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2018-2019学年北京市首都师大附中初三第一学期数学12月份月考试卷一、单选题（每小题3分）1．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则cosA的值是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长度为（）A．B．C．3D．4．如图，在△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D ＝50°，则∠AOD的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD＝2，DB ＝1，△ADE、△ABC的面积分别为S1、S2，则的值为（）A．B．C．D．26．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数y＝的图象上三点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜0＜y2＜y3B．y1＞0＞y2＞y3C．y1＜0＜y3＜y2D．y1＞0＞y3＞y2 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（）A．（0，1）B．（1，﹣1）C．（0，﹣1）D．（1，0）8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（2，2），一次函数y＝﹣2x+b 与线段AB有公共点，则b的取值范围是（）A．3≤b≤6B．3≤b≤4C．1≤b≤2D．﹣2≤b≤﹣1二、填空题（每小题3分）9．方程x（x﹣2）＝x的根是．10．在反比例函数y＝图象的每一支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为．12．已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是．13．如图，AB是⊙O的直径，DC是⊙O相切于点C，若∠D＝30°，OA＝2，则CD＝．14．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，以点A为圆心作⊙A，要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A的半径长r的取值范围为．。
2019-2020学年第一学期北京市清华附中人教版九年级12月月考数学卷 Word无答案初三第一学期12 月学科能力测评数学（清华附中初17 级）2019.12一、选择题（本题共24 分，每小题 3 分）1、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2、一元二次方程3x2－2x = 4 的二次项系数、一次向系数、常数项分别是（）A. 3，－2，4B. 3，2，4C. 3，2，－4D. 3，－2，－43、在Rt△ABC 中，∠C=90°，如果AC=5，AB=13，那么tan B 等于（）4、函数y=(x－1)2－2的图像可看作由函数y=x2的图像（）A.先向右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度B.先向左平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度C.先向左平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度D.先向右平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度5、小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（）A. ①B. ②C. ③D. 均不可能6、下列说法中不．正确的是（）A.任意两个等边三角形相似B.有一个锐角是40°的两个直角三角形相似C.有一个角是30°的两个等腰三角形相似D.任意两个正方形相似7、小华的桌兜里有两副不同颜色的手套，不看桌兜任意取出两只，刚好是一副的概率是（）8、如图，直线y =－3x +3 分别与x 轴，y 轴交于点A、点B，抛物线y = x2 + 2x－2 与y 轴交于点C，4点E 在抛物线y = x2 + 2x－2 的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，CE+EF 的最小值是（）A. 4B. 4.6C. 5.2D. 5.6二、填空题（本题共24 分，每小题 3 分）9、若cos A =2，则锐角A 的度数为.10、如图，在△ABC 中，若DE∥BC，AD=3，BD=6，△ADE 的周长为9，则△ABC 的周长为.211、某批篮球的质量检验结果如下：抽取的篮球数n 100 200 400 600 800 1000 1200 优等品频数m93 192 380 561 752 9411128优等品频率mn0.9300.9600.9500.9350.9400.941 0.940从这批篮球中任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值是 .12、中国画门类中，历代书画家喜欢在扇面上绘画或书写，以抒情达意或为 他人收藏，或赠友人以诗留念，此类画作称之为扇面画.折扇的扇面，一般是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角裁剪而成，如图所示，已知折扇扇面的圆心角是 120°，大扇形的半径为 18cm ，小扇形的半径为 6cm ，则这个扇形的面积是 .13、无论 x 取何值，二次函数 y = x 2－(2a +1)x +(a 2－1)的函数值恒大于 0，则a 的取值范围为.14、如图，△ABC 内接于⊙O 将 BC BC 交 AC 于点 D ，连接 BD ，若∠ABD=44°， 则∠A 的度数为 .15、在如图所示的网格中，每个小正方形的长度为 1，点 A 的坐标为（－3，5），点 B 的坐标为 （－1，1），点 C 的坐标为（－1，－3），点 D 的坐标为（3，－1），小强发现线段 CD 可以由线段 AB 绕着某点旋转一个角度得到，其中点 A 与点 C 对应，点 B 与点 D 对应，则这个旋转中心的坐标为 .16、如图，AB 是半圆的直径，点C 是 AB 的中点，点 D 是 AC 的中点，连接 DB 、AC 交于点 E ，则∠DAB= ， DE= .BE三、解答题（本题共 72 分，第 17-20 题，每小题 5 分，第 21-25 题，每小题 6 分，第 26、27 题，每 小题 7 分，第 28 题 8 分）解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.17、（5 分）计算： tan 45°+ 4 cos 30°sin 45°－ 3tan 60°3318、（5 分）下面是小雪设计的“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程.已知：线段 AB.求作：以 AB 为斜边的一个等腰直角△ABC.做法：（1）分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 1AB 的长为半径作弧，两弧相交于 P 、Q 两点；2（2）作直线 PQ ，交 AB 于点 O ；（3）以 O 为圆心，OA 的长为半径作圆，交直线 PQ 于点 C ； （4）连接 AC ，BC.则△ABC 即为所求作的三角形. 根据小雪设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：∵PA=PB ，QA=QB ，∴PQ 垂直平分 AB （ ） 在⊙O 中， ∵AB 为直径 ∴∠ACB=90°（ ） 又∵∠AOC=∠BOC=90° ∴AC=BC （ ） ∴△ABC 为以 AB 为斜边的等腰直角三角形.19、（5 分）如图，在等边△ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且∠ADB+∠EDC=120°. （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）若 CD=12，CE=3，求△ABC 的周长.20、（5 分）港珠澳大桥从 2009 年开工建造，于 2018 年 10 月 24 日正式通车，其全长 55 公里，连接港珠澳三地及岛隧于一体，是世界上最长的跨海大桥，如图示港珠澳大桥的海豚塔部分效果图.为了测得海豚塔斜拉索顶端 A 距离海平面的高度，先测出斜拉锁底端 C 到桥塔的距离（CD 的长）约为 100 米，又在 C 点测得 A 点的仰角为 30°，测得 B 点的俯角为 20°，求斜拉索顶端 A 点到海平面 B点的距离（AB 的长）.（已知 ≈1.73， tan 20°≈0.36，结果精确,0.1）2 21、（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x 2 +(2m －1)x + m 2－1= 0 有实数根. （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取满足条件的最大整数时，求方程的解.22、（6 分）已知抛物线 y = ax 2 +bx + c (a ≠ 0)的对称轴为直线 x =－1，过点（－4，0），（0，－2） （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当－4＜ x ＜4 时，求 y 的取值范围.23、（6 分）如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转得△ADE ， 点 C 的对应点 E 恰好落在 AB 上， （1）求∠DBC 的度数；（2）当 BD= 时，求 AD 的长.24、（6 分）如图，已知直线l 与⊙O 无公共点，OA ⊥ l 于点 A ，交⊙O 于点 P ，点 B 是⊙O 上一点， 连接 BP 并延长交直线l 于点 C ，使得 AB=AC. （1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若 BP= 2 5 ， sin ∠ACB =5，求 AB 的长. 525、（6 分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点 D ，点 E 是线段 AD 上的一个动点，连接 EC ， 线段 EC 绕点 E 顺时针旋转 60°得到线段 EF ，连接 DF 、BF ，已知 AD=5cm ，BC=8cm ，设 AE= x cm ， DF= y 1 cm ，BF= y 2 cm.小王根据学习函数的经验，分别对函数 y 1 ，y 2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小王的探究过程，请补充完整：（1）对照下表中自变量 x 的值进行取点，画图，测量，分别得到了 y 1 ， y 2 与 x 的几组对应值：x /cm 0 1 2 3 4 5 y 1 /cm 2.52 2.07 2.05 2.484.00y 2 /cm1.932.933.934.935.936.93（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（ x ，y 1 ），（ x ，y 2 ），并画出函数 y 1 ， y 2 的图像：（3）结合函数图像，解决问题：①当 AE 的长度约为 cm 时，DF 最小； ②当△BDF 是以 BF 为腰的等腰三角形时，AE 的长度约为cm.26、（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = x2 + 2x + a－3 ，当a = 0 时，抛物线与y 轴交于点A，将点A 向左平移4 个单位长度，得到点B（1）求点B 的坐标；（2）抛物线与直线y = a 交于M、N 两点，将抛物线在直线y = a 下方的部分沿直线y = a 翻折，图像的其他部分保持不变，得到一个新的图像，即为图形M①求线段MN 的长；②若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数图像，直接写出a 的取值范围.27、（7分）如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上一动点（点P不与点B重合），且BP＜PC，点B 关于直线AP 的对称点为D，连接CD、BD.（1）依题意补全图形；（2）若∠BAP=α，则∠BCD=（用含α的式子表示）；（3）过点D 作DE⊥DC，交直线AP 于点E，连接EB、EC，判断△ABE 的面积与△CDE 的面积之间的数量关系，并证明.28、在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，4）、B（－4，0）、C（0，－4）、D（4，0），对于图形M，给出如下定义：点P为图形M上任意一点，点Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M).（1）已知点E（0，2），G（－1，－1）.①如图1，直接写出d（点E），d（点G）的值；②如图2，扇形EOF 圆心角∠EOF=45°，将扇形EOF 绕点O 顺时针旋转α角（0＜α＜180°）得到扇形E’OF’，当d （扇形E’OF’）取最大值时，求α角的取值范围；（2）点P 为平面内一动点，且满足d （点P）=6，直接写出OP 长度的取值范围.图 1 图2备用图。
2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程3x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3，﹣2，﹣4 B．3，2，﹣4 C．3，﹣4，2 D．2，﹣2，0 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则tan B的值是（）A．B．C．D．4．函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象可看作由函数y＝x2的图象（）A．先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度B．先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度C．先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度D．先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度5．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能6．下列说法中不正确的是（）A．任意两个等边三角形相似B．有一个锐角是 40°的两个直角三角形相似C．有一个角是 30°的两个等腰三角形相似D．任意两个正方形相似7．小华的桌兜里有两副不同颜色的手套，不看桌兜任意取出两只，刚好是一副的概率是（）A．B．C．D．8．如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y＝x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y＝x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF 的最小值是（）A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6二．填空题（共8小题）9．若cos A＝，则锐角A的度数为．10．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，△ADE的周长为9，则△ABC的周长为．11．某批篮球的质量检验结果如下：从这批篮球中任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值是．抽取的篮球数n100 200 400 600 800 1000 1200 优等品频数m93 192 380 561 752 941 1128 优等品频率0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940 12．中国画门类中，历代书画家喜欢在扇面上绘画或书写，以抒情达意或为他人收藏，或赠友人以诗留念，此类画作称之为扇面画．折扇的扇面，一般是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角裁剪而成，如图所示，已知折扇扇面的圆心角是120°，大扇形的半径为18cm，小扇形的半径为6cm，则这个扇形的面积是．13．无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，则a的取值范围为．14．如图，△ABC内接于⊙O将沿BC翻折，交AC于点D，连接BD，若∠ABD＝44°，则∠A的度数为．15．在如图所示的网格中，每个小正方形的长度为1，点A的坐标为（﹣3，5），点B的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣1，﹣3），点D的坐标为（3，﹣1），小强发现线段CD可以由线段AB绕着某点旋转一个角度得到，其中点A与点C对应，点B与点D对应，则这个旋转中心的坐标为．16．如图，AB是半圆的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接DB、AC交于点E，则∠DAB＝，＝．三．解答题（共12小题）17．计算：tan45°+4cos30°sin45°﹣tan60°18．下面是小雪设计的“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：以AB为斜边的一个等腰直角△ABC．作法：（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA的长为半径作圆，交直线PQ于点C；（4）连接AC，BC．则△ABC即为所求作的三角形．根据小雪设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ垂直平分AB（）在⊙O中，∵AB为直径∴∠ACB＝90°（）又∵∠AOC＝∠BOC＝90°∴AC＝BC（）∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．19．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC＝120°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若CD＝12，CE＝3，求△ABC的周长．20．港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B 点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的解．22．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，过点（﹣4，0），（0，﹣2）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当﹣4＜x＜4时，求y的取值范围．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得△ADE，点C的对应点E恰好落在AB上，（1）求∠DBC的度数；（2）当BD＝时，求AD的长．24．如图，已知直线l与⊙O无公共点，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长交直线l于点C，使得AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BP＝2，sin∠ACB＝，求AB的长．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上的一个动点，连接EC，线段EC绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接DF、BF，已知AD＝5cm，BC＝8cm，设AE＝xcm，DF＝y1cm，BF＝y2cm．小王根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小王的探究过程，请补充完整：（1）对照下表中自变量x的值进行取点，画图，测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0 1 2 3 4 5y1/cm 2.52 2.07 2.05 2.48 4.00y2/cm 1.93 2.93 3.93 4.93 5.93 6.93 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象：（3）结合函数图象，解决问题：①当AE的长度约为cm时，DF最小；②当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，AE的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向左平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）抛物线与直线y＝a交于M、N两点，将抛物线在直线y＝a下方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，即为图形M．①求线段MN的长；②若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．27．如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上一动点（点P不与点B重合），且BP＜PC，点B关于直线AP的对称点为D，连接CD、BD．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAP＝α，则∠BCD＝（用含α的式子表示）；（3）过点D作DE⊥DC，交直线AP于点E，连接EB、EC，判断△ABE的面积与△CDE的面积之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，4）、B（﹣4，0）、C（0，﹣4）、D（4，0），对于图形M，给出如下定义：点P为图形M上任意一点，点Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“正方距”，记作d（M）．（1）已知点E（0，2），G（﹣1，﹣1）．①如图1，直接写出d（点E），d（点G）的值；②如图2，扇形EOF圆心角∠EOF＝45°，将扇形EOF绕点O顺时针旋转α角（0＜α＜180°）得到扇形E′OF′，当d（扇形E′OF′）取最大值时，求α角的取值范围；（2）点P为平面内一动点，且满足d（点P）＝6，直接写出OP长度的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故不符合题意；故选：B．