鸡兔同笼问题-二元一次方程的应用

《应用二元一次方程组---鸡兔同笼》典型例题
例1要在155m的距离内安装25根水管，一种水管每根长5m，另一种水管每根长8m，问两种水管各需多少根，可以恰好铺设完？
例2甲、乙两人从相距28千米的两地同时相向出发，经过3小时30分钟相遇，如果乙先走2小时，然后甲才出发，这样甲经过2小时45分钟就与乙相遇，求甲、乙两人每小时各走多少千米？
参考答案
例1 分析 设5m 长的水管需x 根，8m 长的水管需y 根，则5m 长的水管总长为5x m ，8m 长的水管总长为8x m ，再利用两个数量关系来列方程．
解 设5m 长水管需x 根，8m 长的水管需y 根，根据题意，得
⎩⎨⎧=+=+.15585,25y x y x 解得⎩
⎨⎧==.10,15y x 答：5m 长的水管需15根，8m 长的水管需10根．
例 2 分析 相向而行相遇的问题一般可以找到两个关系，即两人所走的距离之和等于两地间的距离．
解 设甲的速度为x 千米/时，乙的速度为y 千米/时，根据题意可得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++=+,284114112,282727y x y y x 整理，得⎩⎨⎧=+=+)2( .1121911)1( ,8y x y x （2）－（1）×11，得.3248==y y ，把3=y 代入（1），得5=x .
答：甲的速度为5千米/时，乙的速度为3千米/时．。

包贝尔鸡兔同笼问题解法
包贝尔鸡兔同笼问题是一个经典的数学问题，其解法通常涉及到代数和方程的解法。

问题描述：一个笼子里有一些鸡和兔子，总共有35个头和94只脚，问鸡和兔子各有多少只？
解法：
1. 设鸡有 x 只，兔子有 y 只。

2. 根据题目条件，可以建立两个方程：
- 鸡和兔子的头的总数是 x + y = 35（方程1）
- 鸡和兔子的脚的总数是 2x + 4y = 94（方程2）
3. 解这个二元一次方程组，首先从方程1中解出 y = 35 - x。

4. 将这个结果代入方程2中，得到 2x + 4(35 - x) = 94。

5. 解这个方程，得到 x = 23。

6. 将 x = 23 代入方程1或方程2，得到 y = 12。

所以，笼子里有23只鸡和12只兔子。

第五章二元一次方程组3．鸡兔同笼一、教材分析《鸡兔同笼》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第五章《二元一次方程组》第三节.本节安排1个课时。

借助"鸡兔同笼"这一中国古代名题，让学生经历列二元一次方程组解决实际问题的过程，进行根据实际问题情境列二元一次方程组的训练，强化方程的模型思想，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力.，同时将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体。

当然，在题材的选择上，教科书注意了题材的现实性、科学性和趣味性；在题材的呈现顺序上，遵循了由易到难的原则，教学中，教师可以根据学生的生活实际和认知实际，选择更贴近学生实际的素材进行教学，此外，在教学过程中，教师应更多地关注学生的建模过程，关注学生是否能顺利地列出正确的二元一次方程组.二、学情分析●学生的年龄特点和认知特点初中二年级的学生，正处于少年期，已具备了初步的抽象、概括和分析问题解决问题能力，要培养他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志.鼓励他们大胆尝试，敢于发表自己的看法，以从中获得成功的体验，激发学习激情.●在学习本课之前，应具备的基础知识和基本技能(1)方程的思想;(2)能整体地系统地审清题意，找出等量关系;(3)能从具体问题中的数量关系列出二元一次方程组;(4)熟练解二元一次方程组.●学习者对即将学习的内容已经具备的水平(1)本课是在学生已对一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组解法有了足够的认识的基础上来学习的，也学过了列一元一次方程解决实际问题，因此，大部分学生学习本课应该没有太大的困难的.(2)初二的学生已经初步的具备了初步的抽象、想象、逻辑思维能力，初步的分析问题和解决问题的能力.三、教学目标●知识目标1、通过小组合作，分析“鸡兔同笼”等简单问题中的数量关系，学生能准确找出等量关系。

