2020-2021学年各年级下学期数学开学学案必修二 旋转体与简单组合体的结构特征

《简单旋转体》教学设计简单几何体是立体几何初步的入门，在本节课中我们将认识简单旋转体和简单多面体，并了解其相应的结构特点。

简单几何体的学习为后面研究几何体的结构特征，空间图形的基本关系以及简单几何体的面积和体积打下基础，是本章内容学习的起点和基础。

【知识与能力目标】（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类（2）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征.【过程与方法目标】通过生活中的实物，抽象概括其结构特点，增强学生对生活与数学的联系，培养学生的空间立体感.让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出球、柱、锥、台的几何结构特征。

让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

【情感态度价值观目标】通过生活中的实物，抽象概括其结构特点，增强学生对生活与数学的联系，培养学生的空间立体感。

【教学重点】让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

【教学难点】柱、锥、台、球的结构特征的概括说明。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

平面是空间最基本的图形，平整的桌面、平静的湖面都给人平面的印象◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教材分析◆教学过程◆教学目标几何的平面可以无限延展，一般地，我们用平行四边形表示平面。

也记作：平面 或平面ABCD或平面AC或平面BD创设情境，揭示课题：我们生活的空间里有各式各样的几何体，出示课本中的图形问题1：这些图形具有什么样的几何结构特征？你能对他们进行分类吗？学生观察思考，小组交流讨论。

设计意图：由学生熟悉的生活中的实物入手，引发学生的思考，如何将这些空间物体分类？激发学生的学习兴趣。

上面的图形大致可以分为两类。

给出简单旋转体和简单多面体的概念。

揭示课题。

一、简单旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所成的曲面叫作旋转面;封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。

（1）球的旋转定义: 半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体,简称球。

旋转体与简单组合体的结构特征学习目标1.认识组成我们生活世界的各种各样的旋转体；2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．知识点一 圆柱思考 观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？答案 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体． 圆柱的结构特征圆柱图形及表示定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱图中圆柱表示为：圆柱O ′O相关概念： 圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 思考 仿照圆柱的定义，你能定义什么是圆锥吗？答案 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体．圆锥的结构特征思考下图中的物体叫做圆台，也是旋转体，它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢？除了旋转得到以外，对比棱台、圆台还可以怎样得到呢？答案(1)圆台可以是直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体．(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中垂线为轴，各边旋转180°形成的面所围成的几何体．(3)类比棱台的定义圆台还可以如下得到：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．圆台的结构特征思考球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？答案以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体．球的结构特征思考下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗？它们是如何构成的？答案这两个几何体都不是单纯的柱、锥、台、球体，而是由柱、锥、台、球体中的两种或三种组合而成的几何体．简单组合体(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．类型一旋转体的结构特征例1 判断下列各命题是否正确：(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中经过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的旋转轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．解(1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(3)正确．(4)错．应为球面．反思与感悟辨析几何体的结构特征，一要准确理解空间几何体的定义，准确掌握其结构特征；二要多观察实物，提高空间想象能力．跟踪训练1 下列叙述中正确的个数是( )①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1 C．2 D．3答案 A解析①应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台．故四种说法全不正确．类型二旋转体中的计算问题例2 用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长．解 设圆台的母线长为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r,4r .根据相似三角形的性质得，33＋l ＝r4r，解得l ＝9 cm.所以，圆台的母线长为9 cm. 反思与感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．跟踪训练2 圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．解 将圆台还原为圆锥，如图所示．O 2，O 1，O 分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V 是圆锥的顶点，令VO 2＝h ，O 2O 1＝h 1，O 1O ＝h 2，则⎩⎪⎨⎪⎧h ＋h 1h ＝49＋121，h ＋h 1＋h 2h ＝491，所以⎩⎨⎧h 1＝4h ，h 2＝2h ，即h 1∶h 2＝2∶1.类型三 组合体的结构特征 例3 描述下列几何体的结构特征．解图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．反思与感悟组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割．跟踪训练3 (1)下图中的组合体的结构特征有以下几种说法：①由一个长方体割去一个四棱柱构成．②由一个长方体与两个四棱柱组合而成．③由一个长方体挖去一个四棱台构成．④由一个长方体与两个四棱台组合而成.其中正确说法的序号是________.(2)观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．答案(1)①②(2)图1是由圆柱中挖去圆台形成的，图2是由球、棱柱、棱台组合而成的. 1．下图是由哪个平面图形旋转得到的( )答案 D2．下列说法正确的是( )A．圆锥的母线长等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心答案 D解析圆锥的母线长与底面直径无联系；圆柱的母线与轴平行；圆台的母线与轴不平行．3．下面几何体的截面一定是圆面的是( )A．圆台B．球C．圆柱D．棱柱答案 B解析截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．4．如图所示的(1)、(2)图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？解图(1)、图(2)旋转后的图形草图分别是如图①、②所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去一个圆锥O2O1组成的．1．本节所学几何体的类型几何体⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ 柱体⎩⎪⎨⎪⎧ 圆柱体棱柱体⎩⎨⎧ 三棱柱四棱柱……锥体⎩⎪⎨⎪⎧ 圆锥体棱锥体⎩⎨⎧ 三棱锥四棱锥……台体⎩⎪⎨⎪⎧ 圆台体棱台体⎩⎨⎧ 三棱台四棱台……球体简单组合体2．注意两点(1)圆台、棱台可以看作是用一平行于底面的平面去截圆锥、棱锥得到的底面与截面之间的部分；圆台的母线、棱台的侧棱延长后必交于同一点，若不满足该条件，则一定不是圆台或棱台．(2)球面与球是两个不同的概念，球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面，也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合．而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间．一、选择题1．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④圆锥的底面是圆面，侧面是个曲面．其中错误的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，故②错；圆台是由圆锥截得的，故其任意两条母线延长后一定交于一点，故③错；④是圆锥的性质，故④正确．2．下列说法正确的是( )A．用平行于底面的平面截圆锥，底面和截面之间的几何体是圆台B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥C．一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱D．球面和球是同一概念答案 A解析对于B，动手操作一下发现一张扇形的纸片只能卷成一个无底面的圆锥，故B错误；对于C，根据圆柱的结构特征可知，若两个相等的圆面不平行，那么这个物体不是圆柱，故C错误；对于D，球是由球面和内部组成，由此可知它们不是同一个概念，故D错误．A正确．3．下列结论中正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线答案 D解析当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误．4．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )答案 A解析此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的．5．下列说法错误的是( )A．一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B．一个圆台可以由两个圆台拼合而成C．一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D．一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成答案 C解析用一个平行于底面的平面去截台体，就会得到两个台体，因此一个圆台可以由两个圆台拼合而成，一个四棱台也可以由两个四棱台拼合而成，故B，D选项说法是正确的．若在三棱锥的底面两边上任找两点，过这两点和三棱锥的顶点的截面，就会把三棱锥分成一个三棱锥和一个四棱锥，因此一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成，故A选项说法是正确的．6.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体答案 B解析圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着如图中的轴旋转而形成圆柱. 故选B.7．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )答案 B解析由组合体的结构特征知，球与正方体各面相切，与各棱相离，正确答案为B.二、填空题8．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．答案 两个圆锥解析 连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥．9．已知球O 是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 所得的截面面积为_______．答案 π6解析 由题意知△ACD 1是等边三角形，球与三边的中点都相切，平面ACD 1截球O 所得的截面即为△ACD 1的内切圆，三角形的边长为2，所以内切圆的半径r ＝13×32×2＝66，所以圆的面积为π6. 10．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________．答案 2π解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.11．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是__________．答案 ①⑤解析 一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．三、解答题12.已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示，分别以AB，BC，CD，DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．解(1)以AB边所在直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示．(2)以BC边所在直线为轴旋转所得的旋转体是一个组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示．(3)以CD边所在直线为轴旋转所得的旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个圆锥，如图③所示．(4)以AD边所在直线为轴旋转所得的旋转体为一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．13.如图所示，圆台母线AB 长为20 cm ，上、下底面半径分别为5 cm 和10 cm ，从母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到B 点，求这条绳长的最小值． 解 作出圆台的侧面展开图，如图所示，由其轴截面中Rt △OPA 与Rt △OQB 相似，得OA OA ＋AB ＝510，可求得OA ＝20 cm.设∠BOB ′＝α，由于扇形弧¼BB'的长与底面圆Q 的周长相等，而底面圆Q 的周长为(2π×10) cm ．扇形OBB ′的半径为OA ＋AB ＝20＋20＝40 cm ，扇形OBB ′所在圆的周长为2π×40＝80π cm.所以扇形弧¼BB '的长度20π为所在圆周长的14.所以OB ⊥OB ′.所以在Rt △B ′OM 中，B ′M 2＝402＋302，所以B ′M ＝50 cm ，即所求绳长的最小值为50 cm.。

