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第一讲一笔画问题小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。
那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。
典型例题例【 1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？（ 1）（2）（3）（4）分析图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。
经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。
图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。
图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。
通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。
由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。
相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。
再看图（ 1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。
而图（2）有 4 个奇点， 2 个偶点，不能一笔画成。
这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。
例【 2】下面各图能否一笔画成？（1）（2）（3）分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。
关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由 A B C AD C。
图中 B、D 为偶点， A、C 为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。
要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。
经过尝试，图（ 3）无法一笔画成，而图中有 4 个奇点， 5 个偶点。
解图（ 1）、（2）可以一笔画。
这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。
如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。
如果只有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。
如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。
例【 3】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？分析图（ 1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由 A 开始或由 B 开始到 B 结束或到 A 结束。
1行测一笔画问题在近几年的公务员[微博]考试中，频频出现一笔画成问题。
华图公务员考试研究中心现从三个方面对一笔画成问题做一个总结。
这三个方面分别是一笔画成的特征；一笔画成的规律以及一笔画成的真题和解析。
一、一笔画成的特征一笔画成最大的特征就是其定义，就是一个独立的图形，能从某一点开始不重复，不间断的画出来，形成整个图形。
这个图形就是一笔画成的。
所以一笔画成有两个基本特征：第一，独立性；第二，图形笔画能够冲横交错，周而复始。
公务员考试中最开始成为考题的是从视觉上比较简单的一笔画成。
其特征比较明显，主要呈现的是一个简单的封闭图形或者开放图形。
类似于以下图形：这种考法是早期一笔画成的时候经常出现的题目。
近年来的公务员考题，显然比这个复杂的多。
一般来说，比较复杂的一笔画成主要呈现多角、多线和多封闭面的特征。
比如：二、一笔画成的规律一个图形是否能够一笔画成，是由图形中奇点的个数决定的。
通常来说一个独立的图形线与线之间会有很多的交点和端点。
根据一笔画成的需要，我们把这些点定义为奇点和偶点。
任意一个交点或端点，经过这个点都有n条线，当n为奇数的时候，这个点就是奇点，当n 为偶数的时候，这个点为偶点。
一般来说，0或2个奇点的图形能够一笔画成。
比如汉字“口”，有四个交点，每个交点都是两条线相交形成的，因此都是偶点，所以这个口字就是0个奇点能够一笔画成。
再比如汉字“日”，四周四个点都是偶点，只有中间的两个点是奇点，因此也能够一笔画成。
就近年的公务员考试试题来看，根据一笔画成规则又形成了多笔画成问题。
当奇点个数是3-4的时候，图形能够两笔画成；当奇点个数是5-6的时候，图形能够三笔画成；当奇点个数是7-8的时候，图形能够四笔画成；当奇点个数是9-10的时候，图形能够五笔画成；…………三、一笔画成真题及解析我们来看三个经典例题及解析：例题1：答案：C解析：我们把题干和选项中的奇点标出来，如图：不难看出题干正好是0或2个奇点，都是一笔画成。
一笔画问题2014-7-15一笔画问题简单学习总结今天学的还是图论的内容——一笔画问题。
一笔画就是把一个无向图（或有向图）所有的边都遍历一遍且不重复走同样的边。
这个新知识的算法都是建立在几个数学性质上面的，分别如下：1、这个有向图（或无向图）必须是连通的。
这是最基本的条件。
2、每个点之间度的要求：无向图：满足①所有点的度数为偶数或者②有两个点度数为奇数，其他点度数为偶数，且这两个奇数点必须为一笔画中的开端和结尾。
有向图：满足①所有点出入度相等或者②有一个点出度比入度大1，另一个点入度比出度大1，其他点的出入度相等，且出度大的点为一笔画开端，入度大的点为一笔画结尾。
数学简单证明还是比较容易的，如果一个点度数为奇数，那么从该点出发，去到的无非就两种情况：偶点或奇点，偶点我们总可以绕一个圈回到该偶点重新出发。
奇点就到达终点了。
