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____第22课__导数在实际问题中的应用____能够运用所学的函数知识、思想和方法，运用所给的函数模型或构造相应的函数模型，将一些简单的实际问题转化为相应的导数问题，会利用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题.1. 阅读：选修11第93～98页．2. 解悟：①实际生活中通常有哪些应用背景？构造的函数模型有哪些？②总结求解实际问题的一般步骤，其关键步骤是什么？3. 践习：在教材空白处完成教材第96页练习第3、4题.基础诊断1. 如图，将边长为60cm 的正方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起做成一个无盖的方底铁皮盒．当铁皮盒底边长为__40cm __时，盒子的容积最大，最大容积是__16__000cm 3__.解析：设铁皮盒底边长为cm ，容积为V ，所以V()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 22＝60x 2－x 32(0<<60)，则V ′()＝60－322(0<<60)．令V ′()＝60－322＝0，解得＝0(舍去)或＝40.因为当∈(0，40)时，V ′()>0；当∈(40，60)时，V ′()<0.所以V()在区间(0，40)上为增函数；在区间(40，60)上为减函数，所以V()ma ＝V(40)＝60×（40）2－4032＝16 000.故当铁皮盒底边长40cm 时，最大容积为16 000 cm 3.2. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为__3__． 解析：设圆柱的底面半径为r ，则高为27r 2.所以S 表面积＝πr 2＋2πr ×27r 2＝πr 2＋54πr.令f(r)＝πr 2＋54πr (r>0)，则f ′(r)＝2πr ＋－54πr 2＝2π（r 3－27）r 2.令f ′()>0可得r>3，令f ′()<0可得0<r<3.所以f(r)在(0，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以f(r)在r ＝3时取得最小值，所以当圆柱的底面半径为3时，用料最省．3. 将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝（梯形的周长）2梯形的面积，则S 的最小值是3．解析：设剪成的小正三角形的边长为，则梯形的周长为3－，梯形的面积为34(1－2)，所以S ＝（3－x ）234（1－x 2）(0<<1)．令S()＝（3－x ）234（1－x 2）(0<<1)，则S ′()＝43·－6x 2＋20x －6（1－x 2）2＝43·－2（x －3）（3x －1）（1－x 2）2.令S ′()>0，得13<<1，令S ′()<0得0<<13，所以当＝13时，S()取极小值，也是最小值，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝3233，故S 的最小值为3233.范例导航考向❶ 利用导数研究用料最省、费用最低问题例1 如图，某自;水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线l 1排，在路南侧沿直线l 2排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线EF 将直线l 1与l 2接通．已知AB ＝60m ，BC ＝80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90°的角为α.(1) 求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式； (2) 求排管的最小费用及相应的角α.解析：(1) 如图，过点E 作EM ⊥BC ，垂足为M. 由题意得，∠MEF ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤tan α≤43，故MF ＝60tan α，EF ＝60cos α，AE ＋FC ＝80－60tan α， 所以W ＝(80－60tan α)×1＋60cos α×2＝80－60×sin αcos α＋120×1cos α＝80－60×sin α－2cos α(其中0≤α＜α0＜π2，tan α0＝43)． (2) 设f(α)＝sin α－2cos α(其中0≤α＜α0＜π2，tan α0＝43)，则f ′(α)＝1－2sin αcos 2α. 令f ′(α)＝0得sin α＝12，即α＝π6.列表如下：所以当α＝π6时，有f(α)ma ＝－3，此时有W min ＝80＋60 3.故排管的最小费用为80＋60 3 万元，相应的角α＝π6.已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250 mL ，则它的底面半径等于π时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省．解析：设圆柱的高为h ，表面积为S ，容积为V ，底面半径为r ，则S ＝2πrh ＋2πr 2，V ＝250＝πr 2h ，得h ＝250πr 2，则S ＝2πr ·250πr 2＋2πr 2＝500r ＋2πr 2，S ′＝－500r 2＋4πr.令S ′＝0得r ＝53π2π.因为S 只有一个极值，所以当r ＝53π2π时，S 取得最小值，即此时所用材料最省．考向❷ 利用导数研究利润最大问题例2 根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p 与日产量(件)之间近似地满足关系式p ＝⎩⎪⎨⎪⎧215－x ， 1≤x ≤9，x ∈N *，x 2＋60540， 10≤x ≤20，x ∈N*(日产品废品率＝日废品量日产量×100%)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．该车间的日利润y ＝日正品赢利额－日废品亏损额．(1) 将该车间日利润y (千元)表示为日产量(件)的函数；(2) 当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？解析：(1) 由题意可知，y ＝2(1－p )－p ＝⎩⎪⎨⎪⎧24x －2x 215－x， 1≤x ≤9，x ∈N *，53x －x 3180， 10≤x ≤20，x ∈N *.(2) 考虑函数f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧24x －2x 215－x， 1≤x ≤9，x ∈N *，53x －x 3180， 10≤x ≤20，x ∈N *，当 1≤≤9时，f ′()＝2－90（15－x ）2，令f ′()＝0， 得＝15－35；当1≤<15－35时，f ′()>0，函数f ()在[1，15－35)上单调递增； 当15－35<≤9时，f ′()<0，函数f ()在(15－35，9]上单调递减． 所以当＝15－35时，f ()取得极大值，也是最大值． 又是整数，f (8)＝647，f (9)＝9，所以当＝8时，f ()有最大值647；当10≤≤20时，f ′()＝53－x 260＝100－x 260≤0，所以函数f ()在[10，20]上单调减，所以当＝10时，f ()取得最大值1009.由于1009>647，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．故当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是1009千元．某产品的销售收入y 1(万元)是产品(千台)的函数y 1＝172，生产总成本y 2(万元)也是(千台)的函数y 2＝23－2(>0)，为使利润最大，应生产__6__千台．解析：设利润为W 万元，则W ()＝y 1－y 2＝172－23＋2＝182－23，所以W ′()＝36－62.令W ′()＝0，解得＝6或＝0(舍去)．当∈(0，6)，W ′()>0，W ()单调递增；当∈(6，＋∞)，W ′()<0，W ()单调递减，故当＝6时，W ()取极大值，也是最大值，此时利润最大，即应生产6千台． 考向❸ 利用导数研究长度、面积、体积最大(小)问题例3 如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中BMN 是半径为1百米的扇形，∠ABC ＝2π3.管理部门欲在该地从M 到D 修建小路．在MN ︵上选一点P(异于M ，N 两点)，过点P 修建与BC 平行的小路PQ.(1) 设∠PBC ＝θ，试用θ表示修建的小路MP ︵与线段PQ 及线段QD 的总长度l ； (2) 求l 的最小值．解析：(1) 延长QP ，交AB 于点E ， 则MP ︵＝2π3－θ.在△BPE 中，∠EPB ＝θ，∠EBP ＝2π3－θ，∠BEP ＝π3，所以EP ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ，EB ＝23sin θ，所以PQ ＝2－23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ，QD ＝2－23·sin θ， 所以l ＝2π3－θ＋2－23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＋2－23·sin θ＝4－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋2π3－θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<2π3.(2) l ′＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－1，令l ′<0，即－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－1<0，解得0<θ<π2；令l ′>0，即－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－1>0，解得π2<θ<2π3.所以当θ＝π2时，l 有最小值4－3＋π6，故l 的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫4－3＋π6百米．自测反馈1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，当其表面积最小时，底面边长为． 解析：设底面边长为a ，高为h ，表面积为S.V ＝34a 2×h ，所以h ＝43V 3a 2，则表面积S ＝3ah ＋2×34a 2＝32a 2＋43V a ，所以S ′＝3a －43V a 2.令S ′＝3a －43V a 2＝0，解得a ＝34V.当0<a<34V 时，S ′<0，当a>34V 时，S ′>0，所以当a ＝34V 时，S 取极小值也是最小值，所以底面边长为34V.2. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高度应为cm __． 解析：设圆锥的高为h ，则底面半径为202－h 2，所以其体积V ＝13π(202－h 2)h(0<h<20)，所以V ′＝π3(400－3h 2)．令V ′＝0，即π3(400－3h 2)＝0，解得h ＝2033或h ＝－2033(舍去)．当0<h<2033时，V ′>0；当2033<h<20时，V ′<0，所以当h ＝2033时，V 取最大值，故其高度应为2033cm .3. 若球的半径以2cm /s 的速度膨胀，当半径为5cm 时，表面积对时间的变化率是__80π__．解析：球的表面积为S ＝4πR 2.由题意得ΔR Δt ＝2，所以Δt ＝ΔR 2，所以ΔS Δt ＝ΔS ΔR 2＝2ΔSΔR，因为ΔS ΔR ＝S ′＝8πR ，所以ΔS Δt ＝16πR.当R ＝5时，ΔSΔt＝80π，所以表面积对时间的变化率为80π.4. 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进，把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y(万元)与处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎨⎧125x 3＋640， 10≤x<30，x 2－40x ＋1 600， 30≤x ≤50，且每处理1吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品，当处理量为多少吨时，平均每吨的处理成本最少？解析：由题易知，二氧化碳的平均处理成本 P()＝yx ＝⎩⎪⎨⎪⎧125x 2＋640x ， x ∈[10，30），x ＋1 600x－40， x ∈[30，50].①当∈[10，30)时，P()＝1252＋640x ，所以P ′()＝225－640x 2＝2（x 3－8 000）25x 2，所以当∈[10，20)时，P ′()<0，函数P()在区间[10，20)上单调递减； 当∈[20，30)时，P ′()>0，函数P()在区间[20，30)上单调递增， 所以当＝20时，P()取得最小值为P(20)＝20225＋64020＝48.②当∈[30，50]时，P()＝＋1 600x －40≥2x ·1 600x －40＝40，当且仅当＝1 600x，即＝40时，P()取得最小值为P(40)＝40，因为48>40，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．1. 解决实际问题的一般步骤就是四步八个字：审题、建模、求解、还原．2. 最(极)值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最(极)值，利用导数求解．3. 你还有哪些体悟，写下;：。
专题突破练1 选择题、填空题的解法一、选择题1.方程ax 2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是 ( )A.0<a ≤1B.a<1C.a ≤1D.0<a ≤1或a<02.(2019北京海淀区高三一模,理6)已知复数z=a+i(a ∈R ),则下面结论正确的是( )A.z =-a+iB.|z|≥1C.z 一定不是纯虚数D.在复平面上,z 对应的点可能在第三象限3.(2019河北衡水中学高三三模,文6)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=1,且其夹角为θ,则“|a -b |>1”是“θ∈π3,π”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设f (x )=ln x ,0<a<b ,若p=f (√ab ),q=f (a+b2),r=12[f (a )+f (b )],则下列关系式中正确的是( ) A .q=r<p B .q=r>p C .p=r<qD .p=r>q5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等差数列,则cosA+cosC1+cosAcosC等于( )A.35B.45C.34D.436.(2019安徽宣城高三二调,理7)已知a ,b ,c ,d 都是常数,a>b ,c>d.若f (x )=2 019+(x-a )(x-b )的零点为c ,d ,则下列不等式正确的是( ) A.a>c>d>b B.a>d>c>b C.c>d>a>bD.c>a>b>d7.(2019安徽滁州一中高三模拟,文10)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点.点A 在抛物线上,若点P 是抛物线准线上的动点,O 为坐标原点,且|AF|=5,则|PA|+|PO|的最小值为( ) A.√5 B.√13 C.2√5D.2√138.设函数f (x )={3x -1,x <1,2x ,x ≥1,则满足f (f (a ))=2f (a )的a 的取值范围是( )A .[23,1]B .[0,1]C .[23,+∞)D .[1,+∞)9.(2019天津高三二模,文7)已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形,且AB ⊥平面BCD ,AB=BD=CD=2.若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上,则球O 的表面积为( ) A.3π B.2√3π C.4√3πD.12π10.(2019山西高三二模,文12)已知函数f (x )=xlnx+ax+1只有一个零点,则a 的取值范围为( ) A.-1e,0 B.-1e,0 C.(-∞,0]∪{1e}D.(-∞,0)∪{1e}二、填空题11.设a>b>1,则log a b ,log b a ,log ab b 的大小关系是 .(用“<”连接)12.(2019河北邯郸一中高三二模,文14)已知直线l 过点(1,1),过点P (-1,3)作直线m ⊥l ,垂足为M ,则点M 到点Q (2,4)距离的取值范围为 .13.已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数,其导函数记为f'(x ),若对于∀x ∈R ,有f (x )>f'(x ),且y=f (x )-1是奇函数,则不等式f (x )<e x 的解集为 .14.(2019江苏无锡高三期末)已知直线y=k (x+2)(k>0)与函数y=|cos x|的图象恰有四个公共点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4)(其中x 1<x 2<x 3<x 4),则x 4+1tan x 4= .15.设函数g (x )=x 2-2(x ∈R ),f (x )={g (x )+x +4,x <g (x ),g (x )-x ,x ≥g (x ),则f (x )的值域为 .16.(2019山西晋城高三三模,文16)记数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =3a n +2n-3,则数列{a n }的通项公式为a n =.参考答案专题突破练1 选择题、填空题的解法1.C 解析 当a=0时,x=-12,符合题意,排除A,D;当a=1时,x=-1,符合题意,排除B .