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第六章平方根与立方根班级：________ 姓名：______________【学习目标】1、知道平方根与立方根的概念，会用根号表示一个数的平方根或立方根2、知道开平方（开立方）与平方（立方）互为逆运算，会用开平方（开立方）运算求某些数的平方根方根）•3、体会一个数的立方根的唯一性，分清一个数的立方根与平方根的区别。
【学习重点】平方根、立方根的求法和应用。
【学习难点】平方根、立方根的应用，立方根与平方根的区别。
【知识要点】1、平方根的性质:（1）一个正数有____ 个平方根，它们（2）___________________ 0的平方根是；（3）_________ 没有平方根.2、立方根的性质：（1）正数的立方根是___________ ;（2）负数的立方根是___________ ;（3）______________________ 0的立方根是3、重要公式:［类型一】求一个数的平方根或立方根一、求下列各式的值A组：⑴苻= _______________ ，⑵- .荷= _____________________(4) 一、- 8 = _____________ (5) _ 1。
3 = _________二、填空题13 =36 = 21623=7 = 34333=83= 51243=93= 72953=103= 1000（立12=62=112=216=256 22=72=122=217 =289 32=82=132=218 =324 42=92=142=219 =361 52=102=152=202=400(2) 7100 = _________ ；(5)± - 36==- _______ (6L(3) - - 8 =3：—27 = ____________(3) ± V52= _______ ,(6)伙-2 j = _______________4、平方表: 立方表: B组：A组：31、2的立方等于_____ ,8的立方根是_____ ; -3 = ________ ,-27的立方根是_______2、4的算术平方根是 ___________ ，平方根是______________________ ; 2是 ______ 的算术平方根.3、(-3)3的立方根是 ________ , (― ij的立方根是 _________ , 0的立方根是__________B组：1、要切一块面积为16平方厘米的正方形钢板，它的边长是_____________ .2、_____________________________________________ 若x是125的立方根，贝U x-7的值是.3、____________________________________________________ 、已知x的平方根是土5,则x+2的立方根是［类型二】利用平方根的性质求值C组：一个正—2a +1和a—4,求这个数.【类型三】开平方(开立方)及相关运算1、求下列各式中x的值：2 2 2A组：(1) x = 4; B 组：(2) 25 x = 36 C 组：(3) (2x —1) = 252、求下列各式中的x:3 3 j 3A组：(1) x = -8 ; B 组：(2) 2 x = 16 C组：(3) (x+3)+27=0课堂小测：得分：____________ A组：（50分）1、..（二2）2的计算结果是（）A.2B. —2C.2 或—2D.42、下列式子中，正确的是（）A. -5--..5B. —3.6= —0.6C. . （-13）2=13D. 36=± 63、一个数的平方根与立方根相等，则这个数是（）•A. 1 B . _1 C . 0 D . -14、. 11的值在（）A. 1与2之间B.2 与3之间C . 3与4之间D.4 与5之间5、若，二］,则」的值为（）A. B. _ 二 C.4 D. ± 4B组：（30分）&下列运算正确的是（).A. 3-8 --8 B .二-8 二•. 8C. 丁-8 = -V8 D . ： -8 J -87、以下语句及写成式子正确的是（）A、7是49的算术平方根，即、49二-7B、7是（_7）2的算术平方根，即..匸7）2=7C、- 7是49的平方根，即49=7D - 7是49的平方根，即-49= 7C组：（20分）8、一个正数的平方根是2a—1与—a+2，则a = _______ ，这个正数是___________ :。
数学人教七年级下立方根知识讲解【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】【高清课堂：389317 立方根、实数，知识要点】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数a a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质=a=3a=要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.0.060.6660. 【典型例题】类型一、立方根的概念【高清课堂：389317 立方根实数，例1】1、下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．12-是16-的立方根C．立方根等于本身的数只有0和1D=【答案】D；【解析】64的立方根是4；12-是18-的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；=举一反三：【变式1】下列说法正确的是（ ）A ．一个数的立方根有两个B ．一个非零数与它的立方根同号C ．若一个数有立方根，则它就有平方根D ．一个数的立方根是非负数 【答案】B ；提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.【变式2】（2015春•大名县期末）下列说法正确的是（ ） A ．﹣4的立方是64 B ． 0.1的立方根是0.001 C ． 4的算术平方根是16 D ． 9的平方根是±3 【答案】D.