2017秋九年级数学上册 24.2.2 第3课时 切线长定理学案新人教版 精品

新人教版九年级数学上册第24.2.3节切线长定理优秀教学设计和反思教材分析“切线长定理”是人教版九年级数学上册第二十四章“圆”的第二节的内容，本节内容安排六个课时，本课时是本节内容的第五课时，本课设计主要是在切线的基础上，明确切线长的定义，通过学生动手操作，逻辑证明来明确切线长定理，引出三角形的内切圆，通过与三角形的内切圆有关的练习巩固切线长定理。

学情分析我班学生来自全县各个乡镇，学生的基础参差不齐。

再加上这个班是进入九年级我才接手的成绩较差的班级，基础薄弱，因而要加强动手操作探究知识来源的教学，让学生学知识学到“知其然并知其所以然”，不仅“知其所以然”，还要学以致用。

教学目标一、知识与技能：1.了解切线长的概念．2.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．3.复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．二、数学思考：1.通过操作、观察两条切线长，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力。

2.学生经历知识的形成与运用过程，培养学生的数学语言概括、表达能力。

三、解决问题1.学生探索切线长定理过程中，学会用数形结合思想解决问题。

2.学生运用切线长定理解题，提高运用知识和技能解决问题的能力。

四.情感、态度与价值观培养学生主动参与探索知识来源，获得数学知识的良好学习习惯，从而提高学生学习数学的积极性。

教学重点和难点1．重点：切线长定理及其运用．2.•难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．教学过程。

此外，小组讨论的环节中，我发现学生们在讨论切线长定理的实际应用时，思路不够开阔。这可能是因为他们在日常生活中对几何图形的观察不够细致，或者是缺乏将理论知识应用到实际中的经验。我打算在之后的课程中，增加一些观察和分析实际几何图形的练习，帮助学生培养从生活中发现数学的能力。
在难点解析部分，我发现通证明过程有了更清晰的认识。但仍有学生反映在理解证明思路时感到困难。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助手段，如动画演示或实物模型，来帮助学生们更好地理解几何证明的思路。
-证明思路：证明过程中涉及到的几何变换和逻辑推理对学生来说是难点。
-举例：在证明过程中，如何通过构造全等三角形和使用圆的性质来推导切线长定理。
-问题解决：学生在应用切线长定理解决具体问题时，往往难以找到合适的解题切入点。
-举例：在求解切线长或证明线段相等的问题时，学生可能不知道如何利用切线长定理来简化问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够观察和理解几何图形，发展空间想象力，提高解决几何问题的能力。
2.提升学生的逻辑推理与证明能力：引导学生探索切线长定理的证明过程，训练学生运用逻辑推理、几何论证的方法，培养严谨的数学思维。
3.增强学生的解决问题能力：通过切线长定理在具体题目中的应用，让学生掌握解决问题的方法和策略，提高解题效率，形成良好的数学解题习惯。

第3课时切线长定理学习目标：1. 理解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。

学习重点：切线长定理的理解学习难点：切线长定理的应用学习过程：一、知识准备：1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？2. 切线的判定和性质是什么？3. 角的平分线的判定和性质是是什么？二、引入新课：过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？三、课内探究：（一）探究切线长的定义：如下图，过⊙O外一点P，画出⊙O的所有切线。

P引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（二） 探究切线与切线长的区别和联系：跟踪训练：判断1. 圆的切线长就圆的切线的长度。

（ ）2. 过任意一点总可以作圆的两条切线。

（ ）（三）探究切线长定理：如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明。

切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。

该定理用数学符号语言叙述为：∵ ∴跟踪训练：1. 如图，⊙O 与△ABC 的边BC 相切，切点为点D 与AB 、AC 的延长线相切，切点分别为店E 、F ，则图中相等的线段有_______________________________________________________。

2.从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，则从这点到圆的最短距离为________。

3. 如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°。

则∠P=________。

四、典例解析：例：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，PA=PB=4cm，∠P=40°，C是劣弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB与点D、E，试求：（1）△PDE的周长；（2）∠DOE的度数。