故选C . 2.B 解析 z=a+i 的共轭复数为z =a-i,所以A 错误;|z|=√a 2+1≥1,所以B 正确;当a=0时,z 是纯虚数,所以C 错误;复数z 对应的点为(a ,1),因为纵坐标y=1,所以不可能在第三象限,D 也错误.故选B.3.C 解析 ∵|a |=|b |=1,且其夹角为θ,(1)由|a -b |>1得,(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=1-2cos θ+1>1,∴cos θ<12.又0≤θ≤π,∴π3<θ≤π.即θ∈π3,π.故|a -b |>1是θ∈π3,π的充分条件.(2)由θ∈π3,π得cos θ<12,∴1-2cos θ+1>1,∴a 2-2a ·b +b 2=(a -b )2>1,∴|a -b |>1.故|a -b |>1是θ∈π3,π的必要条件.综上得,“|a -b |>1”是“θ∈π3,π”的充分必要条件.故选C.4.C 解析 f (x )=ln x 是增函数,根据条件不妨取a=1,b=e,则p=f (√e )=ln √e =12,q=f (1+e 2)>f (√e )=12,r=12·[f (1)+f (e)]=12.在这种特例情况下满足p=r<q ,所以选C .5.B 解析 (法一)由题意可取特殊值a=3,b=4,c=5,则cos A=45,cos C=0,cosA+cosC1+cosAcosC =45.故选B .(法二)由题意可取特殊角A=B=C=60°,cos A=cos C=12,cosA+cosC1+cosAcosC =45.故选B .6.A 解析 由题意设g (x )=(x-a )(x-b ),则f (x )=2 019+g (x ),所以g (x )=0的两个根是a ,b.由题意知f (x )=0的两个根c ,d ,也就是g (x )=-2 019的两个根,画出g (x )(开口向上)以及直线y=-2 019的大致图象,则与f (x )交点的横坐标就是c ,d ,f (x )与x 轴交点就是a ,b.又a>b ,c>d ,则c ,d 在a ,b 内,由图象得,a>c>d>b.故选A.7.D 解析 ∵|AF|=5,∴点A 到准线的距离为5,由抛物线焦半径公式可知:点A 的横坐标为4.又点A 在抛物线上,∴点A 的坐标为(4,±4).∵坐标原点关于准线对称点的坐标为B (-2,0),∴|PA|+|PO|=|PA|+|PB|≥|AB|=√(-2-4)2+(0±4)2=2√13.故选D .8.C 解析 当a=2时,f (a )=f (2)=22=4>1,f (f (a ))=2f (a ),∴a=2满足题意,排除A,B 选项;当a=23时,f (a )=f (23)=3×23-1=1,f (f (a ))=2f (a ),∴a=23满足题意,排除D 选项,故答案为C .9.D 解析 ∵BD=CD=2且△BCD 为直角三角形,∴BD ⊥CD.又AB ⊥平面BCD ,CD ⊂平面BCD ,∴CD ⊥AB.∴CD ⊥平面ABD.由此可将四面体ABCD 放入边长为2的正方体中,如图所示.∴正方体的外接球即为该四面体的外接球O ,正方体外接球半径为体对角线的一半,即R=12·√22+22+22=√3,∴球O 的表面积为S=4πR 2=12π,故选D. 10.C 解析 ∵f (x )=xlnx+a x+1只有一个零点,∴x ln x+a=0只有一解,即a=-x ln x 只有一解.设g (x )=-x ln x (x>0),则g'(x )=-ln x-1=-(ln x+1),当0<x<1e 时,g'(x )>0,当x>1e 时,g'(x )<0,∴g (x )在0,1e 上单调递增,在1e,+∞上单调递减.故当x=1e 时,g (x )取得最大值g 1e=1e ,且当x →0时,g (x )→0,当x →+∞时,g (x )→-∞.∵a=g (x )只有一解,∴a ≤0或a=1e .故选C.11.log ab b<log a b<log b a 解析 考虑到两个数的大小关系是确定的,不妨令a=4,b=2,则log a b=12,log b a=2,log ab b=13,显然13<12<2,∴log ab b<log a b<log b a. 12.[√2,3√2] 解析直线l 过定点设为A ,则有A (1,1),设M (x ,y ),因为直线m ⊥l ,则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(-1-x ,3-y )·(1-x ,1-y )=0,化简为:x 2+(y-2)2=2,所以点M 的轨迹为以C (0,2)为圆心,√2为半径的圆.∵|CQ|=√22+22=2√2,∴|CQ|-√2≤|MQ|≤|CQ|+√2,即√2≤|MQ|≤3√2.故答案为[√2,3√2].13.(0,+∞) 解析 由题意令g (x )=f (x )e x ,则g'(x )=f '(x )e x -(e x )'f (x )(e x )2=f '(x )-f (x )e x,∵f (x )>f'(x ),∴g'(x )<0,故函数g (x )=f (x )e 在R 上单调递减.∵y=f (x )-1是奇函数,∴f (0)-1=0,即f (0)=1,g (0)=1,则不等式f (x )<e x 等价为f (x )e x <1=g (0),即g (x )<g (0),解得x>0. 14.-2 解析 直线y=k (x+2)过定点(-2,0),如图所示.由图可知,直线与余弦函数图象在x 4处相切,且x 4∈π2,π,即k (x 4+2)=-cos x 4,所以k=-cos x 4x 4+2.又y'=(-cos x )'=sin x ,即直线的斜率为k=sin x 4,因此k=-cos x 4x4+2=sin x 4,即cos x4sin x4=-x 4-2,所以x 4+1tan x 4=x 4+cos x4sin x 4=x 4-x 4-2=-2. 15.[-94,0]∪(2,+∞) 解析 由x<g (x ),得x<x 2-2,∴x<-1或x>2; 由x ≥g (x ),得x ≥x 2-2,∴-1≤x ≤2.∴f (x )={x 2+x +2,x <-1或x >2,x 2-x -2,-1≤x ≤2,即f (x )={(x +1)2+7,x <-1或x >2,(x -12)2-94,-1≤x ≤2.当x<-1时,f (x )>2;当x>2时,f (x )>8.∴当x ∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数的值域为(2,+∞). 当-1≤x ≤2时,-94≤f (x )≤0.∴当x ∈[-1,2]时,函数的值域为[-94,0].综上可知,f (x )的值域为[-94,0]∪(2,+∞).16.2-(32)n解析 当n=1时,S 1=a 1=3a 1-1,解得a 1=12;当n ≥2时,S n =3a n +2n-3,S n-1=3a n-1+2n-5,两式相减可得a n =3a n -3a n-1+2,故a n =32a n-1-1.设a n +λ=32(a n-1+λ),故λ=-2,即a n -2=32(a n-1-2),故a n -2an -1-2=32.故数列{a n -2}是以-32为首项,32为公比的等比数列,故a n -2=-32·(32)n -1.故a n =2-(32)n.。
高三理科数学小题狂做（1）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知全集{}2U 1x x =>，集合{}2430x x x A =-+<，则UA =（ ）A ．()1,3B ．()[),13,-∞+∞C ．()[),13,-∞-+∞D ．()(),13,-∞-+∞2、221i i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）A ．2i -B ．4i -C ．2iD ．4i3、已知抛物线的焦点()F ,0a （0a <），则抛物线的标准方程是（ ） A ．22y ax =B ．24y ax =C ．22y ax =-D ．24y ax =- 4、命题:p x ∃∈N ，32x x <；命题:q ()()0,11,a ∀∈+∞，函数()()log 1a f x x =-的图象过点()2,0，则（ ）A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真 5、执行右边的程序框图，则输出的A 是（ ） A ．2912B ．7029C ．2970D ．169706、在直角梯形CD AB 中，//CD AB ，C 90∠AB =，2C 2CD AB =B =，则cos D C ∠A =（ ）A ．1010B ．31010C ．55D ．255 7、已知2sin 21cos 2αα=+，则tan 2α=（ ） A ．43-B ．43C ．43-或0D ．43或0 8、32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ）A ．8-B ．12-C ．20-D ．209、函数()sin 2cos f x x x =+的值域为（ ） A ．1,5⎡⎤⎣⎦B ．[]1,2C ．2,5⎡⎤⎣⎦D ．5,3⎡⎤⎣⎦10、F 是双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若2F F A =B ，则C 的离心率是（ ） A ．2B ．2C ．233D ．14311、直线y a =分别与曲线()21y x =+，ln y x x =+交于A ，B ，则AB 的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．324D ．3212、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．4B ．213+ C ．3312+D ．33122+ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、已知()1,3a =-，()1,b t =，若()2a b a -⊥，则b =．14、为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为ˆ0.850.25yx =-．由以上信息，得到下表中c 的值为． 天数t （天） 345 67繁殖个数y （千个）2.5 3 44.5 c，若C D 2AB =A =A =，则平面CD B 被球所截得图形的面积为．16、已知x ，R y ∈，满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的取值范围为．高三理科数学小题狂做（1）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CABABBDCACDC13、5 14、6 15、16π 16、[]4,12高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为 （AB ）32（CD ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
高三理科数学小题狂做（3）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}250x x x M =->，{}2,3,4,5,6N =，则MN =（ ）A ．{}2,3,4B ．{}2,3,4,5C ．{}3,4D ．{}5,62、已知复数z 满足()135i z i -=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、已知点()3,4P ，()Q 2,6，向量()F 1,λE =-．若Q//F P E ，则实数λ的值为（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2- 4、“5m <”是“5m <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5、下列函数既是奇函数又是()0,1上的增函数的是（ ） A ．y x =-B ．2y x =C ．sin y x =D ．cos y x =6、某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（ ）A ．13B ．6πC ．23D ．1 7、已知圆222410x y x y +-++=和两坐标轴的公共点分别为A ，B ，C ，则C ∆AB 的面积为（ ）A ．4B ．2C ．23D ．38、执行下面的程序框图，则输出的m 的值为（ ） A ．9B ．7C ．5D ．119、已知函数()()2cos f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如下图所示，其中12,3y ⎛⎫⎪⎝⎭与220,3y ⎛⎫⎪⎝⎭分别为函数()f x 图象的一个最高点和最低点，则函数()f x 的一个单调增区间为（ ）A ．1420,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1610,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭10、已知()621x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（R a ∈）的展开式中常数项为5，则该展开式中2x 的系数为（ ）A ．252-B ．5-C ．252D ．5 11、已知双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为2F ，()00,x y M （00x >，00y >）是双曲线C 上的点，()00,x y N --．连接2F M 并延长2F M 交双曲线C 于P ，连接2F N ，PN ，若2F ∆N P 是以2F ∠N P 为顶角的等腰直角三角形，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．4y x =±C ．62y x =±D ．102y x =± 12、已知函数()f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线方程为:l ()y g x =，若函数()f x 满足x ∀∈I （其中I 为函数()f x 的定义域），当0x x ≠时，()()()00f x g x x x --<⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x x =为函数()f x 的“分界点”．已知函数()f x 满足()15f =，()462f x x x'=--，则函数()f x 的“分界点”的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、某健康协会从某地区睡前看手机的居民中随机选取了270人进行调查，得到如右图所示的频率分布直方图，则可以估计睡前看手机在4050分钟的人数为．14、若实数x ，y 满足约束条件4210440y x x y x y ≤-⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y=-的最大值是．15、已知六棱柱111111CD F C D F AB E -A B E 的底面是正六边形，侧棱与底面垂直，若该六棱柱的侧面积为48，底面积为123，则该六棱柱外接球的表面积等于． 16、如图，空间四边形CD AB 中，C D 45∠A =，15cos C 5∠A B =，C 1510A =+，D 25A =，C 6B =．若点E 在线段C A 上运动，则D EB +E 的最小值为．高三理科数学小题狂做（3）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABCBCDDADACB13、81 14、4 15、32π 16、7高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十五) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)2．直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是( ) A ．2x ＋11y ＋38＝0B ．2x ＋11y －38＝0 C ．2x －11y －38＝0D ．2x －11y ＋16＝03．(·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)4．(·佛山模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜05．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋16．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．17．(·贵阳模拟)直线l 经过点A(1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．8．(·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．9．(·天津四校联考)不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________． 10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程． 11．(·莆田月考)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 12.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π3B.⎝⎛⎭⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D.⎣⎡⎦⎤π6，π22．(·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l 被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，直线l 的方程为________________．3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．