高一数学必修2导学案主备人: 备课时间: 备课组长:1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、学习目标：1、知识与技能：（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（2）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。

（3）会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。

2、过程与方法：（1）通过直观感受空间物体，概括出柱、锥、台的几何结构特征。

（2）观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3、情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力。

二、学习重点、难点：学习重点：感受大量空间实物及模型,概括出柱、锥、台的结构特征。

学习难点：柱、锥、台的结构特征的概括。

三、使用说明及学法指导:1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。

2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。

3、A类是自主探究，B类是合作交流。

四、知识链接:平行四边形：矩形：正方体：五、学习过程：A问题1：什么是多面体、多面体的面、棱、顶点？A问题2：什么是旋转体、旋转体的轴？B问题3：什么是棱柱、锥、台？有何特征？如何表示？如何分类？C问题4；探究一下各种四棱柱之间有何关系？C问题5：质疑答辩，排难解惑1．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？（举反例说明）2．棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？A 例1：如图，截面BCEF 把长方体分割成两部分，这两部分是否是棱柱？B 例2：一个三棱柱可以分成几个三棱锥？六、达标测试A1、下面没有对角线的一种几何体是（）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱A2、若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是（）A ．正方体B ．正四棱锥C ．长方体D ．直平行六面体B3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A ．3B．23C．33D．43B4、正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为（）A ．279cm2B ．79cm2C ．323cm2D ．32cm2B5、若长方体的三个不同的面的面积分别为2,4,8，则它的体积为（）A ．2B ．4C ．8D ．12C6、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（）A ．必须都是直角三角形B．至多只能有一个直角三角形C ．至多只能有两个直角三角形D．可能都是直角三角形A7、长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________.七、小结与反思：【励志良言】不为失败找理由，只为成功找方法。