巩固训练：1.如图，PC是⊙O的切线，C是切点，PO交⊙O于点A，过点A的切线交PC于点D，CD∶DP = 1∶2，AD=2cm，求⊙O的半径。

《第3课时 切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

24.2.2直线与圆的位置关系（第3课时）------切线长定理（学案）姓名：班级：学号：【教学目标】知识与技能1.了解切线长的概念；2.理解切线长定理，熟练掌握并能运用.过程与方法1.经历画图、度量、猜想、证明切线长定理的过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地写出推理过程；2.初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学知识与技能解决问题、发展应用意识.情感态度与价值观通过观察、讨论、实践操作，小组合作交流使学生充分感知数学美，培养学生数学学习的兴趣、合作学习的意识和探索研究的精神.【教学重难点】重点：切线长定理及其运用；难点：切线长定理证明和运用切线长定理解决相关问题.【教学过程】一、探究新知问题1：经过平面上的一点作已知圆的切线，会有怎样的情形呢？问题2：已知：如图，直线PA，PB分别与⊙O相切于点A,B.连接OP，并沿着直线OP进行对折，请找出图中相等的角及线段？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论么？【归纳】切线长定理：几何符号语言：∵∴问题3：已知：如图，直线PA，PB分别与⊙O相切于点A,B.由切线长定理还可得出什么结论么？并证明这些结论.【归纳笔记】1.切线长定理为证明等提供了理论依据.必须掌握并能灵活应用；2.在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形.常用辅助线如下：二、运用新知（典例精析）例1.如图,已知在⊙O中，AP＝6cm，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B.（1）BP＝______；（2）若直线CD切⊙O于点Q，交PA、PB于点C、D，则△PCD的周长是______；（3）若∠P=40°,连接OC，OD，求∠DOC的度数．变式：1.如图,已知在⊙O中，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B.△PCD的周长是16cm；若直线CD与⊙O相切于点Q，交PA、PB于点C、D，则AP＝______.2.如图，已知⊙O分别与四边形ABCD各边相切，且BC＝10，AD＝7，则四边形ABCD的周长为______.三、拓展提高（回归课本）例2如图,AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G三点,且AB∥CD,BO＝6cm,CO＝8cm.（1）求BC的长；（2）求BE＋CG的长；（3）求⊙O的半径.(选编自人教版九上P102第11题)链接中考1.如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．（1）求证：直线CD与⊙O相切；（选编自2020年广东省中考真题第22题）（2）如图2，记（1）中的切点为E,AD=1,BC=2.求⊙O的半径．2(思考题).如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB≠CD，∠ABC=90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF//CD，AB=AF，CD=DF．（选自2021年广东省中考真题第24题）（1）求证：CF⊥FB；（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；（3）若EF=2，∠DFE=120°，求△ADE的面积．四、巩固练习1.已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，点A和B是切点，AC是直径．求证：BC∥OP．五、课堂小结（我的收获）：六、作业：高分突破A本第10课时。

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第3课时切线长定理1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题,体验数形结合思想．一、情境导入新农村建设中,张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在错误!上．若PA长为2，则△PEF的周长是________．解析：因为PA、PB分别与⊙O 相切于点A、B，所以PA＝PB，因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA＝EC,CF＝BF,所以△PEF的周长PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝(PE＋EC）＋(CF＋PF)＝PA＋PB＝2＋2＝4。

【类型二】利用切线长定理求角的大小如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝错误!∠APB ＝20°.故答案为20。

课题：人教版九年级上册24.2.2第三课时《切线长定理》教学目标情感态度与价值观：通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．知识与技能：理解切线长的概念，掌握切线长定理；过程与方法：通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．教学重点:切线长定理是教学重点教学难点:切线长定理的灵活运用是教学难点教学过程设计:（一）复习提问：切线的性质和切线的判定。

（二）观察、猜想、证明，形成定理1、提出问题：过平面内的一点作圆的切线，可以作出几条切线？（注意分类讨论）2.切线长的概念．如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.3、观察变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系．4、猜想引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB? (PA＝PB)．5、证明猜想，形成定理．猜想是否正确。

需要证明．组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB．想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？∠OPA＝∠OPB(如图)等．选一名学生板演证明过程切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．6、切线长定理的基本图形研究如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C(1）写出图中所有的垂直关系（2）图中有哪些线段相等(除半径外)、弧相等？说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．7.外切圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。