类型二、立方根的计算【高清课堂：389317 立方根 实数，例2】2、求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯ （3）336418-⋅ （4（5）10033)1(412)2(-+÷-- 【答案与解析】解：（1）（2（3）43===9 1=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-（4）=331=1-++（5）3=21247=1=33÷++【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.举一反三：【变式】计算：（1=______；（2）=364611______； （3）=--312719______．（4）=-33511)(______. 【答案】（1）－0.2；（2）54；（3）23；（4）45. 类型三、利用立方根解方程3、（2015春•北京校级期中）（x ﹣2）3=﹣125． 【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可． 【答案与解析】 解：（x ﹣2）3=﹣125， 可得：x ﹣2=﹣5， 解得：x=﹣3．【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x ﹣2看成一个整体． 举一反三：【变式】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______； （3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______．【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3． 类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm 烧杯的体积. 【答案与解析】解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y =设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ⨯=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗) 【答案】333a b + .【巩固练习】 一.选择题1．下列结论正确的是（ ）A ．2764的立方根是34± B ．1125-没有立方根 C ．有理数一定有立方根D ．()61-的立方根是－12．如果－b 是a 的立方根，则下列结论正确的是（ ）A ．－3b ＝aB ．－b ＝3aC ．b ＝3aD ．3b ＝a3.下列说法中正确的有（ ）个. ① 负数没有平方根，但负数有立方根．②49的平方根是28,327±的立方根是23±⋅③如果()322x =-，那么x ＝－2． ④算术平方根等于立方根的数只有1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.x 是()29-的平方根，y 是64的立方根，则x y +＝（ ）A. 3B. 7C.3，7D. 1，7 5.（2015•东营区校级模拟）的立方根是（ ）A ．﹣1B ． 0C ． 1D ． ±16. 有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的是（ ）A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④ 二.填空题7．3311x x -+-中的x 的取值范围是______，11x x -+-中的x 的取值范围是______．8．－8的立方根与81的平方根的和是______． 9．若330,x y += 则x 与y 的关系是______． 10．（2015春•武汉校级期末）计算= ．11. 如果344,a +=那么()367a -的值是______． 12.若，则____________.三.解答题13.若321a -和313b -互为相反数，求ab的值.14．已知5x ＋19的立方根是4，求2x ＋7的平方根．15.（2015春•罗平县校级期中）已知M=是m+3的算术平方根，N=是n ﹣2的立方根，试求M ﹣N 的值．【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】 C ； 【解析】2764的立方根是34；()61-的立方根是1. 一个非零数与它的立方根符号相同. 2. 【答案】A ；【解析】由题意()33,b a b a -=-=.3. 【答案】A ；【解析】只有①正确. 算术平方根等于立方根的数有0和1． 4. 【答案】D ； 【解析】∵x 是()29-的平方根，y 是64的立方根，∴x ＝±3，y ＝4则x y +＝3＋4＝7或x y +＝－3＋4＝1.5.【答案】A ； 【解析】解：∵=﹣1， ∴的立方根是=﹣1，故选A ．6. 【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②一个实数的立方根是正数、0、负数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是±1或0．二.填空题7.【答案】任意实数；x ＝1;【解析】开立方时被开方数可以为任意实数，第二题需1－x ≥0，x －1≥0，解得x ＝1.8.【答案】1或－5；819，9的平方根是±3. 9. 【答案】0x y +=；【解析】两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数.10.【答案】； 【解析】解：，故答案为：．11.【答案】－343；【解析】a ＋4＝64，a ＝60，a －67＝－7，()37343-=-. 12.【答案】；【解析】x －1＝－2，x ＝－1. 三.解答题 13.【解析】解：∵321a -和313b -互为相反数 ∴321a -＋313b -＝0， ∴321a -＝－313b -， ∴321a -＝3(13)b --， ∴2a －1＝3b －1, 2a ＝3b ， ∴a b ＝32. 14.【解析】解：∵5x ＋19的立方根是4∴34=5x ＋19，即64＝5x ＋19，解得x ＝9 ∴2x ＋7＝25∴2x ＋7的平方根＝255±=±. 15.【解析】 解：因为M=是m+3的算术平方根，N=是n ﹣2的立方根，所以可得：m ﹣4=2，2m ﹣4n+3=3， 解得：m=6，n=3，把m=6，n=3代入m+3=9，n ﹣2=1， 所以可得M=3，N=1，把M=3，N=1代入M ﹣N=3﹣1=2．。
