2017-2018学年数学人教A版选修4-4：第二讲 四 渐开线与摆线 Word版含解析

庖丁巧解牛知识·巧学一、渐开线的产生过程我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一枝铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切,逐渐展开,那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线,相应的定圆叫做基圆(如图2-4-1).图2-4-1也可以使用计算机在软件中进行模拟渐开线的图象.渐开线在实际生活和生产中比较常见.在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力,由于渐开线齿形的齿轮磨损少传动平稳,制造安装较为方便,因此大多数齿轮采用这种齿形.设计加工这种齿轮要依据圆的渐开线方程.在物理问题中,许多问题都要涉及到渐开线问题,因为它是有关传动力学的基础.在数学中,我们都学习过三角函数,其图象的画法,是首先根据单位圆上的点进行平移,实际上也是圆的渐开线问题.深化升华圆的渐开线是研究最多的一种渐开线.但是并不是只有一种渐开线,除了圆的渐开线之外,还有正方形的渐开线,长方形的渐开线,椭圆的渐开线等.只需把圆的渐开线中的基圆换成相应的图形即可得到相应的渐开线.研究这些渐开线可以仿照圆的渐开线建立相应的参数方程,进一步得出其性质.二、摆线的概念和产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.我们可以在自行车轮子上喷一个白色的印记,观察自行车在笔直的道路上运动时形成的轨迹来理解圆的摆线,也可以借助教具或计算机软件,观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹.圆的摆线又叫旋轮线.市面上曾经流行过一种可绘制曲线的器具,它包含一个在圆周上刻满锯齿的小圆形板,以及一个在内外圆周上都刻有锯齿的大圆环形板.把玩之时,将小圆板放在大圆环板内部,并让锯齿套合而使小圆板沿着大圆环板滚动.将笔插入小圆板上的一个小洞,随着小圆板的滚动,铅笔就会描绘出一条曲线,这条曲线实际上也是摆线的一种(如图2-4-2).图2-4-2摆线在生产和实际中有着广泛的应用.最速降线是平摆线,椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘,圆摆线齿轮与渐开线齿轮,收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计,星形线与公共汽车门,少齿差行星减速器,摆线转子油泵,旋转活塞发动机的缸体曲线,以及多边形切削等等,都与摆线是分不开的.其实沿着倒放的摆线弧不仅速度最快,而且有一个奇怪的性质,如果在这条曲线不同的高度放一个小球使其沿曲线下滑,你会惊奇地发现他们同时到达了底端,这就是摆线的等时性.这个性质是物理学家惠更斯发现的,并用这个原理巧妙地设计出了摆线时钟.摆线这个名词正是由于这种曲线被用来改进钟摆而得名.摆线也有很多种类型,我们课本中给出的只是其中一种类型,它是由圆上的一个定点在一条定直线上的运动轨迹,也叫平摆线或者旋轮线.除此之外还有很多种摆线.知识拓展比如,当一个小圆在一个大圆的外部沿着大圆作不滑的滚动时,小圆圆周上的点所描绘的旋轮线称为外摆线；小圆内部与外部的点所描绘的旋轮线称为外次摆线.它们都是很优美的图形,在很多绘图和设计中经常用到.圆的外摆线根据两个圆的半径关系也有很多种类型,在设计中有不同的用处.三、圆的渐开线的参数方程我们以基圆圆心O为原点,一条直径所在的直线为x轴建立直角坐标系,根据动点满足的条件和向量的有关性质,可以得到圆的渐开线的参数方程为(φ为参数).根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母r是指基圆的半径,参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.方法归纳根据圆的渐开线的参数方程(φ为参数)消去参数φ,可以得到圆的渐开线的普通方程：xcos()+ysin()=r.四、圆的摆线的参数方程根据摆线上任意一点的运动轨迹,取定直线为x轴,动点的其中一个位置为原点建立直角坐标系,根据几何知识可得圆的摆线的参数方程为(φ为参数).根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程可知其中的字母r是指定圆的半径,它决定了摆线的某方面的大小情况.参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小.用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接、简便.根据方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量x、y间接地联系起来,常常比较容易,方程简单明确,且画图也不太困难.而对于参数方程,我们可以根据参数的取值求出坐标的关系,相比之下比普通方程更为直观.所以,在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程,而不去讨论其普通方程.问题·探究问题1 我们知道,在直线的参数方程中,参数t具有相应的几何意义,根据其几何意义可以给我们研究问题带来很多方便.那么,圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数φ是否也具有一定的几何意义呢?