外切圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。

8.内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。

内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。

第3课时 切线长定理 1.理解并掌握切线长定理、能熟练运用所学定理来解答问题.2.了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆.自学指导 阅读教材第99至100页，完成下列问题.知识探究1.经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做切线长.2.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，这就是切线长定理.相切的圆叫做三角形的内切圆.三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三边的距离相等.自学反馈1.如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，直线OP 交⊙O 于点D 、E ，交AB 于C ，图中互相垂直的直线共有3对.第1题图 第2题图2.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且∠AEB=60°，则∠P=60度.3.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在⌒AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是4.第3题图 第4题图4.⊙O 为△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，∠DOB=73°，∠DOE=120°，则∠DOF=146°，∠C=60°，∠A=86°.活动1 小组讨论例1 如图，直角梯形ABCD 中，∠A=90°，以AB 为直径的半圆切另一腰CD 于P ，若AB=12 cm ，梯形面积为120 cm 2，求CD 的长.解：20 cm.这里CD ＝AD+BC.例2 如图，已知⊙O 是Rt △ABC(∠C=90°)的内切圆，切点分别为D 、E 、F.(1)求证：四边形ODCE 是正方形.(2)设BC=a ，AC=b ，AB=c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明略；(2)2a b c +-.这里(2)的结论可记住作为公式来用.例3 如图所示，点I 是△ABC 的内心，∠A=70°，求∠BIC 的度数.解：125°.若I为内心，∠BIC=90°+12∠A；若I为外心，∠BIC=2∠A.活动2 跟踪训练1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的内切圆半径r=2.第1题图第2题图2.如图，AD、DC、BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC=90°.3.如图，AB、AC与⊙O相切于B、C两点，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC=65°.第3题图第4题图4.如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=140°，则∠BIC=125°.活动3 课堂小结切线长定理，三角形的内切圆及内心，直角三角形内切圆半径公式.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。

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第3课时切线长定理教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理,并利用它进行有关计算。

2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。

教学重点：理解切线长定理.教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。

教学过程：一、复习引入:1．切线的判定定理和性质定理．2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？二、合作探究1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理（1）操作：纸上一个⊙O,PA是⊙O的切线，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。

OB是⊙O 的半径吗?PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO 呢？从上面的操作及圆的对称性可得:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．（2）几何证明．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证:PA=PB，∠APO=∠BPO．切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3、三角形的内切圆思考：如图是一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆的面积尽可能大呢？三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内心:三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做——（1)图中共有几对相等的线段(2）若AF=4、BD=5、CE=9,则△ABC周长为____例如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D,E,F, 且AB=9cm BC=14cm,CA=13cm,求AF，BD,CE的长。

人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》是九年级数学中的一个重要知识点。

切线长定理是指：圆的切线长等于半径的长度。

这个定理在几何学中有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象力有重要作用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的相关概念和性质有所了解。

但是，对于切线长定理的证明和应用，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解切线长定理的证明过程，并通过例题让学生掌握切线长定理的应用。

三. 教学目标1.让学生理解切线长定理的定义和证明过程。

2.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。

四. 教学重难点1.切线长定理的证明过程。

2.切线长定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过探究问题来理解切线长定理。

2.使用多媒体课件，直观展示切线长定理的证明过程。

3.通过例题和练习题，让学生巩固切线长定理的应用。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.练习题和测试题。

3.黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些与圆和切线有关的图片，引发学生的兴趣。

然后提出问题：“圆的切线长和半径有什么关系？”让学生思考。

2.呈现（10分钟）讲解切线长定理的定义和证明过程。

首先，解释切线的概念，然后说明切线与半径的关系，最后证明切线长等于半径的长度。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组尝试证明一个圆的切线长等于半径的长度。

每组派代表进行讲解，老师点评并给予指导。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

题目包括判断题、选择题和解答题，涵盖切线长定理的证明和应用。

5.拓展（10分钟）让学生思考：切线长定理在实际生活中有哪些应用？可以举例说明。

鼓励学生发表自己的观点和想法。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行简要回顾，强调切线长定理的定义和证明过程，以及其在实际问题中的应用。

最新中小学教案、试题、试卷
1
最新中小学教案、试题、试卷
求 证：AC∥OP
A E B F O C D
C D A A O B
C D O
B
图4 三、达标测评 图5 图6 图6 基础达标 6、如图 4，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，∠OAB=30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当 OA=3 时，求 AP 的长．
A O
图4
P
A O B 图2
B 图1
P
若 PO 与圆相分别交于 C、D,接 AB 于 PO 交于点 E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，哪些相等的弧？哪些互相垂直的线段？哪些全等的三角形。 【小结】切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_切线长_相等，这一点和圆心的连线平分_两条切线的夹角_． 【针对性练习 1】1、在 Rt△ABC 中，∠B=30°，BC=4cm，以点 C 为圆心，以 2cm 长为半径作圆，则⊙C 与 AB 的位置关系是 如图 2，PA,PB,分别切⊙O 于点 A,B,点 E 是圆上一点，且∠AEB=70°，∠P 等于 。 探究 2 三角形内心的性质 通过尺规作图，找出三角形内心的特性 【小结】1、_与三角形各边都相切的圆__叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的_ 内心_。三角形叫做圆的外切三角形，内心_是三角形各内角平分 线____的交点， 2、三角形的内心到 三角形各边的距离相等 。 C A 【针对性练习 2】3、在⊿ABC 中，∠A=50°， （1）若点 O 是⊿ABC 的外心，则∠BOC= . （2) 若点 O 是⊿ABC 的内心，则∠BOC= . P O 4、从圆外一点向半径为 3 的圆作切线，已知切线长为 6，•则这点到圆心的距离为 。 【巩固练习】5、如图 3，PA、PB 是⊙O 的切线，切点为 A、B，BC 为⊙O 的直径，连接 AB、AC、OP。

