第12讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。

2. 培养学生运用计数原理解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过合作交流，提高思维能力和创新能力。

二、教学内容1. 分类加法计数原理：（1）了解分类加法计数原理的概念。

（2）学会运用分类加法计数原理解决问题。

2. 分步乘法计数原理：（1）了解分步乘法计数原理的概念。

（2）学会运用分步乘法计数原理解决问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）分类加法计数原理的应用。

（2）分步乘法计数原理的应用。

2. 教学难点：（1）理解分类加法计数原理的含义。

（2）理解分步乘法计数原理的含义。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究。

2. 运用实例分析，让学生直观理解计数原理。

3. 组织小组讨论，培养学生合作交流能力。

五、教学准备1. 课件、黑板、粉笔等教学工具。

2. 相关实例和练习题。

教案内容：一、分类加法计数原理1. 导入：通过生活中的实例，如“统计班级男生女生人数”，引出分类加法计数原理。

2. 讲解：解释分类加法计数原理的概念，即把总数分成几个部分，分别计算每个部分的数量，再相加得到总数。

3. 练习：让学生运用分类加法计数原理解决实际问题，如“统计学校三个年级的学生总数”。

二、分步乘法计数原理1. 导入：通过实例“做一批玩具，每组有5个，一共要做3组”，引出分步乘法计数原理。

2. 讲解：解释分步乘法计数原理的概念，即每步的数量相乘得到最终结果。

3. 练习：让学生运用分步乘法计数原理解决实际问题，如“做一批玩具，每组有5个，一共要做4组，需要多少个玩具？”教学过程：一、分类加法计数原理1. 引导学生思考生活中的计数问题，如统计人数、物品数量等。

2. 讲解分类加法计数原理的概念和步骤。

3. 让学生举例说明并计算。

二、分步乘法计数原理1. 引导学生思考生活中的计数问题，如制作玩具、做饭等。

2. 讲解分步乘法计数原理的概念和步骤。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案一、教学目标1. 让学生理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。

2. 让学生学会运用分类加法计数原理和分步乘法计法原理解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 分类加法计数原理：（1）概念介绍：同一类对象的数量相加得到总数。

（2）实例讲解：学校举办运动会，参加跑步的有20人，参加跳高的有15人，参加跳远的有10人，请问参加运动会的总人数是多少？a. 班级里有男生30人，女生20人，请问班级里总共有多少人？b. 图书馆里有小说50本，科普书籍30本，请问图书馆里总共有多少本书？2. 分步乘法计数原理：（1）概念介绍：完成一项任务需要多个步骤，每个步骤的数量相乘得到总数量。

（2）实例讲解：做一份报纸，需要先排版（10分钟），印刷（20分钟），装订（10分钟），请问完成这份报纸需要多长时间？a. 制作一个蛋糕，需要打发鸡蛋（10分钟），加入面粉和糖（5分钟），烘烤（20分钟），请问制作一个蛋糕需要多长时间？b. 工厂生产一批玩具，每台机器每小时可以生产10个玩具，共有3台机器工作，请问每小时可以生产多少个玩具？三、教学方法1. 采用讲授法，讲解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及应用。

2. 利用实例讲解，让学生更好地理解计数原理。

3. 设计练习题，让学生动手实践，巩固所学知识。

四、教学评价1. 课堂问答：检查学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解。

2. 练习题解答：评价学生运用计数原理解决问题的能力。

3. 课后作业：布置相关题目，让学生进一步巩固所学知识。

五、教学资源1. PPT课件：展示分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念及实例。

2. 练习题：提供丰富的练习题，让学生动手实践。

3. 教学视频：可选用的相关教学视频，辅助学生理解计数原理。

4. 黑板、粉笔：用于板书关键词和讲解实例。

六、教学步骤1. 引入新课：通过一个简单的实例，让学生感受分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用。

一、分类的原则分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类时要注意两条基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须分为相应的类；二是不同类的任何方法必须是不同的方法，只要满足这两条基本原则，就可以确保计数的不重不漏．二、分类原理完成一件事，有n类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，…，在第n类方法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有不同的方法。

注：每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事。

三、分类原理题型比较杂乱，几种常见的现象有①开关现象：要根据开启或闭合开关的个数分类；②数图形个数：根据图形是由几个单一图形组合而成进行分类求情况数；③球赛得分：根据胜或负场次进行分类。

四、分类原理题型比较杂乱，几种常见的现象有：①开关现象：要根据开启或闭合开关的个数分类；②数图形个数：根据图形是由几个单一图形组合而成进行分类求情况数；③球赛得分：根据胜或负场次进行分类。