探究:根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母r是指基圆的半径,而参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.如图2-4-3,其中的∠AOB即是角φ.显然点M由参数φ唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单.同样,根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程可知其中的字母r是指定圆的半径,它决定了摆线的某方面的大小情况.参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小.如图2-4-4,根据参数的几何意义也可以在解决问题中加以引用,简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情况.图2-4-3 图2-4-4问题2 对渐开线和摆线的理解是本节学习的关键,要理解其形成过程和图象的特点及在实际中的应用,还应该从多方面收集信息.那么,我们可以从哪些方面来加强对渐开线和摆线的理解?探究:由于渐开线和摆线的图形比较复杂,对应的参数方程也不容易理解,即使给出参数方程也很难根据方程画出相应的图形;反过来,根据图形也不容易得到相应的参数方程.因此,要理解渐开线和摆线的有关性质可以结合实际从以下几方面进行考虑：首先,由于渐开线和摆线在物理和机械制造中有着广泛的应用,我们可以通过走访物理专家和相关的机械制造专家来了解其在实际生产中的应用,结合有关的问题和图纸来加深对概念和性质的理解.摆线还在美术设计中被广泛应用,我们可以找有关美术老师或者通过欣赏一些美术作品来理解数学中的美感.其次,根据现代信息技术的发展的特点,可以在网上搜索相关资料,通过这些资料来了解渐开线和摆线问题的发展过程,和同学讨论一些相关的性质.另外,我们可以通过手工绘图和电脑绘图相对比,通过对比来理解渐开线和摆线的形成过程,还可以使用一些像几何画板等类似软件来描述渐开线和摆线图形的形成过程,认识其有关的性质.典题·热题例1给出某渐开线的参数方程(φ为参数),根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_________,且当参数φ取时对应的曲线上的点的坐标是__________. 思路解析：本题考查对渐开线参数方程的理解.根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程(φ为参数)进行对照可知,这里的r=3,即基圆半径是3.然后把φ=分别代入x和y,可得即得对应的点的坐标.答案：3 (,3)误区警示本题易错的解法是:把摆线的参数方程当作渐开线的参数方程,把相应的值代入摆线方程,或者把参数当成横坐标x的值,令x=再求出y值.例2已知一个圆的摆线过一定点(1,0),请写出该摆线的参数方程.思路分析：根据圆的摆线的参数方程的表达式(φ为参数)可知,只需求出其中的r,也就是说,摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定,因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式.解：令r(1-cosφ)=0可得cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).代入x=r(φ-sinφ)可得x=r(2kπ-sin2kπ)=1.所以r=.又根据实际情况可知r是圆的半径,故r>0.所以,应有k>0且k∈Z,即k∈N*.所以,所求摆线的参数方程是(φ为参数)(其中k∈N*).误区警示本题易错点是误把点(1,0)中的1或0当成φ的值,代入参数方程中求出x和y 的值,再计算r的值；或者在求出cosφ=1时,直接得出φ=0,从而导致答案不全面.例3给出半径为3的圆,分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.思路分析：首先根据条件建立直角坐标系,对于渐开线可以以圆的圆心为原点,一条半径所在直线为x轴,对于摆线可以以圆上的某一定点为圆心以那条定直线所在直线为x轴,建立直角坐标系.圆的渐开线的参数方程和摆线的参数方程由圆的半径唯一确定.解：先求圆的渐开线方程,以圆的圆心为原点,一条半径所在直线为x轴,建立直角坐标系,又根据条件圆的半径是3,所以,渐开线的参数方程是(φ为参数)；再求圆的摆线方程,以圆上的某一定点为圆心,以定直线所在直线为x轴,建立直角坐标系.又根据条件圆的半径是3,所以摆线的参数方程是(φ为参数).例4已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是和,求A、B两点的距离.思路分析：首先根据圆的直径可知半径为1,写出渐开线的标准参数方程,再根据A、B对应的参数代入参数方程可得对应的A、B两点的坐标,然后使用两点之间的距离计算公式可得A、B之间的距离.解：根据条件可知圆的半径是1,所以对应的渐开线参数方程是(φ为参数),分别把φ=和φ=代入,可得A、B两点的坐标分别为A(),B(,1).那么,根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|=即点A、B之间的距离为.深化升华本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义和参数方程.要解决有关的问题首先要理解这两个定义和参数方程的推导过程,还要牢记两个参数方程.给出圆的半径要能写出对应的参数方程,根据参数方程能写出某对应参数的坐标,从而再解决其他问题.本例题就是对这些知识的综合考查,要注意前后知识的联系,特别是两点之间的距离公式也要熟记.。