●能力目标2、通过列二元一次方程组解决实际问题的过程，总结方程组解决实际问题的一般步骤，体会方程（组）是刻画现实世界的有效模型，发展模型思想和应用意识。

二元一次方程解决鸡兔同笼的问题
鸡兔同笼问题是一个经典的数学问题，可以通过二元一次方程
来解决。

假设鸡的数量为x，兔的数量为y，根据题意可以得到两个
方程：
1. 鸡和兔的总数量，x + y = 总数。

2. 鸡和兔的腿的总数量，2x + 4y = 总腿数（因为鸡有2条腿，兔有4条腿）。

这样就得到了一个二元一次方程组，通过求解这个方程组，就
可以得到鸡和兔的数量。

首先，我们可以使用第一个方程解出一个变量，比如解出x，
得到x = 总数 y。

然后将这个结果代入第二个方程中，得到一个只
包含y的方程。

解出y之后，再将y的值代入x = 总数 y 中，就
可以得到x的值。

通过这种方法，就可以求解出鸡和兔的数量。

需要注意的是，
解出的结果必须是正整数，因为鸡和兔的数量不能是负数或小数。

除了代数方法，还可以通过列出可能的组合来解决鸡兔同笼问题。

通过列出不同鸡兔数量的组合，计算它们的腿的总数量，然后找到符合题意的组合。

这种方法虽然比较直接，但对于大数量的情况会比较繁琐。

总之，二元一次方程是解决鸡兔同笼问题的有效数学工具，可以通过代数方法或列举法来求解鸡和兔的数量。

希望这个回答能够全面地解释二元一次方程如何解决鸡兔同笼问题。

第七章二元一次方程组3 二元一次方程组的应用第1课时“鸡兔同笼”问题夯基础1.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺?可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是 ( )A{y−x=4.5,2x−y=1B{x−y=4.5,2x−y=1C.{x−y=4.5,y2−x=1D.{y−x=4.5, x−y2=12.小慧去花店购买鲜花，若买5枝玫瑰和3枝百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3枝玫瑰和5枝百合，则她所带的钱还缺4元，若只买8枝玫瑰，则她所带的钱还剩下 ( )A.31元B.30元C.25元D.19元3.五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人，则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为 ( )A.30B.26C.24D.224. 2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱.已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元.这两种毛绒玩具的单价各是多少元?练能力1.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个?其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个.问：苦、甜果各有几个?设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为 ( )A.{x+y=1000,47x+119y=999B.{x+y=1000,74x+911y=999C.{x+y=1000,7x+9y=999D.{x+y=1000,4x+11y=9992.为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛.组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子?设有x张桌子，有y条凳子，根据题意所列方程组正确的是( )A.{x+y=40,4x+3y=12B.{x+y=12,4x+3y=40C.{x+y=40,3x+4y=12D.{x+y=12,3x+4y=403.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆.现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆，据题意可求得中型汽车有辆,小型汽车有辆.4.我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两.银子共有两.5.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何?意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱.问有多少人，物品的价值是多少?该问题中物品的价值是钱.6.[2022·泰安泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A 种茶20盒,B种茶15盒,共花费5100元.求第一次购进的A，B两种茶每盒的价格.7. “绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg.(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶.问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克?参考答案夯基础1.D2.A3.B4.解：设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，依题意，得{x+2y=400,3x+4y=1000,解得{x=200,y=100.答：冰墩墩毛绒玩具的单价为200元，雪容融毛绒玩具的单价为100元. 练能力1.A2.B3.12 184.465.536.解：设第一次购进A种茶每盒x元，B种茶每盒y元，根据题意，得{30x+20y=6000,1.2x×20+1.2y×15=5100.解得{x=100,y=150.答:A种茶每盒100元,B种茶每盒150元.7.解：(1)设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg.由题意，得{x+y=62,x=2y−4,解得{x=40,y=22.答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40 mg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22mg；(2)50000×40=2000 000(mg)=2kg,答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克.。

鸡兔同笼问题二元一次方程
一、鸡兔同笼问题概述
1. 问题描述
- 鸡兔同笼是中国古代的数学名题。

它的典型情况是知道鸡和兔的总头数和总脚数，求鸡和兔各有多少只。

例如：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这里的“雉”就是鸡。

2. 设未知数的方法
- 设鸡有x只，兔有y只。

3. 建立方程的依据
- 根据头数关系：鸡和兔的总头数为已知数，可得到方程x + y=总头数。

- 根据脚数关系：因为每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，所以可得到方程
2x+4y=总脚数。