第八章 8.1 第2课时A级——基础过关练1．下列几何体中是旋转体的是( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①和②C．③和④D．①和④【答案】D【解析】根据旋转体的概念可知,①和④是旋转体．2．图①②中的图形折叠后的图形分别是( )A．圆锥、棱柱B．圆锥、棱锥C．球、棱锥D．圆锥、圆柱【答案】B【解析】根据图①的底面为圆,侧面为扇形,得图①折叠后的图形是圆锥；根据图②的底面为三角形,侧面均为三角形,得图②折叠后的图形是棱锥．3．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是( )A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球【答案】B【解析】由题意可得AD⊥BC,且BD＝CD,所以形成的几何体是圆锥．故选B.4．如图,在日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是( )A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱【答案】B【解析】一个六棱柱挖去一个等高的圆柱．故选B.5．(多选)如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法正确的是( )A ．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B ．该几何体有12条棱、6个顶点C ．该几何体有8个面,并且各面均为三角形D ．该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余各面均为三角形 【答案】ABC【解析】该几何体用平面ABCD 可分割成两个四棱锥,因此它是这两个四棱锥的组合体,因而四边形ABCD 是它的一个截面而不是一个面．故D 说法不正确．故选ABC.6．下列说法正确的是________．①圆台可以由任意一个梯形绕其一边所在直线旋转形成；②在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线平行,圆锥的任意两条母线相交,圆台的任意两条母线延长后相交．【答案】③【解析】①错,圆台是直角梯形绕其直角边所在直线或等腰梯形绕其底边中点的连线所在直线旋转形成的；由母线的定义知②错；③正确．7.(2021年武汉期末)如图是一个几何体的表面展开图形,则这个几何体是________．【答案】圆柱【解析】一个长方形和两个圆折叠后,能围成的几何体是圆柱．8．一个半径为5 cm 的球,被一平面所截,球心到截面圆心的距离为4 cm,则截面圆面积为________cm 2.【答案】9π【解析】设截面圆半径为r cm,则r 2＋42＝52,所以r ＝3,所以截面圆面积为9π cm 2. 9．圆台的上底周长是下底周长的13,轴截面面积等于392,母线与底面的夹角为45°,求此圆台的高、母线长及两底面的半径．解：设圆台上、下底面半径分别为r ,R ,母线长为l ,高为h . 由题意,得2πr ＝13·2πR ,即R ＝3r .①12(2r ＋2R )·h ＝392,即(R ＋r )h ＝392.② 又母线与底面的夹角为45°,则h ＝R －r ＝22l .③ 联立①②③,得R ＝21,r ＝7,h ＝14,l ＝14 2.10．已知一个圆锥的底面半径为r ,高为h ,在此圆锥内有一个内接正方体,这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上,求此正方体的棱长．解：作出圆锥的一个纵截面如图所示,其中AB ,AC 为母线,BC 为底面直径,DG ,EF 是正方体的棱,DE ,GF 是正方体的上、下底面的对角线．设正方体的棱长为x ,则DG ＝EF ＝x ,DE ＝GF ＝2x .依题意,得△ABC ∽△ADE ,∴hh －x＝2r 2x,∴x ＝2rhh ＋2r,即此正方体的棱长为2rhh ＋2r.B 级——能力提升练11．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且距离为1,那么这个球的半径是( )A ．4B ．3C ．2D ．0.5【答案】B【解析】如图所示,∵两个平行截面的面积分别为5π,8π,∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5,r 2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21,d 2＝R 2－r 22,∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1,∴R 2＝9,∴R ＝3.12．(多选)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法,其中说法正确的是( )A ．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B ．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C ．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D ．由一个长方体与两个四棱台组合而成的【答案】AB【解析】如图,该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成．故选项AB正确．13．用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径是________．【答案】2π或4π【解析】如图所示,设底面半径为r,若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长,则2πr＝8,所以r＝4π；同理,若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长,则2πr＝4,所以r＝2π.14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的高为________．【答案】 3【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则4π＝πl2,所以母线长为l＝2.所以半圆的弧长为2π,圆锥的底面的周长为2πr＝2π,所以底面圆半径r＝1.所以该圆锥的高为h ＝l2－r2＝22－12＝ 3.15.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体,则截面图形可能是________(填序号)．【答案】①⑤【解析】当垂直于圆柱底面的平面经过圆锥的顶点时,截面图形如图①；当垂直于圆柱底面的平面不经过圆锥的顶点时,截面图形可能为图⑤.16．圆台的两底面面积分别为1,49,平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和,求圆台的高被截面分成的两部分的比．解：将圆台还原为圆锥,如图所示．O 2,O 1,O 分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心,V 是圆锥的顶点．令VO 2＝h ,O 2O 1＝h 1,O 1O ＝h 2,则⎩⎪⎨⎪⎧h ＋h 1h ＝49＋121，h ＋h 1＋h 2h ＝491，所以⎩⎪⎨⎪⎧h 1＝4h ，h 2＝2h ，即h 1∶h 2＝2∶1.故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.C 级——探索创新练17．我国古代名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺,围之五尺．葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好与圆木顶部平齐,问葛藤最短长多少尺？”(注：1丈等于10尺)则葛藤最短为( )A ．29尺B ．24尺C ．26尺D ．30尺【答案】C【解析】由题意,圆木的侧面展开图是矩形,将圆木侧面展开两次,则一条直角边(即圆木的高)长为24尺,其邻边长为5×2＝10(尺),因此葛藤最短为242＋102＝26(尺)．18．如图所示,已知圆锥SO 中,底面半径r ＝1,母线长l ＝4,M 为母线SA 上的一个点,且SM ＝x ,从点M 拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A .求：(1)绳子的最短长度的平方f (x )； (2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离； (3)f (x )的最大值．解：将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上,如图所示,则该图为扇形,且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长,∴L ＝2πr ＝2π.∴∠ASM ＝360°·L 2πl ＝2π2π×4×360°＝90°.(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ,其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)．f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．(2)绳子最短时,在展开图中作SR ⊥AM ,垂足为R ,则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离．在△SAM 中,∵S △SAM ＝12SA ·SM ＝12AM ·SR ,∴SR ＝SA ·SM AM ＝4x x 2＋16(0≤x ≤4),即绳子最短时,顶点到绳子的最短距离为4x x 2＋16(0≤x ≤4)．(3)∵f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数, ∴f (x )的最大值为f (4)＝32.。

