北师大版数学必修二课件：简单旋转体

[答案] 2 3 2
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课堂典例讲练
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• 旋转体的有关(yǒuguān)概念
下列叙述正确的个数为( )
①以直角三角形一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台
③用平面去截圆柱、圆锥、圆台，得到的截面均为圆面
④用一平面截圆锥一定得到一个圆锥和一个圆台
设圆柱的底面圆半径为 r，则 r＝52 (cm)， 所以底面圆的周长为 l＝2πr＝5π(cm)．
第三十七页，共45页。
将圆柱沿母线 AD 剪开后平放在一个平面内，如图(2)所示， 则从 A 到 C 的最短距离即为图(2)中 AC 的长．
由于 AB＝2l ＝52π(cm)，BC＝AD＝5(cm)， 所以 AC＝ 254π2＋25＝52 π2＋4(cm)．故选 B.
• B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是 一个圆柱体
• C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 (yuántái)
• D．通过圆台(yuántái)侧面上一点，有无数条 母线
• [答案] C
第二十七页，共45页。
• [解析] A错，连接圆柱上、下底面圆周上两 点的线段不一定与轴平行．B错，当两个平行 平面与底面不平行时，截得的几何体不是(bù shi)圆柱体．D错，通过圆台侧面上一点，只 有一条母线，C正确．
相似的圆
第十一页，共45页。
圆台 延长线交于
等一腰梯点形(tīxíng)
全等的 ________
• 3.球 • (1)球和球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋
转一球周面所(qi成úm的iàn曲) 面叫______．球面所球围成的 几何体叫球体，简称_____． • 用集合球的面观(q点iúm来iàn描) 述，到定点(dìnɡ diǎn)的距 离等于定长的所有点的集合(轨迹)叫 ________．

2.简单旋转体
球 圆柱 圆锥 圆台
棱柱 3.简单多面体 棱椎 棱台
R
以直角梯形垂直于底边的 腰所在直线为轴，其余各 边旋转而成的曲面所围成 的几何体 轴截面是全等等腰梯形
定义 性质
以直角三角形一直角边所 在直线为轴，其余各边旋 转而成的曲面所围成的几 何体 轴截面是全等等腰三角形
课堂小结
1.几何的平面是可以无限延展，一般地, 我们用平行四边形表 示平面,记为平面 或平面 ABCD
记作：棱柱 或棱柱
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各叫做棱柱的侧 面。两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。侧面与底的公共顶点叫做棱 柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两 个底面的距离叫做棱柱的高。
（2）棱柱的分类
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……把这样的棱柱分
别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……
R 3R R 3R 2 R2 64 R=8 CD r , BD , AD r 2 2 2 2
球的截面及其性质
1.截面是一个圆面 ① OO '⊥截面圆 O '
O
R
d
② r 2.大圆
R d
2
2
ß
r
O'
截面
经过球心的截面圆
.o
小圆 不经过球心的截面圆
（1）棱柱的概念
①定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每 相邻两个四两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何 体叫做棱柱。
S
S D
O1
O1
C
C
O
B
A
O
B
填空题： （1）用一张６×８的矩形纸卷成一个圆柱，其轴

第一章
立体几何初步
-1-
§1 简单几何体
-2-
1.1 简单旋转体
-3-
1.1 简单旋转体
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
1.理解球、圆柱、圆锥、圆台的有关概念,初步掌握运用旋转的 观点去观察问题. 2.理解旋转体的轴截面在几何体中的作用,会利用旋转体的轴截 面解决有关计算问题.
-5-
1.1 简单旋转体
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
2.几种简单几何体的比较
名称 定义 相关概念 图形表示 球心:半圆的圆心 以半圆的直径 叫作球心; 所在的直线为 半径:连接球心和 旋转轴,将半 球面上任意一点 圆旋转所形成 的线段叫作球的 的曲面叫作球 半径; 面.球面所围 直径:连接球面上 成的几何体叫 的两点并且过球 作球体,简称 心的线段叫作球 球 的直径
-7-
1.1 简单旋转体
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
名称 定义 以直角三角形的一条 直角边所在的直线为 旋转轴,其余各边旋转 而形成的曲面所围成 的几何体叫作圆锥 以直角梯形垂直于底 边的腰所在的直线为 旋转轴,其余各边旋转 而形成的曲面所围成 的几何体叫作圆台
-4-
1.1 简单旋转体
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI

