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中考重点二次函数的性质与应用中考重点：二次函数的性质与应用二次函数是初中数学中的重要内容之一，它在中考中的考查频率较高。
掌握二次函数的性质与应用，能够帮助我们解决与二次函数相关的问题，提高解题能力。
本文将重点讨论二次函数的性质和应用，探索其在数学中的作用。
一、二次函数的定义及一般式表示二次函数是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，b决定了函数的对称轴位置，c表示函数与y轴的交点。
二次函数的一般式表示形式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
一般式可以转化为顶点式表示或者因式分解式表示，从而更方便地研究二次函数的性质。
二、二次函数的性质1. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称。
对称轴的表示为x = -b / (2a)，在二次函数图像上即为顶点的横坐标。
2. 开口方向：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
3. 极值点与最值：二次函数的极值点即顶点，其横坐标为-x / (2a)，纵坐标为f(-x /(2a))。
当a>0时，二次函数的最小值为f(-x / (2a))；当a<0时，二次函数的最大值为f(-x / (2a))。
4. 零点：二次函数与x轴的交点称为零点，可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来确定。
二次函数有两个零点时称为有两个实根，有一个零点时称为有一个实根，没有实根时称为无实根。
三、二次函数的应用1. 求解问题：二次函数常常用于求解与平面图形有关的问题。
例如，已知抛物线y = ax² + bx + c与x轴交于A、B两点，求抛物线经过的最高点的坐标。
通过求解顶点坐标可以得到问题的解。
2. 最值问题：二次函数能够用于解决最值问题。
例如，已知二次函数y = ax² + bx + c，在一定范围内求函数的最值。
专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用(人教版九上P47习题第5题)画出函数y ＝x 2－2x －3的图象,利用图象回答： (1)方程x 2－2x －3＝0的解是什么； (2)x 取什么值时,函数值大于0； (3)x 取什么值时,函数值小于0.【思想方法】 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象与x 轴的交点的横坐标x 1,x 2就是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根,因此,我们可以通过解方程ax 2＋bx ＋c ＝0来求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标；反过来,也可以由y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象来求一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解．1．[2019·广安]二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(－1,0),对称轴为直线x ＝1,下列结论：①abc<0；②b<c ；③3a ＋c ＝0；④当y>0时,－1<x<3.其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．[2019·南充]已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a,b,c 是常数),a>0,顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ,有下列结论：①若点(n,y 1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2n ，y 2在该抛物线上,当n<12时,则y 1<y 2；②关于x 的一元二次方程ax 2－bx ＋c －m ＋1＝0无实数解．那么( )A ．①正确,②正确B ．①正确,②错误C ．①错误,②正确D ．①错误,②错误3．[2019·遂宁]二次函数y ＝x 2－ax ＋b 的图象如图所示,对称轴为直线x ＝2,下列结论不正确的是 ( )A ．a ＝4B．当b＝－4时,顶点的坐标为(2,－8)C．当x＝－1时,b>－5D．当x>3时,y随x的增大而增大4．[2019·湖州]已知抛物线y＝2x2－4x＋c与x轴有两个不同的交点．(1)求c的取值范围；(2)若抛物线y＝2x2－4x＋c经过点A(2,m)和点B(3,n),试比较m和n的大小,并说明理由．5．[2018·泰州]在平面直角坐标系xOy中,二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m＋2的图象与x轴有两个交点．(1)当m＝－2时,求二次函数的图象与x轴的交点坐标；(2)过点P(0,m－1)作直线l⊥y轴,二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间(点A不在直线l上),求m的范围；(3)在(2)的条件下,设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B,求△ABO的面积最大时m的值．6．[2019·原创]已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式；(2)如图,当m＝2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C,D两点的坐标；(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC＋PD最短？若点P存在,求出点P的坐标；若点P 不存在,请说明理由．7．[2019·东营节选]已知抛物线y＝ax2＋bx－4经过点A(2,0),B(－4,0),与y轴交于点C.(1)求这条抛物线的解析式；(2)如图,点P是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标．8．[2018·宜宾改编]在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1)．如图,直线y ＝14x 与抛物线交于A,B 两点,直线l 为y ＝－1.(1)求抛物线的解析式；(2)在l 上是否存在一点P,使PA ＋PB 取得最小值？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．如图,已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A(－1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点,当△PAC 的周长最小时,求点P 的坐标．参考答案【教材母题】图象略 (1)x 1＝－1,x 2＝3 (2)x<－1或x>3 (3)－1<x<3 【中考变形】1．D 2.A 3.C4．(1)c<2 (2)m<n,理由略 5．(1)(－2＋2,0)和(－2－2,0) (2)－3<m<－1 (3)m ＝－326．(1)y ＝x 2－2x 或y ＝x 2＋2x (2)C(0,3),D(2,－1) (3)存在,P(1.5,0)7．(1)y ＝12x 2＋x －4 (2)P(－2,－4)8．(1)y ＝14x 2－x ＋1 (2)存在,P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2813，－1 【中考预测】(1)y ＝－x 2＋2x ＋3 (2)P(1,2)关闭Word 文档返回原板块。
