高中数学选修系列2选修2-2《微积分学基本定理定积分计算》教案

2019-2020学年北师大版选修2-2 定积分与微积分基本定理 教案1．定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝i ＝1nb －a nf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x 。

2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式。

3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)。

(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x 。

(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )。

4．定积分的几何意义 如图：设阴影部分面积为S 。

(1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x 。

(2)S ＝－⎠⎛ab f (x )d x 。

(3)S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c b f (x )d x 。

(4)S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛ab g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x 。

5．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )。

【优化设计】 2015-2016学年高中数学1.6 微积分基本定理教课设计新人教 A教课建议版选修 2-21.教材剖析本节采纳从局部到整体 ,从详细到一般的思想 ,先利用物理意义和导数的几何意义,并依据定积分的观点 ,研究变速直线运动物体在某段时间内的速度与位移的关系,经过追求导数和定积分之间的内在联系 ,获得微积分基本定理的雏形,再利用一般化而得出微积分基本定理.本节的要点是直观认识微积分基本定理的含义 ,并能用定理计算简单的定积分,难点是认识微积分基本定理的含义,应用微积分基本定理解决简单的综合问题 .2.主要问题及教课建议(1)微积分基本定理的研究过程 .建议教师充足利用学生所熟知的变速直线运动物体在某段时间内的速度与位移的关系,并联合图形 ,让学生直观地看出物体在时间段[a,b]上位移的近似值 .(2)微积分基本定理的重要意义 ..同时 ,建议教师能够联合数学史、数学文化的学习向学生适合介绍微积分基本定理的相关内容还可指引学生对“定义法”和用定理求定积分进行对照,使学生领会利用微积分基本定理求定积分的优胜性 .备选习题1.求定积分dx 的值 .解:dx= dx=dx=1dx-dx=1-2dx=1-2ln( x+2)= 1-2ln 2.2.已知f( x)= (12 t+ 4a)dt,F(a)= [f(x )+ 3a2]dx,求函数F(a)的最小值.解: 由于 f(x)= (12t + 4a)dt=(6t2+ 4at)=6x2+ 4ax- (6a2-4a2)= 6x2+ 4ax-2a2,222F(a)= [f(x)+ 3a ]d x=(6x + 4ax+a )dx3222= (2x + 2ax +a x)= 2+ 2a+a=a 2+ 2a+ 22= (a+ 1) + 1≥ 1.因此当 a=- 1 时 , F( a)的最小值为 1.3.已知f( x)=求k的值,使f(x)dx=.解: 分 2<k ≤ 3 和 -2≤k≤ 2 两种状况议论:2当 2<k ≤ 3 时 ,f(x)d x=(1+x )dx== (3+ 9)-.整理 ,得 k3 +3k+ 4= 0,即 k3+k 2-k2+ 3k+4= 0.∴(k+ 1)(k2-k+ 4)= 0.∴k=- 1.又∵2<k ≤ 3,∴k=- 1(舍去 ).当 -2≤ k≤ 2 时,f(x)dx=(2x+1)dx+ (1+x 2)dx2=(x +x )=(4+ 2) -(k2+k )+ (3+ 9)- =- (k2+k )= ,∴k2+k= 0,即 k= 0 或 k=- 1,知足条件 .综上所述 ,k= 0 或 k=- 1 时 ,可使 f(x)dx=.。

§1.5.1曲边梯形的面积一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法. 二、教学重难点重点: 掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）. 难点: 对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解. 三、教学过程： 1、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。

那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。

定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。

本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。

一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2、新课讲授问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例1：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。

思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？ 分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．0.1把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。

当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S ．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积． 解： （1）．分割 在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦L ，其长度为 11i i x n n n-∆=-= 分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1S ∆，2S ∆，…，n S ∆ 显然，1nii S S ==∆∑（2）近似代替记()2f x x =，如图所示，当n 很大，即x ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()2f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值1i f n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有 211i i i i S S f x x n n --⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g 211(1,2,,)i i n n n-⎛⎫== ⎪⎝⎭g L ①（3）求和由①，上图中阴影部分的面积n S 为2111111nnnn i i i i i i S S f x n n n ===--⎛⎫⎛⎫'∆=∆=∆= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑g g=22111110n n n n n n-⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g L g=()22231121n n⎡⎤+++-⎣⎦L =()()312116n n n n -- =1111132n n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭从而得到S 的近似值 1111132n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4）取极限分别将区间[]0,1等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当n 趋向于无穷大时，即x ∆趋向于0时，1111132n S n n ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有 1111111lim lim lim 11323nn n n n i i S S f n n n n →∞→∞→∞=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑g 从数值上的变化趋势：3、求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．在区间[],a b 中任意插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1,i i x x -()1,2,,i n =L ，区间[]1,i i x x -的长度1i i i x x x -∆=-，第二步：近似代替，“以直代取”。

9. 已知函数bx ax x x f ++=2
3
)(在x=1处有极值-2 （1）求常数a 、b ；
（2）求曲线()y f x =与x 轴所包围的面积.
10. 如图所示，直线kx y =分抛物线2
x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值。

11. 物体A 以速度2
31v t =+在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5m 处以10v t =的速度与A 同向运动，问当两物体何时相遇？相遇时物体A 的走过的路程是多少？（时间单位为：s ，速度单位为：m/s ）
教案解读
本次课的内容较为灵活多变，高考考纲对定积分的要求不高；教学过程中，重点突出微积分基本定理求定积分的值，以及定积分的简单应用的内容；在课后作业的布置，1-7题较基础简单，适合大部分学生；而后面的题难度较高，灵活性较强，适合基础较好的学生，活跃学生的思维能力。