四渐开线与摆线一览众山小三维目标1。

通过模拟中的动态过程理解渐开线的形状和形成的原理，加深对渐开线概念和含义的理解，感受其中的变化规律，培养科学探究精神。

2.体会研究渐开线问题也是数学的一个重要的任务,感受数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础。

3.通过实例体会摆线在生产和实际中有着广泛的应用,感受这些曲线的美，体验用数学知识解释生活问题的乐趣.学法指导由于渐开线和摆线的图形比较复杂，其参数方程也不易理解，即使给出参数方程也很难根据方程画出相应的图形；反之,根据图形也不容易得到其相应的参数方程.因此,学习本节内容时要注重理论与实际的联系。

1。

成立兴趣小组，合作研究摆线的性质,收集摆线应用的实例.由于渐开线和摆线在物理和机械制造中有着广泛的应用,因此可以通过走访物理专家和相关的机械制造专家来了解其在实际生产中的应用，结合有关的问题和图纸来研究。

此外,摆线还在美术设计中被广泛应用,因此可以找有关美术老师或者通过欣赏一些美术作品来观察渐开线和摆线。

2.可以在网上搜索相关资料，学习渐开线和摆线问题的发展过程及其相关的性质.此外，可以通过手工绘图和电脑绘图相对比，通过对比来观察渐开线和摆线的形成过程，还可以使用一些几何画板等软件，观察渐开线和摆线图形的形成过程。

同时也可以应用计算机展现心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线等。

诱学导入材料：1599年，著名的物理学家伽利略(1564年～1642年,意大利人)曾经试图用天平来量摆线与直线AB之间所围成弓形的面积.他用同样的材料做了摆线弓形及圆盘。

他发现一个摆线弓形和三个圆盘在天平上大约能够平衡.所以弓形面积大约是圆盘的三倍大。

虽然这个答案是正确的，Galileo总以为两者之比应该是无理数，因此猜测是π倍.正确的答案直到1634年才由法国数学家Roberval(1602年-1675年)用理论性的计算求得。

Roberval于1628年来到巴黎,成为Mersenne(1588年—1648年）讨论会的一员.那时候没有学术性的刊物,也没有国际学术会议.Mersenne却一个人挑起了穿针引线的工作。

