桂林市、北海市、崇左市2016年3月联合调研考试数学理科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）．考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U =R ,集合{}{}13,2A x x B x x =<≤=>,则U A B = ð（ ） A ．{}12x x <≤ B ．{}12x x ≤<C ．{}12x x ≤≤D ．{}13x x ≤≤【答案】A 【解析】试题分析：由U =R 及{}2B x x =>可得{}2U B x x =≤ð,所以U A B = ð{}12x x <≤,故选A.考点：集合的交集与补集运算. 2．复数()231i =-（ ）A ．i -B ．iC ．3i 2D ．3i 2-【答案】C 【解析】 试题分析：()2333i 2i 21i ==--,故选C. 考点：复数的四则运算.3．等差数列{}n a 中,4810a a +=,106a =,则公差d =（ ） A ．14B ．12C ．2D ．12-【答案】A 【解析】试题分析：由486210a a a +==得65a =,所以106141.4d a a d =-=⇒= 考点：等差数列的性质.4．已知函数()122,1,log ,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则()()2f f =（ ）A ．12B ．2C ．1-D ．1【答案】A 【解析】试题分析：()()()11212log 2122f f f f -⎛⎫==-== ⎪⎝⎭,故选A.考点：分段函数求值.5．下列函数中,图象关于坐标原点对称的是（ ） A ．lg y x =B ．cos y x =C ．sin y x =D ．y x =【答案】C 【解析】试题分析：sin y x =是奇函数,图象关于坐标原点对称,故选C. 考点：函数奇偶性 6．已知()()tan 20,παα=∈,则5πcos 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．35B ．45C ．35-D ．45-【答案】D 【解析】 试题分析：2225π2sin cos 2tan 44cos 2sin 22sin cos tan 1415αααααααα⎛⎫+=-=-=-=-=- ⎪+++⎝⎭,故选D.考点：诱导公式；二倍角公式；同角三角函数的基本关系式.7．如图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图,侧视图也称左视图）,其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成,俯视图是直径等于4的圆,该几何体的体积是（ ） A ．41π3B ．62π3C ．83π3D ．104π3【答案】D 【解析】试题分析：该组合体上面是一个半径为2的球,体积31432π2π33V =⨯=,下面是一个底面半径为2,高为4的圆柱,体积222624πV π=⨯⨯=,所以组合体的体积12104π3V V V =+=,故选D.考点：三视图；几何体体积的计算；8．已知如图所示的程序框图,那么输出的S =（ ） A ．45B ．35C ．21D ．15【答案】D 【解析】试题分析：运行程序为：T =1,S =1,i =2；T =3,S =3,i =3；T =5,S =15,i =4；输出S=15,故选D. 考点：程序框图 9．函数()1lg f x x x=-的零点所在的区间是（ ） A ．()3,4B ．()2,3C ．()1,2D ．()0,1【答案】B 【解析】试题分析：函数()1lg f x x x =-是增函数,且()12lg 202f =-<,()13lg 303f =->,所以()f x 只有一个零点,且所在的区间是()2,3,故选B.10．已知向量AB 与AC的夹角为120︒,且2AB = ,3AC = ,若AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥,则实数λ的值为（ ）A ．37B ．13C ．6D ．127【答案】D 【解析】试题分析：由向量AB 与AC的夹角为120︒,且2AB = ,3AC = ,可得6cos1203AB AC ⋅==-,又AP BC ⊥ ,所以()()22(1)AP BC AB AC AC AB AB AC AC AB λλλ⋅=+⋅-=-⋅+- =1270λ-=,所以127λ=,故选D. 考点：平面向量的线性运算及数量积.11．设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,且122PF PF =,则双曲线的离心率为（ ）A BCD 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可得12PF PF ⊥,在Rt △12PF F 中1222a PF PF PF =-=,122c F F =2 ,所以双曲线的离心率22ce a==故选A. 考点：圆与双曲线的性质.12．已知函数()ln f x ax x =-,当(]0,e x ∈（e 为自然常数）,函数()f x 的最小值为3,则a 的值为（ ） A ．eB ．2eC ．2eD ．22e【答案】C 【解析】试题分析：由()ln f x ax x =-得()1f x a x '=-,因为,所以(]0,e x ∈,所以当1ea ≤时()f x 在(]0,e x ∈是减函数,最小值为()e e 10f a =-≤,不满足题意；当1a e>,()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦是减函数,1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦是增函数,所以最小值为211ln 3e f a a a ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭,故选B. 考点：函数最值；导数的应用.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21为必考题,每个试题考生都必须作答．第 22－第24题为选考题,考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．若函数()(ln f x x =为奇函数,则a =______． 【答案】1考点：函数奇偶性.14．已知实数,x y 满足不等式组10,270,250,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为______．【答案】4- 【解析】试题分析：由2z x y =-得1122y x z =-,则当直线1122y x z =-在y 轴上的截距最大时2z x y =-取得最小值,所以当直线经过A （2,3）时,z 最小,即当x =2,y =3,2z x y =-取得最小值-4．考点：线性规划15．若圆C 以抛物线24y x =的焦点为圆心,截此抛物线的准线所得弦长为6,则该圆的标准方程是______．【答案】()22113x y -+=【解析】试题分析：圆C 的圆心()1,0,圆心()1,1准线距离为2,所以半径r ==所以该圆的标准方程是()22113x y -+=.考点：圆的方程；抛物线的性质16．