特别提醒:①明确题目中所指的"完成一件事"是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算完成这件事．②完成这件事的n种方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．③确立恰当的分类标准，准确地对这件事进行分类，要求第一种方法必定属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须做到既不重复也不遗漏．④分类加法计数原理的集合表述形式：做一件事，完成它的办法用集合S表示，S被分成n类办法，分别用集合种不同的方法，即集合个元素，那么完成这件事共有的方法，即集合S中的无素的个数为。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理【基础知识】1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N ＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．[难点正本疑点清源]分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列、组合问题的基础并贯穿始终．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”．而分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”．【题型讲解】题型一分类加法计数原理的应用分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．例1高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？思维启迪：用分类加法计数原理．解(1)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165种选法．(2)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．综上知，共有30＋30＋20＝80种选法．例2 王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？[解析] 从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类：第一类：从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法．根据分类加法计数原理，所以从口袋中任取一张英语单词卡片的方法种类为30＋20＝50(种). 例3 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？[分析] 该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类．[解析] 解法一：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 解法二：按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．例4 方程x 2m ＋y 2n＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，其中m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？解 以m 的值为标准分类，分为五类．第一类：m ＝1时，使n >m ，n 有6种选择；第二类：m ＝2时，使n >m ，n 有5种选择；第三类：m ＝3时，使n >m ，n 有4种选择；第四类：m ＝4时，使n >m ，n 有3种选择；第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择．∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法，即有20个符合题意的椭圆．题型二分步乘法计数原理的应用探究提高利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．例1已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数有多少个？[解析]圆方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别有3种，4种，2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．例1有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．思维启迪：可以根据报名过程，使用分步乘法计数原理．解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．例1已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图像开口向上的二次函数．解(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx ＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．(2)y＝ax2＋bx＋c图像的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图像开口向上的二次函数．例1(1)有5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法？(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践，则有多少种不同分配方案？[解析](1)中要完成的事件是把5本书全部借给3名学生，可分5个步骤完成，每一步把一本书借出去，有3种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)不同的借法．(2)中要完成的事件是把3名学生分配到5个车间中，可分3个步骤完成，每一步分配一名学生，有5种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝5×5×5＝53＝125(种)不同的分配方案.题型三两个原理的综合应用例1一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书(1)从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？[解析](1)从书架上任取一本书，有三类方法：第一类方法：从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法；第二类方法：从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法；第三类方法：从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法．只要在书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法计数原理知，不同的取法共有N＝5＋3＋2＝10(种)．(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，可以分成三个步骤完成：第一步：从书架上层取一本数学书，有5种不同的方法；第二步：从书架中层取一本语文书，有3种不同的方法；第三步：从书架下层取一本英语书，有2种不同的方法．由分步乘法计数原理知，不同的取法共有N＝5×3×2＝30(种)．所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，共有30种不同的取法．例1一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种．[答案]920[解析]由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共5＋4＝9种，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共5×4＝20种．例1现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？[解析](1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理共有5＋2＋7＝14种不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法．第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法，所以有10＋35＋14＝59种不同的选法．例1有三只口袋装小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？[解析]分为三类：一类是取白球、黑球，有5×6＝30种取法；一类是取白球、红球，有5×7＝35种取法；一类是取黑球、红球，有6×7＝42种取法．∴共有取法：30＋35＋42＝107(种)．例1如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．思维启迪：染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题．解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色．第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C 是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．方法三按所用颜色种数分类．第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2×A45＋A35＝420(种)．探究提高用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析．例1有一项活动，需在3名老师、8名男生和5名女生中选人参加．(1)若只需1人参加，有多少种不同选法？(2)若需老师、男生、女生各一人参加，有多少种不同的选法？(3)若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同的选法？解(1)分三类：取老师有3种选法；取男生有8种选法；取女生有5种选法，故共有3＋8＋5＝16种选法．(2)分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生，故共有3×8×5＝120种选法．(3)分两步：第一步选老师，第二步选学生．对第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，故共有3×(8＋5)＝39种选法．对两个基本原理的特殊题型典例：(1)(5分)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有() A．24种B．4种C．43种D．34种(2)(5分)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种．易错分析解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算．解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种，没有注意．．．．到一封信只能投在一个信箱中．．．．．．．．．．．．．；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理计算．解析(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法．(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(种)．答案(1)C(2)7温馨提醒(1)每封信只能投到一个信箱里，而每个信箱可以装1封信，也可以装2封信，其选择不是唯一的，所以应注意由信来选择信箱，每封信有4种选择．(2)在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么．选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位奇数？[解析] 方法一：按末位是1,3,5分三类计数：第一类：末位是1，共有4×4×3＝48个；第二类，末位是3的共有3×4×3＝36个；第三类末位是5的共有3×4×3＝36个，由分类加法计数原理知共有48＋36＋36＝120(个)．方法二：符合条件的数有3×4×4×3－2×4×3＝120(个)．3．从6人中选4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙2个不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A．300种B．240种C．144种D．96种[答案] B[解析]能去巴黎的有4个人，依次去伦敦，悉尼，莫斯科的有5个人，4个人，3个人，故不同的选择方案为4×5×4×3＝240(种)．故选B.5．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有________种不同的播放方式．(结果用数值表示) [答案]48[解析]先安排首尾播放公益广告，共2种，再安排4种不同的商业广告共4×3×2×1＝24种，由分步乘法计数原理得24×2＝48种．方法与技巧1．分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．混合问题一般是先分类再分步．3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．失误与防范1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．3．确定题目中是否有特殊条件限制．1．(2011·大纲全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种答案 B解析依题意，就所剩余的一本画册进行分类计数：第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C24＝6(种)．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10(种)，选B.2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有________种．答案32解析每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5位同学全部报名结束，才算事件完成．所以共有2×2×2×2×2＝32(种)．3．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有走法种数为() A．6B．23 C．42 D．44答案 B解析由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层到四层有2种选择，∴23＝8.4．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种答案 C解析自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37(种)．5．有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________．答案12解析由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4×3＝12(种)选法．6．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有()A．6种B．9种C．10种D．12种答案 B解析找出其父母血型的所有情况分二步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3×3＝9种．7．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有__________种不同的排法．答案 1 280解析完成一件事是安排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排人的相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1 280种不同的排法．8．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，则大师赛共有________场比赛．答案16解析小组赛共有2C24场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4(场)比赛；根据分类加法计数原理共有2C24＋4＝16(场)比赛．9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为 ()A．42 B．30 C．20 D．12答案 A解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．10．已知I＝{1,2,3}，A、B是集合I的两个非空子集，且A中所有数的和大于B中所有数的和，则集合A、B共有()A．12对B．15对C．18对D．20对答案 D解析依题意，当A、B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A、B均有两个元素时，有3对；共20对，选择D.11．若从集合P到集合Q＝{a，b，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P所有的不同映射共有()A．32个B．27个C．81个D．64个答案 D解析可设P集合中元素的个数为x，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得P→Q 的映射种数为3x＝81，可得x＝4.反过来，可得Q→P的映射种数为43＝64.12．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有() A．6种B．5种C．4种D．3种答案 C解析若选甲、乙二人，包括甲操作A车床，乙操作B车床，或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙二人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这一种选派方法；若选乙、丙二人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这一种选派方法．故共2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．故应选C.13．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有______个．答案162个解析一位数8个，两位数8×9＝72个．3位数有9×9＝81个，另外1个(即200)，共有8＋72＋81＋1＝162个．14．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有________个．答案32解析和为11的数共有5组：1与10,2与9,3与8,4与7,5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两个数，即子集中的元素取自5个组中的一个数．而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2＝25＝32.15．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．答案12解析分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；第二步再取另外一个平面，有4种取法，由分步计数原理共有3×4＝12种取法．16. 如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种答案 B解析分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F 有2种方法，故有A34×2＝48(种)方法；第二类，涂四种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F有3C13种方法，故共有A34·3C13＝216(种)方法．由分类加法计数原理，共有48＋216＝264(种)不同的涂法.17．标号为A、B、C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？解析(1)若两个球颜色不同，则应在A、B袋中各取一个或A、C袋中各取一个，或B、C袋中各取一个．∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种．(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．∴应有1＋3＝4种．18．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7个，B型血的共有9个，AB型血的有3个．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1个去献血，有多少种不同的选法？解析从O型血的人中选1个有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1个人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情已完成，所以由分类计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为() A．3 B．4 C．6 D．8答案 D解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；以2为首项的等比数列为2,4,8；以4为首项的等比数列为4,6,9，共4个．把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，故所求数列有8个．2．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有() A．238个B．232个C．174个D．168个答案 C解析由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复数字的四位数共有3A33＝18(个)，故共有192－18＝174(个)．3．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为() A．10 B．11 C．12 D．15答案 B解析方法一分0个相同、1个相同、2个相同讨论．(1)若0个相同，则信息为：1001.共1个．。