（圈套圈的思路）对于无向边，有一个特殊处理：无向边路过一条边后，要把它的反向边去掉。
这个过程可以用指针实现，用一个指针指向它的反向边。
或者，如果用数组来储存边时，因为反向边是同时申请的，所以它们的下标一定是相邻的，可以用异或操作得到。
下面介绍几种算法：1、圈套圈算法算法思想：每次在某个点随便找一条边，一直走，如果找到环，那么就相应地插入到一笔画的顺序中，环中若有嵌套环，那么同样地找下去。
算法实现：可以用链表实现插入之类的操作，但若用深搜回溯写的话，程序会非常简单。
就是从奇点（或任意点）出发，任意地深度遍历，如果当前点已经不能往下搜，那么就回溯看祖先节点是否有其他可以遍历的点，按回溯的顺序弹出的边，在无向图里面正反顺序都是一笔画正确解法，有向图里需要取反顺序。
算法优化：由于系统栈的空间局限性，在朴素的递归算法里面不能支持较大数据范围的题目，可以改成用stack栈模拟递归的操作，这样就不再会爆栈。
2、弗罗莱算法算法思想：首先在奇点出发，尽量先不走桥（若去掉该边图不连通，则该边为桥），先走环路。
一笔画问题
1.瑞士大数学家欧拉在七桥问题的过程中，发现了一笔画原理，这一原理被命名为“欧拉定理”：
（1）能一笔画的图形必须是连通的。
（2）凡是只由偶顶点组成的连通图形，一定可以一笔画出，画时可以由任一偶顶点为起点，最后仍回到这点。
(3)凡是只有两个奇顶点的连通图形一定可以一笔画出，画时必须以一个奇顶点为起点，以另一个奇顶点为终点。
（4）奇顶点个数超过两个的图形不能一笔画出。
2.能一笔画出的图形的奇顶点数目是2或0，如果图形有奇顶点2N（n为正整数）个，那么图形最少要用N笔画出。
一笔画的规律和特点一笔画是一种绘画游戏，玩家需要用一笔连续的画线将给定的图形绘制出来，且不能重复经过已经画过的线段。
一笔画的规律和特点主要包括以下几个方面。
1. 连续性：一笔画的最基本要求是用一笔连续的线条将图形绘制出来。
这意味着玩家在绘画过程中不能抬笔，也不能断开线条。
这种连续性要求玩家在绘画时需要提前规划好线条的走向，避免出现无法继续绘制的情况。
2. 简洁性：一笔画追求的是用尽可能少的线条将图形勾勒出来。
因此，一笔画的线条通常是直线或者简单的曲线，不会出现复杂的曲线或折线。
这种简洁性使得一笔画的图形在视觉上更加清晰明了。
3. 不重复性：在一笔画中，线条不能重复经过已经画过的路径。
这意味着玩家需要考虑绘画的顺序和方向，避免线条交叉或重叠。
这种不重复性要求玩家在绘画过程中需要灵活运用空间想象力，找到合适的路径。
4. 确定性：一笔画的图形是确定的，即给定了初始状态和结束状态，玩家需要找到一条确定的路径将初始状态转化为结束状态。
这种确定性使得一笔画成为一种有限状态机的问题，玩家需要找到一条确定的路径来完成图形的绘制。
5. 可变性：一笔画的图形可以有很多种不同的解法。
对于给定的图形，可能存在多条满足要求的绘制路径。
这种可变性使得一笔画具有一定的趣味性和挑战性，玩家可以通过尝试不同的路径来完成图形的绘制。
总结起来，一笔画的规律和特点主要包括连续性、简洁性、不重复性、确定性和可变性。
这种绘画游戏不仅培养了玩家的观察力、空间想象力和创造力，还可以锻炼玩家的逻辑思维和问题解决能力。
无论是儿童还是成年人，一笔画都是一种有趣的游戏，能够带来乐趣和挑战。
数学一笔画问题的规律
能一笔画成的图形上的点，除了起点与终点以外，每个点都应该与偶数条线相连，这种点叫偶数点。
与奇数条线相连的点叫奇数点。
能一笔画成的图形中除了起点与终点以外不应有奇数点。
一笔画问题是数学题类型名，最著名的是七桥问题（欧拉解答）。
一笔画的概念是讨论某图形是否可以一笔画出。
图形中任何端点根据所连接线条数被分为奇点、偶点。
只有所有点为偶点的图形和只有两个奇点的图形可以一笔画。
只有偶点的图形不限出发点，只有两个奇点必然从其中一点出发到另一点结束。
在任何图形中，奇点都是成对出现的，没有奇数个奇点的图形。
■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
■⒊其他情况的图都不能一笔画出。
(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。
)
非一笔划，奇数点除以2 笔画一笔画奇数点开始，另一个结束全是偶数点随便。
一笔画问题【知识要点】1.什么是一笔画：所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从定义可知，能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．2.一笔画问题相关结论：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点；(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．3.多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成．例如 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？解：奇点：J D H 偶点：A E B C G I 、F例如 判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．解：：图a 能，因为有2个奇点，图b 不能，因为图形不是连通的，图c 能，因为因为图中全是偶点【典型例题】例 1.下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？E解：要想不重复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该从奇点出发才能一笔画出图形，所以甲蚂蚁能够．例 2.判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．解：图a 不能一笔画出，因为图中有4个奇点，连结BD ，或者去掉BF 都可以使图形能一笔画出．图b 不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉KL ，或者BK 都可以使图形能一笔画出．