二、题目及解析
1. 题目
- 今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？
2. 解析
- 设鸡有x只，兔有y只。

- 根据头数关系可列方程x + y=35，这表示鸡和兔的总数是35只。

- 根据脚数关系可列方程2x + 4y=94，因为鸡有2只脚，兔有4只脚，它们的脚的总数是94只。

- 由x + y=35可得x = 35 - y。

- 将x = 35 - y代入2x+4y = 94中，得到2(35 - y)+4y=94。

- 展开括号得70 - 2y+4y = 94。

- 移项合并同类项得2y=94 - 70，即2y = 24，解得y = 12。

- 把y = 12代入x = 35 - y，得x = 35 - 12=23。

- 所以鸡有23只，兔有12只。

备考2024年中考数学一轮复习-二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题-填空题专训及答案二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题填空题专训1、(2015北京.中考真卷) 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为________ .2、(2020张家港.中考模拟) 《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为________．3、(2017大连.中考真卷) 某班学生去看演出，甲种票每张30元，乙种票每张20元，如果36名学生购票恰好用去860元，设甲种票买了x张，乙种票买了y张，依据题意，可列方程组为________．4、(2014苏州.中考真卷) 某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天．设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，则（x+y）的值为________．5、(2016盐城.中考真卷) 李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需________分钟．6、(2012南通.中考真卷) 甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元，若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了________张．7、(2017昌平.中考模拟) 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，《孙子算经》共有三卷．第三卷里有一题：“今有兽，六首四足；禽，四首二足，上有七十六首，下有四十六足．问：禽、兽各几何？”译文：“现在有一种野兽，长有六头四足；有一种鸟，长有四头两足，把它们放一起，共有76头，46足．问野兽、鸟各有多少只？”设野兽x只，鸟y只，可列方程组为________．8、(2016孝义.中考模拟) 方程术是《九章算术》最高的数学成就，《九章算术》中“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛（古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，…”译文：“已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，…”则一个大桶和一个小桶一共可以盛酒________斛．9、(2020长春.中考模拟) 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？译文：假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为________．10、(2019城.中考模拟) 植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树苗3棵，女生每人种树苗2棵，则男同学的人数为________ 人．11、(2018盐城.中考模拟) “六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套.已知2 套文具和3 套图书需104 元，3 套文具和2 套图书需116 元，则1 套文具和1 套图书需________元．12、(2018金华.中考模拟) 如图，在长为10m，宽为8m的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．则其中一个小矩形花圃的周长是________ m．13、(2017青岛.中考模拟) 某文化用品商店计划同时购进一批A、B两种型号的计算器，若购进A型计算器10只和B型计算器8只，共需要资金880元；若购进A型计算器2只和B型计算器5只，共需要资金380元．则A型号的计算器的每只进价为________元．14、(2018青岛.中考真卷) 5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为________．15、(2017天门.中考真卷) “六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需________元．16、(2020贵州.中考真卷) 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为________．17、(2018遵义.中考真卷) 现有古代数学问题：“今有牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两，则一牛一羊值金________两．18、(2019长春.中考模拟) 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有八十足．问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，请将题中数量关系用二元一次方程组列出得________．19、(2020启东.中考模拟) 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家程大位．在其中有这样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文：有100名和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设有大和尚x人，小和尚y人，可列方程组为________．20、(2021攸.中考模拟) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒.问可以买斗醇酒和斗行酒.二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题填空题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：16.答案：17.答案：18.答案：19.答案：20.答案：。

第五章二元一次方程组
3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
一、教学目标
1.分析“鸡兔同笼”等简单问题中的数量关系，准确找出等量关系.
2.掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.
3.在经历和体验运用方程（组）解决实际问题的过程中，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生抽象、概括、分析解决实际问题的能力.
4.进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.
二、教学重难点
重点：分析“鸡兔同笼”等简单问题中的数量关系，准确找出等量关系.
难点：掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【引例】雉兔同笼题为：
“今有鸡兔同笼,上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何? ”
教师活动：
问题1：题中有哪些等量关系呢？
预设答案：鸡头+兔头＝35，
鸡脚+兔脚＝94.
问题2：你能解决这个有趣的问题吗？
引导：你能根据得到的等量关系，用方程组解决这个问题吗？
预设答案：
列出方程组：
35 2494. x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
问题3：你会计算这个方程组吗？预设答案：
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第116页。

