高考探索性问题回顾与展望

新课标、新高考的回顾与展望高三年级数学组杨秀凌（一）新高考怎样考理念：以学生为本、探究性学习、多元化评价强调：过程、探索、发现重视：新增知识点重点考查高考命题的依据是《考试说明》.但最根本的依据是教材.命题的依据是什么?——依据《考试大纲说明》范围命制确定.但高考命题最根本的依据是教材！因为教材是课程的载体和具体化，其中例题习题又是中学数学知识的载体和具体化，是数学思想和方法的生长点.高考试题的呈现形式，语言的描述方式，符号的表达等等，一定都是用教材中的语言与知识.可以说，教材是高考中、低档题的直接来源！试题内容怎么呈现？——依纲靠本,依据教材编题,不易偏离教材,不易产生偏题、怪题或过难的题；易切合学生实际,有利于检查知识,考查能力,稳定心态,正常发挥；易实现考试目标的达成，信度及区分度较好.高考复习备考的思考:1.学习考试说明、回归课本、研究考题、推敲评价.(1)学习说明看要求(知识要求,能力要求).(2)回归课本找标准(试题的呈现方式,符号,语言).(3)研究考题看考法(如何体现知识的考查).(4)推敲评价找方向(试题分析评价).2.解答高考试题的基本方向是：化归为课堂上已经解决的问题，包括课本已经解决的问题和往年高考试题.3.重视新课程高考试题的导向作用,新课程高考试题是指导高考复习和实践新课程改革的难得教材.只有吃透课本上的例题、习题，才能全面、系统地掌握基础知识、基本技能和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变.在求活、求新、求变的命题指导思想下，高考数学试题虽然不可能考查单纯背诵、记忆的内容，也不会考查课本上的原题.但对高考试卷进行分析就不难发现，许多题目都能在课本上找到“影子”，不少高考题就是将课本题目进行引申、拓宽和变化.高考试题千变万化，异彩纷呈，但无论怎样变化、创新，都是基本数学问题的组合.对基本数学问题的认识，基本数学问题解法模式的研究，基本问题所涉及的数学知识、技能、思想方法的理解，乃是数学教与学的重心.新课程高考试题以能力立意命题,根据《课程标准》——《考试大纲》的要求,突出以下特点:①以数学内容为基点,以基本的推理能力和思维要求为立足点,突出考查一般能力的表现,测量学生的学习能力.②以多元化、多途径、开放式的设问背景，比较客观、全面地测量学生观察、试验、联想、猜测、归纳、类比、推广等思维活动的水平，激发学生探索精神、求异创新思维.③以源于社会、源于生活的问题考查学生，有效地测量学生抽象、概括以及建立数学模型的能力，使学生认识世界、把握问题本质、筹划应对策略.高考考什么1.对数学基础知识的考查,要求全面又突出重点.对于支撑学科知识体系的重点知识,考查时要保持较高的比例，构成数学试卷的主体.注重学科的内在联系和知识的综合性,从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题.在知识网络交汇点处设计试题,使对数学基础的考查达到必要的深度，不刻意追求知识的覆盖面．2.对能力的考查，以思维能力(空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表达、运算推理、演绎证明、模式构建等)为核心，全面考查各种能力．强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料.高考的能力要求（5个能力2个意识）：1.空间想象能力、2.抽象概括能力、3.推理论证能力、4.运算求解能力、5.数据处理能力、6.应用意识、7.创新意识．《考试说明》2012年《考试说明》文理科与2011年相比较基本没有变化！稳定是今后几年的命题原则.从命题与阅卷角度考虑，选做题文理科完全相同.(二)全国新课标卷试题结构与特点五年来新课标高考题的特点2007年——稳定.追求平稳过渡.2008年——变化.在稳定的基础上有所变化，在三维目标上有所追求，如理科8,16,19题的考查. 2009年——改革.在稳定的基础上，强化“过程与方法”的考查，如理科8、9、12、17、20、21题，关注“情感、态度与价值观”的考查，如18、19、20、21题.加入了对图表语言，应用意识，探究能力的考查，是在这五年中，对新高考命题的探索，以及在三维目标的考查上改革力度最大的年份. 2010年，2011年——平稳.平稳过渡，结构稳定，应用问题更贴近学生的生活.今后的方向——平稳与渐进.强化新课程的理念，检验“三维目标”的落实情况，推动新课程的课堂教学改革.五年来新课标高考题的特点(1)12个选择，4个填空，5个解答，1个选作.(2)选择题和填空题(共80分)考查基本知识和基本运算．抓住“双基”是得分的关键! 当然，得有个别难题和较新颖题的心理准备.(3)大题按这几年的规律，基本保持稳定.基本顺序是：数列或解三角形（或向量与三角）、立体几何、统计与概率、解析几何(侧重直线与椭圆)、函数与导数(侧重以e为底的指数或对数的复合函数)、系列4选修(侧重选作解含绝对值不等式。

二、探究性咨询题近年来，随着社会主义经济建设的迅速开发，要求学校由“应试教育〞向“素养教育〞转化，培养全面开发的开拓型、制造型人才。

在这种要求下，数学教学中开放型咨询题随之产生。

因此，探究性咨询题成了近几年来高考命题中的热点咨询题，它既是高等学校选拔高素养人材的需要，也是中学数学教学培养学生具有制造能力、开拓能力的任务所要求的。

实际上，学生在学习数学知识时，知识的形成过程也是看看、分析、回纳、类比、猜度、概括、推证的探究过程，其探究方法是学生应该学习和把握的，是今后数学教育的重要方向。

一般地，关于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要探究者通过看看、分析、回纳出结论或判定结论的咨询题〔探究结论〕；或者虽给出了咨询题的明确结论，但条件缺少或未知，需要解题者寻寻充分条件并加以证实的咨询题〔探究条件〕，称为探究性咨询题。