[核心必知]1．渐开线的概念及产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ为参数)．(2)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)．[问题思考]1．渐开线方程中，字母r 和参数φ的几何意义是什么？提示：字母r 是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．2．摆线的参数方程中，字母r 和参数φ的几何意义是什么？提示：字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．求半径为4的圆的渐开线的参数方程．[精讲详析] 本题考查圆的渐开线的参数方程的求法，解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可．以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧AM 0︵的长和线段AM x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0︵＝4θ作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB (4cos θ，4sinθ)，由几何知识知∠MAB ＝θ＝(4θsin θ，－4θcos θ)，＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．(x ，y )，因此有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（cos θ＋θsin θ），y ＝4（sin θ－θcos θ），这就是所求圆的渐开线的参数方程．解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y )． (2)取定运动中产生的某一角度为参数．(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)1．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x 轴正方向的夹角． ∵直径为10，∴半径r ＝5.代入圆的渐开线的参数方程得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5（cos φ＋φsin φ），y ＝5（sin φ－φcos φ），这就是所求的圆的渐开线的参数方程．求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点M 在原点O 处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单位)为参数)[精讲详析] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可．当圆滚过α角时，圆心为点B ，圆与x 轴的切点为A ，定点M 的位置如图所示，∠ABM ＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA 的长和圆弧AM ︵的长相等，它们的长都等于2α，从而B 点坐标为(2α，2)．(2α，2)，(2sin α，2cos α)(－2sin α，－2cos α)，(2α－2sin α，2－2cos α)＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．动点M 的坐标为(x ，y )(x ，y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（α－sin α），y ＝2（1－cos α）.这就是所求摆线的参数方程．2．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程．解：x M ＝r ·θ－r ·cos [(φ＋θ)－π2]＝r [θ－sin (φ＋θ)]，y M ＝r ＋r ·sin (φ＋θ－π2)＝r [1－cos (φ＋θ)]． ∴点M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r [θ－sin （φ＋θ）]，y ＝r [1－cos （φ＋θ）].(θ为参数)设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴．[精讲详析] 本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．轨迹曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8（t －sin t ），y ＝8（1－cos t ），(0≤t ≤2π)即t ＝π时，即x ＝8π时，y 有最大值16. 曲线的对称轴为x ＝8π.—————————————摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方．3．当φ＝π2、π时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ上对应的点A 、B ，并求出A 、B 间的距离．解：将φ＝π2代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得x ＝cos π2＋π2·sin π2＝0＋π2＝π2，y ＝sin π2－π2·cos π2＝1.∴A (π2，1)．将φ＝π，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得x ＝cos π＋π·sin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π. ∴B (－1，π)．∴|AB |＝（π2＋1）2＋（1－π）2 ＝54π2－π＋2.本课时考点是圆的渐开线或摆线的参数方程的应用，近几年的高考题中还未出现过．本考题以填空题的形式对圆的摆线的参数方程的应用进行了考查，属低档题．[考题印证]摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝1－cos t (0≤t ≤2π)与直线y ＝1的交点的直角坐标为________．[命题立意] 本题主要考查摆线方程及其参数的几何意义． [解析] 由题设得1＝1－cos t ，解得t 1＝π2，t 2＝32π.对应交点的坐标为⎩⎨⎧x 1＝π2－1，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝32π＋1，y 2＝1，交点为(π2－1，1)，(32π＋1，1)．答案：(π2－1，1)，(32π＋1，1)一、选择题1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 解析：选C 本题主要考查渐开线和摆线的基本概念．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．2.⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5（φ－sin φ），y ＝5（1－cos φ）(φ为参数)表示的是( ) A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程 B ．半径为5的圆的摆线的参数方程 C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程 D ．直径为5的圆的摆线的参数方程解析：选B 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B 正确．3．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎫3π2，2之间的距离为( ) A.π2－1 B. 2 C.10 D.3π2－1 解析：选C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)， 把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎨⎧x ＝3（π2－1），y ＝3，即A (3(π2－1)，3)．∴|AB |＝[3（π2－1）－3π2]2＋（3－2）2＝10.4．已知一个圆的摆线过点(1，0)，则摆线的参数方程为( ) A.⎩⎨⎧x ＝12k π（φ－sin φ），y ＝12k π（1－cos φ）B.⎩⎨⎧x ＝1k π（φ－sin φ），y ＝1k π（1－cos φ）C.⎩⎨⎧x ＝12k π（φ－sin φ），y ＝12k π（1＋cos φ）D.⎩⎨⎧x ＝1k π（φ－sin φ），y ＝1k π（1－cos φ）解析：选A 圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ），令r (1－cos φ)＝0，得：φ＝2k π，代入x ＝r (φ－sin φ)， 得：x ＝r (2k π－sin 2k π)，又过(1，0)， ∴r (2k π－sin 2k π)＝1，∴r ＝12k π， 又r ＞0，∴k ∈N ＋. 二、填空题5．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y＝22－2π8，由此可得对应的坐标为(22＋2π8，22－2π8)． 答案：2 (22＋2π8，22－2π8) 6．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________． 解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （1－cos φ），y ＝r （φ－sin φ）(φ为参数)7．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________．解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为(12x )2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．答案：(63，0)和(－63，0)8．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2（cos t ＋t sin t ），y ＝2（sin t －t cos t ）上与t ＝π4对应的点的直角坐标为________．解析：对应点的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos π4＋π4sin π4）＝2（22＋π4·22）＝1＋π4y ＝2（sin π4－π4·cos π4）＝2（22－π4·22）＝1－π4∴t ＝π4对应的点的直角坐标为(1＋π4，1－π4)．答案：(1＋π4，1－π4)三、解答题9．半径为r 的圆沿直轨道滚动，M 在起始处和原点重合，当M 转过53π和72π时，求点M 的坐标．解：由摆线方程可知：φ＝53π时，x M ＝10π＋336r ，y M ＝12r ；φ＝72π时，x M ＝12r (7π＋2)，y M ＝r .∴点M 的坐标分别是(10π＋336，12r )、(12r (7π＋2)，r )．10.如图ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，求曲线AEFGH 的长．解：根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.11．已知圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α(α为参数)，直线l 的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程． (3)求摆线和x 轴的交点．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是23 ⎩⎪⎨⎪⎧x＝6φ－6sin φ，y＝6－6cos φ，(φ为参数)．(3)令y＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝6φ－6sin φ，得x＝12kπ(k∈Z)，即圆的摆线和x轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．。

四渐开线与摆线1．借助教具或计算机软件,观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线),了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．2．通过阅读材料，了解其他摆线（变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例．1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧,保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的______,相应的定圆叫做________．2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫______．渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．【做一做1】关于渐开线和摆线的叙述,正确的是（）．A．只有圆才有渐开线B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C．正方形也可以有渐开线D．对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不同3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线的参数方程：__________________。

