函数的单调性重难点突破
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——————————————第 1 页 （共 5页）—————————————— 1.3.1函数的单调性
教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
教学重点：函数的单调性及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
教学目标和目标解析
本节课要求学生理解函数在某区间上单调的意义，掌握用函数的单调性定义证明函数在区间上具有某种单调性的方法（步骤）。
1．要求能够以具体的例子说明函数在某区间上具有某种单调性；
2．能够举例说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质；
3．对于一个具体的函数，能够按照单调性的定义，证明它的单调性：在区间上任意取x1，x2，x1＜x2，作差f（x2）－ f（x1），然后判断这个差的符号，从而证明函数在该区间上具有单调性。
重难点分析：
学生学习的困难在于，难以把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象
出来，以用数学的符号语言描述函数单调性的特征。即由“随着x的增大y也增大
（单调增）这一自然语言到“由（区间上）任意的x1＜x2有f（x1）＜f（x2）”（单调增）数学符号语言的转换．其中最难理解的是为什么要用“任意”二字，在区间上“任意”取两个大小不等的x1＜x2刻画。当然，应该注意到，企图在一节课中就实现学生对函数单调性的真正理解也是不现实的。在今后，学生通过判断函数的单调性，寻找函数的单调区间，运用函数的单调性解决具体问题，等一系列学习活动可以逐步理解这个概念。
教学重点是通过一系列具体问题的研究，经过归纳、抽象、概括，逐步由“随着x的增大，y也增大”（单调增）这一自然语言转换成“由（区间上）任意的x1＜x2到f（x1）＜f（x2）”（单调增）数学符号语言．单调减的数学刻画将会迎刃而解。
教学中，教师要找出建立概念的关键之处，明确学生建立这个概念到底难在哪
——————————————第 2 页 （共 5页）—————————————— 里．其次是采取适当的方法，注意启发引导，不以自己的想法代替学生的想法，把单调性的定义告诉学生．注意引导学生积极参与概念形成的关节点处的讨论、交流等活动。不要使学生仅记住意义，模仿练习．不要简化概念发生过程的教学，把重心放在具体函数单调性证明的训练上，放在作差后如何证明f（x2）－f（x1）＞0的技巧训练上．
概念的形成过程应该是一个归纳、概括的过程，是一个由特殊到一般，由具体到
抽象的过程．教师应该充分认识到，学生知识结构的改变不仅是要教师讲、教师引
导，还需要学生的亲身体验，亲自参与，与同伴交流。
教学过程：
一、 引入课题
1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
○1 随x的增大，y的值有什么变化？
○2 能否看出函数的最大、最小值？
○3 函数图象是否具有某种对称性？
2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f(x) = x ○1 从左至右图象上升还是下降 ______?
○2 在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
2．f(x) = -2x+1
○1 从左至右图象上升还是下降 ______?
○2 在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ． y
x 1 -1 1
-1
y
x 1 -1 1
-1 y
x 1 -1 1
-1 y
x 1 -1 1
-1 y
x 1 -1 1
-1
——————————————第 3 页 （共 5页）—————————————— 3．f(x) = x2
○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
问题1 列表描点，画函数f（x）＝x2的图像。
意图：列表描点通过计算函数值可以体验当自变量从小到大取值时，对应的函数值的大小变化规律。
问题2 利用画出的图像，请描述函数值增减变化特征。
从函数图像及上述表格可以看出（这并不困难）：
图象在y轴左侧“下降”，也就是，在区间]0,(上，随着x的增大，相应的f（x）反而减小；图象在y轴右侧“上升”，也就是，在区间),0(上，随着x的增大，相应的f（x）也随着增大。
意图：几何直观，引导学生关注图形所反映出的特征。借助图像，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在图形上的表现。 图3
问题3 当x从小到大变化时，y的值如何变化？
意图：是对前一个问题（直观）的再一次概括，一次自然语言描述。而且，既不能说随着x的增大y增大，也不能说随着x的增大y减小。学生必须分段回答这个问题，体验函数的这一特征是函数的局部特征。
问题4．要刻画“随着x的增大，对应函数值y也增大”这一现象，能否在该区间上取两个固定的值x1，x2，如果“当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）”，从而得到在该区间上总有f（x1）＜f（x2）？可以让学生举反例加以说明。培养举反例的能力。
问题5 在函数y＝x2的图像位于y轴右边的部分随便（任意）取两点，横坐标分别是x1，x2，即当0＜x1＜x2时，是否总有y1＜y2呢？
意图：抽象前的铺垫，以“随便”替代“任意”容易被接受。
问题6 在函数y＝x2的图像位于y轴左边的部分任意取两点，横坐标分别是x1，x2，x … －4 －3 －2 －1 0 1
2 3 4 …
f（x）＝x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 … y
x 1 -1 1
-1
——————————————第 4 页 （共 5页）—————————————— 即当 x1＜x2＜0时，是否总有y1＜y2呢？
意图：把“随便”换成“任意”并不突然。任意x1＜x2＜0时，有y1＞y2。而0＜x1＜x2不变。这样，基本完成难点的突破。通过这样引导学生进行分类描述
(增函数、减函数)．并引导学生用区间明确描述函数的单调性从而让学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．
思考：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
预案1：如果函数()fx在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数()fx在该区间上为增函数；如果函数()fx在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数()fx在该区间上为减函数．完成对函数概念的第一次认识。
先对具体函数下单调性的定义
提示：函数f（x）＝x2，对于x∈（0，∞）上的任意x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），我们说函数f（x）＝x2在（0，∞）上是增函数。对于x∈（－∞，0）上的任意x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），我们说函数f（x）＝x2在（0，∞）上是减函数。
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）
注意：
○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
○2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1
2．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
○1 任取x1，x2∈D，且x1
○2 作差f(x1)－f(x2)；
——————————————第 5 页 （共 5页）—————————————— ○3 变形（通常是因式分解和配方）；
○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
（二）典型例题
例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：课本P38练习第1、2题
例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：
○1 课本P38练习第3题；
○2 证明函数xxy1在（1，+∞）上为增函数．
例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．
解：（略）
思考：画出反比例函数xy1的图象．
○1 这个函数的定义域是什么？
○2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．
二、 归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
三、 作业布置
1． 书面作业：课本P45 习题1．3（A组） 第1- 5题．
2． 提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
○1 求f(0)、f(1)的值；
○2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．