此外，有些探究性咨询题也能够改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决咨询题。

探究性咨询题一般有以下几种类型：猜度回纳型、存在型咨询题、分类讨论型。

猜度回纳型咨询题是指在咨询题没有给出结论时，需要从特不情况进手，进行猜度后证实其猜度的一般性结论。

它的思路是：从所给的条件动身，通过看看、试验、不完全回纳、猜度，探讨出结论，然后再利用完全回纳理论和要求对结论进行证实。

其要紧显示是解答数列中等与n 有关数学咨询题。

存在型咨询题是指结论不确定的咨询题，即在数学命题中，结论常以“是否存在〞的形式出现，其结果可能存在，需要寻出来，可能不存在，因此需要讲明理由。

解答这一类咨询题时，我们能够先假设结论不存在，假如推论无矛盾，因此结论确定存在；假如推证出矛盾，因此结论不存在。

代数、三角、几何中，都能够出现此种探讨“是否存在〞类型的咨询题。

分类讨论型咨询题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，寻出满足条件的条件或结论。

高考中的探索性问题一、高考大纲剖析2022年以前数学测试说明中水平要求没有创新意识.2022年数学测试说明：水平要求中指出,水平是指思维水平、运算水平、空间想象水平以及实践水平和创新意识.其中创新意识指对新奇的信息、情境和设问,选择有效的方法和手段收集信息,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法,进行独立的思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题.命题根本原那么中指出,创新意识和创造水平是理性思维的高层次表现.在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融汇的程度越高,展示水平的区域就越宽泛,显现出的创造意识也就越强.命题时要注意试题的多样性,设计考查数学主体内容,表达数学素质的题目；反映数、形运动变化的题目；研究型、探索型或开放型的题目.让考生独立思考,自主探索,发挥主观能动性,研究问题的本质,寻求适宜的解题工具.梳理解题程序,为考生展现其创新意识,发挥创造水平,创设广阔的空间.2022年数学测试大纲〔必修+选I〕：水平要求中创新意识增加了：创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证实〞,是发现问题和解决问题的重要途径,对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高,显示出的创造意识也就越强.考查要求指出对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查.在测试中创设比拟新奇的问题情境,构造有一定深度和广度的数学问题,要注重问题的多样化,表达思维的发散性.精心设计考察数学主体内容,表达数学素质的试题;反映数、形运动变化的试题;研究型、探索型、开放型的试题.两年测试大纲比照,说明今年高考对学生创新意识要求更高,近几年高测试题中对这方面考查主要通过探索性问题来实现的.那么什么是探索性问题呢?如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统,那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的根本特征.二、高测试题研究高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径,解决非传统完备问题的水平,是命题者根据学科特点,将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.由于这类题型没有明确的结论,解题方向不明,自由度大,需要先通过对问题进行观察、分析、比拟、概括前方能得出结论,再对所得出的结论予以证实．其难度大、要求高,是练习和考查学生的创新精神,数学思维水平、分析问题和解决问题水平的好题型．近几年高考中探索性问题分量加重,在选择题、填空题、解做题中都已出现．如2022年高考江苏卷第16题〔立几〕、第20题〔解几〕；2022年高考全国卷第15题〔立几〕、第22题〔解几〕；2022年高考上海卷第12题〔填空题,解几〕、第21题〔Ⅲ〕〔解几〕、第22题〔理：集合与函数,文：数列与组合数〕；2022年高考江苏卷第6题〔统计图〕、第13题〔表格〕；2022年高考上海卷第12题〔填空题,数列〕、第16题〔选择题,招聘信息表〕、第21题〔3〕〔立几〕、第22题〔3〕〔圆锥曲线〕；2022年高考北京卷第14题〔填空题,数列〕、第20题〔不等式证实〕；2022年高考福建卷第15题〔概率〕、第21题〔Ⅱ〕〔导数与不等式〕；2022年春季高考上海卷第9题〔数列〕、第16题〔函数〕、第21题〔2〕〔函数与直线〕、第22题〔3〕〔椭圆〕等.题目设计背景新奇,综合性强,难度较大,是区分度较高的试题,根本上都是每份试卷的压轴题.高考常见的探索性问题,就其命题特点考虑,可分为归纳型、题设开放型、结论开放型、题设和结论均开放型以及解题方法的开放型几类问题．其中结论开放型探索性问题的特点是给出一定的条件而未给出结论,要求在给定的前提条件下,探索结论的多样性,然后通过推理证实确定结论;题设开放型探索性问题的特点是给出结论,不给出条件或条件残缺,需在给定结论的前提下,探索结论成立的条件,但满足结论成立的条件往往不唯一,答案与条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的．就视为正确的；全开放型,题设、结论都不确定或不太明确的开放型探索性问题,与此同时解决问题的方法也具有开放型的探索性问题,需要我们进行比拟全面深入的探索,才能研究出解决问题的方法来.三、高考复习建议1.复习建议：〔1〕在第二轮复习的过程中要重视对探索性问题的专题练习,题型要多样化,题目涉及的知识覆盖面尽量广一些,难度由浅入深;〔2〕近几年高考探索性问题重点出在函数、数列、不等式、立体几何和解析几何,今年高考这些内容还是出探索性问题的热点〔特别是解做题〕,应增强对这些内容的研究；〔3〕注意总结探索性问题的解题策略.2.解题策略：解探索性问题应注意三个根本问题:认真审题,确定目标;深刻理解题意;开阔思路,发散思维,运用观察、比拟、类比、联想、猜测等带有非逻辑思维成分的合理推理,以便为逻辑思维定向.方向确定后,又需借助逻辑思维,进行严格推理论证,这两种推理的灵活运用,两种思维成分的交织融合,便是处理这类问题的根本思想方法和解题策略解决探索性问题,对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求,高考题中一般解这类问题有如下方法：(1)直接法：直接从给出的结论入手,寻求成立的充分条件；直接从给出的条件入手,寻求结论；假设结论存在〔或不存在〕,然后经过推理求得符合条件的结果〔或导出矛盾〕等例1.如图,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件__________时,有A1C⊥B1D1〔注：填上你认为正确的条件即可,不必考虑所有可能的情况〕分析：此题是条件探索型试题,即寻找结论A1C⊥B1D1成立的充分条件,由AA1⊥平面A1C1以及A1C⊥B1D1〔平面A1C1的一条斜线A1C与面内的一条直线B1D1互相垂直〕,容易联想到三垂线定理及其逆定理.因此,欲使A1C⊥B1D1,只需B1D1与CA1在平面A1C1上的射影垂直即可.显然,CA1在平面A1C1上的射影为A 1C 1,故当B 1D 1⊥A 1C 1时,有A 1C ⊥B 1D 1,又由于直四棱柱的上、下底面互相平行,从而B 1D 1∥BD,A 1C 1∥AC.因此,当BD ⊥AC 时,有A 1C ⊥B 1D 1.由于此题是要探求使A 1C ⊥B 1D 1成立的充分条件,故当四边形ABCD 为菱形或正方形时,依然有BD ⊥AC,从而有A 1C ⊥B 1D 1,故可以填：①AC ⊥BD 或②四边形ABCD 为菱形,或③四边形ABCD 为正方形中的任一个条件即可.点评: AC⊥BD 是结论A 1C⊥B 1D 1成立的充要条件,而所填的ABCD 是正方形或菱形那么是使结论A1C⊥B 1D 1成立的充分而不必要的条件． 本例中,满足题意的充分条件不唯一,具有开放性特点,这类试题重在考查根底知识的灵活运用以及归纳探索水平.例2.〔2000年全国高测试题〕如图,E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1和面BCC 1B 1的中央,那么四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是_____________〔要求把可能的图形的序号都填上〕分析：此题为结论探索型的试题,要求有一定的空间想象水平.解：由于正方体的6个面可分为互为平行的三对,而四边形BFD 1E 的在互为平行的平面上的射影相同,因此可把问题分为三类：a ：在上、下两面上的射影为图②；b ：在前、后两面上的射影为图②；c ：在左、右两面上的射影为图③.综上可知,在正方体各面上的射影是图②或图③.点评：这也是一道结论探索型问题,结论不唯一,应从题设出发,通过分类以简化思维,再利用射影的概念,得到正确的结论.例3.函数1)(2++=ax c bx x f (a ,c ∈R ,a ＞0,b 是自然数〕是奇函数,f (x )有最大值21,且f (1)＞52.〔1〕求函数f (x )的解析式；〔2〕是否存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点,并且使得P 、Q 两点关于点〔1,0〕对称,假设存在,求出直线l 的方程,假设不存在,说明理由.分析:此题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的水平. 解：〔1〕∵f (x )是奇函数∴f (–x )=–f (x ),即1122++-=++-ax c bx ax c bx ,∴–bx +c =–bx –c ,∴c =0∴f (x )=12+ax bx .由a ＞0,b 是自然数得当x ≤0时,f (x )≤0, 当x ＞0时,f (x )＞0,∴f (x )的最大值在x ＞0时取得. ∴x ＞0时,22111)(b a bx x b a x f ≤+=当且仅当bx x b a 1= 即a x 1=时,f (x )有最大值21212=b a ∴2b a =1,∴a =b 2 ① 又f (1)＞52,∴1+a b ＞52,∴5b ＞2a +2 ② 把①代入②得2b 2–5b +2＜0解得21＜b ＜2,又b ∈N ,∴b =1,a =1,∴f (x )=12+x x 〔2〕设存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点,且P 、Q 关于点〔1,0〕对称,P (x 0,y 0)那么Q 〔2–x 0,–y 0),∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=+020002001)2(21y x x y x x ,消去y 0,得x 02–2x 0–1=0解之,得x 0=1±2,∴P 点坐标为(42,21+)或(42,21--) 进而相应Q 点坐标为Q 〔42,21--〕或Q (42,21+). 