小结：一个K (K ＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K 笔画有2K 个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点．如左下图中的B ，C 两个奇点在右下图中都变成了偶点．所以只要在K 笔画的2K 个奇点间添加(K -1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画．例3.18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a )．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？解：欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了．而图B 中有4个奇点显然不能一笔画出．例4.下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？解：将图形中的6个区域（5个展室及出入口部分）看成6个点，每个门看成连结他们的线段，显然6个点都是偶点，所以有人能一次不重复的走过所有的门．I H G FE D C B A图a H G I K L J F EDC B A图b例5.在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100米．小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？解：这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解．首先，图中有8 个奇点，在8 个奇点之间至少要去掉4 条线段，才能使这8 个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B 点，A，B 两点必须是奇点，现在A，B 都是偶点，必须在与A，B 连接的线段中各去掉1 条线段，使A，B 成为奇点．所以至少要去掉6 条线段，也就是最多能走1800 米，走法如图例6.一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？解：长方体每个顶点有三边，且同一棱不可爬两次，所以不是终点和起点的顶点只能走一次，也就是说非终点和起点的顶点上有一条边是走不了的，8个点除去终点和起点，是6个点，也就是3条边，去掉最短的3条边，所以是48；所以最长路径是6+5+6+5+4+6+5+6+5=48（分米）．由分析可知：如上图，沿A－B－G－H－A－D－C－F－E－D共走：6+5+6+5+4+6+5+6+5=48（分米）．答：小虫最多能爬48分米．练习题1.下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．2.下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？3.判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．4.如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？５.下图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？６.一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A 点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A 点时，最多能爬行多少厘米？D CHG FBA图c ECD B A。
一笔画和二笔画是常见的逻辑推理题型，通过对图形的分析和逻辑推理，来解决问题。
一笔画指的是在图形上只能画一条不离开纸面的线，将给定的图形完整地连接起来；而二笔画则是允许在图形上画两条线，也要求将给定的图形完整地连接起来。
这两种题型在考验逻辑推理和空间想象能力的也是常见的思维训练题目。
在本文中，我们将从深度和广度两个方面来全面评估一笔画和二笔画的题型及解题步骤。
一、一笔画的题型及解题步骤1.1 一笔画的概念一笔画是指在平面上不离开纸面，只能画一条线来将给定图形完整地连接起来的题型。
这种题型要求考生具备对图形结构和空间关系的理解能力，能够通过观察和分析，准确把握每个图形的结构特点和连通性，以便最终完成一笔画的挑战。
1.2 一笔画的解题步骤在解答一笔画题目时，一般可以按照以下步骤进行：- 观察分析：对给定的图形进行充分的观察和分析，理解每个图形的结构特点和连接方式。
- 找准起点：确定一笔画的起点，从图形的某一处开始，开始画线连接其他部分。
- 快速试错：尝试画线连接其他部分，如果遇到障碍无法完成，立即尝试另外的路径，直到成功为止。
1.3 一笔画的帮助意义一笔画题型对于提高逻辑推理能力和空间想象能力有着积极的帮助意义。
通过不断的练习和挑战，可以提高考生对图形结构和空间关系的把握能力，培养逻辑思维和解决问题的能力。
二、二笔画的题型及解题步骤2.1 二笔画的概念二笔画是指在平面上允许画两条线来将给定图形完整地连接起来的题型。
与一笔画相比，二笔画的挑战更加复杂，需要考生在保证连接完整性的前提下，灵活运用线条，解决更多可能出现的难点。
2.2 二笔画的解题步骤解答二笔画题目时，可以按照以下步骤进行：- 观察分析：同样需要对给定的图形进行充分的观察和分析，把握图形的结构特点和连接方式。
- 找准起点：确定两笔画的起点，并尝试找到最佳连接路径，使得最终的图形完整连接。
- 灵活变通：在尝试连接过程中，可能会遇到较为复杂的情况，需要灵活变通，尝试不同的连接方式，直到最终成功完成。
一笔画成的图形规律
一笔画的规律：
1、凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
2、凡是只有两个奇点的连通图，一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
“一笔画”是个古老的问题，欧洲人把它叫做“邮递员问题”。
邮递员面对错综复杂的城市街道，需要把邮件送达到分散在街道上的各个地方的客户手上，为了少走冤枉路，出发前需要对途经路线进行一个合理的规划，其中需要用到的知识就是“一笔画”。