（2）摆线的参数方程：__________________.圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，普通方程既烦琐又没有实际意义．【做一做2－1】半径为4的圆的渐开线的参数方程是__________．【做一做2－2】求摆线错误!(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标．答案：1．渐开线渐开线的基圆2．旋轮线【做一做1】 C 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．3．（1)错误!（φ为参数)（2)错误!（φ为参数)【做一做2－1】错误!(φ为参数)【做一做2－2】解：y＝2时，2＝2（1－cos t)，∴cos t＝0.∵0≤t≤2π，∴t＝错误!或错误!π。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12πD ．14π解析：当t ＝0时，x ＝0且y ＝0.即点(0,0)在曲线上． 答案：C2．已知一个圆的摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：由圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)知圆的半径r ＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6. 答案：B3．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos φ，y ＝10sin φ(φ为参数)的渐开线方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ＋5φsin φ，y ＝5sin φ－5φcos φ(φ为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ－5φsin φ，y ＝5sin φ＋5φcos φ(φ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10cos φ＋10φsin φ，y ＝10sin φ－10φcos φ(φ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos φ－10φsin φ，y ＝10sin φ＋10φcos φ(φ为参数) 解析：由圆的参数方程知圆的半径为10，故其渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10cos φ＋10φsin φ，y ＝10sin φ－10φcos φ(φ为参数)．答案：C4．有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动，在圆盘上有一点M 与圆盘中心的距离为3，则点M 的轨迹方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8(φ－sin φ)，y ＝8(1－cos φ) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8φ－3sin φ，y ＝8－3cos φ C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－8sin φ，y ＝3－8cos φ 解析：易知点M 的轨迹是摆线，圆的半径为3.故选C. 答案：C5．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)解析：当φ＝2π时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos 2π＋2πsin 2π)＝6，y ＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.故选C. 答案：C6．半径为5的圆的摆线的参数方程为________．解析：由圆的摆线的参数方程的概念即可得参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5(φ－sin φ)，y ＝5(1－cos φ)(φ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5(φ－sin φ)，y ＝5(1－cos φ)(φ为参数)7．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫22＋2π8，22－2π8. 答案：2 ⎝⎛⎭⎫22＋2π8，22－2π8 8．给出直径为8的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．解析：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为8，所以半径为4，从而圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)． 以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)．9．求摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标．解析：当y ＝2时，有2(1－cos t )＝2，∴t ＝π2或t ＝3π2.当t ＝π2时，x ＝π－2；当t ＝3π2时，x ＝3π＋2.∴摆线与直线y ＝2的交点为(π－2,2)，(3π＋2,2)．[B 组 能力提升]1．t ＝π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5(cos t ＋t sin t )，y ＝5(sin t －t cos t )上的点的坐标为( )A ．(－5,5π)B ．(－5，－5π)C ．(5,5π)D ．(5，－5π)解析：将t ＝π代入参数方程易得x ＝－5，y ＝5π.故选A. 答案：A2．已知摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(φ－sin φ)，y ＝2(1－cos φ)(φ为参数)，该摆线一个拱的宽度与高度分别是( )A ．2π，2B ．2π，4C ．4π，2D ．4π，4解析：方法一 由摆线参数方程可知，产生摆线的圆的半径r ＝2，又由摆线的产生过程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr ＝4π，摆线的拱高等于圆的直径为4.方法二 由于摆线的一个拱的宽度等于摆线与x 轴两个相邻交点的距离，令y ＝0，即1－cos φ＝0，解得φ＝2k π(k ∈Z)，不妨分别取k ＝0,1，得φ1＝0，φ2＝2π，代入参数方程，得x 1＝0，x 2＝4π，所以摆线与x 轴两个相邻交点的距离为4π，即摆线一个拱的宽度等于4π；又因为摆线在每一拱的中点处达到最高点，不妨取(x 1,0)，(x 2,0)的中点，此时φ＝φ1＋φ22＝π，所以摆线一个拱的高度为|y |＝2(1－cos π)＝4.答案：D3．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________．解析：根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则其圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.答案：12 34．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos φ＋8φsin φ，y ＝8sin φ－8φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由基圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为8，故直线为16，求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝42＋2π，y ＝42－2π，由此可得对应的坐标为(42＋2π，42－2π)．答案：16 (42＋2π，42－2π)5．已知一个圆的平摆线过一定点(4,0)，请写出当圆的半径最大时圆的渐开线的参数方程．解析：令y ＝0得r (1－cos φ)＝0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)． 则x ＝r (2k π－sin 2k π)＝4，即得r ＝2k π(k ∈Z)．又r >0，易知，当k ＝1时，r 取最大值为2π.圆的渐开线的参数方程是：⎩⎨⎧x ＝2π(cos φ＋φsin φ)，y ＝2π(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．6．已知圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y－62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么位置关系？ (2)写出平移后圆的渐开线方程．解析：(1)圆C 平移后的圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得平移后圆的渐开线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos φ＋6φsin φ，y ＝6sin φ－6φcos φ(φ为参数)．。