166-高中数学选修系列2选修2-2《微积分基本定理与定积分计算》教案2§3 微积分基本定理与定积分计算一、目标预览1.理解并能熟练运用微积分基本定理.2.掌握定积分的常用计算方法.3.了解定积分与不等式的常用证明方法.4.了解定积分相关知识的综合应用.二、概念入门设«Skip Record If...»，称函数«Skip Record If...»«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的变上限定积分；类似地可定义变下限定积分：«Skip Record If...».注（i）由«Skip Record If...»积分的性质，«Skip Record If...»的定义有意义.（ii）由«Skip Record If...»积分的性质易证«Skip Record If...».三、主要事实1.微积分基本定理若«Skip Record If...»，则«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，«Skip Record If...».注（i）证明由导数的定义及第一积分中值定理即得.（ii）通过微分中值定理（推论），可获得微积分基本定理如下的等价表述：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢41仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢42⎰'-'=)( )( )())(()())(())((x x x x f x x f dt t f dx d ψϕϕϕψψ⎰⎰=ξ )()()()(a b a dx x f a g dx x g x f ⎰=b dx x g b f )()(ξ若«Skip Record If...»，而且«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».(iii)微积分基本定理及其等价表述沟通了不定积分与定积分、微分与积分的内在联系.（iv ）利用微积分基本定理及复合函数微分法可得下述的变限积分求导公式：若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»、«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可微而且«Skip Record If...»、«Skip Record If...»，则2.第二积分中值定理（1）（旁内（Bonnet ，1819-1892[法]）型第二积分中值定理）若«Skip Record If...»，而且«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上非负递减（相应地递增）函数，则存在«Skip Record If...»使得（相应地）（2）（Werierstrass型第二积分中值定理）若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上的单调函数，则存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».证（1）令«Skip Record If...»«Skip Record If...»，利用«Skip Record If...»的可积性得«Skip Record If...»«Skip Record If...»再由«Skip Record If...»«Skip Record If...»及«Skip Record If...»的单调减小性，可得«Skip Record If...»再由连续函数的介值性即得.（2）当«Skip Record If...»为单调递减（增）时，对«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»应用（1）即得.3.定积分的计算（1）（牛顿——莱布尼兹公式）若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»而且除有限个点外有«Skip Record If...»，那么有仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢43«Skip Record If...».注（i）牛顿——莱布屁兹公式简称«Skip Record If...»—公式，它是微积分的核心定理，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17世纪下半叶独立得到，柯西在19世纪初给出精确叙述与证明，黎曼在19世纪中叶给予完善，达布在1875年给出现在这种形式.（ii）证明可由«Skip Record If...»积分的定义（分点包括例外点）及微分中值定理（作用在«Skip Record If...»上）可推得.（2）（定积分换元积分法）如果«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上有连续导数，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，那么有«Skip Record If...»注（i）定积分换元积分公式由复合函数微分法及«Skip Record If...»公式可得，而且«Skip Record If...»可减弱为«Skip Record If...».进一步，定积分换元积分公式中的«Skip Record If...»可减弱为«Skip Record If...»，但«Skip Record If...»的条件稍许加强（证明较为复杂），即有以下的命题成立：若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是一一映射而且还满足«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，那么有仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢44«Skip Record If...».（ii）定积分换元积分法实际上是不定积分第二换元积分法的直接应用.但使用时有较大差别，在这里换元之后变量不需回代，但积分限要跟着更换（在去掉根号的情形下须注意函数的符号）.（iii）对应于不定积分中的第一换元法（即凑微分法），在这里可以不加变动地直接应用，而且积分限也不须作更改（即仍然采用原来的积分变量）.（3）（分部积分法）如果«Skip Record If...»、«Skip Record If...»具有连续的导数，那么有«Skip Record If...»«Skip Record If...».注（i）分部积分可由乘积微分法则及«Skip Record If...»公式直接证之.（ii）分部积分公式可连续使用«Skip Record If...»次，即利用数学归纳法及分部积分公式可得下面的命题：若«Skip Record If...»、«Skip Record If...»具有«Skip Record If...»阶连续导数，那么有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».4.定积分计算中常用的几个公式仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢45（1）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».（2）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»（3）若«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的周期函数，则«Skip Record If...»有«Skip Record If...»（4）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».（5）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».证（1）令«Skip Record If...»可得.（2）令«Skip Record If...»得«Skip Record If...».（3）令«Skip Record If...»得«Ski p Record If...»，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢46于是有«Skip Record If...»，再令«Skip Record If...»得«Skip Record If...».（4）令«Skip Record If...»可得.（5）令«Skip Record If...»可得«Skip Record If...»及«Skip Record If...».5.带积分余项的泰勒公式若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上具有«Skip Record If...»阶连续导数，那么«Skip Record If...»有«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，称此为泰勒公式的积分余项.注（i）令«Skip Record If...»（常数变易法），对«Skip Record If...»分别应用«Skip Record If...»公式及分部积分公式即获得积分余项公式的证明.（ii）对积分余项应用第一积分中值定理（«Skip Record If...»在积分区间«Skip Record If...»（或仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢47«Skip Record If...»上不变号）可得泰勒公式的拉格朗日余项：«Skip Record If...»（其中«Skip Record If...»）.（iii）对积分余项应用积分平均值定理泰勒公式的柯西余项：«Skip Record If...»«Skip Record If...»四、例题选讲1.定积分计算例题选.例1求下列定积分（1）«Skip Record If...»（2）«Ski p Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»（5）«Skip Record If...»（6）«Skip Record If...»（7）«Skip Record If...»（8）«Skip Record If...»（9）«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢48解（1）«Skip Record If...».（2）«Skip Record If...».（3）令«Skip Record If...»，（3）«Skip Record I f...»（4）令«Skip Record If...»，（4）«Skip Record If...»«Skip Record If...».令«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，于是有（4）«Skip Record If...».（5）«Skip Record If...»«Skip Record If...»（6）«Skip Record If...»«Skip Record If...»（7）利用«Skip Record If...»得仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢49（7）«Skip Record If...»（8）利用«Skip Record If...»得（8）«Skip Record If...»（9）«Skip Record If...».例2（1）求«Skip Record If...»（2）证明Wallis公式：«Skip Record If...».解（1）«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»证（2）由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，由此可得«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，50因此«Skip Record If...».例3利用定积分求下列极限（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»（5）«Skip Record If...»解（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...».（3）由«Skip Record If...»可得（3）«Skip Record If...»（4）由«Skip Record If...»可得«Skip Record If...».因此«Skip Record If...».（5）令«Skip Record If...»51«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».因此«Skip Record If...».2.微积分基本定理应用例题选例4 设«Skip Record If...»，试求«Skip Record If...».解应用微积分基本定理两次可得«Skip Record If...».例5确定常数«Skip Record If...»、«SkipRecord If...»、«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».解由«Skip Record If...»可推得«Skip Record If...»，由罗比塔法则及«Skip Record If...»可推得«Skip Record If...»，接着易求得«Skip Record If...».例6 若«Skip Record If...»存在，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，试求«Skip Record If...».52解令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...».例7设«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».试求：«Skip Record If...».解令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»于是有«Skip Record If...».两边关于«Skip Record If...»求导得«Skip Record If...»再令«Skip Record If...»可得«Skip Record If...».例8试求可微函数«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».解先关于«Skip Record If...»求导得«Skip Record If...»令«Skip Record If...»得«Skip Record If...»再关于«Skip Record If...»求导得53«Skip Record If...».因而«Skip Record If...»，因而«Skip Record If...».3.积分中值定理应用例题选例9 设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可微，而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）.证明：«Skip Record If...».证令«Skip Record If...»，则由条件可得«Skip Record If...»，由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»«Skip Record If...»，于是有«Ski p Record If...».例10设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».证«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处取最大值，因而有«Skip Record If...»«Skip Record If...».证«Skip Record If...»54«Skip Record If...»例11 设«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»例12设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上二阶可导，而且«Skip Record If...».证明：（i）«Skip Record If...»；（ii）又若«Skip Record If...»«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».证（i）由«Skip Record If...»及«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，再由«Skip Record If...»得«Skip Record If...».（ii）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，积分后得«Skip Record If...»«Skip Record If...».55例13设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上具有二阶连续函数，证明；存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».证令«Skip Record If...»，分别求得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，在«Skip Record If...»处的二阶泰勒展开式，两式相减再用微积分基本定理及连续函数的介值定理即得.例14设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...»证由条件«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则由«Skip Record If...»导出«Skip Record If...»矛盾！例15设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调而且可微.证明：存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».56证令«Skip Record If...»，由微积分基本定理及第一积分中值定理可得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».例16证明下列极限（1）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».（2）若«Skip Record If...»，则«Skip RecordIf...».（3）«Skip Record If...»（4）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».（5）若«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的连续函数，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».57（6）若«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»有«Skip Record If...».证（1）«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».（2）由«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»（其中«Skip Record If...»）及«Skip Record If...»可积的第二充要条件可得.（3）由第二积分中值定理得，存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»，再令«Skip Record If...»即得.（4）«Skip Record If...»«Skip Record If...»58«Skip Record If...».（5）«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的连续函数，从而有界，由此即得.（6）由第一积分中值存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».令«Skip Record If...»即得.例17设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调递增，而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...».若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».证若不然，«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...»使得«Skip RecordIf...»，此时分两种情形：（i）若存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».59（ii）«Skip Record If...»，«Skip Re cord If...»，则«Skip Record If...»有«Skip Record If...»«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...».上述的（i）、（ii）与«Skip Record If...»矛盾.例18 设«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».证令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则由«Skip Record If...»«Skip Record If...»于是有«Skip Record If...».五、思考与讨论1.若«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上有原函数，是否必有«Skip Record If...»公式成立？提示：考虑«Skip Record If...»602.若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是否必有原函数？3.若«Skip Record If...»，而且«Skip Record If...»是否必有«Skip Record If...»？4.若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上不«Skip Record If...»可积，«Skip Record If...»的原函数在«Skip Record If...»上是否必不存在？5.奇函数的原函数是否必为偶函数？偶函数的原函数是否必为奇函数？六、基础题训练1.计算下列定积分（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Re cord If...»（5）«Skip Record If...»（6）«Skip Record If...»（7）«Skip Record If...»（8）«SkipRecord If...»61（9）«Skip Record If...»（10）«Skip Record If...»（11）«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为实数）（12）«Skip Record If...»2.设«Skip Record If...».试求«Skip Record If...».3.设«Skip Record If...»,试求«Skip RecordIf...».4.设«Skip Record If...»，试求«Skip Record If...».5.«Skip Record If...».试求«Skip Record If...».6.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».试求：«Skip Record If...».7.求下列极限62（1）«Skip Record If...»（2）«SkipRecord If...»（3）«Skip Record If...»（4）«SkipRecord If...»8.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».试求«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.9.设«Skip Record If...»连续而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...».求«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».（答案：«Skip Record If...»）10.证明：«Skip Record If...»（提示：分段，换元）.11.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，而且«Skip Record If...».证明：63«Skip Record If...»,«Skip Record If...».12.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调增加.证明：«Skip Record If...».（提示：«Skip Record If...»）.七、提高性习题13.求下列积分（«Skip Record If...»为正整数）（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»14.求下列极限（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»64（5）«Skip Record If...»（6）«Skip Record If...»（答案：（1）.«Skip Record If...»；（2）.«Skip Record If...»；（3）«Skip Record If...»；（4）.（2）；（5）.«Skip Record If...»；（6）«Skip Reco rd If...»）15.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，令«Skip Record If...».证明：（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...».16.求下列极限（1）«Skip Record If...»（2）«SkipRecord If...»（3）«Skip Record If...».（答案：（1）.«Skip Record If...»；（2）.«Skip Record If...»；（3）.«Skip Record If...»）.6517.证明下列极限：（1）若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，则«Skip Record If...».（2）若«Skip Record If...»不变号，则«Skip Record If...»（3）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（4）若«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».（提示：（1）利用分部积分；（2）令«Skip Record If...»，再用第一积分中值定理；（3）令«Skip Record If...»，再利用积分中值定理；（4）分段估计）.18.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».19.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上无穷次可微，«Skip Record If...»为自然数，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».6620.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为偶数且对于«Skip Record If...»，有«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...»,并由此计算«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.21.设«Skip Record If...»为连续函数.证明下述等式：（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...».（提示：（1）令«Skip Record If...»，再令«Skip Record If...»（分段）；（2）令«Skip Record If...»）.22.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».试求«Skip Record If...».（答案：«Skip Record If...»）.23.试求函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的最大值.（答案：«Skip Record If...»）.6724.设«Skip Record If...»连续，而且«Sk ip Record If...».试求«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.25.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上存在，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的反函数而且«Skip Record If...».试求：«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.26.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»(«Skip Record If...»).试求«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.27.设«Skip Record If...»而且«Skip Reco rd If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中至少有两个零点.（提示：令«Skip Record If...»，利用分部积分）.28.设«Skip Record If...»而且不恒为常数，而且«Skip Record If...».68证明：存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»）.29.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»存在而且非负.证明：«Skip Record If...».（提示：利用«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的一阶泰展开式）.30.设«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：分«Skip Record If...»变号与不变号两种情形考虑）.31.设«Skip Record If...».证明«Skip Record If...».6932.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：利用«Skip Record If...»）33.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上二阶可导，«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）而且«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：利用«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的泰勒展开式）.34.设«Skip Record If...»且«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：利用«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的一阶泰展开式）.35.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处取最大值）.7036.设«Skip Record If...»而且非负，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»）.37.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»，再利用分部积分公式及换元公式）.38.设«Skip Record If...»不恒为零而且满足«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：利用函数单调性）.39.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»）.7140.设«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»（常数）.试求«Skip Record If...»，并讨论«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的连续性.（答案：«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»）.41.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»，则«Skip RecordIf...»，再由«Skip Record If...»及积分中值定理可得）.72。