中考数学《二次函数的图象与性质》专题复习★二次函数的图象和性质：1.由抛物线开口方向确定a 的符号。
——若a ＞0，则开口向上；若a ＜0，则开口向下。
2.由对称轴ab x 2-=确定b 的符号。
——同左异右。
3.由抛物线与y 轴的交点位置确定c 的符号。
——若交y 正半轴，则c ＞0；若交y 负半轴，则c ＜0。
4.由抛物线与x 轴交点的个数确定ac b 42-的符号。
——若两交点，则ac b 42-＞0；若一交点，则ac b 42-=0；若无交点，则ac b 42-＜0。
5.常见代数式：若a+b+c ，则令x=1；若a －b+c ，则令x=－1；若4a+2b+c ，则令x=2；若4a －2b+c ，则令x=－2，或以上算式的变形使用等等。
6.凡遇2a+b 或2a －b 之类的算式，一般要考虑使用对称轴a b x 2-=布列方程或者不等式。
凡遇3b 与2c 之类的算式，一般同时考虑使用ab x 2-=和a+b+c 或a-b+c 进行转化。
★练习巩固：1．（2018•泸州）已知二次函数y=ax 2+2ax+3a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，且﹣2≤x ≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为-------------------------------------------（ ）A ．1或﹣2 B．或 C． D ．1 2．（2018•白银）如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c ＞0；④a+b ≥m （am+b ）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是-------------------------（ ）A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤3．（2018•达州）如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc ＜0；②9a+3b+c ＞0；③若点M（，y 1），点N（，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有--（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．（2018•恩施州）抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中： ①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b+c=0；④若点（﹣0.5，y 1），（﹣2，y 2）均在抛物线上，则y 1＞y 2；第2题 第3题 第4题 第5题⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确的个数有------------------------------------------------------（）A．2 B．3 C．4 D．55．（2018•衡阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b ≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为-（）A．1个B．2个 C．3个D．4个6．（2018•河北）对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则--------------------（）A．甲的结果正确 B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确7．（2018•台湾）已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为--------------------------------------------------------------------------------（）A．1 B．9 C．16 D．248．（2018•潍坊）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为-------------------------------------------------（）A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或69．（2018•黄冈）当a≤x≤a+1时，函数y=x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为---------------（）A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或210．（2018•杭州）四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是--------------------------------------------（）A．甲 B．乙C．丙 D．丁11．（2018•贵阳）已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x 轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m 的取值范围是-------------------------------------------------------------------------（）A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2 12．（2018•天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点（1，0）；②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根；③﹣3＜a+b＜3，其中，正确结论的个数为-------------------------------------------------（）A ．0B ．1C ．2D ．3 13．（2018•陕西）对于抛物线y=ax 2+（2a ﹣1）x+a ﹣3，当x=1时，y ＞0，则这条抛物线的顶点一定在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．