排列：1、排列的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2、全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。

3、排列数的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号白；表示。

4、阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1X2X3X・・・Xn表示。

规定：0!=15、排列数公式：*”n (n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)='卡—活"。

组合：1、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

2、组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号C；表示。

b=屋=题…---掰+。

_ /3、组合数公式：1H史耀！的I一对；4、组合数性质：K - …,5、排列数与组合数的关系：量二5,排列与组合的联系与区别：从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m个(mWn, n, m£N) 元素，这是排列与组合的共同点。

它们的不同点是：排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，否则就不相同；而对于组合，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，如a, b与b, a是两个不同的排列，但却是同一个组合。

排列应用题的最基本的解法有:(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法;(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。

排列的定义的理解：①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列；②只有元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列，元素完全相同，但排列顺序不一样或元素不完全相同，排列顺序相同的排列，都不是同一个排列；③定义中规定了 mWn,如果m<n,称为选排列；如果m=n,称为全排列；④定义中“一定的顺序”，就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意；⑤可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题，只有符合排列定义的说法，才是排列问题。

自然数2520有多少个约数？ 有多少个约数？ 例3.自然数 自然数 有多少个约数 解：2520＝23×32×5×7 ＝ × 分四步完成： 分四步完成： 第一步： 第一步：取20，21，22，23，24有4种; 种 第二步： 第二步：取30，31，32有3种； 种 第三步：取50，51有2种； 第三步： 种 第四步： 第四步：取70，71有2种。 种 由分步计数原理，共有4× × × ＝ 种 由分步计数原理，共有 ×3×2×2＝48种 练习： 张 元币 元币， 张 角币 角币， 张 分币 分币， 张 分币 分币， 练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成 多少种不同的币值？（ 张不取， ？（1张不取 角不计在内） 多少种不同的币值？（ 张不取，即0元0分0角不计在内） 元 分 角不计在内 元：0，1，2，3，4，5 ， ， ， ， ， 角：0，1，2，3，4 ， ， ， ， 分：0，2，4，5，7，9 ， ， ， ， ， 6×5×6－1＝179 × × － ＝
பைடு நூலகம்
（染色问题） 染色问题）
1.如图 要给地图 、B、C、D四个区域分别涂上 种 如图,要给地图 四个区域分别涂上3种 如图 要给地图A、 、 、 四个区域分别涂上 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 允许同一种颜色使用多次,但相 不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 不同的涂色方案有多少种？ 邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种？
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢 何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法 答:完成一件事情有 类方法 若每一类方法中的任 完成一件事情有 类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 则计算完 成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种 完成一件事情有 个步骤,若每一步的任何一种 个步骤 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成 方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成 互相独立的这n步后 才能完成这件事,则计算完成这 步后,才能完成这件事 互相独立的这 步后 才能完成这件事 则计算完成这 件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理是指将一个计数问题分成若干个子问题，然后将子问题的计数结果相加得到最终的计数结果。