4．5定积分与微积分基本定理[读教材·填要点]1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：位于曲线y ＝f (x )(a ≤x ≤b )和x 轴之间的图形，叫作函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的“曲边梯形”．(2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形．2．计算变力所做的功的方法 化整为零，以直代曲． 3．定积分的概念设f (x )是在区间[a ，b ]上有定义的函数，在a ，b 之间取若干分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n ＝b .记小区间[x k －1，x k ]为Δk ，其长度x k －x k －1记作Δx k ，Δx k 中最大的记作d ，再在每个小区间Δk z k ，作和式：∑k ＝1nf (z k )Δx k . ①如果(不论如何取分点x k 和代表点z k )当d 趋于0时和式①以S 为极限，就说函数f (x )在[a ，b ]上可积，并且说S 是f (x )在[a ，b ]上的定积分，记作S ＝⎠⎛a bf (x )d x .4．微积分基本定理如果f (x )是在[a ，b ]上有定义的连续函数，F (x )在[a ，b ]上可导并且F ′(x )＝f (x )， 则⎠⎛a bf (t )d t ＝F (b )－F (a )．[小问题·大思维]1．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．2．求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．(2)求解的方法步骤相同．3．由定积分的定义可知，⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a bf (x )d x 的值与哪些量有关？提示：由定义可得定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a bf (t )d t ＝⎠⎛a bf (u )d u .4．如图所示，如何用阴影面积S 1，S 2，S 3表示定积分⎠⎛a bf (x )d x 的值？提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3.计算下列定积分：(1) ⎠⎛－13(4x －x 2)d x; (2)⎠⎛12(x －1)5 d x ； (3)⎠⎛12(t ＋2)d x; (4)⎠⎛121x (x ＋1)d x . [自主解答] (1)取F (x )＝2x 2－x 33，因为F ′(x )＝4x －x 2，所以⎠⎛－13(4x －x 2)d x ＝F (3)－F (－1)＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203. (2)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝F (2)－F (1)＝16×(2－1)6－16×(1－1)6＝16. (3)取F (x )＝(t ＋2)x ，因为F ′(x )＝t ＋2， 所以⎠⎛12(t ＋2)d x ＝F (2)－F (1) ＝2(t ＋2)－(t ＋2)＝t ＋2.(4)f (x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln x x ＋1， 则F ′(x )＝1x －1x ＋1.所以⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x ＋1d x ＝F (2)－F (1)＝ln 43.运用微积分基本定理求定积分时的4个注意点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．1．计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ； (2) ⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ； (3) ⎠⎛0π (sin x －cos x )d x ； (4) ⎠⎛02|1－x |d x . 解：(1)取F (x )＝x 3－x 2＋x ， 则F ′(x )＝3x 2－2x ＋1.∴⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝F (3)－F (－1)＝24.(2)取F (x )＝12x 2－ln x ，则F ′(x )＝x －1x .∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝F (2)－F (1)＝32－ln 2. (3)取F (x )＝－cos x －sin x ， 则F ′(x )＝sin x －cos x .∴⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(4)∵|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，0＜x ＜1，x －1，1＜x ＜2，∴取F 1(x )＝x －12x 2,0＜x ＜1，F 2(x )＝12x 2－x,1＜x ＜2，则F 1′(x )＝1－x ，F 2′(x )＝x －1.∴⎠⎛02|1－x |d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝1.已知函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．[自主解答] 因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)， 取F (x )＝a3x 3＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝F (1)－F (0)＝a 3＋c ＝ax 20＋c . 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． 即x 0＝33.利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．2．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 取F 1(x )＝12ax 2＋bx ，∴F 1′(x )＝f (x )．则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＝12a ＋b ， ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ， 取F 2(x )＝13ax 3＋12bx 2且F 2′(x )＝ax 2＋bx ，则⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝F 2(1)－F 2(0)＝13a ＋12b ，由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176.解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以直线y ＝－x ＋2与抛物线 y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛－32[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛－32(6－x －x 2)d x ，取F (x )＝6x －12x 2－13x 3，则F ′(x )＝6－x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (－3)＝1256.若将本例中“直线y ＝－x ＋2”换为“抛物线y ＝3－34x 2”，如何求解？解：如图所示，设所求图形面积为S ，S ＝⎠⎛－22⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3－34x 2－()x 2－4d x ＝⎠⎛－22⎝⎛⎭⎫7－74x 2d x ， 取F (x )＝7x －712x 3，则F ′(x )＝7－74x 2，∴S ＝F (2)－F (－2)＝563.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．3．求曲线y ＝e x ，y ＝e－x及直线x ＝1所围成的图形的面积．解：由图可知，积分区间为[0,1]，面积S ＝⎠⎛10()e x －e －x d x ，取F (x )＝e x ＋e －x ， 则F ′(x )＝e x －e －x ， ∴S ＝F (1)－F (0)＝e ＋1e－2.变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．[自主解答] 当0≤t ≤1时，v (t )≥0， 当1≤t ≤2时，v (t )<0. 所以前2秒钟内所走的路程 S ＝⎠⎛01v (t )d t ＋⎠⎛12[－v (t )]d t＝⎠⎛01(1－t 2)d t ＋⎠⎛12(t 2－1)d t取F 1(t )＝t －13t 3，F 2(t )＝13t 3－t ，S ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝2.2秒末所在的位置：x 1＝x 0＋⎠⎛02v (t )d t ＝1＋⎠⎛02(1－t 2)d t ＝13. 即它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在位置为x 1＝13.1．有关路程、位移计算公式路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s 1分别为 (1)若v (t )≥0(a ≤t ≤b )，则s ＝⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t . (2)若v (t )≤0(a ≤t ≤b )， 则s ＝－⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t .(3)在区间[a ，c ]上，v (t )≥0，在区间[c ，b ]上，v (t )<0， 则s ＝⎠⎛a cv (t )d t －⎠⎛c bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t . 2．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)，功的单位才为焦耳(J)．4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°角的方向做直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433JD ．2 3 J解析：W ＝⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎭⎫5x －13x 3⎪⎪⎪21＝433(J)． 答案：C求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积．[解] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8，－4)．法一：选x 作为积分变量，由图可看出S ＝A 1＋A 2.在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ，下半支方程为y ＝－2x ，所以S A 1＝⎠⎛02[2x －(－2x )]d x ＝22⎠⎛02x 12d x .取F 1(x )＝23x 32，∴S A 1＝22[F 1(2)－F 1(0)]＝163. S A 2＝⎠⎛28[4－x －(－2x )]d x ， 取F 2(x )＝4x －12x 2＋223x 32.∴S A 2＝F 2(8)－F 2(2)＝383. ∴S ＝163＋383＝18.法二：选y 作积分变量， 将曲线方程写为x ＝y 22及x ＝4－y .S ＝2-4⎰⎣⎡⎦⎤(4－y )－y 22d y . 取F (y )＝4y －y 22－y 36，∴S ＝F (2)－F (－4)＝30－12＝18.1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：取F (x )＝x 2＋e x，则F ′(x )＝2x ＋e x，⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝F (1)－F (0)＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e.答案：C2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：取F (x )＝12gt 2，则F ′(x )＝gt ，所以电视塔高为⎠⎛12gt d t ＝F (2)－F (1)＝2g －12g ＝32g . 答案：C3．s 1＝⎠⎛01x d x ，s 2＝⎠⎛01x 2d x 的大小关系是( )A ．s 1＝s 2B ．s 21＝s 2C ．s 1>s 2D ．s 1<s 2解析：⎠⎛01x d x 表示由直线x ＝0，x ＝1，y ＝x 及x 轴所围成的图形的面积，而⎠⎛01x 2d x 表示的是由曲线y ＝x 2与直线x ＝0，x ＝1及x 轴所围成的图形的面积，因为在x ∈[0,1]内直线y ＝x 在曲线y ＝x 2的上方，所以s 1>s 2.答案：C4.⎠⎛－12x 4d x ＝________.解析：∵⎝⎛⎭⎫15x 5′＝x 4，取F (x )＝15x 5， ∴⎠⎛－12x 4d x ＝F (2)－F (－1)＝15[25－(－1)5]＝335. 答案：3355．若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________. 解析：取F (x )＝x 2＋kx ，则F ′(x )＝2x ＋k ， ∴⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝F (1)－F (0)＝1＋k ＝2，∴k ＝1. 答案：16．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝⎛⎭⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)， 故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎜⎛131⎝⎛⎭⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3.一、选择题1.⎠⎛241x d x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2D ．ln 2解析：⎠⎛241x d x ＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D2．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12C. 1D.32解析：曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．答案：B3.如图所示，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323D.353解析：S ＝⎠⎛－31 (3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2， 则F (1)＝3－13－1＝53，F (－3)＝－9＋9－9＝－9. ∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.答案：C4．定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2， 取F 1(x )＝13x 3－x 2，F 2(x )＝－13x 3＋x 2， 则F 1′(x )＝x 2－2x ，F 2′(x )＝－x 2＋2x .∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20 (x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝F 1(0)－F 1(－2)＋F 2(2)－F 2(0)＝8.答案：D二、填空题5．函数y ＝x －x 2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于________．解析：由x －x 2＝0，得x ＝0或x ＝1.因此所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x . 取F (x )＝12x 2－13x 3， 则F ′(x )＝x －x 2，∴面积S ＝F (1)－F (0)＝16. 答案：166．设函数f (x )＝(x －1)x (x ＋1)，则满足∫a 0f ′(x )d x ＝0的实数a ＝________.解析：⎠⎛0af ′(x )d x ＝f (a )＝0，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a >0，故a ＝1.答案：17．计算⎠⎛02(2x －e x )d x ＝________. 解析：取F (x )＝x 2－e x ，则F ′(x )＝2x －e x ，所以⎠⎛02(2x －e x )d x ＝F (2)－F (0)＝5－e 2. 答案：5－e 28．曲线y ＝1x ＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．解析：由题意得，所求面积为⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x . 取F (x )＝ln x ＋x 2＋e 2x ，则F ′(x )＝1x ＋2x ＋2e 2x ，所以⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x ＝F (e)－F (1)＝e 2e . 答案：e 2e三、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛14⎝⎛⎭⎫2x －1x d x ； (2)⎠⎛01x 1＋x 2d x .解：(1)取F (x )＝2xln 2－2x ， 则F ′(x )＝2x －1x . ∴原式＝F (4)－F (1)＝⎝⎛⎭⎫16ln 2－2ln 2－(24－2)＝14ln 2－2. (2)取F (x )＝12ln(1＋x 2)，则F ′(x )＝x 1＋x 2. ∴⎠⎛01x 1＋x 2d x ＝F (1)－F (0)＝12ln 2.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2,4)． ∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)． 取F (x )＝x 2－13x 3，则F ′(x )＝2x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (0)＝43.。

