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2．6 对数与对数函数[知识梳理]1．对数2．对数函数的概念、图象与性质3．反函数概念：当一个函数的自变量和函数值成一一对应时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．4．对数函数与指数函数的关系指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．(1)对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，而对数函数的函数值y恰好是指数函数的自变量x，即二者的定义域和值域互换．(2)由两函数的图象关于直线y＝x对称，易知两函数的单调性、奇偶性一致．特别提示：底数a对函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．(3)作直线y ＝1与所给图象相交，交点的横坐标为该对数函数的底数，由此可判断多个对数函数底数的大小关系．[诊断自测] 1．概念思辨(1)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.( ) (2)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) (3)函数f (x )＝lgx －2x ＋2与g (x )＝lg (x －2)－lg (x ＋2)是同一个函数．( ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(必修A1P 72例8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c答案 D解析 解法一：由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c .故选D.解法二：由对数运算法则得a ＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，∵log 27>log 25>log 23>0，∴1log 27<1log 25<1log 23，即log 72<log 52<log 32，故a >b >c .故选D.(2)(必修A1P 75T 11)(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________. 答案 1解析 原式＝(lg 5)2＋lg 2·[lg (2×52)] ＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1. 3．小题热身(1)(2017·衡阳八中一模)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≤0)，log 3x (x >0)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9答案 C解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≤0)，log 3x (x >0)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C.(2)(2018·郑州模拟)已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 ∵lg a ＋lg b ＝0，∴a ＝1b，又g (x )＝－log b x ＝log 1bx ＝log a x (x >0)，∴函数f (x )与g (x )的单调性相同．故选B.题型1 对数的运算典例1 (2017·郑州二检)若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a＋1b的值为( ) A ．36 B ．72 C ．108D.172对数式转化成指数式．答案 C解析 设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab＝6k 2k －23k －3＝6k 2k 4×3k 27＝6k6k 108＝108.故选C.典例2 (2018·镇江模拟)已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645.换底公式．解 因为log 189＝a,18b＝5，所以log 185＝b ，于是 log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.方法技巧对数运算的一般思路1．对于指数式、对数式混合型条件的化简求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解．见典例2.2．在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算．对于连等式，注意设等式为k ，见典例1.冲关针对训练1．已知3a ＝4b＝12，则1a ＋1b＝( )A.12 B ．1 C ．2 D. 2答案 C解析 因为3a＝4b＝12， 所以a ＝log 312，b ＝log 412， 1a＝log123，1b ＝log 124，所以1a ＋1b＝log12 3＋log124＝log1212＝2.故选C.2．(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 54解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23＝log 322·log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3 12 ·3 13 ＝32lg 2lg 3·56lg 3lg 2＝54. 题型2 对数函数的图象及应用典例 (2018·长春模拟)当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)数形结合法，排除法．答案 B解析 解法一：构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a ＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，a ＞22，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫22，1.故选B. 解法二：∵0＜x ≤12，∴1＜4x ≤2，∴log a x ＞4x＞1，∴0＜a ＜1，排除选项C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有4 12 ＝2，log 1212＝1，显然4x＜log a x 不成立，排除选项A.故选B.[条件探究] 若本典例变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．解 由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a12，解得a ≥116，所以116≤a <1，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1. 方法技巧利用对数函数的图象可求解的两类热点问题1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 冲关针对训练1．(2017·郑州一模)若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )答案 B解析 由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称． 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.故选B. 2．(2017·青岛统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，g (x )＝|x －k |＋|x －1|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞解析 对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min ，由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1的图象(如图)可知，当x ＝12时，f (x )取最大值，f (x )max ＝14；因为g (x )＝|x －k |＋|x －1|≥|x －k －(x －1)|＝|k －1|，所以g (x )min ＝|k －1|，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54，故答案为k ≤34或k ≥54.题型3 对数函数的性质及应用角度1 比较对数值的大小典例 (2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c利用指数函数、对数函数的单调性，结合不等式的性质比较大小；也可用特值法．答案 C解析 解法一：由a >b >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误； ∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·a c －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ， ∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a logbc <b log a c ，故C 正确．故选C.解法二：依题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝12.易验证A ，B ，D 均是错误的，只有C 正确．故选C.角度2 解对数不等式典例 (2017·江西名校联考)设函数f (x )＝log 12 (x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( )A ．