1736年，欧拉证实：七桥问题的走法根本不存在。
同时，他发表了“一笔画定理”：一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件:
1、图形是联通的;
2、图形中的奇点（与奇数条边相连的点）个数为0或2；
欧拉的研究开创了数学上的新分支――图形与几何拓扑。
浅谈一笔画问题摘要：一笔画问题是一个几何问题，传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质，而存在一些几何问题，它们所研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关，比如一笔画问题就是如此。
一笔画问题是一个简单的数学游戏，即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复？例如汉字‘日’和‘中’字都可以一笔画的，而‘田’和‘目’则不能。
关键词:一笔画规律原理早在18世纪，瑞士的著名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。
欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的．但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
一笔画问题是图论中一个著名的问题。
一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。
数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题。
一般认为，欧拉的研究是图论的开端。
与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿问题。
一、一笔画规律数学家欧拉找到一笔画的规律是：（一）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
（二）凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起，，另一个奇点终点。
（三）其他情况的图都不能一笔画出。
（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成）比如附图：（a）为（1）情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。
补充：相关名词的含义◎顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指数。
◎奇顶点：指数为奇数的顶点。
◎偶顶点：指数为偶数的顶点。
二、一笔画原理(一)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(二)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(三)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(四)奇点个数超过两个的图形不是一笔画利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。
一笔画问题及解决策略一、问题提出一笔画是一个大问题，为了更好的解决这个问题，我们从生活提出一笔画问题。
我们先看一个公路检查员的问题：他为了检查几个城市之间的若干公路，希望在这些城市和公路组成的公路系统中找出一条路线，使他能不重复地恰好通过每条公路一次，而经过每个城市的次数不限。
这就是拓扑学中的数学问题。
二、问题解决（一）数学化我们把这问题数学化，以点表示城市，以弧表示公路，这样构成的网络图就表示某个简单公路系统。
（二）点线图用点线图表示四个不同的公路系统。
如图所示：（三）一笔画的含义一个图形由一笔构成叫一笔画。
对于平面图形的一笔画与多笔画问题，通常的几何方法是无能为力的，因为一个图形能否一笔画，与图形的大小、形状等几何概念都没有关系，而是与图形中线段的数目及连接关系有关，我们可以随意地将图形拉伸、压缩或弯曲，甚至在保持端点不动的前提下，还可以将某些线段“搬家”，只要图形的整体结构不变，能否一笔画的性质也就不会改变。
（四）一笔画图形的判别著名的哥尼斯堡七桥问题实质上就是一个一笔画问题。
欧拉最终证明了这个图形是不能一笔画成的，并在关于七桥问题的报告中得到了任一网络图能否一笔画的判别法则。
1.必要条件一个网络图是由有限个点和有限条曲线组成的平面图形，这些点和线分别称为网络的顶点和弧。
如果从网络的一个顶点出发，一条弧连着一条弧地把所有的弧都画出，且每条弧都只画一次，而经过每个顶点的次数不限，就称该网络能一笔画。
当一个网络能一笔画时，只有两种情形：一是开放图形，只有起点和终点的指数为奇数，其余顶点的指数均为偶数；二是封闭图形，所有顶点的指数均为偶数。
我们称指数为奇数的顶点为奇顶点，指数为偶数的顶点为偶顶点，那么当一个网络能一笔画时，奇顶点个数必为0或2，所以，连通且奇顶点的个数是0或2，是一个网络图能一笔画的必要条件。
（1）.凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
一笔画的认识和应用知识点:一笔画问题什么是一笔画问题？一个完整的图形, 可以一笔不重复的画完（点可以重复经过, 但是线不可以重复经过）。
一笔画有什么作用？用在画图, 可以节省笔墨, 节省时间；用在走路, 可以节省路程, 节省时间；..........。
（1）一笔画中的偶数点和奇数点分别是什么？（2）从一个点出发有几个方向出去或者有几条不同的线段连接, 如果是奇数个方向或者奇数条线段连接就是奇数点；如果是偶数个方向或者偶数条线段连接就是偶数点。
线段的末端也是奇数点, 且标数为“1”。
一笔画问题的条件: 必须是一个联通的图形, 即整个图形必须是一个整体。
①当所有点都是偶数点时, 可以一笔画, 以其中任何一个点为起点, 画完整个图形后最后还是回到整个点。
②当有奇数点, 且奇数点为2个的时候, 可以一笔画, 以其中一个奇数点为起点, 画完整个图形后, 以另外一个奇数点为终点。