[答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________ 答 案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十五)A 级1．A2.B3.D4.A5．选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.6．选C 线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.7．解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k(x －1)，在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8．解析：直线l 过原点时，l 的斜率为－32，直线方程为y ＝－32x ；l 不过原点时，设方程为x a ＋ya＝1，将点(－2,3)代入，得a ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.综上，l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0. 答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝09．解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0，整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.答案：(－2,3)10．解：设所求直线方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b＝1，12|a||b|＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 11．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(0， 3 ]，∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3. 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.12．解：由题意可得kOA ＝tan45°＝1， kOB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线lOA ：y ＝x ，lOB ：y ＝－33x. 设A(m ，m)，B(－3n ，n)， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A(3，3)． 又P(1,0)， 所以kAB ＝kAP ＝33－1＝3＋32， 所以lAB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.B 级1．选B 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋32＋3k ，y ＝6k －232＋3k .∵两直线交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，解得k ＞33. ∴直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2.2．解析：易知圆心C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线PC 的斜率为2－11－2＝－1，设直线l 的斜率为k ，则k ×(－1)＝－1，得k ＝1，又直线l 过点P ，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k(x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立， 即(x0＋2)k －y0＋1＝0恒成立， ∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B(0,1＋2k)． 又－1＋2k k <0且1＋2k>0，∴k>0.故S ＝12|OA||OB|＝12×1＋2k k (1＋2k)＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为 x－2y＋4＝0.高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．43．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋37．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A．23B．3C.3D．42．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为22.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)A级1．A2.A3.C4.B5．选B由斜二测画法知B正确．6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533. 答案：5339.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2210．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中，高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7，在Rt △SOA 中，OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4.∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2.作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点．连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3， ∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝ 42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232 ＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6. B 级1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于32－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：33．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE.∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点，∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线．∴OE ∥A1C.∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2，SA1B1C1D1＝a22， S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a22， S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a28＝5a2.。
小题提速练(八)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z ＝1－b ii (b ∈R )的实部和虚部相等，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B.复数z ＝1－b i i ＝i ＋b－1＝－b －i ，因为复数z 的实部和虚部相等，所以b ＝1.2．已知集合A ＝{x |x 2＞1}，B ＝{x |(x 2－1)(x 2－4)＝0}，则集合A ∩B 中的元素个数为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．4解析：选A.A ＝{x |x ＜－1或x ＞1}，B ＝{－2，－1，1，2}，A ∩B ＝{－2，2}，A ∩B 中有2个元素，故选A.3．已知角α，β满足tan αtan β＝13，若cos(α－β)＝45，则cos(α＋β)的值为( )A.15 B ．23C.25D ．35解析：选C.解法一：由tan αtan β＝13，cos(α－β)＝45得，⎩⎨⎧sin αsin βcos αcos β＝13，cos αcos β＋sin αsin β＝45，解得⎩⎨⎧sin αsin β＝15，cos αcos β＝35，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝25.解法二：设cos(α＋β)＝x ，即cos αcos β－sin αsin β＝x ①，由cos(α－β)＝45得，cos αcosβ＋sin αsin β＝45 ②，由①②得cos αcos β＝25＋x 2，sin αsin β＝25－x2，两式相除得tan αtan β＝25－x225＋x 2＝13，解得x ＝25，故cos(α＋β)＝25. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ＞0，2cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：选D.由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ＞0，2cos x ，x ≤0，可知当x ＞0时，f (x )＞2，当x ≤0时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤12，2，故f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，排除选项A 、B 、C ，故选D.5．已知直线m ，平面α，β，p ：“直线m 与平面α，β所成的角相同”，q ：“α∥β”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.充分性：若“直线m 与平面α，β所成的角相同”，以正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1为例，面对角线A 1D 与底面ABCD 及侧面ABB 1A 1所成的角均为45°，但底面ABCD ⊥侧面ABB 1A 1，所以充分性不成立；必要性：若“α∥β”，由线面角的定义及三角形的相似可知“直线m 与平面α，β所成的角相同”，所以必要性成立．故p 是q 的必要不充分条件，故选B.6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．9，2B ．10，2C ．9，12D ．9，－1解析：选D.当n ＝1时，a ＝1－1a ＝1－12＝12；当n ＝2时，a ＝1－1a ＝1－112＝－1；当n＝3时，a ＝1－1a ＝1－1－1＝2；当n ＝4时，a ＝1－1a ＝1－12＝12；….则a 的取值是周期为3的一组数，则由循环语句，当n ＝8时，a ＝－1，则n ＝9，跳出循环，执行输出，故选D.7．圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋43y ＝－3的位置关系是( ) A ．相离 B ．外切 C ．内切D ．相交解析：选D.圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆C 2：x 2＋(y ＋23)2＝9，则C 1(2，－1)，圆C1的半径r1为2；C2(0，－23)，圆C2的半径r2为3.两圆的圆心距d＝22＋（23－1）2＝17－43∈(r2－r1，r2＋r1)，所以两圆的位置关系是相交．故选D.8．已知各项均为正的等比数列{a n}，公比为q，前n项和为S n，则“q＞1”是“S2＋2S6＞3S4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件通解：选A.因为等比数列{a n}的各项均为正，所以a1＞0.若q＞1，则S2＋2S6－3S4＝a1（1－q2）1－q ＋2a1（1－q6）1－q－3a1（1－q4）1－q＝a1q2（1＋2q4－3q2）q－1＝a1q2（2q2－1）（q2－1）q－1＞0，所以S2＋2S6＞3S4.而当q＝1时，S2＋2S6＞3S4也成立．所以“q ＞1”是“S2＋2S6＞3S4”的充分不必要条件，故选A.优解：因为等比数列{a n}的各项均为正，所以q＞0，S2＞0.令S2＋2S6－3S4＝q2S2(2q2－1)＞0，所以q＞22.所以“q＞1”是“S2＋2S6＞3S4”的充分不必要条件，故选A.9．已知函数f(x)＝ax3＋ax2＋x＋b(a，b∈R)，则下列图象一定不能表示f(x)的图象的是()解析：选D.结合选项，令b＝0，f(x)＝ax3＋ax2＋x，则f′(x)＝3ax2＋2ax＋1，分三种情况讨论：当a＝0时，f′(x)＝1，f(x)单调递增；当a＜0时，方程3ax2＋2ax＋1＝0的判别式Δ＝(2a)2－4×3a＞0，此时f(x)不可能单调递减；当a＞0时，函数f′(x)＝3ax2＋2ax＋1不可能恒小于0，即函数f(x)不可能在R上单调递减，结合各选项，知f(x)的图象不可能为D中图象，故选D.10．网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某组合体的三视图，则该组合体的体积是()A.233＋23πB ．233＋163πC ．4＋163πD ．43＋23π解析：选D.观察题中三视图可知组合体的上部分是三棱锥，下部分是半径为1的半球，其直观图如图1所示．图1在棱长为2的正方体中画出符合三视图的三棱锥A -BEF ，顶点A ，B ，E ，F 分别是正方体棱的中点．解法一：如图2，取EF 的中点C ，连接AC ，BC ，则EF ⊥AC ，EF ⊥BC ，所以EF ⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝5，AB ＝2，所以S △ABC ＝12×2×2＝2，三棱锥A -BEF 的体积V 1＝13×S △ABC ×EF＝43.半球体积V 2＝12×43π×13＝23π.所以该组合体的体积V ＝V 1＋V 2＝43＋23π.故选D.图2解法二：如图3，C ，D 分别为正方体两棱的中点，连接CD ，G 为CD 的中点，连接EG ，FG ，过CD ，EF 作截面EFDC ，则正方体和三棱锥A -BEF 都被一分为二，因为S △EFG ＝12×2×2＝2，所以三棱锥A -BEF 的体积V 1＝2×13×S △EFG ×AG ＝43，半球体积V 2＝12×43π×13＝23π.所以该组合体的体积V ＝V 1＋V 2＝43＋23π.故选D.图311．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，AF 2，BF 2分别交y 轴于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为16，则ba ＋1的最大值为( )A.43 B ．34C.53D ．45解析：选A.如图1，由已知条件得，△ABF 2的周长为32，因为|AF 2|＝2a ＋|AF 1|，|BF 2|＝2a ＋|BF 1|，|AF 1|＝|BF 1|＝b 2a ，所以4a ＋4b 2a ＝32，b 2a＋a ＝8，b 2＋a 2－8a ＝0，得(a －4)2＋b 2＝16.设k ＝ba ＋1，则k 表示点(a ，b )与点(－1，0)连线的斜率，作出图形，如图2，易知k max ＝43.故选A.12．已知函数f (x )的定义域是R ，且满足f (x )－f (－x )＝0，f (x ＋2)－f (－x )＝0，当x ∈[ 0，1]时，f (x )＝x 12·g (x )＝4x －2x －2是定义域为R 的函数．给出以下四个命题：①存在实数a ，使得关于x 的方程|g (x )|＝a 有两个不相等的实根； ②存在x 0∈[0，1]，使得g (－x 0)＝－g (x 0)；③当x ∈(－∞，2]时，关于x 的方程f [g (x )]＝0有7个实根； ④关于x 的方程g [f (x )]＝0有1个实根． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为f (x )＝f (－x )，f (x ＋2)＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，也是周期函数，其最小正周期T ＝2.结合已知条件画出函数f (x )的图象，如图所示．图1命题①是真命题．当a ＝1时，4x －2x －2＝±1，所以4x －2x －3＝0或4x －2x －1＝0，解得2x ＝1±132或2x ＝1±52，又2x ＞0，所以x ＝log 21＋132或x ＝log 21＋52，符合题意，所以命题①是真命题．命题②是假命题．解方程4－x －2－x －2＝－(4x －2x －2)，整理得(2x ＋2－x )2－(2x ＋2－x )－6＝0，所以(2x ＋2－x －3)(2x ＋2－x ＋2)＝0，因为2x ＋2－x ＞0，所以2x ＋2－x －3＝0，所以(2x )2－3×2x ＋1＝0，解得2x ＝3±52.由x 0∈[0，1]，得2x 0∈[1，2]，而3±52∉[1，2]，所以原方程在[0，1]上无解．所以在[0，1]上不存在x 0，使得g (－x 0)＝－g (x 0)，命题②是假命题．命题③是真命题．设t ＝2x ，由x ∈(－∞，2]，得t ∈(0，4]．构造函数φ(t )＝t 2－t －2(4≥t ＞0)，则g (x )＝φ(t )，函数φ(t )的图象如图2所示．图2易得φ(t )∈⎣⎡⎦⎤－94，10，结合函数f (x )的图象可知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－94，10上有零点－2，0，2，4，6，8，10，当g (x )分别等于－2，0，2，4，6，8，10时，都只有一个实根．