141.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、学习目标：1、知识与技能：（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（2）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。

（3）会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。

2、过程与方法：（1）通过直观感受空间物体，概括出柱、锥、台的几何结构特征。

（2）观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3、情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力。

二、学习重点、难点：学习重点：感受大量空间实物及模型,概括出柱、锥、台的结构特征。

学习难点：柱、锥、台的结构特征的概括。

三、使用说明及学法指导:1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。

2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。

3、A类是自主探究，B类是合作交流。

四、知识链接:平行四边形：矩形：正方体：五、学习过程：A问题1：什么是多面体、多面体的面、棱、顶点？A问题2：什么是旋转体、旋转体的轴？B问题3：什么是棱柱、锥、台？有何特征？如何表示？如何分类？C问题4；探究一下各种四棱柱之间有何关系？C问题5：质疑答辩，排难解惑1．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？（举反例说明）2．棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？A例1：如图，截面BCEF把长方体分割成两部分，这两部分是否是棱柱？B 例2：一个三棱柱可以分成几个三棱锥？六、达标测试A1、下面没有对角线的一种几何体是 （ ） A ．三棱柱 B ．四棱柱 C ．五棱柱 D ．六棱柱A2、若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 （ ） A ．正方体 B ．正四棱锥 C ．长方体 D ．直平行六面体 B3、棱长都是1的三棱锥的表面积为 （ ） A ．3B ．23C ．33D ．43B4、正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ）A ．279cm 2B ．79cm 2C ．323cm 2 D ．32cm 2B5、若长方体的三个不同的面的面积分别为2,4,8，则它的体积为 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．12C6、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 （ ） A ．必须都是直角三角形 B ．至多只能有一个直角三角形 C ．至多只能有两个直角三角形 D ．可能都是直角三角形A7、长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________.七、小结与反思：【励志良言】不为失败找理由，只为成功找方法。

第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征【知识要点】【即时训练1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．( ) (2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．( ) (3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．( )教材整理2 简单组合体的结构特征 1．简单组合体的概念由 组合而成的几何体叫做简单组合体． 2．简单组合体的构成形式有两种基本形式：一种是由简单几何体 而成的；另一种是由简单几何体 一部分而成的．【即时训练2】如图所示的组合体的结构特征是( ) A ．一个棱柱中截去一个棱柱 B ．一个棱柱中截去一个圆柱 C ．一个棱柱中截去一个棱锥 D ．一个棱柱中截去一个棱台【例1】下列命题中正确的是( )A ．直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B ．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C ．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D ．通过圆台侧面上一点，有无数条母线[再练一题]1．下列结论：①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④【例2】如图所示，已知梯形何体，试描述该几何体的结构特征．[再练一题]2．描述下列几何体的结构特征．探究1探究2圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？探究3经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？【例2】如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．[再练一题]3．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．【课堂反馈】1．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是()A．圆柱B．圆锥C．圆台D．两个圆锥2．下列说法不正确的是()A．圆柱的平行于轴的截面是矩形B．圆锥的过轴的截面是等边三角形C．圆台的平行于底面的截面是圆面D．球的任意截面都是圆面3．如图所示的几何体是由简单几何体____________________构成的．4．如图所示，下列几何体中，图(1)是圆柱，图(2)是圆锥，图(3)是圆台，上述说法正确的个数有________个．5．圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是310 cm，则它的轴截面的面积是________. 6．一个正方体内接于高为40 cm，底面圆的半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长.【课后练习】(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列各组几何体中是多面体的一组是()A．三棱柱、四棱台、球、圆锥B．三棱柱、四棱台、正方体、圆台C．三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥D．圆锥、圆台、球、半球2．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是()A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱4．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为()A．8 B．8πC．4πD．2π二、填空题6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________.7．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．三、解答题8．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．9．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[能力提升]10．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是() A．4 B．3 C．2 D．0.511．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在圆锥内部有一个高为x cm的内接圆柱．(1)用x表示圆柱的轴截面面积S; (2)当x为何值时，S最大？。