③其它情况都不可以一笔画。
如何把两个奇数点变成两个偶数点？①把两个奇数点之间连接的线段删除或者（先不画）；或者②在两个奇数点之间再连一条线即这条线段重复走1次；一个联通的图形至少需要几笔画完？奇数点个数÷2（7）把地点缩小成点, 把桥梁, 道路, 门等转化成线段, 起到一个连接的作用。
转化为一笔画问题来解决实际问题。
例题部分字,看看奇数点和偶数点各有多少个？奇数点个数: （）个；偶数点个数: （）个。
例2. 标出图中每个点上的数字, 并数字奇数点和偶数点各有多少个, 写在下面横线上。
①②③④⑤⑥⑦①中奇数点有（）个、偶数点有（）个。
②中奇数点有（）个、偶数点有（）个。
③中奇数点有（）个、偶数点有（）个。
④中奇数点有（）个、偶数点有（）个。
⑤中奇数点有（）个、偶数点有（）个。
⑥中奇数点有（）个、偶数点有（）个。
⑦中奇数点有（）个、偶数点有（）个。
练习、标出下面图中每个点是奇数点还是偶数点, 判断可不可以一笔画。
①②③图①中奇数点有（）个, 偶数点有（）个, （）一笔画。
小升初面试第二阶段数学课程--一笔画问题第一部分 思维提升（45分钟）所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点． 一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成。
例1、我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？分析：奇点：J D H F 偶点：A E B C G I 例2、判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．图a图b图cE分析：图a 能，因为有2个奇点，图b 不能，因为图形不是连通的，图c 能，因为图中全是偶点例3、下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？分析：图1能因为图中奇点的个数只有两个，其余全是偶点，图2能因为图中全是偶点，图3不能因为有4个奇点．例4、下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？分析：第1个能，2、3不能例5、左下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．分析：不能一笔画出，因为图中有E H G F四个奇点，连结EH就可以使图形一笔画出．例6、右上图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？分析：要想不重复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该从奇点出发才能一笔画出图形，所以甲蚂蚁能够．例7、左下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？分析：要想不重复，需要路线能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以入口和出口应该分别放在两个奇点出，即F和I点．例8、右上图中邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？分析：不走重复路，一笔能画出路线图，图中有2个奇点，应该从奇点处出发，下面有一种参考路线：4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3例9、判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．F图aF ED图bH图c分析：图(1)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，连结BD ，或者去掉BF 都可以使图形能一笔画出．图(2)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉KL ，或者BK 都可以使图形能一笔画出． 图(3)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉AB 可以使图形能一笔画出．一个K (K ＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K 笔画有2K 个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点．如左下图中的B ，C 两个奇点在右下图中都变成了偶点．所以只要在K 笔画的2K 个奇点间添加(K -1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画．例10、右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？分析：将图形中的6个区域看成6个点，每个门看成连结他们的线段， 显然6个点都是偶点，所以有人能一次不重复的走过所有的门．例11、18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a )．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？分析：欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了．而图B 中有4个奇点显然不能一笔画出．巩固练习：1、观察下面的图，看各至少用几笔画成？分析：图(1)有8个奇点，所以要4笔画出，图(2)有12个奇点，所以要一笔画出，图(3)能一笔画出． 2、判断前两个图能否一笔画出；第三个图要求不穿越任何线地一笔画出。
一笔画完的规律
【实用版】
目录
1.一笔画完的定义与特点
2.一笔画完的规律
3.一笔画完的应用实例
4.结论
正文
一笔画完的定义与特点
一笔画完，又称连通图，是指在一个平面内，通过一笔连续的线段将所有点连接起来，并且线段不能重复经过已经连接过的点。
一笔画完是一个具有挑战性和趣味性的数学问题，它涉及到图论的知识，具有广泛的应用。
一笔画完的规律
一笔画完的规律可以归纳为以下几点：