其基本思想是将问题中的元素分成若干个不重叠的类别，然后分别计数各个类别的元素个数，最后将各类别的计数结果相加。

这个原理常用于解决包含多个步骤的计数问题。

举个例子来说明分类加法计数原理的应用：假设有一个盒子，里面有红球、蓝球和绿球，分别有3个、4个和5个。

现在要从盒子中任选3个球，问有多少种选择方法。

我们可以将这个问题分为三个子问题：选取3个红球的方法数、选取3个蓝球的方法数和选取3个绿球的方法数。

然后分别计数这三个子问题的方法数，最后将它们相加得到总的方法数。

与分类加法计数原理相对应的是分步乘法计数原理。

分步乘法计数原理是指将一个计数问题分成若干个步骤，然后将各个步骤的计数结果相乘得到最终的计数结果。

这个原理常用于解决包含多个独立步骤的计数问题。

举个例子来说明分步乘法计数原理的应用：假设有一个密码锁，需要输入5位密码，每位密码都是从0到9的数字。

问一共有多少种可能的密码组合。

我们可以将这个问题分为5个步骤：第一位密码的选择、第二位密码的选择、第三位密码的选择、第四位密码的选择和第五位密码的选择。

然后计数每个步骤的可能性，最后将它们相乘得到总的可能性。

分步乘法计数原理也可以用于解决其他的计数问题，例如从一个字母表中选择若干个字母组成单词的方法数、从一个数列中选择若干个数的方法数等等。

总的说来，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决组合数学中计数问题的重要方法。

它们可以帮助我们系统地分析和解决各种计数问题，提高我们的计算能力和思维能力。

无论是在学术研究还是在实际应用中，这两个原理都有着广泛的应用价值。

共能给22 464 000辆汽车上牌照.
35
思考
集合A＝{a1，a2，…，an}共有多少个 子集？
36
课堂练习
1. 一种号码锁有4个拨号盘， 每个拨号盘上有从0到9共10个数字， 这4个拨号盘可以组成多少个四位 数字号码？
N＝10×10×10×10＝10000（种）
37
2. 要从甲、乙、丙3名工人中选 出2名分别上日班和晚班，有多少种 不同的选法？ 第一步: 选1人上日班； 有3种方法 第二步: 选1人上晚班. 有2种方法
33
开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
A
子模块3 28条执行路径
子模块4 38条执行路径ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
子模块5 43条执行路径
7371条
结束
178次
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例5 随着人们生活水平的提高，某 城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌 照号码需要扩容.交通管理部门出台了一 种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照 都必须有3个不重复的英文字母和3个不 重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合 成一组出现，3个数字也必须合成一组出 现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌 照？
4×8＝32
13
问题探究
3.从师大声乐系某6名男生和8名女生中 各选一人表演男女二重唱，共有多少种 不同的选派方法？
6×8＝48
上述原理称为分步乘法计数原理.
14
问题探究
4.上述计数问题的算法有何共同特点？ 完成一件事需要两个步骤, 做第1步有m 种不同的方法, 做第2步有n 种不同的 方法, 那么完成这件事共有N＝m×n种 不同的方法.
30×29×20＋20×19×30 ＝17400＋11400＝28800（种）