①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
②球面上任意三点可能在一条直线上；
③空间中到定点的距离等于定长的点的集合构成球面．
其中正确的命题序号为________． 答案 ③
解析 ①中作球的截面，在截面圆周上任取四点，则这四点在同一平面
内，所以①错；②球面上任意三点一定不能共线，所以②错；③由球的定义
可知③正确.
3＋3 y＝4xx，解此方程得 y＝9，因此，圆台的母线长为 9 cm.
答案
类题通法 处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻找各元素 的关系，常利用相似三角形去寻找等量关系.
[变式训练3] 圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是 3，则圆锥的高 与母线的长分别为________．
答案 3，2
在 Rt△DOF 中，OD＝ 102－82＝6. 所以 CD＝OC－OD＝8－6＝2.故这两个截面间的距离为 2.
[错因分析] 错解中由于考虑问题不全面而导致错误． 事实上，两个截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧．
[正解] 如图(1)(2)，设球的球心为 O，C，D 分别为两截面圆的圆心， AB 为经过 C，O，D 的球的直径，
提示
3．给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母 线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母 线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③
[解析] 球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正 确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错 误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误； 空间中到一定点距离等于定长的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所 以④错误．

① 球是以任意一条直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的几何体；
② 用任一平面去截球，截面是一个圆；
③ 过球的球心做球的截面，所得截面的半径与球的半径相等．
A．①
B．②
C．③
D．②③
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二、知识应用： 题型二 圆柱、圆锥、圆台的概念
例 2. 下列叙述中正确的个数是( A )
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
② 表示：圆锥用表示它的轴的字母表示，右图中圆锥表示为圆锥SO . ③ 结构特征：A.底面是圆面；
B.侧面展开图是以母线长为半径的扇形； C.母线相交于顶点； D.平行于底面的截面是与底面平行且半径不相等的圆面； E.轴截面是全等的等腰三角形.
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一、概念： 5. 圆台
① 定义：以直角梯形的垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面 所围成的几何体称为圆台.旋转轴叫做圆台的轴,在轴上这条边的长度称为圆台的高. 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的底面.不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面. 无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆台的母线 . 当然，圆台也可看作用一平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分.
② 表示：圆柱用表示圆柱的轴的字母表示，右图中圆柱表示为圆柱OO’. ③ 结构特征：A.底面是平行且半径相等的圆面；
B.侧面展开图是矩形； C.母线平行且相等； D.平行于底面的截面是与底面平行且半径相等的圆面； E.轴截面是全等的矩形.
新课学习
一、概念： 4. 圆锥
① 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所形成的曲面围成的几何体称为圆锥. 旋转轴称为圆锥的轴,在轴上这条边的长度称为圆锥的高. 垂直于轴的边旋转而成的曲面称为圆锥的底面. 不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为圆锥的侧面. 无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都称为圆锥的母线.

• 用集合的观球面点来描述，到定点的距离等于定 长的所有点的集合(轨迹)叫________．
• 特别提示：球和球面是两个不同的概念，球 面仅仅指球的表面；而球(球体)不仅包括球 的表面，同时还包括球面所包围的空间．因 此，用一个平面去截一个球，截面是圆面； 而用一个平面去截一个球面，截面是圆．
• (2)球的截面性质 • ①球心和截面圆心的连垂线直 ________于截面． • ②球心到截面的距离d与球半径R及截面圆的
•旋转轴叫作它们的轴，在轴上这条边(或它 的高 长度)叫作它们的________；垂直于轴的 底边面旋转而成的圆面叫作它们的________；不
侧垂面直于轴的边旋转而成的曲面叫作它们的 母_线_______，无论旋转到什么位置，这条边都 叫侧面的________．
• 2．圆柱、圆锥、圆台的结构特征与性质：
其余的纬线都是____圆． • ②球面距离
球面距离
• 在球面上，两点之间的最短距离，就是经过 两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．
• 1.有下列命题：
• ①在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，则 这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与 底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③过圆台侧面一点有无数条母线．
半径r有R2－如d2下关系r＝________， • 如图．
• (3)球的大圆、小圆及球面距离
• ①球的大圆、小圆
• 球面被经过球_心_____的平面截得的圆叫作球的 大球心圆；被不经过_____的平面截得的圆叫作
球的小圆．
•大把地球看作一个大 球时，经线是球面小上从北极
到南极的半个____圆，赤道是一个____圆，
3 易错疑难辨析 4 课时作业
课前自主预习
新华网太原 2014 年 12 月 7 日电：12 月 7 日 11 时 26 分， 中国在太原卫星发射中心用“长征四号”运载火箭发射把中巴 地球资源卫星准确送入预定轨道．这是中国今年的多次卫星成 功发射，也是长征系列运载火箭的第 200 次飞行．众所周知， 要发射卫星必须要有大推力的运载火箭，那么运载火箭什么模 样？