2．一元二次方程3x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3，﹣2，﹣4 B．3，2，﹣4 C．3，﹣4，2 D．2，﹣2，0【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．【解答】解：一元二次方程3x2﹣2x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：3，﹣2，﹣4．故选：A．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则tan B的值是（）A．B．C．D．【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再运用三角函数定义解答．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12．∴tan B＝＝．故选：A．4．函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象可看作由函数y＝x2的图象（）A．先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度B．先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度C．先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度D．先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象可由二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到．故选：D．5．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．6．下列说法中不正确的是（）A．任意两个等边三角形相似B．有一个锐角是 40°的两个直角三角形相似C．有一个角是 30°的两个等腰三角形相似D．任意两个正方形相似【分析】直接利用相似图形的性质分别分析得出答案．【解答】解：A、任意两个等边三角形相似，说法正确；B、有一个锐角是 40°的两个直角三角形相似，说法正确；C、有一个角是 30°的两个等腰三角形相似，30°有可能是顶角或底角，故说法错误；D、任意两个正方形相似，说法正确；故选：C．7．小华的桌兜里有两副不同颜色的手套，不看桌兜任意取出两只，刚好是一副的概率是（）A．B．C．D．【分析】列举出所有情况，看能配成一副的情况数占所有情况数的多少即可．【解答】解：设其中一副手套分别为a，a′；另一副手套分别为b，b′．共有12种情况，能配成一副的有4种情况，所以刚好是一副的概率是＝，故选：B．8．如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y＝x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y＝x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF 的最小值是（）A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣2的对称轴为x＝﹣1，C（0，﹣2），∴C点关于对称轴对称的点C'（﹣2，﹣2），过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，∴CE＝C'E，则C'F＝CE+EF＝C'E+EF是CE+EF的最小值；∵直线y＝﹣x+3，∴C'F的解析式为y＝x+，∴F（，），∴C'F＝，故选：C．二．填空题（共8小题）9．若cos A＝，则锐角A的度数为45°．【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案．【解答】解：∵cos A＝，∴∠A＝45°，故答案为：45°．10．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，△ADE的周长为9，则△ABC的周长为27 ．【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∵△ADE的周长为9，∴△ABC的周长为27，故答案为27．11．某批篮球的质量检验结果如下：从这批篮球中任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值是0.940 ．抽取的篮球数n100 200 400 600 800 1000 1200 优等品频数m93 192 380 561 752 941 1128 优等品频率0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940 【分析】由表中数据可判断频率在0.940左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只篮球是优等品的概率为0.940．【解答】解：从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是0.940．故答案为0.940．12．中国画门类中，历代书画家喜欢在扇面上绘画或书写，以抒情达意或为他人收藏，或赠友人以诗留念，此类画作称之为扇面画．折扇的扇面，一般是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角裁剪而成，如图所示，已知折扇扇面的圆心角是120°，大扇形的半径为18cm，小扇形的半径为6cm，则这个扇形的面积是96πcm2．【分析】根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：扇面的面积＝S大扇形﹣S小扇形＝﹣＝96πcm2，故答案为96πcm2．13．无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，则a的取值范围为a＞﹣．【分析】无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，即：抛物线位于x轴上方，与x轴无交点，也就是△＜0．【解答】解：无论x取何值，二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，∴抛物线位于x轴上方，即：（2a+1）2﹣4（a2﹣1）＞0解得：a＞﹣，14．如图，△ABC内接于⊙O将沿BC翻折，交AC于点D，连接BD，若∠ABD＝44°，则∠A的度数为68°．【分析】根据折叠的性质和圆内接四边形的性质得到∠A+∠BDC＝180°，根据邻补角的定义和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵将沿BC翻折，交AC于点D，∴∠A+∠BDC＝180°，设∠A＝α，∴∠BDC＝180°﹣α，∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴180°﹣α＝α+44°，∴α＝68°，故答案为：68°．15．在如图所示的网格中，每个小正方形的长度为1，点A的坐标为（﹣3，5），点B的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣1，﹣3），点D的坐标为（3，﹣1），小强发现线段CD可以由线段AB绕着某点旋转一个角度得到，其中点A与点C对应，点B与点D对应，则这个旋转中心的坐标为（2，2）．【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．【解答】解：如图，点P即为所求，P（2，2）．故答案为（2，2）．16．如图，AB是半圆的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接DB、AC交于点E，则∠DAB＝67.5°，＝．【分析】根据平行线的性质证得，△ADF是等腰直角三角形，求得BD＝+1，再证△ADE∽△BDA，得ED＝＝﹣1，BE＝2．所以＝．【解答】解：连接BC、CD，作AF∥CD，交BE于F，∵＝，∴AC＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵点D是弧AC的中点，∴可设AD＝CD＝1，∠ABD＝∠DBC＝22.5°，∴∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∴∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝67.5°根据平行线的性质得∠AFD＝∠CDF＝45°．∴△ADF是等腰直角三角形，则AF＝，BF＝AF＝．∴BD＝+1．∵∠DAC＝∠ABD，∠ADB＝∠ADB，∴△ADE∽△BDA，∴DE＝＝﹣1，BE＝2．∴＝．故答案为67.5°，．三．解答题（共12小题）17．计算：tan45°+4cos30°sin45°﹣tan60°【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘法，后算加减即可．【解答】解：原式＝1+4××﹣×，＝1+﹣1，＝．18．下面是小雪设计的“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：以AB为斜边的一个等腰直角△ABC．作法：（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点；（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA的长为半径作圆，交直线PQ于点C；（4）连接AC，BC．则△ABC即为所求作的三角形．根据小雪设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）在⊙O中，∵AB为直径∴∠ACB＝90°（直径所对圆周角是直角）又∵∠AOC＝∠BOC＝90°∴AC＝BC（相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等）∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．【分析】（1）根据作法即可用直尺和圆规补全图形；（2）根据作图过程即可完成证明．【解答】解：（1）如图即为补全的图形；（2）完成下面的证明：证明：∵PA＝PB，QA＝QB，∴PQ垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）在⊙O中，∵AB为直径∴∠ACB＝90°（直径所对圆周角是直角）又∵∠AOC＝∠BOC＝90°∴AC＝BC（相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等）∴△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形．故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上、直径所对圆周角是直角、相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等．19．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC＝120°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若CD＝12，CE＝3，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等边三角形性质求出∠B＝∠C＝60°，根据等式性质求出∠BAD＝∠EDC，即可证明△ABD∽△DCE．（2）根据相似三角形的对应边成比例得出＝，列方程解答即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为正三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝120°，∵∠ADB+∠EDC＝120°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE，（2）解：∵△ABD∽△DCE∴＝，设正三角形边长为x，则＝，解得x＝9，即△ABC的边长为9，周长为27．20．港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B 点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）【分析】首先在直角三角形ADC中求得AD的长，然后在直角三角形BDC中求得BD的长，两者相加即可求得AB的长．【解答】解：在Rt△ADC中，∵，CD＝100，∴AD＝tan30°•CD＝，在Rt△BDC中，∵，CD＝100，∴BD＝tan20°•CD≈0.36×100＝36∴AB＝57.7+36＝93.7米．21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的解．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m﹣1）2﹣4×（m2﹣1）≥0，然后解不等式即可；（2）先确定m的最大整数为0，则方程化为x2﹣x﹣1＝0，然后利用求根公式法解方程．【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m﹣1）2﹣4×（m2﹣1）≥0，解得m≤；（2）m的最大整数为0，方程为x2﹣x﹣1＝0，△＝5，x＝，所以x1＝，x2＝．22．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，过点（﹣4，0），（0，﹣2）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当﹣4＜x＜4时，求y的取值范围．【分析】（1）根据交点式得出y＝a（x+4）（x﹣2），将（0，﹣2）代入求出a即可得出这条抛物线所对应的函数关系式；（2）求得抛物线的最小值，求得x＝4时的函数值，即可求得当﹣4＜x＜4时，y的取值范围．【解答】解：（1）∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过点（﹣4，0），∴抛物线经过点（2，0），设y＝a（x+4）（x﹣2），把（0，﹣2）代入解得：a＝，故解析式为：y＝x2+x﹣2；（2）∵y＝x2+x﹣2＝（x+1）2﹣，∴函数有最小值﹣，把x＝4代入得y＝4，∴﹣4＜﹣1＜4，∴当﹣4＜x＜4时，y的取值范围是﹣≤y＜4．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得△ADE，点C的对应点E恰好落在AB上，（1）求∠DBC的度数；（2）当BD＝时，求AD的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠ABD即可解决问题．（2）设AD＝AB＝x，则DE＝AD＝x，AE＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝∠DAB＝30°，∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠DBC＝∠ABD+∠ABC＝75°+60°＝135°．（2）设AD＝AB＝x，则DE＝AD＝x，AE＝x，∴BE＝2x﹣x，在Rt△BDE中，∵BD2＝DE2+BE2，∴2＝x2+（2x﹣x）2，解得x＝，∴AD＝2x＝+1．24．如图，已知直线l与⊙O无公共点，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长交直线l于点C，使得AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BP＝2，sin∠ACB＝，求AB的长．【分析】（1）连结OB，根据等腰三角形的性质、对顶角相等证明∠OBA＝90°，根据切线的判定定理证明即可；（2）作直径BD，连接PD，则∠BPD＝90°，根据圆周角定理得出△PBD是直角三角形，进而求得∠ABC＝∠D，即为直角三角形求得直径BD，根据sin∠ACB＝，得到＝，然后设PA＝x，则AB＝AC＝2x，在Rt△AOB中，根据勾股定理得到（2x）2+52＝（5+x）2，解得x的值，即可求得AB的长．【解答】（1）证明：连结OB，如图1，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OA⊥l，∴∠ACB+∠APC＝90°，∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，∵∠OPB＝∠APC，∴∠OBP+∠ACB＝90°，∴∠OBP+∠ABC＝90°，即∠OBA＝90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作直径BD，连接PD，则∠BPD＝90°，如图2，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠D，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠D＝∠ABC＝∠ACB，∵sin∠ACB＝，∴sin∠D＝＝，∵BP＝2，∴BD＝10，∴OB＝OP＝5，∵sin∠ACB＝，∴＝，∴＝，设PA＝x，则AB＝AC＝2x，在Rt△AOB中，AB＝2x，OB＝5，OA＝5+x，∴（2x）2+52＝（5+x）2，解得x＝，∴AB＝2x＝．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上的一个动点，连接EC，线段EC绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接DF、BF，已知AD＝5cm，BC＝8cm，设AE＝xcm，DF＝y1cm，BF＝y2cm．小王根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小王的探究过程，请补充完整：（1）对照下表中自变量x的值进行取点，画图，测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0 1 2 3 4 5y1/cm 2.52 2.07 2.05 2.48 3.17 4.00y2/cm 1.93 2.93 3.93 4.93 5.93 6.93 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象：（3）结合函数图象，解决问题：①当AE的长度约为 1.5 cm时，DF最小；②当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，AE的长度约为 2.3或5或0.5 cm．【分析】（1）利用测量法解决问题即可．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）①根据函数图象寻找最低点解决问题即可．②根据图中A，B，C的横坐标的值即可判断．【解答】解：（1）利用测量法可知当x＝4时，DF＝3.17．故答案为3.17．（2）函数图象如图所示：（3）①观察图象可知，当x＝1.5时，DF的值最小，故答案为1.5．②两个函数的函数值y＝4时，△BDF是等腰三角形，此时A（2.3，4），B（5，4），∴x＝2.3或5时，△BDF是等腰三角形．两个函数的交点C的横坐标约为0.5，∴x＝0.5时，△BDF是等腰三角形．综上所述，x的值为2.3或5或0.5．故答案为2.3或5或0.5．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向左平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）抛物线与直线y＝a交于M、N两点，将抛物线在直线y＝a下方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，即为图形M．①求线段MN的长；②若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．【分析】（1）求出A（0，﹣3），即可得到B（﹣4，﹣3）；（2）令x2+2x+a﹣3＝a即可求出MN的长；（3）顶点（﹣1，a﹣4），关于y＝a的对称点为（﹣1，a+4），当a+4＝﹣3时，a＝﹣7，此时图形M与线段AB恰有两个公共点，当a＝﹣6时，y＝x2+2x﹣9，y＝﹣6，y＝x2+2x ﹣9关于y＝﹣6翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，当a ＝﹣6时，图形与y＝﹣6有三个交点，由此可知在﹣6≤a＜﹣7时，图形与y＝a有三个交点，y＝a要在线段AB的下方，a＜﹣3，故﹣6＜a＜﹣3且a＝﹣7．【解答】解：（1）当a＝0时，A（0，﹣3），∴B（﹣4，﹣3）；（2）①∵抛物线y＝x2+2x+a﹣3与直线y＝a交于M、N两点，∴x2+2x+a﹣3＝a即x2+2x﹣3＝0，∴MN＝4；②顶点（﹣1，a﹣4），关于y＝a的对称点为（﹣1，a+4），当a+4＝﹣3时，a＝﹣7，此时图形M与线段AB恰有两个公共点，当a＝﹣6时，y＝x2+2x﹣9，y＝﹣6，y＝x2+2x﹣9关于y＝﹣6翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，当a＝﹣6时，图形与y＝﹣6有三个交点，∴在﹣6≤a＜﹣7时，图形与y＝a有三个交点，∴y＝a要在线段AB的下方，∴a＜﹣3，∴﹣6＜a＜﹣3且a＝﹣7．27．如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上一动点（点P不与点B重合），且BP＜PC，点B关于直线AP的对称点为D，连接CD、BD．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAP＝α，则∠BCD＝α（用含α的式子表示）；（3）过点D作DE⊥DC，交直线AP于点E，连接EB、EC，判断△ABE的面积与△CDE的面积之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由题意画出图形；（2）由轴对称的性质可得AP垂直平分BD，可得AB＝AD＝AC，∠BAP＝∠PAD＝α，由等腰三角形的性质可求解；（3）由“SAS”可证△BAE≌△DAE，可得S△BAE＝S△DAE，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得S△DEC＝2S△ABE．【解答】解：（1）如图1所示；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵点B关于直线AP的对称点为D，∴AP垂直平分BD，∴AB＝AD，且AP⊥BD，∴∠BAP＝∠PAD＝α，∴∠DAC＝60°﹣2α，∵AD＝AC，∴∠ACD＝＝60°+α，∴∠BCD＝α，故答案为：α；（2）S△DEC＝2S△ABE，理由如下：如图2，过点A作AH⊥CD，连接EH，∵AC＝AD，AH⊥CD，∴DH＝CH，∴S△DEC＝2S△DEH，∵DE∥AH，∴S△AED＝S△DEH，∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴S△BAE＝S△DAE，∴S△DEC＝2S△ABE．28．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，4）、B（﹣4，0）、C（0，﹣4）、D（4，0），对于图形M，给出如下定义：点P为图形M上任意一点，点Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“正方距”，记作d（M）．（1）已知点E（0，2），G（﹣1，﹣1）．①如图1，直接写出d（点E），d（点G）的值；②如图2，扇形EOF圆心角∠EOF＝45°，将扇形EOF绕点O顺时针旋转α角（0＜α＜180°）得到扇形E′OF′，当d（扇形E′OF′）取最大值时，求α角的取值范围；（2）点P为平面内一动点，且满足d（点P）＝6，直接写出OP长度的取值范围．【分析】（1）①根据“正方距”的定义，d（点E）＝EC，d（点G）＝GA．②观察图象可知当扇形OE′F′与x轴的正半轴或y轴的负半轴有交点时，d（扇形E′OF′）取最大值，由此写出α的范围即可．（2）如图3中，分别以A，B，C，D为圆心，6为半径画弧，得到图中的4条弧（红线），当点P在图中红线上时，d（点P）＝6，求出OP的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，连接AG．由题意：d（点E）＝EC＝6，d（点G）＝GA＝＝．②观察图象可知当扇形OE′F′与x轴的正半轴或y轴的负半轴有交点时，d（扇形E′OF′）取最大值，所以45°＜α＜90°或135°＜α＜180°时，满足条件．（3）如图3中，分别以A，B，C，D为圆心，6为半径画弧，得到图中的4条弧（红线），当点P在图中红线上时，d（点P）＝6，设图中P（m，m），∵PB＝6，∴m2+（4+m）2＝36，解得m＝﹣2+或﹣2﹣（舍弃），∴P（﹣2+，﹣2+），∴OP的最大值＝OP＝m＝﹣2+2，∵OP的最小值＝OP′＝2，∴2≤OP≤﹣2+2．。