所以方程f [g (x )]＝0在(－∞，2]上有7个实根，命题③是真命题．命题④是假命题．函数g (x )只有唯一零点x ＝1，所以f (x )＝1，结合f (x )的图象可知，当f (x )＝1时，x ＝2k ＋1，k ∈Z ，所以方程g [f (x )]＝0有无数个实根，且x ＝2k ＋1，k ∈Z ，命题④是假命题．所以只有命题①③是真命题，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．某校共有学生2 400人，高一学生有800人，现对学生活动情况进行抽样调查，用分层抽样的方法从所有学生中抽取120人，则从高一年级学生中应抽取________人．解析：由题意得，抽取的比例为120，因为从所有学生中抽取120人，所以从高一年级学生中应抽取的人数为800×120＝40.答案：4014．已知向量a ＝(1，m )，|b |＝1，|a ＋b |＝7，且向量a ，b 的夹角是60°，则m ＝________． 解析：由|a ＋b |＝7，得|a |2＋2a·b ＋|b |2＝|a |2＋|a |＋1＝7，解得|a |＝2，所以m 2＋1＝2，故m ＝±3.答案：±315．已知在等差数列{a n }中，{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 13＝91，若S ka k＝6，则正整数k ＝________．解析：解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由S 13＝91，得13a 1＋13×（13－1）2d ＝91，根据a 1＝1，得d ＝1，所以a n ＝n ，所以S k ＝k （k ＋1）2，所以S k a k ＝k ＋12＝6，所以k ＝11.解法二：在等差数列{a n }中，S 13＝91，根据等差数列的性质，可得13a 7＝91，即a 7＝7，又a 1＝1，所以可得公差d ＝1，即a n ＝n ，所以S k ＝k （k ＋1）2，所以S k a k ＝k ＋12＝6，所以k＝11.答案：1116．如图，AB 是立于山顶上的电视塔，现借助升降机CD 测量塔高，当在升降机底部C 时，测得点A 的仰角为45°、点B 的仰角为60°；当升降机上升10米至D 时，测得点A 的仰角为30°，则塔高AB 为________米．解析：在△ACD 中，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝120°，得∠DAC ＝15°，又CD ＝10，由正弦定理CD sin 15°＝AC sin 120°，得AC ＝53sin 15°.又在△ACB 中，∠ACB ＝60°－45°＝15°，∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin 30°＝AB sin 15°，得AB ＝AC sin 15°sin 30°＝2×53sin 15°·sin 15°＝10 3.答案：10 3。
狂刷49 排列与组合1．有5 个空盒排成一排，要把红、黄两个球放入空盒中，要求一个空盒最多只能放入一个球，并且每个球左右均有空盒，则不同的放入种数为A．8B．C．6D．2．六位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有A．480种B．360 种C．240 种D．120 种3．用数字0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是A．72B．144C．150D．1804．黄冈市有很多处风景名胜，仅4A 级景区就有10 处，某单位为了鼓励职工好好工作，准备组织5名优秀的职工到就近的三个景区：龟峰山、天堂寨、红安红色景区去旅游，若规定每人限到一处旅游，且这三个风景区中每个风景区至少安排1 人，则这5名职工的安排方法共有A．90 种B．60 种C．210 种D．150 种5．为迎接双流中学建校80周年校庆，双流区政府计划提升双流中学办学条件.区政府联合双流中学组成工作组，与某建设公司计划进行6 个重点项目的洽谈，考虑到工程时间紧迫的现状，工作组对项目洽谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有A．240 种B．188种C．156种D．120 种6．某公司有五个不同部门，现有4 名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为A．40B．60C ．120D ．2407．已知 5 辆不同的白颜色和 3 辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2 辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有A ． 1880 种B ． 1440 种C ．720种D ．256 种8．6 个高矮互不相同的人站成两排，后排每个人都高于站在他前面的同学的概率为1B ．611C ．D ．8 129．甲、乙、丙、丁、戊 5名学生进行投篮比赛，决出了第1至第 5名的不同名次，甲、乙两人向裁判询问成绩，裁判对甲说 : “很遗憾，你和乙都未拿到冠军 .”对乙说 : “你当然不是最差的 . ”根据裁判的回答， 5 人的名次排列不同的情况共有A ． 54 种B ． 108 种C ．210种D ．96 种10．从字母 a,b,c,d,e, f 中选出 4个字母排成一排， 其中一定要选出 a 和b ，并且它们必须相邻 （a 在 b 前面 ），共有排列方法 _________ 种.11．沿着一条笔直的公路有 9 根电线杆， 现要移除 2根，且被移除的电线杆之间至少还有 2 根电线杆被保留，则不同的移除方法有 _______ 种 .12．蚌埠市大力发展旅游产业，蚌埠龙子湖风景区、博物馆、张公山公园、花鼓灯嘉年华、禾泉农庄、 淮河闸水利风景区都是 4A 风景区，还有荆涂山风景区、大明御温泉水世界、花博园等也都是不错的 景点，小明和朋友决定利用三天时间从以上 9个景点中选择 6个景点游玩， 每个景点用半天 （上午、 下午各游玩一个景点） ，且至少选择 4 个 4A 风景区，则小明这三天的游玩有 __________________________ 种不同的安排 方式（用数字表示） .13 ．有 5 名师范大学的毕业生，其中学数学的两人，学语文的两人，学英语的一人，现将这 5 名毕业生1 A ．4分配到A、B、C三所学校，每所学校至少一人，若 A 校不招收同一学科的毕业生，则不同的分配方法共有B．132 种A ．148 种14 ．某班准备从含有甲、乙的7 名男生中选取4 人参加4×100 米接力赛，要求甲、乙两人同时参加，且他们在赛道上顺序不能相邻，则不同的排法种数是A．720 B．20C．240 D．12015．在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为1至10 的十个号码球（球的大小、质地完全相同，但编号不8同），里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为8，21 那么这10个小球中，中奖号码小球的个数n 为A．2 B．3C．4 D．516．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这 6 人的入园顺序排法种数为A ．48B ．36C．24 D．1217．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为A ．33B ．36C．40 D．4818．2019年7月1日迎来了我国建党98周年，6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6名老党员中有3名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的3 名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片0.5 元（不含过塑费），且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为0.75 元.若将这些照片平均分给每名老党员（过塑的照片也要平均分），则每名老党员需要支付的照片费为A ．20.5 B．21 元C．21.5元D．22 元19 ．如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3 是三种不同的颜色，金色1、金色2 是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3 有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有B．240 种C．144种D．288 种20 ．某校从8 名教师中选派4 名同时去4 个边远地区支教（每地1 名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有A ．900 种B ．600 种C．300种D．150 种21．某中学连续14 年开展“走进新农村”社会实践活动，让同学们开阔视野，学以致用，展开书本以外的思考，进行课堂之外的磨练.今年该中学有四个班级到三个活动基地.每个活动基地至少分配1 个班级，则A、B 两个班级被分到不同活动基地的情况有 _________ 种.22 ．已知甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各 3 个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2 个（两盒中每个球除颜色外都相同）．从两个盒子中各取1 个球，则取出的2 个球颜色不同的概率是 _________ （结果用最简分数表示）．23．【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 7 23 ．在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是11 A． B ．12 1411 C． D ．15 1824．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】安排3 名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有A．12 种B．18 种C．24 种25 ．【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】从2 位女生，4 位男生中选3 人参加科技比赛，且至少有1 位女生入选，则不同的选法共有_____________ 种．（用数字填写答案）26．【2018 年高考江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2 名学生去参加活动，则恰好选中2 名女生的概率为 ____________ ．27．【2018年高考浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2 个数字，从0，2，4，6中任取2 个数字，一共可A ．120 种D．36种以组成 ___________ 个没有重复数字的四位数．（用数字作答）28．【2017 年高考浙江卷）从6 男2女共8 名学生中选出队长1 人，副队长1 人，普通队员2 人组成4 人服务队，要求服务队中至少有1 名女生，共有 __________________ 种不同的选法．（用数字作答）29．【2017 年高考天津卷理数】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__________________ 个．（用数字作答）1．有5 个空盒排成一排，要把红、黄两个球放入空盒中，要求一个空盒最多只能放入一个球，并且每个球左右均有空盒，则不同的放入种数为A．8 B．2C．6 D．4【答案】B【解析】很明显两个球只能放在第二个和第四个盒子，故不同的放入种数为A22 2 ，故选B ．【名师点睛】本题主要考查排列数公式及其应用，属于基础题.求解时，首先确定放球的方法，然后利用排列数公式即可求得满足题意的放球的种数.2．六位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有A．480种B．360 种C．240 种D．120 种【答案】A【解析】因为6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，所以甲安排在除去开头与结尾的中间的4 个位置，有C14 个选择，剩余的元素与位置进行全排列有 A 55，所以不同的演讲次序有C14 A55 480 种．故选A ．【名师点睛】本题考查排列、组合以及简单的计数原理的应用，其中遵循特殊元素优先考虑的原则是解题的关键，考查计算能力．求解本题时，直接从中间的4 个演讲的位置，选1 个给甲，其余全排列即可．3．用数字0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是A．72 B．144C．150 D．180【答案】B【解析】根据题意，符合奇数的个位数字只能从1，3，5 中选取，组成没有重复数字的四位奇数分三步：第一步，排个位，共有 C 13 种方法；第二步，排千位，共有 C 14 种方法； 第三步，排百、十位，共有 A 24 种方法，1 1 2所以可组成 C3C 4A 4 144个四位奇数，故选 B.【名师点睛】本题主要考查简单排列组合和计数原理的应用 只能从 1，3，5 中选取；千位数字去掉个位数字选用的和 位数字 .4．黄冈市有很多处风景名胜，仅 4A 级景区就有 10 处，某单位为了鼓励职工好好工作，准备组织 5名优 秀的职工到就近的三个景区：龟峰山、天堂寨、红安红色景区去旅游，若规定每人限到一处旅游，且 这三个风景区中每个风景区至少安排 1 人，则这 5名职工的安排方法共有A ．90种 C ． 210 种【答案】 D解析】把 5 名优秀的职工分成三组，共两类： 3、1、 1，2、2、1，【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题 .求解本题时，把 5 名优秀的职工分成三组，共两类： 3、1、1，2、 2、1，再分组分配即可求出．有关排列组合的综 合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一 定多读题才能挖掘出隐含条件 .解题过程中要首先分清 “是分类还是分步 ”、“是排列还是组合 ”，在应用 分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率 .5．为迎接双流中学建校 80周年校庆，双流区政府计划提升双流中学办学条件.区政府联合双流中学组成工作组，与某建设公司计划进行 6 个重点项目的洽谈，考虑到工程时间紧迫的现状，工作组对项目洽 谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目 的不同安排方案共有B ．188种.求解时，根据题意，符合奇数的个位数字0 还剩下四个数字中选择，最后再排百、B ．60 种 D ．150 种根据分组公式共有3 1 1 2 2 1 C 5C 2C 1 C 5C 3C 1A22 A 22分组方法，共有C 53C 12C 11 A22C5A C 223C 1 A 33 150种安排方法，故选 D ．A ． 240 种C．156种D．120 种【答案】D【解析】第一类：当甲在第1位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有4 种方法，第二步，丙、丁内部排列用A 22 种方法，第三步，其他三人共A33种方法，共4A 22A33 4 2 6 48 种方法；第二类：当甲在第2 位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有3种方法，后面两步与第一类方法相同，共3A 22A333 2 6 36种方法；第三类：当甲在第3 位时，与第二类相同，共36种方法.总计，完成这件事的方法数为N 48 36 36 120 .故选D．【名师点睛】本小题主要考查实际问题中的方案安排种数问题，考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，考查捆绑法，属于基础题.求解时，根据甲在第1,2,3 这三个位置进行分类讨论，按“先排甲，再排丙丁，再排其他三个”，结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理求得不同安排方案.6．某公司有五个不同部门，现有4 名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为A．40 B．60C．120 D．240【答案】B【解析】此问题可分为两步求解，第一步将四名大学生分为两组，由于分法为2，2，考虑到重复一半，故分组方案应为1C24种，2第二步将此两组大学生分到5 个部门中的两个部门中，不同的安排方式有A52，故不同的安排方案有1C24A52 60种．245故选B．【名师点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，解题的关键是理解事件“某公司共有5 个部门，有4 名大学毕业生，要安排到该公司的两个部门且每个部门安排 2 名”，将问题分为两步来求解．7．已知5 辆不同的白颜色和3 辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2 辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有A ． 1880 种B ． 1440 种空，3 辆不同的红颜色汽车插空共 A 33种排法， 由分步计数原理得共 A 35A 22A 22A 33 1440 种. 故选 B.【名师点睛】本题主要考查排列中的相邻与不邻问题，常用捆绑与插空法解决，应用了分步计数原 理，理解题意是解题的关键，属于中档题．求解本题时，先从 5 辆白色汽车中选 3 辆全排列后视为 一个整体， 再将剩余 2 辆白色汽车全排列后视为一个整体， 然后将这两个整体全排列， 共有 3 个空， 3 辆不同的红颜色汽车插空排列即可．8．6 个高矮互不相同的人站成两排，后排每个人都高于站在他前面的同学的概率为1B ．61 D ．