分类加法计数原理与分步乘法计数原理考点与题型归纳两个计数原理完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有两类不同方案❶，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法N＝m＋n种不同的方法分步乘法计数原理需要两个步骤❷，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法N＝m×n种不同的方法(11 每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.12 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.11 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.12 各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.二、常用结论1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.考点一分类加法计数原理1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________.解析：按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数.答案：362.如图，从A 到O 有________种不同的走法1不重复过一点 .解析：分3类：第一类，直接由A 到O ，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A →B →O 和A →C →O (2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A →B →C →O 和A →C →B →O (2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.答案：53.若椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________.解析：当m ＝1时，n ＝2,3,4,5,6,7，共6个；当m ＝2时，n ＝3,4,5,6,7，共5个；当m ＝3时，n ＝4,5,6,7，共4个；当m ＝4时，n ＝5,6,7，共3个；当m ＝5时，n ＝6,7，共2个.故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆.答案：204.如果一个三位正整数如“a 1a 2a 3”满足a 1＜a 2且a 2＞a 3，则称这样的三位数为凸数1如120,343,275等 ，那么所有凸数的个数为________.解析：若a 2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个.若a 2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝61个 .若a 2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝121个 ，…，若a 2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝721个 .所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝2401个 .答案：240考点二 分步乘法计数原理[典例精析]11 已知集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P 1a ，b 1a ，b ∈M 表示平面上的点，则P 可表示坐标平面上第二象限的点的个数为1A.6B.12C.24D.3612 有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法.[解析]11 确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种方法.由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.12 每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝1201种 .[答案]11 A12 120[解题技法]利用分步乘法计数原理解决问题的策略11 利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.12 分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.[题组训练]1.如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通.现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种.解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况.答案：632.从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f1x＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个1用数字作答 .解析：一个二次函数对应着a，b，c1a≠0 的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝181个二次函数.若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝61个偶函数.答案：186考点三两个计数原理的综合应用[典例精析]11 如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为1A.24B.48C.72D.9612 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是1A.48B.18C.24D.3613 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是1A.60B.48C.36D.24[解析]11 分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4×3×2＝24种涂法.②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种涂法.故共有24＋48＝72种涂色方法.12 第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝241个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝361个 .13 长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面1非表面构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.[答案]11 C12 D13 B[解题技法]1.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路11 弄清完成一件事是做什么.12 确定是先分类后分步，还是先分步后分类.13 弄清分步、分类的标准是什么.14 利用两个计数原理求解.2.涂色、种植问题的解题关注点和关键11 关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素.12 关键：是对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理.[题组训练]1.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝241种涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝241种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝721种 .答案：722.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个1用数字作答 .解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝321个 .第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32＋8＝401个 .答案：40[课时跟踪检测]A级1.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对1x，y作为一个点的坐标，则这样的点的个数是1A.9B.14C.15D.21解析：选B 当x ＝2时，x ≠y ，点的个数为1×7＝7.当x ≠2时，∵P ⊆Q ，∴x ＝y .∴x 可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7＋7＝141个 .2.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为1A.504B.210C.336D.120解析：选A 分三步，先插第一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法.故共有7×8×9＝504种不同的插法.3.已知两条异面直线a ，b 上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为1A.40B.16C.13D.10解析：选C 分两类情况讨论：第1类，直线a 分别与直线b 上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b 分别与直线a 上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面.4.从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有1A.32个B.34个C.36个D.38个 解析：选A 将和等于11的放在一组：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个，有C 12＝21种 .共有2×2×2×2×2＝321个 子集.5.从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为1A.3B.4C.6D.8解析：选D 当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为32时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为12，13，23时，也有4个.故共有8个6.将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为1A.6种B.12种C.18种D.24种解析：选A 根据数字的大小关系可知，1,2,9的位置是固定的，如图所示，则剩余5,6,7,8这4个数字，而8只能放在A 或B 处，若8放在B 处，则可以从5,6,7这3个数字中选一个放在C 处，剩余两个位置固定，此时共有3种方法，同理，若8放在A 处，也有3种方法，所以共有6种方法.7.12019·郴州模拟 用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有1A.4(320种B.2(880种C.1(440种D.720种 解析：选A 分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4(3201种 不同的涂色方法.8.12019·惠州调研 我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”1如2(013是“六合数” ，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有1A.18个B.15个C.12个D.9个解析：选B 由题意知，这个四位数的百位数，十位数，个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共有3＋6＋3＋3＝151个 .9.在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.解析：分两步安排这8名运动员.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排方式有4×3×2＝ 3 4 12 D 34 A CB 9第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝1201种 .故安排这8人的方式共有24×120＝2(8801种 .答案：2(88010.有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种1用数字作答 .解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2＝4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法.答案：8B级1.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有1A.24种B.4种C.43种D.34种解析：选C第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种投法.2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40(000大的偶数共有1A.144个B.120个C.96个D.72个解析：选B由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2×4×3×2＝48个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有3×4×3×2＝72个偶数.故符合条件的偶数共有48＋72＝1201个 .3.如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有1A.24种B.72种C.84种D.120种解析：选C如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按A―→B―→(C―→D顺序涂色，下面分两种情况：11 A，C不同色1注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色：有4×3×2×2＝48种不同的涂法.12 A，C同色1注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色：有4×3×1×3＝36种不同的涂法.故共有48＋36＝84种不同的涂色方法.4.12018·湖南十二校联考若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位1例如：134＋3(802＝3(936 ，则称1m，n为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对1m，n的值，那么值为1(942的“简单的”有序对的个数是________.解析：第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式.根据分步乘法计数原理，值为1(942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3＝300.答案：300－3，－2，－1，0，1，2，若a，b，c∈M，则：5.已知集合M＝{}11 y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；12 y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.解：11 a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数.12 y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b，c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数.。

一件上衣配成一套,那么不同的配法种数为 ( )
A.11
B.28
C.16 384
D.2 401
解析:要完成配套,分两步.第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4
种不同的选法;第2步,选长裤,从7条长裤中任选一条,有7种不同的
选法.故共有4×7=28种不同的配法.
答案:B
3.某商场共有4个门,购物者从一个门进,从另一个门出,不同的走法 种数是( ) A.8 B.7
法.
解析:若这个人来自(1)班,则有54种不同的选法;若来自(2)班,则有
56种不同的选法,所以共有110种不同的选法.
答案:110
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有
n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
【做一做2】 已知某乒乓球队有男队员9人,女队员8人,现从男、
解:(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有三类不同的 方案.
第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法; 第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法; 第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从三个班中任选1名学生担任学生会 主席,共有50+60+55=165种不同的选法.
高三(2)班
30
30
60
高三(3)班
35
20
55
(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,有多少种不同的选
法? (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担
任学生会生活部部长,有多少种不同的选法? 思路分析:(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席都能独立地