一．选择题（共10题，每题3分）1．在Rt ABC ∆中，1cos 2A =，那么sin A 的值是( )A B C D ．122．在Rt ABC ∆中，90C ∠=°，13AB =，5AC =，则sin A 的值为( )A ．513B ．1213C ．512D ．1253．如图，在Rt ABC ∆中，斜边AB 的长为m ，35A ∠=°，则直角边BC 的长是( )A ．sin 35m °B ．cos35m °C ．sin 35m °D ．cos35m ° 4．如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到△AC B ′′，则tan B ′的值为( )A ．12 B ．13 C ．14 D5．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不正确的是( )A ．sin ADB AB =B ．sin AC B BC = C ．sin AD B AC= D ．sin CD B AC = 6．如图，在△ABC 中，O 是角平分线AD ，BE 的交点．若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，则tan ∠OBD 的值是( )A ．12B ．2C ．63D ．647．如图，已知ABC ∆的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为( )A B C D8．如图，O 是ABC ∆的外接圆，AD 是O 的直径，若O 的半径为32，2AC =，则sin B 的值是( )A ．23B ．32C ．34D ．439．已知二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则使得函数值y 大于2的自变量x 的取值可以是( )A ．4−B ．2−C ．0D ．2 10．如图，延长Rt ABC ∆斜边AB 到点D ，使BD AB =，连接CD ，若1tan 3BCD ∠=，则tan (A = ) A ．32 B ．1 C ．13D ．23 二．填空题（共10题，每题3分）11． cos30°的值等于 .12．如图所示的网格是正方形网格，BAC ∠ DAE ∠．（填“>”，“ =”或“<” )13．若关于x 的方程220x x k −+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 ．14．如图，在66×的正方形网格中，ABC ∆的顶点都在小正方形的顶点上，则tan BAC ∠的值是 ．15．如图，Rt ABC ∆中，90A ∠=°，AD BC ⊥于点D ，若:4:3AD CD =，则tan B = ．16．已知A ∠是锐角，且2tan 3A =，则sin A 的值是 ．17．如图，P 是α∠的边OA 上一点，且点P 的横坐标为3，4sin 5α=， 则tan α= ．18．如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若2BC =，则AF 的长为 ．19．如图，ABC ∆与△A B C ′′′都是等腰三角形，且5AB AC ==，3A B A C ′′=′′=，若90B B ∠+∠′=°，则ABC ∆与△A B C ′′′的面积比为 ．20．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan APD ∠的值为 ．三．解答题（共4题，每题10分）21．（1）计算：011(2)|1tan 60|()2π−−−−°−+．（2）计算：201()(|2|4sin 602π−−−+−+°．22．如图，在Rt ABC ∆中，90?C ∠=，3tan 4A =，6BC =， 求AC 的长和sin A 的值．23．如图，矩形ABCD 中，点E 在BC 上，AE ED ⊥．（1）求证：ABE ECD ∆∆∽；（2）F 为AE 延长线上一点，满足EF AE =，连接DF 交BC 于点G ．若2AB =，1BE =，求GC 的长．24．如图，AB 是O 的弦，C 为O 上一点，过点C 作AB 的垂线与AB 的延长线交于点D ，连接BO 并延长，与O 交于点E ，连接EC ，2ABE E ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若1tan 3E =，1BD =，求AB 的长．四．新定义（共50分，第（1）（2）（3）问每问10分，第（4）问20分）25．对于点C 和给定的O ，给出如下定义：若O 上存在点B ，使点C 绕点B 旋转90°的对应点A 在O 上，此时ABC ∆是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形，则称点C 为O 的“等直顶点”． 若O 是坐标原点，O 的半径为2，（1）在点(0,0)P ，(2,0)Q ，(5,0)R ，S ，0)中，可以作为O 的“等直顶点”的是 ； （2）若点P 为O 的“等直顶点”，且点P 在直线y x =上，求点P 的横坐标的取值范围；（3）设C 的圆心C 在x 轴上，半径为2，若直线y x =上存在点D ，使得半径为1的D 上存在点P 是C 的“等直顶点”，求圆心C 的横坐标的取值范围；（4）直线443y x =+分别和两坐标轴交于E ，F 两点，若线段EF 上的所有点均为O 的“等直顶点”，求O 的半径的最大值与最小值．。
2018-2019学年北京一零一中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）（2018•苏州）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）A．B．C．D．2．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）将直线y＝2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为（）A．y＝2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝2（x+1）D．y＝2（x﹣1）3．（3分）（2018•苏州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．（3分）（2014秋•贵阳期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为（）A．（x﹣1）2＝4B．（x﹣1）2＝﹣4C．（x+1）2＝4D．（x+1）2＝﹣4 5．（3分）（2018•钦州模拟）一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的内角和是（）A．540°B．720°C．900°D．1080°6．（3分）（2016秋•宣化县期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝﹣1，x2＝2C．x1＝﹣1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3 7．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体平均值为3，中位数为4B．乙地：总体平均值为2，总体方差为3C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体平均值为l，总体方差大于08．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP ＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（）A．B．C．4D．3二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）用一组a，b的值说明命题“若a＜b，则＞”是错误的，这组值可以是a＝，b＝．10．（3分）（2018秋•南岗区校级月考）不等式组＞＞的解集为．11．（3分）（2019•罗平县一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．12．（3分）（2016春•黄岛区期末）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象和交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为．13．（3分）（2015春•洛阳期末）一个平行四边形的一边长是9，两条对角线的长分别是12和6 ，则此平行四边形的面积为．14．（3分）（2014秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 y2 ．（用“＜”，“＝”或“＞”号连接）15．（3分）（2018秋•渠县校级月考）若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则写出符合条件的点P的坐标：．16．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）2014年12月28日开始，北京市公共汽车和地铁按里程分段计价．乘坐地铁（不包括机场线）具体方案如下：6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里．使用市政交通一卡通刷卡，每自然月内每张卡支出累计满100元以后的乘次，价格给予8折优惠；满150元以后的乘次，价格给予5折优惠；支出累计达到400元以后的乘次，不再享受打折优惠．小李上班时，需要乘坐地铁15.9公里达到公司，每天上下班共乘坐两次，每月按上班22天计算，如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么小李每月第21次乘坐地铁时，他刷卡支出的费用是元；他每月上下班乘坐地铁的总费用是元．三、解答题（本题共52分，17-19题4分，20-23题5分，25题6分，24，26题7分）17．（4分）（2018秋•海淀区校级月考）计算：（1）0+（）﹣1+|2|18．（4分）（2018春•伊川县期末）如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形．19．（4分）（2014秋•海淀区期中）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0的根，求代数式2（m﹣1）2+3的值．20．（5分）（2012•吉林模拟）某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善城市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？21．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每个营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：17 18 16 13 24 15 28 26 18 1922 17 16 19 32 30 16 14 15 2615 32 23 17 15 15 28 28 16 19（1）补全条形图；（2）月销售额为的人数最多；（3）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，月销售目标定为多少合适？A.15万元B.16万元C.18万元D.19万元（4）如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售目标定为多少合适？请说明理由．22．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）Ω星球某学生初二暑假作业中有下面一题：在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D．（1）如图1，当∠ABC＝90°时，若CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F．①求证：△BEF是等腰三角形；②求证：BD（BC+BF）；（2）点E在AB边上，连接CE．若BD（BC+BF），在图2中补全图形，判断∠ACE与∠ABC之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE与∠ABC关系的思路．四个同学W，X，Y，Z对结论BD（BC+BF）进行了如下分析：注意到BC＝BA，BF＝BE，BD＝AD＝CD，2BD＝AC等等，于是要证的结论可以变为……并给出了问题（1）②四种不同的证明思路：W：延长EB至点G使得BG＝BC，此时BD即为△GAC的中位线．只需证明GE＝GC；X：延长AB至点H使得BH＝BE，只需证明AH＝AC；Y：延长BA至点K使得AK＝BE，延长BD至点L使得DL＝BD，只需证明BK＝BL；Z：取AE中点M，只需证明BM＝BD．请你对以上四位同学的思路进行分析，并判断哪几位同学的证明思路可以解出问题（2），只写出你的结论，不需要证明．23．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，，，所以数列2，﹣1，3的价值为．小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：（1）数列﹣4，﹣3，2的价值为；（2）将“﹣4，﹣3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为，取得价值最小值的数列为（写出一个即可）；（3）将2，﹣9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为．24．（6分）（2015秋•路北区期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x ﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）当S△ABC＝15时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C的直线l：y＝kx+b（k＜0）与抛物线的另一个交点为D．该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于﹣8，求k的取值范围．25．（7分）（2007•宿迁）如图，已知AE、BD相交于点C，AC＝AD，BC＝BE，F、G、H 分别是DC、CE、AB的中点．求证：（1）HF＝HG；（2）∠FHG＝∠DAC．26．（7分）（2018秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．如图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．若定义该矩形的垂直于x轴的边的长度为矩形的“身高”，垂直于y 轴的边的长度为矩形的“形宽”，“身高”与“形宽”的比为k，若0＜k＜则称该矩形为“折翼矩形”，若k≤2则称该矩形为“完美矩形”，若k＞2则称该矩形为“魔鬼矩形”．已知点A（0，4），B（4，0）．（1）点A，B的“相关矩形”是（填“折翼矩形”或“完美矩形”或“魔鬼矩形”）；（2）若点P是直线AB上一动点，且点O，P的“相关矩形”是“完美矩形”，直接写出点P的横坐标x P的取值范围；（3）若C（x C，﹣4），可以在△AOB边上找到点Q使得点C，Q的“相关矩形”是“完美矩形”，直接写出x C的取值范围．2018-2019学年北京一零一中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）（2018•苏州）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．2．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）将直线y＝2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为（）A．y＝2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝2（x+1）D．y＝2（x﹣1）【解答】解：将直线y＝2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为y＝2x+1．故选：A．3．（3分）（2018•苏州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得x+2≥0，解得x≥﹣2．故选：D．4．（3分）（2014秋•贵阳期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为（）A．（x﹣1）2＝4B．（x﹣1）2＝﹣4C．（x+1）2＝4D．（x+1）2＝﹣4【解答】解：把方程x2﹣2x﹣3＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x＝3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1＝4，配方得（x﹣1）2＝4．故选：A．5．（3分）（2018•钦州模拟）一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的内角和是（）A．540°B．720°C．900°D．1080°【解答】解：正多边形的边数为：360°÷45°＝8，∴这个多边形是正八边形，∴该多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°．故选：D．6．（3分）（2016秋•宣化县期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝﹣1，x2＝2C．x1＝﹣1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根是x＝1．∴设关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的另一根是t．∴1+t＝4，解得t＝3．即方程的另一根为3．故选：D．7．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体平均值为3，中位数为4B．乙地：总体平均值为2，总体方差为3C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体平均值为l，总体方差大于0【解答】解：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，∴A不正确；∵设连续10天，每天新增疑似病例分别为x1，x2，x3，…x10，并设有一天超过7人，设第一天为8人，则S2[（8﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x10﹣2）2]＞3，因为总体方差为3，所以说明连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，∴B正确；∵中位数和众数不能确定，∴C不正确；∵当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，∴D不正确；故选：B．8．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP ＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（）A．B．C．4D．3【解答】解：连接PM、PN．∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM∠APC＝60°，∠EPN∠EPB＝30°，∴∠MPN＝60°+30°＝90°，设P A＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN（4﹣a），∴MN，∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2，故选：A．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）用一组a，b的值说明命题“若a＜b，则＞”是错误的，这组值可以是a＝﹣1，b＝1．【解答】解：当a＝﹣1，b＝1时，满足a＜b，但＜．故答案为﹣1，1．10．（3分）（2018秋•南岗区校级月考）不等式组＞＞的解集为﹣2＜x＜3．【解答】解：＞ ①＞ ②由①得x＞﹣2，由②得x＜3，故此不等式组的解集为﹣2＜x＜3．故答案为﹣2＜x＜3．11．（3分）（2019•罗平县一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为4．【解答】解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4k＝0，解得k＝4．故答案为4．12．