（2018•荆门）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a ），下列结论：①4a+2b+c ＞0；②5a ﹣b+c=0；③若方程a （x+5）（x ﹣1）=﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1；④若方程|ax 2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有------（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（2018•深圳）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论正确是--------------（ ）A ．abc ＞0B ．2a+b ＜0C ．3a+c ＜0D ．ax 2+bx+c ﹣3=0有两个不相等的实数根16．（2018•大庆）如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A （﹣1，0）、点B （3，0）、点C （4，y 1），若点D （x 2，y 2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax 2+bx+c 的最小值为﹣4a ；②若﹣1≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a ；③若y 2＞y 1，则x 2＞4；④一元二次方程cx 2+bx+a=0的两个根为﹣1和，其中正确结论的个数是-------------------------------------------------------------------------（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 17．（2018•玉林）如图，一段抛物线y=﹣x 2+4（﹣2≤x ≤2）为C 1，与x 轴交于A 0，A 1两点，顶点为D 1；将C 1绕点A 1旋转180°得到C 2，顶点为D 2；C 1与C 2组成一个新的图象，垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），与线段D 1D 2交于点P 3（x 3，y 3），设x 1，x 2，x 3均为正数，t=x 1+x 2+x 3，则t 的取值范围是-------------------------------------------------------------------------（ ）A ．6＜t ≤8B ．6≤t ≤8C ．10＜t ≤12D ．10≤t ≤1218.（2018•随州）如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C 对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于C 、D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c ＞0；②a ﹣b+c ＜0；③x （ax+b ）≤a+b ；④a ＜﹣1．其中正确的有--------（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个19.（泰安）若二次函数c bx ax y ++=2的x 与y 的部分对应值如下表：第14题 第15题 第16题 第17题 第18题则当x=1时，y （ ） A.5 B. 3- C. 13- D. 27-20.（鄂尔多斯）已知二次函数c bx x y ++=2中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表所示：点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在函数图象上，则当0＜x 1＜1，2＜x 2＜3时，y 1与y 2的大小关系是----（ ）A.y 1≥y 2B.y 1＞y 2C.y 1＜y 2D.y 1≤y 221.（临汾）若A )413(1y ，-，B )1(2y ，-，C )35(3y ，为二次函数542+--=x x y 图象上的三点，则321,,y y y 的大小关系是----------------------------------------------------------------（ ）A. 321y y y ＜＜B. 123y y y ＜＜C. 213y y y ＜＜D. 312y y y ＜＜22.（龙岩）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则|a ﹣b+c|+|2a+b|=--------------------（ ）A ．a+bB ．a ﹣2bC ．a ﹣bD ．3a23.（咸宁）如图是二次函数c bx ax y ++=2的图象，下列结论：①二次三项式c bx ax ++2的最大值是4；②024＜c b a ++；③一元二次方程12=++c bx ax 的两根之和为1-；④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0.其中正确的个数是---------------------------（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个24.（齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为 （﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b 2；②方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3；③3a+c＞0④当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大。
yxO第13课时 二次函数图像与性质（一）班级 姓名 学号 学习目标1．会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数的性质． 2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式3．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．学习难点在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题教学过程一、考点链接1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质a ＞0a ＜0图 象开 口 对 称 轴 顶点坐标最 值 当x ＝ 时，y 有最 值当x ＝ 时，y 有最 值增减性在对称轴左侧y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧y 随x 的增大而y 随x 的增大而2. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成k h x a y +-=的形式，其中 h ＝ ， k ＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系. 4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定.