过P 、Q 的直线l 的方程：x –4y –1=0即为所求.点评：充分利用题设条件是解题关键.此题是存在型探索题目,注意在假设存在的条件下推理创新,假设由此导出矛盾,那么否认假设,否那么,给出肯定的结论,并加以论证. 〔2〕观察——猜测——证实例4.观察sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°=43,sin 215°+cos 245°+sin15°cos45°=43, 写出一个与以上两式规律相同的一个等式 . 答案：sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=43 例5.〔2022高考上海卷〕数列}{n a 〔n 为正整数〕是首项是a 1,公比为q 的等比数列.〔1〕求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-〔2〕由〔1〕的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论,并加以证实.〔3〕设q ≠1,S n 是等比数列}{n a 的前n 项和,求：n n n n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-++-+-解:〔1〕.)1(33,)1(231312111334233132031212111223122021q a q a q a q a a C a C a C a C a q a q a q a a C a C a C a -=-+-=-+--=+-=+-〔2〕归纳概括的结论为：假设数列}{n a 是首项为a 1,公比为q 的等比数列,那么 nn n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n q a C q C q C q qC C a C q a C q a C q a qC a C a C a C a C a C a C a n q a C a C a C a C a C a )1(])1([)1()1(:.,)1()1(13322101133122111011342312011134231201-=-++-+-=-++-+-=-++-+--=-++-+-++ 证明为正整数〔3〕由于,111qq a a S nn --=.)1(1])1([1])1([11)1(111)1(133221013210111123111211011134231201n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n q q q a C q C q C q qC C q q a C C C C C qa C qq a a C q q a a C q q a a C q q a a C S C S C S C S C S --=-++-+----++-+--=---++--+-----=-++-+-++ 所以 例6.由以下各式：112111123111111312345672111122315>++>++++++>++++>你能得出怎样的结论,并进行证实.分析：对所给各式进行比拟观察,注意各不等式左边的最后一项的分母特点：1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,…,一般的有2n -1,对应各式右端为一般也有2n . 解：归纳得一般结论 *1111()23212n n n N ++++>∈- 证实：当n=1时,结论显然成立. 当n ≥2时, 3333111111111111()()2321244222211111111()()2222222222n n n n n n n n n n ++++>+++++++++-++++-=-=+->故结论得证.〔3〕特殊—一般—特殊：其解法是先根据假设干个特殊值,得到一般的结论,然后再用特殊值解决问题.例7.设二次函数f(x)=ax 2+bx+c (a,b,c ∈R,a ≠0)满足条件：①当x ∈R 时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x ；②当x ∈(0,2)时,f(x)≤2)21(+x ③f(x)在R 上的最小值为0.求最大值m(m>1),使得存在t ∈R,只要x ∈[1,m],就有f(x+t)≤x分析：此题先根据题设求出函数f 〔x 〕解析式,然后假设t 存在,取x=1得t 的范围,再令x=m 求出m 的取值范围,进而根据t 的范围求出m 的最大值.解法一：∵f(x -4)=f(2-x),∴函数的图象关于x= -1对称∴12-=-a b 即b=2a 由③知当x= -1时,y=0,即a -b+c=0；由①得 f(1)≥1,由②得 f(1)≤1.∴f(1)=1,即a+b+c=1,又a -b+c=0∴a=41 b=21 c=41 ,∴f(x)=4121412++x x 假设存在t ∈R,只要x ∈[1,m],就有f(x+t)≤x 取x=1时,有f(t+1)≤1⇒41(t+1)2+21(t+1)+41≤1⇒-4≤t ≤0 对固定的t ∈[-4,0],取x=m,有f(t +m)≤m ⇒41(t+m)2+21(t+m)+41≤m ⇒m 2-2(1-t)m+(t 2+2t+1)≤0 ⇒t t 41---≤m ≤t t 41-+- ∴m ≤t t 41--≤)4(4)4(1-⋅-+--=9当t= -4时,对任意的x ∈[1,9],恒有f(x -4)-x=41(x 2-10x+9)=41(x -1)(x -9)≤0 ∴m 的最大值为9.解法二：∵f(x -4)=f(2-x),∴函数的图象关于x=-1对称∴ 12-=-ab b=2a 由③知当x= -1时,y=0,即a -b+c=0；由①得 f(1)≥1,由②得 f(1)≤1∴f(1)=1,即a+b+c=1,又a -b+c=0∴a=41 b=21 c=41∴f(x)=4121412++x x =41(x+1)2 由f(x+t)=41(x+t+1)2≤x 在x ∈[1,m]上恒成立 ∴4[f(x+t)-x]=x 2+2(t-1)x+(t+1)2≤0当x ∈[1,m]时,恒成立令 x=1有t 2+4t ≤0⇒-4≤t ≤0令x=m 有t 2+2(m+1)t+(m-1)2≤0当t ∈[-4,0]时,恒有解令t= -4得,m 2-10m+9≤0⇒1≤m ≤9即当t= -4时,任取x ∈[1,9]恒有f(x-4)-x=41(x 2-10x+9)=41(x -1)(x -9)≤0 ∴ m min =9点评：此题属于存在性探索问题,处理这道题的方法就是通过x 的特殊值得出t 的大致范围,然后根据t 的范围,再对x 取特殊值,从而解决问题.〔4〕联想类比例8.在平面几何里,有勾股定理：“设△ABC 的两边AB,AC 互相垂直,那么AB 2+AC 2=BC 2〞拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直,那么2222BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++.〞例9.假设数列{a n }是等差数列,数列{b n }满足b n =*12()n a a a n N n +++∈,那么{b n }也为等差数列.类比上述性质,相应地,假设数列{c n }是等比数列,且c n >0,数列{d n }满足d n = ,那么数列{d n }也为等比数列. 答案：d n 2n c 〔n ∈N *〕 例10.(2022年上海市春季高考题〕设()22f x =+利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法,可求得(5)(4)(3)(0)(5)(6)f f f f f f -+-+-+++++的值是分析：利用f 〔1-x 〕+f 〔x 〕可求(5)(4)(3)(0)(5)(6)f f f f f f -+-+-+++++=〔5〕赋值推断例11.〔2022年高考上海卷16〕某地2022年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下假设用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,那么根据表中数据,就业形势一定是〔 B 〕A ．计算机行业好于化工行业B ．建筑行业好于物流行业.C ．机械行业最紧张.D ．营销行业比贸易行业紧张例12.〔2022年高考江苏卷〕二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的局部对应值如下表：那么不等式ax 2+bx+c>0的解集是),3()2,(+∞--∞ .〔6〕几何意义法几何意义法就是利用探索性问题的题设所给的数或式的几何意义去探索结论,由于数学语言的抽象性,有些探索性问题的题设表述不易理解,在解题时假设能积极地考虑题设中数或式的几何意义所表达的内在联系,巧妙地转换思维角度,将有利于问题的解决. 例13.设x 、y 为实数,集合A ＝{(x,y )|y 2―x ―1=0},B={{(x,y)|16x 2+8x ―2y+5=0}, C={(x,y)|y ＝kx+b},问是否存在自然数k,b 使〔A ∪B 〕∩C ＝φ？分析：此题等价于是否存在自然数k,b,使得直线y ＝kx+b 与抛物线y 2―x ―1=0和16x 2+8x ―2y+5=0都没有交点.解：由于抛物线y 2―x ―1=0和16x 2+8x ―2y+5=0在y 轴上的截距分别为1、52,所以取b=2,由221y kx y x =+⎧⎨=+⎩无实数解,得11k <<,从而k=1, 此时方程组225842y kx y x x =+⎧⎪⎨=++⎪⎩无实数解.故存在k=1,b=2满足〔A ∪B 〕∩C ＝φ. 点评：与集合运算有关的一类探索性问题,它的题设往往都具有鲜明的几何意义.四、高考命题展望随着以培养学生的创新精神和实践水平为重点的素质教育的深入开展和新课程改革的不断深入,高考命题将更加关注“探索性问题〞．从最近几年来高考中探索性问题逐年攀升的趋势,可预测探索性问题仍将是高考命题“孜孜以求的目标〞．我们认为进行探索性问题的练习,是数学教育走出困境的一个好方法．由于数学开放探索题有利于学生创新意识的培养和良好思维品质的形成,它越来越受到教育界人士的关注和深入研究,在高考中起着愈来愈重要的作用．我们预测：1.从2000年～2022年的高考中,探索性问题逐年攀升的趋势,可预测今后将会加大开放探索性考题的力度．2.在2022年和2022年连续两年高考题中〔特别是上海市高考题〕,出现以解析几何、立体几何和函数为背景的结论开放型探索性的解做题,说明这类题型仍将是高考解做题的重点．3.设计开放探索题,能考查学生的创新意识,特别应鼓励学生创新性的解答,这就反映学生的创新意识,应该很好鼓励．4.将在方法型开放探索题中有所突破,用非常规的解题方法,或者指定两种以上方法解同一个问题,或者在题设或结论开放型的问题中解决方法也具有一定的开放性问题,都可能在高考中出现．2022-3-24。