立方根知识点一、立方根的定义及性质王者攻略：1、如果a x =3，那么x 是a 的立方根，记作3a 2、像32、33、34……这些无法表示成整数或分数形式的数，都是无理数一、直接写出答案（1）1的立方根 （2）8的立方根 （3）27的立方根（4）64的立方根 （5）125的立方根 （6）216的立方根（7）-1的立方根 （8）-8的立方根 （9）-27的立方根（10）-64的立方根 （11）-125的立方根 （12）-216的立方根（13）0的立方根是___，任何数的立方根都只有____个二、直接写出答案（1）6427的立方根 （2）1258的立方根 （3）641-的立方根（4）27371-的立方根 （5）0010216的立方根 （6）729216-的立方根三、有套路的选择题1、64的立方根是（ ）A.8B.±8C.2D.±22、28的立方根是（ ）A.8B.±8C.2D.±23、1+2×3的立方根是（ ）A.9B.±9C.37 D.±37 4、-23的立方根的绝对值是（ ）A.8B.-8C.2D.-25、81-的相反数立方根是（ ）A.-9B.9C.39-D.39 6、8191的立方根的相反数的绝对值是（ ）A.23B.±23C. 32D.±32 7、以下哪个不是无理数（ ）A. B. C. D. 8、以下哪个是无理数（ ）A. 38B. 3216C. 3729D. 9、一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是（ ）A.0B.1C.-1D.0或110、一个数的平方根等于它本身，那么这个数是（ ）A.0B. 0或1C. 0或-1D.0或1或-111、一个数的立方根等于它本身，那么这个数是（）A.-1或1B.1或0C.-1或0D.1或-1或012、一个数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是（）A.0或1B.1或-1C.-1或0D.1或-1或0四、根据立方根求未知数例1、x-2的立方根是3，则x的值是_________1、x+3的立方根是2，则x的值是_________2、2x-5的立方根是1，则x的值是_________3、5+2x的立方根是0，则x2+1的值是_________例2、若2a+1是8的立方根，那么a的值是_________4、若a-1是3的立方根，那么a的值是_________5、若3a-1是27的立方根，那么a的值是_________6、若1-4a是125的立方根，那么a101的值是_________7、若2a-1是8191的立方根，那么2a+1的值是_________ 8、若2121+x 是81092的立方根，那么x 2-1的值是_________ 五、解方程（1）83=x （2）5423=x （3）19233=x（4）25023=-x （5）3-4864x = （6）0000110-3=x（7）8)3(3=+x （8）27)4-2(3=x （9）64)2-1(3=x（10）16)1(23=+x （11）32)1(213=+x （12）81)1(33=-x六、“整体法”题型1、若a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值是3，求25x cd2、若a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值是4，求b a cd x x ---+23、若a,b 互为相反数，x 的算术平方根是3，y 的绝对值是2，求1002233b a x y x +-+知识点二、开方数的估值王者攻略：比较大小的方法：⋯⋯<<<<<-<-<-<⋯⋯33333332101231、比较两数的大小3343与 332552与 331331与 338-5-与3824与 3213与 344与 399-5-与338283与 33109-与 3836-3与 338--8与2、在哪两个整数之间35在整数___与___之间 39在整数___与___之间326在整数___与___之间 334在整数___与___之间345-在整数___与___之间 374-在整数___与___之间3、立方根的无理数用立方根的形式写出一个1与2之间的无理数_____________（写出一个合理的值即可）用立方根的形式写出一个2与3之间的无理数_____________（写出一个合理的值即可）知识点三、含根号的有理数加减王者攻略：1、能拆开的被开方数先拆开，再加减2、不能拆开的被开方数找同类被开方数来合并例1、计算=31- =31- =38- =38- =372- =327-=364- =-364 =3251- =3125- =3162- =3216- 332 =⨯⨯333555 =⨯⨯333110110110=⨯⨯323232n n n =+⨯+⨯+323232111x x x =-33)1314(例2、3a -____3a -（填“>”或“<”或“=”）例3、若033=--y x ，则x 与-y 的关系是__________一、含根号有理数的计算例1、126454)3(323+--+- 例2、523)2(49)3(125--+---1、209)2(2733---+-22100(2)(1)-+-3、2)4(1002223-+-⨯+-4、322849)2(3+--+5、3693273333--+6、3338281100493+-+二、含根号无理数的计算例1、3522532++-+ 例2、351355613653+---1、2332742535-+-+2、10310210755108+-+-3、2252332-+--4、5332322633+-+-5、725755233525323++--+6、33733223332258-+-+例3、332532322-+-+7、3337233325+-+ 8、33336554635665----9、3337253755-+-+ 10、739435312933+--+三、立方根的应用1、一个正方体的体积为125m 3，求这个正方体的边长a2、已知球的体积公式为334r V π=，当V=36πm 3，求半径r（结果用含有π的式子表示）3、阅读下列材料回答问题在很久很久以前，一个国家发生大旱，地里的庄稼都干死了，人们找不到水喝，于是迷信的国王和大臣门一起到神庙里去向神祈求。