四 渐开线与摆线一、基础达标1.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( ) A.π B.2π C.3πD.4π解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B. 答案 B2.已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10D.3π2－1 解析 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－3，3，∴|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫3π2－3－3π22＋（3－2）2＝10.答案 C3.摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（t －sin t ），y ＝2（1－cos t ）(t 为参数，0≤t ＜2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A.(π－2，2)，(3π＋2，2)B.(π－3，2)，(3π＋3，2)C.(π，2)，(－π，2)D.(2π－2，2)，(2π＋2，2)解析 由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0.∵t ∈[0，2π)，∴t 1＝π2，t 2＝3π2.代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2，2)，(3π＋2，2).答案 A4.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数θ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________.解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把θ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8.答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π85.已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐标为________.解析 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ）y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数).当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2).答案 (π，2)6.给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系.又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数).以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数). 7.已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是π3和π2，求A 、B 两点的距离. 解 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A 、B 两点的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12＝16（13－63）π2－6π－363＋72. 即A 、B 两点之间的距离为16（13－63）π2－6π－363＋72. 二、能力提升8.如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ︵、EF ︵、FG ︵、GH ︵…的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( ) A.3π B.4π C.5πD.6π解析 根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案 C9.已知一个圆的平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2φ－2sin φ，y ＝2－2cos φ(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标.解 由平摆线方程知，圆的半径为2，则圆的周长为4π.当φ＝π时，y 有最大值4， 平摆线具有周期性，周期为2π.∴平摆线上最高点的坐标为(π＋2k π，4)(k ∈Z ).10.渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C ，求曲线C 的方程，及焦点坐标. 解 由渐开线方程可知基圆的半径为6，则圆的方程为x 2＋y 2＝36. 把横坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2114＋y 236＝1， 对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0).11.如图，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝r 2或|AQ |＝3r2，请推出Q 的轨迹的参数方程.解 设Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，若A (r θ，r )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r （θ－sin θ），y 0＝r （1－cos θ）.当|AQ |＝r2时，有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －r θ，y 0＝2y －r ， 代入⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r （θ－sin θ），y 0＝r （1－cos θ）. ∴点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－12sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12cos θ(θ为参数).当AQ ＝3r2时，有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r θ＋2x 3，y 0＝r ＋2y 3，代入⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r （θ－sin θ），y 0＝r （1－cos θ）.∴点Q 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－32sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32cos θ(θ为参数).三、探究与创新 12.已知一个参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α，如果把t 当成参数，它表示的图形是直线l (设斜率存在)，如果把α当成参数(t ＞0)，它表示半径为t 的圆. (1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆平移到圆心在(0，t )，求出圆对应的摆线的参数方程.解 (1)如果把t 看成参数，可得直线的普通方程为：y －2＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t ＞0时，它表示半径为t 的圆，其普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝t 2.(2)由于圆的圆心在(0，t )，圆的半径为t ，所以对应的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t （φ－sin φ），y ＝t （1－cos φ）(φ为参数).。

课后训练1．已知一个圆的参数方程为3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，那么圆的摆线方程中，参数π=2ϕ对应的点A 与点3π,22B ⎛⎫⎪⎝⎭之间的距离为( )． A ．π12- B ．2 C ．10 D ．3π12- 2．如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中,,,,AE EF FG GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )．A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π3．渐开线6cos sin ,6sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ=(+)⎧⎨=(-)⎩(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．4．已知圆的渐开线的参数方程是cos sin ,sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________；当参数π=3ϕ时，对应的曲线上的点的坐标为________． 5．已知一个圆的摆线方程是55sin ,55cos x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)，则该圆的面积为__________，对应圆的渐开线方程为__________．6．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线sin ,1cos x r y r ϕϕϕ=(-)⎧⎨=(-)⎩(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________． 7．已知一个圆的摆线过点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．8．给出直径为8的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．9．已知一个参数方程是2cos ,2sin .x t y t αα=+⎧⎨=+⎩如果把t 当成参数，它表示的图形是直线l (设斜率存在)，如果把α当成参数(t ＞0)，它表示半径为t 的圆．(1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆平移到圆心在(0，t )，求出圆对应的摆线的参数方程．10．如图，若点Q 在半径AP 上(或半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝2r 或|AQ |＝32r ，求点Q 的轨迹的参数方程．参考答案1. 答案：C解析：根据圆的参数方程，可知圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为3sin ,31cosx y ϕϕϕ=(-)⎧⎨=(-)⎩(φ为参数)． 把π=2ϕ代入参数方程中可得π31,23,x y ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩即3π3,32A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴223π3π||=3321022AB ⎛⎫--+(-)= ⎪⎝⎭. 2. 答案：C 解析：根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 3. 答案：(63，0)和(63-，0) 解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为212x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋y 2＝36，整理可得22=114436x y +．这是一个焦点在x 轴上的椭圆，其中2214436=63c a b =-=-，故焦点坐标为(63，0)和(63-，0)．4. 答案：2 33π33π,66⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭解析：圆的渐开线的参数方程由基圆的半径惟一确定．易知基圆半径为1，从而直径为2； 把π=3ϕ代入参数方程，得 πππ33πcos sin 3336x +=+=，πππ33πsincos 3336y -=-=. 由此，可得对应点的坐标为33π33π,66⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭.5. 答案：25π 5cos 5sin ,5sin 5cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数) 6. 答案：1cos ,sin x r y r ϕϕϕ=(-)⎧⎨=()⎩(φ为参数) 解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换．所以要写出摆线方程关于直线y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x 与y 互换．7. 解：圆的摆线的参数方程为sin ,1cos x r y r ϕϕϕ=(-)⎧⎨=(-)⎩(φ为参数)， 令r (1－cos φ)＝0，可得cos φ＝1，解得φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，可得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因圆的摆线过点(1,0)，所以r (2k π－sin 2k π)＝1， 解得12πr k =(k ∈Z )． 又r ＞0，所以k ＞0且k ∈Z ，即k ∈N *. 故所求摆线的参数方程是1sin ,2π11cos .2πx k y k ϕϕϕ⎧=(-)⎪⎪⎨⎪=(-)⎪⎩(φ为参数，k ∈N *)8. 解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为8，所以半径为4，从而圆的渐开线的参数方程是4cos 4sin ,4sin 4cos .x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数) 以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为44sin ,44cos .x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数) 9. 解：(1)如果把t 看成参数，可得直线的普通方程为y －2＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2；如果把α看成参数且t ＞0时，它表示半径为t 的圆，其普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝t 2.(2)由于圆的圆心在(0，t )，圆的半径为t ，所以对应的摆线的参数方程为sin ,1cos x t y t ϕϕϕ=(-)⎧⎨=(-)⎩(φ为参数)． 10. 解：设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)．若A (rθ，r )，则00sin ,1cos .x r y r θθθ=(-)⎧⎨=(-)⎩(θ为参数)当|AQ |＝2r 时，有002,2,x x r y y r θ=-⎧⎨=-⎩代入00sin ,1cos .x r y r θθθ=(-)⎧⎨=(-)⎩ ∴点Q 的轨迹的参数方程为1sin ,212cos .2x r y r θθθ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=(-)⎪⎩(θ为参数) 当|AQ |＝32r 时，有002,32.3x r x y r y θ+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩代入00sin ,1cos .x r y r θθθ=(-)⎧⎨=(-)⎩ ∴点Q 的轨迹方程为3sin ,2123cos .2x r y r θθθ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=(-)⎪⎩(θ为参数)。