[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.知识点一 导数与定积分的关系f (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )＝f (x ))在积分区间[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a ).以路程和速度之间的关系为例解释如下：如果物体运动的速度函数为v ＝v (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s ＝v (t )d t .另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s ＝s (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移为s (b )－s (a )，所以有v (t )d t ＝s (b )－s (a ).由于s ′(t )＝v (t )，即s (t )为v (t )的原函数，这就是说，定积分v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ，b ]上的增量s (b )－s (a ).思考 函数f (x )与其一个原函数的关系： (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln x (x >0)；(4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)；(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x . 知识点二 微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么f (x )d x ＝F (b )－F (a ). 思考 (1)函数f (x )的原函数F (x )是否唯一？(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？ 答案 (1)不唯一.(2)①把被积函数f (x )变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；②用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )； ③利用微积分基本定理求出定积分的值.题型一 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分. (1)3d x ；(2)(2x ＋3)d x ； (3) (4x －x 2)d x ；(4)(x －1)5d x . 解 (1)因为(3x )′＝3，所以3d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3， 所以(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2， 所以(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203.(4)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以 (x －1)5d x ＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6＝16. 反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a ). (2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②若F (x )是f (x )的原函数，则F (x )＋C (C 为常数)也是f (x )的原函数.随着常数C 的变化，f (x )有无穷多个原函数，这是因为F ′(x )＝f (x )，则[F (x )＋C ]′＝F ′(x )＝f (x )的缘故.因为⎠⎛ab f (x )d x＝[F (x )＋C ]|b a ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )＝F (x )|b a ，所以利用f (x )的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C 了. 跟踪训练1 求下列函数的定积分： (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ；(2)x (1＋x )d x . 解 (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2d x ＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122d x ＋⎠⎛121x2d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 21+2 x ⎪⎪⎪ 21 +⎝⎛⎭⎫-12⎪⎪⎪21＝13×(23－13)＋2×(2－1)－⎝⎛⎭⎫12－1 ＝296. (2)⎠⎛49x (1＋x )d x＝⎠⎛49(x ＋x )d x＝⎝⎛⎭⎫23x x ＋12x 2⎪⎪⎪94＝⎝⎛⎭⎫23×9×3＋12×92－⎝⎛⎭⎫23×4×2＋12×42 ＝2716. 题型二 求分段函数的定积分 例2 求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，2)，2x ，x ∈[2，3]在区间[0,3]上的定积分.解 由定积分的性质知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪10＋x 33⎪⎪⎪21＋2x ln 2⎪⎪⎪32＝14＋83－13＋8ln 2－4ln 2 ＝3112＋4ln 2. 反思与感悟 (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以. 跟踪训练2 求下列定积分： (1)⎠⎛02|x 2－1|d x ；(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .解 (1)∵y ＝|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，0≤x ＜1，x 2－1，1≤x ≤2，∴⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 33⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫x 33－x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫83－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝2.(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝⎝⎛⎭⎫22＋22－1＋(－1)－⎝⎛⎭⎫－22－22 ＝22－2.题型三 定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值.解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.反思与感悟 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用. 跟踪训练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值.解 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2.① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01 (ax 2＋bx ＋c )d x＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪10 ＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.1.⎠⎜⎛0π4cos 2xcos x ＋sin x d x 等于( )A.2(2－1)B.2＋1C.2－1D.2－2答案 C解析 结合微积分基本定理，得⎠⎜⎛0π4cos 2x －sin 2xcos x ＋sin x d x ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π40＝2－1. 2.下列定积分的值等于1的是( )A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 答案 C解析 ⎠⎛01x d x ＝12x 2⎪⎪⎪ 10＝12，⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎪⎪⎪ 10＝12＋1＝32，⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪10＝1，⎠⎛0112d x＝12x ⎪⎪⎪10＝12.故选C.3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝ . 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪⎪20－x 23⎪⎪⎪20＝83－43＝43. 4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝ .答案176解析 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝⎝⎛⎭⎫x 33＋x ⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫3x －x 22⎪⎪⎪21＝176.5.已知函数f (x )为偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66 f (x )d x ＝ .答案 16解析 因为函数f (x )为偶函数， 且⎠⎛06f (x )d x ＝8，所以⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1.函数y ＝⎠⎛0x cos x d x 的导数是( )A.cos xB.－sin xC.cos x －1D.sin x 答案 A解析 (sin x )′＝cos x ，⎠⎛0x cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪x0＝sin x ，故选A. 2.若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A.F (x )＝13x 3B.F (x )＝x 3C.F (x )＝13x 3＋1D.F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B解析 若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3. ⎠⎛－40|x ＋2|d x 等于( )A. ⎠⎛－40 (x ＋2)d xB. ⎠⎛－40 (－x －2)d xC.⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－202(－x －2)d xD.⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x答案 D解析 ∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x ≤0，－x －2，－4≤x <－2，∴⎠⎛－40|x ＋2|d x ＝⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x .故选D.4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23D.－23 答案 B解析 ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋x |10＝13＋1＝43，故选B. 5.⎠⎜⎛0π2sin 2x2d x 等于( )A.π4 B.π2－1 C.2 D.π－24答案 D解析 ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎛0π21－cos x 2d x ＝⎪⎪12(x －sin x )π20＝π－24，故选D. 6.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A.S 1＜S 2＜S 3B.S 2＜S 1＜S 3C.S 2＜S 3＜S 1D. S 3＜S 2＜S 1答案 B 解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪21＝73，S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x 21＝ln 2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.二、填空题7.⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝ .答案 π2解析 ⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－111－x 2d x 等于半径为1的半圆的面积， 即⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，⎠⎛－11x d x ＝12x 2|1－1＝0，∴⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝π2.8.若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为 .答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝ 13x 3⎪⎪⎪t 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 9.设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0＝ .答案33解析 由⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，得⎠⎛1(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33.故填33. 10.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0.若f [f (1)]＝1，则a ＝ .答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3⎪⎪⎪a＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1. 三、解答题11.设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式. 解 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎠⎛01ax d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝5， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2)d x ＋⎠⎛01bx d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.即f (x )＝4x ＋3. 12.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求⎠⎛03f (x )d x 的值.解 由积分的性质，知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪⎪10＋23x 3221⎪⎪＋2x ln 232 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2.13.求定积分⎠⎛－43|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝⎠⎛－43(x ＋a )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－4＝7a －72. (2)当－4＜－a ＜3即－3＜a ＜4时， 原式＝⎠⎛－4－a [－(x ＋a )]d x ＋⎠⎛－a3 (x ＋a )d x＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪－a－4＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－a ＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252.(3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝⎠⎛－43[－(x ＋a )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪⎪3-4＝－7a ＋72. 综上，得⎠⎛－43|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧7a －72(a ≥4)，a 2－a ＋252(－3＜a ＜4)，－7a ＋72(a ≤－3).。

函 数 f (x) 的 图 象 以 及 直 线 x a, x b 之 间 各 部 分 面 积
的代数和，在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的 面积取负号．
布置 作业
1． P62 习题 1. 6 B 组第 1 题（2）（4） 2． P62 习题 1. 6 B 组第 2 题（2）（4） 3． P62 习题 1. 6 B 组第 3 题
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
aT
T
6.设 f (x) 为 R 上以 T 为周期的连续函数，证明对任何实数 a ，有 a f (x)dx 0 f (x)dx
证明：∵ f (x) 为 R 上以 T 为周期的连续函数
∴ f (x T ) f (x), x R
设 F '(x) f (x) ，则有 F '(x T ) f (x T )
容易误为 F(x) F(x)
∴ F(x) F(x)
∴
a a
f
(x)dx
F ( x)
a a
F (a)
F (a)
F(a)
F (a)
0
∴原式得证
师：本题从几何直观上是非常容易理解的，但是要使
用微积分基本定理证明，关键是证明奇函数的原函数
是偶函数这个性质．
再次强调运用微积分基本 定理求定积分的关键是求 出原函数 F(x)
f (x) dx
c
f (x)dx
d f (x)dx
b
f (x)dx
a
a
c
d
c
d
b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
c
d
例 题 3： 已 知 f (x) 在 a,a 上 连 续 ， 若 f (x) 是 奇 函 数 ，