吴遵民 | 华东师范大学基础教育改革与发展研究所教授高考这十年：改革中探索，创新中前行高考是国家选拔人才的重要制度，其导向性、引领性和选拔性等重要功能不言而喻。

随着我国社会主义建设事业的深入发展以及教育现代化进程的不断推进，其重要性亦在不断显现，其中尤其反映在教育公平理念的普及、教育质量水平的提升乃至强国方针的贯彻等一系列重要领域。

然而长期以来，“文理分科”“一考定终身”以及“千军万马过独木桥”的功利主义“选才”模式亦饱受诟病，由此而引发的学生课业负担过重、“内卷”以及教育生态严重恶化的弊端更是层出不穷，以至于有学者发出了“百年之前的科举考试已告废除，百年之后的科举精神又死灰复燃”的强烈忧虑。

对此，如何克服高考弊端、推进制度的深化改革，已然成为当下必须予以解决的重要命题。

新高考：新内涵、新导向与新模式纵观这十年的高考改革路，可以发现其大致经历了初期酝酿、试点推行、深化巩固与全面铺开的过程，其发展进程不仅深刻影响了基础教育的实践样态，还为深化教育体制改革赋予了新的内涵、新的导向与新的模式。

发布于2010年的《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020年)》就曾明确提出要“完善高等学校考试招生制度”的方针，这一文件精神意味着一场以纠偏“人”“才”分离考核评价模式为目的的改革开始进入了酝酿阶段。

2012年，中国共产党第十八次代表大会接着提出了应“把立德树人作为教育根本任务”的指示，上述中央方针不仅催化了教育改革要破解“应试教育”“题海战术”“分数至上”等怪圈，而且还开始把高考改革的重点回归到关注学生综合素养的培养以及重视提升生命品质的高度。

2014年国务院又出台了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，要求进一步改进招生计划分配方式、改革考试形式和内容、改革招生录取机制、改革监督管理体制等，由此开启了高考综合改革试点的进程。