(0,2]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 利用函数的奇偶性、单调性，结合换元法解不等式．答案 B解析 ∵f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，∴f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减， 令t ＝log 2x ，则log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1.又∵f (1)＝log 12 2＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，∴－1≤t ≤1，即log 2x ∈[－1,1]，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.故选B. 角度3 对数函数性质的综合应用 典例 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．运用复合函数的单调性“同增异减”．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0，∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 方法技巧对数函数的性质及应用问题的常见题型与解题策略1．对数型函数定义域的求解列出对应的不等式(组)求解，注意对数函数的底数和真数的取值范围．2．比较对数式的大小．①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．3．解对数不等式，形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．4．对数函数性质的应用多用在复合函数的单调性上，即求形如y ＝log a f (x )的复合函数的单调区间，其一般步骤为：①求定义域，即满足f (x )>0的x 的取值集合；②将复合函数分解成基本初等函数y ＝log a u 及u ＝f (x )；③分别确定这两个函数的单调区间；④若这两个函数同增或同减，则y ＝log a f (x )为增函数，若一增一减，则y ＝log a f (x )为减函数，即“同增异减”．冲关针对训练1．(2018·河南模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a答案 B解析 ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B.2．(2017·南昌调研)a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是( )A.16≤a <14或a >1 B ．a >1C.18≤a <14D.15≤a ≤14或a >1 答案 A解析 ∵a >0，a ≠1，令g (x )＝|ax 2－x |⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠0，x ≠1a 作出其图象如右：∵函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3,4]上是增函数， 若a >1，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12a≥4，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧1a <3，a >1，解得a >1；若0<a <1，则⎩⎪⎨⎪⎧12a≤3，1a >4，解得16≤a <14.故选A.题型4 指数函数、对数函数的综合应用典例1(2018·西安模拟)设方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0，log 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0的根分别为x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2＝1B ．0<x 1x 2<1C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥2数形结合法．答案 B解析 由方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0得log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，log 12 x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0得log 12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，分别画出左右两边函数的图象，如图所示．由指数与对数函数的图象知：x 1>1>x 2>0，于是有log 2x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 1<⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x2<log 12x 2，得x 1<1x 2，所以0<x 1x 2<1.故选B.典例2设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x >0，函数y ＝f [f (x )]－1的零点个数为________．分类讨论法．答案 2解析 当x ≤0时，y ＝f [f (x )]－1＝f (2x)－1＝log 22x－1＝x －1，令x －1＝0，则x ＝1，表明此时y ＝f [f (x )]－1无零点．当x >0时，分两种情况：①当x >1时，log 2x >0，y ＝f [f (x )]－1＝f (log 2x )－1＝log 2(log 2x )－1，令log 2(log 2x )－1＝0，即log 2(log 2x )＝1，log 2x ＝2，解得x ＝4；②当0<x ≤1时，log 2x ≤0，y ＝f [f (x )]－1＝f (log 2x )－1＝2log2x －1＝x －1，令x －1＝0，解得x ＝1，因此函数y ＝f [f (x )]－1的零点个数为2.方法技巧解指数函数与对数函数综合题的方法1．首先考虑函数的定义域，见典例2. 2．注意联想数形结合思想．见典例1. 冲关针对训练1．(2018·天津模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12答案 B解析 ∵f (x )＝ln (x 2＋1)在[0,3]上单调递增，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m 在[1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (0)＝0，g (x )min ＝g (2)＝14－m .又∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)， ∴f (x )min ≥g (x )min ，即14－m ≤0，∴m ≥14.故选B.2．设点P 在曲线y ＝12e x上，点Q 在曲线y ＝ln (2x )上，则|PQ |的最小值为( )A ．1－ln 2B ．2(1－ln 2)C ．1＋ln 2 D.2(1＋ln 2)答案 B解析 根据函数y ＝12e x和函数y ＝ln 2x 的图象可知两函数图象关于直线y ＝x 对称，故要求|PQ |的最小值可转化为求与直线y ＝x 平行且与两曲线相切的直线间的距离，设曲线y ＝12e x 上的切点为A (m ，n )，则A 到直线y ＝x 的距离的2倍即所求最小值．因为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12e x ′＝12e x ，则12e m＝1，所以m ＝ln 2，切点A 的坐标为(ln 2,1)，切点到直线y ＝x 的距离为d ＝|ln 2－1|2＝1－ln 22，所以2d ＝2(1－ln 2)．故选B.1．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093答案 D解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故与M N最接近的是1093.故选D.2．(2018·山西模拟)函数y ＝ln sin x (0<x <π)的大致图象是( )答案 C解析 因为0<x <π，所以0<sin x ≤1，所以ln sin x ≤0.故选C.3．(2018·江西九江联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－4,4]C ．(－∞，4)∪[2，＋∞)D ．[－4,4)答案 D解析 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)．故选D.4．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0,1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1<a ≤2.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·安阳检测)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1D ．(a 2,2b )答案 D解析 当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图象上．故选D.2．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (x 2)的值域为( ) A ．[4,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，112C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，132D ．