第二讲 参数方程 四、渐开线与摆线A 级 基础巩固一、选择题1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同解析：本题容易错选 A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．答案：C2.⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5（φ－sin φ），y ＝5（1－cos φ）(φ为参数)表示的是( ) A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程 B ．半径为5的圆的摆线的参数方程 C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程D ．直径为5的圆的摆线的参数方程 解析：对照渐开线和摆线参数可知选B. 答案：B3．下列各点中，在圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝1－cos φ(φ为参数)上的是( )A ．(π，0)B ．(π，1)C ．(2π，2)D ．(2π，0)答案：B4．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．3πC ．6πD ．10π 解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)，故x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z)．答案：C5．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10 D. 3π2－1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝⎛⎭⎪⎫π2－1，3，所以|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋（3－2）2＝10.答案：C 二、填空题6．已知一个圆的摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________．解析：由圆的摆线的参数方程⎩⎨⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)知圆的半径r ＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.答案：67．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为________．解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程x24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.答案：12 38．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上的一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐标为________．解析：由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数)． 当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2)．答案：(π，2) 三、解答题9．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)． 以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)． 10．已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ＋2φsin φ，y ＝2sin φ－2φcos φ(φ是参数)，求该圆的面积和所对应圆的摆线的参数方程．解：由圆的渐开线的参数方程可知该圆的半径为2.所以该圆的面积为4π，对应圆的摆线方程为⎩⎨⎧x ＝2φ－2sin φ，y ＝2－2cos φ(φ是参数)． B 级 能力提升1.如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.答案：C2．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（t －sin t ），y ＝4（1－cos t ）(t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝4的交点的直角坐标为________________．解析：由题设得4＝4(1－cos t )得cos t ＝0.因为t ∈[0，2π)，所以t 1＝π2，t 2＝3π2，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2π－4，4)，(6π＋4，4)．答案：(2π－4，4)，(6π＋4，4)3．已知圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 的普通方程x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，那么平移后圆和直线满足什么关系？(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是⎩⎨⎧x ＝6（φ－sin φ），y ＝6（1－cos φ）(φ为参数)．。

2.4 圆的渐开线与摆线学习目标：1、了解圆的渐开线的参数方程及它的生成过程.2、了解摆线的生成过程及它的参数方程，学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.3、学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.4、通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

重点：了解圆的渐开线的参数方程及它的生成过程，会用归纳、类比的方法对七种曲线的参教方程进行总结难点：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤， 学习过程： 自学探究问题1：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。

这条曲线的形状怎样？问题2、如果把笔尖开始所处的位置记为A 点，当绳子展开到点M 时 ，绳子所对的圆心角ϕ所对的一段弧的长与展开后的切线长BM 有什么关系？问题3、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为（x ，y ）。

显然点M 的坐标由ϕ确定，若一ϕ为参数，请表示点B 、BM的坐标并求出||BM.则点M 的轨迹所满足的参数方程为？ϕABOxyϕABO问题4、如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？如果把上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？问题5、为了求出M 的参数方程，同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件是：取定直线为X 轴，定点M 滚动开始时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。