1290 1 所以所求概率 P 6 ，故选 C ． A 6 8【名师点睛】本题考查了古典概型求概率，以及排列和组合，本题的关键是满足条件的排列看成 6 个 人均分成 3 组，然后 3 组再排列 .9．甲、乙、丙、丁、戊 5名学生进行投篮比赛，决出了第1至第 5名的不同名次，甲、乙两人向裁判询问成绩，裁判对甲说 : “很遗憾，你和乙都未拿到冠军 .”对乙说 : “你当然不是最差的 . ”根据裁判的回答， 5 人的名次排列不同的情况共有A ． 54 种B ． 108 种C ．210种D ．96 种C ．720种 【答案】 BD ．256 种解析】由题意知，白颜色汽车按 3，2分两组，先从 5 辆白色汽车选 3辆全排列共 A 53种排法， 再将剩余 2 辆白色汽车全排列共2 A 22 种排法，再将这两个整体全排列，2 A 22 种排法，排完后有3 个A ．C ．答案】 C解析】后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为C 26C 24CA 33 90，总的基本事件个数是 A 66 ，答案】A【解析】第一名不是甲和乙，则只能是丙、丁、戊三人中某一个，有C13种选法，而乙不是最差的，则乙只可能是第二、三、四名，有C31种可能，再将剩下的三人排成一列，依次插入即可，由分步乘113法计数原理可知，共有C13C13A 33 = 54 种不同的情况.故选A.【名师点睛】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．求解本题时，甲、乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3 种情况；再排甲，也有3 种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．10．从字母a,b,c,d,e, f 中选出4个字母排成一排，其中一定要选出 a 和b ，并且它们必须相邻（a在b前面），共有排列方法 _________ 种.【答案】36【解析】由于ab已经选出，故再从剩余的4 个字母中选取2 个，方法有C24 6 种，再将这2 个字母和整体ab 进行排列，方法有A33 6种，根据分步计数原理求得所有的排列方法共有6 636 种，故答案为36.【名师点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题．求解时，从剩余的4 个字母中选取2个，再将这2 个字母和整体ab进行排列，根据分步计数原理求得结果．11．沿着一条笔直的公路有9 根电线杆，现要移除2根，且被移除的电线杆之间至少还有2 根电线杆被保留，则不同的移除方法有 _______ 种.【答案】21【解析】把6 根电线杆放好，7 个空，选择两个放入需要移除的电线杆，这样这两根需要移除的电线杆中间至少有一根，然后再把余下一根放到这两根中间去，所以有C27 21 种方法，故答案为21．【名师点睛】本题考查了排列组合在实际生活中的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题．求解本题时，把6 根电线杆放好，7 个空选择两个放入需要移除的电线杆，这样这两根需要移除的电线杆中间至少有一根，然后再把余下一根放到这两根中间去，问题得以解决．12．蚌埠市大力发展旅游产业，蚌埠龙子湖风景区、博物馆、张公山公园、花鼓灯嘉年华、禾泉农庄、 淮河闸水利风景区都是 4A 风景区，还有荆涂山风景区、大明御温泉水世界、花博园等也都是不错的 景点，小明和朋友决定利用三天时间从以上 9个景点中选择 6个景点游玩， 每个景点用半天 （上午、 下午各游玩一个景点） ，且至少选择 4 个 4A 风景区，则小明这三天的游玩有 __________________________ 种不同的安排 方式（用数字表示） .【答案】 46080 【解析】分三种情况：①选择 4 个 4A 景区，有 C 64C 32A 6632400 （种）； ②选择 5 个 4A 景区，有 C 56C 13A 66 12960 （种 ）； ③选择 6 个 4A 景区，有 C 66A 66 720 （种）， 故共有 32400+12960+720=46080 （种 ）.名师点睛】本题考查排列组合，要做到不重复、不遗漏，属于基础题 .求解时，先选景区，再进行排列，即可得出答案 .13 ．有 5 名师范大学的毕业生，其中学数学的两人，学语文的两人，学英语的一人，现将这【解析】 A 校招收 1 人，则分配方法有 2A 校招收 2 人，则分配方法有 （C 5211A 校招收 3 人，则分配方法有 （1 C 12综上，共有 70 48 8 126 种，故选 C ． 【名师点睛】本题考查分组分配计数问题，考查综合分析求解能力，属较难题.求解时，根据 A 校招收人数分类讨论，再根据分类计数原理求解 .14 ．某班准备从含有甲、乙的 7 名男生中选取 4 人参加 4×100 米接力赛，要求甲、乙两人同时参加，且5 名毕业生法共有A ． 148 种BC ．126种D【答案】 CA 校不招收同一学科的毕业生，则不同的分配方 132 种 84 种C 15 (C 14A 22 C 24) 70 种；1)C 3A 2 48 种； C 12)A 22 8种.分配到 A 、B 、C 三所学校，每所学校至少一人，若他们在赛道上顺序不能相邻，则不同的排法种数是A ．720 C ．240【答案】 D解析】选出除了甲、乙之外的另外两个人并进行排列有 A 52 种，将甲、乙插入这两个人之间 A 23 种，则不同的排法种数为 A 25A 32120. 故选 D.名师点睛】相离问题插空法：对于不能相邻的元素，可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻 的元素插到它们的空隙及两端位置 .求解本题时，利用插空法，先选出除了甲、然后将甲、乙插入这两个人之间的空隙中，进而可以得到答案n （10﹣n ）（9﹣n ）（8﹣n ）＝ 480（ n ∈N *），解得 n ＝4．【名师点睛】本题考查了古典概型的概率公式的应用，考查了计数原理及组合式公式的运算，属于 中档题．求解时，利用古典概型列出恰有 1 个中奖号码的概率的方程，解方程即可． （2）排列组合一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题 缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法 .16．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这 6 人的入园顺序排法种数为A ． 48B ． 20 D ． 120乙之外的另外两个人，15．在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为 1至10 的十个号码球（球的大小、 质地完全相同，但编号不 同），里面有 n 个号码为中奖号码，若从中任意取出 4 个小球， 其中恰有 81个中奖号码的概率为 ，21那么这 10个小球中，中奖号码小球的个数 n 为A ．2B ．C ．4D ．答案】 C解析】依题意，从 10 个小球中任意取出 4 个小球，其中恰有1 个中奖号码的概率为 8 ，则21821C 1n C 130 n ，C 140 ，所以 故选 C ．B ． 36C ．24D ． 1214【答案】 C【解析】先排首尾有 2 种，然后将两个小孩捆绑起来共有 2 种，那么再将小孩这个新的整体和妈妈 们排列共有 A 33种，因此一共有 4A 33=24 种，故选 C.17．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为A ． 33B ． 36C ．40D ． 48【答案】 B【解析】由题意，先从剩余的三人中选取两人，排在队伍的两端， 再排含有甲、乙的三个人，共有 C 32A22A 33 3 2 6 36种不同的排法，故选B ．【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合 问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，现从剩余的三人中选取两人，排在 队伍的两端，再排含有甲、乙的三个人，即可得到答案．解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清 “是分类还 是分步 ”、 “是排列还是组合 ”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏， 这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑 “正难则反 ”的思维方式．18． 2019年 7月 1日迎来了我国建党 98周年， 6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡 .6名老党员中有 3 名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的 满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片 0.5 元（不含过塑费） ，且有一半 的照片需要过塑， 每张过塑费为 0.75 元.若将这些照片平均分给每名老党员 （过塑的照片也要平均分） 则每名老党员需要支付的照片费为A ． 20.5C ． 21.5元 【答案】 B 解析】利用捆绑法可求得照片的总数为 A 33A 44 144，144 0.5 72 0.75 则每名老党员需要支付的照片费为144 0.5 72 0.7521元 .6【名师点睛】本题考查排列组合的应用，考查应用意识与解决实际问题的能力党员需要支付的照片费用，需求出照片的总费用，为此又需求出照片的总数，根据排列组合知识可3 名党员站在一起，且B ． 21 元D ． 22 元.求解时，要求每名老同选法；法，所以不同的选派方案共有 (10+15) A 44 600 种.求出照片的总数．19．如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色 1、金色 2，其中黄色 1、黄色 2、黄色 3 是三种不同的颜色，金色 1、金色 2 是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色 1、黄色 2、黄色 3 有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案A ． 120 种 C ．144种答案】 D解析】不考虑红色的位置，黄色 1、黄色 2、黄色 3 有且仅有两个相邻的涂色方案有2 23 2C 3A 2 A 3 A 4 432 种，这种情况下，红色在左右两端的涂色方案有2 2 1 2 2C 32A 22 C 12 A 22 A 23 144种，从而所求的结果为 432 144 288 种. 故选 D ．名师点睛】本小题主要考查涂色问题，考查相邻问题、不在两端的排列组合问题的求解策略，考 查对立事件的方法，属于中档题 .求解时，首先计算出 “黄色 1、黄色 2、黄色 3 有且仅有两个相邻的 涂色方案 ”数，然后计算出 “红色在左右两端，黄色 1、黄色 2、 黄色 3 有且仅有两个相邻的涂色方案 ” 数，用前者减去后者，求得题目所求不同的涂色方案总数20 ．某校从 8 名教师中选派 4 名同时去 4 个边远地区支教(每地名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有A ． 900 种B ．600 种C ．300种D ．150 种答案】解析】 第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5 名教师中选 2 名，有 C 52 10 种不第二类， 甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从6 名教师中选 4 名，有 C 64 15 种不同选D ．288种故选B.【名师点睛】求解本题时，分两步进行，先从8 名教师中选出4 名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，由分类计数原理可得这一步的情况数目，再把四名老师分配去4 个边远地区支教，对四名教师进行全排列即可，最后，由分步计数原理，计算可得答案．（1）解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素（或位置）的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．21．某中学连续14 年开展“走进新农村”社会实践活动，让同学们开阔视野，学以致用，展开书本以外的思考，进行课堂之外的磨练.今年该中学有四个班级到三个活动基地.每个活动基地至少分配1 个班级，则A、B 两个班级被分到不同活动基地的情况有 _________ 种.【答案】30【解析】根据题意，分2 步进行分析：（1）将四个班级分成3组，要求A,B 两个班级不分到同一组，有C42 1 5种分组方法；3（2）将分好的三组全排列，安排到三个活动基地，有A33 6种情况，则有5 6 30种不同的情况，故填30.【名师点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.22 ．已知甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各 3 个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各 2 个（两盒中每个球除颜色外都相同）．从两个盒子中各取1 个球，则取出的2 个球颜色不同的概率是 _________ （结果用最简分数表示）．【答案】79【解析】甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3 个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各 2 个（两盒中每个球除颜色外都相同）．从两个盒子中各取1 个球，基本事件总数n 9 6 54 ，取出的2 个球颜色不同包含的基本事件个数m C13C16C13C14C13C1442 ，则取出的2个球颜色不同的概率是P m 42 7．。
高三理科数学小题狂做（1）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知全集{}2U 1x x =>，集合{}2430x x x A =-+<，则U A =ð（ ） A ．()1,3 B ．()[),13,-∞+∞ C ．()[),13,-∞-+∞D ．()(),13,-∞-+∞2、221i i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）A ．2i -B ．4i -C ．2iD ．4i 3、已知抛物线的焦点()F ,0a （0a <），则抛物线的标准方程是（ ）A ．22y ax =B ．24y ax =C ．22y ax =-D ．24y ax =-4、命题:p x ∃∈N ，32x x <；命题:q ()()0,11,a ∀∈+∞，函数()()log 1a f x x =-的图象过点()2,0，则（ ）A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真5、执行右边的程序框图，则输出的A 是（ ）A ．2912 B ．7029 C ．2970 D ．169706、在直角梯形CD AB 中，//CD AB ，C 90∠AB =，2C 2CD AB =B =，则cos D C ∠A =（ ）A C 7、已知2sin 21cos 2αα=+，则tan 2α=（ ）A ．43-B ．43C ．43-或0D ．43或0 8、32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ）A ．8-B ．12-C ．20-D ．20 9、函数()sin 2cos f x x x =+的值域为（ ）A ．⎡⎣B ．[]1,2C ．⎡⎣D ．⎤⎦10、F 是双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若2F F A =B ，则C 的离心率是（ ）A B ．2 C 11、直线y a =分别与曲线()21y x =+，ln y x x =+交于A ，B ，则AB 的最小值为（ ）A ．3B ．2 C．3212、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．4B ．21C ．12+D 12+ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知()1,3a =-，()1,b t =，若()2a b a -⊥，则b = ．14、为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为ˆ0.850.25yx =-．由以上信息，得到下表中c 的值为 ．，若C D 2AB =A =A =，则平面CD B 被球所截得图形的面积为 ．16、已知x ，R y ∈，满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的取值范围为 ．2016高三理科数学小题狂做（1）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分．）13、6 15、16π 16、[]4,12高三理科数学小题狂做（2）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}15x x A =<<，{}2320x x x B =-+<，则A B =ð（ ） A ．{}25x x << B ．{}25x x ≤< C ．{}25x x ≤≤ D ．∅ 2、复数212ii+-的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-3、函数y =+ ）A ．{}1x x ≤ B ．{}0x x ≥ C ．{}10x x x ≥≤或 D ．{}01x x ≤≤4、如图，在正方形C OAB 内任取一点，取到函数y =的图象与x 轴正半轴之间（阴影部分）的点的概率等于（ ） A ．12 B ．23C ．34 D ．455、已知双曲线C :222x y m -=（0m >），直线l 过C 的一个焦点，且垂直于x 轴，直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，则2mAB 等于（ ）A ．