1．1.2 简单组合体的结构特征[目标] 1.了解组合体的概念；2.会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征．[重点] 对简单组合体两种基本形式的认识．[难点] 把简单组合体分解为简单几何体．知识点一 简单组合体的结构特征[填一填]1．定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．2．简单组合体的两种基本形式：简单组合体⎩⎪⎨⎪⎧由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成. [答一答]1．组合体的形式有哪些？提示：(1)多面体与多面体的组合体．(2)旋转体与旋转体的组合体．(3)多面体与旋转体的组合体．2．如图是一暖瓶，不考虑提手，其主要的结构特征是什么？提示：把暖瓶看作一个旋转体，它是一个简单组合体，是由两个圆柱和一个圆台拼接而成的．类型一简单组合体的结构特征[例1](1)如图①所示的物体为燕尾槽工件，请说明该物体是由哪些几何体构成的．(2)指出图②中三个几何体的主要结构特征．[解](1)图①中的几何体可以看做是一个长方体割去一个四棱柱所得的几何体，也可以看成是一个长方体与两个四棱柱组合而成的几何体(如图所示)．(2)(A)中的几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱后剩余部分组合而成，其中圆柱内切于三棱柱．(B)中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱后剩余部分组合而成，其中四棱柱内接于圆锥．(C)中的几何体由一个球挖去一个三棱锥后剩余部分组合而成．其中三棱锥内接于球．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力.[变式训练1]请描述如图所示的组合体的结构特征．解：①是由一个圆台挖去一个圆锥后剩下的部分得到的组合体；②是由一个四棱柱和一个四棱锥组合而成的组合体．类型二平面图形旋转形成的组合体[例2]已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如图．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．[解](1)以AB为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示．(2)以BC为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥．如图②所示．(3)以CD为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图③所示．(4)以AD为轴旋转所得的旋转体为一组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图④所示．对于不规则的平面图形绕轴旋转的问题，要对原平面的图形通过向轴作垂线，作适当的分割，再根据圆柱、圆锥、圆台的特征进行判断.[变式训练2]如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(B)A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体类型三与球有关的“切”与“接”问题[例3]已知正方体的棱长为a，分别求出它的内切球及与各棱都相切的球半径．[分析]解决此题的关键是找准轴截面，建立半径与棱长的关系．[解](1)正方体的内切球与各面的切点为正方体各面的中心，故作出经过正方体相对两面的中心且与棱平行的截面，则球的一个大圆是其正方形截面的内切圆，如图(1)所示，设球的半径为R1，易得R1＝a2.(2)与正方体的各棱均相切的球与正方体相连接的点是正方体各棱的中点，故应作出经过正方体一组平行棱中点的截面，则球的轴截面是其正方形截面的外接圆，如图(2)所示，设球的半径为R3，易求得球的半径R3＝22a.组合体问题应分清各部分之间是如何组合起来的，以便转化为平面图形进行计算．正方体的内切球直径等于正方体的棱长；外接球直径等于其体对角线的长；球与正方体各棱都相切，则球的直径等于正方体面对角线的长．[变式训练3]一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如下图所示，则截面可能是(C)A．①③④B．②④C．①②③D．②③④解析：考虑过球心的正方体截面位置的可能情形．当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面，也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.故选C.1．如图所示为一个空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是(C)A．梯形、正方形B．圆台、正方形C．圆台、圆柱D．梯形、圆柱解析：空间几何体不是平面几何图形，所以应该排除A、B、D，所以选C.2．如图，将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是(D)A．圆锥B．圆锥和球组成的简单几何体C．球D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体解析：三角形绕轴旋转一周后形成的几何体是圆锥，圆绕直径所在直线旋转一周后形成的几何体是球，故阴影部分旋转一周后形成的几何体是一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体．3．图中的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是(D)A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)解析：当截面不过旋转轴时，截面图形是(5)，故选D.4．已知一个棱长为6 cm的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5 cm的钢球，则球心到盒底的距离为10 cm.解析：由题意知求球心到底面的距离，实际上是求两个简单的组合体的上顶点到下底面的距离，可以看作下面是一个正方体，正方体的棱长是6 cm，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为6的正方形，斜高是5，则四棱锥的高是52－32＝16＝4，∴球心到盒底的距离为6＋4＝10(cm)．5．下列组合体是由哪几种简单几何体组成的？解：(1)是由一个圆柱和一个六棱柱组成的；(2)是由一个圆锥、一个圆柱和一个长方体组成的；(3)是由一个球和一个圆台组成的．——本课须掌握的问题简单组合体的构成有两种基本形式：一种是拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．具体可以分为以下三类：(1)多面体与多面体的组合由两个或两个以上的多面体组合而成，如图(1)是一个正方体截去一个三棱锥的组合体．(2)多面体与旋转体的组合由多面体和旋转体组合而成，如图(2)是一个六棱柱与一个圆柱的组合体．(3)旋转体与旋转体的组合由两个或两个以上的旋转体组合而成，如图(3)是一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．。