已知四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 上,底面ABCD 是矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,PAD ∆为正三角形,24AB AD ==,则球O 的表面为______．【答案】64π3考点：球与几何体的切接；球的表面积.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．在ABC ∆中,内角A 、B 、C 对应的边长分别为a 、b 、c ,已知221cos 2c a B b a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．（1）求角A ；（2）求sin sin B C +的最大值．【答案】 （1）π3；（2）.【解析】试题分析：（1）由余弦定理得1cos 2A =,所以π3A =；（2）利用诱导公式及辅助角公式把sin sin B C +6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭求范围.试题解析：（1）∵221cos 2c a B b a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,由余弦定理 得2222222a c b bc a b +--=-,222a b c bc =+-． (3)分∵2222cos a b c bc A =+-,∴1cos 2A =． ………………5分∵()0,πA ∈,∴π3A =． ………………6分 （2）()sin sin sin sin sin sin cos cos sin B C B A B B A B A B +=++=++ ………………7分3sin 226B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭；………………9分 ∵20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．………………11分∴sin sin B C + (12)考点：正弦定理、余弦定理、三角变换.18．（本小题满分12分）某市教育部门规定,高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据,按时间段[)75,80,[)80,85,[)85,90,[)90,95,[]95,100（单位：小时）进行统计,其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（2）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人,求所选学生参加社区服务时间在同一时间段内的概率．【答案】 （1）25；（2）47. 【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图可得200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人,由此得概率为25P =；（2）参加社区服务在时间段[)90,95的学生有6人,参加社区服务在时间段[]95,100的学生有2人,从这8人中任意选取2人共28种情况,所选学生参加社区服务时间在同一时间段内的16种情况,所以所求概率()164287P A ==. 试题解析：（1）根据题意,参加社区服务在时间段[)90,95的学生人数为2000.06560⨯⨯=（人）； ………………参加社区服务在时间段[)95,100的学生人数为2000.02520⨯⨯=（人）． ………………2分∴抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． ……………3分∴从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率为8022005P ==．……4分 （2）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A ,由（1）可知, 参加社区服务在时间段[)90,95的学生有6人,记为,,,,,a b c d e f ； 参加社区服务在时间段[]95,100的学生有2人,记为,m n , ……………6分从这8人中任意选取2人有,,,,,,ab ac ad ae af am an ,,,,,,bc bd be bf bm bn ,,,,,cd ce cf cm cn ,,,,de df dm dn ,,,ef em en ,,,fm fn mn 共28种情况． ……………8分其中事件A 包括,,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef mn 共16种情况． 0∴所选学生的服务时间在同一时间段内的概率()164287P A ==． ………………12分 考点：统计；古典概型19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE 中,AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,1AB CD ==,AC =2AD DE ==．（1）在线段CE 上取一点F ,作BF 平面ACD ,（只需指出F 的位置,不需证明）； （2）对（1）中F ,求三棱锥B FCD -的体积．【答案】 （1）见试题解析；（2【解析】试题分析：（1）取CE 的中点F ,连接BF ,BF 平面ACD .（2）先证明B 到平面FCD 的距离为AC .再求出1122FCD ECD S S ∆∆==,从而可得1 3F B CD C F D V AC S ∆-⋅== 试题解析：解：（1）取CE 的中点F , ………………2分连接BF ,BF 平面ACD （如图）． ………………4分（注：①作BM AD 交ED 于M ,作BM CD 交EC 于F 连BF ,亦可满分．②按①作法,保留作图痕迹未作说明也得满分．）（2）（2）∵222AD AC CD =+,∴90ACD ∠=︒． ∴AC CD ⊥, ………………5分∵DE ⊥平面ACD ,∴AC DE ⊥． ………………6分∵DE CD D = ,∴AC ⊥平面CDE ． ………………7分∵DE ⊥平面ACD ,AB ⊥平面ACD ,∴AB DE ． ………………8分∵AB ⊄平面CED ,DE ⊂平面CED , ∴AB 平面CED ． ………………9分∴B 到平面FCD 的距离为AC ． ………………10分又1111122222FCD ECD S S ∆∆==⨯⨯⨯=, ………………11分∴1 3F B CD C F D V AC S ∆-⋅==． ……12分 考点：线面平行；几何体的体积.20．（本小题满分12分）如图,已知O 为原点,圆C 与y 轴相切于点()0,2T ,与x 轴正半轴相交于两点,M N （点M 在点N 的右侧）,且3MN =；椭圆()2222:10x y D a b a b +=>>过点⎭,且焦距等于2ON ． （1）求圆C 和椭圆D 的方程；（2）若过点M 斜率不为零的直线l 与椭圆D 交于A 、B 两点,求证：直线NA 与直线NB 的倾角互补．【答案】（1）()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；22143x y +=（2）见试题解析。