1BC ．2D ．126、若程序框图如图示，则该程序运行后输出k 的值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87、已知等比数列{}n a 中，1633a a +=，2532a a =，公比1q >，则38a a +=（ ） A ．66 B ．132 C ．64 D ．128 8、已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的一条对称轴是8x π=，则函数()f x 的最小正周期不可能是（ ） A ．9πB ．5πC ．πD ．2π9、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．1 B ．32C ．12D ．3410、抛物线24y x =的焦点为F ，点(),x y P 为该抛物线上的动点，又已知点()2,2A 是一个定点，则F PA +P 的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111、已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43π的球与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（ ）A ．． C ． D ．12、下图展示了一个由区间()0,1到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴上的点M （点A 对应实数0，点B 对应实数1），如图①；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，在图形变化过程中，图①中线段AM 的长度对应于图③中的弧D A M 的长度，如图③，图③中直线AM 与x 轴交于点(),0n N ，则m的象就是n ，记作()f m n =．给出下列命题：①114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()f x 是奇函数；④()f x 在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、二项式()621x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 ．14、已知a ，b 是平面向量，若()2a a b ⊥-，()2b b a ⊥-，则a 与b 的夹角是 ．15、函数()212log 231y x x =-+的递减区间为 ．16、在C ∆AB 中，22sin sin 2A=A ，()sin C 2cos sin C B -=B ，则CA =AB．2016高三理科数学小题狂做（2）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分．）13、160 14、3π15、()1,+∞ 16高三理科数学小题狂做（3）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}250x x x M =->，{}2,3,4,5,6N =，则MN =（ ）A ．{}2,3,4B ．{}2,3,4,5C ．{}3,4D ．{}5,6 2、已知复数z 满足()135i z i -=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知点()3,4P ，()Q 2,6，向量()F 1,λE =-．若Q//F P E ，则实数λ的值为（ ） A ．12 B ．2 C ．12- D ．2- 4、“5m <”是“5m <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、下列函数既是奇函数又是()0,1上的增函数的是（ ）A ．y x =-B ．2y x =C ．sin y x =D ．cos y x = 6、某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（ ） A ．13 B ．6π C ．23D ．17、已知圆222410x y x y +-++=和两坐标轴的公共点分别为A ，B ，C ，则C ∆AB 的面积为（ ）A ．4B ．2C ． D8、执行下面的程序框图，则输出的m 的值为（ ）A ．9B ．7C ．5D ．11 9、已知函数()()2cos f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如下图所示，其中12,3y ⎛⎫ ⎪⎝⎭与220,3y ⎛⎫⎪⎝⎭分别为函数()f x 图象的一个最高点和最低点，则函数()f x 的一个单调增区间为（ ）A ．1420,33⎛⎫⎪⎝⎭ B ．10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1610,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭10、已知()621x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（R a ∈）的展开式中常数项为5，则该展开式中2x 的系数为（ ） A ．252-B ．5-C ．252D ．5 11、已知双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为2F ，()00,x y M （00x >，00y >）是双曲线C 上的点，()00,x y N --．连接2F M 并延长2F M 交双曲线C 于P ，连接2F N ，PN ，若2F ∆N P 是以2F ∠N P 为顶角的等腰直角三角形，则双曲线C的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．4y x =± C．y x =±D．y x = 12、已知函数()f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线方程为:l ()y g x =，若函数()f x 满足x ∀∈I （其中I 为函数()f x 的定义域），当0x x ≠时，()()()00f x g x x x --<⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x x =为函数()f x 的“分界点”．已知函数()f x 满足()15f =，()462f x x x'=--，则函数()f x 的“分界点”的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、某健康协会从某地区睡前看手机的居民中随机选取了270人进行调查，得到如右图所示的频率分布直方图，则可以估计睡前看手机在4050分钟的人数为 ．14、若实数x ，y 满足约束条件4210440y x x y x y ≤-⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值是 ．15、已知六棱柱111111CD F C D F AB E -A B E 的底面是正六边形，侧棱与底面垂直，若该六棱柱的侧面积为48，底面积为，则该六棱柱外接球的表面积等于 ．16、如图，空间四边形CD AB 中，C D 45∠A =，cos C ∠A B =，C A =+，D A =，C 6B =．若点E 在线段C A 上运动，则D EB +E 的最小值为 ．高三理科数学小题狂做（3）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分．） 13、81 14、4 15、32π 16、7高三理科数学小题狂做（4）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、若集合{}22x x M =-≤≤，{}230x x x N =-=，则M N =（ ）A ．{}3B ．{}0C ．{}0,2D ．{}0,3 2、若复数()()12bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2- B ．12-C ．2D ．123、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出的S 的值是（ ）A ．64B ．73C ．512D ．5854、棱长为2的正方体挖去一个几何体后的三视图如图所示，则剩余部分的体积是（ ）A ．283π-B ．83π-C ．82π-D ．23π 5、已知4sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x 的值等于（ ）A ．825 B ．725 C ．825- D ．725- 6、已知实数x ，y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y a =++的最小值是2，则实数a 的值是（ ）A ．0B ．32C ．2D ．1- 7、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则数列{}n a 的公比是（ ） A ．12 B ．13 C ．25 D ．498、已知a 、b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//αβ，//a α，//b β，则//a bB ．若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβC ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则//a bD ．若a α⊥，b β⊥，a b ⊥，则αβ⊥ 9、曲线sin y x x =在点,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线与x 轴、直线x π=所围成的三角形的面积是（ ） A ．22π B ．2π C ．22π D ．()2122π+ 10、已知正方形的四个顶点分别为()0,0O ，()1,0A ，()1,1B ，()C 0,1，点D ，E 分别在线段C O ，AB 上运动，且D O =BE ，设D A 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是（ ）A ．2y x =（01x ≤≤）B ．()1x y y =-（01y ≤≤）C ．()1y x x =-（01x ≤≤）D ．21y x =-（01x ≤≤） 11、设()f x 是R 上以2为周期的奇函数，已知当(]0,1x ∈时，()21log 1f x x=-，则()f x 在区间()1,2上是（ ）A ．增函数，且()0f x <B ．增函数，且()0f x >C ．减函数，且()0f x <D ．减函数，且()0f x >12、已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12F F 3π∠P =，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则121e e 的最大值是（ ） A ．3 B．2 D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、若向量()1,1OA =，OA =OB ，0OA⋅OB =，则AB = ．14、若12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数n 的值是 ．15、右面茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩（所有成绩取整数）的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 ．16、以下命题，错误的有 ．①若()()32131f x x a x x =+-++没有极值点，则24a -<<；②()13mx f x x +=+在区间()3,-+∞上单调，则13m ≥； ③若函数()ln x f x m x =-有两个零点，则1m e<；④已知()log a f x x =（01a <<），k ，m ，R n +∈且不全等，则()()()222k m m n k n f f f f k f m f n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．高三理科数学小题狂做（4）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分．） 13、2 14、8 15、4516、①②③2016高三理科数学小题狂做（5）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}0,1,2A =，{},,z z x y x y B ==+∈A ∈A ，则B =（ ）A ．{}0,1,2,3,4B ．{}0,1,2C ．{}0,2,4D ．{}1,22、复数11ii+-（i 是虚数单位）的虚部为（ ） A ．i B ．2i C ．1 D ．2 3、抛物线24y x =-的准线方程为（ ）A ．1y =-B ．1y =C ．1x =-D ．1x =4、已知向量a ，b 满足()5,10a b +=-，()3,6a b -=，则a ，b 夹角的余弦值为（ ）A ．．5、下列说法中正确的是（ ）A ．“()00f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B ．若:p 0R x ∃∈，20010x x -->，则:p ⌝R x ∀∈，210x x --<C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠ 6、若实数x ，y 满足2211y x y x y x ≥-⎧⎪≥-+⎨⎪≤+⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．27、执行如图所示的程序框图，输出20152016s =，那么判断框内应填（ ）A ．2015?k ≤B ．2016?k ≤C ．2015?k ≥D ．2016?k ≥8、在C ∆AB 中，2AB =，C 3A =，C B 边上的中线D 2A =，则C ∆AB 的面积为（ ）AD9、已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A．4+ B．6+ C．2++．2++10、已知函数3x x y e=，则其图象为（ ）A ．B ．C ．D ．11、函数()sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为π ②()f x 的一条对称轴为6x π=③()f x 的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭ ④6f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412、设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且()()22f x xf x x '+>，则下面的不等式在R 上恒成立的是（ ）A ．()0f x >B ．()0f x <C ．()f x x >D ．()f x x <二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是 ．14、已知随机变量ξ服从正态分布()2,m σN ，若()()34ξξP ≤-=P ≥，则m = ．15、已知三棱锥C S -AB 中，C 13S A =B =C 5S B =A =，C 10S =AB =则该三棱锥的外接球表面积为 ．16、如图，等腰梯形CD AB 中，2DC AB =，32C AE =E ，一双曲线经过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则该双曲线的离心率是 ．2016高三理科数学小题狂做（5）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分．）13、160- 14、1215、14π 162016高三理科数学小题狂做（6）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知全集{}U 1,2,3,4,5=，{}1,2,5A =，{}2,3,5B =，则()U A B ð等于（ ）A ．{}2,3B ．{}2,5C ．{}3D ．{}2,3,5 2、已知1ii z+=，则在复平面内，复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知3sin 35x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．45-B ．35-C ．45D ．354、已知双曲线2221y x b-=（0b >）的一条渐近线的方程为2y x =，则b 的值等于（ ） A ．12B ．1C ．2D ．45、已知向量()1,2a x =，()4,b x =-，则“x =”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6、对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为10.5y x a =+，则a 的值等于（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.57、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ） A ．90 B ．92 C ．98 D ．1048、在12的展开式中，x 项的系数为（ ）A ．612CB ．512C C ．712CD ．812C9、如图，四边形CD AB为矩形，AB =，C 1B =，以A 为圆心，1为半径画圆，交线段AB 于E ，在圆弧D E 上任取一点P ，则直线AP 与线段C B 有公共点的概率为（ ）A ．16 B ．14 C ．13 D ．2310、某程序框图如右图所示，若输出的57S =，则判断框内应填（ ） A ．4k > B ．5k > C ．6k > D ．