（3分）（2016春•黄岛区期末）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象和交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为x≥1.5．【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），∴2m＝3，解得：m＝1.5，∴A（1.5，3），∴不等式2x≥ax+4的解集为x≥1.5．故答案为x≥1.513．（3分）（2015春•洛阳期末）一个平行四边形的一边长是9，两条对角线的长分别是12和6 ，则此平行四边形的面积为36．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：则有平行四边形ABCD中，BC＝9，AC＝12，BD＝6，∴OC AC＝6，OB BD＝3，∵OC2+OB2＝36+45＝81，BC2＝81，∴OC2+OB2＝BC2，∴∠BOC＝90°，即AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，则菱形ABCD的面积S BD•OC BD•OABD（OC+OA）AC•BD12×636．故答案为：36．14．（3分）（2014秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 ＞y2 ．（用“＜”，“＝”或“＞”号连接）【解答】解：由y＝x2可知，∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，∴2＜﹣x1＜4，∴y1＞y2．15．（3分）（2018秋•渠县校级月考）若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则写出符合条件的点P的坐标：（﹣2，﹣15），（﹣7，0）．【解答】解：∵对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4）∴（x0+4）≠a（x0﹣1）∴x0＝﹣4或x0＝1，∴点P的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）故答案为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）．16．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）2014年12月28日开始，北京市公共汽车和地铁按里程分段计价．乘坐地铁（不包括机场线）具体方案如下：6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里．使用市政交通一卡通刷卡，每自然月内每张卡支出累计满100元以后的乘次，价格给予8折优惠；满150元以后的乘次，价格给予5折优惠；支出累计达到400元以后的乘次，不再享受打折优惠．小李上班时，需要乘坐地铁15.9公里达到公司，每天上下班共乘坐两次，每月按上班22天计算，如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么小李每月第21次乘坐地铁时，他刷卡支出的费用是4元；他每月上下班乘坐地铁的总费用是179.5元．【解答】解：小李每天上下班的费用为5元，即每天10元，10天后花费100元，第21次乘坐地铁时，价格给予8折优惠，此时花费5×0.8＝4元，10天后花费100元，此时6天花费8×6＝48元，此时合计花费148元，7天后的上午花费148+4＝152元，从第17天的下午开始车费是5×0.5＝2.5元，此时到22天结束还需要乘车11次，需要花费2.5×11＝27.5元，故合计148+27.5＝179.5元．故答案为：4；179.5．三、解答题（本题共52分，17-19题4分，20-23题5分，25题6分，24，26题7分）17．（4分）（2018秋•海淀区校级月考）计算：（1）0+（）﹣1+|2|【解答】解：原式＝21+2+23．18．（4分）（2018春•伊川县期末）如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：∵四边形AEFD是平行四边形，∴AD＝EF，且AD∥EF，同理可得BC＝EF，且BC∥EF，∴AD＝BC，且AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形．19．（4分）（2014秋•海淀区期中）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0的根，求代数式2（m﹣1）2+3的值．【解答】解：依题意，得1﹣4m+2m2＝0，∴2m2﹣4m＝﹣1，∴2（m﹣1）2+3＝2（m2﹣2m+1）+3＝2m2﹣4m+5＝﹣1+5＝4．即2（m﹣1）2+3＝4．20．（5分）（2012•吉林模拟）某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善城市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？【解答】解：设每期减少的百分率为x，根据题意得：450×（1﹣x）2＝288，解得：x1＝1.8（舍去），x2＝0.2解得x＝20%．答：每期减少的百分率是20%．21．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每个营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：17 18 16 13 24 15 28 26 18 1922 17 16 19 32 30 16 14 15 2615 32 23 17 15 15 28 28 16 19（1）补全条形图；（2）月销售额为15万元的人数最多；（3）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，月销售目标定为多少合适？DA.15万元B.16万元C.18万元D.19万元（4）如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售目标定为多少合适？请说明理由．【解答】解：（1）补全图形如下：（2）月销售额为15万元的人数最多，故答案为：15万元；（3）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，月销售目标定为19万元合适，故答案为：D．（4）月销售目标定为22万元合适，理由是：在30人中，达到22万元的11人，比一半的人数稍多，较为容易达到此目标．22．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）Ω星球某学生初二暑假作业中有下面一题：四个同学W，X，Y，Z对结论BD（BC+BF）进行了如下分析：注意到BC＝BA，BF ＝BE，BD＝AD＝CD，2BD＝AC等等，于是要证的结论可以变为……并给出了问题（1）②四种不同的证明思路：W：延长EB至点G使得BG＝BC，此时BD即为△GAC的中位线．只需证明GE＝GC；X：延长AB至点H使得BH＝BE，只需证明AH＝AC；Y：延长BA至点K使得AK＝BE，延长BD至点L使得DL＝BD，只需证明BK＝BL；Z：取AE中点M，只需证明BM＝BD．请你对以上四位同学的思路进行分析，并判断哪几位同学的证明思路可以解出问题（2），只写出你的结论，不需要证明．【解答】解：W，Y，Z的思路可以解决问题（2）．理由：①W：延长EB至点G使得BG＝BC，连接CG．当BF＝BE时，满足条件：BD（BC+BF），∵BA＝BC，BD⊥AC，∴AD＝DC，∵AB＝CB＝BG，∴BD∥CG，BD CG，∴∠BFE＝∠GCE，∴∠GEC＝∠GCE，∴GE＝GC，此时满足条件BD（BC+BF），∵∠BEF＝∠BFE，∴（180°﹣∠ABC）+∠ACE＝90°﹣∠ACE，∴∠ACE∠ABC．②延长BA至点K使得AK＝BE，延长BD至点L使得DL＝BD，连接KL．同法可证：当BF＝BE时，满足条件：BD（BC+BF），∵∠BEF＝∠BFE，∴（180°﹣∠ABC）+∠ACE＝90°﹣∠ACE，∴∠ACE∠ABC．③取AE中点M，只需证明BM＝BD．同法可证：当BF＝BE时，满足条件：BD（BC+BF），∵∠BEF＝∠BFE，∴（180°﹣∠ABC）+∠ACE＝90°﹣∠ACE，∴∠ACE∠ABC．23．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，，，所以数列2，﹣1，3的价值为．小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：（1）数列﹣4，﹣3，2的价值为；（2）将“﹣4，﹣3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为，取得价值最小值的数列为﹣3，2，﹣4；或2，﹣3，﹣4．（写出一个即可）；（3）将2，﹣9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为11或4．【解答】解：（1）因为|﹣4|＝4，||＝3.5，||，所以数列﹣4，﹣3，2的价值为．（2）数列的价值的最小值为||，数列可以为：﹣3，2，﹣4，；或2，﹣3，﹣4．（3）当||＝1，则a＝0，不合题意；当||＝1，则a＝11或7（舍弃）；当||＝1，则a＝4或10（舍弃）．∴a＝11或4．故答案为：；，﹣3，2，﹣4，；或2，﹣3，﹣4；11或4．24．（6分）（2015秋•路北区期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x ﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）当S△ABC＝15时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C的直线l：y＝kx+b（k＜0）与抛物线的另一个交点为D．该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于﹣8，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A、B两点，∴令y＝0，即x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝m，又∵点A在点B左侧，且m＞0，∴点A的坐标为（﹣1，0）；（2）由（1）可知点B的坐标为（m，0），∵抛物线与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，﹣m），∵m＞0，∴AB＝m+1，OC＝m，∵S△ABC＝15，∴m（m+1）＝15，即m2+m﹣30＝0，解得：m＝﹣6或m＝5，∵m＞0，∴m＝5；则抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5；（3）由（2）可知点C的坐标为（0，﹣5），∵直线l：y＝kx+b（k＜0）经过点C，∴b＝﹣5，∴直线l的解析式为y＝kx﹣5（k＜0），∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∴当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为﹣9，不符合题意；当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于﹣8，令y＝﹣8，即x2﹣4x﹣5＝﹣8，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝3，∴抛物线经过点（3，﹣8），当直线y＝kx﹣5（k＜0）经过点（3，﹣8）时，可求得k＝﹣1，由图象可知，当﹣1＜k＜0时新函数的最小值大于﹣8．25．（7分）（2007•宿迁）如图，已知AE、BD相交于点C，AC＝AD，BC＝BE，F、G、H 分别是DC、CE、AB的中点．求证：（1）HF＝HG；（2）∠FHG＝∠DAC．【解答】证明：（1）连接AF，BG，∵AC＝AD，BC＝BE，F、G分别是DC、CE的中点，∴AF⊥BD，BG⊥AE．在直角三角形AFB中，∵H是斜边AB中点，∴FH AB．同理得HG AB，∴FH＝HG．（2）∵FH＝BH，∴∠HFB＝∠FBH；∵∠AHF是△BHF的外角，∴∠AHF＝∠HFB+∠FBH＝2∠BFH；同理∠AGH＝∠GAH，∠BHG＝∠AGH+∠GAH＝2∠AGH，∴∠ADB＝∠ACD＝∠CAB+∠ABC＝∠BFH+∠AGH．又∵∠DAC＝180°﹣∠ADB﹣∠ACD，＝180°﹣2∠ADB，＝180°﹣2（∠BFH+∠AGH），＝180°﹣2∠BFH﹣2∠AGH，＝180°﹣∠AHF﹣∠BHG，而根据平角的定义可得：∠FHG＝180°﹣∠AHF﹣∠BHG，∴∠FHG＝∠DAC．26．（7分）（2018秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．如图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．若定义该矩形的垂直于x轴的边的长度为矩形的“身高”，垂直于y 轴的边的长度为矩形的“形宽”，“身高”与“形宽”的比为k，若0＜k＜则称该矩形为“折翼矩形”，若k≤2则称该矩形为“完美矩形”，若k＞2则称该矩形为“魔鬼矩形”．已知点A（0，4），B（4，0）．（1）点A，B的“相关矩形”是折翼矩形（填“折翼矩形”或“完美矩形”或“魔鬼矩形”）；（2）若点P是直线AB上一动点，且点O，P的“相关矩形”是“完美矩形”，直接写出点P的横坐标x P的取值范围；（3）若C（x C，﹣4），可以在△AOB边上找到点Q使得点C，Q的“相关矩形”是“完美矩形”，直接写出x C的取值范围．【解答】解：（1）点A，B的“相关矩形”的身高为4，“形宽”为4，∴k＝1，∴0＜k＜，∴点A，B的“相关矩形”是折翼矩形；故答案为折翼矩形．（2）如图，∵A（0，4），B（4，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4，设P（x p，﹣x P+4），由题意：＜||＜2．解得：或；（3）如图：当Q1与A重合时，C1在A的左侧，由题意：，解得x C＝﹣4，当Q2与B重合时，C2在A的右侧，由题意：，解得x C＝4+2，观察图象可知，满足条件的x C的取值范围：。
2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本题共16分，每题2分）1．（2分）（2005•苏州）如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）A．90°B．60°C．45°D．30°2．（2分）（2018春•沂源县期中）半径为2、圆心角为30°的扇形的面积为（）A．2πB．πC．πD．π3．（2分）（2017秋•辉县市期末）如图4，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长为（）A．B．10C．3D．4．（2分）（2012•黔南州）如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（）A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m5．（2分）（2017•苏州）若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a （x﹣2）2+1＝0的实数根为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6C．x1，x2D．x1＝﹣4，x2＝06．（2分）（2018•济宁模拟）如图，点A是反比例函数y的图象上的一点，过点A作AB ⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣3C．6D．﹣67．（2分）（2012•菏泽）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c 和反比例函数y在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．（2分）（2004•天津）如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，P A与BC 交于点E，有如下结论：①P A＝PB+PC；②；③P A•PE＝PB•PC．其中，正确结论的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018春•邹城市期中）在实数范围内，若有意义，则x的取值范围．10．（2分）（2017秋•孟津县期末）有画有等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、长方形、等边三角形五张卡片，背面朝下，颜色、形状、大小都一样，任取一张是中心对称图形的概率是．11．（2分）（2018秋•蓟州区期中）当k时，方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程．12．（2分）（2018•海宁市二模）若抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是．13．（2分）（2018•青海二模）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是．14．（2分）（2019•滨州二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为．15．（2分）（2018春•驿城区校级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝3，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为．16．（2分）（2018•淮阳县二模）如图，点P、Q分别是正方形ABCD中边CD和AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，y与x 的大致函数图象如图所示，则△AEF的最大面积为．三．解答题（本题共68分，第17-22题，每小題5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．（5分）（2018秋•江都区期中）解下列方程（1）（x﹣5）2＝x﹣5（2）x2+12x+27＝0（配方法）．18．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．小华的作法如下：（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；（3）连接OM、ON即可请根据该同学的作图方法完成以下推理：∵半圆AB∴是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：）∵OA＝OM＝∴△OAM为等边三角形（依据：）∴∠AOM＝60°（依据：）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°19．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．（1）画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长．（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．20．（5分）（2018秋•江都区期中）阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c＝0（a≠0）的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如：求解2x4﹣5x2+3＝0的解．解：设x2＝t，则原方程可化为：2t2﹣5t+3＝0，解之得t1＝1，t2当t1＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；当t2时x2∴x3，x4．综上，原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣1，x3，x4．（1）通过上述阅读，请你求出方程3y4+8y2﹣3＝0的解；（2）判断双二次方程ax4+bx2+c＝0（a≠0）根的情况，下列说法正确的是（选出正确的答案）．①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．21．（5分）（2018•连云港）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．22．（5分）（2016秋•东城区期末）问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）23．（6分）（2018•平谷区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y的图象与直线y＝x+1交于点A（1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y上一点，且满足OP＝OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．24．（6分）（2016•扬州二模）已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP 为半径的半圆与y轴的另一个交点是C，一次函数y x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．（1）B点坐标是（用含m的代数式表示），∠ABO＝°；（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．②当时，求m的值．25．（6分）（2018•无锡）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．26．（6分）（2018秋•海淀区校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2a（a≠0）（1）该二次函数图象的对称轴是直线．（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．27．（7分）（2018春•赣榆区期中）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE＝P A，PE交CD于F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE＝度．28．（7分）（2017秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′，，＜，则称点Q为点P的理想点．例如：点（1，2）的理想点的坐标是（1，﹣2），点（﹣2，3）的理想点的坐标是（﹣2，3）．（1）点（，﹣1）理想点的坐标是；若点C在函数y＝2x2的图象上，则它的理想点是A（1，﹣2），B（﹣1，2）中的哪一个？