1．6微积分基本定理整体设计教材分析本节的主要内容是微积分基本定理的含义及运用微积分基本定理计算简单的定积分．教科书采用从局部到整体、从具体到一般的思想，从导数和定积分这两个微积分学中最基本和最重要的概念入手，以寻求二者之间的联系为突破口，先利用物理意义和导数的几何意义，并结合定积分的概念，通过对变速直线运动物体的位移问题进行详细探究，分别用物体的运动规律s＝s(t)和速度函数v＝v(t)表示出物体在时间段[a，b]上的位移s，进而推出一般形式的结论，得出微积分基本定理．微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法．通过本节的学习，使学生经历定理的发现过程，直观了解微积分基本定理的含义．通过计算简单的定积分，使学生体会微积分基本定理的威力，从而引发学生进一步学习微积分知识的兴趣．课时分配《微积分基本定理》的教学分两个课时完成：第1课时内容为微积分基本定理；第2课时内容为定积分的几何意义．第1课时教学目标知识与技能目标通过实例了解导数和定积分的联系，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿—莱布尼兹公式求简单的定积分．过程与方法目标通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法，感受在其过程中渗透的思想方法．情感、态度与价值观通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点，提高理性思维能力和逆向思维能力，激发学生学习数学的兴趣，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力及思维能力．重点难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用微积分基本定理计算简单的定积分．难点：了解微积分基本定理的含义．教学方法问题驱动、启发式、自主探究式教学法，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．教具准备多媒体课件．教学过程引入新课提出问题1：前面我们讲过用定积分的定义计算定积分，请回顾用定义计算∫10x3dx的过程，并尝试仿照此过程利用定积分的定义计算∫101x dx.活动设计：学生先独立思考，尝试求解，然后相互交流．学情预测：学生几乎不可能直接用定义计算出∫101x dx的值．活动成果：从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但如果直接用定积分的定义计算∫10x3dx的值，其计算过程比较复杂，技巧性要求很高．而对于∫101x dx，几乎不可能直接用定义计算．那么，有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？我们必须寻求计算定积分新的、更简洁的方法，也是比较一般的方法．设计意图使学生体会用定义求定积分的缺点和局限性，激发学生的探求欲望，为微积分基本定理的引入作好铺垫．探究新知我们已经学习了微积分学中两个最基本和最重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在联系呢？我们能否利用这种联系来求定积分呢？提出问题2：如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是s＝s(t)，它在任意时刻t 的速度v(t)与位移s(t)有何关系？活动设计：学生思考，进行口答．学情预测：绝大多数学生能得出正确结论．活动结果：得出变速直线运动中速度v(t)与位移s(t)的关系：v(t)＝s′(t)．设计意图回顾导数的相关知识及物理背景，复习路程与速度之间的关系，为进一步探究v(t)和s 做好铺垫．提出问题3：设这个物体在时间段[a，b]上的位移为s，你能用s(t)，v(t)表示s吗？活动设计：学生独立思考，根据图象进行回答．学情预测：根据物理学的相关知识，结合图象，学生容易得出正确结论．活动结果：显然，物体位移s是函数s＝s(t)在t＝b处与t＝a处的函数值之差，从而得出变速直线运动中位移s与位移函数s(t)的关系：s＝s(b)－s(a)．①设计意图得出基本定理公式中右端的雏形——s(b)－s(a)，为进一步探究微积分基本定理做好铺垫．提出问题4：设这个物体在时间段[a，b]上的位移为s，你能用v(t)表示s吗？活动设计：学生先思考，允许分组讨论交流，必要时教师引导．学情预测：根据1.5.2节相关知识，不难得出结果．活动结果：师生共同梳理，得出变速直线运动中s与位移函数v(t)的关系：物体作变速直线运动，速度函数为v ＝v(t)，求它在a ≤t ≤b 内所做的位移s ，步骤如下：(1)用分点a ＝t 0<t 1<t 2<…<t n ＝b 将区间[a ，b]等分成n 个小区间：[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，…，[t i －1，t i ]，…，[t n －1，t n ]，其中每个小区间的长度均为Δt ＝t i －t i －1＝b －a n.物体在此时间段内经过的路程为Δs i . (2)当Δt 很小时，在区间[t i －1，t i ]上，v(t)的变化很小，可以认为物体近似地以速度v(t i －1)作匀速直线运动，物体所做的位移Δs i ≈h i ＝v(t i －1)Δt ＝s ′(t i －1)Δt ＝b －a ns ′(t i －1)． 从几何意义上看(如图)，设曲线s ＝s(t)上与t i －1对应的点为P ，PD 是点P 处的切线，由导数的几何意义可知，切线PD 的斜率等于s ′(t i －1)，于是Δs i ≈h i ＝tan ∠DPC·Δt ＝s ′(t i －1)·Δt.(3)物体的总位移：s ＝1n i i S =∆∑≈∑i ＝1n h i ＝∑i ＝1n v(t i －1)Δt ＝∑i ＝1n s ′(t i －1)Δt. 显然，n 越大，即Δt 越小，区间[a ，b]的划分就越细，∑i ＝1n v(t i －1)Δt ＝∑i ＝1n s ′(t i －1)Δt 与s的近似程度就越高．(4)由定积分的定义有s ＝lim n →∞∑i ＝1n b －a n v(t i －1)＝lim n →∞∑i ＝1n b －a n s ′(t i －1)＝∫b a v(t)dt ＝∫b a s ′(t)dt.② 设计意图得出基本定理中公式左端的雏形——∫b a v(t)dt ，使公式雏形基本形成．提出问题5：通过上面的探究，我们将物体在时间段[a ，b]上的位移s ，分别用s(t)和v(t)进行了表示，现在你能否将二者联系起来？活动设计：教师引导学生，观察①②两式，得出关系式．学情预测：学生容易得出二者的关系式．活动结果：物体在区间[a ，b]上的位移s 就是v(t)＝s ′(t)在区间上的定积分，等于函数s(t)在区间端点b ，a 处的函数值之差s(b)－s(a)，从而s ＝∫b a v(t)dt ＝∫b a s ′(t)dt ＝s(b)－s(a)．设计意图回到最初提出的问题，使学生潜移默化地形成目标意识，得出微积分定理的一个特例，为得出微积分基本定理奠定基础．提出问题6：对于一般的函数f(x)，设F ′(x)＝f(x)，是否也有：∫b a f(x)dx ＝∫b a F ′(x)dx ＝F(b)－F(a)?若上式成立，我们就找到了用f(x)的原函数(即满足F ′(x)＝f(x))的数值差F(b)－F(a)来计算f(x)在[a ，b]上的定积分的方法．活动设计：由学生做出猜想，教师可视具体情况决定是否给出学生证明过程．学情预测：学生容易得出正确的猜想结论．活动结果：对于一般函数f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，设F ′(x)＝f(x)，则有∫b a f(x)dx ＝F(b)－F(a)．证明如下：(此处并不要求学生掌握证明的过程)∵Φ(x)＝∫x a f(t)d 与F(x)都是f(x)的原函数，故F(x)－Φ(x)＝c(a ≤x ≤b)，其中c 为某一常数．令x ＝a ，得F(a)－Φ(a)＝c ，又Φ(a)＝∫a a f(t)dt ＝0，∴c ＝F(a)，故F(x)＝Φ(x)＋F(a)．∴Φ(x)＝F(x)－F(a)＝∫x a f(t)dt.令x ＝b ，有∫b a f(x)dx ＝F(b)－F(a)．为了方便起见，还常用F(x)|b a 表示F(b)－F(a)，即∫b a f(x)dx ＝F(x)|b a ＝F(b)－F(a)．设计意图教师引导学生由特殊到一般做出猜想，得出牛顿—莱布尼兹公式，体现定积分的基本思想，突出导数的几何意义，体现了数形结合这一数学中的基本思想方法．这里不要求学生掌握公式的证明过程，重在让学生体会推理的思想．回到最初提出的问题，使学生潜移默化地在学习及解决问题的过程中形成目标意识．归纳总结定理 一般地，如果函数f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)dx ＝F(b)－F(a)．该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式．它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁．公式不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供了计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础．因此，牛顿—莱布尼兹公式处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，而且它给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要、最辉煌的成果．理解新知提出问题7：计算定积分∫b a f(x)dx 的关键是什么？如何求F(x)?活动设计：组织学生交流、讨论回答．活动结果：由微积分基本定理知，计算定积分∫b a f(x)dx 关键是找出满足F ′(x)＝f(x)的函数F(x)，从而把问题转化为计算函数F(x)在区间的两个端点处的函数值之差．通常，我们可以运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．设计意图明确运用微积分基本定理的关键，进一步加深对定理的理解和记忆．运用新知例1计算∫10x 3dx.活动设计：以学生练习、讨论为主，教师引导、点评．活动结果：让学生与上一节例题比较，得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分简单．教师给出规范的书写格式．解：因为(14x 4)′＝x 3，所以∫10x 3dx ＝14x 4|10＝14. 设计意图初步展示利用微积分基本定理求定积分的优越性，规范运用微积分基本定理求定积分的书写格式．例2计算(1)∫10x 2dx ；(2)∫211xdx. 解：(1)因为(13x 3)′＝x 2，所以∫10x 2dx ＝13x 3|10＝13. (2)因为(lnx)′＝1x ，所以∫211xdx ＝lnx|21＝ln2－ln1＝ln2. 点评：进一步熟练、规范运用微积分基本定理求定积分的书写格式．巩固练习计算：1.∫211x 2dx ；2.∫31(2x －1x 2)dx. 解：1.∫211x 2dx ＝(－x －1)|21＝－12＋1＝12. 2．因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x 2， 所以∫31(2x －1x 2)dx ＝∫312xdx －∫311x 2dx ＝x 2|31＋1x |31＝(9－1)＋(13－1)＝223. 变练演编1．已知∫t 0(2x －4)dx ＝5，则t ＝__________.2．已知∫21f(x)dx ＝(lnx 2)|21，则f(x)＝__________.3．请你仿照第3题，自己编一个类似的题目，并与你的同学交换，试求其结果．答案：1.5 2.2x3.答案略． 点评：1.训练逆向思维，进一步熟悉公式；2．进一步体会公式运用的关键——求原函数F(x)；3．进一步体会导数与定积分的关系，强化本节的基本思想，同时训练复合函数的求导问题；4．训练学生仿例编题，增加问题的多样性、趣味性、探索性和挑战性，使学生潜移默化地学会编题、解题．达标检测1．∫1－1xdx 等于( )A ．－1B ．1C ．0D ．22．y ＝∫10(3x 2－x ＋1)dx ，则y ′等于( )A ．0B ．1C ．3D ．63．∫21(x －1x)dx ＝__________. 4．∫21(x 2－2x －3x)dx ＝__________. 答案：1.C 2.A 3.32－ln2 4.－12－3ln2 课堂小结知识整理，形成系统(由学生归纳，教师完善)．1．知识收获：本节课借助于变速直线运动物体的速度与路程的关系以及图形，得出了特殊情况下的牛顿—莱布尼兹公式，进而推广到一般的函数，得出了微积分基本定理，找到了一种求定积分的简便方法．2．方法收获：运用微积分基本定理的关键是找到被积函数的原函数，在探求定理的过程中，充分体会了“由特殊到一般”的研究问题的方法．3．思维收获：数形结合的思想，由特殊到一般推理的思想．布置作业习题1.6 A 组1.(1)(3)．补充练习基础练习1．∫π0sinxdx 等于( )A ．0B ．2C ．πD ．2π2．若∫a 1(2x ＋1x)dx ＝3＋ln2，且a>1，则a 的值为( ) A ．6 B ．4C ．3D ．23．∫10e x dx 等于( )A ．e －1B ．1C ．eD ．e －14．∫0－1(x －e x )dx 等于( )A ．－1－1eB ．－1C ．－32＋1eD ．－32答案：1.B 2.D 3.D 4.C拓展练习5．设函数y ＝∫x 0(t －1)dt(x>0)，则y 有( )A ．极小值12B ．极小值－12C ．极大值12D ．极大值－126．已知∫5t (2x －4)dx ＝5，则t ＝__________.答案：5.B 6.0或4点评：第6题是变练演编第1题的变式与提升，第6题重在使学生认识不同的积分区间可能得到相同的积分值，提升对微积分基本定理的认识，为几何意义的引出做好铺垫．第5题是与导数知识相结合求极值的问题，意在提高学生的综合解题能力．设计说明本节从变速直线运动这一实际问题出发，让学生观察探究、合作交流讨论．通过数形结合，使学生经历从特殊到一般的推理过程研究．通过探究变速直线运动物体在某段时间内的速度与位移的关系，寻求导数和积分的内在联系，得到微积分基本定理．在“数形结合”的思想下，在问题式教学的引导下，学生既经历了微积分基本定理的发现过程，又直观了解了微积分基本定理的含义．在教材处理上，大胆创新，结合学生的认知能力和思维习惯进行引导，突出微积分基本定理的探究过程，整个过程以学生探究为主，使其体会探索的乐趣和微积分基本定理的威力．例题和练习的设计遵循由浅入深、循序渐进的原则，低起点、多角度、多层次地加深对微积分基本定理的认识，强化运用定理解题的步骤和格式，使学生在运用中体会微积分基本定理的具体用法以及运用定理的关键．备课资料备选例题例1函数y＝∫x－x(t2＋2)dt(x>0)()A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．以上都不正确思路分析：本题容易得出y＝23x3＋4x，但应注意x>0，故答案应选C，而非A.答案：C例2设f(x)是连续函数，且f(x)＝x＋2∫10f(t)dt，求f(x)．解：由题意，可知f(x)＝x＋c(c是一个常数)．所以f(x)＝x＋2∫10f(t)dt＝x＋2∫10(t＋c)dt＝x＋1＋2c，即x＋c＝x＋1＋2c，从而c＝－1.所以f(x)＝x－1.(设计者：韩辉杰)。

§15 微积分基本定理（二）【学习目标】1.直观了解微积分基本定理的含义，能运用微积分基本定理计算简单的定积分。

2.通过学习微分与积分的关系，体会数学的博大精深，为进一步学好微积分打好基础。

【学习重点】微积分基本定理的理解；【学习难点】运用微积分基本定理计算简单的定积分。

【学习内容】一、预习提纲1．微积分基本定理：2．定积分公式：（1）=⎰b a cdx （2）=⎰b a n dx x （3）=⎰b a xdx cos （4）=⎰b axdx sin （5）)0(___________1>=⎰x dx x b a（6）=⎰b a x dx e （7）=⎰n mx dx a 3．定积分性质（1）⎰⎰=b aba dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） （2）⎰⎰⎰±=±bab a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([ （3）,)()()(⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f 二、典型例题 例1．计算下列定积分 （1）⎰-21)1(dx x （2）⎰+21)1(dx x e x（3）⎰π0|cos |dx x （4）⎰-302|4|dx x例2．求由曲线3,1362+=+-=x y x x y 围成的封闭区域的面积例3． 已知函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-。

（1）求常数b a ,；（2）求曲线)(x f y =与x 轴围成的图形的面积。

三．课堂练习1．计算下列定积分（1）⎰ππ2cos xdx （2）⎰-+11)1(||dx x x2．计算⎰-11)(dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,)(23x x x x x f3．求由曲线22,x y x y ==围成的图形的面积§15 微积分基本定理（二）课外作业1．计算下列定积分（1）⎰π02cos xdx （2）⎰-212)1(dx xx（3）⎰+4025dx x （4）⎰202sin πxdx2．已知)(x f 是]3,3[-上的偶函数，且16)(30=⎰dx x f ，求⎰--+33]5)([dx x x f 的值。