1.所有点必须处于连通状态，即从一个点出发，可以通过线段到达所有其他点。
2.奇数点时，必须有一个点是起点或终点，否则无法连接所有点。
3.偶数点时，起点和终点必须相邻，否则无法连接所有点。
4.所有线段不能相交，否则会导致无法通过一笔画完连接所有点。
一笔画完的应用实例
一笔画完在实际生活中有很多应用，例如：
1.旅行商问题（TSP 问题）：在给定的城市之间选择最短路径，使得
一辆卡车能够一次性地经过所有城市并返回起点。
2.电子电路设计：在印刷电路板上设计线路，使得所有元件能够通过一笔画完连接。
3.物流配送：在一定区域内设置仓库和配送点，使得所有客户能够通过一笔画完的方式接收货物。
结论
一笔画完问题不仅是图论领域的一个有趣问题，同时也具有广泛的实际应用。
了解一笔画完的规律和特点，有助于解决实际生活中的许多问题。
浅谈一笔画问题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
浅谈一笔画问题
摘要：一笔画问题是一个几何问题，传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质，而存在一些几何问题，它们所研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关，比如一笔画问题就是如此。
一笔画问题是一个简单的数学游戏，即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复例如汉字‘日’和‘中’字都可以一笔画的，而‘田’和‘目’则不能。
关键词:一笔画规律原理
早在18世纪，瑞士的着名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。
欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的．但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
一笔画问题是图论中一个着名的问题。
一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。
数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题。
一般认为，欧拉的研究是图论的开端。
与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿问题。
一、一笔画规律
数学家欧拉找到一笔画的规律是：
（一）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
（二）凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起，，另一个奇点终点。
（三）其他情况的图都不能一笔画出。
（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成）
比如附图：（a）为（1）情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。
补充：相关名词的含义
◎顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指数。
◎奇顶点：指数为奇数的顶点。
◎偶顶点：指数为偶数的顶点。
二、一笔画原理
(一)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；
(二)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；
(三)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；
(四)奇点个数超过两个的图形不是一笔画
利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。
因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。
三、顺便补充两点：
（一）一个图形的奇点数目一定是偶数
因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。
如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总
数是奇数，这与前面的结论矛盾。
所以一个图形的奇点数目一定是偶数。
（二）有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成
例如：下页左上图中的房子共有B，E，F，G，I，J六个奇点，所以不是一笔画。
如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。
将线段GF和BJ去掉，剩下I和E两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段GF和BJ，共需三笔，即(6÷2)笔画成。
一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢我们知道K 笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。
如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点。
所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画。
到现在为止，我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画，以及怎样添加连线将多笔画变成一笔画。
四、巩固练习
（一）下列图形分别是几笔画怎样画
（二）能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形
（三）从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能使重复走的路程最短
参考文献：
[1]杜学知.小学趣味数学
[2]胡作玄.数学是什么
[3]网上查阅。