第2课时旋转体和简单组合体素养目标·定方向素养目标学法指导1．认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.(直观想象)2．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(直观想象)1．利用柱、锥、台之间的联系来加强记忆，如棱柱、棱锥、棱台为一类，圆柱、圆锥、圆台为一类；或分成柱体、锥体、台体三类来分别认识.只有对比才能把握实质与区别.2．与平面几何的有关概念、图形和性质进行适当类比，逐步学会用类比的思想分析问题和解决问题.必备知识·探新知知识点1圆柱的结构特征定义以__矩形__的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱有关概念旋转轴叫做圆柱的__轴__；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的__底面__；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的__侧面__；无论旋转到什么位置，__不垂直__于轴的边都叫做圆柱侧面的母线图形表示法用表示它的轴的字母，即表示两底面__圆心__的字母表示，上图中的圆柱可记作圆柱__O′O__规定__圆柱__和__棱柱__统称为柱体(1)圆柱有无数条母线，它们互相平行且相等.(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图①所示.(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图②所示.(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图③所示.知识点2圆锥的结构特征定义以__直角__三角形的一条__直角边__所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥图形有关概念如上图所示，轴为__SO__，底面为__⊙O__，SA为母线.另外，S叫做圆锥的__顶点__，OA(或OB)叫做底面⊙O的__半径__表示法圆锥用表示它的__轴__的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥__SO__ 规定__棱锥__与__圆锥__统称为锥体[知识解读]圆锥的简单性质：(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等.(2)平行于底面的截面都是圆，如图①所示.(3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形，如图②所示.(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图③所示.知识点3圆台的结构特征定义用平行于__圆锥__底面的平面去截圆锥，__底面__与__截面__之间的部分叫做圆台图形有关概念原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的__下__底面和__上__底面.与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、__侧面__、母线，如上图所示，轴为__OO′__，AA′为母线表示法用表示轴的__字母__表示，上图中的圆台可记作圆台__OO′__规定__圆台__与__棱台__统称为台体[知识解读]圆台的简单性质：(1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点.(2)平行于底面的截面是圆，如图①所示.(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图②所示.(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图③所示.知识点4球定义以半圆的__直径__所在直线为旋转轴，半圆面旋转__一周__形成的旋转体叫做球体，简称球有关概念半圆的__圆心__叫做球的球心；半圆的__半径__叫做球的半径；半圆的__直径__叫做球的直径图形表示法球常用表示__球心__的字母表示，如上图中的球记作球__O__关键能力·攻重难题型探究题型一旋转体的结构特征典例1下列结论正确的是__④⑥⑧__.①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥；⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；⑦球面上任意三点可能在一条直线上；⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.[分析]准确理解旋转体的定义，在此基础上掌握各旋转体的性质，才能更好地把握它们的结构特征，以作出准确的判断.[解析]①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义可知⑥正确；球面上任意三点一定不共线，故⑦错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故⑧正确.[归纳提升]圆柱、圆锥、圆台、球都是常见的旋转体，熟练掌握它们结构特征，弄清旋转体的性质是准确作图解题的前提.【对点练习】❶下列结论：①任意平面截圆柱，截面都是圆面；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线.其中正确的是(B)A．①B．②C．①②D．②③[解析]过两母线的截面为矩形，有时斜的截面为椭圆，故①错；根据母线的定义和特点，③错误；②正确，故选B．题型二简单组合体的结构特征典例2如图，绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何体组成的？[解析]如图所示，由一个圆锥O4O5，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成的.[归纳提升]平面图形绕某条直线旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后分析旋转体的结构和组成.【对点练习】❷ 已知AB 是直角梯形ABCD 中与底边垂直的一腰，如右图.分别以AB 、BC 、CD 、DA 为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.[解析] (1)以AB 为轴旋转所得旋转体是圆台.如下图①所示.(2)以BC 边为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥.如图②所示.(3)以CD 边为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥.如图③所示.(4)以AD 边为轴旋转所得的组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图④所示.题型三 旋转体的侧面展开问题典例3 一圆柱的底面半径为3π，母线长为4，轴截面为ABCD ，从点A 拉一绳子沿圆柱侧面到相对顶点C ，求最短绳长.[分析] 绳子沿圆柱侧面由A 到C 且最短，故侧面展开后为A 、C 两点间的线段长. [解析] 沿BC 剪开，将圆柱体的侧面的一半展开得到矩形BADC .则AD ＝4，AB ＝3π·π＝3．∴AC ＝32＋42＝5，即最短绳长为5．[归纳提升] 求多面体表面上两点间的最短距离的思路将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，利用轴对称、平移或旋转等几何图形的变换，运用“两点之间，线段最短”来解决.具体步骤如下：(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图； (2)将所求问题转化为平面上的线段问题；(3)结合已知条件求得结果.【对点练习】❸如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为6 m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程.(结果不取近似值)[解析]设底面圆的周长为l.∵△ABC为正三角形，∴BC＝6，∴l＝2π×3＝6π，根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：nπ×6180°＝6π，故n＝180°，则∠B′AC＝90°，∴B′P＝36＋9＝35(m)，∴小猫所经过的最短路程是3 5 m.易错警示旋转体的概念不清致误典例4如图所示，它们是不是棱锥、棱台、圆柱、圆锥等几何体？[错解]图①是圆柱；图②是圆锥.[错因分析]不能只依据概念的某一结论去判断.判断几何体的形状时，要考虑周全，要满足几何体的所有特征.[正解]图①不是圆柱，因为上下两面不平行(或不是由一个矩形旋转而成)；图②不是由一个直角三角形旋转而成，故不是圆锥.【对点练习】❹下列几何体中(A)A．旋转体3个，台体(棱台和圆台)2个B．旋转体3个，柱体(棱柱和圆柱)5个C．柱体3个，锥体(棱锥或圆锥)4个D．旋转体3个，多面体4个[解析](6)(7)(8)为旋转体，(5)(7)为台体.。