“鸡兔同笼”补遗北师大版八年级（上）第五章第三节介绍了《应用二元一次方程组-——鸡兔同笼》,本文再介绍与之相关的一些知识,供同学们学习时参考．今有雉兔同笼，上有三十五头．下有九十四足，问雉兔各几何？它出自我国古代数学著作《孙子算经》中著名的“雉兔同笼”问题．书中给出的解法是:“上置头，下置足,半其足,以头除（此处‘除’之意为‘除去’即减去）足，以足除头，即得．”书中先设“金鸡独立”，玉兔双腿（即“半其足”)，这时共有腿数为94÷2 = 47．在这47条腿中,每数一条腿应该有一只鸡，而每数两条腿才有一只兔,所以：兔数为 47－35 = 12，即“以头除足”．鸡数为 35－12 =23．这道题用列二元一次方程组的方法可以很容易求解：设鸡有x 只，兔有y 只，则由题意，可得352494.x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得2312x y =⎧⎨=⎩． 我们再把这个解法一般化：在一般情况下，设鸡有x 只,兔有y 只，A 为鸡、兔总共只数，B 为鸡、兔总共足数．则24.x y A x y B +=⎧⎨+=⎩解之，可得22.2B x A B y A ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 这就是说，兔数为腿数的二分之一(半其足），与总头数之差（以头除足）．在古代朱世杰《算学启蒙》（1299年）《永乐大典》中的《丁巨算法》（1355年）严恭《通原算法》中,也载有鸡兔同笼问题，朱世杰的解法与《孙子算经》不同,而与现代的算术解法则几乎完全一样．今有鸡兔100,共足272只，只云鸡足二，兔足四，问鸡兔各几何？其解法是：“列一百，以兔足乘之，得数内减共足余一百二十八为实，列鸡、兔足以少减多余二为法而一得鸡，反减一百即兔，合问．”又术曰：“倍一百以减共足余半之即兔也．”此即：鸡数 (100×4－272）÷（4－2） = 64．兔数 100－64 = 36．或兔数 （272－100×2）÷2 = 36．鸡数 100－36 = 64．吴敬《九章算法比类大全》（1450年）卷六也载有几个很有趣味的类似的诗词古体算题，如争强斗胜八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒．两处争强来斗胜，二相胜负正交加．三十六头齐厮打，一百八手乱相抓．旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？吴敬原书的解法：置列互乘对减得 108×3－36×6 = 108为被除数，3×8－1×6 = 18为除数，故：夜叉数为108÷18 = 6．哪吒数为（36－6）÷3 = 10．此法与现在的方程组解法相类似：设夜叉数为x ，哪吒数为y ，则86108.336x y x y +=⎧⎨+=⎩解得6.10x y =⎧⎨=⎩“鸡兔同笼”问题，在我国民间流传十分广泛，民间流传有“野鸡兔子四十九,一百条腿地下走．借问英贤能算士,野鸡兔子各多少？（请同学们自己列方程组解答）．下面这道题是流传于我国民间的“板凳木马问题”它同“鸡兔问题”很相似．板凳木马三十三，共足一百单；请问能算者，它们各若干？这道题的意思是:板凳木马的总数是33个,腿的总数是101条．板凳、木马各有多少个？（注：板凳4条腿，木马3条腿）解：设有板凳x 个，木马y 个,根据题意，得33,43101.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得2,31.x y =⎧⎨=⎩即板凳有2条，木马有31个． 在李汝珍(约公元1763 － 1830）著的古典小说《镜花缘》中有这样一段趣味故事：宗伯府的女主人卞宝云邀请众女才子们到府中的小鳌山观灯．当众才女在一片音乐声中来到小鳌山时，只见楼上楼下俱挂着许多灯球,五彩缤纷，秀丽壮观，宛如列星，高低错落．一时竟难分辨其有灯多少，卞宝云请精通筹算的才女米兰芬，算一算楼上楼下大小灯球的数目．