应用示例
例如，一个班里有30名学生，其中10名是男生，20名是女生，现在要从中选出5名学 生参加比赛，要求选出的学生中必须有男生和女生。根据分类加法计数原理，可以先分 别计算选出5名男生和选出5名女生的情况下的方法数，然后将两种情况下的方法数相
加，得到总的方法数。
分类加法计数原理的实例
实例
一个班里有30名学生，其中10名是男生，20名是女生，现在要从中选出5名学生参加比赛。根据分类 加法计数原理，选出5名男生有$C_{10}^{5}$种方法，选出5名女生有$C_{20}^{5}$种方法，因此总 共有$C_{10}^{5} + C_{20}^{5}$种不同的方法可以选出5名学生参加比赛。
计算机科学中的应用
计算机科学应用
分类加法计数原理和分步乘法计数原理在计算机科学 中也有着广泛的应用。例如，在算法设计、数据结构 、人工智能等领域中，这两个原理可以帮助我们设计 更高效的算法和数据结构，从而提高计算机程序的执 行效率和性能。
计算机科学应用实例
在计算机科学中，我们经常需要设计算法和数据结构 来处理各种问题。分类加法计数原理可以帮助我们将 问题分解为多个子问题，然后分别设计算法和数据结 构来解决每个子问题，最后将它们组合起来形成完整 的解决方案。而分步乘法计数原理则可以帮助我们将 问题分解为多个步骤，然后分别设计算法和数据结构 来解决每一步的问题，最后将它们组合起来形成完整 的解决方案。
分步乘法计数原理适用于事件需要按 照一定的顺序和步骤进行分解的情况 ，例如计算完成某项任务需要经过几 个步骤，每个步骤的概率是多少等。
优缺点比较
分类加法计数原理的优点在于能够清晰地展示不同类别的数 量，便于比较和分析；缺点在于对于复杂事件，可能难以准 确地划分类别。

完成一件事有两类不同方案，在第1类 方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有 n种不同的方法.那么完成这件事共有
N=m+n 种不同的方法.
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完成一件事有两,在类第不1类同方案中有m种不同的 方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这 件事共有
N=m+n 种不同的方法.
问题1 我们班级有34位男生,15位女生,现要选一位同学 参加演讲比赛,则有多少种不同的选法？
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开始
子模块1 18条执行路径
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A
子模块3 28条执行路径
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
7371条
结束
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例8 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量 迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了 一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必须有3个不 重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母 必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这 种办法共能给多少辆汽车上牌照？
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例3.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅， 分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共 有多少种不同的挂法？
解：第1步：从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种 选法 第2步：从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2 种选法
根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是
N＝3×2＝6
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练习：
1、在由电键组A、B组成的串联电路中， 如图，要接通电源，使电灯发光的方法 有几种？
3、从数字1、2、3、4、5中任选三个数字可以组成多少个无重复 数字的三位数？
1、 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚 4、班由，数有字多0少，种1，不2同，的3，选4法，？5可以组成多少个有重复数字的三位数？

分类加法原理和分步乘法原理分类加法原理和分步乘法原理是概率论中常用的计数原理，它们在解决组合计数问题时非常有用。

本文将详细介绍这两个原理的概念、应用场景以及实际计算方法，希望能对读者有指导意义。

一、分类加法原理分类加法原理是指将一个计数问题分成若干个互不相交的子问题，然后将各个子问题的计数结果累加起来得到总的计数结果。

换句话说，分类加法原理认为，如果一个事件可以被划分为若干个不相交的情况，那么它所有情况的计数结果之和就是总的计数结果。

举个例子来说明分类加法原理的应用。

假设有一家商店，它的商品有3种颜色（红色、蓝色、绿色），每种颜色都有2种尺寸（大号、小号）。

现在要计算这家商店的商品总数。

根据分类加法原理，我们可以将这个问题划分为两个子问题：计算每种颜色的商品总数，然后将这些结果相加。

假设红色、蓝色、绿色商品的数量分别为3、4、2，那么总的商品数量就是3+4+2=9。

分类加法原理除了可以用于计算组合问题的数量，还可以用于计算各种可能性的总数，比如排列问题和概率问题。

二、分步乘法原理分步乘法原理是指将一个多步骤的计数问题分解成若干个独立步骤，然后将各个步骤的计数结果相乘得到总的计数结果。

简而言之，分步乘法原理认为，如果一个多步骤的事件的计数问题可以被分解成若干个独立的子问题，那么它的总的计数结果就是各个子问题计数结果的乘积。

举个例子来说明分步乘法原理的应用。

假设有一家餐厅，它的菜单上有3种汤品选择（番茄汤、鸡肉汤、蘑菇汤），每种汤品有2种配料选择（鸡肉块、海鲜）。

现在要计算在这家餐厅用餐的菜单组合总数。

根据分步乘法原理，我们可以将这个问题分解成两个子问题：计算汤品选择的数量，然后计算配料选择的数量，最后将这两个数量相乘。

假设汤品选择的数量为3，配料选择的数量为2，那么菜单组合总数就是3 * 2 = 6。

分步乘法原理类似于分类加法原理，但是不同的是，分步乘法原理适用于计算多步骤问题的总数，而分类加法原理适用于计算一个事件的不同情况之和的总数。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类计数问题：要计算一些集合中满足其中一种条件的元素的数目。