[4,7]答案 B解析 y ＝f (x )＋f (x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f (x )＋f (x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x ≤2，从而4≤y ≤112.故选B.3．(2018·太原调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)( )A ．恒为负值B ．等于0C ．恒为正值D ．不大于0答案 C解析 作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x和y ＝log 2x 的图象，如图．由图可知有0<x 1<x 0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x1>log 2x 1.即⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x1－log 2x 1>0. ∴f (x 1)>0.故选C.4．(2017·河南二模)函数y ＝2xln |x |的图象大致为( )答案 B 解析 函数y ＝2x ln |x |的定义域为{x |x ≠0且x ≠±1}，故排除A ；∵f (－x )＝－2xln |x |＝－2xln |x |＝－f (x )，∴排除C ；当x ＝2时，y ＝4ln 2>0，故排除D.故选B. 5．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案 A解析 解法一：函数f (x )的定义域为(－1,1)，任取x ∈(－1,1)，f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－f (x )，则f (x )是奇函数．当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2>0，所以f (x )在(0,1)上是增函数．综上，故选A.解法二：同解法一知f (x )是奇函数． 当x ∈(0,1)时，f (x )＝ln1＋x 1－x ＝ln 2－(1－x )1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1.∵y ＝21－x (x ∈(0,1))是增函数，y ＝ln x 也是增函数，∴f (x )在(0,1)上是增函数．综上，故选A.6．已知函数f (x )＝log 12 (x 2－ax －a )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 D ．(－∞，－1]答案 B解析 f (x )＝log 12 (x 2－ax －a )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是增函数，说明内层函数μ(x )＝x 2－ax －a 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是减函数且μ(x )>0成立，只需对称轴x ＝a 2≥－12且μ(x )min ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>0，∴解得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.故选B.7．(2017·安徽安庆二模)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 12 4)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b答案 B解析 函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∵b ＝f (log 12 4)＝f (－2)＝f (2)，1<20.3<2<log 25，∴c >b >a .故选B.8．(2017·广东模拟)若函数f (x )＝(e x－e －x)x ，f (log 5x )＋f (log 15 x )≤2f (1)，则x的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) 答案 C解析 ∵f (x )＝(e x－e －x)x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x)x ＝f (x )(x ∈R )，∴函数f (x )是偶函数． ∵f ′(x )＝(e x－e －x)＋x (e x ＋e －x)>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15 x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.9．(2017·河北五校质检)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52 D.92答案 D解析 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的解析式知：当x ＝－2时，y ＝－1，所以点A 的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，又m >0，n >0，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m＝n ＝23时等号成立，所以2m ＋1n 的最小值为92.故选D.10．(2017·江西红色七校二模)已知函数f (x )＝ln e x e －x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2016e 2017＝504(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9 D ．12答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝lne x e －x ＋ln e (e －x )x ＝ln e 2＝2，∴504(a ＋b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋…＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2015e 2017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＝12×(2×2016)＝2016，∴a ＋b ＝4，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝422＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∴a 2＋b 2的最小值为8.故选B. 二、填空题11．(2018·禅城区月考)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则2a ＋b 的取值范围是________．答案 [22，＋∞)解析 画出y ＝|lg x |的图象如图： ∵0<a <b ，且f (a )＝f (b )， ∴|lg a |＝|lg b |且0<a <1，b >1，∴－lg a ＝lg b ，∴ab ＝1，∴2a ＋b ≥22ab ＝2 2. 当2a ＝b 时等号成立， ∴2a ＋b ≥2 2.12．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________． 答案 －14解析 显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，取“＝”，故f (x )min＝－14.13．(2017·山西质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.14．(2017·辽宁沈阳一模)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝________.答案 9解析 ∵f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，∴m <1<n ，－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，则m ＝13，从而n ＝3，此时log 3n ＝1，符合题意，则n m ＝3÷13＝9.若log 3n ＝2，则n ＝9，从而m ＝19，此时－log 3m 2＝4，不符合题意．三、解答题15．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12 x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12 (－x )．因为函数f (x )是偶函数， 所以f (－x )＝f (x )＝log 12 (－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 12 4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．16．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a ＞0且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)·(log a x ＋2)＝12[(log a x )2＋3log a x ＋2]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得． 若12⎝⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13 ，此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13 )－32＝2∉[2,8]，舍去． 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32 ＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.。