第2课时教学目标知识与技能目标通过实例进一步熟练微积分基本定理解题的步骤格式，了解其几何意义，掌握定积分的性质．过程与方法目标通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法，感受在其过程中渗透的数形结合等思想方法．情感、态度与价值观通过微积分基本定理的简单应用，培养学生运用知识解决实际问题的能力，提高分析问题、解决问题的能力，激发学生学习数学的兴趣．重点难点重点：运用微积分基本定理解决简单的数学及实际问题，了解其几何意义．难点：微积分基本定理的含义，定积分的值与曲边梯形面积之间的关系，定积分的性质．教学方法问题探究式教学法，使学生在解决问题中练习知识、掌握知识；同时，能够掌握方法、提升能力．教学过程复习回顾1．微积分基本定理的内容是什么？如果函数f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，则∫b a f(x)dx＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．2．计算定积分的关键是什么？计算定积分∫b a f(x)dx关键是找出满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，从而把问题转化为计算函数F(x)在区间的两个端点处的函数值之差．3．一般如何得出F(x)?通常我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则逆向求出F(x)．4．计算下列定积分：∫3－1(4x－x2)dx.答案：20 3.引入新课提出问题1：计算下列定积分：∫π0sinxdx，∫2ππsinxdx，∫2π0sinxdx.活动设计：可由多名学生同时到黑板上板演，其他学生独立思考求解．学情预测：学生可以比较顺利地计算出来．活动成果：用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分比较简洁、有效，结果如下：解：因为(－cosx)′＝sinx，所以∫π0sinxdx＝(－cosx)|π0＝(－cosπ)－(－cos0)＝2；∫2π0πsinxdx＝(－cosx)|2ππ＝(－cos2π)－(－cosπ)＝－2；∫2π0sinxdx＝(－cosx)|2π0＝(－cos2π)－(－cos0)＝0.设计意图体会求导数对求定积分的重要意义，同时熟练运用公式．探究新知提出问题2：由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．活动设计：学生先独立思考，然后小组讨论，并对成果进行展示．学情预测：学生的说法可能有多种，经过讨论、细化、规范说法，但可能仍有重复或疏漏．活动结果：教师引导学生进行分析比较，可以发现：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时(图1)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时(图2)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；图2(3)当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于位于x轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0(图3)，且等于位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积．图3设计意图着重说明定积分的值与曲边梯形面积之间的关系．提出问题3：你能否给出一般的定积分∫b a f(x)dx的几何意义？活动设计：学生类比问题2进行思考，然后口答．学情预测：学生一般能得出正确结论，但叙述上可能不太严谨．活动结果：如图，定积分∫b a f(x)dx的几何意义是：界于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a、x＝b之间各部分曲边梯形面积的“代数和”——在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．因此，定积分的值也可以分成几部分来求，然后把各部分的值加起来，就是所求定积分的值．(定积分的性质)通过探究思考，使学生掌握定积分的几何意义，进一步加深对定积分的认识．设计意图 ⎠⎜⎛0π2 提出问题4：不计算定积分的值，试比较⎠⎜⎛0π2 cosxdx 与22cos xdx ππ-⎰的大小关系． 活动设计：学生先思考，然后分组讨论交流，教师引导．学情预测：有了上面的讨论和分析，学生不难得出结果． 活动结果：师生共同梳理，根据余弦函数的对称性，从图象上容易看出22cos xdx ππ-⎰所对应的曲边梯形的面积，刚好是⎠⎜⎛0π2cosxdx 所对应的曲边梯形的面积的2倍． 设计意图体会定积分几何意义的重要性．提出问题5：计算定积分⎠⎜⎛0π2cosxdx 与22cos xdx ππ-⎰的值，并与0sin xdx π⎰进行比较，试从几何意义上给出解释．活动设计：可由学生到黑板上板演，其他学生独立思考求解．学情预测：学生可以比较顺利地计算出来．活动成果：解：因为(sinx)′＝cosx ，所以⎠⎜⎛0π2cosxdx ＝sinx|π20＝sin π2－sin0＝1， 22cos xdx ππ-⎰＝sinx|π2－π2＝sin π2－sin(－π2)＝2.根据正弦函数与余弦函数图象的关系，容易得出22cos xdx ππ-⎰所对应的曲边梯形的面积，刚好等于∫π0sinxdx 所对应的曲边梯形的面积．设计意图通过计算及比较，进一步熟悉公式、加深对几何意义的理解，同时强化数形结合的思想方法．设计意图运用新知例1由抛物线y 2＝x 和直线x ＝1所围成的图形的面积等于( )A ．1 B.43 C.23 D.13活动设计：以学生练习、讨论为主，教师引导、点评．活动结果：根据几何意义，所求面积也就是定积分∫10xdx 的2倍(如图阴影部分所示)．因为(23x 32)′＝x ，所以∫10xdx ＝(23x 32)|10＝23. 所求面积为2×23＝43，故选答案B. 设计意图进一步体会几何意义的重要性，同时渗透数形结合的思想．例2汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车．设汽车作匀减速刹车，加速度大小a ＝1.8米/秒2，问从开始刹车到停车，汽车行驶了多少米？解：首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，当t ＝0时，汽车速度v 0＝32千米/小时＝32×1 0003 600米/秒≈8.88米/秒，刹车后汽车匀减速行驶，其速度为v(t)＝v 0－at ＝8.88－1.8t.当汽车停住时，速度v(t)＝0，故由v(t)＝8.88－1.8t ＝0，解得t ＝8.881.8≈4.93(秒)． 于是在这段时间内，汽车所驶的距离是s ＝∫4.930v(t)dt ＝∫4.930(8.88－1.8t)dt ＝ (8.88t －1.8×12t 2)|4.930≈21.90(米)． 即在刹车后，汽车需驶过21.90米才能停住．点评：进一步熟练、规范运用微积分基本定理求定积分问题，并体会定积分在解决实际问题中的价值．巩固练习计算下列定积分：(1) ⎠⎜⎛0π2 (3x ＋sinx)dx ；(2) 412cos 2xdx ππ⎰；(3)∫21(x －1)dx. 答案：(1)3π28＋1；(2)14；(3)423－53. 变练演编1．∫20(2x －4)(x 2－4)dx ＝__________. 2．∫32(x ＋1x)2dx ＝__________. 3．∫41x(1－x)dx ＝__________.答案：1.403 2.92＋ln3－ln2 3.－176点评：进一步熟练运用公式；进一步体会公式运用的关键——求原函数F(x)；体会导数与定积分的关系；体会利用定积分的性质计算定积分．达标检测1．∫21(e x －2x)dx ＝__________. 答案：e 2－e －2ln22．计算定积分∫3π0sinxdx 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．解：∫3π0sinxdx ＝(－cosx)|3π0＝2.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与位于x 轴下方的曲边梯形的面积之差．或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积(取正值)与位于x 轴下方的曲边梯形的面积(取负值)的代数和．课堂小结知识整理，形成系统(由学生归纳，教师完善)．1．知识收获：本节课通过探究正弦函数在某个区间上的定积分，结合图象，得出了定积分的几何意义，同时学习了定积分的性质．2．方法收获：运用微积分基本定理及其几何意义、定积分的性质可以方便地解决定积分问题．3．思维收获：数形结合的思想，由特殊到一般的思想．布置作业习题1.6B 组1.(1)(2)(3)．补充练习基础练习1．∫10(e x ＋e －x )dx 等于( )A ．e ＋1eB ．2e C.2e D ．e －1e2．曲线y ＝cosx ，x ∈[0，3π2]与坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．4 B ．3C.52D ．2 3．若∫a 0(3x 2＋4x －5)dx ＝a 3－2(a>1)，则a ＝__________.答案：1.D 2.B 3.2拓展练习4．22cos 2x dx ππ⎰＝__________. 答案：π4－125．如图，求由两条曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得C(1，－1)，同理得D(2，－1)． ∴所求图形的面积 S ＝2{∫10[－x 24－(－x 2)]dx ＋∫21[－x 24－(－1)]dx} ＝2(∫103x 24dx －∫21x 24dx ＋∫21dx)＝2(x 34|10－x 312|21＋x|21)＝43. 设计说明本节从探究正弦函数在某个区间上的定积分与对应曲边梯形面积的关系入手，让学生观察探究、合作交流讨论，使学生经历从特殊到一般的探究过程．通过数形结合，寻求定积分和曲边梯形面积的内在联系，得到定积分的几何意义．在“数形结合”的思想下，在问题式教学的引导下，学生既经历了知识发现的过程，又直观了解了定积分的性质．本节教材课本内容相对较少，但其地位却非常重要，因此，本设计增加了相应的探究内容和例题及练习．在充分探究的基础上，强化针对性练习，使学生能较好地理解定积分的几何意义，并掌握其性质．例题和练习的设计遵循由浅入深、循序渐进的原则，与前一节的题目相辅相成，并且相对于前一节题目的难度有所提升，以便于学生更好地掌握公式、熟悉性质．备课资料牛顿与莱布尼兹创立微积分之解析牛顿，1642年生于英格兰，1661年，入英国剑桥大学，1665年，牛顿回到乡间，终日思考各种问题，运用他的智慧和数年来获得的知识，发明了流数术(微积分)、万有引力和光的分析．牛顿生活的时代正是英国发生变革的时代，当时英国发生了国内战争，资产阶级和贵族的阶级妥协，使英国资产阶级革命明显地带上了不彻底性．牛顿在30岁以前发现了微积分，并建立了经典力学体系，而他的后半生在自然科学的研究上几乎一事无成．这是由于在资本主义产生和形成的时期，资产阶级曾经向宗教神学发起冲击，帮助科学从神学中解放出来．但是当资产阶级的地位巩固以后，阶级斗争逐渐激化之时，资产阶级逐渐衰退，他们就抓住各种各样的宗教信念作为奴役人民的思想武器．牛顿受其影响很大，其前半生由于自发的唯物主义的思想倾向，使他获得了巨大的成就，而后半生则完全沉迷于神学的研究．牛顿继承了培根的经验主义传统，特别重视实验和归纳推理的作用，他曾断言，自然科学只能从经验事实出发解释世界．这在当时对打击经院哲学的崇尚空谈、妄称神意来歪曲自然界是起过积极作用的．莱布尼兹生于德国，1672年赴巴黎，在那里接触到惠更斯等一些数学名流，引导其进入了数学领域，开始微积分的创造性工作．牛顿建立微积分是从运动学的观点出发，而莱布尼兹则从几何学的角度去考虑，所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，并有效地促进了微积分学的发展．牛顿发现微积分(1665～1666年)比莱布尼兹至少早了9年，然而莱布尼兹公开发表它的微积分文章比牛顿早3年．如果说，牛顿建立微积分主要是从运动学的观点出发，而莱布尼兹则是从哲学的和几何学的角度去考虑，特别是和巴罗的“微分三角形”有密切的关系，莱布尼兹称它为“特征三角形”．巴罗的“微分三角形”对莱布尼兹有着重要启发，对微分三角形的研究，使他意识到求切线和求积分问题是一对互逆的问题．莱布尼兹第一个发表出微分和积分之间的互逆关系.1675～1676年间，他从求曲边梯形面积出发得到积分的概念，给出微积分基本定理.1686年莱布尼兹发表积分学论文《潜在的几何与分析不可分和无限》，1693年，他给出了上述定理的一个证明，以上这些都发表在《教师学报》上．将微分和积分统一起来，是微积分理论得以建立的一个重要标志．牛顿和莱布尼兹的哲学观点的不同导致了他们创立微积分的方法不同．牛顿坚持唯物论的经验论，特别重视实验和归纳推理．他在研究经典力学规律和万有引力定律时，遇到了一些无法解决的数学问题，而这些数学问题用欧几里德几何学和16世纪的代数学是无法解决的，因此牛顿着手研究新的求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值等问题的方法——流数法．莱布尼兹的微积分创造始于研究“切线问题”和“求积问题”，他从微分三角形认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标之差与横坐标之差的比值；求曲边图形的面积则依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限薄的矩形之和．莱布尼兹认识到求和与求差运算是可逆的．莱布尼兹的无穷小的分阶正是和它的客观唯心论的哲学体系中那个不同层次的单子系统是相对应的．莱布尼兹在微积分的研究过程中，连续性原则成为其工作的基石，而连续性原则是扎根于他哲学中无限的本质的思想．牛顿和莱布尼兹创立微积分的相同点有：从不同的角度创立了一门新的数学学科，使微积分具有广泛的用途，并能应用于一般函数；用代数的方法从过去的几何形式中解脱出来；都研究了微分与反微分之间的互逆关系．牛顿认为微积分是纯几何的自然延伸，关心的是微积分在物理学中的应用．经验、具体和谨慎是他的工作特点，这种拘束的做法，使他没有能尽情发挥．而莱布尼兹关心的是广泛意义下的微积分，力求创造建立微积分的完善体系．他富于想象，喜欢推广，大胆而且有思辩性，所以毫不犹豫地宣布了新学科的诞生．牛顿和莱布尼兹都是他们时代的科学巨人．微积分之所以能成为独立的学科，并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是取决于牛顿与莱布尼兹的工作．从牛顿和莱布尼兹创立微积分的过程中可以看出：当巨人的哲学的沉思变成科学的结论时，对科学发展的影响是深远的．(设计者：韩辉杰)。