二、典例分析例1：如图1所示，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴.第（1）问：给出四个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0，其中正确的结论的序号是 .第（2）问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是_______.例2：抛物线y=－x 2+（m －1）x+m 与y 轴交于（0，3）点，（1）求出m 的值并画出这条抛物线；（2）求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方?（4）x 取什么值时，y 的值随x 的增大而减小？ 三、巩固练习1.(2009年四川省内江市)抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是 （ ） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3）2.（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 ( ) A ．222-=x y B ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y3.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（ ） A ．h m =B ．C ．D ．00h k >>，4.函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）A B C D1111xo yyo x yo xxoy【课后作业】班级 姓名 学号1、（09长春）如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度大小不变，则以点A 为圆心，线段AP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致为（ ）2、（09贵州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2-x-2 B 、y=121212++-x C 、y=121212+--x x D 、y=22++-x x3、（09烟台）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）4、（09天津）在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．22y x x =--+B ．22y x x =-+-C ．22y x x =-++ D ．22y x x =++ 5、（09北京）若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.6、（09安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点1-1O xyOSt OSt OSt OStAPBA ．B ．C ．D ．（第8题）yxO y xO C ．yxO A ．y xO D ．的距离为1，则该二次函数的解析式为7、(09鄂州)把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2－3x+5，则a+b+c=__________ 8、（09兰州）二次函数223y x =的图象如图12所示，点0A 位于坐标原点， 点1A ，2A ，3A ，…， 2008A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…， 2008B 在二次函数223y x =位于第一象限的图象上， 若△011A B A ,△122A B A ，△233A B A ，…，△200720082008A B A 都为等边三角形，则△200720082008A B A 的边长＝ .9、（09重庆）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.第9题图ABC。
2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料07 二次函数的图像与性质◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 二次函数的解析式（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；（2）顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )． （3）交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．知识链接02 二次函数的图像与性质（1）二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．（2）二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”； k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． （3）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（ⅰ）当a >0时，y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝2b a-；当x 2b a<-时，y 随着x 的增大而减小；当x 2b a>-时，y 随着x 的增大而增大；当x 2b a =-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（ⅱ）当a <0时， y ＝ax 2＋bx ＋c图象开口向下；顶点为24(,)24b ac b a a--， 对称轴为直线x ＝2b a-；当x 2b a<-时，y 随着x 的增大而增大；当x 2b a>-时，y 随着x 的增大而减小；当x 2b a =-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．（4）函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象作图要领：（ⅰ）确定开口方向：由二次项系数a 决定；（ⅱ）确定对称轴及顶点：对称轴方程为2b x a =-，顶点24(,)24b ac b a a --；（ⅲ）确定图象与x 轴的交点情况：①若△>0则与x 轴有两个交点，可由方程x 2＋bx ＋c=0求出； ②若△=0则与x 轴有一个交点，可由方程x 2＋bx ＋c=0求出； ③若△<0则与x 轴有无交点。
中考数学二次函数的图像与性质知识点归纳及练习一.二次函数图象的特征：二.考点辨析考点一. 根据二次函数关系式得出图象的性质1. 抛物线25x y -=开口 ，当x ＝ 时，y 有最 值，是 。
当x 时，y 随x 的增大而减小。
2. 填空：（1）22______)(______5+=++x x x ；（2）22______)(______49-=+-x x x ； （3）_________)1(294222+=++x x x ；（4）__________)(13522-=--x x x 。