可以将该集合分为若干个子集，分别计算每个子集中满足条件的元素的数目，然后将这些数目相加即可得到最终的结果。

例如，一些班级有30个学生，其中有10个男生和20个女生，要计算全班学生中身高超过1.7米的男生的人数。

可以将问题分解为两个部分，分别计算身高超过1.7米的男生和身高不超过1.7米的男生的人数，然后将这两个数目相加即可得到最终的结果。

2.多重条件计数问题：要计算满足多个条件的元素的数目。

可以将满足不同条件的元素分为不同的类别，然后计算每个类别中满足条件的元素的数目，最后将这些数目相加得到最终的结果。

例如，一些商店有3种颜色的衬衫（红色、蓝色和绿色），每种颜色的衬衫分别有5件、3件和4件。

要计算购买2件衬衫的方法数目，其中要求至少购买一件红色的衬衫。

可以将购买2件衬衫分为两种情况：一种是购买一件红色的衬衫和一件其他颜色的衬衫，另一种是购买两件红色的衬衫。

然后分别计算这两种情况下的购买方法数目，最后将这两个数目相加即可得到最终的结果。

分步乘法计数原理是指将一个计数问题分解为若干个步骤，每个步骤的计数独立进行，最后将每个步骤的计数结果相乘得到最终的结果。

该方法的基本思想是通过分步骤计数来简化问题，使得每个步骤的计数更加直观和容易。

分步乘法计数原理通常适用于以下两种情况：1.顺序计数问题：要计算一些事件发生的不同顺序的可能性。

可以将该事件分为若干个步骤，分别计算每个步骤的可能性，然后将这些可能性相乘得到最终的结果。

例如，一些球队有10名队员，要计算选择3名队员组成一支首发阵容的方法数目。

可以将选择队员分为三个步骤：先选择首发中锋（有10种选择），然后选择首发后卫（有9种选择），最后选择首发前锋（有8种选择）。

然后将这三个步骤的选择数目相乘即可得到最终的结果。

2.分步限制问题：要计算满足多个条件的元素的数目。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．分类加法计数原理的理解分类加法计数原理中的“完成一件事有两个不同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．分步乘法计数原理的理解分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成两个步骤．在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)√某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有( )A．3种B．4种C．7种D．12种答案：C已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是( ) A．1 B．3C．6 D．9答案：D某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有________种．答案：3加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人可以选择，第二道工序有6人可以选择，第三道工序有4人可以选择，每两道工序中可供选择的人各不相同，如果从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．答案：120探究点1 分类加法计数原理[学生用书P2]在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【解】法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．[变问法]在本例条件下，个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个？解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个).利用分类加法计数原理计数时的解题流程某校高三共有三个班，各班人数如下表：男生人数女生人数总人数高三(1)班30 20 50 高三(2)班30 30 60 高三(3)班 35 20 55(1)(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解：(1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．探究点2 分步乘法计数原理[学生用书P2]从－2，－1，0，1，2，3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c ，则可以组成抛物线的条数为多少？【解】 由题意知a 不能为0，故a 的值有5种选法； b 的值也有5种选法；c 的值有4种选法．由分步乘法计数原理得：5×5×4＝100(条)．1．[变问法]若本例中的二次函数图象开口向下，则可以组成多少条抛物线？解：需分三步完成，第一步确定a 有2种方法，第二步确定b 有5种方法，第三步确定c 有4种方法，故可组成2×5×4＝40条抛物线．2．[变条件、变问法]若从本例的六个数字中选2个作为椭圆x 2m ＋y 2n＝1的参数m ，n ，则可以组成椭圆的个数是多少？解：据条件知m >0，n >0，且m ≠n ，故需分两步完成，第一步确定m ，有3种方法，第二步确定n ，有2种方法，故确定椭圆的个数为3×2＝6(个)．利用分步乘法计数原理计数时的解题流程从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数．解：(1)分三步：第1步，排个位，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．(2)第1步，排个位，只能从2，4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个满足要求的三位偶数．探究点3 两个计数原理的综合应用[学生用书P3]甲同学有5本不同的数学书、4本不同的物理书、3本不同的化学书，现在乙同学向甲同学借书，(1)若借1本书，则有多少种借法？(2)若每科各借1本书，则有多少种借法？(3)若任借2本不同学科的书，则有多少种借法？【解】(1)需完成的事情是“借1本书”，所以借给乙数学、物理、化学书中的任何1本，都可以完成这件事情．根据分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12种借法．(2)需完成的事情是“每科各借1本书”，意味着要借给乙3本书，只有从数学、物理、化学三科中各借1本，才能完成这件事情．根据分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60种借法．(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借2本不同学科的书”，可分三类：第1类，借1本数学书和1本物理书，只有2本书都借，事情才能完成，根据分步乘法计数原理，有5×4＝20种借法；第2类，借1本数学书和1本化学书，有5×3＝15种借法；第3类，借1本物理书和1本化学书，有4×3＝12种借法．根据分类加法计数原理，共有20＋15＋12＝47种借法．利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情．其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法．(2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选1名麻醉师，有2种选法．根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30(种)选法．1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为( )A．8 B．15C．18 D．30解析：选A.共有5＋3＝8种不同的选法．2．已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，从集合A、B中先后各取一个元素构成平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，则可确定的不同点的个数为( )A．5 B．6C．10 D．12解析：选B.完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一个元素，有2种不同的方法；第二步，从集合B中任选一个元素，有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有2×3＝6种不同的方法．3．体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有( )A．12种B．7种C．14种D．49种解析：选D.要完成进、出门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场，第一步进门有4＋3＝7种方法；第二步出门也有4＋3＝7种方法，由分步乘法计数原理知进、出门的方案有7×7＝49种．4．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？解：(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122种选法．(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000种选法．(3)①高一和高二各选1人作中心发言人，有50×42＝2 100 种选法；②高二和高三各选1人作中心发言人，有42×30＝1 260种选法；③高一和高三各选1人作中心发言人，有50×30＝1 500种选法．故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860种选法．[A 基础达标]1．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，不同的选法种数是( )A．5 B．4C．9 D．20解析：选C.由分类加法计数原理求解，5＋4＝9(种)．故选C.2．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是( )A．18 B．16C．14 D．10解析：选C.分两类：第一类M中取横坐标，N中取纵坐标，共有3×2＝6(个)第一、二象限的点；第二类M中取纵坐标，N中取横坐标，共有2×4＝8(个)第一、二象限的点．综上可知，共有6＋8＝14(个)不同的点．3．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A．81 B．64C．48 D．24解析：选A.每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A.4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是( )A．15 B．12C．5 D．4解析：选A.分情况讨论：①当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况；②当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况；③当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况．由分类加法计数原理可得，满足条件的有序自然数对(x，y)的个数是6＋5＋4＝15.5．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有( )A．24种B．16种C．12种D．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.6．已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x|x∈A或x∈B}，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有________种．解析：分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种；当集合C中的元素属于集合B时，有4种．因为集合A与集合B无公共元素，所以集合C的情况共有3＋4＝7(种)．答案：77．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有________种．解析：小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知共有2×3×3×3＝54种不同的报名方法．答案：548．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．解析：若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时，有5×4＝20条，则共有20＋2＝22(条)，即所求的不同的直线共有22条．答案：229．(2018·云南丽江测试)现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．10．(1)如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，要接通电源且仅闭合其中一个电键，使电灯C发光的方法有多少种？(2)如图，由电键组A，B组成的电路中，要闭合两个电键接通电源，使电灯C发光的方法有几种？解：(1)只要闭合图中的任一电键，电灯即发光．由于在电键组A中有2个电键，电键组B 中有3个电键，且分别并联，应用分类加法计数原理，所以共有2＋3＝5(种)接通电源使电灯发光的方法．(2)只有在闭合A组中2个电键中的一个之后，再闭合B组中3个电键中的一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光．根据分步乘法计数原理，共有2×3＝6(种)不同的接通方法使电灯发光．[B 能力提升]11．(2018·郑州高二检测)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．3 B．4C．6 D．8解析：选D.以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9.以2为首项的等比数列为2，4，8.以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．12．(2018·长沙高二检测)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14 B．13C．12 D．10解析：选B.对a进行讨论，为0与不为0，当a不为0时还需考虑判别式与0的大小．若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时(a，b)的取值有4个；若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．所以(a，b)的个数为4＋9＝13.故选B.13．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，点P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．(1)点P可以表示平面上的多少个不同点？(2)点P可以表示平面上的多少个第二象限的点？(3)点P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？解：(1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种．由分步乘法计数原理知，点P可以表示平面上6×6＝36(个)不同点．(2)根据条件，需满足a＜0，b＞0.完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，点P 可以表示平面上3×2＝6(个)第二象限的点．(3)因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，点P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x上的点．14．(选做题)某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果．(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果．因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．。

