有穷数列6.无穷数列备课资料一、备用例题1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2)515;414,313;2122222----;(3)211⨯-,321⨯- ,431⨯- ,541⨯-.分析：(1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1↓ ↓ ↓ ↓序号： 1 2 3 4所以我们得到了a n =2n -1；(2)序号： 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1↓ ↓ ↓↓项分子： 22-1=(1+1)2-1 32-1=(2+1)2-1 42-1=(3+1)2-1 52-1=(4+1)2-1所以我们得到了a n =1)1(2++n n 或1)2(+∙+n nn ；(3)序号: 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓211⨯-321⨯- 431⨯- 541⨯-↓ ↓ ↓ ↓)11(11+⨯-)12(21+⨯- )13(31+⨯- )14(41+⨯-所以我们得到了a n =-)1(1+⨯n n .2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数：(1)1,0,1,0; 〔a n =2)1(11+-+n ,n ∈N *〕(2)-32,83 ,154-,245,356-; 〔a n =(-1)n ·1)1(12-++n n 〕(3)7,77,777,7 777; 〔a n =97×(10n -1)〕 (4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔a n =(-1)n (6n -5)〕(5)23,45 ,169 ,25617. 〔a n =12212-+n n 〕点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系3.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么(A .30是数列{a n }的一项B .44是数列{a n }的一项 C.66是数列{a n }的一项D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决答案：C 点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为2001就是每200张叠起来刚好为1 cm ，现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a 1,a 2,a 3,…,a k你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？2n，答案：这个数列的通项公式为a n=200裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm＞56 294 995 km，大于地球到月球距离的146倍二、阅读材料无法实现的奖赏相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？。

《数列》复习（第一课时）教学目的：1．系统掌握数列的有关概念和公式。

2．了解数列的通项公式与前n项和公式的关系,能通过前n项和公式求出数列的通项公式。

3.促使学生更好地掌握函数观点、数形结合等数学思想方法。

4．培养学生勤于思考、缜密推导、耐心运算的学习品质，敢于接受学习挑战和自信的学习品格。

授课类型：复习课教学过程：一、本章知识结构二、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差数列、等比数列的定义．(3)等差数列、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差数列、等比数列的前n项和公式及其推导方法．三、方法总结1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差数列、等比数列中，a、、n、d(q)、“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．四、知识精要：1、数列[数列的通项公式] [数列的前n项和]2、等差数列[等差数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

[等差数列的判定方法]1．定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。

2．等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。

[等差数列的通项公式]如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。

[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。

[等差数列的前n项和] 1． 2.[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。

[等差中项]如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。

即：或[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

§2.1《数列的概念与简单表示法》教学设计一、学情分析根据新课程标准,数列这一章首先通过三角形数、正方形数等实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的简单表示法，将生活实际与数学有机的联系在一起。

这样符合学生的认识规律，让学生体会数学就在我们身边。

二、教学目标1.知识与技能目标通过日常生活中的实例,理解数列及其有关概念；了解数列是一种特殊函数2.过程与方法目标①经历数列概念的产生过程，学习从大量实例中提炼数列定义的方法；②通过研究数列的本质属性，学会通过找差异、找联系的方法认识问题；体会类比思想和归纳思想在数学中的应用.3.情感态度价值观目标在通过实际问题引入数列概念后,使学生体会数列的函数背景,感受数列是研究现实问题情境的数学模型．通过本节的学习经历，感受数学发现的愉快，体验解决问题成功的快乐．体会数学记载我们身边.三、教学重点理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型．四、教学难点认识数列是一种特殊函数五、教学设备多媒体课件、实物投影仪等．六、教学过程(一)情境引入，目标展示有人说,大自然是懂数学的.不知你注意过没有，树枝的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列……都遵循了某种数学规律你能发现下面这个数列与这种规律有什么关系？1，1，2，3,5,8,13,21,34,55,89，…(从第三个数开始,每一个数都是前面两个数之和,这就是斐波那契数列)这节课开始我们共同学习有关数列的问题(展示课题,学习目标)(二)创设情境，提出问题情境1 相传古代印度国王舍罕要褒赏他聪明能干的宰相达依尔(国际象棋发明者),问他需要什么,达依尔说:”国王只要在国际象棋的棋盘第一格子里放一粒麦子,第二个格子里放两粒,第三个格子里放四粒,以后按此比例每一格多放一倍,一直放到第64个格(国际象棋是 格),只要把棋盘上全部麦子给我,其他什么也不要了.”国王想:”这有多少,还不容易!”你认为国王有能力满足上述要求吗?情境2 传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：三角形数1, 3, 6, 10, .…..正方形数1, 4, 9, 16, ……你不觉得这些几列数字神秘吗?你不想研究一下它们吗?事实上,在我们生产实践和科学试验中,到处都存在着类似的这样一组一组的数据需要我们研究:1996—2002年某市普通高中生人数(单位:万人):82, 93, 105, 119, 130, 132.目前通用的人民币面额按从大到小的顺序排成的数字:100, 50, 20, 10, 5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1.又如数学中1，2，3，4,5 ……的倒数排列成的一列数：1,12，13，14，15， -1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：-1，1，-1，1，…;无穷多个1排成一列数：1，1，1，1，….问题1：以上各组数据有何共同特点？（三）自主探索，尝试解决生1：每个情境中都是一列数.生2：这些数有一定的次序，前后位置不能颠倒．生3：它们共同的特点是都有一组按照一定顺序排列的数．师：引导学生归纳得出数列的定义一、数列的概念：1.数列的定义像这样，按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（首项），排第二位的数称为这个数列的第2项，······，排第n 位的数称为这个数列的第n 项.2.数列的表示数列的一般形式可以写成：1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，简记为{}n a（四）合作交流，整合结果问题2：{}n a与n a一样吗？生：{}n a表示一个数列，而n a是数列的第n项．a仅仅是数列的第n项吗？请大家讨论一下．师：na有时是数列的第n项（确定的），有时代表任意项，即具有任意性．讨论结果：n问题3：数列中的数可以相同吗？数列中的数可以调换位置吗？生：数列中的数可以相同;数列中的数不可以调换位置师：强调数列中的每一项都和它的序号有关，并说明数列与集合的差异．同时得到：3.数列的特征:数列的顺序性和可重复性问题4：前面几个数列各有什么特点？我们可以将它们如何进行分类？学生讨论后得到：二、数列的分类1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。