3.分别说出下列函数图象的开口方向、顶点坐标与对称轴.（1）23x y = ； （2）2212+-=x y ； （3）2)1(22---=x y考点二.利用二次函数图象的性质求抛物线解析式1. 已知原点是抛物线2)1(x m y +=的最高点，则m 的取值范围是 （ ）A. m ＜－1B. m ＜1C. m ＞－1D. m ＞－22.若抛物线102-+=k k kx y 中，当0>x 时y 随x 的增大而减小，则k ＝ .3.一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式。
4. 若抛物线m m x m y --=2)1(开口向下，求m 的值和抛物线的关系式.考点三. 二次函数的平移问题1. 抛物线5422+-=x x y 经过平移得到22x y =，平移方法是 （ ）A. 向左平移1个单位长度长度，再向上平移3个单位长度长度B. 向右平移1个单位长度长度，再向上平移3个单位长度长度C. 向左平移1个单位长度长度，再向下平移3个单位长度长度D. 向右平移1个单位长度长度，再向下平移3个单位长度长度2. 已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把轴，轴分别向上、向右平移2个单位长度长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）．A ．B ．C ．D ． 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位长度长 度，所得图象的解析式为（ ）A .222-=x yB ．222+=x yC ．2)2(2-=x yD ．2)2(2+=x y4.抛物线y=20－12x 2可以看作抛物线y=______沿y 轴向______平移_____个单位长度长度得到的．5.抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位长度长度。
重难点二次函数图象性质及其综合应用考点一：二次函数的图象与性质二次函数是中考三大函数中内容最多，考察难度最大的一个函数。
而二次函数的图象更是其庞大内容的核心，初中数学中需要我们详细的掌握抛物线的画法、特征、性质、与系数的关系、几何变换等几个方面的知识，进而在多变的题型中快速找到解决它们的方法。
题型01二次函数图象与性质易错点01：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：形状：抛物线；对称轴：直线x=−b2a；顶点坐标：−b2a，4ac−b24a；其中抛物线的顶点坐标的纵坐标与一元二次方程解法中的公式法的表达式比较相似，需要重点加以区分；易错点02：抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大(或减小)是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围；解题大招：对于y=ax2+bx+c上的各个点，当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值，哪个点离对称轴越近，哪个点的纵坐标越小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，函数有最大值，哪个点离对称轴越近，哪个点的纵坐标越大；【中考真题练】1(2023•台州)抛物线y =ax 2-a (a ≠0)与直线y =kx 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1+x 2<0，则直线y =ax +k 一定经过()A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限2(2023•邵阳)已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线y =ax 2+4ax +3(a 是常数，a ≠0)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x =-2；②点(0，3)在抛物线上；③若x 1>x 2>-2，则y 1>y 2；④若y 1=y 2，则x 1+x 2=-2，其中，正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个3(2023•扬州)已知二次函数y =ax 2-2x +12(a 为常数，且a >0)，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x <0时，y 随x 的增大而减小；④当x >0时，y 随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是()A.①②B.②③C.②D.③④4(2023•安徽)下列函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是()A.y =x 2+1B.y =-x 2+1C.y =2x +1D.y =-2x +15(2023•枣庄)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x =1，下列结论：①abc <0；②方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)必有一个根大于2且小于3；③若(0，y 1)，(32，y 2)是抛物线上的两点，那么y 1<y 2；④11a +2c >0；⑤对于任意实数m ，都有m (am +b )≥a +b ，其中正确结论的个数是()A.5B.4C.3D.26(2023•呼和浩特)关于x 的二次函数y =mx 2-6mx -5(m ≠0)的结论：①对于任意实数a ，都有x 1=3+a 对应的函数值与x 2=3-a 对应的函数值相等．②若图象过点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)，点C (2，-13)，则当x 1>x 2>92时，y 1-y 2x 1-x 2<0．③若3≤x ≤6，对应的y 的整数值有4个，则-49<m ≤-13或13≤m <49．④当m >0且n ≤x ≤3时，-14≤y ≤n 2+1，则n =1．其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个7(2023•福建)已知抛物线y=ax2-2ax+b(a>0)经过A(2n+3，y1)，B(n-1，y2)两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1<y2，则n的取值范围是．8(2023•北京)在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t．(1)若对于x1=1，x2=2，有y1=y2，求t的值；(2)若对于0<x1<1，1<x2<2，都有y1<y2，求t的取值范围．【中考模拟练】9(2024•虹口区二模)已知二次函数y=-(x-4)2，如果函数值y随自变量x的增大而减小，那么x的取值范围是()A.x≥4B.x≤4C.x≥-4D.x≤-410(2024•郑州模拟)已知二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax+b(a≠0)的图象大致为()A. B.C. D.11(2024•霍邱县模拟)函数y=kx2-4x+3和y=kx-k(k是常数，且k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A. B.C. D.12(2024•余姚市一模)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)在二次函数y =-x 2+c (c >0)的图象上，点A ，C 是该函数图象与正比例函数y =kx (k 为常数且k >0)的图象的交点．