；（2）若点P在函数y＝﹣2x+4（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其理想点为Q：①若其理想点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣6≤b′≤10，求k的值；②在①的条件下，若点P的理想点Q都不在反比例函数y（m＜0，x＞0）上，求m 的取值范围．2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每题2分）1．（2分）（2005•苏州）如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵中心角是由8个度数相等的角组成，∴每次旋转的度数可以为360°÷8＝45°．故选：C．2．（2分）（2018春•沂源县期中）半径为2、圆心角为30°的扇形的面积为（）A．2πB．πC．πD．π【解答】解：扇形的面积π．故选：D．3．（2分）（2017秋•辉县市期末）如图4，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长为（）A．B．10C．3D．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBF+∠FBA＝90°，AB＝BC，∵CF⊥BE，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS）∴AE＝BF，BE＝CF，∴AB．故选：A．4．（2分）（2012•黔南州）如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（）A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m【解答】解：如图，∵BC＝3.2m，CA＝0.8m，∴AB＝AC+BC＝0.8+3.2＝4cm，∵小玲与大树都与地面垂直，∴△ACE∽△ABD，∴，即，解得BD＝8．故选：A．5．（2分）（2017•苏州）若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a （x﹣2）2+1＝0的实数根为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6C．x1，x2D．x1＝﹣4，x2＝0【解答】解：∵二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），∴4a+1＝0，∴a，∴方程a（x﹣2）2+1＝0为：方程（x﹣2）2+1＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：A．6．（2分）（2018•济宁模拟）如图，点A是反比例函数y的图象上的一点，过点A作AB ⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△CAB＝3，而S△OAB|k|，∴|k|＝3，∵k＜0，∴k＝﹣6．故选：D．7．（2分）（2012•菏泽）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c 和反比例函数y在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵二次函数图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＜0，∴b＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c＝0，∴一次函数y＝bx+c过第二四象限且经过原点，反比例函数y位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项符合．故选：C．8．（2分）（2004•天津）如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，P A与BC交于点E，有如下结论：①P A＝PB+PC；②；③P A•PE＝PB•PC．其中，正确结论的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个【解答】解：延长BP到D，使PD＝PC，连接CD，可得∠CPD＝∠BAC＝60°，则△PCD为等边三角形，∵△ABC为正三角形，∴BC＝AC∵∠PBC＝∠CAP，∠CP A＝∠CDB，∴△APC≌△BDC（AAS）．∴P A＝DB＝PB+PD＝PB+PC，故①正确；由（1）知△PBE∽△P AC，则，，1，∴②错误；∵∠CAP＝∠EBP，∠BPE＝∠CP A∴△PBE∽△P AC∴∴P A•PE＝PB•PC，故③正确；故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018春•邹城市期中）在实数范围内，若有意义，则x的取值范围x．【解答】解：根据题意得1﹣2x≥0，解得：x，故答案为：x．10．（2分）（2017秋•孟津县期末）有画有等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、长方形、等边三角形五张卡片，背面朝下，颜色、形状、大小都一样，任取一张是中心对称图形的概率是．【解答】解：∵在这5张卡片中是中心对称图形的有平行四边形和长方形这2张，∴任取一张是中心对称图形的概率是，故答案为：．11．（2分）（2018秋•蓟州区期中）当k≠﹣5时，方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程．【解答】解：∵方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程，∴（k+5）x2+x﹣2＝0，则k+5≠0，解得：k≠﹣5．故答案为：≠﹣5．12．（2分）（2018•海宁市二模）若抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2﹣2．【解答】解：y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2﹣2，故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．13．（2分）（2018•青海二模）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是70°．【解答】解：由题意知：∠ACA′＝20°；若AC⊥A'B'，则∠A′+∠ACA′＝90°，得：∠A′＝90°﹣20°＝70°；由旋转的性质知：∠BAC＝∠A′＝70°；故∠BAC的度数是70°．14．（2分）（2019•滨州二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为68°．【解答】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，∵∠AIC＝124°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）＝68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°，故答案为：68°．15．（2分）（2018春•驿城区校级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝3，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD3；故答案为：3．16．（2分）（2018•淮阳县二模）如图，点P、Q分别是正方形ABCD中边CD和AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，y与x 的大致函数图象如图所示，则△AEF的最大面积为．【解答】解：结合题意和图象可知，x＝2时，点E在AB中点，点Q到D点∴AB＝4当2≤x≤4时，y当x时，y最大故答案为：三．解答题（本题共68分，第17-22题，每小題5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．（5分）（2018秋•江都区期中）解下列方程（1）（x﹣5）2＝x﹣5（2）x2+12x+27＝0（配方法）．【解答】解：（1）（x﹣5）2﹣（x﹣5）＝0，（x﹣5）（x﹣5﹣1）＝0，x﹣5＝0或x﹣6＝0，所以x1＝5，x2＝6；（2）x2+12x＝﹣27，x2+12x+36＝9，（x+6）2＝9，x+6＝±3，所以x1＝﹣3，x2＝﹣9．18．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．小华的作法如下：（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；（3）连接OM、ON即可请根据该同学的作图方法完成以下推理：∵半圆AB∴AB是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：中垂线的定义）∵OA＝OM＝AM∴△OAM为等边三角形（依据：等边三角形的定义）∴∠AOM＝60°（依据：等边三角形的性质）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°【解答】解：∵半圆AB，∴AB是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：中垂线的定义）∵OA＝OM＝AM，∴△OAM为等边三角形（依据：等边三角形的定义）∴∠AOM＝60°（依据：等边三角形的性质）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°，故答案为：AB，中垂线的定义，AM，等边三角形的定义，等边三角形的性质．19．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．（1）画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长．（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．【解答】解：（1）如图所示；（2）四边形OCED是菱形．理由：∵△DEC由△AOB平移而成，∴AC∥DE，BD∥CE，OA＝DE，OB＝CE，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∴DE＝CE，∴四边形OCED是菱形．20．（5分）（2018秋•江都区期中）阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c＝0（a≠0）的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如：求解2x4﹣5x2+3＝0的解．解：设x2＝t，则原方程可化为：2t2﹣5t+3＝0，解之得t1＝1，t2当t1＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；当t2时x2∴x3，x4．综上，原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣1，x3，x4．（1）通过上述阅读，请你求出方程3y4+8y2﹣3＝0的解；（2）判断双二次方程ax4+bx2+c＝0（a≠0）根的情况，下列说法正确的是②（选出正确的答案）．①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．【解答】（1）解：设y2＝t，则原方程可化为：3t2+8t﹣3＝0，解得：t1，t2＝﹣3．当t1时，y2，y＝±；当t2＝﹣3时y2＝﹣3，此时原方程无；．综上，原方程的解为：y1，y2；（2）根据阅读新知可判断②正确；如：x4+4x2+3＝0，虽然△＝b2﹣4ac＝16﹣12＝4＞0，但原方程可化为（x2+1）（x2+3）＝0，明显，此方程无解；所以，①③错误，故答案为②．21．（5分）（2018•连云港）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠F AE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△F AE≌△CDE，∴CD＝F A，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC＝2CD．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°，∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∵E是AD的中点，∴AD＝2CD，∵AD＝BC，∴BC＝2CD．22．（5分）（2016秋•东城区期末）问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵，∠C＝45°，AD是△ABC的一条等积线段，∴点D为线段BC的中点，BC＝4，∴AD＝2；（2）符合题意的图形如右上角图2和图3所示：如图2，当BD是△ABC的一条等积线段时，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，BD是△ABC的一条等积线段，∴点D为AC的中点，∴AD，∴BD；如图3，当DE是△ABC的一条等积线段时，此时DE∥BC，则△ADE的面积等于△ABC面积的一半，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴△ABC的面积为：，∴△ADE的面积是2，设AD＝a，则，得a2＝4，∴DE．23．（6分）（2018•平谷区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y的图象与直线y＝x+1交于点A（1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y上一点，且满足OP＝OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1经过点A（1，a），∴a＝1+1＝2，∴A（1，2）．∵函数y的图象经过点A（1，2），∴k＝1×2＝2；（2）设点P的坐标为（x，），∵OP＝OA，∴x2+（）2＝12+22，化简整理，得x4﹣5x2+4＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2，经检验，x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2都是原方程的根，∵点P与点A不重合，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2），（2，1），（﹣2，﹣1）．24．（6分）（2016•扬州二模）已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP 为半径的半圆与y轴的另一个交点是C，一次函数y x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．（1）B点坐标是（m，0）（用含m的代数式表示），∠ABO＝30°；（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．②当时，求m的值．【解答】解：（1）当y＝0，则0x+m，解得：x m，故B点坐标是，（用含m的代数式表示），∵一次函数y x+m与y轴交于点（0，m），∴tan∠ABO，∴∠ABO＝30°；故答案为：（m，0），30；（2）①如图①，假设存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形．连接NP 若∠NEB＝90°，∵NE是⊙P的切线，∴∠PNE＝90°，∵∠POE＝90°，∴四边形OPNE是矩形，∴PN＝2，∠APN＝90°，在Rt△APN中，PN＝2，∠BAO＝60°，∴P A，∴m＝2，若∠ENB＝90°，∵NE是⊙P的切线，∴∠PNE＝90°，∴点P、N、B三点共线，即点P与点A重合，∴m＝2，综上可知，m＝2或2；②如图②，连接PN，过点E作，EG⊥AB于G，过点P作，PH⊥AB于H，则P A＝m﹣2，PH，∵，∴EB，EN＝EO，EG，∴EG：EN＝1：4，∴NG：EN：，∵∠PNE＝90°，∴∠PNH+∠ENG＝90°，∵∠GNE+∠NEG＝90°，∴∠NEG＝∠PNH，∵∠PHN＝∠EGN＝90°，∴△PHN∽△NGE，∴，∴，解得：m．25．（6分）（2018•无锡）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．【解答】（1）解：如图△ABC即为所求；（2）解：这样的直线不唯一．①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，此时直线的解析式为y x．②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件，此时直线A′C′的解析式为y x+4．26．（6分）（2018秋•海淀区校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2a（a≠0）（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝1．（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2a（a≠0），∴该二次函数图象的对称轴是直线x1，故答案为：x＝1；（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，﹣1≤x≤5，∴当x＝5时，y取得最大值，即M（5，），∴，得a，∴该二次函数的表达式为y＝ax2﹣2ax﹣2a＝a（x﹣1）2﹣3a，即点N的坐标为（1，）．（3）当a＞0时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，∵t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，点A（x1，y1）B（x2，y2）在该函数图象上，∴t≥3或t+1≤1﹣（3﹣1），解得，t≥3或t≤﹣2；当a＜0时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，∵t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，点A（x1，y1）B（x2，y2）在该函数图象上，∴，∴﹣1≤t≤2．27．（7分）（2018春•赣榆区期中）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE＝P A，PE交CD于F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE＝115度．【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∵P A＝PE，∴PC＝PE；（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°；（3）在菱形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP，DP＝DP，∴△DP A≌△DPC，∴∠DAP＝∠DCP，P A＝PC，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠E＝∠PCD，∵∠DFE＝∠CFP，∴∠CPF＝∠EDF，∵∠ABC＝∠ADC＝65°，∴∠CPE＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝115°故答案为115．28．（7分）（2017秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′，，＜，则称点Q为点P的理想点．例如：点（1，2）的理想点的坐标是（1，﹣2），点（﹣2，3）的理想点的坐标是（﹣2，3）．（1）点（，﹣1）理想点的坐标是（，﹣1）；若点C在函数y＝2x2的图象上，则它的理想点是A（1，﹣2），B（﹣1，2）中的哪一个？A（1，﹣2）；（2）若点P在函数y＝﹣2x+4（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其理想点为Q：①若其理想点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣6≤b′≤10，求k的值；②在①的条件下，若点P的理想点Q都不在反比例函数y（m＜0，x＞0）上，求m 的取值范围．【解答】解：（1）点（，﹣1）理想点的坐标是（，1），∵点C（1，2）的理想点为（1，﹣2），∴点C在函数y＝2x2的图象上，则它的理想点是A（1，﹣2）故答案为（，﹣1），A（1，﹣2）；（2）①如图1中，点P在函数y＝﹣2x+4（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其理想点为Q必在函数＜上，∵理想点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣6≤b′≤10，观察图象可知﹣1≤k≤7．②如图2中，直线AB的解析式为y＝2x﹣4，易知直线y＝2x﹣4①与直线y＝﹣x的交点坐标为（，），当反比例函数的解析式y②经过（，）时，m，∴反比例函数的解析式y②，联立①②得，2x2﹣4x﹣m＝0，当观察图象可知，当m＜时，点P的理想点Q都不在反比例函数y（m＜0，x＞0）上．第31页（共31页）。