《等差数列》教学设计范围：人教A版2003课标版第二章数列第二节等差数列第1课时教学目标：1.理解等差数列的定义2. 引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力。

3. 会运用等差数列的通项公式进行基本量的计算。

4.领会函数与数列关系，培养学生的知识、方法迁移能力。

教学重点: 等差数列的定义及通项公式教学难点：1.理解等差数列的定义2. 理解等差数列是一种函数模型。

设计理念：通过问题引导，自主探究及讲练结合等方式教会学生学习，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力。

教具:多谋体一．情境导入，引入课题①如图1所示：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，这个V形架的铅笔从最下面一层往上面排起的铅笔支数组成数列：1，2，3，4，……②水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。

如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。

那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5设问：你能写出上面两个数列的递推公式吗？从递推公式你能发现他们有什么共同特点？①②教师:同学们的回答形式不一，但都可以归结为数列相邻两项的差为常数，这样的数列我们称为等差数列（引入课题）二、探索新知（多谋体展示） <一>等差数列的定义: 如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

设问：（1）设定义的数列为，写出定义描述的数列的递推公式？(2)请找出定义中的关键词，并说明理由（也可举例说明）（1）问答案：且或教师反问：两个递推公式都可以,，它们有什么不同吗？（2）问回答抓住的关键词: ‘第2项起’, ‘差’, ‘同一个常数’及‘差的顺序’等。

等差数列教学目的：1. 要求学生掌握等差数列的概念2. 等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。

教学重点：1. 要证明数列{an }为等差数列，*2. 等差数列的通项公式：a n =a1+(n-1)d (n≥1, 且n ∈N ). 教学难点：等差数列“等差”的特点。

公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。

教学过程：一、引导观察数列：（1）1，3，5，7，9，11，……（2）3，6，9，12，15，18，……（3）1，1，1，1，1，1，1，……（4）3，0，－3，－6，－9，－12，……特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数—“等差”二、得出等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。

注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。

．．．．．．．．．．定义另叙述：在数列{a n }中，a n +1－a n =d（n ∈N +), d为常数，则{an }是等差数列，常数d 称为等差数列的公差。

评注：1、一个数列，不从第2项起，而是从第3 项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，此数列不是等差数列. 如：（1）1，3，4，5，6， (2)－1，0，12，14，16，18，20，……2、公差d ∈R ，当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d三、等差数列的通项公式：a n =a1＋（n －1）d问题1：已知等差数列｛a n ｝的首项为a 1，公差为d ，求a 2=a 1+da 3=a 2+d =(a 1+d ) +d =a 1+2d a 4=a 3+d =(a 1+2d ) +d =a 1+3d ……由此归纳为a n =a 1+(n -1) d当n =1时a 1=a 1 （成立）a n =a 1+(n -1) d 等差数列的通项公式四、应用例1 （1）求等差数列8，5，2，……的第20项（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，……的项，如果是，是第几项？解：（1）由a 1=8,d=5－8=－3,n=20,得:a20=8＋（20－1）×（－3）=－49（2）由a 1=－5,d=－9－（－5）=－4, 得: an =－5＋（n －1）×（－4）即=－4n －1 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n, 使得若－401=－4 n －1成立解这个关于n 的方程，得n=100 即－401是这个数列的第100项例2 在等差数列｛｝中，已知a 5=10，a 12=31，求首项a 1与公差d 。