棱锥的侧棱所在的直线交于一点.
【例3】判断以下说法是否正确： (1)侧棱长都相等的棱锥是正棱锥. (2)底面是正多边形,各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥. (3)四面体的每一个面都可以作为棱锥的底面. (4)棱锥的各侧棱长相等. (5)正六棱锥的侧棱比底面正多边形的边长. 【审题指导】对于(1)(2)可根据正棱锥定义，从以下两个要 点判断：①底面是正多边形；②各侧面全等.对于(3)要注意 三棱锥也叫作四面体，对于(4)可举反例说明其错误.
【方法技巧】巧化未知为已知 长方体棱长和体对角线长的关系公式为l a2b2c2， 此公式的推导利用了长方体中体对角线与棱构成的直角三 角形，体现了化立体几何问题为平面几何问题的思想方 法，这种思想方法对于解决立体几何问题是十分重要的.
三、解答题(每题8分，共16分) 7.如图所示，AB⊥CD，CD∥AE，将五边形ABCDE绕AE所在的 直线旋转一周，由此得到的几何体是由哪些几何体构成的？ 你能否画出这个几何体的大致形状？
(A)8,12,6
(B)8,10,6
(C)6,9,5
(D)8,12,5
【解析】选A.根据四棱柱的结构特征可知四棱柱有8个顶点，
12条棱，6个面.
4.如图，将直角梯形ABCD绕AB边 所在的直线旋转一周，由此形成 的几何体是由____、_____等简单几何体构成的. 【解析】将直角梯形ABCD绕AB 边所在的直线旋转一周，形成 的几何体如图所示，是由圆 锥、圆柱构成的. 答案：圆锥 圆柱
图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体. …………………………………………………… 8分
图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体；旋转360°，旋转 轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角 形旋转得到的圆锥内. …………………………………12分

思考探究
用一个平面截半径为25cm的球，截面面积是
225

c㎡,则球心到截面的距离
思考探究
用一个平面截半径为25cm的球，截面面积是
225

c㎡,则球心到截面的距离
20cm
垂径定理：球心到截面的距离d与 球的半径R及截面圆的半径r满足 勾股定理，即
25
A
O
d R r
2
2
O'
今日作业
1.1
简单旋转体·评价练习
祝同学们:
努力学习 天天向上
高
底面
想一想：
（1）圆柱、圆锥、圆台之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
想一想：
（2）用一个平面去截一个球,截面是什么? 圆面
O
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。
球面被不过球心的截面截得的圆叫球的小圆。
想一想：
（3）圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别是什么图形？
小试牛刀
1.用一个平面去截一个几何体，各个截面都是
③连接圆柱上下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线； ④圆柱任意两条母线互相平行。
A.1 B.2 C.3 D.4
小试牛刀
5．将图1所示的三角形绕着直线l旋转一周，可以
得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（
B）
小试牛刀
6．图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的（
A
）
课堂小结：
（1）知识小结：
（2）数学思想方法：
分组讨论，合作交流
（1)请同学们观察球、圆柱、圆锥、 圆台，分组讨论，总结概括出球、圆 柱、圆锥、圆台的定义、表示方法及 结构特征等。 (2)请各小组选代表上台交流。
1. 球