7k >11、已知点()0,2A ，抛物线C :2y ax =（0a >）的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N，若F :M MN =a 的值等于（ ）A ．14 B ．12C ．1D ．4 12、已知直线y kx =与函数()212,0211,02xx f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+>⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A．)1,+∞ B．()1C．()1-- D．()(),121,-∞--+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、213e dx x=⎰． 14、从11=，()1412-=-+，149123-+=++，()149161234-+-=-+++，⋅⋅⋅，推广到第n 个等式为 ．15、设变量x ，y 满足约束条件222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为 ．16、在斜三角形C AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan C tan C1tan tan +=A B，则222a b c += ．2016高三理科数学小题狂做（6）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．） 13、6 14、()()()1121491112n n n n ++-++⋅⋅⋅+-=-++⋅⋅⋅+，n +∈N15、8- 16、3高三理科数学小题狂做（7）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，则AB =（ ）A ．{}01x x << B ．{}01x x ≤< C ．{}11x x -<≤D ．{}21x x -<≤2=（ ）A ．)2i B ．1i + C ．i D ．i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ）A ．14 B ．112- C ．14或112- D ．14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）A ．6B ．7C ．10D ．95、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ）A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若F B ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．)+∞ C ．(]1,3D ．)+∞9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x -+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P ∈B 的概率为（ ）A ．932 B ．732 C ．916 D ．71610、设二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212nna a ab b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（ ）A ．123n -+B ．()1221n -+ C ．12n + D ．111、已知数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m 的值为（ ） A ．14 B ．13 C ．14- D ．13- 12、已知函数())()()0ln 10x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()2a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角 为 ．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C A =B =14AA =，则这个球的表面积为 ．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．高三理科数学小题狂做（7）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．） 13、90 14、64π 15、84 16、45-高三数学小题狂做（15）理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}24x x M =<，{}1x x N =<，则MN =（ ）A ．{}21x x -<< B ．{}2x x <- C ．{}1x x < D ．{}2x x <2、设i 是虚数单位，若复数z 满足()11z i i +=-，则复数z 的模z =（ ）A ．1-B ．1CD ．23、在C ∆AB 中，45∠A =，C 105∠=，C B =，则边长C A 为（ ）A 1-B ．1C ．2D 1+4、椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．22142x y +=B ．22143x y +=C ．221129x y += D ．2211612x y += 5、下列程序框图中，输出的A 的值是（ ）A ．128 B ．129 C ．131 D ．1346、将函数()()sin 2f x x ϕ=+（2πϕ<）的图象向左平移6π个单位后的图形关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A B ．12 C ．12- D ．7、函数cos 622x xxy -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8、已知不等式组110x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．[]3,3- B ．11,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．(][),33,-∞-+∞D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 9、某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ） A ．203 B ．163C．86π-D ．83π-10、(421x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．1211、如图，1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2F ∆AB 为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ．4 BC D 12、已知函数()11,14ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是（ ）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、已知()0,απ∈，4cos 5α=，则()sin πα-= ．14、在C ∆AB 中，90∠B =，C 1AB =B =，点M 满足2BM =AM ，则C C M ⋅A = ．15、如图，在边长为1的正方形C OAB 中任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为 ．16、已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 90∠BA =，侧面11CC B B 的面积为2，则直三棱柱111C C AB -A B 外接球表面积的最小值为 ．高三理科数学小题狂做（15）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分．） 13、35 14、3 15、1316、4π 高三理科数学小题狂做（9）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知i 为虚数单位，则复数12iz i +=在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、若集合{}1381x x A =≤≤，(){}22log 1x xx B =->，则AB =（ ）A ．(]2,4B ．[]2,4C ．()[],00,4-∞ D ．()[],10,4-∞-3、如图，在正四棱柱1111CD C D AB -A B 中，点P 是面1111C D A B 内一点，则三棱锥CD P -B 的正视图与侧视图的面积之比为（ ）A ．1:1B ．2:1C ．2:3D ．3:24、已知过定点()2,0P 的直线l与曲线y =相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当∆AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为（ ）A ．150B ．135C ．120D ．不存在5、已知实数x ，y 满足1040x y x y y m +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z x y =+的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12-6、在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1c =，45B =，3cos 5A =，则b 等于（ ）A ．53B ．107C ．57 D7、以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C 的一条渐近线倾斜角为3π，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．2CD ．28、如图所示程序框图，其功能是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 9、给出下列命题：①若()523450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则1234532a a a a a ++++=②α，β，γ是三个不同的平面，则“γα⊥，γβ⊥”是“//αβ”的充分条件③已知1sin 63πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7cos 239πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭ 其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 10、如图，(),x y M M M ，(),x y N N N 分别是函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>）的图象与两条直线1:l y m =，2:l y m =-（0m A ≥≥）的两个交点，记S x x N M=-，则()S m 图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11、设无穷数列{}n a ，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论多小），总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有n a ε-A <成立，就称数列{}n a 的极限为A ．则四个无穷数列：①(){}12n-⨯；②()()11111335572121n n ⎧⎫⎪⎪+++⋅⋅⋅+⎨⎬⨯⨯⨯-+⎪⎪⎩⎭；③231111112222n -⎧⎫++++⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭；④{}231222322n n ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，其极限为2共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 12、设函数()()()222ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值为（ ）A ．15B ．25C ．12 D ．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、a ，b ，c ，d 四封不同的信随机放入A ，B ，C ，D 4个不同的信封里，每个信封至少有一封信，其中a 没有放入A 中的概率是 ． 14、已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 90∠BA =，侧面11CC B B 的面积为2，则直三棱柱111C C AB -A B 外接球表面积的最小值为 ．15、已知三角形C AB 中，C AB =A ，C 4B =，C 120∠BA =，3C BE =E ，若P 是C B 边上的动点，则AP ⋅AE 的取值范围是 ．16、已知函数(),01lg ,0ax f x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为 ．高三理科数学小题狂做（9）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13、34 14、4π 15、210,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 16、()()1,00,-+∞高三理科数学小题狂做（10）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设集合{}0,1,2,7A =，集合x y ⎧B ==⎨⎩，则A B =（ ） A ．{}1,2,7 B ．{}2,7 C ．{}0,1,2 D ．{}1,2 2、设复数1z i =--（i 为虚数单位），则1z -=（ ）A C ．2 D ．1 3、设{}n a 是等差数列，若27log 3a =，则68a a +=（ ）A ．6B ．8C ．9D ．164、双曲线22214x y b-=（0b >）的焦距为6，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y x =B ．y x =±C ．y x =D ．y = 5、已知向量(),2a m =，向量()2,3b =-，若a b a b +=-，则实数m 的值是（ ）A ．2-B ．3C ．43D ．3-6、某项公益活动需要从3名学生会干部和2名非学生会干部中选出3人参加，则所选的3个人中至少有1个是非学生会干部的概率是（ ）A ．110 B ．310 C ．35 D ．9107、如图给出的是计算11113529+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是（ ） A ．2n n =+，15?i = B ．2n n =+，15?i > C ．1n n =+，15?i = D ．1n n =+，15?i >8、某空间几何体的三视图如图所示，则这个空间几何体的表面积是（ ）A ．24π+B ．34π+C ．44π+D ．46π+9、已知(),x y P 为区域2200y x x a⎧-≤⎨≤≤⎩内的任意一点，当该区域的面积为4时，2z x y =-的最大值是（ ）A ．6B ．0C ．2 D． 10、对于函数()3cos36f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数且在,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上递减 B ．()f x 是奇函数且在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增 C ．()f x 是偶函数且在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上递减 D ．()f x 是偶函数且在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上递增 11、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA⋅OB =（其中O 为坐标原点），则F ∆A O 与F ∆B O 面积之和的最小值是（ ）ABCD12、已知函数()221ln f x x x a x =-++有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则（ ） A ．()212ln 24f x +<- B ．()212ln 24f x -< C ．()212ln 24f x +>D ．()212ln 24f x -> 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、设常数R a ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则a = ．14、函数()()1,03,0xx f x f x x ⎧⎛⎫>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-<⎩，则31log 6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．15、设0α=⎰，tan 3β=，则()tan αβ+= ．16、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()112nn n n S a =-+，设{}n S 的前n 项和为n T ，则2014T = ．高三理科数学小题狂做（10）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．） 13、2- 14、16 15、2- 16、100711134⎛⎫- ⎪⎝⎭。