2018-2019学年首师大附中初三年级12月月考(数学)一、单选题（每小题3分）1．抛物线y =(x -2)2+3的顶点是 ( )A. （2，-3）B. （2，3）C. （-2，-3）D. （-2，3）2．如左下图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，AB =5，则cosA 的值是（ ）A.B. C. D.3．如右上图，在△ABC 中，∠AED =∠B ，DE =6，AB =10，AE =8，则BC 的长度为（ ）A. B. C. 3 D.4．如左下图，在△OAB 绕点O 逆时针旋转70°得到△OCD ，若∠A =100°，∠D =50°，则∠AOD 的度数是（ ）A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°5．如右上图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，若AD =2，DB =1，△ADE 、△ABC 的面积分别为S 1、S 2，则S S 21的值为（ ） A. 32 B. 21 C. 94 D. 2 6．已知（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）是反比例函数y =-x4的图象上三点，且x 1＜0＜x 2＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A. y 1＜0＜y 2＜y 3B. y 1＞0＞y 2＞y 3C. y 1＜0＜y 3＜y 2D. y 1＞0＞y 3＞y 27．如左下图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（）A. （0，1） B. （1，-1） C. （0，-1） D. （1，0）8．如右上图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（2，2），一次函数y=-2x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围是（）A. 3≤b≤6B. 3≤b≤4C. 1≤b≤2D. -2≤b≤-1二、填空题（每小题3分）9．方程x（x-2）=x的根是______．10．在反比例函数y=图象的每一支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是______．11．如左下图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为______．12．已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是______．13．如右上图，AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，若∠D=30°，OA=2，则CD= ______ ．14．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R（单位：Ω）应控制的范围是___________．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，以点A为圆心作⊙A，要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A的半径长r的取值范围为______ ．16．如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果BC•AB=AC2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在“附中博识课程中”，小白菜们沿着紫禁城的中轴线，从内金水桥走到了太和殿，领略了古代建筑的宏伟.太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，设太和门到太和殿之间的距离为x丈，要求x，则可列方程为________________．三、主观题（第17题-20题每题6分，第21题-24题每题7分）17．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作已知角的角平分线．已知：如图，∠BAC．求作：∠BAC的角平分线AP．小欣的作法如下：（1）如图，在平面内任取一点O；（2）以点O为圆心，AO为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；（3）连接DE，过点O作射线OP垂直于线段DE，交⊙O于点P；（4）过点P作射线AP．所以射线AP为所求根据小欣设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OP DE∴______（________________________）（填推理的依据），∴∠BAP=______ （________________________）（填推理的依据）．18．已知m 是方程x 2-x -2=0的一个实数根，求代数式（m 2-m ）（m -m2+1）的值．19．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE ＝90°，AC ＝CE ，延长BC 至点D ，使CD ＝5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =3x 的图象与反比例函数的图象的一个交点为A （1，m ）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在直线OA 上，且满足P A =2OA ，直接写出点P 的坐标．21．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EF =DE ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接AF 交DE 于点M ，若AD =4，DE =5，求DM 的长．22．已知关于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）若二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．23．问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．24．定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△P AB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P 是△ABC的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M是曲线y=（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（每小题3分）1．B试题解析：本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易.抛物线y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），直接根据抛物线y=（x-2）2+3写出顶点坐标则可.解：由于y=（x-2）2+3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（2，3）.故选B.2．B试题解析：本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．根据余弦的定义计算即可．解：在Rt△ABC中，cosA==，故选B．3．A试题解析：本题主要考查相似三角形的性质和判定，本题已知∠AED=∠B，易证得△ADE∽△ACB，由此可得出关于AE、AB，DE、BC的比例关系式，根据AE、AB、DE的长，代入比例关系式求出BC 的值即可.解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A∴△ADE∽△ACB∴∵DE=6，AB=10，AE=8∴，解得.故选A.4．C试题解析：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.根据旋转的性质得∠BOD=70°，∠B=∠D=50°，再根据三角形内角和定理计算出∠BOA=30°，然后利用∠AOD=∠BOD-∠BOA进行计算即可.解：∵△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，∴∠BOD=70°，∠B=∠D=50°，∴∠BOA=180°-∠A-∠B=180°-100°-50°=30°，∴∠AOD=∠BOD-∠BOA=70°-30°=40°.故选C.5．C试题解析：本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2==，故选C．6．D试题解析：本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性解答即可．在反比函数中，已知两点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分两点是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较．解：∵k=-4＜0，∴反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，又∵（x2，y2），（x3，y3）是双曲线y=上的两点，且0＜x2＜x3，∴0＞y3＞y2，又∵x1＜0，∴（x1，y1）在第二象限，∴y1＞0，∴y1＞0＞y3＞y2．故选D．7．B试题解析：本题考查旋转的性质，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，是解题的关键．连接AA′，CC′，线段AA′、CC′的垂直平分线的交点就是点P．解：连接AA′、CC′，作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心．∵直线MN为：x=1，设直线CC′为y=kx+b，由题意，∴，∴直线CC′为y=，∵直线EF⊥CC′，经过CC′中点，∴直线EF为y=-3x+2，由，解得，∴P（1，-1）．故选B．8．A试题解析：本题主要考查一次函数与系数的关系，确定出一次函数y=-2x+b的两个特殊位置时b的值是解题的关键．求得A和B分别在直线上时对应的b的值，根据一次函数y=-2x+b的图象与线段AB有公共点，即可得出b的范围．解：当（1，1）在y=-2x+b上时，b=3，当（2，2）在y=-2x+b的图象上时，b=6．若一次函数y=-2x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围是3≤b≤6．故选A．二、填空题（每小题3分）9．x1=0，x2=3试题解析：本题主要考查用因式分解法解一元二次方程.只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．解：原方程可化为x（x-2）-x=0，x（x-2-1）=0，x=0或x-3=0，解得：x1=0，x2=3，故答案为x1=0，x2=3.10．k＞试题解析：本题考查了反比例函数的性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．根据反比例函数的性质得出不等式，求出不等式的解集即可．解：∵在反比例函数y=图象的每一支上，y都随x的增大而减小，∴3k-1＞0，∴k＞，故答案为：k．11．（-2，0）试题解析：本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键.根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解.解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，点P的坐标为（4，0），∴点Q的横坐标为1×2-4=-2，∴点Q的坐标为（-2，0）.故答案为（-2，0）.12．6试题解析：本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用扇形的面积公式.根据扇形的面积公式，代入数值求出R即可.解：根据扇形的面积公式，得：.故答案为6.13．2试题解析：解：连接CO，∵DC与⊙O相切于点C，∴∠OCD=90°，∵∠D=30°，OA=CO=2，∴DO=4，∴CD==2．故答案为：2．直接利用切线的性质得出∠OCD=90°，进而用勾股定理得出DC的长．此题主要考查了切线的性质以及勾股定理，正确得出DO的长是解题关键．14．R≥3.6试题解析：本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过10A列不等式，求出结论．解：设反比例函数关系式为：，把（9，4）代入得：k=4×9=36，∴反比例函数关系式为：，当I≤10时，则，R≥3.6．故答案为R≥3.6．15．12＜r＜13试题解析：熟记“设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”即可求解，本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．解：如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞12，点B在圆A外，则r＜13，因而圆A半径r的取值范围为12＜r＜13．故答案为12＜r＜13．16．解：设太和门到太和殿的距离为x丈，由题意可得，x2=100（100-x）解得，，（舍去）则x≈-50+50×2.2=60，答：太和门到太和殿的距离为60丈．试题解析：本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC 是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．解：设太和门到太和殿的距离为x丈，由题意可得，x2=100（100-x）.故答案为x2=100（100-x）.三、主观题（第17题-20题每题6分，第21题-24题每题7分）17．解：（1）作图如下：（2）；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；∠CAP；等弧所对圆周角相等. 试题解析：本题主要考查了作角平分线的基本作图，作图时借助圆的垂径定理作出，理解和正确利用垂径定理是解题关键.从画法（1）（2）可知点A、D、E为以点O为圆心，AO为半径的圆上的点，得∠DAE为圆O的圆周角，DE为弦，由垂径定理得，然后由同弧或等弧所对的圆周角相等得∠DAP=∠CAP，再由角平分线的定义即可得AP是∠BAC的角平分线.解：（1）见答案；（2）证明：作图依据是：从画法（1）（2）可知点A、D、E为以点O为圆心，AO为半径的圆上的点，∴∠DAE为圆O的圆周角，DE为弦从画法（3）可知半径OP垂直于弦DE，∵OP DE∴（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧），∴∠DAP=∠CAP（等弧或同弧所对的圆周角相等），即∠BAP=∠CAP，故AP是∠BAC的角平分线（角平分线的定义）.故答案为；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；∠CAP；等弧所对圆周角相等.18．解：∵m是方程x2-x-2=0的一个实数根，∴m2-m-2=0，∴m2-m=2，m2-2=m，∴（m2-m）（m-+1）===2×（1+1）=2×2=4．试题解析：本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解答．根据m是方程x2-x-2=0的一个实数根，然后对题目中所求式子进行变形即可解答本题．19．证明：∵∠B=90°，AB=4，BC=2，∴，∵CE=AC，∴，∵CD=5，∵，，∴，∵∠B=90°，∠ACE=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BAC=∠DCE，∴△ABC∽△CED.试题解析：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.先利用勾股定理计算出，则，所以，再证明∠BAC=∠DCE．然后根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△CED.20．解：（1）∵点A（1，m）在一次函数y=3x的图象上，∴m=3；∴点A的坐标为（1，3），∵点A（1，3）在反比例函数的图象上，∴k=3；∴反比例函数的解析式为．（2）点P的坐标为P（3，9）或P（-1，-3）．试题解析：本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．（1）把A的坐标代入函数解析式即可求得m的值，即可得到反比例函数解析式；（2）P A=2OA，则P在以A为圆心，以2OA为半径的圆上，圆与直线OA的交点就是P．可设点P（a，3a），已知点A（1，3），那么OA==，∵P A=2OA，∴P A=，∴（a-1）2+（3a-3）2=（）2，∴a=-1或a=3，∴点P的坐标为P（3，9）或P（-1，-3）．21．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE．∴∠CBD=∠BDE．∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD．∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°，∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°．∴OD⊥DF．∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°．∵，∴△ABD≌△CBD（AAS）．∴CD=AD=4，AB=BC．∵DE=5，∴，EF=DE=5．∵∠CBD=∠BDE，∴BE=DE=5．∴BF=BE+EF=10，BC=BE+EC=8．∴AB=8．∵DE∥AB，∴△ABF∽△MEF．∴．∴ME=4．∴DM=DE-EM=1．试题解析：主要考查了切线的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．（1）先得出∠ABD=∠CBD，进而得出OD⊥DF，即可得出结论；（2）连接DC，利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBD，进而根据相似三角形的性质解答即可．22．（1）证明：①当k=0时，方程为x+3=0，所以x=-3，方程有实数根，②当k≠0时，，，，，所以，方程有实数根，综上所述，无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）解：令y=0，则，解关于x的一元二次方程，得，，∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k=1；（3）解：由（2）得抛物线的解析式为，配方得，∴抛物线的顶点M（-2，-1），∴直线OD的解析式为y=x，于是设平移后的抛物线的顶点坐标为，∴平移后的抛物线解析式为，①当抛物线经过点C时，令x=0，则y=9，∴C（0，9），∴，解得，∴当时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点；②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组，消掉y得，，∴，解得h=4，此时抛物线与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意，综上所述：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或．试题解析：本题是二次函数的综合题型，主要考查了根的判别式，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与不等式的关系，第（3）小题根据CD是射线，要分情况讨论.（1）分k=0时，方程为一元一次方程，有解，k≠0时，表示出根的判别式，再根据非负数的性质判断出△≥0，得到一定有实数根；（2）令y=0，解关于x的一元二次方程，根据二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标都是整数，可求出k值为1；（3）先根据（2）中的k值写出二次函数解析式并整理成顶点式形式，然后写出点M的坐标，然后写出直线OD的解析式，再根据平移的性质设平移后的抛物线顶点坐标为，然后写出抛物线的顶点式形式为，再分①抛物线经过点C时，然后把点C的坐标代入抛物线求出h的值，再根据函数图象写出h的取值范围；②直线与抛物线只有一个交点时，联立直线与抛物线解析式消掉未知数y，利用根的判别式△=0列式求出h的值，然后求出交点坐标，从而得解.23．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA=MC．在△MBA和△MGC中，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB=MG，又∵MD⊥BC，∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD；实践应用（1）BE=CE+AC；（2）根据阿基米德折弦定理得，CE=BD+DE，∵△BCD的周长为4+2，∴BD+CD+BC=4+2，∴BD+DE+CE+BC=2CE+BC=4+2，∵BC=2，∴CE=2，在Rt△ACE中，∠ACD=45°，∴AC=CE=4．试题解析：首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；（1）直接根据阿基米德折弦定理得出结论；（2）根据阿基米德折弦定理得出CE=BD+DE，进而求出CE，最后用勾股定理即可得出结论．此题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，理解和应用阿基米德折弦定理是解题关键．24．解：（1）∵∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，∴△NOP∽△MON，∴点P是△MON的自相似点；过P作PD⊥x轴于D，则，∴∠MON=60°，∵当点M的坐标是，点N的坐标是，∴∠MNO=90°，∵△NOP∽△MON，∴∠NPO=∠MNO=90°，在Rt△OPN中，，∴，，∴；（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：∵点M的坐标是，点N的坐标是（2，0），∴，直线OM的解析式为，ON=2，∠MOH=30°，MN==2，∴MN=ON，分两种情况：①如图3所示：∵P是△MON的自相似点，∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，∴PO=PN，，∴P的横坐标为1，∴，∴；②如图4所示：∵P是△MON的自相似点，∴△PNM∽△NOM，∴，即，解得：，即P的纵坐标为，代入得：，解得：x=2，∴；综上所述：△MON的自相似点的坐标为或；（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，，；理由如下：∵，，∴，∠MON=60°，∴△MON是等边三角形，∵点P是△MON的内部或边上的点（顶点除外），∴∠PON≠∠M，∠PNO≠∠MON，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．。