在此精神指引下，上海市与浙江省先后出台高考综合改革试点方案，于是一场以“减负”、重视素养教育以及全面实施“综合素质招生”的新高考改革正式拉开了帷幕。

专题 探索性问题【考点聚焦】考点1：对条件和结论的探索．考点2：猜想、归纳、证明问题．考点3：探索存在型问题．考点4：命题组合探索性问题．【自我检测】探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备．要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括．它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求．它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程．（以问题的形式考查学生对必须要具备的知识，对必须具备知识的友情提示）【重点∙难点∙热点】问题1：条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件．在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．例1．例1．（02年上海）设函数)(,2sin )(t x f x x f +=若是偶函数，则t 的一个可能值是 ．分析与解答：∵是偶又)().22sin()(2sin )(t x f t x t x t x f ++=+=+函数 ∴ )22sin()22sin()()(t x t x t x f t x f +-=++-=+即．由此可得)(2)22(222222Z k k t x t x k t x t x ∈++--=+++-=+πππ或 ∴)(412Z k k t ∈+=π 点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力．演变1：(05年浙江)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kP A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．(Ⅰ)求证：OD ∥平面P AB ； (Ⅱ)当k ＝21时，求直线P A 与平面PBC 所成角的大小； (Ⅲ) 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？A B C D OP点拨与提示：(Ⅱ)找出O 点在平面PBC 内的射影F ，则∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角． 又OD ∥PA ，∠ODF 即为所求；(Ⅲ)若F 为PBC 的重心，得B 、F 、D 共线，进一步得BD ⊥PC ，故PB=BC ，得k=1．问题2：结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．例2．（04年上海）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组．（写出所有符合要求的组号）．①S 1与S 2；②a 2与S 3；③a 1与a n ；④q 与a n ．(其中n 为大于1的整数，S n 为{}n a 的前n 项和．)思路分析：研究能否由每一组的两个量求出{}n a 的首项和公比．解：（1）由S 1和S 2，可知a 1和a 2．由q a a =12可得公比q ，故能确定数列是该数列的“基本量”．（2）由a 2与S 3，设其公比为q ，首项为a 1，可得211132112,,q a q a a S qa a q a a ++=== ∴q a a qa S 2223++=，∴0)(23222=+-+a q S a q a 满足条件的q 可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列{}n a 的基本量．（3）由a 1与a n ，可得1111,a a q q a a n n n n ==--，当n 为奇数时，q 可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量．（4）由q 与a n ，由1111,--==n n n n qa a qa a 可得，故数列{}n a 能够确定，是数列{}n a 的一个基本量．故应填①、④评注：本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义．如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解．演变2：某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元．（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；(3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(Ⅰ)当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；(Ⅱ)当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由．点拨与提示：从第二年开始，每年所需维修、保养费用构成一个等差数列，x 年的维修、保养费用总和为42)1(12⨯-+x x x ，求出x 与y 之间的函数关系． 问题3：存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用． 例3： ( 06年湖南）已知椭圆C 1:22143x y +=，抛物线C 2:2()2(0)y m px p -=>，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点．(Ⅰ)当AB ⊥x 轴时，求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上； (Ⅱ)是否存在m 、p 的值，使抛物线C 2的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由．思路分析：(Ⅱ)中，分别将直线方程)1(-=x k y 与椭圆、抛物线的方程联立，22438k k +＝2221)2(k k p x x +=+，再由)(214)212()212(2121x x x x +-=-+-＝1212()()22p p AB x x x x p =+++=++得34124)(2342221+-=+-=k k x x p 可到k 的值．解 （Ⅰ）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x =1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）． 因为点A 在抛物线上，所以p 249=，即89=p ． 此时C 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上． （Ⅱ）：假设存在m 、p 的值使2C 的焦点恰在直线AB 上． 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y ． 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ． ① 设A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）， （x 2，y 2），则x 1，x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝22438k k +．由⎩⎨⎧-==-)1(2)(2x k y px m y 消去y 得px m k kx 2)(2=--，②∵C 2的焦点),2(m p F '在直线)1(-=x k y 上，所以)12(-=p k m ，代入②得04)2(22222=++-p k x k p x k ③ 由于x 1，x 2是方程③的两根，∴ 2221)2(k k p x x +=+，从而 22438k k +=22)2(k k p + ④ 因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是过C 2所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且 1212()()22p p AB x x x x p =+++=++． 从而121214()2x x p x x ++=-+． 所以34124)(2342221+-=+-=k k x x p 解得6,62±==k k 即，此时34=p ． 因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=． 即3636-==m m 或． 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ；当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y ． 点评：“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行．“不存在”就是没有，找不到．这类问题常用反证法加以认证．“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由．这类问题常用“肯定顺推”．演变3：（06年福建）已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+（I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t（II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．点拨与提示：(I)讨论f(x)对称轴x=4与区间[],1t t +的位置关系；(II)转化为()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点， 利用导数分析函数 ()()()x g x f x φ=-的极值情况．问题4：条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题．此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段．一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求．应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力．例4 （99年全国）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 ．思路分析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证．解：依题意可得以下四个命题：(1)m ⊥n ， α⊥β， n ⊥β⇒ m ⊥α；(2)m ⊥n ， α⊥β， m ⊥α⇒n ⊥β；(3)m ⊥α， n ⊥β， m ⊥α⇒ α⊥β；(4)α⊥β，n ⊥β，m ⊥α⇒m ⊥n ．不难发现，命题(3)、(4)为真命题，而命题(1)、(2)为假命题．故填上命题(3)或(4)． 点评：本题的条件和结论都 不是固定的，是可变的，所以这是一道条件开放结论也开放的全开放性试题，本题可组成四个命题，且正确的命题不止一个，解题时不必把所有正确的命题都找出，因此本题的结论也是开放的．演变4：6．（05福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = ．（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）五、规律探究型这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高． 例5：（06年上海春）已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）．（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列． 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？思路分析：()22203011010d d d a a ++=+=，()323304011010d d d d a a +++=+=， ()4324405011010d d d d d a a ++++=+=，由此得到()n n d d a +++=+ 110)1(10 解：（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a ． （2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ， 当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞．（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列． 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=，依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n n n当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等． 演变5：在等差数列{a n }中，若a 10=0，则有等式a 1+ a 2+…+ a n = a 1+ a 2+…+ a n-19(n<19，n ∈N)成立．类比上述性质，相应地在等比数列{ b n }中，若b 9=1，则有等式___________成立． 点拨与提示：分析所给等式的性质：项数之和为n +(19－n)=19(定值)，19与a 10的序号关系为：2⨯10－1=19；由此得相应等式．专题小结1、 条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可变换思维方向，将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．2、 结论探索型问题，先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．3、条件重组型问题，通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．4、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高．5、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高．【临阵磨枪】一．选择题1．(05年江西)123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ ）A 4项B 3项C 2项D 1项2．(05天津)设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 （ ）A l m l ⊥=⋂⊥,,βαβαB γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC αγβγα⊥⊥⊥m ,,D αβα⊥⊥⊥m n n ,,3． （05年山东）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 44．(05湖北)如图，在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，点E 、F 、H 、 K 分别为AC ′、CB ′、A ′B 、B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心． 从K 、H 、G 、B ′中取一点作为P ， 使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为 （ ）A KB HC GD B ′5．（06年湖北卷）已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m （C ）A 2-B 1-C 1D 46．（06年陕西）已知不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 （ ）Ａ 2 Ｂ 4 C 6 D 87．（06年安徽卷）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A 2-B 2C 4-D 48．（04年北京）已知三个不等式：0,0,0>->->bd a c ad bc ab （其中a ，b ，c ，d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）A 0B 1C 2D 3二．填充题9．(05年山东）设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的最大的点(,)x y 是_______________．10．(05湖南文)已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//．（i ）当满足条件 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 时，有β⊥m ． （填所选条件的序号）11．（02年全国理）已知函数221)(x x x f +=，那么 ___________.111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++=12．设函数)22,0)(sin()(πϕπωϕω<<->+=x x f ，给出以下四个结论：①它的图象关于直线12π=x 对称；②它的图象关于点()0,3π对称；③它的周期是π；④在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π上是增函数． 以其中两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______三．计算题13．（05江西卷）已知向量x f x x x x ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ． 是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之．14．（05湖北理）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD的中点．（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离．15． （06年湖北卷）已知二次函数()x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为()26-='x x f ．数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,N n S n n ∈均在函数()x f y =的图像上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列()n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有*N n ∈都成立的最小正整数m ．