点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= 65 °或115 ° . A A
O
P
F
E
O
C B D B 第4题 第3题 4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如 图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 30 .
拓展提升
A F O · B
直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问： （1）它的外接圆半径是 2.5 径是 1 cm？ cm;内切圆半 D
AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、 E.已知PA=7，∠P=40°.则 ⑴ △PDE的周长是 ⑵ ∠DOE= . 70° P 14 ； D A
C
E B
O
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、 E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE 的长.
3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
A 三角形的内心到三角形的三边的距离相等. F I
⊙O是△ABC的内切圆， 点O是△ABC的内心， △ABC是⊙O的外切三角形.
D
B
┐ E
C
填一填：
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心
确定方法
三角形三边 中垂线的交 点
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆. 作法：
A
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN， 交点为O.
N M
O
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ⊙O就是所求的圆.
C
B
D
概念学习
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

优质课教学设计张建新宁晋县第六中学2017年5月26日一、教材依据人教版九年级上册24.2.3 切线长定理二、设计思路1、指导思想与设计理念：参照我校的高效课堂模式进行本节课的教学，培养学生“自主探究，合作交流，先学后教，当堂训练”的学习习惯。

2、学情分析：前面已经学习了圆与直线的位置关系、切线的判定定理、性质定理等相关知识，相信学生能自然的迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．三、教学目标1、知识技能：（1）了解切线长的概念（2）理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握并能应用2、过程方法：复习圆与直线的位置关系和切线的判定和性质定理，知识迁移到切长线的概念和切线长定理，根据三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，并应用解决相关问题3、情感态度：学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步演绎推理能力.能有条理地，清晰地写出推理过程.四、教学重点切线长定理及其运用五、教学难点切线长定理的推导和运用六、教学准备充分阅读、理解新课标的具体要求，在研读教科书的基础上制做多媒体课件，针对学生的活动，全班共分10个小组，起始定为1-6号，一般按数学成绩排列，回答问题时一般从大号到小号提问，而每组的回答机会基本均等，抢答除外，每组有专人负责计分，口头答对加1分，板演正确加3分，抢答之内容加倍，其它情况有教师机动掌握，以提高学生的积极性为目标，促进学生的表达能力为方向，每节课结束后汇总分数，计入当天的班级成员量化考评学习部分。

七、教学过程能力提升1、如图, △ABC的内切圆⊙OCA、 AB 分别相切于点D 、 E且AB＝9，BC =14,CA ＝13,CE的长。

2如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，CD=1，AE=2，BF=3的面积为6．求内切圆的半径r．F。

第3课时切线长定理教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。

教学重点：理解切线长定理。

教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。

教学过程：一、复习引入：1．切线的判定定理和性质定理．2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？二、合作探究1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理（1）操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。

OB是⊙O 的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？从上面的操作及圆的对称性可得：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．（2）几何证明．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3、三角形的内切圆思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆的面积尽可能大呢？三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内心：三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做——（1）图中共有几对相等的线段（2）若AF=4、BD=5、CE=9，则△ABC周长为____例如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, 且AB=9cm=1810,求⊙O的半径。

BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。

若S△ABC三、巩固练习1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。

PO交⊙O于E点（1）若PB=12，PO=13，则AO=____（2）若PO=10，AO=6，则PB=____（3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____.（4）若PA=4，PE=2，则AO=____.2、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线、 A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB 于C、D两点。

第3课时切线长定理教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。

教学重点：理解切线长定理。

教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。

教学过程：一、复习引入：1．切线的判定定理和性质定理．2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？二、合作探究1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理（1）操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。

OB是⊙O 的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？从上面的操作及圆的对称性可得：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．（2）几何证明．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3、三角形的内切圆思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆的面积尽可能大呢？三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内心：三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做——（1）图中共有几对相等的线段（2）若AF=4、BD=5、CE=9，则△ABC周长为____例如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, 且AB=9cm=1810,求⊙O的半径。

BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。

若S△ABC三、巩固练习1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。

PO交⊙O于E点（1）若PB=12，PO=13，则AO=____（2）若PO=10，AO=6，则PB=____（3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____.（4）若PA=4，PE=2，则AO=____.2、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线、 A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB 于C、D两点。