2018-2019学年北京市首都师大附中初三第一学期数学12月份月考试卷一、单选题（每小题3分）1．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则cos A的值是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长度为（）A．B．C．3D．4．如图，在△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D ＝50°，则∠AOD的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD＝2，DB＝1，△ADE、△ABC的面积分别为S1、S2，则的值为（）A．B．C．D．26．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数y＝的图象上三点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜0＜y2＜y3B．y1＞0＞y2＞y3C．y1＜0＜y3＜y2D．y1＞0＞y3＞y2 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（）A．（0，1）B．（1，﹣1）C．（0，﹣1）D．（1，0）8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（2，2），一次函数y＝﹣2x+b 与线段AB有公共点，则b的取值范围是（）A．3≤b≤6B．3≤b≤4C．1≤b≤2D．﹣2≤b≤﹣1二、填空题（每小题3分）9．方程x（x﹣2）＝x的根是．10．在反比例函数y＝图象的每一支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为．12．已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是．13．如图，AB是⊙O的直径，DC是⊙O相切于点C，若∠D＝30°，OA＝2，则CD＝．14．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，以点A为圆心作⊙A，要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A的半径长r的取值范围为．16．如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果BC•AB＝AC2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在“附中博识课程中”，小白菜们沿着紫禁城的中轴线，从内金水桥走到了太和殿，领略了古代建筑的宏伟．太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，设太和门到太和殿之间的距离为x丈，要求x，则可列方程为．三、主观题（第17题-20题每题6分，第21题-24题每题7分）17．（6分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作已知角的角平分线．已知：如图，∠BAC．求作：∠BAC的角平分线AP．小欣的作法如下：（1）如图，在平面内任取一点O；（2）以点O为圆心，AO为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；（3）连接DE，过点O作射线OP垂直于线段DE，交⊙O于点P；（4）过点P作射线AP．所以射线AP为所求根据小欣设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OPDE∴＝（）（填推理的依据），∴∠BAP＝（）（填推理的依据）．18．（6分）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．19．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．20．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝3x的图象与反比例函数的图象的一个交点为A（1，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在直线OA上，且满足P A＝2OA，直接写出点P的坐标．21．（7分）如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE ∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF＝DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，DE＝5，求DM的长．22．（7分）已知关于x的方程kx2+（3k+1）x+3＝0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）若二次函数y＝kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y＝﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．23．（7分）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC 所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC……请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为．（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为AB上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD于点E，△BDC的周长为4+2，BC＝2，请求出AC的长．24．（7分）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△P AB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC，则△BCP ∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M是曲线y＝（x＞0）上的任意一点，点N是x 轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP＝∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△MON 的自相似点的坐标；（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题1．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【分析】由抛物线的顶点式y＝（x﹣h）2+k直接看出顶点坐标是（h，k）．解：∵抛物线为y＝（x﹣2）2+3，∴顶点坐标是（2，3）．故选：B．【点评】要求熟练掌握抛物线的顶点式．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则cos A的值是（）A．B．C．D．【分析】根据余弦的定义计算即可．解：在Rt△ABC中，cos A＝＝，故选：B．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．3．如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长度为（）A．B．C．3D．【分析】本题已知了∠AED＝∠B，易证得△ADE∽△ACB，由此可得出关于AE、AB，DE、BC的比例关系式；已知了AE、AB、DE的长，可根据比例关系式求出BC的值．解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A∴△ADE∽△ACB∴∵DE＝6，AB＝10，AE＝8∴，即BC＝．故选：A．【点评】本题主要考查相似三角形的性质．难度较低．4．如图，在△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D ＝50°，则∠AOD的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据旋转的性质得∠BOD＝70°，∠B＝∠D＝50°，再根据三角形内角和定理计算出∠BOA＝30°，然后利用∠AOD＝∠BOD﹣∠BOA进行计算即可．解：∵△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，∴∠BOD＝70°，∠B＝∠D＝50°，∴∠BOA＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣100°﹣50°＝30°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠BOA＝70°﹣30°＝40°．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD＝2，DB＝1，△ADE、△ABC的面积分别为S1、S2，则的值为（）A．B．C．D．2【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．6．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数y＝的图象上三点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜0＜y2＜y3B．y1＞0＞y2＞y3C．y1＜0＜y3＜y2D．y1＞0＞y3＞y2【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．解：∵k＝﹣4＜0，故反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，又∵（x2，y2），（x3，y3）是双曲线y＝上的两点，且0＜x2＜x3，∴0＞y3＞y2，又∵x1＜0，故（x1，y1）在第二象限，y1＞0，∴y1＞0＞y3＞y2．故选：D．【点评】在反比函数中，已知两点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分两点是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（）A．（0，1）B．（1，﹣1）C．（0，﹣1）D．（1，0）【分析】根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．解：由图形可知，对应点的连线CC′、AA′的垂直平分线的交点是点（1，﹣1），根据旋转变换的性质，点（1，﹣1）即为旋转中心．故旋转中心坐标是P（1，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的旋转以及对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握网格结构，找出对应点的位置是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（2，2），一次函数y＝﹣2x+b 与线段AB有公共点，则b的取值范围是（）A．3≤b≤6B．3≤b≤4C．1≤b≤2D．﹣2≤b≤﹣1【分析】求得A和B分别在直线上时对应的k的值，根据一次函数y＝﹣2x+b 的图象与线段AB有公共点，即可得出k的范围．解：当（1，1）在y＝﹣2x+b上时，b＝3，当（2，2）在y＝﹣2x+b的图象上时，b＝6．若一次函数y＝﹣2x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围是3≤b≤6．故选：A．【点评】本题主要考查一次函数与系数的关系，确定出一次函数y＝﹣2x+b的两个特殊位置时b的值是解题的关键．二、填空题（每小题3分）9．方程x（x﹣2）＝x的根是x1＝0，x2＝3．【分析】观察原方程，可先移项，然后用因式分解法求解．解：原方程可化为x（x﹣2）﹣x＝0，x（x﹣2﹣1）＝0，x＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝0，x2＝3．【点评】只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．10．在反比例函数y＝图象的每一支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是k＞．【分析】根据反比例函数的性质得出不等式，求出不等式的解集即可．解：∵在反比例函数y＝图象的每一支上，y都随x的增大而减小，∴3k﹣1＞0，∴k＞，故答案为：k．【点评】本题考查了反比例函数的性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为（﹣2，0）．【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0），∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，∴点Q的坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键．12．已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是6．【分析】根据扇形的面积公式S＝，得R＝．解：根据扇形的面积公式，得R＝＝＝6，故答案为6．【点评】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用扇形的面积公式．13．如图，AB是⊙O的直径，DC是⊙O相切于点C，若∠D＝30°，OA＝2，则CD＝2．【分析】直接利用切线的性质得出∠OCD＝90°，进而勾股定理得出DC的长．解：连接CO，∵DC是⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝30°，OA＝CO＝2，∴DO＝4，∴CD＝＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了切线的性质以及勾股定理，正确得出DO的长是解题关键．14．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是R ≥3.6．【分析】根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过10A 列不等式，求出结论，并结合图象．解：设反比例函数关系式为：I＝，把（9，4）代入得：k＝4×9＝36，∴反比例函数关系式为：I＝，当I≤10时，则≤10，R≥3.6，故答案为：R≥3.6．【点评】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，以点A为圆心作⊙A，要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A的半径长r的取值范围为12＜r＜13．【分析】熟记“设点到圆心的距离为d，则当d＝r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”即可求解，解：如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞12，点B在圆A外，则r＜13，因而圆A半径r的取值范围为12＜r＜13．故答案为12＜r＜13．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d＝r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．16．如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果BC•AB＝AC2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在“附中博识课程中”，小白菜们沿着紫禁城的中轴线，从内金水桥走到了太和殿，领略了古代建筑的宏伟．太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，设太和门到太和殿之间的距离为x丈，要求x，则可列方程为x2＝100（100﹣x）．【分析】根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．解：设太和门到太和殿的距离为x丈，∵BC•AB＝AC2，∴可得，x2＝100（100﹣x），故答案为：x2＝100（100﹣x）．【点评】本题考查了黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC （AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．三、主观题（第17题-20题每题6分，第21题-24题每题7分）17．（6分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作已知角的角平分线．已知：如图，∠BAC．求作：∠BAC的角平分线AP．小欣的作法如下：（1）如图，在平面内任取一点O；（2）以点O为圆心，AO为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；（3）连接DE，过点O作射线OP垂直于线段DE，交⊙O于点P；（4）过点P作射线AP．所以射线AP为所求根据小欣设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OPDE∴＝（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）（填推理的依据），∴∠BAP＝∠CAP（等弧所对圆周角相等）（填推理的依据）．【分析】从画法（1）（2）可知点A、D、E为以点O为圆心，AO为半径的圆上的点，得∠DAE为圆O的圆周角，DE为弦，由垂径定理得＝，然后由同弧或等弧所对的圆周角相等得∠DAP＝∠CAP，再由角平分线的定义即可得AP是∠BAC的角平分线．解：（1）作图如下：（2）证明：作图依据是：从画法（1）（2）可知点A、D、E为以点O为圆心，AO为半径的圆上的点，∴∠DAE为圆O的圆周角，DE为弦从画法（3）可知半径OP垂直于弦DE，∵OPDE∴＝（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧），∴∠DAP＝∠CAP（等弧或同弧所对的圆周角相等），即∠BAP＝∠CAP，故AP是∠BAC的角平分线（角平分线的定义）．故答案为；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；∠CAP；等弧所对圆周角相等．【点评】本题主要考查了作角平分线的基本作图，作图时借助圆的垂径定理作出，理解和正确利用垂径定理是解题关键．从画法（1）（2）可知点A、D、E为以点O为圆心，AO为半径的圆上的点，得∠DAE为圆O的圆周角，DE为弦，18．（6分）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．【分析】根据m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实数根，然后对题目中所求式子进行变形即可解答本题．解：∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实数根，∴m2﹣m﹣2＝0，∴m2﹣m＝2，m2﹣2＝m，∴（m2﹣m）（m﹣+1）＝＝＝2×（1+1）＝2×2＝4．【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解答．19．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．【分析】先利用勾股定理计算出AC＝2，则CE＝2，所以＝，再证明∠BAC＝∠DCE．然后根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△CED．证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝2，∵CE＝AC，∴CE＝2，∵CD＝5，∵＝＝，＝，∴＝，∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°．∴∠BAC＝∠DCE．∴△AB C∽△CED．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．20．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝3x的图象与反比例函数的图象的一个交点为A（1，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在直线OA上，且满足P A＝2OA，直接写出点P的坐标．【分析】（1）把A的坐标代入函数解析式即可求得m的值，即可得到反比例函数解析式；（2）P A＝2OA，则P在以A为圆心，以2OA为半径的圆上，圆与直线OA的交点就是P．解：（1）∵点A（1，m）在一次函数y＝3x的图象上，∴m＝3．∴点A的坐标为（1，3）．∵点A（1，3）在反比例函数的图象上，∴k＝3．…（2分）∴反比例函数的解析式为．（2）点P的坐标为P（3，9）或P（﹣1，﹣3）．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．21．（7分）如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE ∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF＝DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，DE＝5，求DM的长．【分析】（1）先得出∠ABD＝∠CBD，进而得出OD⊥DF，即可得出结论；（2）连接DC，利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBD，进而解答即可．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE．∴∠CBD＝∠BDE．∵ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD．∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD＝180°，∴∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝90°．∴OD⊥DF．∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°．∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD．∴CD＝AD＝4，AB＝BC．∵DE＝5，∴，EF＝DE＝5．∵∠CBD＝∠BDE，∴BE＝DE＝5．∴BF＝BE+EF＝10，BC＝BE+EC＝8．∴AB＝8．∵DE∥AB，∴△ABF∽△MEF．∴．∴ME＝4．∴DM＝DE﹣EM＝1．【点评】主要考查了切线的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．22．（7分）已知关于x的方程kx2+（3k+1）x+3＝0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）若二次函数y＝kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y＝﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．