函数难点突破：让抽象的函数成为常识

高一期中抽象函数知识点高一期中考试即将来临，作为数学科目的一部分，抽象函数是需要重点掌握的知识点之一。

抽象函数作为高中数学的重要内容，其概念和特点需要认真理解与掌握。

本文将从抽象函数的定义、图象与性质、常见的抽象函数类型等多个方面进行论述，以帮助同学们更好地理解和掌握抽象函数的知识。

一、抽象函数的定义抽象函数是指其中一个函数的自变量包含了另一个函数。

通常，我们把包含有另一个函数的函数称作「外层函数」，而另一个函数称作「内层函数」。

举个例子，f(g(x))中的f(x)就是外层函数，g(x)就是内层函数。

二、抽象函数的图象与性质抽象函数的图象一般来说比较复杂，因为它是内外两个函数共同作用的结果。

要绘制抽象函数的图象，需要先绘制内层函数和外层函数的图象，然后观察两个图象的叠加效果。

在绘制图象时，需要注意变量的定义域和值域范围，以确保图象的正确性。

关于抽象函数的性质，可以通过以下几个方面进行分析：1. 定义域和值域的确定：抽象函数的定义域取决于内外两个函数的定义域，并且需要满足内层函数的值域在外层函数的定义域范围内。

对于值域而言，抽象函数的值域取决于内层函数。

2. 函数的奇偶性：抽象函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，而与内层函数的奇偶性无关。

具体来说，如果外层函数是奇函数，则抽象函数也是奇函数；如果外层函数是偶函数，则抽象函数也是偶函数。

3. 函数的增减性：抽象函数的增减性取决于内外两个函数的增减性。

一般来说，如果外层函数是递增函数，且内层函数的导数存在且大于0，那么抽象函数是递增函数；如果外层函数是递减函数，且内层函数的导数存在且小于0，那么抽象函数是递减函数。

三、常见的抽象函数类型1. 复合函数：复合函数是抽象函数的一种常见类型，它将两个函数进行组合，其中一个函数作为另一个函数的自变量。

例如，f(g(x))就是一种典型的复合函数。

2. 函数的逆运算：在函数的逆运算中，内层函数和外层函数的关系是倒置的。

如何解决高一数学中的抽象函数问题在高一数学的学习中，抽象函数问题常常让同学们感到头疼。

这些问题不像具体函数那样有明确的表达式，而是仅仅通过一些函数性质或运算关系来描述，具有较强的抽象性和逻辑性。

但别担心，只要掌握了正确的方法和思路，抽象函数问题也能迎刃而解。

首先，我们要理解抽象函数的定义和常见类型。

抽象函数通常是指没有给出具体解析式的函数，而是通过一些条件，如函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，来描述函数的特征。

常见的抽象函数类型有：以函数运算关系给出的抽象函数，如$f(x ＋ y) ＝ f(x) ＋f(y)＄；以函数性质给出的抽象函数，如$f(x) ＝ f(x)＄表示函数为奇函数。

那么，解决抽象函数问题的关键在哪里呢？关键之一是赋值法。

通过对自变量赋予特殊值，往往能得出一些有用的结论。

比如，对于函数$f(x ＋ y) ＝ f(x) ＋ f(y)＄，我们可以令$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$，得到$f(0) ＝ f(0) ＋ f(0)＄，从而得出$f(0) ＝ 0$。

再比如，若已知$f(1) ＝ 2$，要研究$f(2)＄，我们可以令$x ＝ 1$，＄y ＝1$，得到$f(2) ＝ f(1 ＋ 1) ＝ f(1) ＋ f(1) ＝ 4$。

关键之二是利用函数的性质。

比如，如果已知函数是奇函数，那么$f(x) ＝ f(x)＄；如果是偶函数，就有$f(x) ＝ f(x)＄。

通过这些性质，可以将自变量转化为已知的形式，从而进行计算或推理。

例如，已知$f(x)＄是奇函数，且$f(2) ＝ 5$，那么$f(－2) ＝ f(2) ＝－5$。

关键之三是周期性。

如果函数具有周期性，我们可以利用周期将自变量的取值范围进行转化。

比如，若函数$f(x)＄的周期为$T$，那么$f(x ＋ kT) ＝ f(x)＄，＄k\in Z$。

例如，若函数的周期为$4$，＄f(1) ＝2$，求$f(9)＄，则可以将$f(9)＄转化为$f(9) ＝ f(1 ＋ 2\times 4) ＝ f(1) ＝ 2$。

025高考函数知识点与难题突破函数是高考数学中的重点和难点，对于很多同学来说，掌握函数知识并突破难题是取得高分的关键。

在这篇文章中，我们将系统地梳理高考函数的知识点，并探讨一些难题的突破方法。

一、函数的基本概念函数是一种对应关系，给定一个自变量的值，通过函数规则就能确定唯一的因变量的值。

函数通常用符号 y ＝ f(x) 表示，其中 x 是自变量，y 是因变量，f 是函数关系。

函数的定义域是自变量 x 的取值范围，值域是因变量 y 的取值范围。

确定函数的定义域时，需要考虑分式的分母不为零、偶次根式内非负、对数的真数大于零等限制条件。

二、常见函数类型1、一次函数：y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0），其图像是一条直线。