设圆的半径为r 。

当圆滚动角 后切点为A ，时点M 的坐标表示为：所以摆线的参数方程为：技能提炼例 1 求半径为4的圆的渐开线参数方程 变式训练 1 当2πϕ=，π时，求圆渐开线⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并求出A 、B 间的距离。

四渐开线与摆线 [对应学生用书P30]1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：Error!(φ为参数)．(2)摆线的参数方程：Error!.(φ为参数)． [对应学生用书P30]圆的渐开线的参数方程[例1]　求半径为4的圆的渐开线的参数方程．[思路点拨]　关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．[解]　以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量的方向为x 轴0OM正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧 的长和线段AM 的长相等，记和A 0AM OAx 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝＝4θ.A0AM 作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得＝(4cos θ，4sin θ)．OA由几何知识知∠MAB ＝θ，＝(4θsin θ，－4θcos θ)，AM得＝＋.OM OA AM ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又＝(x ，y )，OM因此有Error!这就是所求圆的渐开线的参数方程．圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．1．已知圆的渐开线的参数方程Error!(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________．解析：圆的渐开线的参数方程可化为Error!(φ为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径r ＝3.答：32．已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点A ，B 对应的参数分别是和，求A ，B 两点的距离．π3π2解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是Error!(φ为参数)，分别把φ＝和φ＝代入，可得A ，B 两点的坐标分别为Aπ3π2，B .(3＋3π6，33－π6)(π2，1)那么，根据两点之间的距离公式可得A ，B 两点的距离为|AB |＝ (3＋3π6－π2)2＋(33－π6－1)2＝ .16(13－63)π2－6π－363＋72即A ，B 两点之间的距离为 .16(13－63)π2－6π－363＋72圆的摆线的参数方程[例2]　求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点M 在原点O 处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单位)为参数)[思路点拨]　利用向量知识和三角函数的有关知识求解．[解]　当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它A AM们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)，OB向量＝(2α，2)，MB向量＝(2sin α，2cos α)，BM＝(－2sin α，－2cos α)，OM OB BM因此＝＋＝(2α－2sin α，2－2cos α)＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．OM动点M的坐标为(x，y)，向量＝(x，y)所以Error!这就是所求摆线的参数方程．(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．(2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．3．摆线Error!(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是________．答案：(π－2,2)；(3π＋2,2)4．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．解：x M ＝r ·φ－r ·cos (φ－π2)＝r (φ－sin φ)，y M ＝r ＋r ·sin(φ－)π2＝r (1－cos φ)．即点M 的轨迹方程为Error! [对应学生用书P31]一、选择题1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．π B ．2πC ．12πD ．14π解析：根据条件可知，圆的摆线方程为Error!(φ为参数)，把y ＝0代入，得φ＝2k π(k ∈Z )，此时x ＝6k π(k ∈Z )．答案：C2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )A ．①③ B ．②④C ．②③D ．①③④解析：对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．答案：C3．已知一个圆的参数方程为Error!(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A 与点B 之间的距离为( )π2(3π2，2)A.－1 B.π22C.D.103π2－1解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为Error!(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得Error!π2即A (3(－1)，3)，π2∴|AB |＝ ＝.[3(π2－1)－3π2]2＋(3－2)210答案：C4．如图ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )A ．3π B ．4πC ．5πD ．6π解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继AAE 14π2续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，A EF14A FG 14长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.3π2A GH14答案：C 二、填空题5．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线Error!(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．答案：Error!(φ为参数)6．已知圆的渐开线的参数方程是Error!(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．π4解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方π4π4程，得x ＝＋，y ＝－，由此可得对应的坐标为.　222π8222π8(22＋2π8，22－2π8)答案：2　(22＋2π8，22－2π8)7．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________．解析：圆的摆线的参数方程为Error!令r(1－cos φ)＝0，得：φ＝2kπ代入x＝r(φ－sin φ)得：x＝r(2kπ－sin2kπ)，又过(1,0)，∴r(2kπ－sin2kπ)＝1，∴r＝1 2kπ又r＞0，∴k∈N*答案：Error!(φ为参数，k∈N*)三、解答题8．有一个半径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是a，求点M的轨迹方程．解：设轮子中心为O，则OM＝a.点M的轨迹即是以O为圆心，a为半径的基圆的摆线．由参数方程知点M的轨迹方程为Error!9．已知一个圆的摆线方程是Error!(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是Error!(φ为参数)10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．解：令y＝0，可得a(1－cos φ)＝0，由于a＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝a(φ－sin φ)，得x＝a(2kπ－sin2kπ)．又因为x＝2，所以a(2kπ－sin2kπ)＝2，即得a ＝(k ∈Z )．1k π又由实际可知a ＞0，所以a ＝(k ∈N *)．1k π易知，当k ＝1时，a 取最大值为.1π代入即可得圆的摆线的参数方程为Error!(φ为参数)圆的渐开线的参数方程为Error!(φ为参数)。