§5 微积分学基本定理•定积分计算（续）教学目的：熟练掌握微积分学基本定理及定积分的换元与分部积分法。

重点难点：重点为微积分基本定理,难点为泰勒公式的积分型余项。

教学方法：讲练结合。

本节要在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数. 一 变限积分与原函数的存在性设f 在[]b a ,上可积，根据定积分的性质4，对任何[]b a x ,∈，f 在[]x a ,上也可积.于是，由 ()(),dt t f x xa⎰=Φ[]b a x ,∈ （1）定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似可定义变下限的定积分： ()(),dt t f x bx⎰=ψ[]b a x ,∈. （2）Φ与ψ统称为变限积分.注意，在变限积分（1）与（2）中，不可再把积分变量x 写成()dx x f xa⎰，以免与积分上、下限的x 相混淆.变限积分所定义的函数有着重要的性质．由于()(),dt t f dt t f bxbx⎰⎰-=因此下面只讨论变上限积分的情形．定理9．9 若f 在[]b a ,上可积，则由(1)式所定义的函数Φ在[]b a ,上连续． 证 对[]b a ,上任一确定的点x ，只要[]b a x x ,∈∆+，按定义式(1)有 ()()().dt t f dt t f dt t f xx xx axx a⎰⎰⎰∆+∆+=-=∆Φ因f 在[]b a ,上有界，可设()[]b a t M t f ,,∈≤．于是，当0>∆x 时有 ()();x M dt t f dt t f xx xxx x∆≤≤=∆Φ⎰⎰∆+∆+当0<∆x 时则有x M ∆≤∆Φ．由此得到 ,0lim 0=∆Φ→∆x即证得Φ在点x 连续．由x 的任意性，Φ在[]b a ,上处处连续． 口定理9．10 (原函数存在定理) 若f 在[]b a ,上连续，则由(1)式所定义的函数Φ在[]b a ,上处处可导，且()()()[].,,b a x x f dt t f dxd x xa ∈==Φ'⎰ （3）证 对[]b a ,上任一确定的x ，当0≠∆x 且[]b a x x ,∈∆+时，按定义式（1）和积分第一中值定理，有()().10,1≤≤∆+=∆=∆∆Φ⎰∆+θθx x f dt t f xx xx x 由于f 在点x 连续，故有 ()()().lim lim0x f x x f x x x x =∆+=∆∆Φ=Φ'→∆→∆θ由x 在[]b a ,上的任意性，证得Φ是f 在[]b a ,上的一个原函数． 口本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系；同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了f 的一个原函数．正因为定理9．10的重要作用而被誉为微积分学基本定理．此外，又因f 的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当f 为连续函数时，它的任一原函数F 必满足 ()().C dt t f x F xa+=⎰若在此式中令a x =，得到()a F C =，从而有()).()(a F x F dt t f xa-=⎰再令b x =,有()).()(a F x F dt t f ba-=⎰这是牛顿-莱布尼茨公式的又一证明.定理9．11 (积分第二中值定理) 设函数f 在[]b a ,上可积. (ⅰ)若函数g 在[]b a ,上减,且()0≥x g ,则存在 []b a ,∈ξ,使()()()()dx x f a g dx x g x f ab a⎰⎰=ξ(ⅱ)若函数g 在[]b a ,上增,且()0≥x g ,则存在 []b a ,∈η,使()()()()dx x f b g dx x g x f bba⎰⎰=η推论 设函数f 在[]b a ,上可积, 若函数g 为单调函数,则存在[]b a ,∈ξ,使()()=⎰dx x g x f ba()()()()dx x f b g x f a g ba⎰⎰+ξξ积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具．二 换元积分法与分部积分法定理9．12 (定积分换元积分法) 若函数f 在[]b a ,上连续，ϕ在[]βα,上连续可微，且满足 ()()()[]βαϕϕϕ,,,,∈≤≤==t b t a b b a a ，则有定积分换元公式：()()()()dt t t f dx x f b aϕϕβα'=⎰⎰ （9）证 由于(9)式两边的被积函数都是连续函数，因此它们的原函数都存在．设F 是f 在[]b a ,上的一个原函数，由复合函数微分法()()()()()()()()t t f t t F t F dtdϕϕϕϕϕ'=''= 可见()()t F ϕ是()()()t t f ϕϕ'的一个原函数．根据牛顿一莱布尼茨公式，证得()()()()()()()a F F dt t t f ϕβϕϕϕβα-='⎰()()()dx x f a F b F ba ⎰=-=从以上证明看到，在用换元法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，不必作变量还原，而只要用新的积分限代人并求其差值就可以了．这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区别，这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，如果(9)式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了.注 如果在定理9．12的条件中只假定f 为可积函数，但还要求ϕ是单调的，那么（9）式仍然成立.（本节习题第14题）例 计算.112dx x ⎰-解 令t x sin =，当t 由0变到2π时，x 由0增到1，故取[].2,0,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=πβα应用公式(9)，并注意到在第一象限中0cos ≥t ，则有tdt tdt t dx x ⎰⎰⎰=-=-20220212cos cos sin 11ππ()2202sin 21212cos 121ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰t t dt t.4π=例2 计算⎰22.cos sin πtdt t解 逆向使用公式(9)，令,sin ,cos tdt dx t x -==当t 由0变到2π时，x 由1减到0，则有.31cos sin 102200122⎰⎰⎰==-=dx x dx x tdt t π例3计算().11ln 102dx x x J ⎰++=解 令t x tan =，当t 从0变到4π时，x 从0增到1.于是由公式（9）及21x dx dt +=得到()dt ttt dt t J ⎰⎰+=+=404cos sin cos lntan 1ln ππdt tt ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40cos 4cos 2lnππ.cos ln 4cos ln 2ln 404040dt t dt t dt ⎰⎰⎰-⎪⎭⎫⎝⎛-+=ππππ对最末第二个定积分作变换t u -=4π，有dt t ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-404cos ln ππ()⎰⎰=-=4004,cos ln cos ln ππudu du u它与上面第三个定积分相消．故得.2ln 82ln 40ππ==⎰dt J事实上，例3中的被积函数的原函数虽然存在，但难以用初等函数来表示，因此无法直接使用牛顿一莱布尼茨公式．可是像上面那样，利用定积分的性质和换元公式(9)，消去了其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值．换元积分法还可用来证明一些特殊的积分性质，如本节习题中的第5，6，7等题． 定理9.13 (定积分分部积分法)若()()x v x u ,为[]b a ,上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：()()()()()().dx x v x u x v x u dx x v x u baba ba⎰⎰'-=' （10）证 因为uv 是v u v u '+'在[]b a ,上的一个原函数，所以有()()dx x v x u ba'⎰+()()dx x v x u b a⎰'()()()()[]dx x v x u x v x u ba⎰'+'==()()ba x v x u .移项后即为(10)式．为方便起见，公式(10)允许写成()()=⎰x dv x u b a=()()bax v x u ()().x du x v ba⎰- （01'）例4 计算.ln 12xdx x e⎰解()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰dx x x x x xd xdx x e e e e12131312ln 31ln 31ln ().129131313133+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e x e e例5 计算dx x n ⎰2sin π和.,2,1,cos 20Λ=⎰n xdx n π解 当2≥n 时，用分部积分求得()⎰⎰---+-==202220120cos sin 1cos sinsin πππxdx x n xx xdx J n n n n()()xdx n xdx n n n ⎰⎰---=-20202sin 1sin1ππ()().112n n J n J n ---=-移项整理后得到递推公式：.2,12≥-=-n J nn J n n 由于,1sin ,2201200=⎰==⎰=xdx J dx J πππ重复应用递推式(11)便得()()()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=⋅--⋅+=⋅-=⋅--⋅-=+.!!12!!21321222122,2!!2!!122212232212122m m m m m m J m m m m m m J m m ΛΛππ ()12 令t x -=2π，可得.sin 2cos cos 200220xdx dt t xdx n nnππππ⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-=⎰因而这两个定积分是等值的．由例5结论(12)可导出著名的沃利斯(Wallis)公式：()().121!!12!!2lim 22+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∞→m m m m π()13 事实上，由,sin 2cos sin 1220021220xdx dt t xdx m n n -+⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰<⎰ππππ 把(12)代人，得到()()()()()(),!!12!!222!!2!!12!!12!!2--<⋅-<-m m m m m m π由此又得()()()().21!!12!!22121!!12!!222m m B m m m m m m A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<<+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π 因为()()()(),02211221!!12!!22∞→→⋅<+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-<m m m m m m A B o m m π所以().0lim =-∞→m m m A B 而,2m m m A B A -<-π故得2lim π=∞→m m A （即()13式）.三 泰勒公式的积分型余项若在[]b a ,上()x u 、()x v 有1+n 阶连续导函数，则有()()()()()()()()()Λ+'-=⎰-+x v x u x v x u dx x vx u n n n b a 11[ ()()()()()()()()dx x v x u x v x u n ban b a n n111]1++⎰-+-+().,2,1Λ=n ()14 这是推广的分部积分公式，读者不难用数学归纳法加以证明．下面应用公式()14 导出泰勒公式的积分型余项.设函数f 在点0x 的某邻域()0x U 内有1+n 阶连续导函数．令∈x ()0x U ，()()nt x t u -=，()()t f t v =，[]x x t ,0∈（或[]0,,x x ）．利用(14)式得()()()()()()()()()Λ+-+-=-⎰--+t f t x n t f t x dt t ft x n n n nn nx x 111[0()()dt t f t f n xx xx ⋅⎰++0]!00()()()()Λ+-'+-=000[!!x x x f x f n x f n()()()]!00n n x x n x f -+()x R n n !=，其中()x R n 即为泰勒公式的n 阶余项．由此求得()()()()dt t x t f n x R n n x x n -⎰=+10!1， ()15这就是泰勒公式的积分型余项． 由于()()t fn 1+连续，()n t x -在[][]()00,,x x x x 或上保持同号，因此由推广的积分第一中值定理，可将()15式写作()()()()dt t x f n x R nx x n n -⎰=+01!1ξ ()()()()101!11++-+=n n x x f n ξ，其中()10,00≤≤-+=θθξx x x ．这就是以前所熟悉的拉格朗日型余项． 如果直接用积分第一中值定理于(15)，则得()()()()()01!1x x x fn x R n n n --=+ξξ， ()10,00≤≤-+=θθξx x x . 由于()()()[]()0000x x x x x x x x x n n ----=--θξ()()101+--=n nx x θ因此又可进一步把()x R n 改写为()x R n ()()()()(),1!110001++---+=n n n x x x x x fn θθ .10≤≤θ （16）特别当00=x 时，又有 ()x R n ()()().10,1!111≤≤-=++θθθn n n x x fn （17） 公式（16）、（17）称为泰勒公式的柯西型余项.各种形式的泰勒公式余项，将在第十四章里显示它们的功用.作业:2,3,4(1),(6)(9)。