【分析】（1）分k＝0时，方程为一元一次方程，有解，k≠0时，表示出根的判别式，再根据非负数的性质判断出△≥0，得到一定有实数根；（2）令y＝0，解关于x一元二次方程，求出二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标都是整数求出k值为1；（3）先根据（2）中的k值写出二次函数解析式并整理成顶点式形式，然后写出点P的坐标，然后写出直线OP的解析式，再根据平移的性质设平移后的抛物线顶点坐标为（h，h），然后写出抛物线的顶点式形式为y＝（x﹣h）2+h，再分①抛物线经过点C时，然后把点C的坐标代入抛物线求出h的值，再根据函数图象写出h的取值范围；②直线与抛物线只有一个交点时，联立直线与抛物线解析式消掉未知数y，利用根的判别式△＝0列式求出h的值，然后求出交点坐标，从而得解．（1）证明：①当k＝0时，方程为x+3＝0，所以x＝﹣3，方程有实数根，②当k≠0时，△＝（3k+1）2﹣4k•3，＝9k2+6k+1﹣12k，＝9k2﹣6k+1，＝（3k﹣1）2≥0，所以，方程有实数根，综上所述，无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）令y＝0，则kx2+（3k+1）x+3＝0，解关于x的一元二次方程，得x1＝﹣3，x2＝，∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k＝1；（3）由（2）得抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，配方得y＝（x+2）2﹣1，∴抛物线的顶点M（﹣2，﹣1），∴直线OD的解析式为y＝x，于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h），∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣h）2+h，①当抛物线经过点C时，令x＝0，则y＝9，∴C（0，9），∴h2+h＝9，解得h＝，∴当≤h＜时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点；②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组，消掉y得，x2+（﹣2h+2）x+h2+h﹣9＝0，∴△＝（﹣2h+2）2﹣4（h2+h﹣9）＝0，解得h＝4，此时抛物线y＝（x﹣4）2+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意，综上所述：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h＝4或≤h＜．【点评】本题是二次函数的综合题型，主要考查了根的判别式，二次函数与x 轴的交点问题，二次函数与不等式的关系，（3）根据CD是射线，要分情况讨论．23．（7分）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC 所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC……请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为BE＝CE+AC．（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为AB上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD于点E，△BDC的周长为4+2，BC＝2，请求出AC的长．【分析】首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB＝MG，再利用等腰三角形的性质得出BD＝GD，即可得出答案；（1）直接根据阿基米德折弦定理得出结论；（2）根据阿基米德折弦定理得出CE＝BD+DE，进而求出CE，最后用勾股定理即可得出结论．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG，∵M是的中点，∴MA＝MC．在△MBA和△MGC中，，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB＝MG，又∵MD⊥BC，∴BD＝GD，∴DC＝GC+GD＝AB+BD；实践应用（1）如图3，依据阿基米德折弦定理可得：BE＝CE+AC；故答案为：BE＝CE+AC；（2）∵AB＝AC，∴A是的中点，∵AE⊥CD，根据阿基米德折弦定理得，CE＝BD+DE，∵△BCD的周长为4+2，∴BD+CD+BC＝4+2，∴BD+DE+CE+BC＝2CE+BC＝4+2，∵BC＝2，∴CE＝2，在Rt△ACE中，∠ACD＝45°，∴AE＝CE＝2，∴AC＝4．【点评】此题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，理解和应用阿基米德折弦定理是解题关键．24．（7分）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△P AB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC，则△BCP ∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M是曲线y＝（x＞0）上的任意一点，点N是x 轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP＝∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△MON 的自相似点的坐标；（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由∠ONP＝∠M，∠NOP＝∠MON，得出△NOP∽△MON，证出点P是△MON的自相似点；过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD＝，求出∠AON＝60°，由点M和N的坐标得出∠MNO＝90°，由相似三角形的性质得出∠NPO＝∠MNO＝90°，在Rt△OPN中，由三角函数求出OP＝，OD＝，PD＝，即可得出答案；（2）作MH⊥x轴于H，由勾股定理求出OM＝2，直线OM的解析式为y＝x，ON＝2，∠MOH＝30°，分两种情况：①作PQ⊥x轴于Q，由相似点的性质得出PO＝PN，OQ＝ON＝1，求出P的纵坐标即可；②求出MN＝＝2，由相似三角形的性质得出，求出PN＝，在求出P的横坐标即可；（3）证出OM＝2＝ON，∠MON＝60°，得出△MON是等边三角形，由点P 在△MON的内部，得出∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，即可得出结论．解：（1）∵∠ONP＝∠M，∠NOP＝∠MON，∴△NOP∽△MON，∴点P是△MON的自相似点；过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD＝，∴∠MON＝60°，∵当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0），∴∠MNO＝90°，∵△NOP∽△MON，∴∠NPO＝∠MNO＝90°，在Rt△OPN中，OP＝ON cos60°＝，∴OD＝OP cos60°＝×＝，PD＝OP•sin60°＝×＝，∴P（，）；（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：∵点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），∴OM＝＝2，直线OM的解析式为y＝x，ON＝2，∠MOH＝30°，分两种情况：①如图3所示：∵P是△MON的相似点，∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，∴PO＝PN，OQ＝ON＝1，∵P的横坐标为1，∴y＝×1＝，∴P（1，）；②如图4所示：由勾股定理得：MN＝＝2，∵P是△MON的相似点，∴△PNM∽△NOM，∴，即，解得：PN＝，即P的纵坐标为，代入y＝得：＝x，解得：x＝2，∴P（2，）；综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）；（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（，3），N（2，0）；理由如下：∵M（，3），N（2，0），∴OM＝2＝ON，∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形，∵点P在△MON的内部，∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了相似三角形的性质、相似点的判定与性质、三角函数、坐标与图形性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、直线解析式的确定等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握相似点的判定与性质是解决问题的关键．。
清华附中高三2018年12月月考试卷数学（理）一． 选择题：（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 抛物线22y x =的焦点到准线的距离为(B)(A)12(B) 1 (C) 2 (D)32. 在定义域内单调递增，且为奇函数的为（A ） (A) 3x y =(B)(C)xy 1-=(D)1-=x y3. 甲、乙等四人排成一排，甲与乙不相邻的排法的种数有（B ） (A) 6(B) 12(C) 18(D) 244. 右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为（C ）(A)6 (B) 7 (C) 8 (D) 95.数列{}n a 是无穷项等比数列，则“{}n a 单调递增”是“123a a a <<”的（C ） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分且必要条件(D) 既不充分又不必要条件6. 设实数,x y 满足22(2)3x y -+=，那么yx的最大值是(A)12(B)3(C)2(D)2x y =7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是(C) （A ）3 （B）（C ）6 （D）8. 在棱长为2正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱CD 的中点，点P 是侧面11AA D D 上一动点，且CP ⊥1B E ，则线段CP 的取值范围为(B)(A) [3(B) [2(C) [3(D) [2 二．填空题：（共6小题，每小题5分，共30分）9. . 已知双曲线C :2214y x -=，则双曲线C 的渐近线的方程为___.2y x =±10. 在二项式621()x x+的展开式中，常数项为___________.(15) 11. 函数()f x 在[0,2]上的图象连续不断，能说明命题“若函数()f x 在(0,2)存在唯一零点，则(0)(2)0f f ⋅<”为假命题的一个函数为()f x =___________. 12. 在△ABC 中，B =60°，且c =8，b -a =4，则b =____7________.13.实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是________. [1,1]-14. 已知两个集合,A B ，满足B A ⊆．若对任意的x A Î，存在,i j a a B Î()i j ≠，使得12i j x a a λλ=+（12,{1,0,1}λλ?），则称B 为A 的一个基集．若{1,2,3,4,5,6,7,8A =，则其基集B 元素个数的最小值是 4 ． 三．解答题：（共6小题，17、20题每题14分，其余每题13分，共80分）15．已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+12cos 222x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+，所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ω==, 解得 1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为 7π12x ≤≤0，所以 ππ4π2663x +≤≤． 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1；当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为 16. 手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：DAP其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数； （Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3．4711(0)35C P X ===； 133447C C 12(1)35C P X ===；223447C C 18(2)35C P X ===； 3447C 4(3)35C P X ===．所以，X 的分布列为：（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =．17. 在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为P AC ⊥底面ABCD ，P A =PC= (Ⅰ) 求证：PB =PD ；证明：记AC ∩BD =O ，连结PO ， ∵ 底面ABCD 为正方形，D∴ OA =OC=OB =OD =2. ∵ P A =PC ， ∴ PO ⊥AC ，∵ 平面P AC ∩底面ABCD=AC ，PO ⊂平面P AC ， ∴ PO ⊥底面ABCD . ∵ BD ⊂底面ABCD ， ∴ PO ⊥BD . ∴ PB =PD .(Ⅱ) 点M ，N 分别在棱P A ，PC 上，PM =AM ，求直线PB 与平面DMN 解：以O 为坐标原点，射线OB ，OC ，OP方向分别为x 轴，y 轴，z 如图所示， 由(Ⅰ)可知 OP =2.可得P (0,0,2)，A (0,-2,0), B (2,0,0), C (0,2,0), D (-2,0,0), 可得，M (0,-1,1), N (0,1, 1).(2,1,1)DM =-，(0,2,0)MN =. 设平面DMN 的法向量n =(,,)x y z ， ∵ 0DM ⋅=n ，0MN ⋅=n ，∴ 20,0.x y z y -+=⎧⎨⎩=令1x =，可得n =(1,0,2)-.(2,0,2)PB =-, cos<PB ,n >=||||PB PB ⋅⨯n n10.∴ 直线PB 与平面DMN 所成角的正弦值为10. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，平面DMN 与直线PB 的交点为Q ，在线段BC 上，是否存在一点H ，使得DQ ⊥PH ，若存在，求BH 的长，若不存在，请说明理由.解：记(2,0,2)PQ PB λλλ==-，可得(2,0,22)Q λλ-， (22,0,22DQ λλ=+-，DQ ⋅n =0，可得，22440λλ+-+=，解得13λ=.可得，84(,0,)33DQ =.记(2,2,0)BH tBC t t ==-，可得(22,2,0)H t t -， (22,2,2P H t t =--，若DQ ⊥PH ，则0DQ PH ⋅=，84(22)(2)033t -+⨯-=，解得12t =.故BH =.另：取PO 的中点E ，说明,,D E Q 均在平面PBD 与平面DMN 的交线上. 18. 抛物线2:2(0)C y px p =>上的点(4,)M M y 到其准线的距离为5. (Ⅰ) 求抛物线C 的标准方程；解：在抛物线2:2(0)C y px p =>中，其准线方程为4512px =-=-=-， 解得，2p =.故抛物线C 的标准方程为24y x =.(Ⅱ)过点(2,0)P 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，Q 是y 轴上一点，且Q ,A ,B 三点不共线)，直线AQ 与直线2x =-交于点N ，判断直线PQ 与BN 的位置关系，并说明理由.解：设直线l 的方程为2x my =+，联立方程，24,2.y x x my ⎧=⎨=+⎩消元得，2480y my --=，216320m ∆=+>恒成立. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由韦达定理可得，124y y m +=，128y y =-； 设(0,)Q t ， 11AQ y t k x -=，直线AQ 的方程为11y ty x t x -=+， 令2x =-，解得111(2)2x t y y x +-=，∴ 111(2)2(2,)x t y N x +--.BN k =11212(2)22x t y y x x +--+1211121(2)22x y x t yx x x -+-=+ 1211121(2)(2)22m y y x t y x x x +-++=+12121221222()(2)216my y y y x t y y x ++-+=+ 1188(2)42m m x t x -+-+=+2t=-，又2PQ tk =-, 显然PQ 与AN 不在同一条直线上，故直线PQ 与AN 平行.19.已知函数()(1)(0)x f x x e ax x =--≥.(Ⅰ)求函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距； 解：∵ ()(1)(0)x f x x e ax x =--≥， ∴ '()x f x xe a =-， ∴ '(1)f e a =-， 又(1)f a =-，可得，函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线方程为()(1)y a e a x +=--， ()y e a x e =--.故()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距为e -. (Ⅱ) 若函数()f x 的最小值为23e -，求实数a 的值.解：(1) 当0a ≤时，'()0f x ≥恒成立，()f x 在[0,)+∞上单调递增，则()f x 在[0,)+∞上的最小值为(0)1f =-, 不符合题意.(2) 当0a >时，'(0)0f a =-<，'()(1)0a f a a e =->，且'()x f x x e a =-在[0,)+∞单调递增，可得存在唯一实数(0,)t a ∈，使得'()0f t =. 函数'(),()f x f x 随x 的变化而变化如下表：所以函数()f x 的最小值为()(1)t f t t e at =--，其中0t te a -=，因此22(1)3t t t e e -+-=-，即22(1)3t t t e e -+=，显然2t =是该方程的一个解. 设2()(1)(0)t g t t t e t =-+>，2'()()0t g t t t e =+>，可得()g t 在(0,)+∞上单调递增， 可知，2t =是方程22(1)3t t t e e -+=的唯一解. ∴ 22t a te e ==.且符合题意.20.已知n 是给定的不小于3正整数，如果数列:A 12,,,n a a a 满足：对于任意的1,2,,i n =，均有()1i S A a n <-，其中12()=n S A a a a +++，那么称数列A 为“紧密数列”.(Ⅰ) 若“紧密数列”1234:,,,A a a a a 为等差数列，11a =，求数列A 的公差d 的取值范围;解：当0d ≥时，数列1234:,,,A a a a a 中的最大项为4a ， 则4()3S A a <，即46133d d ++<，解得13d <； 又 0d ≥，可得103d ≤<.当0d <时，数列1234:,,,A a a a a 中的最大项为1a ， 则1()3S A a <，即4613d +<，解得16d >-； 又 0d <，可得106d -<<.综上所述，数列A 的公差d 的取值范围为1163d -<<.(Ⅱ) 数列:A 12,,,n a a a 为“紧密数列”，求证：对于任意互不相等的,,{1,2,,}i j k n ∈，均有i j k a a a +>；证明：假设存在不相等的,,{1,2,,}i j k n ∈，有i j k a a a +≤，在数列:A 12,,,n a a a 中，除,i j a a 为，其他所有数之和'(2)1SS n n <-⨯-， 因此：'i j S S a a =++ (2)1k n S a n -<+- (2)11n S Sn n -<+-- S <. 矛盾，假设不成立.因此对于任意互不相等的,,{1,2,,}i j k n ∈，均有i j k a a a +>.(Ⅲ) 数列:A 12,,,n a a a 为“紧密数列”，对于任意的1,2,,i n =，i a Z ∈，且10(11)i i a a i n +-≠≤≤-成立，求()S A 的最小值n T . 解：数列:A 12,,,n a a a 为“紧密数列”，对于任意的1,2,,i n =，均有()1i S A a n <-， 又i a Z ∈，则存在{1,2,,1}p n ∈-，使得 ()1i S A p a n -≤-，其中()1S A p Z n -∈-, 因为10(11)i i a a i n +-≠≤≤-，可知(1)当n 为偶数时，在数列A 中，能够达到()1S A p n --的项不超过2n 个， 则 ()()12S A p n n S A n -⨯-≥-， 1()(1)2S A n n p n ≥-+. 当1p =时，1()(1)2S A n n ≥+； 当,21,2k n k a n k ⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数，为奇数.时，1()(1)2S A n n =+，且2222(1)i n n n a n ++≤<-, 数列A 为紧密数列.(2)当n 为奇数时，在数列A 中，能够达到()1S A p n --的项不超过12n +个， 则 ()1()12S A p n n S A n --⨯-≥-， 21()(21)2S A n n p n ≥-++.当1p =时，21()(1)2S A n ≥+； 当1,21,2k n k a n k -⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为偶数，为奇数.时，21()(1)2S A n =+，且21122(1)i n n a n ++≤<-, 数列A 为紧密数列.综上所述，()S A 的最小值2,21,.22+n n n n T n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为偶数，为奇数，其中3n ≥.。