若x 1<0<x 2<x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系为()A.y 3<y 2<y 1B.y 1<y 2<y 3C.y 2<y 1<y 3D.y 1<y 3<y 213(2024•武威二模)已知二次函数y =a (x +1)(x -m )(a 为非零常数，1<m <2)，当x <-1时，y 随x 的增大而增大，则下列结论正确的是()①若x >2时，则y 随x 的增大而减小；②若图象经过点(0，1)，则-1<a <0；③若(-2023，y 1)，(2023，y 2)是函数图象上的两点，则y 1<y 2；④若图象上两点14,y 1 ，14+n ,y 2 对一切正数n ．总有y 1>y 2，则32<m <2．A.①②B.①③C.①④D.③④14(2024•福田区模拟)已知函数y =|x 2-4|的大致图象如图所示，对于方程|x 2-4|=m (m 为实数)，若该方程恰有3个不相等的实数根，则m 的值是．15(2024•合肥模拟)在平面直角坐标系中，G (x 1，y 1)为抛物线y =x 2+4x +2上一点，H (-3x 1+1，y 1)为平面上一点，且位于点G 右侧．(1)此抛物线的对称轴为直线；(2)若线段GH 与抛物线y =x 2+4x +2(-6≤x <1)有两个交点，则的x 1取值范围是1．16(2024•碑林区校级一模)如图，抛物线y =14x 2-12x -3的对称轴l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A 、B 的坐标；(2)C 为该抛物线上的一个动点，点D 为点C 关于直线l 的对称点(点D 在点C 的左侧)，点M 在坐标平面内，请问是否存在这样的点C ，使得四边形ACMD 是正方形？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．题型02二次函数与几何变换易错点：抛物线平移步骤：①将一般式转化为顶点式，②根据“左加右减(x )，上加下减(整体)”来转化平移所得函数解析式；解题大招：y =ax 2+bx +c 的轴对称变换规律y =ax 2+bx +c 关于x 轴对称：y =−ax 2−bx −c 关于x 轴对称：y =ax 2−bx +c关于原点对称：y =−ax 2+bx −c【中考真题练】17(2023•无锡)将二次函数y =2(x -1)2+2的图象向右平移2个单位长度，所得函数图象的顶点坐标为()A.(-1，2)B.(3，2)C.(1，3)D.(1，-1)18(2023•徐州)在平面直角坐标系中，将二次函数y =(x +1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为()A.y =(x +3)2+2B.y =(x -1)2+2C.y =(x -1)2+4D.y =(x +3)2+419(2023•西藏)将抛物线y =(x -1)2+5平移后，得到抛物线的解析式为y =x 2+2x +3，则平移的方向和距离是()A.向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度B.向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C.向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度D.向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度20(2023•牡丹江)将抛物线y =(x +3)2向下平移1个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．21(2023•上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y =34x +6与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，点C 在线段AB 上，以点C 为顶点的抛物线M ：y =ax 2+bx +c 经过点B ，点C 不与点B 重合．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求b ，c 的值；(3)平移抛物线M 至N ，点C ，B 分别平移至点P ，D ，联结CD ，且CD ∥x 轴，如果点P 在x 轴上，且新抛物线过点B ，求抛物线N 的函数解析式．【中考模拟练】22(2024•津市市一模)将二次函数y =x 2-6的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为()A.y =x 2-2x -5B.y =x 2+2x -9C.y =x 2-2x -8D.y =x 2+2x -523(2024•秦都区一模)已知抛物线C 1：y =x 2-3x +m ，抛物线C 2与C 1关于直线y =l 轴对称，两抛物线的顶点相距5，则m 的值为()A.-34B.234C.-34或234D.234或3424(2024•济南模拟)将抛物线y =(x +1)2的图象位于直线y =9以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y =x +m 与此图象有四个交点，则m 的取值范围是()A.54<m <7 B.34<m <5 C.45<m <9 D.34<m <725(2024•松江区二模)平移抛物线y =x 2+2x +1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是2.(只需写出一个符合条件的表达式)26(2024•新北区校级模拟)如图，将抛物线y =2(x +1)2+1绕原点O 顺时针旋转45°得到新曲线，新曲线与直线y =x 交于点M ，则点M 的坐标为．27(2024•廉江市一模)已知抛物线C1：y=ax2+2ax+a-2 3．(1)写出抛物线C1的对称轴：．(2)将抛物线C1平移，使其顶点是坐标原点O，得到抛物线C2，且抛物线C2经过点A(-2，-2)和点B(点B在点A的左侧)，若△ABO的面积为4，求点B的坐标．(3)在(2)的条件下，直线l1：y=kx-2与抛物线C2交于点M，N，分别过点M，N的两条直线l2，l3交于点P，且l2，l3与y轴不平行，当直线l2，l3与抛物线C2均只有一个公共点时，请说明点P在一条定直线上．题型03二次函数图象与系数的关系解题大招01：二次函数图象与系数a、b、c的关系解题大招02：二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶①a、b、c单个字母的判断，a由开口判断，b由对称轴判断(左同右异)，c由图象与y轴交点判断;②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;③含有a、b、c三个字母，且a和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，例如∶二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当x=1时，y=a+b+c，当x=-1时，y=a-b+c，当x=2时，y=4a+2b+c当x=-2时，y=4a-2b+c;另：含有a、b、c三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶④含有b2和4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