第一章立体几何初步§1简单几何体1．1简单旋转体知识点一旋转体[填一填](1)概念：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．(2)特殊的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球．知识点二球[填一填](1)概念：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．如图所示．(2)表示：球常用表示球心的字母表示．如上图中的球记作球O.[答一答]1．在平面几何中，你学习了直线与圆的位置关系，那么平面与球的位置关系如何？提示：类比平面上直线与圆的位置关系，平面与球有以下几种位置关系：相离、相切、相交，其中相离是平面与球无公共点，相切是平面与球有且只有一个公共点，相交则是平面与球有无数多个公共点．知识点三圆柱、圆锥、圆台[填一填](1)概念：分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．如图所示．(2)表示：圆柱、圆锥、圆台都是用表示轴的字母表示．如上图中的圆柱、圆锥、圆台分别记为圆柱OO′、圆锥SO、圆台OO′.[答一答]2．对圆柱、圆锥、圆台：(1)平行于底面的截面是什么样的图形？(2)过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？(3)研究圆柱、圆台和圆锥之间的关系．提示：(1)平行于底面的截面，图形都是圆．(2)过轴的截面，对于圆柱是矩形，对于圆锥是等腰三角形，对于圆台是等腰梯形．(3)圆柱的上底面变小，就变为圆台，当上底面变为一个点时，它就变成了圆锥．圆台是由圆锥截得的，“补台成锥”是解决圆台问题的一种重要方法．3．为什么以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体不一定是圆锥？提示：如图①所示，Rt△ABC中，AB⊥AC，以直角边AC所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆锥，如图②；以直角边AB所在的直线为轴旋转所得旋转体也是圆锥，如图③；以斜边BC所在的直线为轴旋转所得旋转体不是圆锥，是两个同底面的圆锥拼接成的几何体，如图④.由此可见，平面图形绕同一平面内的一条直线旋转所得几何体是什么样的旋转体，跟所选旋转轴所在的直线的位置关系有关．在理解圆柱、圆锥和圆台的概念时要注意以下几点(1)我们以轴上的两个字母表示几何体，可以记作圆柱OO′，圆锥SO，圆台OO′.(2)圆台可看作是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分．(3)这三种几何体的母线不是唯一的．圆柱的母线互相平行，圆锥的母线交于一点，圆台的母线延长后交于一点．连接圆柱上、下底面圆周上两点，不一定是圆柱的母线，圆柱的母线与轴平行．但连接圆锥顶点和底面圆周上任一点得到的线段都是母线．(4)用一个与底面平行的平面去截这三种几何体，得到的截面都是圆面.类型一旋转体的有关概念【例1】以下对于几何体的描述，错误的是()A．NBA 决赛中使用的篮球不是球体B．一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形叫作圆锥C．用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫作圆台D．以矩形的一组对边的中垂线所在直线为轴旋转180°所形成的几何体为圆柱【思路探究】根据柱、锥、台的结构特征进行判断．【解析】根据球的定义可知A 正确．由圆锥的定义知B 正确．当平面与圆锥的底面平行时底面与截面之间的部分为圆台，故C 错误．由圆柱的定义知D 正确．【答案】 C规律方法1.判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．判断下列各命题是否正确．(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．解：(1)错误．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(3)正确．(4)错误．应为球面．类型二有关几何体的计算问题【例2】一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4πcm2 和25πcm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【思路探究】本题主要考查圆台中的有关计算，关键是画出轴截面，依据相似三角形求解．【解】(1)如右图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，O1，O分别是上、下底面的中心，作AM⊥BC于M，延长BA，CD交于S，连接SO，则SO经过O1.由已知得上底面半径O1A＝2 cm，下底面半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm，∴圆台的高AM＝122－5－22＝3 15(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，l－12 2则由△SAO1∽△SBO，得＝，解得l＝20.l 5即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.规律方法解决这类问题一般是画出轴截面解三角形．4 3一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的母线长为.3解析：先明确圆锥的相关概念，画出示意图，再利用直角三角形的知识求解，如图所示，设圆锥底面直径为AB，SO为高，SA为母线，由题意可知∠ASO＝30°，所以在Rt△AOS中，SA＝SO 2 4 3＝＝.cos∠ASO cos30° 3类型三有关球的截面问题【例3】在球内有相距9 cm 的两个平行截面，面积分别为49πcm2 和400πcm2，求此球的半径．【思路探究】作轴截面(过与截面圆垂直的半径作截面)，将空间图形化为平面图形．利用截面的性质解直角三角形．【解】两截面与球心的位置关系有两种：(1)两截面位于球心的同侧；(2)球心在两截面之间．若两截面位于球心的同侧，如图①，C，C 1 分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R，截面圆的半径分别为r，r1，由πr21＝49π，得r1＝7(cm)，由πr2＝400π，得r＝20(cm)，在Rt△OBC中，OC＝R2－r2＝R2－400，由题意知OC1－OC＝9 cm，即R2－49－R2－400＝9，解得R＝25(cm)，若球心在两截面之间，如图②，OC1＝R2－49，OC＝R2－400.由题意知OC1＋OC＝9 cm，即R2－49＋R2－400＝9，R2－49＝9－R2－400，平方得R2－400＝－15，此方程无解，说明第二种情况不存在．综上所述，所求球的半径为25 cm.规律方法在解决球的截面问题时，可作轴截面，将空间图形化为平面图形．由于球心与截面圆心的连线垂直于截面圆，因此经过球心与截面圆心的连线作轴截面如图．