教学方案精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

4.5.4 微积分基本定理一：教学目标1.通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分2.通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法二：教学重难点重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点 了解微积分基本定理的含义三：教学过程：1、复习：定积分的概念及用定义计算2、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -而()()S t v t '=。

对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()ba f x d x Fb F a =-⎰ 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。

注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰证明：因为()x Φ=()xa f t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）其中C 为某一常数。

令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=()aa f t dt ⎰=0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a∴ ()x Φ=()F x -()F a =()xa f t dt ⎰ 令xb =，有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰ 此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。

《定积分与微积分基本定理》学法指导通过定积分与微积分基本定理部分知识的学习，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础．同时体会微积分的产生对人类文化发展的意义和价值，培养学生的创新意识和创新精神．一．知识梳理1．曲边梯形的面积问题对于曲边梯形，一般可采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出其面积．关键是第二步中的近似代替，以直代曲的方式不同，计算过程的繁简程度也不同，因此选择便于计算的和式是极为重要的．2．定积分的定义：⎰b a x f )(dx=∑=∞→∆n i i n x f 1)(lim ξ． 3．定积分的几何意义在一般情况下，定积分⎰ba x f )(dx 是的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象以及直线x=a 、x=b 之间各部分面积的代数和．在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．各部分面积的代数和即为：x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积．4．微积分基本定理一般地，如果f （x ）是区间[a ，b]上的连续函数，并且)(x F '=f （x ），那么⎰ba x f )(dx=F （b ）－F （a ）．二．学法指导1．定积分的定义的几点注意点（1）在区间[a ，b]上连续函数f （x ）的定积分是一种和式的极限；（2）函数f （x ）在区间[a ，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限（定积分）的存在（实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件）；（3）定积分就是和的极限∑=∞→∆n i i n x f 1)(lim ξ，而⎰ba x f )(dx 只是这种极限的一种记号，读作“从a 到b 函数f （x ）的定积分”；（4）定积分与不定积分不同，定积分⎰b a x f)(dx是一个常数，而不定积分⎰)(x f dx则是一个函数，且含有一个任意常数．2．微积分基本定理的几点注意点（1）运用微积分基本公式求定积分⎰b a x f)(dx，是求f（x）的一个原函数F （x），并计算其在端点的函数值的差．与用定积分的定义计算定积分比较显得简单，具有比较大的优越性；（2）通常是把求原函数与计算原函数值的差用一串等式表示出来．一般地，有⎰b a x f)(dx=F（x）b a|=F（b）－F（a）．注意，把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误；（3）微积分基本定理的条件中是指任一原函数，而不是所有原函数．一般地，有⎰b a x f)(dx=[F（x）+C]b a|=[F（b）+C]－[F（a）+C]=F（b）－F（a）．3．求定积分的方法（1）根据定义求定积分（四个基本步骤）；（2）利用微积分基本公式求定积分．其步骤为：第一步：求f（x）的一个原函数F（x）；第二步：计算F（b）－F（a）；（3）利用定积分的几何意义求定积分．三．特别提醒1．熟练掌握求曲线梯形面积的步骤：（1）分割；（2）近似代替；（3）求和；（4）取极限．2．微积分基本公式揭示了定积分与不定积分的内在联系，为计算定积分提供了一种十分简捷的方法．应用微积分基本公式还可以得到定积分的一些简单性质．如：（1）⎰a a x f)(dx=0，这是因为⎰a a x f)(dx=F（a）－F（a）=0；（2）⎰b a x f)(dx=－⎰a b x f)(dx，这是因为⎰b a x f)(dx=F（b）－F（a），而⎰a b x f)(dx=F（x）a b|=F（a）－F（b）=－[F（b）－F（a）]．四．考点剖析1．计算求函数f （x ）在某个区间上的定积分问题是定积分部分最重要的应用之一．有时是对单一的函数进行积分，有时也对分段函数进行积分，要注意加以区分和应用．例1．（2008年高考山东卷理，14）设函数f （x ）=ax 2+c （a≠0），若⎰10)(x f dx=f （x 0），0≤x 0≤1，则x 0的值为 ．分析：求函数f （x ）在某个区间上的定积分，关键是求出函数f （x ）的一个原函数，再加以计算，同时结合取值条件加以确定．解析：由于⎰10)(x f dx=⎰+102)(c ax dx=（3a x 3+cx ）|10=3a +1=f （x 0）=ax 02+c ，则有x 02=31，由于0≤x 0≤1，解得x 0=33，故填答案：33． 评析：主要考查定积分的计算与函数值的计算问题．计算定积分应注意两点：一是正确选择被积函数，二是注意被积区间，其结果是原函数在[a ，b]上的改变量F （b ）－F （a ）．2．应用利用定积分的相关知识，可以用来处理有关图形的面积、曲面的体积、运动的路程、力的做功等几何学中或物理学中的一些实际应用问题．例2．（2008年高考海南宁夏卷理，10）由直线x=21，x=2，曲线y=x1及x 轴所围图形的面积为（ ）A ．415B ．417 C ．21ln2 D ．2ln2 分析：根据曲边梯形的面积公式，确定对应曲线加以求解．解析：由于S=⎰2211x dx=lnx |221=ln2－ln 21=ln2+ln2=2ln2，故选择答案：D ． 评析：主要考查定积分的简单运算和应用．以y=f （x ）（a≤x≤b ）为曲边的曲边梯形的面积S 为S=|)(|⎰ba x f dx ．在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．。

1.6 微积分基本定理教学目标1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)教学梳理1．微积分基本定理内容如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么⎠⎛ab f(x)d x ＝F(b)－F(a)．符号⎠⎛ab f(x)d x＝F(x) ＝F(b)－F(a).思考：满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一吗？[提示]不唯一，如F1(x)＝x＋1，F2(x)＝x＋5，…等其导数为1，故F(x)不唯一．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下．则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图1­6­1①，则⎠⎛ab f(x)d x＝S上．(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图1­6­1②，则⎠⎛ab f(x)d x＝－S下．(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图1­6­1③，则⎠⎛ab f(x)d x＝S上－S下，若S上＝S下，则⎠⎛ab f(x)d x＝0.图①图②图③图1­6­1教学案例类型1求简单函数的定积分例1 求下列定积分．(1)⎠⎛01(2x ＋e x )d x ；(2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ；(3)⎝⎛⎭⎫sin x 2－cos x 22d x ；(4)⎠⎛03(x －3)(x －4)d x .[解] (1)⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －3cos x d x ＝(ln x －3sin x )| 21＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1. (3)∵⎝⎛⎭⎫sin x 2－cos x 22 ＝1－2sin x 2cos x2＝1－sin x ，＝⎝⎛⎭⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1. (4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12， ∴⎠⎛03(x －3)(x －4)d x＝⎠⎛03(x 2－7x ＋12)d x⎝⎛⎭⎫13x 3－72x 2＋12x＝27－632＋36＝632.[跟踪训练]1．计算下列定积分．(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎝⎛⎭⎫cos 2 x 2－sin 2 x 2d x ；(3)⎠⎛49x (1＋x )d x .[解] (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－x33＋ln x＝⎝⎛⎭⎫4－83＋ln 2－⎝⎛⎭⎫1－13 ＝ln 2＋23.＝⎝⎛⎭⎫23×27＋812－⎝⎛⎭⎫23×8＋162 ＝⎝⎛⎭⎫18＋812－163－8 ＝2716类型2求分段函数的定积分例2 计算下列定积分．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .[思路探究] (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎡⎭⎫0，π2，⎣⎡⎦⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和． (2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分． [解] (1)(x －1)d x ＝(－cos x )＝1＋⎝⎛⎭⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2. (2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝2.[跟踪训练]2．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1＜x ≤2，求⎠⎛02f (x )d x .(2)求|x 2－x |d x 的值.[解] (1)⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(1＋2x )d x ＋⎠⎛12x 2d x＝(x ＋x 2)＝2＋73＝133.(2)∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，－2≤x ＜0，x －x 2，0≤x ≤1，x 2－x ，1＜x ≤2，∴|x 2－x |d x＝143＋16＋56＝173. 类型3利用定积分求参数[探究问题]1．求f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x 的表达式．提示：f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2＝23a －12a 2. 2．试求f (a )取得最大时a 的值．提示：f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )的最大值为29.例3 (1)已知t ＞0，f (x )＝2x －1，若⎠⎛0t f (x )d x ＝6，则t ＝ .(2)已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为 ．[解] (1)⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x ＝t 2－t ＝6，解得t ＝3或－2，∵t ＞0，∴t ＝3. (2)⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x ＝32k ＋1. 由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.母题探究：1.(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛0t f (x )d x ＝f⎝⎛⎭⎫t 2，求t .[解] 由⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x＝t 2－t ， 又f ⎝⎛⎭⎫t 2＝t －1， ∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛0t f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值．[解] F (t )＝⎠⎛0t f (x )d x ＝t 2－t＝⎝⎛⎭⎫t －122－14(t ＞0)， 当t ＝12时，F (t )min ＝－14.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列值等于1的是( )A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x [答案] C[解析] 选项A ，因为⎝⎛⎭⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22＝12； 选项B ，因为⎝⎛⎭⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x22＋x ＝32； 选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x＝1；选项D ，因为⎝⎛⎭⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ＝12. 2．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2[答案] D[解析] ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝()x 2＋ln x ＝a 2＋ln a －1，∴a 2－1＝3，且ln a ＝ln 2，故a ＝2.3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝ .[解析] ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33－x 23＝83－43＝43[答案] 434．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝ .[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛1(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33＋x ＋⎝⎛⎭⎫3x －x22＝176. [答案]1765．已知f (x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f (x )d x ＝0，求f (x )的[解析]式．[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0. ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ① ∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx＝13a ＋12b ＋c ＝0.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.。

定积分的概念与微积分基本定理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积. 一、定积分的概念：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限， 事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限1定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：()()i ni ni i f nab x f ξξ∑∑==-=∆•11当n →+∞）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baf x dx ⎰即()baf x dx ⎰=()i ni n f nab ξ∑=∞→-1lim 其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 积分 ，a 积分 。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。