16． （06年湖北）如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，p 是侧棱1CC 上的一点，m CP =．（Ⅰ）试确定m ，使得直线AP 与平面11B BDD 所成角的正切值为23；（Ⅱ）在线段11C A 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，Q D 1在平面1APD 上的射影垂直于AP ．并证明你的结论．17．（05年广东卷）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO BO ⊥（如图４所示）．（Ⅰ）求AOB ∆得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．18．（02年上海）．规定()()11!mx x x x m C m --+= ，其中x R ∈，m 是正整数，且01x C =，这是组合数m n C （n ，m 是正整数，且m n ≤）的一种推广．（Ⅰ）求515C -的值； （Ⅱ）组合数的两个性质：①mn m n n C C -=；②11m m m nn n C C C -++=是否都能推广到（x R ∈，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（Ⅲ）我们知道，组合数m n C 是正整数．那么，对于m x C ，x R ∈，m 是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些m xC R ∈成立的例子吗？ 参考答案：1．B 提示：123)(x x +的展开式为12412236121212t t t t t t t t C C x C x -++-==，因此含x 的正整数次幂的项共有3项．选B2．D 提示：A 选项：缺少条件m α⊂；B 选项：当//,αββγ⊥时，//m β；C 选项：当,,αβγ两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m βγ= 时，m β⊂；D 选项：同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题．本题答案选D3． B 提示：直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '：2x +y －2=0，该直线与椭O图4圆相交于A (1， 0)和B (0， 2)，P 为椭圆上的点，且PAB ∆的面积为12，则点P 到直线l ’的距离为，所以在它们之间一定有两个点满足条件，而在直线的上方，与2x +y －2=0平行且与椭圆相切的直线，切点为Q (22，2)，该点到直线的距离小于5，所以在直线上方不存在满足条件的P 点 4．C 提示：用排除法．∵AB ∥平面KEF ，A B ''∥平面KEF ，B B '∥平面KEF ，AA '∥平面KEF ，否定(A)，AB ∥平面HEF ，A B ''∥平面HEF ，AC ∥平面HEF ，A C ''∥平面HEF ，否定(B)，对于平面GEF ，有且只有两条棱AB ，A B '' 平面GEF ，符合要求，故(C)为本题选择支．当P 点选B '时有且只有一条棱AB ∥平面PEF ．综上选(C)5．C ． 提示：由()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 的坐标位置知，ABC ∆所在的区域在第一象限，故0,0x y >>．由my x z +=得1z y x m m =-+，它表示斜率为1m-． （1）若0m >，则要使my x z +=取得最小值，必须使z m最小，此时需11331AC k m --==-，即=m 1；（2）若0m <，则要使my x z +=取得最小值，必须使z m最小，此时需11235BC k m --==-，即=m 2，与0m <矛盾． 综上可知，=m 1．6．B 提示： a a yax x y a y a x y x 211)1)((++≥+++=++，∴a a 21++≥9，a ≥4． 7．D 提示：椭圆22162x y +=的右焦点为(2，0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2，0)，则4p =，故选D ．8．D 提示：若0,0,0>-=->->abadbc b d a c ad bc ab 则， ∴00,0>-⇒>->b d a c ad bc ab ，若0,0,0>->->abadbc b d a c ab 则0,0,00,0,000,0,0>⇒>->->∴>->->->-⇒>->>-∴ab bda c ad bc ab abadbc b d a c ad bc ad bc bda c ab ad bc 即则若即 故三个命题均为真命题，选D ．9． ()2,3 提示：由图在坐标平面上画出可行域，研究目标函数的取值范围．可知，在(2， 3) 点目标函数65z x y =+取得最大值． 10．③⑤ ， ②⑤ 提示：[解析]:由线面平行关系知:αα,⊂m ∥β可得m ∥β; 由线面垂直关系得:αα,⊥m ∥ββ⊥m 可得,11．27 提示：考察函数可发现左式构成规律：1)21()(=+f x f ，于是立得结论为27．若直接代入费力又费时．12．答：①③⇒②④或②③⇒①④ 13．解：)42tan()42tan()42sin(2cos 22)(πππ-+++=⋅=x x x x x f12cos 22cos 2sin 22tan112tan 2tan 12tan1)2cos 222sin 22(2cos 222-+=+-⋅-+++=x x x x xx x x x x .cos sin x x +=x x x x x f x f x f x f sin cos cos sin )()(:,0)()(-++='+='+即令.0cos 2==x.0)()(],,0[2,2='+∈==x f x f x x 使所以存在实数可得πππ14．解：（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角．在△AOE中，AO=1，OE=,2721=PB ,2521==PD AE∴.1473127245471cos =⨯⨯-+=EOA 即AC 与PB 所成角的余弦值为1473． （Ⅱ）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则6π=∠ADF ．连PF ，则在Rt △ADF 中.33tan ,332cos ====ADF AD AF ADF AD DF设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC ，从而NE ⊥面PAC ． ∴N 点到AB 的距离121==AP ，N 点到AP 的距离.6321==AF 15． 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ，则 f`(x)=2ax+b ，由于f`(x)=6x －2，得a=3 ， b=－2， 所以 f(x)＝3x 2－2x ．又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n ． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5． 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ， 故T n ＝∑=ni i b 1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）． 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m ，必须且仅须满足21≤20m，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10．16． 解法1：（Ⅰ）连AC ，设AC 与BD 相交于点O ，AP 与平面11BDD B 相交于点，，连结OG ，因为PC ∥平面11BDD B ，平面11BDD B ∩平面APC ＝OG ，故OG ∥PC ，所以，OG ＝21PC ＝2m． 又AO ⊥BD ，AO ⊥BB1，所以AO ⊥平面11BDD B ，故∠AGO 是AP 与平面11BDD B 所成的角．在Rt △AOG 中，tan ∠AGO ＝23222==m GOOA，即m ＝31．所以，当m ＝31时，直线AP 与平面11BDD B所成的角的正切值为 （Ⅱ）可以推测，点Q 应当是A I C I 的中点O 1，因为D 1O 1⊥A 1C 1， 且 D 1O 1⊥A 1A ，所以 D 1O 1⊥平面ACC 1A 1，又AP ⊂平面ACC 1A 1，故 D 1O 1⊥AP ．那么根据三垂线定理知，D 1O 1在平面APD 1的射影与AP 垂直． 解法二：(本题也可用空间向量来求解)17．解：（I ）设△AOB 的重心为G(x ，y)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x …（1）∵OA ⊥OB ∴1-=⋅OB OA k k ，即12121-=+y y x x ， (2)又点A ，B 在抛物线上，有222211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y （II ）O22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆ 由（I ）得12212)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=∆x x x x S AOB 当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时，等号成立． 所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1； 18．解：（Ⅰ）()()()515151619116285!C ----==- ．（Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义．从这个角度很快可以看出：性质①不能推广．例如当x =但1无意义．性质②如果能够推广，那么，它的推广形式应该是：11m m mx x x C C C -++=，其中x R ∈，m 是正整数．类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论．事实上，当1m =时，10111x x x C C x C ++=+=．当2m ≥时， ()()()()()()()()()()()111112!1!121 11!121 !m m x x m x x x x m x x x m C C m m x x x m x m m m x x x m x m C -+--+--++=+---+-+⎛⎫=+⎪-⎝⎭--++==由此，可以知道，性质②能够推广．（Ⅲ）从m x C 的定义不难知道，当x Z ∉且0m ≠时，mxC Z ∈不成立，下面，我们将着眼点放在x Z ∈的情形．先从熟悉的问题入手．当x m ≥时，m x C 就是组合数，故mx C Z ∈．当x Z ∉且x m <时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（mx C ，x Z ∉且x m <）与已知的结论mnC Z ∈相联系？ 一方面再一次考察定义：()()11!m xx x x m C m --+= ；另一方面，可以从具体的问题入手．由（Ⅰ）的计算过程不难知道：551519C C -=-．另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论．因此，将515C -转化为519C 可能是问题解决的途径．事实上，当0x <时，()()()()()()()1111111!!m m mmx x m x x x m x m x x C C m m -+---+-+--+-==-=- ．①若1x m m -+-≥，即1x ≤-，则1m x m C -+-为组合数，故mx C Z ∈．②若1x m m -+-<，即0x m ≤<时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：43C ＝0……，可以猜想，此时0mx C Z =∈．这个结论不难验证．事实上，当0x m ≤<时，在,1,,1x x x m --+ 这m 个连续的整数中，必存在某个数为0．所以，0m x C Z =∈．综上，对于x Z ∈且m 为正整数，均有mx C Z ∈．【挑战自我】直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝23，BC ＝21．椭圆C 以A 、4B 为焦点且经过点D ．（1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程； （2）若点E 满足21=AB ，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且||||NE ME =，若存在，求出直线l 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由． 讲解：（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系，⇒A （-1，0），B （1，0）设椭圆方程为：12222=+by a x令c b y C x 20=⇒= ∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==322312b a a b C ∴ 椭圆C 的方程是：13422=+y x （2）0(21E ⇒=，)21，l ⊥AB 时不符， 设l ：y ＝kx ＋m （k ≠0）由 01248)43(13422222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx yM 、N 存在⇒ 0)124()43(46402222>-+-⇒>⋅m k m k 2234m k ≥+⇒设M （1x ，1y ），N （2x ，2y ），MN 的中点F （0x ，0y ） ∴ 22104342kkmx x x +-=+=，200433k m m kx y +=+= 243143421433121||||22200k m k k km k m k x y EF MN NE ME +-=⇒-=+--+⇒-=-⇒⊥⇒=∴222)243(34k k +-≥+ ∴4342≤+k ∴102≤<k ∴11≤≤-k 且0≠k ∴ l 与AB 的夹角的范围是0(，]41．【答案及点拨】演变1：(Ⅰ)∵O 、D 分别为AC 、PC 的中点：∴OD ∥PA ，又AC ⊂平面PAB ，∴OD ∥平面PAB ．(Ⅱ)∵AB ⊥BC ，OA=OC ，∴OA=OC=OB ，又∵OP ⊥平面ABC ，∴PA=PB=PC ．取BC 中点E ，连结PE ，则BC ⊥平面POE ，作OF ⊥PEABCDOP于F ，连结DF ，则OF ⊥平面PBC∴∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角．又OD ∥PA ，∴PA 与平面PBC 所成角的大小等于∠ODF ． 在Rt △ODF 中，sin ∠ODF=30OF OD =，∴PA 与平面PBC 所成角为(Ⅲ)由(Ⅱ)知，OF ⊥平面PBC ，∴F 是O 在平面PBC 内的射影．∵D 是PC 的中点，若F 是△PBC 的重心，则B 、F 、D 三点共线，直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD ，∵OB ⊥PC ．∴PC ⊥BD ，∴PB=BC ，即k=1．反之，，当k=1时，三棱锥O-PBC 为正三棱锥，∴O 在平面PBC 内的射影为△PBC 的重心．演变2：（1）98]42)1(12[50-⨯-+-=x x x x y =984022-+-x x ． （2）解不等式 984022-+-x x ＞0， 得 5110-＜x ＜5110+．∵ x ∈N ， ∴ 3 ≤x ≤ 17．故从第3年工厂开始盈利． （3）(I ) ∵）xx x x x y 982(4098402+-=-+-=≤40129822=⨯- 当且仅当xx 982=时，即x=7时，等号成立．∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元． (Ⅱ) y=－2x 2+40x －98= －2（x －10）2 +102， 当x=10时，y max =102． 故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元．演变3：（I ）22()8(4)16.f x x x x =-+=--+ 当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增，22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f ==当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，2()()8.h t f t t t ==-+综上，2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩ （II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．22()86ln ,62862(1)(3)'()28(0),x x x x m x x x x x x x x x xφφ=-++-+--∴=-+==> 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当1,x =或3x =时，'()0.x φ=7m (1))(-==φφ极大值x ，15ln36m (3))(-+==φφ极小值x 当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ> ∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70,()6ln 3150,x m x m φφ=->⎧⎪⎨=+-<⎪⎩最大值最小值 即7156ln 3.m <<- 所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,156ln 3).-演变4：①x 轴，x 2log 3-- ②y 轴，)(log 32x -+③原点，)(log 32x --- ④直线32,-=x x y演变5：首先等差数列{a n }具有性质：所给等式两边为和式，项数之和为n +(19－n)=19(定值)，19与a 10的序号关系为：2⨯10－1=19；类比上述性质，等比数列{b n }应有：等式两边为积式，项数之积为 x (定值)，由于b 9=1，x 与b 9的序号关系为 2⨯9－1=17= x ，故应填入的等式为：b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17- n (n <17，n ∈N)．。