4、一个平面可以把空间分成两部分. (
7
§1.简单几何体
导入：三维空间是人类生存的现实空间，生活
中蕴涵着丰富的几何体，我们的生活空间有各 式各样的几何体，请大家欣赏下列图形。
8
9
我们最熟悉的几何体是长方体。在如图1-1所示
的长方体中，相对的两个面ABCD和A′B′C′D′所 在的平面是无公共点的，我们称无公共点的两 个平面是平行的；棱AA′所在直线和棱AB、棱 AD分别垂直，事实上，棱AA′所在直线与 ABCD所在平面内任意一条直线都垂直，我们 把直线和平面的这种关系称为直线与平面垂直. 长方体是数学中最基本的几何图形，在后面的 学习中，将发挥重要作用.
29
例题讲解
直角三角形绕其一边旋转一周所形 成的几何体是否一定是圆锥． [分析] 概念辨析题要紧扣定义，抓准差 别进行判断，圆锥定义中要求以直角三角 形的一条直角边所在直线为轴旋转． [解析] 不一定，当绕其直角边旋转时形 成圆锥，当绕其斜边旋转时形成同底的两 个圆锥．
[例1]
30
13
一条平面曲线绕它所在的平面内的
一条直线旋转所形成的曲面叫做旋 转面； 封闭的旋转面围成的几何体叫做旋 转体。 显然，球面是旋转面，球体是旋转 体
14
二、圆柱、圆锥、圆台
问题1:如图所示：已知线段AB垂直于直线L
于A点，如果把线段AB绕着点A旋转一周， 且在线段AB在旋转的过程中始终与直线L垂 直，那么线段AB在旋转的过程中所形成的图 形会是什么呢？
β α 记为：平面α C O A 记为：平面ABC B 记为：平面圆O
6
A
B 记为：平面ABCD 或平面AC、平面BD
记为：平面β
练习1、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的 题号后打 ，否则打 : 1、一个平面长可以为4 米，宽 可以为2 米； 2、平面没有边界，但有厚度； 3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( ( ) ) ) ( )

解析：把圆柱的侧面沿 AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形， 如图所示，连接 AB′，则 AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．
∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且 AA′＝2π×1＝2π， ∴AB′＝ A′B′2＋AA′2＝ 4＋2π2＝2 1＋π2， ∴蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋π2.
解析：(2)当截面过底面直径时，截面如图①；当截面不过底面直径 时，截面如图⑤.
答案：①⑤
题型三 空间几何体中的计算问题——微点探究 微点 1 有关旋转体的侧面展开图的计算 例 2 如图，底面半径为 1，高为 2 的圆柱，在 A 点有一只蚂蚁， 现在这只蚂蚁要围绕圆柱由 A 点爬到 B 点，问蚂蚁爬行的最短距离柱转两圈，如图所示，则它爬行 的最短距离是多少？
解析：可把圆柱展开两次，如图，则 AB′即为所求，AB＝2，BB′ ＝2×2π×1＝4π，
∴AB′＝ AB2＋BB′2＝ 4＋16π2＝2 1＋4π2. 所以蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋4π2.
状元随笔 解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么 样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧 面展开图：
跟踪训练 1 (1)一个直角三角形绕其斜边所在直线旋转 360°形成 的空间几何体是( )
A．一个圆锥 B．一个圆锥和一个圆柱 C．两个圆锥 D．一个圆锥和一个圆台
解析：(1)一个直角三角形绕其斜边所在直线旋转 360°得到的旋转体 为两个同底的圆锥的组合体．
答案：C
(2)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为 底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截 这个几何体，则截面图形可能是________．(填序号)
跟踪训练 2 圆锥底面半径为 1 cm，高为 2 cm，其中有一个内 接正方体，求这个内接正方体的棱长．

).
(2)下列说法正确的是(
).
A.直线绕定直线旋转形成柱面
B.半圆面绕定直线旋转形成球体
C.矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱
D.圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的
解析:(2)当直线与定直线平行时,直线绕定直线旋转才形成柱
面,故A错误;半圆面以其直径所在直线为旋转轴旋转才形成
球体,故B错误;矩形绕其对角线所在直线旋转,不能围成圆柱,
是解答旋转体中计算问题的关键.
旋转体的生成过程
【典例】 如图6-1-7,四边形ABCD为直角梯形,试作出绕其各
条边所在的直线旋转所得到的几何体.
图6-1-7
审题策略
审结论
分别以边 AD,AB,BC,CD 所在直线为旋转轴旋转
审条件
已知四边形 ABCD 为直角梯形
建联系
以边 AD 所在直线为旋转轴旋转→以边 AB 所在
转而成?
提示:能.
3.如何形成上述几何体的曲面?
提示:可分别以半圆的直径、直角梯形垂直于底边的腰、直
角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,旋转一周而成.
4.(1)定义:一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线
旋转一周所形成的曲面称为旋转面,封闭的旋转面围成的几
何体称为旋转体.
(2)球、圆柱、圆锥、圆台的概念及比较: 表6-1-2
个矩形面;②错误,圆台的母线延长后必相交于一点;③错误,
没有说明这两个平行截面与底面的位置关系,当这两个平行
截面与底面平行时,正确,其他情况则是错误的,如答图6-1-7.
答案:①
答图6-1-6
答图6-1-7
反思感悟 1.判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成.