则球的半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d有如下关系：d2＋r2＝R2.在半径等于13 cm 的球内有一个截面，它的面积是25πcm2，求球心到这个截面的距离．解：设截面圆的半径为r cm.因为πr2＝25π，所以r＝5.设球心到截面的距离为d cm，则d＝132－52＝12.所以球心到截面的距离为12 cm.类型四圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图问题【例4】如图所示，一圆柱的底面半径为2，母线长为5，轴截面为矩形ABCD，从点A拉一绳子沿圆柱侧面到点C，求最短绳长．【思路探究】(1)绳子是在圆柱的侧面上，与侧面有关的问题用侧面展开图来解决．(2)沿母线BC剪开，将圆柱侧面的一半展开，得展开图矩形，其中AD是母线的长，AB′是底面周长的一半．【解】沿BC剪开，将圆柱侧面的一半展开得到矩形B′ADC′，如图所示，连接AC′，则AC′的长即为所求最短绳长，由题意可知，B′C′＝5，AB′＝2π，即最短绳长为25＋4π2.规律方法1.圆柱问题中的基本量为底面半径r、h、母线长l，且h＝l.2．解决与圆柱有关的问题可作轴截面或侧面展开图，将空间问题转化为平面问题．3．轴截面是矩形，长和宽分别为2r和l.4．侧面展开图是矩形，长和宽分别为2πr和l.圆锥底面半径r＝1 cm，母线l＝6 cm，现有一只蚂蚁，从圆锥底面圆周上点A沿侧面爬一周后又回到A点，求它至少要爬的路程．解：r 1如图所示，将圆锥侧面沿母线PA展开，所得扇形的圆心角θ＝·360°＝×360°＝60°，∴△l 6PAA′为等边三角形，∴AA′＝6，即它至少要爬的路程为6 cm.——转化与化归思想——立体几何问题平面化1．利用轴截面将空间问题转化为平面问题圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面中含有丰富的元素和良好的图形性质，因此在解决几何体的有关长度计算问题时常常利用轴截面来解决，将空间问题转化为平面问题．2．用侧面展开的方法求圆柱、圆锥和圆台侧面上两点间距离(最值)求几何体侧面上两点间最短距离的问题，常把侧面展开，转化为平面几何问题后解决．【例5】如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：(1)绳子的最短长度的平方f(x)；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f(x)的最大值．【思路分析】求几何体侧面上两点之间的距离的最小值时，往往利用其侧面展开图求解．【精解详析】将圆锥的侧面沿SA剪开，并展开，如图所示，该图形为扇形，且弧L2πEarlybird晨鸟教育(1)由题意知，绳子长度的最小值为展开图中的AM，且AM＝x2＋16(0≤x≤4)，所以f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．1 1(2)作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，因为SA·SM＝2 2 AM·SR，SA·SM4x所以SR＝＝(0≤x≤4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为AM x2＋164xx2＋16 (0≤x≤4)．(3)因为f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，所以f(x)的最大值为f(4)＝32.【解后反思】求解旋转体侧面上两点间的最小距离时，一般将几何体侧面展开，从而将空间问题转化为平面问题，将曲线问题转化为直线问题来解决，使复杂问题简单化．如图，圆台的上、下底面半径分别为5 cm 和10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．求：在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．提示：类似几何体表面最短路径问题一般是把侧面展开，转化为平面几何知识求解．解：如图，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧面展开图中A1M的长度，所以∠AOA1＝10－5×360°＝90°，205设OB＝l′，则·360°＝90°，l′＝50(cm)．过点O作OQ⊥A1M于Q，交弧BB1 于P，则PQ为所求最短距离．因为OA1·OM＝A1M·OQ，则40×30＝50·OQ，所以OQ＝24 cm，所以PQ＝OQ－OP＝OQ－OB＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.一、选择题1．下列不是旋转体的是(D)A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球面解析：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫作空间几何体．旋转体是特珠的空间几何体．因此球面不是旋转体．2．下列说法中正确的是(D)A．圆台是直角梯形绕其一边所在的直线旋转而成的B．圆锥是直角三角形绕其一边所在的直线旋转而成的C．圆柱不是旋转体D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的底面与截面之间的部分解析：圆台是直角梯形绕垂直于底边的腰所在的直线旋转而得到的，故A 不正确；圆锥是直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转而得到的，故B 不正确；而圆柱、圆锥、圆台、球都是旋转体，故C 不正确．3．有下列表述：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是(D)A．①②B．②③C．①③D．②④解析：对于①③，两点的连线不一定在圆柱、圆台的侧面上，当然有可能不是母线了，对于②④，由母线的定义知正确．二、填空题4．有下列说法：①球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段；②球的直径是球面上任意两点间的线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球．其中正确的有①.解析：①球是半圆绕其直径所在的直线旋转，旋转面所围成的封闭的几何体，不难理解，半圆的直径就是球的直径，半圆的圆心就是球心，半圆的半径就是球的半径，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．5．圆柱、圆锥和圆台过轴的截面分别是矩形、等腰三角形和等腰梯形．三、解答题6．在半径为25 cm 的球内有一个截面，它的面积是49πcm2，求球心到这个截面的距离．解：设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，如图所示．因为S＝πr2＝49πcm2，所以r＝7 cm，所以d＝R2－r2＝252－72＝24(cm)，即球心到这个截面的距离为24 cm.。