新高考实施中的困惑与探索近年来，新高考改革在全国范围内逐步推进，这一改革旨在打破传统高考的模式，为学生提供更多的选择和发展机会。

然而，在新高考的实施过程中，也不可避免地出现了一些困惑和问题，需要我们不断地探索和解决。

新高考改革带来的最大变化之一就是选科制度的推行。

学生不再被固定在文科或理科的框架内，而是可以根据自己的兴趣、特长和未来规划自主选择科目组合。

这无疑是一种进步，但也给学生和家长带来了不小的困惑。

首先，对于很多学生来说，在高中阶段就明确自己的兴趣和未来职业方向并非易事。

他们可能对各个学科的了解不够深入，对自己的能力和潜力也缺乏准确的评估，导致在选科时感到迷茫和无所适从。

其次，选科的组合众多，不同组合在高考志愿填报和未来职业发展中的优势和限制也各不相同，学生和家长需要花费大量的时间和精力去研究和比较，这无疑增加了他们的负担。

新高考模式下，课程安排和教学管理也面临着巨大的挑战。

由于学生的选科组合各不相同，学校需要打破传统的行政班级模式，实行走班制教学。

走班制在一定程度上满足了学生的个性化需求，但也给学校的教学管理带来了诸多难题。

比如，如何合理安排课程表，确保每个学生都能顺利完成所选课程的学习；如何保障教学质量，避免因走班导致学生学习进度不一致、教师对学生的关注度降低等问题；如何进行有效的班级管理，培养学生的集体荣誉感和归属感，这些都是学校需要解决的现实问题。