她告诉米兰芬：“楼上的灯有两种;一种上做三个大灯球，下缀六个小灯球；另一种上做三个大灯球，下缀18个小灯球．楼下的灯也分两种：一种一个大球下缀两个小球；另一种是一个大球下缀四个小球．”她请米兰芬算一算楼上楼下大小灯球各多少盏?米兰芬想了一想，请宝云命人查一查楼上楼下大小灯球各多少个．查的结果是：楼上大灯球396个，小灯球1440个;楼下大灯球360个，小灯球1200个．米兰芬采用《孙子算经》中雉兔同笼“的解法,先算楼下的:一大四小灯的盏数：1200÷2－360 = 240．一大二小灯的盏数:360－240 = 120．楼上三大十八小的盏数：(1440÷2－396）÷6 = 54．三大六小的盏数：（396－3×54）÷3 = 78．用列二元一次方程组的方法求解如下：解：设楼下一个大球下缀两个小球的灯有x 盏，一个大球下缀四个小球的灯有y 盏，根据题意，得360,241200.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得120,240.x y =⎧⎨=⎩答：（略）．请同学们用同样的方法算一算楼上两种灯的盏数．在我国明朝永乐年间,由翰林学士解缙等人编撰的《永乐大典》中也有类似的题目，请看下面这道题： 钱二十贯,买四百六十尺，绫每尺四十三，罗每尺四十四．问绫、罗几何？这道题的意思是：用20贯钱买了460尺绫和罗，绫的价格是每尺43文,罗的价格是每尺44文．问买了绫、罗各多少尺?（贯：古代货币单位；文：古代货币单位．1贯＝1000文；尺：已经废止使用的市制长度单位．）经过我们仔细地观察、比较，可以发现，此题也可以归为“鸡兔问题”来求解．解：设买绫x 尺，买罗y 尺，根据题意，得460,434420000.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得240,220.x y =⎧⎨=⎩即买绫240尺，买罗220尺． 在《九章算术》中的：“玉石问题”也属于这一类:今有玉方一寸,重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并一十一斤．问玉、石各重几何?（斤、两：都是已经废止使用的重量单位．古代，1斤＝16两；寸：是已经废止使用的市制长度单位．）这道题的意思是：宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两．现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，重量是11斤．在这个正方体中的宝玉和石料各重多少两？解：设这个正方体中宝玉x 寸，石料y 寸，根据题意,得33,76176.x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 解得14,13.x y =⎧⎨=⎩则有宝玉：14×7＝98（两），石料：13×6＝78（两)．答：（略）中国的鸡兔问题后来传到了日本．日本江户时代出版社出版的《算法童子问》一书中就有许多类似这样解法的题目．下面这道题就是这本书中比较典型的一道：院子里有狗,厨房的菜墩上有章鱼．狗和章鱼的总头数是14,总足数是96，求狗和章鱼各有多少．（注：章鱼有8只足．）解:设狗有x 条,章鱼有y 尾，根据题意,得14,4896.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得4,10.x y =⎧⎨=⎩即有狗4条，有章鱼10尾．列一次方程组解“鸡兔问题”的方法你学会了吗？下面的题目请你尝试一下:1． 鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露；看来脚有一百只，几多鸡儿几多兔．2． 一千官兵一千布，一官四尺无零数；四兵才得布一尺,请问官兵多少数？答案：1．14只兔，22只鸡．2．200军官，800士兵．。