练习1、甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名， 现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加 31 校三好学生代表大会，共有___________种不同 的推选方法。 先分类再分步
练习2、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分 别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种 不同的挂法？ 3×2=6种
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m+n
种不同的方法。
一般归纳： m 完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有1 种不同的方法 m ，在第2类办法中有 2 种不同的方法……在第n类办法中有 n 种不 m 同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.
分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种 不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那 么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法。 注：两类不同方案中的方法互不相同。
例题讲解：
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所 大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ B大学 数学 会计学 信息技术学 法学
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出 男、女各一名去参加比赛，有多少种不同的选法？
30×24=720种
分类加法与分步乘法计数原理的区别和联系：
分类加法
分步乘法
共同点
区别一
都是要解决完成一件事情的方法种数的问题。
完成一件事情共有n类 方案。
完成一件事情,共分n个 步骤。
各个步骤都完成 才算做完这件事

注意（ ）分类时要做到不重不漏，计算每一类方法； 注意（1）分类时要做到不重不漏，计算每一类方法； （2）分步时做到不缺步，计算每一步的方法 ）分步时做到不缺步，
××××,后面 例2、崇明县的部分电话号码是 、崇明县的部分电话号码是021-5962×××× 后面 ×××× 每个数字来自0～ 这 个数 个数,问可以产生多少个不同的 每个数字来自 ～9这10个数 问可以产生多少个不同的 电话号码? 电话号码 变式: 变式 若要求最后4个数字不重复 则又有多少种不同的电话号码 若要求最后 个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码 个数字不重复 则又有多少种不同的电话号码?
类办法中有m 类办法中有m 第2类办法中有 2种不同的方法，……，在第 类办法中有 n 类办法中有 种不同的方法，……，在第n类办法中有 种不同的方法。 种不同的方法。那么完成这件事共有
N=m1+m2+…+mn
种不同的方法。 种不同的方法。
二、 “乘法原 完成一件事，需要分成n个步骤 做第1步有 个步骤， 步有m 完成一件事，需要分成 个步骤，做第 步有 1种不同的方法 理”
解：⑴ N1=4+3+2=9 ⑵ N2=4×3×2=24 × ×
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计数原理
一、“加法原 完成一件事， 类办法,在第 类办法中有m 完成一件事，有n类办法 在第 类办法中有 1种不同的方法 在 类办法 在第1类办法中有 种不同的方法,在 理”
火车1 火车2 火车3 汽车1 汽车2 火 车1
甲
乙
3+2=5(种) 种
甲