2、二次函数：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0），图像是一条抛物线。

当 a ＞ 0 时，开口向上；当 a ＜ 0 时，开口向下。

二次函数的顶点坐标为（b/2a，（4ac b²)／4a）。

3、反比例函数：y ＝ k/x（k 为常数，k ≠ 0），图像是双曲线。

4、指数函数：y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1），当 a ＞ 1 时，函数单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减。

5、对数函数：y ＝logₐx（a ＞ 0 且a ≠ 1），与指数函数互为反函数。

三、函数的性质1、单调性如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁、x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或 f(x₁) ＞ f(x₂)），那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是增函数（或减函数）。

判断函数单调性的方法有定义法、导数法等。

2、奇偶性如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数；如果都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称。

热点难点突破系列之三、攻克抽象函数的五类问题抽象函数是高中数学的难点，大多数同学感觉找不着头绪，对抽象函数的研究往往要通过函数的性质来体现，如函数的奇偶性、单调性和周期性．利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函数问题的重要策略．下面从5个不同的方面来探寻一些做题的规律．1．抽象函数的定义域抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域，利用代换法得到不等式(组)进行求解．[典例1] 已知函数y ＝f(x)的定义域是[0,8]，则函数g(x)＝2－2－log 2＋的定义域为________． [解析] 要使函数有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x 2－1≤8，x ＋1>0，2－log 2＋， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x 2≤9，x>－1，x≠3，则1≤x<3，所以函数的定义域为[1,3)．[答案] [1,3)[题后悟道] 函数y ＝f(g(x))的定义域的求法， 常常通过换元设t ＝g(x)，根据函数y ＝f(t)的定义域，得到g(x)的范围，从而解出x 的范围．在求函数的定义域时要兼顾函数的整体结构，使得分式、对数等都要有意义．2．抽象函数的函数值[典例2] (文)定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x ，y ∈R)，f(1)＝2，则f(－2)＝( )A ．2B ．3C ．6D ．9[解析] 令x ＝y ＝0，得f(0)＝0，令x ＝y ＝1，得f(2)＝2f(1)＋2＝6，由0＝f(2－2)＝f(2)＋f(－2)－8得f(－2)＝2.[答案] A[典例2] (理)已知定义在R 上的单调函数f(x)满足：存在实数x 0，使得对于任意实数x 1，x 2，总有f(x 0x 1＋x 0x 2)＝f(x 0)＋f(x 1)＋f(x 2)恒成立．求：(1)f(1)＋f(0)；(2)x 0的值．[解] (1)因为对于任意实数x 1，x 2，总有f(x 0x 1＋x 0x 2)＝f(x 0)＋f(x 1)＋f(x 2)恒成立，令x 1＝1，x 2＝0，得f(x 0)＝f(x 0)＋f(0)＋f(1)，所以f(0)＋f(1)＝0.(2)令x 1＝0，x 2＝0，得f(0)＝f(x 0)＋2f(0)，即f(x 0)＝－f(0)．故f(x 0)＝f(1)．又因为f(x)是单调函数，所以x 0＝1.[题后悟道] 抽象函数求函数值往往要用赋值法，需要结合已知条件，通过观察和多次尝试寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和函数的周期性来转化解答．3．抽象函数的奇偶性函数的奇偶性就是要判断－x 对应的函数值与x 对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y 轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断．[典例3] 已知函数f(x)对任意x ，y ∈R ，都有f(x ＋y)＋f(x －y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数．[证明] 取x ＝0，y ＝0，得2f(0)＝2f 2(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1；再取x ＝0，得f(y)＋f(－y)＝2f(0)·f(y)＝2f(y)．所以f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)是偶函数．[题后悟道] 在利用奇偶函数的定义进行判断时，等式中如果还有其他的量未解决，例如本题中的f(0)，还需要令x ，y 取特殊值进行求解．4．抽象函数的单调性与抽象不等式高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点，常出现一些综合性问题，利用导数进行判断求解，并对所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式问题．(结合本节例2(2)学习)．5．抽象函数的周期性有许多抽象函数都具有周期性，特别是在求自变量值较大的函数值时，就要考虑寻找函数的周期，从而利用周期把函数值转化为已知求出．[典例4] 已知函数f(x)满足：f(1)＝14，4f(x)f(y)＝f(x ＋y)＋f(x －y)(x ，y ∈R)，则f(2 014)＝________. [解析] 取x ＝n ，y ＝1，有f(n)＝f(n ＋1)＋f(n －1)，同理f(n ＋1)＝f(n ＋2)＋f(n)，联立，得f(n ＋2)＝－f(n －1)，所以f(n ＋3)＝－f(n)，f(n ＋6)＝－f(n ＋3)＝f(n)，所以函数的周期为T＝6，故f(2 014)＝f(4)＝－f(1)＝－14. [答案] －14[题后悟道] 判断抽象函数的周期性时，给一个变量赋值是关键，但由于函数的周期性是函数的整体性质，因此另一个变量必须具有任意性．从以上几种类型来看，解答抽象函数问题并不是无计可施，只要我们善于观察、分析、掌握解题规律，把抽象问题形象化、具体化，问题就可以化难为易、迎刃而解．。