高中数学小题狂做小题训练11.设集合A＝｛1,2,3,4｝，B＝｛0，1,2｝，则A U B＝（A）｛0，1,2,3,4｝（B）｛0，1,2)（C）｛1,2｝（D)｛3,4｝2. sin5700＝（A）12（B）－12（C）32（D）－323.如图是一个旋转体的三视图，其中正视图，侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个旋转体的休积是（A）83π（B）73π（C）2π（D）53π4.设正项等比数列的前n项和为，且满足，则S4的值为（A）15（B）14（C）12（D)85.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A)7（B)9（C) 11（D) 136.在某市举行“市民奥运会”期间．组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到A，B，C三个场馆执勤．若每个场馆至少分配一人，则不同分配方案的种数是（A)96（B）72（C)36（D) 247. 某设备的使用年限x（单位：年）与所支付的维修费用y（单位：千元）的一组数据如下表：从散点图分析．Y与x线性相关，根据上表中数据可得其线性回归方程中的＝1.54.由此预测该设备的使用年限为6年时需支付的维修费用约是（A）7.2千元（B)7.8千元（C）9.1千元（D)9.5千元8.已知m，n是平面外的两条不同的直线．若m，n在平面内的射影分别是两条直线的（A)充分但不必要条件（B)必要但不充分条件（C)充要条件（D)既不充分也不必要条件9.已知函数f(x) ＝Inx －2[x] ＋3,其中[x]表示不大于x的最大整数（如[1.6] =1,[-2.1]＝一3).则函数f(x)的零点个数是（A)l（B)2（C)3（D)410.如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C到AB的距离是（A)22m（B)23m（C)4 m（D)6 m11、计算：log62十21og63＋(0.1）一1＝＿12.已知关于x的不等式x2－ax－4 >0在时无解，则实数a的取值范围是13.若二项式的展开式中含有的项，则正整n的最小值为·14.已知直线l:x＋y＋m＝0(m R)与圆C:(x＋2)2＋(y－1)2＝4相交于A,B两点，则的最大值为．I5.已知集合．对于中的任意两个元素，定义A与B之间的距离为现有下列命题：①若；②若；③若＝p（p是常数），则d(A，B）不大于2p；④若，则有2015个不同的实数a满足．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）小题训练21．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．{0}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}2．复数z满足（1+i）2•z=﹣1+i，其中i是虚数单位．则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数y=的值域是（）A．[0，+∞）B．[0，4]C．[0，4）D．（0，4）4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A．B．C．D．5．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④6．在数列{a n}中，a1=1，a2=5，a n+2=a n+1﹣a n（n∈N），则a100等于（）A．1B．﹣1C．2D．07．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3B．2C．D．18．若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2=2，x3=3，=2，则输出的数等于（）A．B．C．D．9．已知椭圆（a＞b＞0）的中心为O，左焦点为F，A是椭圆上的一点，且，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣2，﹣1]，x2∈[1，2]，则f（﹣1）的取值范围是（）A．，3]B．，6]C．[3，12]D．，12]11．（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）12．若点p（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为．13．方程x2+3ax+3a+1=0（a＞2）两根tanα、tanβ，且α，β∈（﹣，），则α+β=．14．已知函数f（x）=log a（x2﹣ax+2）在（2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围为15．设f（x）是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若，则数列{a n}的前n项和的取值范围是．小题训练31．设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．已知（x+i）（1﹣i）=y，则实数x，y分别为（）A．x=﹣1，y=1B．x=﹣1，y=2C．x=1，y=1D．x=1，y=23．命题“∀x∈R，x2﹣2x+3≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣2x+3≥0B．∃x∈R，x2﹣2x+3＞0C．∀x∈R，x2﹣2x+3≤0D．∃x∉R，x2﹣2x+3＞05．过点M（2，0）作圆x2+y2=1的两条切线MA，MB（A，B为切点），则•=（）A．B．C．D．6．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3B．4C．D．7．若函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）与g（x）=2cos（2x﹣）的对称轴完全相同，则函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）在[0，π]上的递增区间是（）A．[0，]B．[0，]C．[，π]D．[，π]8．如图所示正方体ABCD﹣A1B1C1D1，设M是底面正方形ABCD内的一个动点，且满足直线C1D与直线C1M所成的角等于30°，则以下说法正确的是（）A．点M的轨迹是圆的一部分B．点M的轨迹是椭圆的一部分C．点M的轨迹是双曲线的一部分D．点M的轨迹是抛物线的一部分9．如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A．i＞100，n=n+1B．i＞100，n=n+2C．i＞50，n=n+2D．i≤50，n=n+210．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f （x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．[1，2]D．11．函数f（x）=的定义域为．12．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是．13．在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a=．14．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β④若m∥l，则α⊥β其中正确的命题的序号是．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）．15．已知f（x）=cosx，g（x）=sinx，记S n=2﹣，T m=S1+S2+…+S m，若T m＜11，则m的最大值为．小题训练41．集合1222x A x Z⎧⎫=∈≤≤⎨⎬⎩⎭，}{cos ,B y y x x A ==∈，则B A =( ) A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{-1，0，1}2．已知复数z 满足2(3)(1i z i i+=+为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．左下图是某高三学生进入高三来的12次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第12次的考试成绩依次记为：1212,,,A A A 。
随堂巩固训练(22)1. 做一个容积为27 cm 3的方底有盖水箱，高为__3__cm 时材料最省．解析：当这个水箱是正方体时，材料最省，即高为327＝3(cm)．2. 在Rt △ABC 中，斜边a ，绕直角边AC 旋转一周，得到一个圆锥，当圆锥的体积最大时，tanB ＝2．解析：设AB ＝r ，AC ＝h ，则r 2＝a 2－h 2，所以V ＝13πr 2h ＝13π(a 2－h 2)h ，V ′(h)＝13π(a 2－3h 2)，令V′(h)＝0，得h ＝a 3，所以当h ＝a 3时，圆锥的体积取最大值，此时r ＝23a ，所以tanB ＝h r ＝22.3. 在半径为R 的圆内作内接等腰三角形，当底边上的高为__32R__时三角形的面积最大．解析：如图，设∠OBC ＝θ，则0<θ<π2，OD ＝Rsinθ，BD ＝Rcosθ，所以△ABC的面积为S ＝Rcosθ(R ＋Rsinθ)＝R 2cosθ＋R 2sinθcosθ，所以S′＝－R 2sinθ＋R 2(cos 2θ－sin 2θ)＝－R 2(sin θ＋1)·(2sin θ－1)．令S′＝0，得sin θ＝－1或sin θ＝12.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以θ＝π6.当0<θ<π6时，S′>0；当π6<θ<π2时，S′<0，所以当θ＝π6时，△ABC 的面积最大，此时底边上的高OA ＋OD ＝R ＋R 2＝32R.4. 将一根长为16的绳子分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为__8__．解析：设将绳子分成的两段长分别为x 和16－x ，面积和为y ，则y ＝⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫16－x 42＝18(x －8)2＋8.因为0<x<16，所以它们的面积和的最小值为8. 5. 从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为__144__cm 3.解析：设盒子的容积为y cm 3，盒子的高为x cm ，则y ＝(10－2x)(16－2x)x ＝4x 3－52x 2＋160x(0<x<5)，所以y′＝12x 2－104x ＋160.令y′＝0，得x ＝2或x ＝203(舍去)，所以y max ＝6×12×2＝144(cm 3)．6. 用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积是__3__cm 3.解析：设长方体的宽为x(x>0)，则长为2x ，高为18－4×（2x ）－4x 4＝9－6x2，所以长方体的体积为V ＝2x ×x ×9－6x 2＝－6x 3＋9x 2⎝⎛⎭⎫0<x<32，所以V′＝－18x 2＋18x(x>0)．令V′>0，得函数V 的增区间为(0，1)；令V′<0，得函数V 的减区间为⎝⎛⎭⎫1，32，所以V max ＝V(1)＝－6＋9＝3.7. 已知水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张，当半径为250 cm 时，水波形成的圆的面积的变化率是__25__000π__．解析：圆面积S ＝π(vt)2＝2 500πt 2，所以S′＝5 000πt.当半径为250cm 时，t ＝5，所以S′＝5 000π×5＝25 000π.8. 甲船以每小时20海里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北方向82海里处以每小时16海里的速度向南行驶，经过__2__小时两船的距离最近．解析：设行驶x 小时，它们的距离为d ，则d 2＝(20x)2＋(82－16x)2＝656x 2－2 624x ＋6 724，则(d 2)′＝1 312x －2 624，令1 312x －2 624＝0，得x ＝2，所以当x ＝2时，d 2取最小值，即经过2小时甲、乙两船的距离最近．9. 如图，d 的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体横梁，则矩形面的长为3d__．(抗弯强度与bh 2成正比，其中h 为矩形的长，b 为矩形的宽)解析：设比例系数为k ，则抗弯强度y ＝kbh 2＝kb(d 2－b 2)＝kbd 2－kb 3，则y′＝kd 2－3kb 2，令y′＝0，得b 2＝13d 2，此时，y 取最大值，所以h 2＝d 2－b 2＝d 2－13d 2＝23d 2，故h ＝6d.10. 做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高应该为311. 如图，某小区有一矩形地块OABC ，其中OC ＝2，OA ＝3(单位：百米)．已知OEF 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边EF 相切于点M 的笔直的路l(宽度不计)，交线段OC 于点D ，交线段OA 于点N.现以O 为坐标原点，线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数y ＝－x 2＋2(0<x<2)，点M 到y 轴的距离记为t.(1) 当t ＝23时，求l 所在的直线方程；(2) 当t 为何值时，地块OABC 在路l 不含泳池一侧的面积取到最大？并求出最大值．解析：(1) 由题意得M ⎝⎛⎭⎫23，149.因为y′＝－2x ，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －149＝－43⎝⎛⎭⎫x －23，即y ＝－43x ＋229. (2) 由(1)易知直线l 的方程为y －(2－t 2)＝－2t(x －t)，即y ＝－2tx ＋t 2＋2.令y ＝0，得x ＝12⎝⎛⎭⎫t ＋2t ；令x ＝0，得y ＝t 2＋2. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12⎝⎛⎭⎫t ＋2t ≤2，t 2＋2≤3，解得2－2≤t ≤1，所以S △ODN ＝12×12⎝⎛⎭⎫t ＋2t (t 2＋2)＝14(t 3＋4t ＋4t )． 令g(t)＝14⎝⎛⎭⎫t 3＋4t ＋4t ， 则g′(t)＝14(3t 2＋4－4t 2)＝（t 2＋2）（3t 2－2）4t 2.令g′(t)＝0，则t ＝63，当t ∈⎝⎛⎭⎫2－2，63时，g′(t)<0；当t ∈⎝⎛⎭⎫63，1时，g′(t)>0，所以当t ＝63百米时，g(t)min ＝g ⎝⎛⎭⎫63＝869，所以所求面积的最大值为⎝⎛⎭⎫6－869万平方米．12. 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知AB ＝AC ＝6 km ，现计划在边BC 的高AO 上一点P 处建造一个变电站．记点P 到三个村庄的距离之和为y.(1) 设∠PBO ＝α，把y 表示成α的函数关系式；(2) 当变电站建于何处时，它到三个村庄的距离之和最小？ 解析：(1) 在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝6，所以OB ＝OA ＝32，∠ABC ＝π4.由题意知0≤α≤π4，所以点P 到点A 、B 、C 的距离之和为y ＝2PB ＋PA ＝2×32cosα＋(32－32tanα)＝32＋32×2－sinαcosα，故所求函数关系式为y ＝32＋32×2－sinαcosα⎝⎛⎭⎫0≤α≤π4. (2) 由(1)得y′＝32×2sinα－1cos 2α.令y′＝0，得sinα＝12.又0≤α≤π4，所以α＝π6.当0≤α<π6时，y′<0；当π6<α≤π4时，y′>0.所以当α＝π6时，y 取得最小值，此时OP ＝32tan π6＝6(km)，即点P 在OA 上且距离点O 6 km 处．13. 已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产千件，需另投入2.7万元，设该公司1年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝⎩⎨⎧10.8－x 230， 0<x ≤10，108x －1 0003x2， x>10.(1) 写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－年总成本)(2) 当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？解析：(1) 当0<x ≤10时，W ＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x －x 330－10；当x>10时，W ＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－1 0003x－2.7x ，所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10， 0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ， x>10.(2) ①当0<x ≤10时，W′＝8.1－x 210，令W′＝0，得x ＝9.又当x ∈(0，9)时，W′>0，当x ∈(9，10)时，W′<0，故当x ＝9时，W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6.②当x>10时，W ＝98－1 0003x －2.7x ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－2 1 0003x×2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，等号成立．由①②知，当x ＝9千件时，W 取得最大值38.6万元．。