考点七二次函数的图像与性质知识点整合一、二次函数的概念一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小2.二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y =a （x –h ）2+k ，顶点坐标为（h ，k ）．2．保持y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到（h ，k ）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．考向一二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典例引领变式拓展考向二二次函数的图象与性质二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．典例引领1x=时有最小值2-，即a-当2x=-时有最大值6，即4解得：89a=，109b=-，∴1118110 333939 a b⎛-=⨯-⨯-⎝②a<0时，如图，1x =时有最大值6，即26a a b -+=当2x =-时有最小值2-，即44a a +解得：89a =-，469b =，∴11181462333939a b ⎛⎫-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭，故答案为：23或2-．4．定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，抛物线223y x x =-+与直线y x =-【答案】114【分析】此题考查了一次函数，二次函数的性质以及新定义问题，变式拓展【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线开口向下可得在y轴右侧，得0b>，抛物线与x=，即对称轴是直线1【答案】②④/④②【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合的数学思想是解题的关键．【详解】解：将点(11933b c b c ++=⎧⎨++=⎩，。
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【例2】求作函数342+--=x x y 的图像。
初中数学二次函数图像与性质应用技巧提升教案教学目标：1.理解二次函数的基本概念和性质，包括二次函数的标准形式、顶点坐标、对称轴、开口方向等；2.掌握利用图像分析二次函数的性质，如拐点、最值等；3.能够灵活运用二次函数的图像与性质解决实际问题。
教学准备：黑板、粉笔、投影仪、教学PPT、教科书、作业纸教学过程：Step 1 引入用一个实际问题引入二次函数的概念，例如：小明每天步行去学校，他发现他的步伐规律可以用一个函数来表示，函数的形式是y = ax^2 + bx + c。
请问，这个函数和小明的步行规律有什么关系呢？Step 2 基本概念和性质讲解1.介绍二次函数的标准形式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，a ≠ 0；2.讲解二次函数图像的几何意义，引入顶点、对称轴和开口方向的概念；3.使用教学PPT展示标准形式的二次函数图像，并解释图像特点，如顶点对称、开口方向等；4.通过具体的计算例子，帮助学生理解二次函数图像与性质之间的关系。
Step 3 图像分析与性质应用1.引导学生观察二次函数图像，找到拐点、最值等特点；2.讲解拐点的概念，并用图像解释拐点的意义；3.通过具体的实例，让学生学会利用图像分析函数的最值；4.设计练习题，让学生巩固和应用图像分析与性质求解实际问题的能力。
Step 4 实际问题应用1.给学生提供一些实际问题，例如：某商店售价为x元的商品，每降低5元，售出数量增加10件，函数表示这种关系为y = (x - 100)(10 - x)。
请问，当售价为多少时，商店的收入最高？2.引导学生利用二次函数的图像与性质解决实际问题，培养学生分析和解决问题的能力。
Step 5 总结与拓展1.通过学生的讨论，总结二次函数图像与性质的应用技巧；2.引导学生拓展到更复杂的二次函数情境应用，如抛物线的弹球问题、飞行物体的轨迹等。
Step 6 作业布置1.布置基础练习题，让学生巩固二次函数的基本概念和性质；2.布置应用题，让学生运用图像和性质解决实际问题。
1中考数学人教版专题复习：二次函数的图象和性质一、考点突破1. 掌握二次函数的一般形式，会判断一个函数是否为二次函数；2. 掌握二次函数2y ax =的图象和性质，并能应用于解题。
二、重难点提示二次函数2y ax =的图象和性质。
考点精讲1. 二次函数的定义：一般地，形如()20y ax bx c a b c a =++≠，，为常数，且的函数叫做二次函数，其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2. 当b ＝0且c ＝0时：二次函数变为()20y ax a =≠，（1）当a ＞0时，其图象如下：xyy = 2∙x 2y = x 2y = 12∙x 2y =110∙x 2O（2）当a ＜0时，其图象如下：可以看到：对于抛物线2y ax =，a 越大，开口越小。
3. 二次函数20y ax a =≠的图象与性质()20y ax a => ()20y ax a =<2例题1 已知函数42)2(-++=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大。
（1）求k 的值；（2）写出抛物线的顶点坐标和对称轴。
思路分析：由二次函数的定义，求出k 的值，然后写出顶点坐标和对称轴。
答案：（1）由二次函数的定义，得242k k +-=，解得13k =-，22k =； 当3k =-时，原函数为2y x =-，当0>x 时，y 随x 的增大而减小，故3k =-不合题意，舍去；当2k =时，原函数为24=y x ，当0>x 时，y 随x 的增大而增大，符合题意； 故2k =。
（2）抛物线24=y x 的顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴。
点评：注意对k 的值进行合理的取舍。
例题2 （1）已知A （1，y 1）、B （－2，y 2）、C （－2，y 3）在函数y ＝241x 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 。
（2）（潍坊）已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－ 12x ＋3的图象大致如图，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是 。