在新高考的评价体系方面，也存在一些困惑。

新高考强调综合素质评价，将学生的思想品德、学业水平、身心健康、艺术素养、社会实践等方面纳入评价范围。

这一评价体系的出发点是好的，但在实际操作中，如何确保评价的科学性、公正性和客观性是一个难题。

综合素质评价的标准难以统一，不同地区、不同学校之间可能存在差异，这可能会影响评价结果的公信力。

此外，综合素质评价需要收集大量的信息和数据，如何进行有效的整合和分析，也是一个亟待解决的问题。

新高考改革对教师的教学能力和专业素养也提出了更高的要求。

新高考改革的进展、挑战与政策建议随着中国社会的发展和对高等教育的需求变化，新高考改革已成为广泛关注的话题。

新高考改革是指通过改革高中阶段的学科课程设置和考试方式，旨在培养学生的综合素质和创新能力，为他们提供更加多元化和个性化的升学途径。

本文将探讨新高考改革的进展、面临的挑战，并提出相关政策建议。

一、新高考改革的进展自2014年开始，中国各地陆续开展了新高考改革试点工作。

新高考改革主要包括两个方面的内容：一是学科设置改革，强调综合素质和创新能力的培养，逐渐减少部分考试科目，增加选修科目的选择性；二是考试方式改革，改变传统高考的单一考试形式，引入多元评价手段，注重学生的实践能力和综合素质。

新高考改革试点已取得了一定的进展。

在学科设置改革方面，有的省份推出了选修课程，学生可以根据个人兴趣和特长进行选修，增加了课程的多样性。

在考试方式改革方面，有的地方开始尝试多元评价，例如通过考试、综合素质评价和面试等综合评价学生的能力。

二、新高考改革面临的挑战新高考改革面临着一系列挑战。

首先是教师培训的问题。

新高考强调学生的综合素质和创新能力，要求教师从传授知识转变为引导学生自主学习和发展个性。

然而，当前教师培训体系仍然偏重于知识传授，缺乏对教师教育能力的培养。

因此，需要加强对教师的培训和支持，提高他们的专业素质和教育教学能力。

其次是评价体系的建立。

多元评价是新高考改革的重要内容，但目前评价体系还不完善。

如何科学地评价学生的综合素质和创新能力，需要制定一套科学、公正、权威的评价标准和方法。

此外，评价体系也需要与高校录取政策相衔接，使评价结果能够在高校选拔中得到充分的认可。

第三是家长观念的转变。

传统的高考制度使家长过分关注分数，往往忽视学生的兴趣和个性发展。

新高考改革需要家长和社会逐渐摒弃“唯分数论”，转变为更加关注学生的全面发展。

这需要改变家长的观念和态度，提高他们对新高考的理解和支持。

三、政策建议为推进新高考改革，应从以下几个方面制定相应的政策：一是加强教师培训。

新高考改革实施的探索与思考全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：随着时代的发展和教育制度的不断完善，我国的高中阶段教育也在不断地进行着改革。

新高考改革是一个颇具争议的话题。

新高考改革的实施，对于提高学生的综合素质、培养学生的创新意识以及促进教育公平具有重要意义。

实施新高考改革也面临着一些挑战和困难。

本文将对新高考改革实施的探索与思考进行分析和探讨。

一、新高考改革的背景和意义新高考改革实施的背景是什么？在我国教育制度中，高考一直被视为升学的唯一途径，传统的高考模式存在着严重的应试倾向，只注重学生对知识的记忆和死记硬背，缺乏对学生综合素质和能力的培养。

在这样的背景下，推行新高考改革，试图打破传统高考取向，更加注重对学生成绩以外的多方面因素的综合评价，促进学生的全面发展。

实施新高考改革，对于提高学生的综合素质具有重要意义。

新高考改革强调素质教育，注重培养学生的创新意识、实践能力和团队合作精神，鼓励学生多方面发展，给予学生更多的选择空间。

这有助于培养学生的综合素质，提高学生的综合能力，使学生不再仅仅局限于书本知识，而能够灵活运用所学知识解决实际问题。

新高考改革的实施还有利于促进教育公平。

传统的高考模式存在着单一评价标准，没有考虑到学生的个性差异和发展需求，导致了应试教育和功利性教育的盛行。

实施新高考改革，引入多元评价方式，更加关注学生的个性差异和发展需求，减少了应试教育对学生的束缚，增加了学生的发展空间，有利于缩小教育资源的分配差距，促进教育公平。

二、新高考改革实施的探索和思考新高考改革的实施，在我国的中小学教育系统中已经取得了一定的成就，不过，也面临着一些挑战和困难。

最大的挑战来自于学校和教师的思想观念的转变。

由于长期以来高考制度的影响，教育者和学生都习惯于传统的应试教育模式，对于新高考改革的理念和要求尚未完全认同。

在实施新高考改革过程中，需要加强教育者和学生的教育意识和素质培养，引导他们适应新高考改革的要求，改变传统的教育理念和教学方式。

高中物理探索性学习课题总结引言探索性学习是一种以学生为主导，注重实践、探索和发现的学习方式。

在高中物理学习中，通过探索性学习课题可以帮助学生深入理解物理知识，提高科学素养，培养创新思维和实践能力。

本总结将对本学期的物理探索性学习课题进行回顾和总结，以期为今后的学习提供借鉴和启示。

课题一：重力加速度的测量课题背景重力加速度是物理学中的基本概念，准确测量重力加速度对于理解地球引力场和开展其他物理实验具有重要意义。

实验设计1. 准备实验器材：自由落体实验仪、计时器、尺子。

2. 进行实验：将实验仪放置在光滑的水平面上，调整计时器精度，测量物体从不同高度自由落体的时间。

3. 数据处理：根据实验数据，计算重力加速度的理论值。

实验结果与分析通过实验，我们测得重力加速度的理论值为9.81 m/s²，与标准值相符。

实验过程中，我们发现了空气阻力和测量误差等问题，并对这些因素进行了分析。

课题二：光的折射现象研究课题背景光的折射是光学的基本现象之一，研究光的折射对于理解光的传播和应用光学技术具有重要意义。

实验设计1. 准备实验器材：三棱镜、白光光源、光屏、角度计。

2. 进行实验：将白光光源通过三棱镜，观察光屏上的光谱分布。

3. 数据处理：测量不同颜色的光线在经过三棱镜后的折射角，分析折射规律。

实验结果与分析实验结果显示，不同颜色的光线在经过三棱镜后，折射角与入射角之间存在一定的关系。

我们通过对实验数据的分析，得出了光的折射规律，并探讨了折射现象的原理。

课题三：电磁感应现象研究课题背景电磁感应是电磁学的基本现象，研究电磁感应对于理解电能转换和电磁场具有重要意义。

实验设计1. 准备实验器材：蹄形磁铁、线圈、电流表、开关。

2. 进行实验：将线圈放置在蹄形磁铁的磁场中，通过开关控制磁场的变化。

3. 数据处理：观察电流表的指针偏转，分析电磁感应现象。

实验结果与分析实验结果显示，当蹄形磁铁的磁场发生变化时，线圈中会产生电流。