鸡兔同笼的例题假设法
鸡兔同笼问题是一个经典的数学问题，可以用假设法来解决。

假设笼子里有 x 只鸡和 y 只兔，根据题目条件可得：
1. 鸡和兔的总只数为 n，即：x + y = n；
2. 鸡和兔的腿的总数为 m，即：2x + 4y = m。

根据这两个方程式，我们就可以利用二元一次方程组求解的方法解出 x 和 y 的值，从而得到笼子里鸡和兔的数量。

首先将第一个方程式乘以 2，然后将其与第二个方程式相减，可得：
2x + 2y - (2x + 4y) = 2n - m
化简可得：
-2y = 2n - m
移项可得：
y = (m - 2n) / 2
将 y 的值带入第一个方程式中，可得：
x = n - y
将 x 和 y 的值代入原方程中，即可求出鸡和兔的数量。

需要注意的是，当 m 和 n 不符合题目条件时，即使使用假设法也无法得出正确的答案。

此时需要排除这种情况，或者在结果中加入判断条件，以保证答案的正确性。

第五章二元一次方程组3．鸡兔同笼一、教材剖析《鸡兔同笼》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第五章《二元一次方程组》第三节 .本节安排 1 个课时。

借助 "鸡兔同笼 "这一中国古代名题，让学生经历列二元一次方程组解决实质问题的过程，进行依据实质问题情境列二元一次方程组的训练，加强方程的模型思想，培育了学生列方程（组）解决实质问题的意识和应用能力 .，同时将解方程组的技术训练与实质问题的解决融为一体。

自然，在题材的选择上，教科书注意了题材的现实性、科学性和兴趣性；在题材的表现次序上，按照了由易到难的原则，教课中，教师能够依据学生的生活实质和认知实质，选择更切近学生实质的素材进行教课，别的，在教课过程中，教师应更多地关注学生的建模过程，关注学生能否能顺利地列出正确的二元一次方程组 .二、学情剖析学生的年纪特色和认知特色初中二年级的学生，正处于少年期，已具备了初步的抽象、归纳和剖析问题解决问题能力，要培育他们敢于面对挑战和勇于战胜困难的意志.鼓舞他们勇敢试试，敢于发布自己的看法，以从中获取成功的体验，激发学习激情.在学习本课以前，应具备的基础知识和基本技术(1)方程的思想 ;(2)能整体地系统地审清题意，找出等量关系 ;(3)能从详细问题中的数目关系列出二元一次方程组 ;(4)娴熟解二元一次方程组 .学习者对马上学习的内容已经具备的水平(1)本课是在学生已对一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组解法有了足够的认识的基础上来学习的，也学过了列一元一次方程解决实质问题，所以，大多数学生学习本课应当没有太大的困难的.(2)初二的学生已经初步的具备了初步的抽象、想象、逻辑思想能力，初步的剖析问题和解决问题的能力.三、教课目的知识目标1.在详细问题的解决过程中提升学生的解二元一次方程组的技术；能力目标1.使学生掌握运用方程组解决实质问题的一般步骤，让学生亲身经历和体验运用方程（组）解决实质问题的过程，进一步领会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培育学生的抽象、归纳、剖析解决实质问题的能力;感情目标1.进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成踊跃参加数学活动、主动与别人合作沟通的意识.2．经过 "鸡兔同笼 " ，把同学们带入古代的数学识题情形，学生领会到数学中的 "趣 "；进一步重申讲堂与生活的联系，突出显示数学教课的实质价值，培育学生的人文精神；经过对祖国文明史的认识，培育学生爱国主义精神，建立为中华兴起而学习的信心 .教课重点依据等量关系列二元一次方程组解应用题.教课难点1.读懂古算题 ;2 依据题意找出等量关系，列出方程.四、教课方式采纳 "问题情境—成立模型—解说—应用与拓展 " 的模式睁开教课 .充足利用实质问题、古代的趣题，尽可能增添教课过程的兴趣性、实践性；利用多媒体课件和实物等丰富学生的学习资源，生动开朗地展现所学内容；重申学生的动脑思考和主动参加，经过丰富多彩的集体议论、小组活动，以合作学习促自主研究.五、教课媒体和教课技术采纳本次教课需要实物教具：细绳一条；多媒体课件协助教课.实物教具和多媒体课件分别在本课"建立问题情境 "，"成立模型 "，"解说应用"，"拓展 "，"感悟与收获 "等环节中获取应用，它们的使用能够更好地帮助学生体会应用，使学生的学习资源更加丰富.六、教课活动过程（一）教课准备阶段1.准备多媒体课件；制作 "鸡兔同笼 "、 "以绳测井 "等一系列图片、动画 .2.课前让学生准备细绳一条，以使他们领会什么是三折、四折等.3.让学生查词典，认识 "雉 "字.（二）整个教课过程表达本节课主要为数学教课活动，课题："鸡兔同笼 "，共需 1 课时， 40--45 分钟达成 .依据过去经验，在本节课的第一环节 "建立问题情境 "简单出现阻碍，此时要修业生在实质情境中，考虑怎么用两个未知数列方程组，解决实质问题。